Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

Livre

0
1
104
1 year ago
Preview
Full text

  

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Superf´ıcies Completas de Curvatura M´ edia

Constante em Espac ¸os Homogˆ eneos

Renivaldo Sodr´ e de Sena

  Salvador-Bahia Mar¸co de 2011 Superf´ıcies Completas de Curvatura M´ edia Constante em Espac ¸os Homogˆ eneos Renivaldo Sodr´ e de Sena

  Orientadora: Prof. Dr

  a Ana Lucia Pinheiro Lima.

  Salvador-Bahia Mar¸co de 2011 Sena, Renivaldo Sodr´e de.

  Superf´ıcies Completas de Curvatura M´edia Constante em Espa¸cos Homogˆeneos / Renivaldo Sodr´e de Sena. – Salvador: UFBA, 2011. 92 f. : il. Orientador: Prof. Dr a Ana Lucia Pinheiro Lima. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2011. Referˆencias bibliogr´aficas.

  1. Espa¸cos Homogˆeneos. 2. Superf´ıcies. 3. Geometria. I. Lima,

Ana Lucia Pinheiro . II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de

Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 510.22 : 515.122 Superf´ıcies Completas de Curvatura M´ edia Constante em Espac ¸os Homogˆ eneos Renivaldo Sodr´ e de Sena

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 14 de mar¸co de 2011.

  Banca examinadora: a a

  Prof . Dr .Ana Lucia Pinheiro Lima (Orientadora) UFBA

  Prof. Dr. Isaac Costa L´azaro UFBA

  Prof. Dr. Marco Antˆonio Nogueira Fernandes UFBA

  ` A minha m˜ae Gl´oria, meus irm˜aos e meus amigos. Agradecimentos

  Primeiramente agrade¸co ao Deus eterno “Porque Dele, e por Ele, e para Ele s˜ao todas as coisas”. Raz˜ao da minha existˆencia. Dele vem a for¸ca e a coragem para enfrentar os grandes desafios da vida.

  ` A minha m˜ae Gl´oria pelo seu amor incondicional e seu incans´avel cuidado e a meus irm˜aos, em especial, minha irm˜a Jane pelo seu apoio e amizade.

  ` A Igreja Batista Nacional L´ırio dos Vales que estave em constante ora¸c˜ao por mim, em especial, os irm˜aos Ednelson, Suely, Luiza, Regina e Rubens pelo incentivo e apoio. Tamb´em um agradecimento especial a Itana pelo grande carinho, apoio e incentivo em todos momentos.

  ` A Professora Ana Lucia Pinheiro pela orienta¸c˜ao, pelos conselhos, apoio, pelo exemplo de pessoa e profissionalismo a ser seguido. Tenho um enorme respeito e admira¸c˜ao por esta profissional. Obrigado por acreditar em mim e me fazer olhar a vida com os olhos de Falc˜ao. N˜ao aprendi s´o Matem´atica. Suas orienta¸c˜oes levarei para vida. As palavras n˜ao s˜ao suficientes para expressar a minha gratid˜ao.

  Ao Professor Isaac Costa L´azaro por participar da minha banca e tamb´em pela ajuda e orienta¸c˜ao, desde a minha gradua¸c˜ao, que contribu´ıram para concluir o mestrado. Ao Professor Marco Antˆonio por aceitar a participar da minha banca e pelo apoio e disposi¸c˜ao em ajudar durante todos esses anos em que estive no Instituto de Matem´atica da UFBA.

  As Professores do Departamento de Matem´atica da UFBA, em especial, aos pro- fessores Jos´e Nelson, Enaldo Vergasta, Elinalva Vergasta, Cristiana Valente, Gra¸ca Luzia, Rita de C´assia, Samuel Gomes, Eliana Prates, Silvia Veloso, Jod´alia, Gl´oria e Jos´e Fer- nandes. Agrade¸co tamb´em as professoras aposentadas C´elia, Verlane Cabral, Miriam e Christina. Os quais contribu´ıram n˜ao somente para minha forma¸c˜ao como matem´atico, mas tamb´em como ser humano.

  ` A toda equipe do Laborat´orio de Ensino de Matem´atica e Estat´ıstica da UFBA

  • LEMA, onde tanto eu aprendi, cresci e sonhei. Um agradecimento especial a professora Elinalva pelo apoio, incentivo e cuidado. Grande exemplo de dedica¸c˜ao e amor a profiss˜ao.

  ` A professora Cristiana Valente minha “m˜ae”matem´atica, o professor Antˆonio dos Santos Filho e a Fabiana Laranjeiras. Essas pessoas est˜ao guardadas do lado esquerdo do meu peito.

  Aos colegas de gradua¸c˜ao Diego Magalh˜aes, Vitor Rios e Rob´erio Batista. Aprendi muito com vocˆes.

  ` A todos colegas da P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da

  Bahia, em especial a minha turma de mestrado, amigos de jornada, K´atia, Caio e Francis- leide. Vocˆes estar˜ao sempre no meu cora¸c˜ao. Agrade¸co tamb´em Fellipe Antˆonio pela for¸ca e amizade em todos os momentos, Roberto Sant’Anna, Rodrigo von Flach, ˆ Angela Sol- datelli, Ana Paula, Hivanna Nascimento e Felipe Moscozo e Emanuelle Romero, pessoas que sempre pude contar.

  ` A todos os funcion´arios do Instituto de Matem´atica, em especial, D. Z´eze e Tˆania. Agrade¸co tamb´em a Alan, Douglas, Neide e Denis os quais sempre estavam dispostos a me ajudar.

  ` As minhas professoras do colegial Eliana Moreira, Rosemeire, Maria de Lourdes que tanto me incentivaram e agu¸caram meus sonhos.

  ` A CAPES pelo aux´ılio financeiro concedido a mim durante todo o meu mestrado. Finalmente, agrade¸co a todos aqueles que contribu´ıram para esta conquista. Todas as vossas coisas sejam feitas com amor.

  I Cor´ıntios 16.14 “Bendize, ´o minha alma, ao SENHOR, e tudo o que h´a em mim bendiga o seu santo nome. Bendize, ´o minha alma, ao SE- NHOR, e n˜ao te esque¸cas de nenhum de seus benef´ıcios”

  Salmos 103:1-2. Resumo

  Neste trabalho descreveremos os espa¸cos homogˆeneos Riemannianos de dimens˜ao trˆes. Enunciaremos o Teorema de Classifica¸c˜ao de Thurston, o qual afirma que em di-

  3

  3

  3

  2

  2

  mens˜ao trˆes existem examente oito geometrias, a saber, S , R , H , S , Sol

  3

  3

  ×R, H ×R, Nil e ^ P SL

  2 (R). Apresentaremos a diferencial quadr´atica de Abresch-Rosenberg, que ´e holo-

  morfa em toda superf´ıcie de curvatura m´edia constante, bem como as equa¸c˜oes fundamen- tais para uma imers˜ao isom´etrica de uma superf´ıcie em um espa¸co homogˆeneo tridimen- sional com grupo de isometria de dimens˜ao quatro. Usando estas ferramentas estudamos dois teorema demonstrados por J. Espinar e H. Rosenberg que classificam as superf´ıcies de curvatura m´edia constante cuja curvatura Gaussiana K n˜ao muda de sinal em espa¸cos homogˆeneos de dimens˜ao trˆes com grupo de isometrias de dimens˜ao quatro.

  Palavras-chave: Espa¸cos homogˆeneos, Diferencial quadr´atica holomorfa, Imers˜ao isom´etrica, Curvatura m´edia constante, Curvatura Gaussiana.

  Abstract In this work we describe the Riemannian homogeneous spaces of dimension three.

  We present the Thurston’s Classification Theorem, which states that in three dimensions

  

3

  3

  3

  2

  2 there are exactly eight geometries, namely, S , R , H , S , Sol e ^ P SL (R).

  3

  3

  2

  ×R, H ×R, Nil We present the quadatic differential of Abresch-Rosenberg, which is holomorphic on every constant mean curvature surface, and the fundamental equations for an isometric immer- sed surface in a homogeneous space 3-dimensional with isometry group of dimension four. Using these tools, we study two theorem demonstrated by J. Espinar and H. Rosenberg, who classify the constant mean curvature surfaces whose Gaussian curvature K does not change sign on homogeneous spaces of dimension three with a group of isometries of dimension four.

  Keywords: Homogeneous spaces, Holomorphic quadratic differential, Isometric immer- sion, constant mean curvature, Gaussian curvature.

  Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  1

  1 Espa¸cos Homogˆ eneos Riemannianos de Dimens˜ ao Trˆ es

  4

  1.1 As Formas Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  3

  1.1.1 O Espa¸co R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  3

  1.1.2 O Espa¸co H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

  3

  1.1.3 O Espa¸co S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  1.2 Os Espa¸cos Homogˆeneos com grupo de isometria 4-dimensional . . . . . . . 20

  2

  1.2.1 O Espa¸co S × R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  2

  1.2.2 O Espa¸co H × R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  1.2.3 O Espa¸co de Heisenberg N il . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  

3

  g

  1.2.4 O Espa¸co P SL

  2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

  1.2.5 As Esferas de Berger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  1.3 O espa¸co Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

  3

  2 Superf´ıcies em Espa¸cos Homogˆ eneos

  50

  2.1 As Equa¸c˜oes de Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

  2.2 A Diferencial de Abresch-Rosenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

  3 Classifica¸c˜ oes de H-superf´ıcies completas em E(κ, τ )

  70

  3.1 Fun¸c˜oes q e ν constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

  3.2 Curvatura de Gauss K limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Referˆ encias

  89 Introdu¸c˜ ao

  Um problema cl´assico em Geometria Diferencial ´e o estudo de superf´ıcies de curvatura m´edia constante imersas no espa¸co Euclidiano. Uma quest˜ao fundamental neste t´opico ´e a classifica¸c˜ao dessas superf´ıcies sob hip´oteses globais como compacidade e completude. Muitos dos resultados obtidos para o espa¸co Euclidiano foram generalizados

  3

  com maior ou menor dificuldade para imers˜oes cujo espa¸co ambiente ´e a esfera S ou

  3

  o espa¸co hiperb´olico H . Nestes casos, as variedades ambientes, chamadas de formas espaciais, tem curvatura seccional constante e uma grande quantidade de isometrias, fato este que ´e fundamental para a demonstra¸c˜ao dos resultados.

  Os espa¸cos homogˆeneos s˜ao uma generaliza¸c˜ao natural das formas espaciais. Uma variedade Riemanniana se diz homogˆenea se seu grupo de isometrias age transitivamente, isto ´e, para cada par de pontos do espa¸co existe uma isometria que leva um ponto no outro. Geometricamente, uma variedade homogˆenea tem a mesma aparˆencia em todos os seus pontos.

  Os espa¸cos homogˆeneos Riemannianos de dimens˜ao trˆes que s˜ao simplesmente conexos est˜ao classificados. Estes espa¸cos tem grupo de isometrias de dimens˜ao seis, quatro ou trˆes.

  Os espa¸cos com grupo de isometrias de dimens˜ao seis s˜ao as formas espaciais: o

  3

  

3

  3 espa¸co Euclidiano R , o plano hiperb´olico H e a esfera canˆonica S .

  Os espa¸cos homogˆeneos com grupo de isometrias de dimens˜ao quatro s˜ao fibra¸c˜oes sobre uma forma espacial bidimensional, as fibras s˜ao geod´esicas e existe uma fam´ılia a um parˆametro de transla¸c˜oes ao longo das fibras, geradas por um campo de Killing unit´ario, tamb´em chamado de campo vertical. Tais variedades s˜ao classificadas, a menos de isometrias, pela curvatura κ da superf´ıcie base da fibra¸c˜ao e a curvatura fibrado τ ,

  

2

  onde κ e τ s˜ao n´ umeros satisfazendo κ . Quando a curvatura fibrado τ ´e zero, temos 6= 4τ

  2

  os espa¸cos produtos H × R, se κ < 0 e S × R, se κ > 0, cujo o grupo de isometrias tem quatro componentes conexas. Quando τ ´e diferente de zero o grupo de isometrias tem duas componentes conexas. Estas variedades s˜ao de trˆes tipos: As esferas de Berger, para

  ^ κ > 0, o espa¸co de Heisenberg N il , para κ = 0 e o P SL (R), para κ < 0.

  3

  2 Os espa¸cos homogˆeneos Riemannianos de dimens˜ao trˆes, simplesmente conexo, com grupo de isometrias de dimens˜ao trˆes s˜ao certas classes de grupos de Lie; dentre eles destacamos especialmente o espa¸co Sol

  3 . O grupo de isometrias do Sol 3 tem oito componentes conexas.

  Estes espa¸cos, exceto as esferas de Berger, s˜ao chamados Geometrias de Thurston. Em seus trabalhos, na d´ecada de 70, Thurston mostrou que em dimens˜ao trˆes existem

  ^

  3

  

3

  3

  2

  exatamente oito geometrias maximais: R , S , H , H

  3 , P SL 2 (R) e Sol 3 .

  × R, S × R, Nil Al´em disso, William Thurston conjecturou que toda variedade tridimensional compacta pode ser decomposta em peda¸cos que podem ser modelados pelas oitos geometrias acima.

  Esta ´e a chamada Conjectura de Geometriza¸c˜ao de Thurston. Tal Conjectura foi provada recentemente por Perelman e tem como caso particular a Conjectura de Poincar´e, que afirma que a ´ unica variedade tridimensional compacta, simplesmente conexa de dimens˜ao

  3

  trˆes ´e a esfera S . No Cap´ıtulo 1 do presente trabalho, descrevemos os espa¸cos homogˆeneos Riemannianos de dimens˜ao trˆes e enunciamos precisamente o Teorema e a Conjectura de Geometriza¸c˜ao de Thurston.

  Em 2004, inspirado no resultado de Heinz Hopf, Uwe Abresch e Harold Rosenberg provaram em [2] que, para superf´ıcies de curvatura m´edia constante nos espa¸cos produto

  2

2 H × R e S × R, existe uma certa varia¸c˜ao da diferencial de Hopf, que ´e holomorfa.

  Esta diferencial, chamada de diferencial de Abresch-Rosenberg, deve ser vista como a diferencial de Hopf usual para superf´ıcies mais um certo termo de corre¸c˜ao. No trabalho supracitado, os autores classificaram as superf´ıcies cuja diferencial quadr´atica ´e nula, e em particular, obtiveram que qualquer imers˜ao de uma esfera de curvatura m´edia constante ´e a esfera de distˆancia canˆonica, generalizando o resultado do Hopf.

  Um ano mais tarde os mesmos autores anunciaram a existˆencia de uma diferencial quadr´atica holomorfa para superf´ıcies de curvatura m´edia constante em qualquer espa¸co homogˆeneo Riemanniano de dimens˜ao trˆes com grupo de isometria de dimens˜ao quatro e provaram o problema de Hopf equivalente para estes espa¸cos. Enquanto que a diferencial de Hopf ser holomorfa ´e equivalente a superf´ıcie ter curvatura m´edia constante, o mesmo n˜ao acontece com a diferencial de Abresch-Rosenberg. Existem exemplos de superf´ıcies com curvatura m´edia n˜ao constante e diferencial de Abresch-Rosenberg holomorfa. No Cap´ıtulo 2, trataremos de tal diferencial, al´em das equa¸c˜oes fundamentais de uma imers˜ao de uma superf´ıcie em um espa¸co homogˆeneo 3-dimensional, simplesmente conexo, com grupo de isometria de dimens˜ao quatro. Estas equa¸c˜oes foram obtidas por Daniel Benoˆıt em [9] e a forma complexa destas equa¸c˜oes foram obtidas por Isabel Fern´andez e Pablo Mira em [18]. Tais ferramentas s˜ao usadas para mostar os resultados principais desse trabalho, os quais ser˜ao apresentados no Cap´ıtulo 3. Teorema (Espinar-Rosenberg, 2009). Seja Σ ⊂ E(κ, τ) uma superf´ıcie de curvatura m´edia constante H com K

  ≥ 0. Ent˜ao, Σ ´e ou uma esfera rotacional (em particular,

  2

  4H + κ > 0), ou um cilindro vertical sobre uma curva completa de curvatura geod´esica

  2 2H em M (κ).

  Teorema (Espinar-Rosenberg, 2009). Seja Σ ⊂ E(κ, τ) uma superf´ıcie de curvatura

  2

  2

  2

  m´edia constante H com K + τ ≤ 0 e H − |κ − 4τ | > 0. Ent˜ao, Σ ´e um cilindro vertical

  2 completo sobre uma curva completa de curvatura geod´esica 2H em M (κ).

  Esses resultados classificam as superf´ıcies de curvatura m´edia constante, cuja cur- vatura Gaussiana K n˜ao muda de sinal, nos espa¸cos homogˆeneos com grupo de isometria de dimens˜ao quatro estendendo assim a estes espa¸cos o Teorema de Klotz e Ossermann

  3

  que afirma que uma superf´ıcie de curvatura m´edia constante em R , cuja curvatura Gaus- siana K n˜ao muda de sinal ´e uma esfera, uma superf´ıcie m´ınima, ou um cilindro circular reto.

  Cap´ıtulo 1 Espa¸cos Homogˆ eneos Riemannianos de Dimens˜ ao Trˆ es

  Neste cap´ıtulo descreveremos os espa¸cos homogˆeneos Riemannianos de dimens˜ao trˆes e apresentaremos o Teorema de Classifica¸c˜ao de Thurston. Iniciaremos citando alguns resultados envolvendo a¸c˜oes de Grupos de Lie. Boas referˆencias para os tais resultados encontrados neste cap´ıtulo s˜ao [7], [24] e [25].

  Um grupo de Lie G ´e uma variedade diferenci´avel que admite uma estrutura de grupo tal que a aplica¸c˜ao ϕ : G × G −→ G dada por

  

−1

  (x, y) , x, y 7−→xy ∈ G, ´e diferenci´avel.

  Sejam G um grupo de Lie e M uma variedade diferenci´avel. Uma a¸c˜ao de G sobre M ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel ψ : G

  × M −→ M (g, x)

  7−→ g · x, tal que, para todos g , g g ) G

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  ∈ G e para todo x ∈ M, temos g ·(g ·x) = (g ·x e e ·x = x, onde e G ´e o elemento neutro do grupo G. A a¸c˜ao ´e dita transitiva se, dados dois pontos de M , existe um elemento de G que leva um ponto no outro e a a¸c˜ao ´e propriamente descont´ınua se todo p

  ∈ M possui uma vizinhan¸ca U G . ⊂ M tal que U ∩ ψ(g, U) = ∅, para todo g ∈ G, com g 6= e

  No caso de G ser grupo de homeomorfismo de M e da a¸c˜ao ser propriamente descont´ınua a proje¸c˜ao π : M → M/G, onde M/G ´e munido com a topologia quociente, ´e uma aplica¸c˜ao de recobrimento. (Ver [25], pg 165).

  O estabilizador ou grupo de isotropia de um ponto x x = ∈ M ´e o grupo G {g ∈

  G; g · x = x}. Se todos os estabilizadores s˜ao triviais, dizemos que G age livremente sobre

  Supondo agora que M ´e uma variedade Riemanniana e Γ ´e um subgrupo do grupo das isometrias de M que opera de modo propriamente descont´ınuo, ent˜ao ´e verdade que M/Γ tem uma estrutura de variedade diferenci´avel na qual π : M

  → M/Γ ´e um difeomorfismo local. Al´em disso, podemos munir M/Γ com uma m´etrica Riemanniana de modo que π seja uma isometria local.

  O pr´oximo resultado ´e fundamental para o que se segue. Teorema 1.0.1. O conjunto de isometrias de uma variedade Riemanniana ´e um grupo de Lie de dimens˜ao finita que age diferenciavelmente em M .

  Se Γ ´e um subgrupo do grupo de isometrias de M , dizemos que Γ age sobre M por isometrias. A partir do grupo de isometrias de uma variedade define-se importantes conceitos como homogeneidade e isotropicidade. Assim, dizemos que M ´e uma variedade Riemanniana homogˆenea se existe um grupo de Lie Γ agindo diferenciavelmente e transi- tivamente por isometrias sobre M . Isto ´e, dados quaisquer x, y

  ∈ M, existe uma isometria f ∈ G tal que f(x) = y. Al´em disso, M ´e dita isotr´opica em p se existe um grupo de

  Lie Γ agindo diferenciavelmente em M por isometrias, tal que o subgrupo de isotropia Γ p p M , atrav´es da

  ⊂ Γ, age transitivamente sobre o conjunto de vetores unit´arios em T diferencial.

  Uma variedade homogˆenea isotr´opica em um ponto ´e isotr´opica em todos os pontos. Neste caso, dizemos que M ´e homogˆenea e isotr´opica e uma consequˆencia disso ´e que as isometrias transformam um referencial ortonormal em um espa¸co tangente a um ponto, em um referencial ortonormal em outro ponto qualquer. Intuitivamente, podemos dizer que uma variedade homogˆenea tem a mesma aparˆencia na vizinhan¸ca de qualquer ponto, enquanto uma variedade isotr´opica tem a mesma aparˆencia em qualquer dire¸c˜ao.

  Homogeneidade e isotropia juntas s˜ao condi¸c˜oes muito fortes. Em particular, tais condi¸c˜oes implicam que as curvaturas seccionais s˜ao as mesmas em todo ponto da variedade e em todo subespa¸co de dimens˜ao dois do espa¸co tangente. Essencialmente, existem apenas trˆes geometrias homogˆenea e isotr´opica simplesmente conexas : com curva- tura seccional zero, com curvatura seccional constante positiva e com curvatura seccional constante negativa. Estas geometrias s˜ao chamadas de Euclidiana, esf´erica e hiperb´olica, n n n respectivamente. Ou seja, s˜ao as formas espaciais R , S e H . Veja [35]. O Teorema a seguir pode ser encontrado em [32] e [38]. Ele determina comple- tamente as variedades Riemannianas homogˆeneas, simplesmente conexas, de dimens˜ao trˆes que s˜ao, salvo alguns exemplos excepcionais, grupos de Lie munidos com m´etrica invariante `a esquerda. Teorema 1.0.2 (V. Patrangenaru). Um espa¸co homogˆeneo Riemanniano, de dimens˜ao trˆes, simplesmente conexo ´e um dos espa¸cos a seguir.

  1. O produto Riemanniano de uma 2-esfera por uma reta Euclidiana.

  2. O produto Riemanniano de um plano hiperb´olico real por uma reta Euclidiana.

  3. Um grupo de Lie n˜ao unimodular com uma fam´ılia 2-param´etrica de m´etricas inva- riantes `a esquerda.

  4. SU(2) com uma fam´ılia 3-param´etrica de m´etricas invariantes `a esquerda.

  ^

  5. P SL (R), o recobrimento universal de P SL (R), com uma fam´ılia 2-param´etrica

  2 2 de m´etricas invariantes `a esquerda.

  6. N il , o grupo de Heisenberg, com uma fam´ılia 1-param´etrica de m´etricas invariantes

  3 `a esquerda.

  7. Sol , o recobrimento universal do grupo de transforma¸c˜oes do plano de Minkowski

  3

  que preservam a orienta¸c˜ao temporal, com uma fam´ılia 2-param´etrica de m´etricas invariantes `a esquerda.

  ]

  8. E(2), o recobrimento universal do grupo de isometrias do plano Euclidiano, com uma fam´ılia 2-param´etrica de m´etricas invariantes `a esquerda.

  A seguir s˜ao citadas algumas propriedades e casos particulares importantes, e mais conhecidos, que aparecem no Teorema acima. Estas observa¸c˜oes podem ser encontradas originalmente em [32] e novamente foram listadas em [38].

  2

  3 .

  • Todos os espa¸cos, exceto SU(2) e S × R s˜ao difeomorfos a R

  3

  ´e um exemplo excepcional de 8, enquanto que o espa¸co

  • O espa¸co Euclidiano R

  3 hiperb´olico H ´e um caso limite de 3.

  • Os espa¸cos 1 e 2 s˜ao os ´unicos que n˜ao s˜ao grupos de Lie e seus grupos de isometrias tem dimens˜ao quatro.
  • Os grupos de Lie n˜ao unimodulares, simplesmente conexos, de dimens˜ao trˆes est˜ao parametrizados por R. Cada um deles tem uma fam´ılia 2-param´etrica de m´etricas invariante `a esquerda e seus grupos de isometrias s˜ao de dimens˜ao trˆes.
  • As m´etricas sobre SU(2) incluem uma fam´ılia 1-param´etrica de m´etricas canˆonicas cujos grupos de isometrias s˜ao de dimens˜ao seis, e uma fam´ılia 2-param´etrica de m´etricas de Berger, cujos grupos de isometrias s˜ao de dimens˜ao quatro. As demais

  ^ P SL (R) incluem uma fam´ılia 2-param´etrica de m´etricas com

  2

  • As m´etricas sobre grupo de isometrias de dimens˜ao quatro e as demais tem grupos de isometrias de dimens˜ao trˆes.

  3 s˜ao homot´eticas e com grupo de isometrias de dimens˜ao quatro.

  • As m´etricas de Nil Em particular, do Teorema acima e das observa¸c˜oes anteriores, inferimos que para uma variedade Riemanniana homogˆenea M , simplesmente conexa, as poss´ıveis dimens˜oes do grupo de isometrias, s˜ao 3, 4 e 6.

  Se M tem grupo de isometrias de dimens˜ao seis, ent˜ao M ´e uma das variedades n n n de curvatura seccional constante, isto ´e, as formas espaciais R , S e H . Se M tem grupo de isometrias de dimens˜ao trˆes, ent˜ao M tem a geometria do grupo de Lie Sol . Isso por que o Sol ´e um grupo de Lie unimodular e John Milnor

  3

  3 classificou em [27] todos os grupos de Lie unimodular, simplesmente conexos.

  Finalmente, consideramos o caso em que M tem grupo de isometria de dimens˜ao quatro. Tal variedade ´e uma fibra¸c˜ao Riemannianna sobre uma forma espacial de di- mens˜ao dois, as fibras s˜ao geod´esicas e existe uma fam´ılia a um parˆametro de transla¸c˜oes ao longo das fibras, gerada por um campo de Killing unit´ario ξ, tamb´em chamado de campo vertical. Estas variedades s˜ao classificadas, a menos de isometrias, pela curvatura κ da superf´ıcie que ´e base da fibra¸c˜ao e a curvatura fibrado τ , onde κ e τ s˜ao n´ umeros reais

  2

  satisfazendo κ . A curvatura fibrado τ ´e um n´ umero tal que X ξ = τ X 6= 4τ

  ∇ ∧ ξ, para todo campo tangente a variedade, onde ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana da variedade. Veja

  Proposi¸c˜ao 1.2.2 a seguir, para demonstra¸c˜ao deste fato. Quando a curvatura fibrado τ ´e

  2

  2

  2

  2

  zero e κ ´e n˜ao nulo, temos os espa¸cos produtos M (κ) (κ) ´e S , se κ > 0 e H , ×R, onde M se κ < 0. O grupo de isometrias desses espa¸cos tem quatro componentes conexas. O vetor vertical ξ ´e simplesmente a dire¸c˜ao correspondente a R. Quando τ ´e n˜ao nulo, o grupo de isometria tem duas componentes conexas: as isometrias que preservam a orienta¸c˜ao da fibra e da base de fibra¸c˜ao, e as que revertem ambas as orienta¸c˜oes. Estas variedades s˜ao de trˆes tipos: elas tem o grupo de isometrias das esferas de Berger para κ > 0, do

  ^ grupo de Heisenberg N il para κ = 0, e P SL (R) para κ < 0. Em resumo, temos a tabela

  3

  

2

abixo. Os artigos [9] e [10] tratam destes dois tipos de variedades.

  κ > 0 κ = 0 κ < 0

  2

  2 H

  • τ = 0 S × R × R

  3 ^

  S τ N il P SL (R)

  6= 0 b

  3

  2 De fato, os n´ umeros κ e τ classificam as variedades Riemannianas homogˆeneas,

  simplesmente conexas, com grupo de isometrias de dimens˜ao quatro. J´a a classifica¸c˜ao dos espa¸cos homogˆeneos Riemannianos de dimens˜ao trˆes que n˜ao s˜ao simplesmente conexos ´e um problema complexo. Embora estas variedades sejam quociente de espa¸cos homogˆeneos, simplesmente conexos, nem todo subgrupo do grupo de isometrias deste quociente, que atue de forma pr´opria e descont´ınua, origina um novo espa¸co homogˆeneo, e ainda que resulte em um espa¸co homogˆeneo a dimens˜ao do grupo de isometrias pode diminuir.

  Entretanto, entre os quocientes dos exemplos da tabela acima existem alguns espa¸cos homogˆeneos interessantes, pois continuam tendo grupo de isometrias de dimens˜ao

  2

  quatro e, portanto, admitem tamb´em submers˜ao Riemanniana sobre M (κ) com curvatura

  2

  1

  2

  1

  3

  3

  fibrado τ . Estes s˜ao S , H , o espa¸co projetivo real RP = S /Z , mais geralmente

  2

  ×S ×S b

  3

  os espa¸cos lente S /Z n , n (R) e mais geralmente P SL (R)/Z n , n b ≥ 3, P SL

  2

  2

  ≥ 2. Ver [38] para mais informa¸c˜oes a respeito de tais espa¸cos. O interesse pelas variedades homogˆeneas simplesmente conexas tamb´em se rela- ciona com o trabalho de W. Thurston, feito nas d´ecadas de 60 e 70, quando ele define e classifica as chamadas “geometrias”de dimens˜ao trˆes. Para enunciar precisamente o resultado do Thurston precisamos de algumas defini¸c˜oes preliminares.

  Sejam X uma variedade diferenci´avel G e um grupo de Lie de difeomorfismos de

  X. Um atlas (X, G) de uma variedade M ´e um conjunto de difeomorfismos, ditos cartas, φ : U i i

  −→ X, i ∈ I, do aberto U i em M , tal que i i ´e uma cobertura de M e, sempre que U i j

  ∈I

  {U } ∪ U 6= ∅, as

  −1

  fun¸c˜oes φ i s˜ao localmente dadas por elementos de G. Dizemos que uma variedade M ´e j ◦φ modelada por (X, G), ou que admite uma estrutura (X,G), ou que ´e uma variedade (X, G), se M admite um atlas (X, G). A defini¸c˜ao fundamental para o trabalho de Thurston ´e a seguinte: uma geometria modelo ´e um par (X, G) consistindo de uma variedade suave conexa X e um grupo de Lie G de difeomorfismos de X tais que:

  (i) X ´e simplesmente conexa; (ii) G atua transitivamente em X e seus estabilizadores, com respeito a qualquer ponto, s˜ao compactos; (iii) G ´e maximal para a propriedade (ii) acima, ou seja, G n˜ao est´a estritamente contido em nenhum grupo de difeomorfismos de X com estabilizadores compactos; (iv)(X, G) modela alguma variedade compacta.

  Podemos dizer que a condi¸c˜ao (i) ´e natural j´a que qualquer variedade sempre ´e recoberta por uma simplesmente conexa. A condi¸c˜ao (ii) implica que X possui uma m´etrica completa, homogˆenea e G −invariante. (Ver [35], p´aginas 144-145)

  J´a a condi¸c˜ao (iii) diz que nenhuma m´etrica G −invariante pode ser invariante por um grupo maior, ou seja, X n˜ao admite um grupo maior de isometrias. Essa ´e uma propriedade necess´aria para qualquer resultado de classifica¸c˜ao.

  Finalmente, a condi¸c˜ao (iv) elimina as geometrias que n˜ao servem como modelo para qualquer variedade compacta. Dizemos que uma variedade M representa uma geometria modelo (X, G) se exis- tem f : M

  −→ X difeomorfismo e ϕ : Isom(M) −→ G isomorfismo tal que para todo g ∈ Isom(M) e todo x ∈ M, f(g(x)) = ϕ(g)(f(x)). Observe que se M ´e uma variedade

  Riemanniana completa, homogˆenea, simplesmente conexa, ent˜ao (Isom(M ), M ) ´e uma geometria modelo representada por M , se Isom(M ) n˜ao est´a propriamente contido em um grupo de isometrias de M com a outra m´etrica.

  ´ E poss´ıvel mostar que se (X, G) ´e uma geometria modelo, X admite uma m´etrica invariante pela a¸c˜ao de G tal que G ´e o grupo de todas as isometrias. Logo, se M ´e modelada por uma geometria modelo (X, G), ent˜ao M admite uma m´etrica localmente homogˆenea induzida pelo atlas (X, G). Neste caso, dizemos que M admite uma estrutura geom´etrica modelada por (X,G). Tamb´em ´e poss´ıvel mostar que se M ´e uma variedade compacta modelada por (X, G), ent˜ao M ´e o quociente de X por um grupo discreto de isometrias. Ent˜ao, para uma variedade compacta, ser modelada por uma geometria modelo (X, G) ´e equivalente a ser escrita como quociente de X por um grupo discreto de isometrias.

  Neste ponto, podemos enunciar o Teorema de Classifica¸c˜ao de Thurston das ge- ometrias tridimensionais: Teorema 1.0.3 (Thurston). Em dimens˜ao trˆes, existem exatamente oito geometrias (X, G).

  3

  3

  (i) Se os G estabilizadores dos pontos de M s˜ao tridimensionais, ent˜ao M ´e S , R ou

3 H , ou seja as variedades simplesmente conexas de curvatura seccional constante.

  (ii) Se os estabilizadores s˜ao unidimensionais, ent˜ao M fibra sobre uma das trˆes geo- metrias bidimensionais de maneira G-invariante; mais precisamente, existe uma m´etrica Riemanniana G-invariante em M tal que a conex˜ao ortogonal `as fibras tem curvatura 0 ou 1:

  2

  2

  • caso a curvatura seja zero, ent˜ao M ´e S × R ou H × R;

  2

  • caso a curvatura seja 1, M ´e a nil-geometria (a qual fibra sobre R ) ou a geometria

  ^

  2 do recobrimento universal P SL (R) (a qual fibra sobre H ).

  2

  (iii) A ´ unica geometria com estabilizadores de dimens˜ao zero ´e a solv-geometria ( a qual

  O Teorema acima constitui base para a Conjectura de Geometriza¸c˜ao de Thurs- ton, provada recentemente por Grigori Perelman. Esta conjectura afirma que toda 3- variedade compacta pode ser decomposta em peda¸cos que podem ser modelados pelas oitos geometrias citadas no Teorema de Thurston. Em outras palavras, entendendo toda a topologia e a geometria de variedades localmente homogˆeneas, as quais s˜ao modela- das pelas variedades homogˆeneas do Teorema de Thurston, compreenderemos qualquer 3-variedade. Para precisar o enunciado desta conjectura precisamos dos seguintes concei- tos. Ver [26].

  Dadas duas variedades compactas X, Y de dimens˜ao n, podemos construir uma variedade X#Y dita soma conexa de X e Y da seguinte maneira: destacamos de X e Y pequenas bolas compactas de dimens˜ao n. Como resultado, obtemos duas variedades com bordo difeomorfos a esfera (n

  − 1)-dimensional. Colando estes dois objetos pelos seu bordo comum, obtemos X#Y . Note que, da defini¸c˜ao anterior segue-se que a soma conexa de qualquer n- n n variedade X com a esfera S ´e difeomorfa a X. Em outras palavras, a esfera S funciona como um elemento neutro para a opera¸c˜ao # . Baseado nesta observa¸c˜ao, e por analogia com a aritm´etica dos n´ umeros inteiros, dizemos que uma variedade compacta tridimensi-

  3

  onal X ´e prima se X n˜ao ´e difeomorfa a S e toda decomposi¸c˜ao de X como soma conexa

  3

  de duas variedades possui um dos fatores igual a S . Acerca deste ´ ultimo conceito, temos o seguinte teorema de “fatora¸c˜ao ´ unica”: Teorema 1.0.4 (Kneser, 1929). Toda 3-variedade compacta possui uma decomposi¸c˜ao como soma conexa de 3-variedades primas (ditas fatores primos). Mais ainda, esta de- composi¸c˜ao ´e ´ unica a menos de permuta¸c˜ao dos fatores primos. Finalmente, existem apenas uma quantidade enumer´avel de 3-variedades primas (m´odulo difeomorfismo).

  Em outras palavras, o Teorema nos diz que para entender 3-variedades compactas basta compreender bem as 3-variedades primas. Diz que a quantidade de tais variedades ´e enumer´avel, mas nada afirma sobre quais s˜ao elas. Neste sentido, Thurston propˆos a seguinte conjectura recentemente provada por G. Perelman Teorema 1.0.5 (Perelman). Toda 3-variedade compacta prima possui uma cole¸c˜ao dis- junta de toros e garrafas de Klein (bidimensionais) tal que toda componente conexa do seu complementar ´e modelada por alguma das geometrias de Thurston.

  Uma consequˆencia famosa deste Teorema ´e a Conjectura de Poincar´e segundo a

  3 qual a ´ unica 3-variedade compacta simplesmente conexa ´e S .

  Na ´ ultima parte deste cap´ıtulo, trataremos das geometrias citadas pelo Teorema de Thurston e mais as esferas de Berger As esferas de Berger n˜ao entram na classifica¸c˜ao

  3

  esferas de Berger est´a contido no grupo de isometrias da esfera canˆonica S . Tais esferas

  3 s˜ao deforma¸c˜oes da m´etrica canˆonica de S .

1.1 As Formas Espaciais As variedades Riemannianas de curvatura seccional constante s˜ao as mais simples.

  A propriedade importante deses espa¸cos ´e que eles possuem um n´ umero suficientemente n n n grande de isometrias. As variedades R , S e H s˜ao completas e simplesmente conexas. Mostra-se em [6] que estas s˜ao essencialmente as ´ unicas variedades Rimenannianas com- pletas, simplesmente conexas, com curvatura seccional constante. Tais variedades s˜ao chamadas de formas espaciais.

  3

1.1.1 O Espa¸co R

3 Definimos o espa¸co Euclidiano R com a m´etrica dada por

  2

  2

  2

  2

  ds = dx + dy + dz ,

  3

  dita m´etrica Euclidiana. Com respeito as coordenadas canˆonicas de R , qualquer isometria

  3

  α de R pode ser expressa como α(v) = Av + b,

  3

  onde v ´e um vetor de R e A ∈ O(3), onde O(3) ´e o grupo dos isomorfismos lineares

  3

  3

  ortogonais de R . Se A , a isometria acima ´e uma transla¸c˜ao ∈ O(3), ´e a identidade I de R

  3

  pura. Mudando a origem de R , se necess´ario, podemos escrever cada elemento do grupo

  3

  3

  3

  de isometrias de R , Isom(R ), que fixa algum ponto de R como v 7→ Av. O grupo

  3

3 Isom(R ) age transitivamente em R e com estabilizador de ponto O(3), cuja componente

  • conexa da identidade ´e SO(3) = , o subgrupo dos

  {A ∈ O(3) : det A = 1} = O(n) elementos que preservam orienta¸c˜ao.

  3 Uma variedade de dimens˜ao trˆes ´e dita Euclidiana se ´e escrita como R /G, onde

  3

  3 G ´e um subgrupo do grupo Isom(R ) discreto e age livremente em R . ´ E interessante,

  3

  ent˜ao, descrever as isometrias de R sem pontos fixos. Se ϕ ´e uma tal isometria, temos trˆes possibilidades:

  • ϕ ´e uma transla¸c˜ao pura;
  • ϕ ´e uma transla¸c˜ao seguida de uma reflex˜ao por um plano paralelo `a dire¸c˜ao de transla¸c˜ao;
  • ϕ ´e uma transla¸c˜ao seguida de uma rota¸c˜ao em um eixo paralelo `a dire¸c˜ao de

  As ´ unicas variedades Euclidianas compactas de dimens˜ao dois s˜ao o toro e a garrafa de Klein (vide [34], p. 410). J´a a classifica¸c˜ao das variedades Euclidianas de dimens˜ao trˆes ´e bem mais dif´ıcil e ´e feito em [35], p. 231-242 e em [34] p. 443-448.

  3 Os s´ımbolos de Christoffel e a conex˜ao de Levi-Cita em R s˜ao identicamete nulos.

  3 Consequentemente, a curvatura seccional de R ´e constante e igual a zero.

  3

  1.1.2 O Espa¸co H

  3 O espa¸co hiperb´olico H representa a mais rica das oito geometrias. A maioria

  das variedades de dimens˜ao trˆes que admite uma estrutura geom´etrica modelada por

  3

  uma geometria modelo s˜ao hiperb´olicas, ou seja s˜ao escritas como quociente de H por um grupo discreto de isometrias. Nesta sec¸c˜ao trataremos de alguns fatos b´asicos da

  2

  geometria hiperb´olica. Para mais detalhes vide [40]. Come¸camos nosso estudo por H , o plano hiperb´olico. Existem trˆes modelos para o plano hiperb´olico: o modelo do semi- plano, o modelo do disco e o modelo do hiperbol´oide. Estes trˆes modelos s˜ao isom´etricos, veja [24]. A depender do contexto usamos um ou outro modelo. Por exemplo, as simetrias

  2

  de H s˜ao facilmente vista no modelo do hiperbol´oide; enquanto que a express˜ao da m´etrica no modelo do disco e do semi-plano deixa claro que o espa¸co hiperb´olico ´e conformemente localmente flat. A seguir, descreveremos o modelo do semi-plano e do disco de Poincar´e. O modelo do semi-plano. Considere o conjunto

  2 H

  = {z ∈ C; Im(z) > 0}, munido da m´etrica

  2

  |dz| H

  2 2

  ds = ,

  2 Im (z)

  2 onde denota a m´etrica Euclidiana em C.

  |dz|

  2

  2 2 O conjunto H com a m´etrica ds ´e uma variedade Riemanniana chamada modelo H do semi-plano para o plano Hiperb´olico. O eixo real junto com o ponto infinito ´e chamado

  2

  2 H

  de bordo assint´otico de H e denotaremos por ∂ . Isto ´e,

  ∞

  2 H

  ∂ =

∞ {z ∈ R} ∪ {∞}.

  2 Existem trˆes tipos de curvas especiais em H : as geod´esicas, os c´ırculos e os horociclos. Os horociclos s˜ao linhas horizontais ou c´ırculos tangentes ao bordo assint´otico.

  ´ E poss´ıvel mostrar que todo horociclo ´e levado em outro horociclo por uma isometria de

  2 H .

  2

  2 H

  As geod´esicas de H s˜ao os semi-c´ırculos ortogonais ao ∂ e as semi-retas

  ∞

  2 H verticais partindo de ∂ .

  2 Figura 1.1: O plano hiperb´olico H .

  2 Figura 1.2: As geod´esicas de H .

2 Denotaremos por Isom(H ) o grupo de isometrias do espa¸co hiperb´olico. A

  proposi¸c˜ao a seguir pode ser encontrada em ([40], Cap´ıtulo 2) e descreve os elementos

  2 de Isom(H ).

  2

  2 Proposi¸c˜ ao 1.1.1. O grupo de isometrias Isom(H ) do espa¸co hiperb´olico H ´e dado por

  [ az + b −a¯z − b

2 Isom(H ) = z , ad z , ad ,

  −→ − bc = 1 −→ − bc = 1 cz + d c¯ z + b onde a, b, c, d ∈ R.

  2 A seguir, vamos descrever o comportamento das isometrias positivas de H , isto

  2 ´e, que preservam a orienta¸c˜ao de H .

2 Seja T uma isometria de H diferente da identidade, ou seja,

  az + b T (z) = , cz + d

  2

  2 H

  onde a, b, c, d ´e fixado por T se, e somente

  ∞

  ∈ R e ad − bc = 1. Um ponto z ∈ H ∪ ∂ se, T (z) = z. Ent˜ao az + b T (z) = z = z

  ⇐⇒ cz + d

  2

  • (d ⇐⇒ cz − a)z − b = 0 p

  2

  (d + 4bc) −(d − a ± − a) .

  ⇐⇒ z = 2c

  Tendo em conta que ad − bc = 1, temos que 4bc = 4ad − 4 e p

  2

  a (a + d) + 4bc) − d ± T (z) = z .

  ⇐⇒ z = 2c Logo, T tem no m´aximo dois pontos fixos.

  Observe que se c = 0, ent˜ao T (z) = az + b e ∞ ´e um ponto fixo para T . Se al´em disso a = 1, ent˜ao temos a = d = 1, pois ad

  − bc = 1. Logo, p

  2

  (a + d) + 4bc ± z =

  2c e n˜ao existe outro ponto fixo diferente do infinito. Se a 6= 1, ent˜ao o outro ponto ´e um n´ umero real. Isto motiva a seguinte classifica¸c˜ao.

  2 Existem trˆes tipos de isometrias positivas de H .

  2

  1. Se c

  1 , x

  2 6= 0 e (a + d) − 4 > 0, ent˜ao T possui dois pontos fixos distintos, x ∈ R.

  Se T (z) = az + b, com a 6= 1, T tem um um ponto fixo real e o outro ponto fixo ´e

  2 H

  . Neste caso,

  ∞

  ∞. Em ambos os casos T possui dois pontos fixos distintos em ∂ dizemos que T ´e uma isometria hiperb´olica.

  2

  2. Se c 6= 0 e (a + d) − 4 = 0, T tem um ponto fixo real duplo. Se T (z) = z + b,

  2 H

  b . Assim, T tem um ´ unico ponto fixo

  ∞

  6= 0, ∞ ´e o ´unico ponto fixo de T em ∂

2 H

  em ∂ . Neste caso, dizemos que T ´e uma isometria parab´olica

  ∞

  2

  3. Se c 6= 0 e (a + d) − 4 < 0, T tem dois pontos fixos em C, e um ´unico ponto fixo

  2 em H . Neste caso, dizemos que T ´e uma isometria el´ıptica.

  Agora, vamos descrever brevemente o comportamento de cada uma das isometrias

  2 de H .

  2 H

  A isometria Hiperb´ olica. Sejam z , z os dois pontos fixos de T . Denote por γ

  1 2 ∞

  ∈ ∂

  2

  a geod´esica completa em H ligando o ponto z ao ponto z . Ent˜ao γ ´e fixada por T . Al´em

  1

  2

  2

  disso, T age por transla¸c˜ao ao longo de γ. Observe que γ divide H em duas componentes

  2

  conexas. Seja z e seja β a geod´esica completa passando por z e ortogonal a γ. Seja ∈ H

  ω = γ = T (β), ent˜ao β ´e uma geod´esica completa, passando por T (ω ) e

  1

  1

  1

  1

  ∩β, e denote β ortogonal a γ no ponto T (ω ). A imagem T (z) permanece em β e na mesma componente

  1

  1

  2 Figura 1.3: Uma isometria hiperb´olica em H .

  conexa que cont´em z. Como T ´e uma isometria, temos d(z, z ) = d(T (z), T (ω )), onde

  1

  1

  2 d(., .) denota a distˆancia em H .

  

2

  2 H

  Isometria Parab´ olica. Sejam z

  1 ∞ e z . Denote por C o horociclo que

  ∈ ∂ ∈ H cont´em z e passa por z . Ent˜ao C ´e fixado por T e , portanto, T (z)

  1 ∈ C.

  2 Figura 1.4: Uma isometria parab´olica em H .

  2

  2 Isometria El´ıptica. Seja z o ´ unico ponto fixo de T em H . Denotamos por γ a

  1

  ∈ H ´ unica geod´esica completa conectando os pontos z

  , z, e denote por β = T (γ) a geod´esica

  1

  completa conectando os pontos T (z) e T (z ) = z , isto ´e, T age como uma rota¸c˜ao em

  

1

  1 torno de z .

  1

  2 Figura 1.5: Uma isometria el´ıptica em H .

  2 O modelo do Disco de Poincar´ e . Um outro modelo para H ´e o disco de Poincar´e

  que ´e o disco unit´ario D = {w ∈ C; |w| < 1} munido com a m´etrica

  4

  2

  2 ds D = .

  |dw|

  2

  2 O bordo assint´otico de D ´e denotado e definido por ∂

  ∞ D = {w ∈ C; |w| = 1}.

  Denotando por Isom(D) o grupo de isometrias de D, temos a seguinte proposi¸c˜ao que pode ser encontrada em ([40]). Proposi¸c˜ ao 1.1.2. O grupo de isometrias Isom(D) do disco de Poincar´e ´e dado por aw + ¯ c

  Isom(D) = w ; a, c .

  −→ ∈ C, a¯a − c¯c = 1 cw + ¯ a Figura 1.6: O disco de Poincar´e de dimens˜ao dois com sua geod´esicas. Uma observa¸c˜ao importante ´e que o mapa

  

2

  ϕ : H −→ D definido por z

  − i ϕ(z) = z + i

  2

  2

  ´e uma isometria. Ou seja, H e D s˜ao isom´etricos. Assim, as propriedades de H s˜ao levadas em D por esta isometria. Em particular, a classifica¸c˜ao das isometrias ´e a mesma.

  2

  3 Baseado nas informa¸c˜oes sobre H trataremos agora de H . n

  De forma geral definimos H por n , . . . , x n ) n > 0

1 H = {(x ∈ R |x },

  munido com a m´etrica

  2

  2

  dx + . . . + dx H 1 n g = .

  2

  x n Assim como no caso de dimens˜ao dois, a curvatura seccional ´e constante igual a −1. n n

  2

  

3

  isom´etrico a H . Asssim, as geod´esicas de H s˜ao os semic´ırculos que interceptam ∂R = n n

  • , . . . , x n ) ; x n = 0 .

  1

  {(x ∈ R } ortogonalmente, e as semirretas verticais partindo de ∂R + Veja [6], p. 180.

  3 Figura 1.7: As geod´esicas de H .

  3 O grupo Isom(H ) ´e gerado por reflex˜oes em semi-esferas com centro em z

  1

  ∈

  3 H

  ∂ , onde os planos verticais s˜ao pensados como esferas. ´ E a generaliza¸c˜ao do caso

  ∞

  3

  bidimensional. Um eixo de g ) ´e uma geod´esica preservada por g. Lembrando ∈ Isom(H que P SL (C) = SL (C)/ (C) ´e o grupo das matrizes complexas 2

  2

  2

  2

  {I, −I}, onde Sl ×2 com determinande um, e I ´e a matriz identidade. Como no caso bidimensional as isometrias podem ser el´ıpticas, hiperb´olicas ou parab´olicas. Temos a seguinte proposi¸c˜ao.

  3 Proposi¸c˜ ao 1.1.3. O grupo das isometrias positivas de H ´e isomorfo a P SL(2, C). Se

  3

  g ´e uma isometria positiva de H , temos as seguintes possibilidades:

  • g tem um ´ unico eixo γ, fixo ponto a ponto, e nenhum ponto fixo fora de γ. Nesse caso, g ´e dita uma isometria el´ıptica ou uma rota¸c˜ao em γ;
  • g tem um ´ unico eixo γ e age em γ por transla¸c˜ao. Os ´ uicos pontos fixos de g s˜ao os

3 H

  dois pontos de γ . Nesse caso, g ´e dita uma isometria hiperb´olica;

  ∞

  ∩ ∂

  3 H

  • g n˜ao tem eixo e tem somente um ponto fixo, que pertence a ∂ . Nesse caso, g ´e

  ∞ dita uma isometria parab´olica.

  Para uma demonstra¸c˜ao dessa proposi¸c˜ao vide [34], p. 448-449 ou [35], p. 86-87, 98-99.

  Vamos dar uma descri¸c˜ao das isometrias el´ıpticas, hiperb´olicas e parab´olicas em termos de compostas de reflex˜oes. Sejam g e g reflex˜oes em semi-esferas S e S , res-

  

1

  2

  1

  2 pectivamente.

  3 - Se S e S interceptam-se em H , g ´e uma rota¸c˜ao no eixo γ = S .

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  ◦ g ∩ S

  3 Figura 1.8: Uma isometria el´ıptica em H .

  3 H - Se S e S interceptam-se em um ´ unico ponto de ∂ , g ´e parab´olica.

  1

  2 ∞

  1

  2

  ◦ g

  3 Figura 1.9: Uma isometria parab´olica em H .

  3 3 ′

  H

  • Se S e S n˜ao se interceptam em H , g preserva a ´ unica geod´esica γ

  1 2 ∞

  1

  2

  ∪ ∂ ◦ g

  ′

  perpendicular a S e S simultaneamente e age em γ por transla¸c˜ao. Ent˜ao g

  1

  2

  1

  2

  ◦ g

  ′

  ´e hiperb´olica. Se compusermos g com uma rota¸c˜ao em γ , ainda temos uma

  1

  

2

  ◦ g isometria hiperb´olica. Pode-se verificar que todas as isometrias el´ıpticas, parab´olicas e hiperb´olicas po-

  3

  dem ser obtidas como acima. Al´em disso, todas as isometrias positivas de H s˜ao com- postas de tais isometrias. Veja [40], p. 192-193.

  3 Figura 1.10: Uma isometria hiperb´olica em H .

  3

1.1.3 O Espa¸co S

  3

  4 Definimos S como a esfera unit´aria com centro na origem de R , isto ´e,

  3

  

4

  2

  2

  2

  2 S

  = , x , x , x ) ; x + x + x + x = 1

  1

  2

  3

  4

  {(x ∈ R

  1

  2

  3 4 },

  com a m´etrica induzida

  4

  4R g = g , ¯

  

2

  2

  2

  ( + R ) |u|

  4

  2

  2

  2

  2

  4

  onde u e ¯ g = dx +dx +dx +dx ´e a m´etrica canˆonica de R . A curvatura seccional ∈ R

  1

  2

  3

  4

  3

  3

  3

  de S ´e constante igual a 1 e Isom(S ) ´e isomorfo a O(4). As geod´esicas completas de S

  4

  3

  s˜ao os grandes c´ırculos com centro na origem de R , determinados pela intersec¸c˜ao de S

  4 com um plano de R que passa pela origem.

  A reflex˜ao em rela¸c˜ao a um subespa¸co tridimensional π de dimens˜ao trˆes que passa

  3

  3

  pela origem induz uma isometria de S , dita uma reflex˜ao na esfera π de dimens˜ao ∩ S dois que , por sua vez, ´e dita esfera geod´esica . Tais reflex˜oes geram O(4). Uma isometria

  3

  importante de S ´e a aplica¸c˜ao ant´ıpoda A : x 7−→ −x.

  3

  3 Esta isometria preserva orienta¸c˜ao de S . A variedade quociente S /

  hAi, ´e chamado espa¸co projetivo de dimens˜ao trˆes.

  3

  3 Topologicamente, S ´e equivalente a R

  ∪ {∞} atrav´es do homeomorfismo cha-

  4

  mado proje¸c˜ao estereogr´afica que descreveremos no que se segue. Assim, consideremos R e a base ortonormal canˆonica , e , e , e , e , e que {e

  1

  2

  3 4 }. Seja π o hiperplano gerado por e

  1

  2

  3

  3 denotaremos por R .

3 Seja x . Definiremos o homeomorfismo

  ∈ S

  3

  3 P : S

  −→ π ∪ {∞} ≃ R ∪ {∞}

  4

  da seguinte forma. Se x , consideremos a reta r x em R passando por x e e e definimos

  4

  4

  6= e P (x) = r x

  4 ) = ∩ π. Para que P seja, de fato, um homeomorfismo definimos P (e ∞.

  

3

  4

  2 Uma observa¸c˜ao importante sobre S ´e que identificando R com C , a equa¸c˜ao

  4

  2

  2

  2

  • que define uma esfera unit´aria em R torna-se = 1, onde z, w . Neste |z| |w| ∈ C

  2

  caso, cada linha complexa (subespa¸co de dimens˜ao um) pode ser visto como sendo C

  3

  2

  intersectando S em um grande c´ırculo S , chamado c´ırculo de Hopf. Assim, a fam´ılia

  3

  de c´ırculos de Hopf cobrem S e existe uma correspondˆencia um a um com as linhas

  2

  3

  2

  1

  complexas de C , isto ´e, um feixe fibrado π : S , com fibra S . Esta estrutura ´e −→ S

  3 a chamada fibra¸c˜ao de Hopf. Para mais detalhes sobre S vide [35], p. 103-108 e [34], p.

  449-457.

  Figura 1.11: O fibrado de Hopf sobre a proje¸c˜ao estereogr´afica.

  

1.2 Os Espa¸cos Homogˆ eneos com grupo de isometria

4-dimensional

  Nesta se¸c˜ao vamos considerar as variedades homogˆeneas Riemannianas de di- mens˜ao trˆes, cujo grupo de isometrias tem dimens˜ao 4, denotadas por E(κ, τ ). Tais

  2

  variedades s˜ao fibra¸c˜oes Riemannianas sobre uma forma espacial bidimensional M (κ) tendo curvatura Gaussiana κ. Isto ´e, existe uma submers˜ao Riemanniana

  2

  π : E(κ, τ ) (κ) −→ M a qual tamb´em ´e uma submers˜ao de Killing. Se E(κ, τ ) n˜ao ´e compacta, ent˜ao E(κ, τ ) ´e

  2

  topologicamente M (κ) × R, onde cada fibra ´e difeomorfa a R, e a curvatura fibrado da submers˜ao ´e τ . Se E(κ, τ ) ´e compacto, com κ > 0 e τ

  6= 0, ent˜ao E(κ, τ) s˜ao as esferas de

1 Berger, com cada fibra difeomorfa a S .

  O campo unit´ario de vetores tangentes as fibras ´e um campo de vetores de Killing o qual denotaremos por ξ. Este campo ser´a chamado de campo vertical. Estas variedades s˜ao classificadas, a menos de isometrias, pela curvatura κ da superf´ıcie base da submers˜ao

  2

  e da curvatura fibrado τ , onde κ e τ podem ser qualquer n´ umero real satisfazendo κ 6= 4τ

  2

  • E(κ, τ ) = H × R, se κ < 0 e τ = 0;

  2

  • E(κ, τ ) = S × R, se κ > 0 e τ = 0;
  • E(κ, τ ) = N il

  3 (espa¸co de Heisenberg), se κ = 0 e τ

  6= 0; ^

  • E(κ, τ ) = P SL (R), se κ < 0 e τ

  2

  6= 0;

  3

  • E(κ, τ ) = S (esferas de Berger), se κ > 0 e τ τ 6= 0.

  Antes de come¸car a estudar a geometria dos espa¸cos E(κ, τ ) vamos fazer uma breve discuss˜ao sobre fibra¸c˜ao e submers˜ao Riemanniana. Para maiores detalhes ver [17],[6] e [29].

  Sejam E, B, F espa¸cos topol´ogicos. Uma fibra¸c˜ao localmente trivial, com espa¸co total E, base B e fibra t´ıpica F ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua P : E −→ B com a seguinte propriedade: para todo x

  ∈ B existe uma vizinhan¸ca U ∋ x e um homeomorfismo

  −1

  ϕ U : U (U ), × F −→ p tal que p U = P U , onde P U : U

  ◦ ϕ × F −→ U ´e a proje¸c˜ao na primeira coordenada. A igualdade P (ϕ U (x, y)) = x significa que, para cada x U leva ∈ U, ϕ {x} × F homeomorfi-

  −1 −1

  camente sobre P . Assim, a imagem inversa P (x) de cada ponto de B ´e homeomorfa `a fibra t´ıpica F . Desse modo comuta o seguinte diagrama ϕ U // −1

  U P (U ) × F P U %% P

  U Cada uma das vizinhan¸cas U acima chama-se uma vizinhan¸ca distinguida e o homeomorfismo ϕ U diz-se uma trivializa¸c˜ao local. Para cada x x :=

  ∈ B, defini-se E

  −1

  P (x) x ⊂ E a fibra sobre x e assim E ≃ F , para todo x ∈ B.

  Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel entre variedades M e M n +k n π : M

  −→ M ´e uma submers˜ao se π ´e sobrejetiva, e, para todo ¯ p p : T p M M tem posto

  ¯ ¯ π (p)

  ∈ M, dπ −→ T

  −1

  n. Neste caso, para todo p (p) = F p ´e uma subvariedade de M . Um vetor ∈ M, a fibra π tangente de M ´e chamado vertical se ´e tangente a alguma fibra F p , p

  ∈ M. Denotemos por H e V os subespa¸cos formado pelos vetores horizontais e verticais de M , respectivamente h v e X e X as proje¸c˜oes nos subespa¸cos horizontal e vertical, respectivamente. Assim, qualquer vetor v tangente a M pode ser decomposto em parte vertical e horizontal, ou v h seja, podemos escrever v = v + v . A submers˜ao π diz-se Riemanniana se, para todo p p M π M

  (p)

  ∈ M, dπ : T −→ T preserva comprimento de vetores horizontais, isto ´e, dπ | H : T p M π (p) M

  −→ T ´e uma isometria.

  Usaremos a nota¸c˜ao ¯ p e p, bem como X e X, para pontos e campo de vetores que s˜ao π −relacionados, isto ´e, tais que π(¯ p) = p e d(πX) = X.

  Se X ´e um campo de vetores em M , ent˜ao existe um ´ unico campo de vetores X em M tal que X ∈ H e dπ(X) = X. Chamamos X o levantamento horizontal de X. Al´em disso, temos a seguinte Proposi¸c˜ao que pode ser encontrada em [29].

  Proposi¸c˜ ao 1.2.1. Seja T um campo de vetores em M vertical e X, Y, Z compos de vetores em M com levantamentos horizontais X, Y , Z, respectivamente. Ent˜ao 1. [T, X] ´e vertical; 2. h[X, Y ], Zi = h[X, Y ], Zi;

  3. Y , T h[X, Y ], T i = 2h∇ X i;

  1 v v

  4. Y = Y + [X, Y ] , onde [X, Y ] ´e a componente vertical de [X, Y ]; XX ∇

  2 5. [X, Y ] ´e π-relacionado a [X, Y ];

  3 v

  2

  6. K(X, Y ) = K(X, Y ) + , onde K e K denotam a curvatura seccional de k[X, Y ] k

  4 M e M , respectivamente. A seguir descreveremos dois tensores que aparecem naturalmente quando traba- lhamos com uma submers˜ao. Para mais detalhes ver [31]. Dados X, Y v h h v ∈ X(M) definimos

  • T
  • X Y = X Y v v X Y , ∇ ∇ h v v h

      A X Y = X Y h h X Y , ∇ ∇

    • onde

      ∇ denota a conex˜ao em M. Algumas propriedades dos tensores T e A s˜ao: v

    • T ´e vertical, isto ´e, T X = T X ; h
    • A ´e horizontal, isto ´e, A = A ;
    • X X<
    • T Z W = T W Z, para todo campo Z, W vertical;
    • A X Y = Y X, para todo campo X, Y horizontal.

      −A A seguir definiremos submers˜ao de Killing, veja [33], e apresentaremos alguns resultados relacionados com este tipo de submers˜ao. A importˆancia de tal submers˜ao para nosso estudo vem do fato que os espa¸cos homogˆeneos com grupo de isometria de dimens˜ao quatro ´e um caso particular das submers˜oes de Killing.

      Consideremos M uma variedade Riemanniana de dimens˜ao trˆes tal que π : M −→

      2 M ´e uma submers˜ao Riemanniana sobre uma superf´ıcie (M , g) com curvatura de Gauss

      2

      κ, e as fibras, isto ´e, a imagem inversa de um ponto em M por π, s˜ao trajet´orias de um campo de vetores Killing unit´ario ξ e, portanto, geod´esicas. Denotaremos por R h, i, ∇, ∧, ¯ e [ ] a m´etrica, a conex˜ao de Levi-Cita, o produto exterior, o tensor curvatura e o colchete de Lie em M , respectivamente. Al´em disso, associado a ξ consideraremos o operador

      J : X(M ) −→ X(M) dado por

      JX := X ∧ ξ, onde X

      ∈ X(M).

      A Proposi¸c˜ao a seguir nos mostra como ´e poss´ıvel associar uma fun¸c˜ao real a variedade ambiente M . Este resultado, bem como o posterior, podem ser encontrados em [13]. Proposi¸c˜ ao 1.2.2. Seja M como descrita acima. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao τ : M

      −→ R tal que X ξ = τ X ∇ ∧ ξ.

      Prova. Seja X ∈ X(M). Como ξ ´e um campo de Killing, temos da equa¸c˜ao de Killing X ξ, X ξ, X X h∇ i + h∇ i = 0.

      Ou seja,

      2 X ξ, X h∇ i = 0 e X ξ, X h∇ i = 0.

      Como ξ ´e unit´ario, temos 0 = X X ξ, ξ X ξ hξ, ξi = h∇ i + hξ, ∇ i = 2 X ξ, ξ h∇ i. Assim, e o campo X ξ ´e ortogonal a X e a ξ. Como M tem dimens˜ao trˆes, conclu´ımos que para ∇ todo campo horizontal X X : M

      ∈ X(M), existe τ −→ R tal que X ξ = τ X X ∇ ∧ ξ.

      Vamos mostrar que a fun¸c˜ao τ X n˜ao depende do campo X. De fato, seja {X, Y } ∈

      X (M ) uma base ortonormal de vetores horizontais tal que det(X, Y, ξ) = 1. Temos X ξ = τ X X (1.1)

      ∇ ∧ ξ Y Y ξ = τ Y (1.2) ∇ ∧ ξ. Logo, basta provar que τ X = τ Y . Tomando o produto escalar de (1.1) e Y , e o produto escalar de (1.2) e X, temos X ξ, Y X X det(X, ξ, Y ) h∇ i = τ hX ∧ ξ, Y i = τ

      = X det(X, Y, ξ) −τ

      = X , Y ξ, X Y Y det(Y, ξ, X) −τ h∇ i = τ hY ∧ ξ, Xi = τ = τ Y det(X, Y, ξ) = τ Y . Como ξ ´e um campo de Killing, temos 0 = X ξ, Y Y ξ, X h∇ i + h∇ i

      = X + τ Y , −τ ou seja,

      τ X = τ Y . A Proposi¸c˜ao anterior torna natural a seguinte defini¸c˜ao. Uma submers˜ao Rie-

      2

      manniana sobre uma superf´ıcie M , cujas fibras s˜ao trajet´orias de um campo de vetores de Killing unit´ario ξ ´e chamada de Submers˜ao de Killing e denotaremos por M (κ, τ ), onde κ ´e a curvatura de Gauss de M(κ) e τ ´e dado na Proposi¸c˜ao 1.2.2.

      Nosso objetivo agora ´e calcular a curvatura seccional K(X, Y ) de qualquer plano gerado por X, Y ∈ X(M(κ, τ)).

      Proposi¸c˜ ao 1.2.3. Seja M (κ, τ ) uma submers˜ao Riemanniana com campo de Killing unit´ario ξ. Seja {X, Y } ∈ T M(κ, τ) uma base ortonormal de vetores horizontais tal que

      {X, Y, ξ} ´e orientada positivamente. Ent˜ao

      2 K(X, Y ) = κ ,

      − 3τ

      2 K(X, ξ) = τ . Prova. A curvatura seccional de M (κ, τ ) ´e dado por K(X, Y ) = K(X, Y )

      −

      =

      2 hY, ∇ X ξ, i +

      1

      2 hX, ∇ Y ξ i =

      −

      1

      2 hY, τX ∧ ξi +

      1

      2 hX, τY ∧ ξi =

      −

      1

      2 τ hY, X ∧ ξi +

      1

      2 τ hX, Y ∧ ξi

      1

      −

      2 τ det(X, Y, ξ) +

      1

      2 τ det(X, Y, ξ)

      =

      1

      2 τ +

      1

      2 τ = τ, onde usamos que a base

      {X, Y, ξ} ´e orientada positivamente. Logo, A X Y = τ ξ, e A X Y ´e vertical. Portanto,

      K(X, Y ) = κ − 3kA X Y k

      2

      = κ − 3kτξk

      2

      2

      1

      2 h∇ Y X, ξ i =

      3 kA X Y k

      1

      2

      kX ∧ Y k

      2

      , onde K(X, Y ) ´e a curvatura da base de fibra¸c˜ao M

      2

      veja [31]. Como X, Y s˜ao ortonormais, temos K(X, Y ) = κ

      − 3kA X Y k

      2 .

      Usando que A X Y =

      1

      2 [X, Y ] v (vide [31],Lema 2), temos que hA X Y, ξ i = h

      1

      2 [X, Y ] v , ξ i =

      2 h[X, Y ] v , ξ i

      1

      =

      1

      2 h[X, Y ], ξi =

      1

      2 hh∇ X Y − ∇ Y X, ξ i =

      1

      2 h∇ X Y, ξ i −

      1

      2 h∇ Y X, ξ i.

      Tendo em conta que 0 = X hX, Y i = h∇ X Y, ξ i + hY, ∇ X ξ i, e

      0 = Y hX, ξi = h∇ Y X, ξ i + hX, ∇ Y ξ i, conclu´ımos que h∇ X Y, ξ i = −hY, ∇ X ξ i, h∇ Y X, ξ i = −hX, ∇ Y ξ i.

      Assim, temos hA X Y, ξ i =

      1

      2 h∇ X Y, ξ i −

      2 ou seja,

      2 K(X, Y ) = κ .

      − 3τ Agora, novamente usando o Corol´ario 1 de [31], temos que a curvatura seccional de um plano gerado por um vetor horizontal X e um vetor vertical V ´e

      2

      2

      2

      2 K(X, V ) = X τ ) V V, X X V V X .

      kXk kV k h(∇ i + kA k − kT k Ent˜ao,

      2

      2 K(X, ξ) = X τ ) ξ ξ, X X ξ ξ X .

      h(∇ i + kA k − kT k Por outro lado, h h h v v h h

      A X ξ = ( ξ ) + ( ξ ) = ( X X X ξ) , ∇ ∇ ∇ ou seja, A X ξ ´e um campo horizontal. Ent˜ao, X ξ, X X ξ) , X h X ξ, X hA i = h(∇ i = h∇ i

      = hτX ∧ ξ, Xi = −τhY, Xi = 0 e X ξ, Y X ξ) , Y h X ξ, Y hA i = h(∇ i = h∇ i

      = hτX ∧ ξ, Y i = −τhY, Y i =

      −τ, ou seja, A ξ = X −τ. Assim, X ξ .

      2

      2

      kA k = k − τY k = τ kY k = τ Por outro lado, v v v h h v v

      T ξ X = ( ξ X ) + ( ξ X ) = ( ξ X) , ∇ ∇ ∇ ou seja, T ξ X ´e vertical. Ent˜ao ξ X, ξ ξ X) , ξ v hT i = h(∇ i

      = ξ X), ξ h(∇ i. Al´em disso, logo ξ X), ξ ξ ξ h∇ i = −hX, ∇ i. Como as fibras s˜ao geod´esica, ξ ξ = 0 e conclu´ımos que

      ∇ ξ X, ξ ξ ξ hT i = −hX, ∇ i = 0, o que implica que

      2 T X = 0 e ξ ξ X = 0.

      kT k Z T ´e Finalmente, usando a defini¸c˜ao de derivada covariante de um tensor temos que ∇

      ( Z T ) X Y = Z (T X Y ) Y X X ( Z Y ). ∇ ∇ − T ∇ Z − T ∇ h

      Tendo em conta que ξ ξ = 0, T ξ X = 0, T ξ ξ = ( ξ ξ) , X ξ = ∇ ∇ ∇ −τY e ξ(τ) = 0, temos

      ( X T ) ξ ξ = X (T ξ ξ) ξ ξ ( ξ X ξ) ∇ ∇ − T ∇ h X − T ∇

      = X ( ξ ξ) + τ T Y ξ + T ξ (τ Y ) ∇ ∇ v

      = T (τ Y ) = ( (τ Y )) ξ ξv

      = (ξ(τ )Y + τ ξ Y ) v ∇ = (τ ξ Y ) .

      ∇ Portanto, X T ) ξ ξ, X ξ Y ) , X v h∇ i = h(τ∇ i = 0.

      Em resumo,

      2

      2

    2 X ξ

      ξ = τ , X = 0 e τ ) ξ, ξ X ξ kA k kT k h(∇ i = 0. Temos, ent˜ao

      2 K(X, Y ) = τ .

      Agora, vamos apresentar um referencial ortonormal para o espa¸co E(κ, τ ), com τ 6= 0. Para mais detalhes veja [9].

      Suponha que τ 6= 0. A variedade E(κ, τ) possui localmente um referencial orto- normal (E , E , E ) com

      1

      2

    3 E = ξ.

      3 Uma vez que k

      Γ = E i E j , E k ij h∇ i, podemos calcular os s´ımbolos de Christoffel da conex˜ao Riemanniana ∇. Como, para todo campo de vetores X, vale Logo, [E , E ] = τ E + τ E = 2τ E .

      

    3

    .

      − ∇ E 2 E

      2

      ) um referencial ortonormal, ent˜ao valem, ∇ E 1 E

      3

      , E

      2

      , E

      1

      Al´em disso, sendo (E

      1 .

      2

      1

      ] = ∇ E 1 E

      2

      , E

      1

      [E

      Como a conex˜ao Riemanniana ∇ ´e sim´etrica, temos

      ∈ R e σ ´e um n´umero real que determinaremos a seguir. Os outros s´ımbolos de Christofell Γ k ij s˜ao identicamente nulos.

      = τ − σ, onde τ

      

    31

      

    2

      = Γ

      12 E

      32

      1

      = −τE

      3

      21 E

      3

      2

      21 E

      2

      

    1

      21 E

      = Γ

      

    1

      1

      ∇ E 2 E

      3 ,

      = τ E

      3

      12 E

      3

      2

      12 E

      2

      = −Γ

      1

      e para quaisquer campos de vetores X, Y, Z, hX ∧ Y, Zi = det

      3

      i = τ det(E

      1

      , E

      3

      ∧ E

      

    2

      i = τ hE

      1

      ), E

      ∧ E

      = τ det(E

      2

      i = hτ(E

      1

      , E

      3

      = h∇ E 2 E

      23

      1

      (X, Y, Z), temos Γ

      (E 1 ,E 2 ,E 3 )

      2 , E 3 , E 1 )

      1

      = τ, Γ

      3

      13

      2

      = −Γ

      21

      

    3

      = −Γ

      23

      1

      = Γ

      12

      Γ

      , E

      = −τ . Analogamente, obtemos os outros s´ımbolos de Christofell:

      21

      3

      Γ

      −Γ j ik . Logo,

      Usando o fato de que a derivada covariante ´e compat´ıvel com a m´etrica, conclu´ımos que Γ k ij =

      ) = τ.

      3

      , E

      2

    • Γ
    • Γ
    • Γ
    • Γ
    Procedendo de forma an´aloga, obtemos [E

      1 , E 2 ] = 2τ E 3 , [E 2 , E 3 ] = σE 1 , [E 3 , E 1 ] = σE 2 .

      Das propriedades de simetria do tensor curvatura R vemos que R de fato define

      2

      2

      uma aplica¸c˜ao bilinear sim´etrica R : Λ M M × Λ → R, dada por

      R(X ∧ Y, Z ∧ W ) := R(X, Y, W, Z),

      2

      onde Λ M ´e o espa¸co dos bivetores. A rela¸c˜ao hR(X ∧ Y ), Z ∧ W i = R(X ∧ Y, Z ∧ W )

      2

      2

      define um opreador autoadjunto R : Λ M M . Este operador ´e chamado de operador × Λ curvatura. Para mais detalhes veja [29]. Calculando R na base (E

      2 3 , E

      3 1 , E

      1 2 )

      ∧ E ∧ E ∧ E temos R ij = i ), e j ii = i ), e i j , E k ), hR(e i, R hR(e i = K(E se e i = E j k . Isto significa que a diagonal da matriz R nos d´a a curvatura seccional com

      ∧E respeito ao plano gerado por E j e E k . Usando os s´ımbolos de Christofell acima podemos calcular a matriz de R:

      R = , E )E , E

      33

      1

      2

      2

      

    1

      hR(E i = E 1 E 2 E E 2 E 1 E 1 ,E 2 E , E

      2 2 [E ]

      2

      1

      h∇ ∇ − ∇ ∇ − ∇ i = E 2 (τ E ) 3 E , E h−∇

      3 − ∇ 2τ E

      2 1 i

      =

      1 1 , E

      1

      h−ττE − 2τ(τ − σ)E i

      2 = 2τ σ .

      − 3τ Analogamente, obtemos

      2 R = R = τ e R ij = 0, i

      11

      22 6= j.

      Assim, para a variedade homogˆenea E(κ, τ ), o tensor curvatura na base (E , E

      2

      3

      3

      ∧ E ∧ E , E ) ´e diagonal, isto ´e,

      1

      1

      2

      ∧ E R = diag(a, a, b) com

      2

      2 a = τ , b = + 2στ.

      −3τ Pela Proposi¸c˜ao 1.2.3,

      2 K(E 1 , E 2 ) = κ .

      − 3τ Ent˜ao,

      2

      2 Os termos onde ξ aparece trˆes ou quatro vezes, ou duas vezes nas posi¸c˜oes 1, 2 ou 3, 4 s˜ao nulos por anti-simetria. Al´em disso, os termos onde ξ aparece uma vez desaparecem por

      R( ˜ X, ξy)ξz, ξw i + h ¯ R(ξx, ξy)ξz, ξw i.

      1

      R( ˜ X, ˜ Y )ξz, ξw i + h ¯ R(ξx, ˜ Y )ξz, ξw i

      R( ˜ X, ξy) ˜ Z, ξw i + h ¯ R(ξx, ξy) ˜ Z, ξw i

      R( ˜ X, ˜ Y ) ˜ Z, ξw i + h ¯ R(ξx, ˜ Y ) ˜ Z, ξz i

      R( ˜ X, ξy)ξz, ˜ W i + h ¯ R(ξx, ξy)ξz, ˜ W i

      R( ˜ X, ˜ Y )ξz, ˜ W i + h ¯ R(ξx, ˜ Y )ξz, ˜ W i

      R( ˜ X, ξy) ˜ Z, ˜ W i + h ¯ R(ξx, ξy) ˜ Z, ˜ W i

      R(ξx, ˜ Y ) ˜ Z, ˜ W i

      = h ¯ R( ˜ X, ˜ Y ) ˜ Z, ˜ W i + h ¯

      R(X, Y )Z, W i = h ¯ R( ˜ X + ξx, ˜ Y + ξy) ˜ Z + ξz, ˜ W + ξw i

      (V, X, Y )Z = hY, V ihZ, V iX + hY, ZihX, V iV − hX, ZihY, V iV − hX, V ihZ, V iY.(1.4) Prova. Vamos decompor os campos nas partes horizontais vertical com respeito a ξ, isto ´e, X = ˜ X + ξx, Y = ˜ Y + ξy, Z = ˜ Z + ξz, onde x = hX, ξi, y = hY, ξi, z = hZ, ξi. Usando a multilinearidade do tensor curvatura, obtemos uma soma de 16 termos: h ¯

      (1.3) R

      Logo, temos que b = κ − 3τ

      i, com R (X, Y )Z = hX, ZiY − hY, ZiX,

      1 (ξ; X, Y )Z, W

      ) hR

      2

      ) hR o (X, Y )Z, W i + (κ − 4τ

      2

      Proposi¸c˜ ao 1.2.4. Para quais quer campos de vetores X, Y, Z, W em E(κ, τ ), temos h ¯ R(X, Y )Z, W i = (κ − 3τ

      κ 2τ . A pr´oxima Proposi¸c˜ao nos diz como se escreve o tensor curvatura de E(κ, τ ).

      e, portanto, σ =

      ,

      2

    • h ¯
    • h ¯
    • h ¯
    • h ¯
    • h ¯
    • h ¯
    • h ¯
    que a matrix de ¯ R na base (E , E , E ) ´e diagonal. Assim, temos

      2

      3

      3

      

    1

      1

      2

      ∧ E ∧ E ∧ E R(X, Y )Z, W R( ˜ X, ˜ Y ) ˜ Z, ˜ W R(ξx, ˜ Y )ξz, ¯ W h ¯ i = h ¯ i + h ¯ i

    • R( ˜ X, ξy)ξz, ˜ W R(ξx, ˜ Y ) ˜ Z, ξw h ¯ i + h ¯ i
    • 2

      R( ˜ X, ξy) ˜ Z, ξw h ¯ i

      = (κ )( X, ˜ W Y , ˜ Z X, ˜ Z Y , ˜ W − 3τ h ˜ ih ˜ i − h ˜ ih ˜ i)

      2

    • τ ( Y , ˜ W X, ˜ W Y , ˜ Z X, ˜ Z −xzh ˜ i + yzh ˜ i + xwh ˜ i − ywh ˜ i)

      2

      = (κ )( − 3τ hX, ZihY, W i − hX, W ihY, Zi)

      2

      )( −(κ − 4τ hX, ZihY, ξihW, ξi + hY, W ihX, ξihZ, ξi −hX, W ihY, ξihZ, ξi − hY, ZihX, ξihW, ξi).

      A seguir descrevemos cada um dos espa¸cos homogˆeneos Riemannianos, com grupo de isometria de dimens˜ao quatro.

      2

      1.2.1 O Espa¸co S × R

      Esta ´e provavelmente a menos interessante e tamb´em a mais simples das oito

      2

      geometrias. Existem somente sete variedades tridimensionais sem bordo, incluindo S ×R,

      2

      com estrutura geom´etrica modelada por S × R. Para mais detalhes ver [34]. Inicialmente

      2 vamos tratar da esfera S .

      A esfera Euclidiana ´e o conjunto,

      2

      

    3

      2

      2

      2 S

      = ; x + y + z = 1 {(x, y, z) ∈ R }

      Com a m´etrica induzida do espa¸co Euclideano 3-dimensional. Neste caso κ ≡ 1 e M(κ) =

      2 .

      M(1) ≡ S

      2 Considerando a proje¸c˜ao estereogr´afica, podemos escrever S de forma intr´ınseca,

      isto ´e, sem mencionar o espa¸co ambiente, como:

      2 R

      ∪ ∞, com a m´etrica:

      2

      2 2

      2

      2

      2 ds S = λ (dx + dy ), .

      2

      2

      1 + κ(x + y ) Um referencial natural ´e dado por x , ∂ y

      {∂ } e referencial ortonormal dado por

      −1 −1

      = λ ∂ x , e = λ ∂ y

      1

      2 {e }.

      2

      2 Denotando o grupo de isometrias de S por Isom(S ), temos o seguinte resultado (ver [29]). Proposi¸c˜ ao 1.2.5. O grupo de isometrias da Esfera Euclidiana ´e dado por,

      

    2

    Isom(S ) = O(3),

      onde O(3) ´e o grupo de matrizes ortogonais de ordem 3 × 3.

      2

      2 O espa¸co S pela reta Euclidiana com a m´etrica

      × R ´e o produto da esfera S produto

      2

      2

      2

      2

      2

      

    2

    ds = λ (dx + dy + dz ), λ = .

      2

      2

      1 + κ(x + y )

      2

      2 Assim, o grupo de isometrias de S

      ) × R pode ser identificado com Isom(S × Isom(R).

      2

      1.2.2 O Espa¸co H × R

    2 Ao contr´ario de S

      × R, existem infinitas 3-variedades com estrutura geom´etrica

      2

      modelada por H × R. Por exemplo, o produto de qualquer superf´ıcie hiperb´olica com R

      1 ou S tem uma estrutura deste tipo. As referˆencias usadas nesta se¸c˜ao s˜ao [28] e [34].

      2

      2

      2

      2 Seja D = ; x + y &lt; 1 , com a m´etrica

      {(x, y) ∈ R } o modelo do disco para H

      2

      2

      dx + dy g D = 4 .

      2

      2

      2

      (1 ) − x − y

      

    2

    Sejam (x, y)

      ∈ D e z ∈ R. A m´etrica em H × R ´e a m´etrica produto dada por

      2

      2

      dx + dy

      2

      2

      ds = + dz , F onde

      2

      2

      2

      1 − x − y F = .

      2

    2 A matriz da m´etrica ds ´e

        F

      1

       

      

    1

        F   , F

      1

      e a sua inversa ´e  

      F    

      F F   . F

      0 F Tendo em conta que

    3 X

      m km 1 ∂g jk ∂g ki ∂g ij ij + Γ = g , − 2 ∂x i ∂x j ∂x k k

      =1

      2

      podemos calcular os s´ımbolos de Christoffel para a m´etrica ds . Encontramos

      1

      2

      2

      x Γ = Γ = Γ = ,

      √

      11

      12

      21 F

      2

      1

      1

      y Γ = Γ = Γ = ,

      √

      22

      12

      21 F 2 y 1 x

      Γ = , Γ =

      11 − √ 22 − √

      F F e os outros s´ımbolos de Christoffel s˜ao identicamente nulos.

      √ √

      3 Agora, sejam e , e , e uma base canˆonica de R e sejam E = F e , E = F e ,

      1

      2

      3

      1

      1

      2

      2

      √

      2 E = F e tais que (E , E , E ) ´e uma base ortonormal para H

      3

      3

      1

      2

      3 × R. Ver [28].

      2

      2 O grupo de isometrias de H

      ) × R ´e naturalmente isomorfo a Isom(H × Isom(R).

      2

      2 Logo, as isometrias de H , que descrevemos na se¸c˜ao anterior,

      × R s˜ao as isometrias de H mais as transla¸c˜oes ao logo das fibras.

    1.2.3 O Espa¸co de Heisenberg N il

      3 O grupo de Heisenberg N il ´e o grupo de Lie, formado pelas matrizes nilpotentes

      3

      da forma   1 x z    

      R, 0 1 y   , x, y, z ∈ 0 0 1 munido com uma fam´ılia a 1-parˆametro de m´etricas invariantes `a esquerda. N il ´e um

      3

      espa¸co homogˆeneo Riemanniano com grupo de isometria de dimens˜ao quatro. Este grupo

      3

      ´e difeomorfo ao R e `a fam´ılia de m´etricas, que denoteremos por g τ e se expressa, em termos da curvatura da fibra τ , como

      2

      2

      2

      g τ = dx + dy + (τ (xdy , − ydx) + dz)

      3

      3

      sendo (x, y, z) as coordenadas usuais de R . Assim, denotaremos R com a m´etrica g τ por N il . Algumas referˆencias sobre o espa¸co de Heisenberg s˜ao [4], [20], [30] e [34].

    3 Dadas duas constantes τ e ˆ τ e os correspondentes grupos de Heisenberg com as

      m´etricas associadas g τ e g τ , a aplica¸c˜ao

      ˆ

      2

      τ

      3

      3 R

      λ : , g τ , g τ ˆ ) → (R

      τ ˆ τ

      (x, y, z) (x, y, z) 7→

      τ ˆ ´e uma isometria. Assim, a menos de homotetia e uma isometria, podemos fixar uma

      1 constante τ . Geralmente usa-se a normaliza¸c˜ao τ = .

      2

      2 A aplica¸c˜ao π : N il 3 dada por (x, y, z)

      −→ R 7→ (x, y) ´e uma submers˜ao Rie- manniana de Killing cujas fibras s˜ao dadas por , y = y {x = x }, ou seja, as fibras s˜ao linhas retas. O campo vertical da submers˜ao, denotado por ξ, ´e um campo de Killing. Isto ´e, as fibras s˜ao trajet´orias de um campo de Killing e, portanto, s˜ao geod´esicas.

      2 Agora, seja 1 , e 2 , com e 1 = ∂ x e e 2 = ∂ y e seja

      {e } o referencial ortonormal em R E = ξ. Denote por E e E os levantamentos horizontais em N il de e e e , isto ´e,

      3

      1

      2

      3

      1

      2

      dπ(E i ) = e i e i , E

      3 hE i = 0, 1i = 1, 2.

      Observando que dπ(∂ x ) = ∂ x e dπ(∂ y ) = ∂ y e usando a m´etrica g acima, obtemos a express˜ao de E i em coordenadas, E

      1 = ∂ x z , E 2 = ∂ y z e E 3 = ∂ z .

      − τy∂ − τx∂ Note que i , E j ij , j , E = 1,

      2

      3

      3

      hE i = δ hE i = 0, i, j = 1, 2 e |E |

      2

      2

      ou seja, (E , E , E ) ´e um referencial ortonormal em N il . Considerando M (κ) = R ,

      1

      2

      3 κ

      3

      temos que κ = 0. Logo, σ = = 0 e os s´ımbolos de Christofell em N il s˜ao:

      3 2τ

      3

      1

      

    3

      2

      Γ = Γ = = = τ,

      12 23 −Γ 21 −Γ

      13

      1

      2 Γ = = τ.

      −Γ

      32

      31 Assim podemos calcular a conex˜ao Riemanniana de N il . Temos que

      3 E 1 E

      1

      2

      3 2 = Γ E 1 + Γ E 2 + Γ E

      3

      ∇

      12

      12

      12

      = 0E + 0E

      1

      2

      3

      − τE = .

      

    3

      −τE Analogamente, obtemos E E j = 0, 1 j E 1 E ∇ ≤ j ≤ 3 e

      3 = E 3 E 1 = 2 , E 2 E 3 = E 3 E 2 = τ E 1 ,

      ∇ ∇ −τE ∇ ∇ E 1 E = 2 E = τ E .

      2 E

      1

      3

      ∇ ∇ Em particular, [E , E ] = 2τ E , [E , E ] = 0 e [E , E ] = 0.

      1

      2

      3

      1

      

    3

      2

      3 Observa¸c˜ ao 1.2.6. Note que [E , E ] = 2τ E n˜ao ´e horizontal. Isto implica que os

      1

      2

      3

      planos horizontais gerados pelos campos E e E n˜ao s˜ao integr´aveis, o que significa que

      1

      2 n˜ao existem superf´ıcies horizontais em N il .

      

    3

    As isometrias do N il 3 s˜ao as transla¸c˜oes geradas pelos campos de Killing

      F = ∂ x + τ y∂ z , F = ∂ y + τ x∂ z , F = ∂ z ,

      1

      2

      3 e as rota¸c˜oes em torno do eixo z correspondente a F = x + x∂ y .

      4

      −y∂ As transla¸c˜oes correspondentes a F , F e F s˜ao, respectivamente,

      1

      2

      

    3

      (x, y, z) 7→ (x + t, y, z + τty),

      (x, y, z) 7→ (x, y + t, z − τtx),

      (x, y, z) 7→ (x, y, z + t), onde t

      ∈ R. Assim, as isometrias levam planos verticais em planos verticais e linhas Euclidianas em linhas Euclidianas.

      Usando a Proposi¸c˜ao 1.2.3 podemos ver que as curvaturas seccional dos planos determinados por (E

      1 , E 2 ),(E 1 , E 3 ) e (E 2 , E 3 ) em N il 3 s˜ao

      2

      2

      2 K(E 1 , E 2 ) = , K(E

    1 , E

    3 ) = τ , K(E 2 , E 3 ) = τ .

      −3τ As curvaturas de Ricci na dire¸c˜ao dos campos E , E , E s˜ao, respectivamente,

      1

      2

      3

      2

      2

      2 Ric(E ) = , Ric(E ) = , Ric(E ) = 2τ .

      1

      

    2

      3

      −2τ −2τ E curvatura escalar em um ponto p ´e

      3

      ∈ Nil

      2 ρ(p) = ¯ .

      −2τ

      ^

    1.2.4 O Espa¸co P SL (R)

    2 O grupo de Lie das matrizes 2

      × 2 com entradas reais cujo determinante ´e 1, ´e denotado por SL (R), isto ´e, SL (R); det A = 1

      2

      2

      2

      }. Podemos escrever R = {A ∈ GL SL (R) da seguinte maneira.

      2

      ( ! ) a b SL R = , a, b, c, d,

      2

      ∈ R e ad − bc = 1 c d ( ! )

      1+bc d b

      =

      b, c, d, ∈ R e d 6= 0 c d

      SL (R) ´e um grupo de Lie de dimens˜ao trˆes. O quociente SL (R)/

      2

      2

      {−Id, Id} tamb´em ´e um grupo Lie denotado por P SL (R) e seu recobrimento universal ´e denotado

      

    2

      ^ por P SL (R). Podemos definir um produto no recobrimento universal de P SL (R) pelo

      2

      2

      levantamento, atrav´es da aplica¸c˜ao de recobrimento, do produto de P SL

      2 (R). Como

      ^ P SL (R) ´e grupo de Lie temos que P SL (R) ´e um grupo de Lie e admite uma m´etrica

      2

      2

      ^ A seguir, apresentaremos um modelo para P SL (R) e escreveremos uma m´etrica

      2

      ^ nesse espa¸co. De fato, iremos mostrar que P SL (R) ´e uma fibra¸c˜ao Riemanniana sobre

      2

      2 o plano hiperb´olico H .

      ^

      2

      2

      2 Um modelo para P SL 2 (R). As isometrias de H s˜ao as restri¸c˜oes a H das

      ⊂ R

      2

      

    2

      2

      transforma¸c˜oes conformes de R que levam H sobre si mesmo. No R tais transforma¸c˜oes s˜ao dadas pelas transforma¸c˜oes de M¨obius que s˜ao aplica¸c˜oes de C em C dadas por az + b f (x) = , com a, b, c, d

      ∈ R. Toda transforma¸c˜ao de M¨obius ´e uma composi¸c˜ao de cz + d

      2

      transla¸c˜ao, rota¸c˜ao, homotetia e invers˜ao. Essas s˜ao as isometrias de H . O conjunto das transforma¸c˜oes de M¨obius, az + b

      2

    2 M = ; f (z) = , a, b, c, d

      {f : H −→ H ∈ R e ad − bc = 1} cz + d forma um grupo com a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. O elemento neutro ´e a

      2 identidade f (z) = z. M ´e o grupo das isometrias de H que preservam orienta¸c˜ao.

      ! a b Para cada matriz A = (R) podemos associar a uma trans-

      2

      ∈ GL c d az + b forma¸c˜ao de M¨obius f (z) = . Isso define um homomorfismo de grupos cz + d

      ! a b az + b H : (SL (R), = .

      2

      ·) −→ (M, ◦); H cz + d c d

      ! ! a b a b

      1

      1

      2

      2 De fato, sejam A, B 2 (R), com A = e B = . Temos que

      ∈ SL c d c d

      1

      1

      2

      2

      (a a + b c )z + a b + b d

      1

      2

      1

      2

      1

      2

      1

      2 H(A.B) = = H(A)

      ◦ H(B) (c a + d c )z + c b + d d

      1

      2

      1

      2

      1

      2

      1

      2 e, portanto, H ´e um homomorfismo de grupos.

      O n´ ucleo de H ´e conjunto ker H = (R); H(A) = e

      2 {A ∈ SL ∈ M} = {−Id, Id}.

      Pelo Teorema do isomorfismo, temos que M

      2 (R)/ 2 (R), ou seja,

      ≃ SL {−Id, Id} = P SL

      2 P SL (R) ´e isomorfo ao grupo das isometrias de H que preservam orienta¸c˜ao.

      2

      2

      2

      2

      2 Seja U H := ;

      , isto ´e, U H {(p, v) ∈ T H |v| = 1} o fibrado tangente unit´ario de H

      2

      ´e uma subvariedade de T H consistindo de vetores tangentes de comprimento unit´ario. O

      

    2

      grupo P SL (R) age transitivamente em U H e o estabilizador de cada ponto sob esta a¸c˜ao

      2

      ^

      2

      ´e trivial. Isso nos permite identificar P SL

      2 (R) com U H

      e, consequentemente, P SL

      2 (R)

      2

      2

      2

      com g U H . A subvaridade U H ´e difeomorficamente um fibrado circular trivial sobre H , ^

      2

      2

      1

      2

      1

      2

      2

      1 H

      logo U H

      e, portanto, g U H . Como o recobrimento de H ´e ≃ H × S ≃ × S × S

      ^ ^

      2

      2

      2 H

      P SL (R) U H conclu´ımos que P SL (R)

      2

      2

      × R e ≃ g ≃ H × R do ponto de vista de difeomorfismo e n˜ao m´etrico.

      ^ M´ etrica em P SL (R). Atrav´es da proje¸c˜ao natural π : T M

      2

      −→ M a m´etrica em uma Seja (p, v) ∈ T M e V um vetor tangente a T M em (p, v). Escolha uma curva

      ′

      α : t (0). Defina

      → (p(t), v(t)) em T M, com p(0) = p, v(0) = v e V = α

      2 Dv

      2

      2 p + = , kV k (p,v) kdπ(V )k

      dt p Dv onde ´e a derivada covariante ao longo da curva t

      −→ p(t). dt

      −1

      Lembrando que um vetor em (p, v) (p) p M ´e ∈ T M que ´e ortogonal a fibra π ≃ T dito ser horizontal e um vetor tangente a uma fibra ´e dito ser vertical. Podemos identificar

      −1

      o espa¸co tangente a fibra π (p) com o espa¸co tangente em p ∈ M. Al´em disso, se V ´e horizontal v(t) ´e um campo paralelo ao longo da curva p(t). Assim, temos que

    • p , se V ´e vertical. = kV k

      (p,v) kV k - = p , se V ´e horizontal. (p,v)

      kV k kdπ(V )k O espa¸co tangente horizontal tem a mesma dimens˜ao do espa¸co tangente a M . Como

      = p , dπ induz uma isometria entre o espa¸co tangente horizontal e o

      (p,v)

      kV k kdπ(V )k espa¸co tangente a M . Logo dπ : T M −→ M ´e uma submers˜ao Riemanniana.

      2

      2 A m´etrica em H induz uma m´etrica em T H que pode restrita a subvariedade

      2

      2 U H . Como estamos identificando P SL (R) com U H , temos uma m´etrica em P SL (R).

      2

      2

      ^ Essa m´etrica induz uma m´etrica no recobrimento universal P SL (R). Como P SL (R)

      2

      2

      2

      age em U H por isometrias, temos que a m´etrica induzida em P SL (R) ´e invariante `a

      2

      ^ esquerda e ´e levantada em uma m´etrica invariante `a esquerda em P SL (R).

      2

      ^

    2 Fato 1.2.7. π : P SL (R) ´e uma fibra¸c˜ao Riemanniana.

      2

      −→ H

      2

      2

      2 De fato, temos que U H

      s˜ao c´ırculos, ≃ H × S, ou seja, as fibras t´ıpicas de UH

      2

      e portanto, s˜ao 1-dimensional. Assim o espa¸co tangente horizontal a U H coincide com o

      2

      espa¸co tangente horizontal de T H . Logo podemos restringir π uma submers˜ao Rieman- ^ ^

      2

      2

      2

      2

      niana de g U H em H . Como P SL (R) U H conclu´ımos que π : P SL (R) ´e

      2

      2

      ≃ g −→ H uma fibra¸c˜ao Riemanniana. ^

      ^ Como m´etrica em P SL (R) ´e invariante `a esquerda, temos que P SL (R) ´e uma

      2

      2

      variedade Riemanniana homogˆenea completa simplesmente conexa. Vamos expressar essa ^ m´etrica em P SL (R) em coordenadas.

      2

      2

      2 Seja ϕ uma parametriza¸c˜ao conforme de H e seja λ : U

      ⊂ R −→ R o fator

      2

      2

      2

      2

      de conformidade. A m´etrica em H nessas coordenadas ´e λ (dx + dy ). Identificando

      2

      2

      v com seu ponto de base em H e sendo θ o ˆangulo que v faz com ∂x, temos a ∈ UH

      2 seguinte parametriza¸c˜ao para U H .

      1 (x, y, θ) (cos θ∂ x + senθ∂ )).

      y

      ^ Sejam V um vetor tangente a P SL (R) no ponto (p, v), α : t

      2

      −→ (p(t), v(t))

      ′

      uma curva passando por (p, v) em t = 0 e α (0) = V. Escrevendo p(t) = (x(t), y(t)) e

      1 v(t) = (cos θ∂ x + sin θ∂ y ), vamos Calcular a derivada covariante de v ao longo da curva λ p(t).

      Para calcular a derivada covariante em termos dos s´ımbolos de Christofell pode- mos usar a f´ormula

    2 X

      X Dv dv k dx i ∂ k

    • = Γ , ij dt dt dt ∂x k k

      =1 que ´e a express˜ao cl´assica da derivada covariante em termos dos s´ımbolos de Christofell.

      2

      2

      2

      2 Precisamos, ent˜ao calcular os s´ımbolos de Christoffel para a m´etrica ds = λ (dx + dy )

      2 em H . Eles s˜ao dados em termos da m´etrica Riemanniana pela seguinte express˜ao.

      X m 1 ∂ ∂ ∂ km Γ + = g jk g ki g ij g . ij − 2 ∂x i ∂x j ∂x k k

      ∂ ∂

      2

    2 Como g ij = λ , = λ δ ij , temos que a matriz (g ij ) ´e dada por

      ∂x i ∂x j ! g g

      11

      12

      (g km ) = g g

      21

      22

      !

      2

      λ =

      2

      λ e a sua inversa ´e a matriz !

      11

      12 km g g g =

      21

      22

      g g  

      1

      2

        λ

      =   .

      1

      2

      λ Assim, temos,

    2 X

      1 ∂g ∂g k ∂g

      1k

      1 11 k

      1

      

    1

    • Γ = g

      11

      − 2 ∂x ∂x j ∂x k k

    1 X

      X 1 ∂g

      11 ∂g 11 ∂g

      11

      1 ∂ ∂g

      21 ∂g

      11

      11

      21

      11 12 −

    • = g g g g −

      2 ∂x ∂x ∂x k k 2 ∂x ∂x ∂y 1 ∂g

      11

      11

      = g 2 ∂x λ x

      = ,

    • 1

      1

      = λ y

      12

      1

      , Γ

      λ x λ

      = −

      22

      = λ x

      λ , Γ

      Γ

      11

      1

      Com c´alculos an´alogos, obtemos os outros s´ımbolos de Christofell: Γ

      λ x λ .

      = −

      11

      ∂x g

      λ ,

      21

      1

      λ y λ

      2

      , Γ

      λ y λ

      = −

      22

      2

      , Γ

      = −

      2 ∂g

      11

      2

      λ , Γ

      = λ x

      12

      2

      λ , Γ

      = λ y

      22

      = −

      1

      2k

      1

      g k

      22

      ∂x k g

      − ∂

      2

      ∂y g k

      ∂y g

      1

      2 X k

      1

      =

      22

      1

      Γ

      λ . Agora, vamos calcular a derivada covariante ao longo da curva p(t):

      ! ∂

      =

      2 X k

      = λ x

      ∂y g

      21

      g

      22

      ∂y g

      − ∂

      22

      ∂y g

      22

      2 X k

      ∂y g

      11

      g

      22

      ∂x g

      − ∂

      12

      ∂y g

      21

      21

    2 X

    • X ij

      λ

      1

      dt =

      −senθ(t)θ

      ′

      (t)λ − cos θ(t)λ

      ′

      2 i

    • Γ
    • X i
    • X i
    • Γ
    • Γ
    • Γ
    • Γ
    • dv
    • Γ
    • Γ
    • Γ
    • Γ

      1 λ

      2

      e dv

      2

      dt = cos θ(t)θ

      ′

      (t)λ − senθ(t)λ

      (cos θ, senθ), temos que dv

      y

      ) =

      2

      

    2

      

    21

      v

      1

      y

      ′

      22

      λ

      v

      2

      y

      ′ ∂y .

      Como v(t) =

      1 λ

      (cos θ∂ x + senθ∂

      ′

      Substituindo dv

      2 .

      cos θ)∂y, ou seja, Dv

      (λθ

      ′

      cos θ − λ

      y x ′

      cos θ + λ x y

      ′

      =

      1 λ

      1 (λθ

      ′

      ′

      λ x

      

      λ y )(cos θ∂y

      2

      senθ + λ y senθ)∂x +

      x

      2

      1

      dt e dv

      2

      dt , v

      1

      e v

      e os s´ımbolos de Christofell na express˜ao acima, obtemos que Dv dt

      x y ′

      =

      1 λ

      2

      ( −λθ

      ′

      senθ − λ

      ′

      v

      2

      1

      2

      dt

      Γ

      2 i

      2

      v

      dx i dt

      dx i dt #

      2

      v

      2

      dx i dt #

      ∂y = dv

      1

      ∂x + " dv

      2

      1

      Γ

      k =1 dv k dt

      Γ k i,j v j dx i dt

      ∂x k =

      " dv

      1

      dt

      1

      v

      11

      v

      1

      dx i dt Γ

      1 i

      2

      dt

      11

      Dv dt =

      2

      2

      y

      ′

      ∂x

      2

      dt

      11

      22

      v

      1

      x

      ′

      2

      12

      v

      1

      v

      2

      1

      x

      ′

      1

      12

      v

      x

      ′

      ′

      1

      21

      v

      

    1

      y

    • y
    Tendo em conta que Dv

      ′ ′

      V = α (0) = (p (0), (0)), dt conclu´ımos que

      2 ′

    2 ′ ′

      2 2 ′2 ′2 = (0) = , y ) = λ (x + y ).

      kdπ(V )k p kp k p k(x k p Logo,

    2 Dv

      2

      2

      = + kV k p,v kdπ(V )k p dt p

      2

      1

      2 ′2 ′2 ′ ′ ′

      = λ (x + y ) + (λθ + y λ x λ y )( − x −senθ, cos θ)

      2

      λ p

      1

      2 ′2 ′2 ′ ′ ′

      2

      2 = λ (x + y ) + (λθ + y λ x λ y ) .

      − x k(−senθ, cos θ)k p

      4

      λ Assim,

      1

      2 2 ′2 ′2 ′ ′ ′

      2 = λ (x + y ) + (λθ + y λ x λ y ) .

      kV k − x

      (p,v)

      2

      λ Fazendo z = θ no recobrimento universal, obtemos a seguinte express˜ao para a m´etrica

      ^ em P SL

      2 (R):

      2

      λ y λ x

      2

      2

      2

      2 ds = λ (dx + dy ) + dx + dy + dz .

      − λ λ

      ^ Referencial canˆ onico. Um referencial canˆonico em P SL (R) ´e (E , E , E ) (ver [9])

      2

      1

      2

      3

      onde

      −1

      E = λ (cos(σz)∂ x + sin(σz)∂ y ) + τ (x sin (σz) z ,

      1

      − y cos(σz))∂

      −1

      E = λ ( x + cos(σz)∂ y ) + τ (x cos (σz) z ,

      2

      − sin(σz)∂ − y sin(σz))∂ E

      3 = ∂ z

      e κ

      σ = , 2τ que satisfaz

      κ κ [E , E ] = 2τ E , [E , E ] = E , [E , E ] = E .

      1

      2

      3

      2

      3

      1

      3

      1

      2

      2τ 2τ Observa¸c˜ ao 1.2.8. O fato de [E , E ] n˜ao ser horizontal implica que o plano horizontal

      1

      2

      gerado por E

      1 e E 2 n˜ao ´e integr´avel, significando que n˜ao existe superf´ıcie horizontal em

      ^ P SL (R).

      2

      ^ Isometrias de P SL (R). A m´etrica induzida no fibrado tangente T M de uma variedade

    2 Riemanniana M ´e intr´ınseca o bastante para preservar o levantamento das isometria de

      ^ M a T M . Em particular, o grupo de isometrias de P SL (R) cont´em os levantamentos

      2

      2

      das isometrias de H . Notamos tamb´em que as transla¸c˜oes ao longo das fibras verticais ^ s˜ao isometrias de P SL (R). Estas isometrias, em coordenadas, s˜ao dadas por (x, y, z)

      2

      −→ ^

      (x, y, z + a). Ent˜ao o grupo de isometrias de P SL (R) cont´em o grupo G gerado pelos

      2

      2 levantamentos das isometrias de H e as transla¸c˜oes verticais. Ver [42], para mais detalhes.

      De fato, temos o seguinte resultado ^

      Proposi¸c˜ ao 1.2.9. O grupo de isometrias de P SL (R) ´e gerado por levantamento de

      2

      2 isometrias de H junto com as transla¸c˜oes verticais ao longo das fibras.

      ^ Observa¸c˜ ao. Seja F uma isometria de P SL

      2 (R). Como

      ^

      2

      π : P SL (R)

      2

      −→ H ´e uma submers˜ao Riemanniana, podemos escrever F na forma F (z, t) = (f (z), h(z, t)), onde

      2

      2

      f : H −→ H

      2

      ´e uma isometria do espa¸co hiperb´olico H . Veja [15]. A seguinte proposi¸c˜ao pode ser encontrada em [15].

      ^ Proposi¸c˜ ao 1.2.10. As isometrias de P SL (R) no modelo do semi-plano, s˜ao dadas por,

      

    2

      F (z, t) = (f (z), t + c) − 2τ arg f ou

      ′

      G(z, t) = ( f (z), + c), − ¯ −t + 2τ arg f

      2

      onde f ´e uma isometria positiva de H e c ´e um n´ umero real. No modelo do disco, temos

      ′

      F (z, t) = (f (z), t + c) − 2τ arg f ou

      ′

      G(z, t) = ( ¯ f (z), + c), −t + 2τ arg f

      2 onde f ´e uma isometria positiva de D e c ´e um n´ umero real.

    1.2.5 As Esferas de Berger

      Nesta se¸c˜ao descreveremos as esferas de Berger. Antes, falaremos sobre o espa¸co projetivo complexo e a fibra¸c˜ao de Hopf, os quais est˜ao intimamente relacionados com as O Espa¸co Projetivo Complexo

      2n+1

      A esfera unit´aria S pode ser considerada como o conjunto das (n + 1) −listas de n´ umeros complexos z = (z

      1 , z 2 , . . . , z n +1 ) tais que

      2

      2 + . . . + n = 1. 1 +1

      |z | |z | n

      1

    • 1

      O grupo multiplicativo S dos n´ umeros complexos de m´odulo 1 age sobre S

      1 2n+1

      por isometrias, de modo natural; para cada u e cada z , fazemos ∈ S ∈ S

      2n+1 u.z = (u.z , . . . , u.z n ) .

    1 +1

    n ∈ S

      O espa¸co Projetivo Complexo CP ´e definido como o espa¸co quociente da esfera

      2n+1 2n+1

      S pela rela¸c˜ao de equivalˆencia segundo a qual dois pontos w, z s˜ao equivalentes n ∈ S

      1 2n+1 1 2n+1

      se, e somente se, existe u tal que w = u.z, isto ´e, CP = S /S . Dado z , ∈ S

      ∈ S

      1

      sua classe de equivalˆencia por esta rela¸c˜ao de equivalˆencia ´e portanto a ´orbita {u.z; u ∈ S }

      1

      de z com respeito `a ac˜ao de S definida acima. Cada uma dessas classes de equivalˆencia

      1 2n+1

      ´e homeomorfa o a c´ırculo S . Esta rela¸c˜ao de equivalˆencia decomp˜oe a esfera S como reuni˜ao de c´ırculos dois a dois disjuntos, cada um dos quais ´e um ponto do espa¸co projetivo n complexo CP .

      2n+1 2n+1

      

    1

    Indicaremos π : S /S a proje¸c˜ao natural que associa a cada z

      −→ S n n

      2n+1

      S sua classe de equivalˆencia π(z) . Muniremos CP com a topologia quociente, ∈ CP n

      −1

      de acordo com a qual um subconjunto A ´e aberto se, e somente se, π (A) ´e ⊂ CP n

      2n+1 2n+1

      aberto em S . Isto torna π cont´ınua. Como S ´e compacto, conclu´ımos que CP n

      1 2n+1 2n+1

      1

      compacto. Al´em disso, como a a¸c˜ao de S sobre S ´e por isometrias e CP = S /S , n

      2n+1 1 2n+1

      podemos induzir uma m´etrica em S /S tal que π : S ´e uma submers˜ao −→ CP

      Riemanniana. Esta m´etrica ´e chamada m´etrica de Fubini-Study. Quando n = 1, a fibra¸c˜ao

      2n+1 2n+1

      1

      2

      π : S /S = S (1/2), ´e chamada fibra¸c˜ao de Hopf que pode ser dada por −→ S

      1

      2

      2

      (z, w) ( ), z ¯ w , −→ |w| − |z|

      2

      3

      2

      2

      onde S e S (1/2) ⊂ C ⊂ C × R.

      Falaremos agora das esferas de Berger. Quando τ 6= 0 e κ &gt; 0, os espa¸cos

    2 E(κ, τ) s˜ao fibra¸c˜oes sobre a esfera S . Estas variedades s˜ao obtidas deformando a m´etrica

      da esfera redonda de maneira que a fibra¸c˜ao de Hopf seja preservada, mas modifique o comprimento das fibras.

    3 A esfera S ´e o recobrimento universal de SO (R), o qual pode ser identificado

      3

      2

      2

      com o fibrado tangente unit´ario U S da esfera S . De fato, o grupo de isometria SO (R)

      3

      2

      2

      age transitivamente em U S e o estabilizador de qualquer ponto em U S ´e o trivial. O

      2

      fibrado tangente unit´ario U S pode ser dotado com a m´etrica canˆonica induzida no fibrado

      2

      2 Seja (x, y)

      −→ φ(x, y) uma parametriza¸c˜ao conforme de um dom´ınio D em S

      2

      2

      2

      e seja λ um fator conforme, isto ´e, a m´etrica de D ´e dada por λ (dx + dy ). Ent˜ao procedendo como na Se¸c˜ao 1.2.4, obtemos a seguinte express˜ao para a m´etrica de g U D:

      2

      λ y λ x

      2

      2

      2

      2 ds = λ (dx + dy ) + dx + + dz .

      − λ λ

    2 Agora, escolhemos D = S

      \{∞} com a m´etrica de curvatura 4, isto ´e, a m´etrica

      1 da esfera redonda de raio , dada pela proje¸c˜ao estereogr´afica, isto ´e,

      2

      1 λ = .

      2

      2

      1 + x + y Obtemos ent˜ao,

      2

      2

      2

      2

      2 ds = λ (dx + dy ) + (2λ(ydx .

      − xdy) + dz)

    3 Mais geralmente, R dotado com a m´etrica

      2

      2

      2

      2

      2

      ds = λ (dx + dy ) + (τ λ(ydx , − xdy) + dz) onde

      1 λ = κ

      2

      2

      1 + x + y

      

    4

      ´e o recobrimento universal da variedade homogˆenea E(κ, τ ) com κ &gt; 0 menos a fibra cor-

      2

      respondente ao ponto . As fibras s˜ao dadas por , y +y ∞ ∈ S {x−x } nessas coordenadas. o referencial canˆonico (E , E , E ) ´e dado por

      1

      2

      3 −1

      E = λ (cos(σz)∂ x + sin(σz)∂ y ) + τ (x sin (σz) z ,

      1

      − y cos(σz))∂

      −1

      E = λ ( x + cos(σz)∂ y ) + τ (x cos (σz) z ,

      2

      − sin(σz)∂ − y sin(σz))∂ E = ∂ z

      3

      com κ σ = .

      2τ Os colchetes do referencial acima s˜ao

      κ κ [E , E ] = 2τ E , [E , E ] = E , [E , E ] = E .

      1

      2

      3

      2

      3

      1

      3

      1

      2

      2τ 2τ Este referencial ´e definido em um conjunto aberto E oqual ´e E(κ, τ ) menos a fibra corres-

      2 pondente ao ponto .

      ∞ ∈ S

      3

    2 As variedades (S , ds ) s˜ao um espa¸co homogˆeneo Riemanniano e s˜ao chamadas

      3

      de esferas de Berger. Tais variedades ser˜ao denotadas por S . Estas variedades s˜ao b modelos para os espa¸cos homogˆeneos E(κ, τ ) quando κ &gt; 0 e τ 6= 0. A aplica¸c˜ao π :

      3

      2

      2

      (S , ds ) (κ) dada por −→ S

      2

      1

      2

      2

      π(z, w) = z ¯ w, ( ) √

      |z| − |w|

      ´e uma submers˜ao Riemanniana. Observa¸ c˜ oes.

      1. As esferas de Berger, no sentido estrito, s˜ao as variedades tais que κ = 4. Note que neste caso a aplica¸c˜ao π ´e a fibra¸c˜ao de Hopf:

      3

      

    2

      π : S (1) (1/2) −→ S

      1

      2

      2 (z, w) z ¯ w, ( ) .

      7→ π |z| − |w|

      2 As variedades descritas acima tˆem o mesmo grupo de isometrias das esferas de Berger.

      2. Como comentamos acima, as esferas de Berger s˜ao obtidas deformando a m´etrica

      3

      usual da esfera S de maneira que a fibra¸c˜ao de Hopf continue sendo uma submers˜ao Riemanniana, mas modifique o comprimento das fibras. Isso pode ser visto melhor

      3

      2

      2

      definindo sobre S = = 1 {(z, w) ∈ C; |z| |w| } a m´etrica de Berger da seguinte

    • maneira:

      2

      4 4τ g b (X, Y ) = g(X, Y ) + g(X, V )g(Y, V ) , − 1

      κ κ

      3

      3

      onde X, Y , V = (iz, iw), κ &gt; 0 e τ .

      ∈ T S 6= 0 e g ´e a m´etrica canˆonica da esfera S Veja [38].

      2

      3

      3. Se κ = 4τ a m´etrica g b coincide com a m´etrica canˆonica da esfera S . Como estamos

      2 considerando grupo de isometria de dimens˜ao quatro, temos que ter κ .

      6= 4τ

      4. A fam´ılia das m´etricas de Berger ´e uma fam´ılia a 2-parˆametros, mas a menos de homotetia, esta fam´ılia ´e reduzida a uma fam´ılia a uma parˆametro.

    3 As Isometrias de S

      b T Seja A = [a ij ] n (C). Denotaremos por A a transposta de A = [a ij ] e por T ∈ M

      ∗ T ∗

      A = ( ¯

      A) = (A ) o conjugado hermitiano de A , isto ´e, (A ) ij = a ji . O grupo unit´ario n × n ´e o subgrupo

      ∗

      U (n) = n (C) : A A = I {A ∈ GL }. O grupo especial unit´ario ´e o grupo

      

      SU (n) = n (C) : A A = I e det A = 1 {A ∈ GL }. Temos que

      ∗

      SU (n) = n (C) : A A = I e det A = 1 {A ∈ GL } (" # ) z w

      2

      2

    • = : = 1 |z| |w| w z ¯

      − ¯

      3

    3 O grupo de isometrias de S ´e U (2). O pr´oximo resultado pode ser encontrado em [38] e

      b classifica, a menos de conjuga¸c˜ao, os grupos a 1-parˆametro de U (2) em dois tipos. Proposi¸c˜ ao 1.2.11. Um grupo a 1-parˆametro de U (2), a menos de conjuga¸c˜ao e repre- senta¸c˜ao, deve ser um dos seguintes tipos:

      ( ! )

      1 (i) : t it ∈ R 0 e

      ( ! ) iαt e (ii) : t , com α it ∈ R ∈ R\{0}. e

      As isometrias de (i) s˜ao as rota¸c˜oes em torno dos grandes c´ırculos l = {(z, 0) ∈

    3 S

      }, enquanto que as isometrias do tipo (ii) s˜ao as transla¸c˜oes ao longo das fibras, se α = 1 e composi¸c˜ao de rota¸c˜oes e transla¸c˜oes ao longo das fibras, se α 6= 1.

      Vamos ver outro tipo de isometria das esferas de Berger. Dizemos que uma geod´esia ´e horizontal se o vertor tangente ´e ortogonal a E e vertical de se o vetor tangente

      3

      ´e colinear com E 3 . Observe que as geod´esicas horizontais e verticais s˜ao grandes c´ırculos.

      3 Uma reflex˜ao geod´esica atrav´es de uma geod´esica γ de S ´e uma aplica¸c˜ao que b envia cada ponto p em seu oposto em uma geod´esica que passa por p e encontra γ ortogo-

      nalmente. Mais precisamente, se α ´e uma geod´esica que encontra ortogonalmente γ em s = 0 e α(s ) = p ent˜ao a reflex˜ao geod´esica de p com respeito a γ ´e o ponto α( ).

      −s O seguinte resultado pode ser encontrado em [39] e nos d´a outro tipo de isometria nas esferas de Berger.

      Proposi¸c˜ ao 1.2.12. A reflex˜ao geod´esica atrav´es de uma geod´esica horizontal ou vertical

      3 ´e uma isometria de S . b

      Observa¸c˜ ao 1.2.13. As esferas de Berger podem ser vistas como hipersuperf´ıcies dos

      3

      2

      espa¸cos projetivo complexo e hiperb´olico complexo. As esferas de Berger S com κ &gt; b −4τ

      2

      0 s˜ao as esferas do plano projetivo complexo, enquanto que as esferas com κ &lt; 0 − 4τ s˜ao esferas do plano hiperb´olico complexo. Em alguns textos s˜ao chamadas de as esferas de Berger de primeiro e segundo tipo, respectivamente (ver [38]).

    1.3 O espa¸co Sol

      3 O Sol n˜ao tem grupo de isometrias de dimens˜ao quatro, mas tem uma estrutura interessante e ser´a colocado aqui por completude do texto.

      3 O Sol ´e um grupo de Lie isomorfo ao subgrupo de GL (R ) formado pelas

      3

      3

      matrizes da forma   z e x  

      

    −z

        e y   ,

      1 onde x, y, z

      3 pode ser visto

      ∈ R. Este grupo ´e sol´uvel, unimodular e n˜ao nilpotente. O Sol

      3

      como R dotado com a m´etrica Riemanniana invariante `a esquerda

      2 2z

    2 −2z

      2

      2

      ds = e dx + e + dy + dz ,

      3

      onde (x, y, z) s˜ao as coordenadas canˆonicas de R . A estrutura de grupo de Lie ´e dada pela multiplica¸c˜ao 1 z 1

      −z (x , y , z ) , y , z ) = (x + e x , y + e y , z + z ).

      1

      1 1 · (x

      2

      2

      2

      1

      2

      1

      2

      1

      2 Referˆ encial Ortonormal

      Defimos em Sol um referencial ortonormal invariante `a esquerda (E , E , E ),

      3

      1

      2

      3

      dado por ∂ ∂ ∂

      −z z E = e , E = e , E = .

      1

      2

      3

      ∂x ∂y ∂z Este referencial ´e chamado de referencial canˆonico. Os colchetes s˜ao

      [E

      1 , E 2 ] = E

    1 E

      2

      2 E

      1

      − E ∂ ∂ ∂ ∂ z z

      −z −z

      = e (e ) (e ) − e

      ∂x ∂y ∂x ∂x = 0

      [E , E ] = E E E

      3

      1

      3

      

    1

      1

      3

      − E ∂ ∂ ∂ ∂ z

      

    −z

      = (e ) ( ) − e

      ∂z ∂x ∂x ∂z ∂

      −z

      = −e

      ∂x =

      1

      −E [E

      3 , E 1 ] = E

    3 E

      

    1

      1 E

      3

      − E ∂ ∂ ∂ ∂ z

      

    −z

      = (e ) ( ) − e

      ∂z ∂x ∂x ∂z ∂

      −z

      = −e

      ∂x Ou seja, [E , E ] = 0, [E , E ] = , [E , E ] = E .

      1

      2

      3

      1

      1

      3

      2

      2

      −E Agora, usando a f´ormula de Coszul,

      2 Z Y hX, ∇ i = ZhX, Y i + Y hX, Zi − XhY, Zi + hZ, [X, Y ]i + hY, [X, Z]i − hX, [Y, Z]i, podemos calcular a conex˜ao Riemanniana

      3 com respeito ao referencial canˆonico:

      ∇ de Sol 2 , E 1 E , [E , E ] , [E , E ] , [E , E ]

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      hE ∇ i = hE i + hE i − hE i = 0, 2 , E 1 E , [E , E ] , [E , E ] , [E , E ]

      2

      1

      1

      2

      1

      1

      2

      1

      2

      1

      1

      hE ∇ i = hE i + hE i − hE i = 0, 2 , E 1 E , [E , E ] , [E , E ] , [E , E ]

      3

      1

      1

      3

      1

      1

      3

      1

      3

      1

      1

      hE ∇ i = hE i + hE i − hE i = −2 , isto ´e, , E 1 E

      1

      1

      hE ∇ i = 0, 1

      2 , E E

      1

      hE ∇ i = 0, , E 1 E

      3

      1

      hE ∇ i = 1,

      e, portanto, E 1 E = .

      1

      3

      ∇ −E Analogamente, calculamos os demais E E j e encontramos i E 1 E = , E2 E = 0, E 3 E = 0,

      1

      3

      1

      1

      ∇ −E ∇ ∇ E E 1 2 3

      2 = 0, E E 2 = E 3 , E E 1 = 0, E ∇ ∇ ∇ 1 E = E , E 2 E = , E 3 E = 0 .

      3

      1

      

    3

      2

      1

      ∇ ∇ −E ∇ Vamos calcular a curvatura seccional dos planos (E , E ), (E , E ) e (E , E ).

      2

      3

      1

      3

      1

      2 R(E , E )E = E 2 E 3 E E 3 E 3 E 2 ,E 3 E

      2

      3

      2

      2 2 [E ]

      2

      ∇ ∇ − ∇ ∇ ∇ 3 2 = + E E

      3 E E

      2

      ∇ ∇ = ,

      3

      −E R(E + , E )E = E 1 E 3 E E 3 E 1 E 1 ,E 3 E

      1

      3

      1

      

    1

    1 [E ]

      1

      ∇ ∇ − ∇ ∇ ∇ = E 3 ( ) + E 1 E

      

    3

      1

      −∇ −E ∇ 3 1 = + E E

      

    3 E E

      1

      ∇ ∇ = E ,

      3

      , E

      1

      i = h−E

      3

      , E

      3

      i =

      −1, K(E

      1

      , E

      3

      ) = hR(E

      1

      R(E

      3

      )E

      , E

      , E

      3

      i = hE

      3 , E

      3

      i = 1,

      K(E

      1 , E 2 ) =

      hR(E

      1 , E 2 )E 1 , E

      2

      i = h−E

      2

      , E

      2

      3

      2

      Isometrias do Sol

      

    3

      1

      , E

      2

      )E

      1

      = ∇ E 1E 2 E

      

    1

      − ∇ E 2E 1 E

      1

      − ∇

      [E 1 ,E 2 ]

      E

      1

      = −∇ E 3 ( −E

      ) + ∇ E 1 E

      )E

      1

      = ∇ E 2 E

      3

      = −E

      2

      , Logo,

      K(E

      2

      , E

      3

      ) = hR(E

      2

      , E

      3

      i = −1.

    3 O grupo de isometrias do Sol

      3

      ∂x , F const. s˜ao isometrias do Sol que revertem a orienta¸c˜ao. a consequˆencia mais importante

      ´e que ele admite reflex˜oes. De fato,

      3

      Uma outra propriedade importante do Sol

      ∂z . Estes campos s˜ao invariantes `a direita.

      ∂ ∂y

      ∂ ∂x

      = −x

      3

      ∂y , F

      = ∂

      2

      = ∂

      tem dimens˜ao trˆes. A componente conexa da identidade ´e gerada pelas seguintes fam´ılias de isometrias: (x, y, z)

      1

      F

      . Observe que as transla¸c˜oes `a direita n˜ao s˜ao isometrias. Os campos de Killing correpondentes a estas fam´ılias de isometrias s˜ao

      3

      com respeito a estrutura de grupo de Lie acima, isto ´e, a multiplica¸c˜ao por elementos em Sol

      3

      x, e c y, z + c). Estas isometrias s˜ao apenas transla¸c˜oes `a esquerda no Sol

      −c

      −→ (e

      −→ (x, y + c, z) (x, y, z)

      −→ (x + c, y, z) (x, y, z)

    • y

      3 disto ´e que podemos utilizar o Princ´ıpio de reflex˜ao de Alexandrov nas dire¸c˜oes x e y.

      Mais especificamente, o grupo de isotropia na origem (0, 0, 0) ´e isomorfo ao grupo diedral D e ´e gerado pelas seguintes isometrias:

      4

      σ : (x, y, z) 7−→ (y, −x, −z),

      σ : (x, y, z) 7−→ (−x, y, z). Estas duas isometrias revertem a orienta¸c˜ao do Sol ; σ tem ordem 4 e τ tem ordem 2. As

      3

      2 reflex˜oes com respeito ao plano y = 0 ´e dado por σ τ . Para mais detalhes veja [11] e [41].

      Finalmente, podemos observar que a aplica¸c˜ao Sol

      3

      −→ R (x, y, z)

      7−→ z ´e uma fibra¸c˜ao Riemanniana. Cap´ıtulo 2

    Superf´ıcies em Espa¸cos Homogˆ eneos

      Um problema cl´assico em Geometria Diferencial ´e determinar quando uma varie- n dade Riemanniana M pode ser imersa isometricamente em outra variedade Riemanniana n +p M . No caso em que p = 1, as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi s˜ao condi¸c˜oes necess´arias para existˆencia de tal imers˜ao, relacionando o tensor curvatura R de M , o tensor curvatura R de M e o operador de forma S de M . Denotando por

      ∇ a conex˜ao Remanniana de M essas equa¸c˜oes s˜ao, respectivamente, as seguintes: R(X, Y )Z, W hR(X, Y )Z, W i − h ¯ i = hSX, ZihSY, W i − hSY, ZihSX, W i, X SY Y SX R(X, Y )N,

      ∇ − ∇ − S[X, Y ] = ¯ para quaisquer campos de vetores X, Y, Z e W em M . n +1 n +1 n +1 n +1 No caso em que M ´e uma forma espacial, isto ´e, S , H ou R , as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi s˜ao condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para M ser localmente imersa isometricamente em M . Neste caso, as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi envolvem a m´etrica e a segunda forma fundamental de M . No caso dos espa¸cos homogˆeneos, essas equa¸c˜oes n˜ao s˜ao suficientes para descrever completamente o comportamento das superf´ıcie imersas em E(κ, τ ).

      Em [9] Benoˆıt Daniel obteve uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para uma su- perf´ıcie Σ ser localmente imersa isometricamente em E(κ, τ ). As equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi, neste caso, envolvem a segunda forma fundamental, a proje¸c˜ao T do campo de Killing ξ sobre o espa¸co tangente de Σ e a componente normal ν do campo vertical ξ e podem ser escritas, respectivamente, como

      2

      2 K = det S + τ + (κ )ν ,

      − 4τ X SY Y SX )ν(

      2 ∇ − ∇ − S[X, Y ] = (κ − 4τ hY, T iX − hX, T iY ) .

      Al´em delas aparecem duas outras equa¸c˜oes que s˜ao consequˆencia do fato do campo ξ ser paralelo. Tais equa¸c˜oes juntas com as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi s˜ao as chamadas

      Na primeira parte deste Cap´ıtulo, enunciaremos o Teorema que explicita as equa¸c˜oes de compatibilidade e provaremos que s˜ao, de fato, condi¸c˜oes necess´arias a existˆencia da imers˜ao. Em seguida, reescreveremos estas equa¸c˜oes para o caso em que temos um parˆametro conforme para a primeira forma fundamental. Essas equa¸c˜oes po- dem ser encontradas em [18]. Tamb´em neste cap´ıtulo apresentaremos a defini¸c˜ao da

      3

      diferencial de Abresch-Rosenberg Q, que generaliza a diferencial de Hopf em R , e apre- sentamos algumas f´ormulas relacionando Q, a fun¸c˜ao ˆangulo ν, e a curvatura Gaussiana. As equa¸c˜oes de compatibilidade e a diferencial de Abresch-Rosenberg s˜ao as principais ferramentas usadas na prova dos teoremas principais deste trabalho.

    2.1 As Equa¸c˜ oes de Compatibilidade

      Na presente se¸c˜ao, apresentaremos as equa¸c˜oes fundamentais de uma imers˜ao de uma superf´ıcie nos espa¸cos E(κ, τ ). As principais referˆencias s˜ao os trabalhos de B. Daniel [9] e [10] e o trabalho de I. Fern´andez e P. Mira [18].

      2 No que se segue, dada Σ uma superf´ıcie completa, imersa em E(κ, τ ) e sejam ds

      a m´etrica induzida pela imers˜ao, ∇ a conex˜ao Riemanniana, R o tensor curvatura, K a curvatura Gaussiana e S o operador de forma de Σ. Sejam T um campo de vetores em

      Σ tal que kT k ≤ 1 e ν uma fun¸c˜ao real suave em Σ tal que ν ≤ 1. Passando para o recobrimento duplo orient´avel, se necess´ario, podemos supor que Σ ´e orient´avel. Logo, podemos definir sobre Σ uma estrutura complexa, que denotaremos por J, da seguinte forma: dada uma base ortonormal positiva , e p Σ, definimos

      1

      2

      {e } ⊂ T J(e ) = e e J(e ) = .

      1

      2

      2

      1

      −e π Geometricamente, J representa uma rota¸c˜ao de em T Σ no sentido anti-hor´ario.

      2

    2 Dizemos que a upla (ds , S, T, ν) satisfaz as equa¸c˜oes de compatibilidade para

      E(κ, τ), se

      2

      2

    • ν = 1 kT k

      e, al´em disso, as igualdades

      2

      2

      2

      (i) K = det S + τ + (κ )ν ; − 4τ

      

    2

      (ii) X SY Y SX )ν( ∇ − ∇ − S[X, Y ] = (κ − 4τ hY, T iX − hX, T iY ) ;

      (iii) X T = ν(SX ∇ − τJX) ;

      (iv) dν(X) + hSX − τJX, T i = 0 ; s˜ao v´alidas, para todo X, Y ∈ X(Σ). Observa¸c˜ ao 2.1.1. Note que quando ν 6= 0, (iii) implica (iv). De fato, diferenciando a

      2

      identidade = 1 e usando (iii), obtemos hT, T i + ν hν(SX − τJX), T i + dν(x)ν = 0. Logo, se ν 6= 0, obtemos a equa¸c˜ao (iv).

      ´ E interessante, para o que se segue, escrevermos o tensor curvatura de E(κ, τ ) em termos da proje¸c˜ao T do campo de Killing ξ sobre o espa¸co tangente de Σ. A proposi¸c˜ao seguinte ´e uma consequˆencia da Proposi¸c˜ao 1.2.4 e pode ser encontrada em [9].

      Proposi¸c˜ ao 2.1.2. Para X, Y, Z, W ∈ X(Σ), temos

      2

      2 R(X, Y )Z, W ) (X, Y )Z, W ) 1 (T ; X, Y )Z, W

      h ¯ i = (κ − 3τ hR i + (κ − 4τ hR i

      2

      ¯ R(X, Y )N = (κ )ν(

      − 4τ hY, T iX − hX, T iY ), onde ν = hN, ξi,

      T ´e a proje¸c˜ao de ξ em T Σ, isto ´e, T = ξ

      − νN, e R e R s˜ao definidos pelas igualdades (1.3) e (1.4) da Proposi¸c˜ao 1.2.4.

    1 Prova. A primeira equa¸c˜ao segue diretamente da Proposi¸c˜ao 1.2.4 e do fato de que hN, Xi = 0 e hX, T i = hX, ξi para todo X ∈ X(Σ).

      Para a segunda equa¸c˜ao, usando novamente o fato acima, temos

      2

      2

      ¯ R(X, Y )N = (κ )R o (X, Y )N + (κ )R (ξ; X, Y )N

      1

      − 3τ − 4τ

      2

      = (κ )( − 3τ hX, NiY − hY, NiX)

      2

    • (κ )(

      − 4τ hY, ξihN, ξiX + hY, NihX, ξiξ −hX, NihY, ξiξ − hX, ξihN, ξiY )

      2

      = (κ )( − 4τ hY, ξihN, ξiX − hX, ξihN, ξiY )

      2

      = (κ )ν( − 4τ hY, ξiX − hX, ξiY ) . Agora, usando que ξ = T + νN , obtemos

      2

      ¯ R(X, Y )N = (κ )ν(

      − 4τ hY, T iX − hX, T iY ) , o que conclui a prova. O Teorema a seguir, foi obtido por Benoˆıt Daniel em [9]. Ele afirma que, para garantir a existˆencia de uma imers˜ao isom´etrica de uma superf´ıcie Σ no espa¸co homogˆeneo

      3-dimensional E(κ, τ ), ´e necess´ario e suficiente que Σ satisfa¸ca as equa¸c˜oes de compatibi-

      Teorema 2.1.3 (Benoˆıt Daniel, 2007). Sejam Σ uma variedade Riemanniana orientada,

      

    2

      simplesmente conexa, de dimens˜ao dois, ds sua m´etrica Riemanniana e ∇ sua conex˜ao

      Riemanniana. Sejam S um campo de operadores sim´etricos S y : T y Σ y Σ, T um −→ T

      2

      2 campo de vetores em Σ e ν uma fun¸c˜ao suave em Σ tal que + ν = 1.

      kT k Sejam ξ um campo vertical em E(κ, τ ), onde κ ´e a curvatura da base da fibra¸c˜ao e τ a curvatura fibrado. Ent˜ao existe uma imers˜ao isom´etrica f : Σ

      −→ E(κ, τ) tal que o operador de forma com respeito ao normal N associado a f ´e

      −1

      df ◦ S ◦ df e tal que

      ξ = df (T ) + νN

      2

      se, e somente se, (ds , S, T, ν) satisfaz as equa¸c˜oes de compatibilidade para E(κ, τ ). Neste caso, a imers˜ao ´e unica a menos de isometrias globais de E(κ, τ ) que preservam a ori- enta¸c˜ao da fibra e da base da fibra¸c˜ao.

      A prova de que as equa¸c˜oes de compatibilidade s˜ao necess´arias ´e feitas nos Lemas 2.1.4 e 2.1.5 abaixo. A prova da rec´ıproca ´e baseada no m´etodo do referencial m´ovel e pode ser encontrada em [9] e [10].

      Lema 2.1.4 (Equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi em uma variedade homogˆenea). Para Σ imersa isometricamente em E(κ, τ ), temos

      

    2

      2 K = K + τ + (κ )ν e

      − 4τ e X SY Y SX )ν(

      2

      ∇ − ∇ − S[X, Y ] = (κ − 4τ hY, T iX − hX, T iY ) , onde K ´e a curvatura de Gauss de Σ e K = det S ´e a curvatura extr´ınseca de Σ. e Prova. Sabemos que as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi para uma hipersuperf´ıcie Rieman- niana s˜ao

      R(X, Y )Z, W h ¯ i − hR(X, Y )Z, W i = hSX, ZihSY, W i − hSX, W ihSY, Zi, (2.1) ¯

      R(X, Y )N = X SY Y SX (2.2) ∇ − ∇ − S[X, Y ].

      Pela Proposi¸c˜ao 2.1.2, temos que

      2

      2

      (κ ) (X, Y )Z, W ) (T ; X, Y )Z, W

      

    1

      − 3τ hR i + (κ − 4τ hR i = hR(X, Y )Z, W i = hSX, ZihSY, W i − hSX, W ihSY, Zi.

      Escolhendo X, Y tais que kXk = kY k = 1, hX, Y i = 0 e fazendo X = Z, Y = W , obtemos as igualdades

      2 e R (T ; X, Y )X =

      1 hY, T ihX, T iX − hY, T iT − hX, T ihX, T iY.

      Assim, (X, Y )X, Y hR i = hY, Y i = 1,

      2 1 (T ; X, Y )X, Y .

      hR i = −kT k Por outro lado, uma vez que T = ξ

      − νN, temos

      2

      = kT k hξ − νN, ξ − νNi

      2

      = hξ, ξi − 2νhξ, Ni + ν hN, Ni

      2 = 1 .

      − ν Al´em disso, det S = hSX, XihSY, Y i − hSY, XihSY, Xi. Logo,

      

    2

      2

      2 K = det S + κ )

      − 3τ − (κ − 4τ kT k

      

    2

      2

      2

      = det S + κ )(1 ) − 3τ − (κ − 4τ − ν

      2

      2

      2

      = det S + τ + (κ )ν , − 4τ ou seja,

      

    2

      2

      2 K = det S + τ + (κ )ν ,

      − 4τ que ´e a equa¸c˜ao de Gauss em E(κ, τ ). Finalmente, juntando a Proposi¸c˜ao 2.1.2 e a equa¸c˜ao (2.2), obtemos a equa¸c˜ao de Codazzi X SY Y SX )ν(

      2 ∇ − ∇ − S[X, Y ] = (κ − 4τ hY, T iX − hX, T iY ).

      Pela Proposi¸c˜ao 1.2.2, a curvatura fibrado τ nos espa¸cos homogˆeneos E(κ, τ ) deve satisfazer X ξ = τ X ∇ ∧ ξ. Consequentemente, temos que uma imers˜ao em E(κ, τ) satisfaz o seguinte resultado.

      Lema 2.1.5. Para X X T = ν(SX ∈ X(Σ), temos ∇ − τJX) e dν(X) + hSX − τJX, T i = 0.

      Prova. Como ξ = T + νN , temos X ξ = (T + νN ) X ∇ ∇

      Usando que X T = X T + X N = ∇ ∇ hSX, T iN e ∇ −SX, obtemos X ξ = X T + ∇ ∇ hSX, T iN + dν(X)N − νSX .

      Por outro lado, X ξ = τ X ∇ ∧ ξ

      = τ X ∧ (T + νN)

      = τ (X ∧ T + νX ∧ N)

      = τ ( hJX, T iN − νJX). Igualando as express˜oes, encontramos X T = ν(SX hSX, T iN − τhJX, T iN + dν(X)N + ∇ − τJX), ou seja,

      ( X T = ν(SX hSX − τJX, T i + dν(X))N + ∇ − τJX).

      Conclu´ımos ent˜ao que X T = ν(SX ∇ − τJX) e dν(X) + hSX − τJX, T i = 0, como afirmado.

      Agora, vamos reescrever as equa¸c˜oes fundamentais para uma imers˜ao ψ : Σ −→

      E(κ, τ) em termos de um parˆametro conforme z. Identificaremos ψ(Σ) com Σ. Vamos con- siderar, ent˜ao, Σ uma superf´ıcie de Riemann com estrutura complexa dada pela m´etrica induzida e z denotar´a o parˆametro conforme de Σ. Associado a z = u+iv, consideraremos

      1

      1 os operadores ∂ z = (∂ u v ) e ∂ z = (∂ u + i∂ v ).

      − i∂ ¯

      2

    2 Sejam N um vetor normal unit´ario de Σ e ξ o campo de Killing unit´ario vertical

      de E(κ, τ ). Chamaremos de dados fundamentais de Σ a upla

    • (λ, ν, H, p, A)

      ∈ R × [−1, 1] × R × C × C, onde λ ´e o fator de conformidade da m´etrica induzida em Σ, isto ´e, λ = 2 z , ∂ z

      ¯

      h∂ i, ν = hN, ξi ´e a componente normal do campo vertical ξ; H ´e a curvatura m´edia de Σ, p ´e a

      2

      diferencial de Hopf de Σ, ou seja, p = ∂ N, ∂ z , e, sendo T z h−∇ idz ∈ X(Σ) a componente tangente do campo vertical ξ, isto ´e, T = ξ z z − νN, temos A := hξ, ∂ i = hT, ∂ i.

    • λH
    • ¯ pd¯ z

      ¯ z , ∂ ¯ z

      λ

      2 dz(T ). Como T

      ∈ X(Σ), podemos escrever T = a∂ z + b∂

      ¯ z .

      Ent˜ao dz(T ) = dz(a∂ z + b∂ ¯ z ) = a e d¯ z(T ) = d¯ z(a∂ z + b∂ ¯ z ) = b.

      Logo, T =

      2 λ

      ( ¯ A∂ z + A∂ ¯ z ). (2.4) Lema 2.1.6. As seguintes rela¸c˜oes intr´ınsecas em Σ s˜ao satisfeitas:

      1) h∂ z , ∂ z i = 0; 2) h∂

      i = 0; 3) h∂ z , ∂

      i = I(T, ∂

      ¯ z

      i = λ

      2 ;

      4) K = −2(logλ) z

      ¯ z

      λ ;

      5) ∇ z

      ∂ z = λ z λ ∂ z ; 6)

      ∇ ∂ z ∂

      ¯ z =

      ¯ z ) =

      ¯ z

      Em termos do parˆametro conforme complexo z, a primeira e a segunda formas fundamentais de Σ s˜ao dadas por I = λ

      II(∂ z , ∂

      |dz|

      2

      ,

      II = pdz

      2

      |dz|

      2

      2

      , respectivamente. Assim, temos

      II(∂ z , ∂ z ) = hS(∂ z ), ∂ z i = p,

      ¯ z ) =

      ¯ A = hT, ∂

      hS(∂ z ), ∂

      ¯ z

      i = λH

      2 . (2.3)

      Al´em disso, como A = hT, ∂ z i e I = λ|dz|

      2

      = λ

      2 (dzd¯ z + d¯ zdz), temos que

      A = hT, ∂ z i = I(T, ∂ z ) = λ

      2 d¯ z(T ) e

      ∇ ∂ ¯ z ∂ z = 0; 7) J(∂ z ) = i∂ z .

      . Como a parame-

      12

      1 11 − Γ

      1

      22

      2

      12

      ) + i(Γ

      2 11 − Γ 2 22 − 2Γ

      1

      ) , CΓ

      1

      2

      11

      =

      1

      4 ((Γ

      1 11 − Γ 1 22 − 2Γ

      2

      12

      4 ( Γ

      =

      2 11 − Γ

      

    12

      4 ((Γ

      1

      11

      − Γ

      1

      22

      − 2Γ

      

    2

      ) − i(Γ

      11

      2

      11

      − Γ

      2

      22

      1

      12 ))∂ ¯ z .

      Logo, CΓ

      1

      ) − i(Γ

      2

      12

      = CΓ

      2

      11

      = CΓ

      1

      22

      ; CΓ

      1

      12

      2

      22

      12

      ; Ent˜ao, podemos determinar

      ∇ ∂ zz ,

      ∇ ∂ z

      ¯ z

      , ∇ ¯ z

      ∂ z e ∇ ¯ z

      ∂

      ¯ z

      ; CΓ

      2

      22

      1

      1

      12 )).

      De forma an´aloga, obtemos CΓ

      2

      12

      =

      1

      4 (Γ

      11

      = CΓ

      1

      22

      2

      11

      2

      22

      ); CΓ

      1

      11

      ) ∂ z

      1

      22

      ∇ ∂ z ∂ z = CΓ

      

    12

      ∂ z + CΓ

      2

      12

      ∂

      ¯ z ,

      

    1

      ∇ z ∂ z = CΓ

      

    22

      ∂ z + CΓ

      2

      i = I(∂ z , ∂

      ∂

      ¯ z ,

      onde CΓ k ij s˜ao os s´ımbolos de Chistoffel da conex˜ao associados a parametriza¸c˜ao (z, ¯ z). De fato, escrevendo z = u + iv, temos

      

    1

      ¯ z ,

      1

      ¯ z

      2 . Agora, tendo em conta que (ver [7], pg 283)

      K = −

      1 2λ

      ∆ log λ e ∆(log λ) = 4(log λ) z

      ¯ z ,

      encontramos 4) K =

      −2(logλ) z

      λ . Para provar as demais igualdades, expressamos os coeficientes da conex˜ao

      ∂

      ∇ associados a z e ¯ z como ∇ z

      ∂ z = CΓ

      

    1

      

    11

      ∂ z + CΓ

      2

      11

      ∇ ∂ z ∂ z =

      4 ∇ u−i∂y

      ¯ z ) =

      i = I(∂

      )∂ v , =

      1

      ¯ z

      1

      h∂ z , ∂

      ¯ z , ∂ ¯ z ) = 0 e

      1

      

    2

      2

      ¯ z , ∂ ¯ z

      h∂ z , ∂ z i = I(∂ z , ∂ z ) = 0 , h∂

      2

      2 |, temos as igualdades 1), 2) e 3).

      h. , .i = λ|dz

      2

      Prova. Como I =

      22

      − Γ

      (∂ u −i∂ y )

      12

      =

      1

      4 (Γ

      1

      11

      − 2iΓ

      1

      − Γ

      12

      

    1

      

    22

      )∂ u + (Γ

      2

      11

      − 2iΓ

      2

      λ

      − 2Γ

      4 ( Γ

      11

      − Γ

      22

      

    12

      ) + i(Γ

      11

      − Γ

      22

    • 1
    • Γ
    • i(Γ
    • Γ
    E v G u E u

      1

      1

      1

      Γ = , Γ = , Γ = ,

      12 22 −

      11

      2E

      2E

      2E E v G u G v G u

      2

      2

      2

      2

      Γ = , Γ = , Γ = , Γ = , −

      22

      12

      22

      12

      2G G

      2G

      2G λ z

      1

      2

      e, como CΓ = e CΓ = 0, temos que

      11

      11

      λ

    ∂ ∂ z = CΓ ∂ z + CΓ ∂ z

    z ¯

      

    1

      2

      ∇

      11

      11

      λ z = ∂ z .

      λ Analogamente,

      λ z

    ∂ ∂ z = ∂ ¯ ∂ z = 0 e ∂ ¯ ∂ z = .

    z ¯ z z ¯ ¯ ∇ ∇ ∇

      λ O Teorema a seguir, foi obtido em [18]. Ele apresenta as equa¸c˜oes de compati- bilidade para o caso em que temos uma parˆametro conforme para a primeira forma fun- damental. Teorema 2.1.7 (I.Fern´andez e P. Mira). Os dados fundamentais de uma imers˜ao ψ : Σ

      −→ E(κ, τ) satisfazem as seguintes condi¸c˜oes de integrabilidade

      

    2

      2

      2 K = K e + τ + (κ )ν ; (2.5)

      − 4τ λ

      2

      p z = (H z + νA(κ )); (2.6) − 4τ

      2 νλ

      A z = (H + iτ ); (2.7)

      2 2pA

      ν z = ; (2.8) −(H − iτ)A −

      λ

      1

      2

      2

      = λ(1 ). (2.9) |A| − ν

      4 Reciprocamente, se escolhermos fun¸c˜oes λ, ν, H : Σ −→ R, com λ &gt; 0, −1 ≤ ν ≤ 1 e p, A : Σ

      −→ C em uma superf´ıcie de Riemann, simplesmente conexa, Σ satisfazendo as

      2

      condi¸c˜oes de integrabilidade acima para constantes κ, τ , com κ − 4τ 6= 0, ent˜ao, a menos de congruˆencia, existe uma ´ unica superf´ıcie ψ : Σ

      −→ E(κ, τ) cujos dados fundamentais s˜ao (λ, ν, H, p, A). Prova. O Teorema 2.1.3, afirma que uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a existˆencia de uma imers˜ao isom´etrica ´e dada em termos das equa¸c˜oes de compatibilidade. Assim, para provar este teorema verificaremos que as equa¸c˜oes fundamentais (2.5) `a (2.8) s˜ao equivalentes as equa¸c˜oes de compatibilidade. Sejam, ent˜ao (λ, ν, H, p, A) os dados fundamentais da superf´ıcie Σ. Vamos mos- trar que (λ, ν, H, p, A) satisfaz as equa¸c˜oes (2.5) `a (2.8) se e, somente se, (S, T, ∇, ν, J, K) veri-fica as equa¸c˜oes de compatibilidade.

      2

      2 Primeiramente, vamos verificar que + ν = 1 ´e equivalente `a (2.9). Como,

      kT k por (2.4),

      2 T = ( ¯ A∂ z + A∂ z ),

      ¯

      λ temos que

      2

      2

      2

      ( ¯ A∂ z + A∂ z ) = λ ,

      

    ¯

      |A| λ e portanto,

      2

      2

      2

      4

      2

      2 2 |A|

      2 + ν = 1 ( ¯ A∂ z + A∂ z ) = 1 = 1 .

    ¯

      kT k ⇐⇒ − ν ⇐⇒ − ν λ λ

      Agora, vamos verificar que (iv) ´e equivalente `a (2.7). Como (iv) ´e uma express˜ao linear em X, ´e suficiente mostrar que essa igualdade vale para X = ∂ z . Ent˜ao, fazendo X = ∂ z em (iv), temos dν(∂ z ) + z ) z ), T (2.10) hS(∂ − τJ(∂ i = 0. Como dν = ν z dz + ν ¯ z d¯ z, encontramos que dν(∂ z ) = ν z . Substituindo dν(∂ z ) = ν z , J(∂ z ) =

      2 i∂ z e T = ( ¯ A∂ z + A∂ z ) na express˜ao (2.10) acima, temos

      ¯

      λ

      2

      2 u z = z ) z ), ( ¯ A∂ z + A∂ z ) z , ( ¯ A∂ z + A∂ z )

      ¯ ¯

      −hS(∂ − τJ(∂ i − hiτ∂ i λ λ

      2

      2 ¯

      = A z ), ∂ z A z ), ∂ z

      ¯

      − hS(∂ − iS(∂ − iτA λ λ

      2 2 λ ¯

      = Ap A H + iτ A − −

      λ λ

      2

      2 = p ¯ A.

      −(H − iτ)A − λ Ou seja, (iv) ´e equivalente `a (2.7).

      Analogamente, como (iii) ´e linear em X, ´e suficiente mostar que (iii) ´e v´alido para X = ∂ z . Isto ´e equivalente a mostrar que ∂ z T, ∂ z (H e ∂ z T, ∂ z νλ

      ¯ h∇ i = − iτ) h∇ i = νp.

      2 De fato, ∂ z T, ∂ z ¯ z ) z )), ∂ z ¯ h∇ i = hν(S(∂ − τJ(∂ = ν z ) z , ∂ z

      ¯

      hS(∂ − iτ∂ i = ν z ), ∂ z z , ∂ z

      ¯ ¯ ¯

      hS(∂ i − νiτhpz, ∂ i λH λ

      = ν − νiτ

      2

      2 νλ

      = (H (2.11) e ∂ z T, ∂ z z ) z )), ∂ z h∇ i = hν(S(∂ − τJ(∂ i = ν ), ∂ , ∂ z z z z hS(∂ i − iτh∂ i = νp.

      (2.12) Observe que (2.11) ´e precisamente o conjugado da express˜ao (2.6). Al´em disso, como a conex˜ao ´e compat´ıvel com a m´etrica, temos

      ∂ z z ∂ T, ∂ z ∂ ∂ z z z hT, ∂ i = h∇ i + hT, ∇ i λ z

      ∂ z A = ∂ z T, ∂ z ∂ z h∇ i + hT, i λ

      λ z = ∂ T, ∂ z z z h∇ i + hT, ∂ i.

      λ Logo, ∂ z T, ∂ z z z λ z h∇ i = A − hT, ∂ i,

      λ e podemos reescrever (2.12) como λ z

      A z z (2.13) − hT, ∂ i = νp.

      λ Agora, derivando (2.8) com respeito a z, obtemos

      (A z z + A ¯ ¯ A z )λ Aλ z νν z − A ¯ = .

      −

      2

      λ

      2 Substituindo (2.6) e (2.7) na express˜ao acima obtemos (2.13). Ou seja, (iii) ´e obtida a partir de (2.6), (2.7) e (2.8).

      A seguir, vamos mostrar que (ii) ´e equivalente `a (2.5). Como (2.8) ´e uma ex- press˜ao bilinear e anti-sim´etrica nas vari´aveis X e Y ´e suficiente verificar (2.8) para X = ∂ z e Y = ∂ z . Assim, temos

      ¯

    ∂ z S(∂ z ¯ ) ∂ z S(∂ z ¯ ) z , ∂ z ¯ ]) = (κ )ν( z ¯ , T z z , T ¯ z ).

      2

      ∇ − ∇ − S([∂ − 4τ h∂ i∂ − h∂ i∂ Uma vez que vale

      S([∂ z , ∂ z ]) = ∂ ¯ ∂ z ∂ ∂ z = 0,

      ¯ z z ¯

      ∇ − ∇ encontramos que

    ∂ z S(∂ z ¯ ) ∂ z S(∂ z ¯ ) = (κ )ν( z ¯ , T z z , T z ¯ ).

      2

      ∇ − ∇ − 4τ h∂ i∂ − h∂ i∂ Agora, tomando o produto interno dessa express˜ao por ∂ z , e usando que z , ∂ z z , ∂ z , λ

      ¯ obtemos ∂ z S(∂ z ) ∂ z ¯ S(∂ z ), ∂ z )ν z , T z , ∂ z z , T z , ∂ z

      2 ¯ ¯ ¯

      h∇ − ∇ i = (κ − 4τ hh∂ i∂ i − hh∂ i∂ i λ ∂ S(∂ z ), ∂ z ∂ ¯ S(∂ z ), ∂ z )ν z , T . (2.14) z ¯ z

      2

      h∇ i − h∇ i = (κ − 4τ h∂ i

      2 Como ¯ p = z ), ∂ z ∂ z ∂ z = 0, hS(∂ i e ∇ temos ¯ ¯

      ∂ z ¯ z ), ∂ z ∂ z S(∂ z ), ∂ z z ), ∂ z ∂ z hS(∂ i = h∇ i + hS(∂ ∇ i, p z = ∂ ¯ S(∂ z ), ∂ z

      ¯ z h∇ i.

      Al´em disso, como z ), ∂ z z , ∂ z ) = λH

      ¯ ¯

      hS(∂ i = I(∂ −

      2 e ∂ z z ), ∂ z ∂ z S(∂ z ), ∂ z z ), ∂ z ∂ z

      ¯ ¯ ¯

      hS(∂ i = h∇ i + hS(∂ ∇ i λ z

      = ∂ S(∂ z ), ∂ z S(∂ z ), ∂ z , z ¯ ¯ h∇ i + λ conclu´ımos que ∂ z S(∂ z ¯ ), ∂ z . λH z h∇ i = −

      2 Substituindo esta express˜ao em (2.14) obtemos (2.5). Finalmente, como

      λ λH E = G = 0, F = , e = p, g = ¯ p, e f = ,

      2

      2 obtemos det S = K(I, II)

      (2.15)

      2

      2

      λ H

      2 p¯ p

      2

      − eg

      4 − f

      2 |P |

      4 = = = H . (2.16)

      −

      2

      2

      2 EG λ λ

      − F −

      4 mais ainda, tendo em conta que z z

      ¯

      −2(logλ) K = ,

      λ podemos escrever a equa¸c˜ao de Gauss (i) como

      2

      2 λ λ |p|

      2

      2

      2

      2

      (logλ) z z ¯ = ν (κ ) (H + τ ). (2.17) − − 4τ −

      λ

      2

      2 Derivando (2.13) com respeito a ¯ z, obtemos (λ z z A + λ z A z ) z Aλ z

      ¯ ¯ ¯

      − λ A z z = ν z p + νp z .

      

    ¯ ¯ ¯

      −

      2

      λ substituindo (2.5), (2.6) e (2.7) na express˜ao acima, obtemos exatamente a express˜ao (2.17). Ou seja, (i) ´e obtido a partir das equa¸c˜oes (2.5), (2.6) e (2.7).

      Portanto as equa¸c˜oes (2.5) `a (2.8) s˜ao equivalentes `as equa¸c˜oes compatibilidade, e o resultado segue do Teorema 2.1.3.

    2.2 A Diferencial de Abresch-Rosenberg

      Em 1955, H. Hopf construiu uma diferencial quadr´atica definida sobre superf´ıcies

      3

      de R que, aliado ao fato de ser holomorfa quando a curvatura m´edia da superf´ıcie ´e constante, ´e a principal ferramenta para demonstrar o seguinte importante resultado.

      Teorema(Heinz Hopf ). Seja M uma superf´ıcie compacta de gˆenero zero imersa

      3 em R com curvatura m´edia constante. Ent˜ao M ´e isom´etrica `a esfera redonda.

      2 Este resultado foi estendido para esferas S de curvatura m´edia constante na

      3

      3 esfera S e no espa¸co hiperb´olico H .

      Em 2004, U. Abresch e H. Rosenberg em [AR1] e [AR2] generalizaram a defini¸c˜ao da diferencial de Hopf para superf´ıcies de curvatura m´edia constante nos espa¸cos produtos

      2

    2 S

      × R e H × R e, mais geralmente, para espa¸cos homogˆeneos tridimensional com grupo de isometrias de dimens˜ao quatro e, consequentemente, estabeleceram uma generaliza¸c˜ao do Teorema de Hopf. Em verdade, eles provaram o

      2 Teorema(Abresch-Rosenberg). Qualquer imers˜ao de uma esfera S de curva-

      3

      tura m´edia constante, em um espa¸co homogˆeneo simplesmente conexo, (M , g) com grupo de isometrias no m´ınimo de dimens˜ao quatro, ´e de fato uma esfera de curvatura m´edia constante, mergulhada e rotacionalmente invariante.

      A diferencial de Abresch-Rosenberg para uma imers˜ao ψ : Σ −→ E(κ, τ) ´e a diferencial quadr´atica globalmente definida por

      2

      2

      2

      2 Qdz = (2(H + iτ )p )A )dz . (2.18)

      − (κ − 4τ

      3 Ao contr´ario do que acontece em R , onde a diferencial de Hopf ser holomorfa im-

      plica necessariamente que a superf´ıcie tem curvatura m´edia constante, existem superf´ıcies em alguns espa¸cos homogˆeneos E(κ, τ ), com diferencial de Abresch-Rosenberg holomorfa e curvatura m´edia n˜ao constante. Para mais detalhes ver [18]. Em verdade, para a diferencial de Abresch-Rosenberg, temos o seguinte.

    2 Teorema 2.2.1 ([12]). Qdz ´e uma diferencial quadr´atica holomorfa em qualquer su- perf´ıcie de curvatura m´edia constante em E(κ, τ ).

      Prova. Derivando Q em rela¸c˜ao a ¯ z, encontramos

      2 Q z = 2H z p + 2(H + iτ )p z )2AA z .

    ¯ ¯ ¯ ¯

      − (κ − 4τ Substituindo as equa¸c˜oes (2.6) e (2.7), obtemos Q z = λH z (H + iτ ) + 2H z p.

      

    ¯ ¯

      Como Σ tem curvatura m´edia constante, temos que H z = H z = 0

      ¯

      e, portanto, Q z = 0.

      ¯ Ou seja, Q ´e holomorfa.

      Associada a diferencial de Abresch-Rosenberg, definimos sobre uma superf´ıcie de

    • curvatura m´edia constante Σ, uma fun¸c˜ao suave q : Σ dada por

      −→ R

      2

      4 |Q| q = .

      2

      λ Como Q ´e holomorfa em qualquer superf´ıcie de curvatura m´edia constante, temos que q tamb´em ´e holomorfa. Logo, q ´e identicamente nula ou os zeros de q s˜ao isolados. Note que q n˜ao depende do parˆametro conforme z. Assim, q ´e definida globalmente em Σ.

      Para o resultado que se segue vamos redefinir a diferencial de Abresch-Rosenberg para a imers˜ao de uma superf´ıcie ψ : Σ −→ E(κ, τ) como sendo a diferencial quadr´atica

      2

      κ − 4τ

      2

      2

      2 Qdz = 2p A dz ,

      − H + iτ definida longe dos pontos com H = 0 se τ = 0. Assim, para a Proposi¸c˜ao que se segue, assumiremos que as superf´ıcies tem curvatura m´edia n˜ao nula se τ = 0. Note que n˜ao h´a perda de generalidade com isso, pois nosso estudo ´e basicamente local. Estamos apenas

      2

      2

      excluindo as superf´ıcies m´ınimas em S × R e H × R, que s˜ao melhores estudadas por outros m´etodos.

      Observe ainda que, definir a diferencial de Abresch-Rosenberg como acima, deixa claro que tal diferencial ´e uma perturba¸c˜ao da diferencial de Hopf. Com esta defini¸c˜ao a equa¸c˜ao de Codazzi pode ser reescrita da seguinte maneira.

      2 H z ¯ A

      2 Q z ¯ = λH z + (κ ) . (2.19)

      − 4τ

      2 Como comentamos acima, em geral, n˜ao ´e verdade que a diferencial de Abresch- Rosenberg em uma superf´ıcie Σ

      ⊂ E(κ, τ) ser holomorfa implica que a curvatura m´edia ´e constante. Entretanto, para alguns casos particulares o fato acima ´e verdadeira. Por

      2

      exemplo para esferas de Berger que satisfazem κ &lt; 0. Veja [18]. O fato acima − 8τ tamb´em ´e verdade para as superf´ıcies com diferencial de Abresch-Rosenberg identicamente nula. Isto ´e o que afirma a proposi¸c˜ao a seguir.

      Proposi¸c˜ ao 2.2.2. Qualquer superf´ıcie em E(κ, τ ) com diferencial de Abresch-Rosenberg nula ´e uma superf´ıcie de curvatura m´edia cosntante. Prova. Suponha que H n˜ao ´e constante em um aberto U

      ⊂ Σ. Ent˜ao podemos supor,

      2 sem perda de generalidade que H = 1 e H = τ = 0. z

      6= 0 e A 6= 0, do contr´ario ter´ıamos ν Por hip´otese Q

      ≡ 0, ent˜ao

      2

      κ − 4τ

      2

      2p = A (2.20) H + iτ e a equa¸c˜ao de Codazzi (2.19) fica

      2 ¯

      H A Z

      2

      λH z = ) , −(κ − 4τ

      2

      (H + iτ ) o que implica com

      2

      2 A (H + iτ ) H z = H z . ¯

      2

      λ κ − 4τ

      Como H z 6= 0, ficamos

      2

      2 A (H + iτ ) = .

      2

      λ κ − 4τ

      Tomando o m´odulo na express˜ao acima, obtemos

      2

      

    2

      2 H + τ

      |A| = . (2.21)

      2

      λ |κ − 4τ |

      Agora, substituindo as equa¸c˜oes (2.20) e (2.21) na equa¸c˜ao (2.8) e usando o fato

      2

      |w| que = ¯ w para todo n´ umero complexo w, temos w z = (H 2p ¯ A

      −ν − iτ)A + λ

      2

      ¯ κ A

      − 4τ

      2

      = (H A − iτ)A +

      H + iτ λ

      2

      2

      κ − 4τ |A|

      = (H A − iτ)A +

      H + iτ λ

      2

      2

      2

      κ H + τ − 4τ

      = (H − iτ)A + A ·

      2 H + iτ

      |κ − 4τ |

      2

      κ − 4τ

      = (H 1 + , − iτ)A

      2 ou seja,

      2

      κ z = (H 1 + . (2.22) − 4τ −ν − iτ)A

      2

      |κ − 4τ |

    2 Consequentemente, se κ < 0, inferimos que ν z

      − 4τ ≡ 0, ou seja, ν ´e constante. Por outro lado, juntando as equa¸c˜oes (2.21) e (2.9), conclu´ımos que

      2

      2

      4(H + τ )

      2

      1 = . (2.23) − ν

      2

      |κ − 4τ | Como ν ´e constante, por (2.23), H deve ser constante, o que n˜ao ´e poss´ıvel, pois estamos supondo H n˜ao constante.

    2 Se κ > 0, usando as express˜oes (2.19) e (2.21), encontramos

      − 4τ

      2

      2

      κ − 4τ |A|

      H z (H + iτ ) ¯ A = H z A

      ¯

      − H + iτ λ

      2

      2

      2

      κ H + τ − 4τ

      = H A

      ¯ z

      −

      2 H + iτ κ

      − 4τ

      2

      2 H + τ

      = H z A

      ¯

      − H + iτ

      = z (H

      ¯ −H − iτ)A.

      Isto ´e, H (H + iτ ) ¯ A = (H + iτ ) ¯ ¯ z z A.

      −H Logo, H z (H + iτ ) ¯ A ∈ iR.

      Agora, diferenciando (2.23), encontramos que

      4HH z ν z = .

      2

      (κ )ν − 4τ

      Logo,

      4H ν z (H + iτ ¯

      A) = ν z (H + τ ) ¯ A · H ∈ iR.

      

    2

      (κ ) − 4τ

      Por outro lado, usando a express˜ao (2.22), obtemos

      2

      κ

      2

      2 2 − 4τ

      ν z (H + iτ ) ¯ A = + τ ) 1 + −(H |A| ∈ R − {0}

      2

      |κ − 4τ | o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto H ´e constante.

      O pr´oximo Lema d´a as express˜oes para o Laplaciano e para norma do gradiente da fun¸c˜ao ˆangulo ν, bem como relaciona a fun¸c˜ao q com a curvatura Gaussiana K. Antes, vamos ver como ficam as express˜oes do gradiente e do Laplaciano em termos da m´etrica

      2

      . A matriz dos coeficientes da m´etrica

      λ !

      2

      (g ij ) = , λ

      2

      e a sua matriz inversa ´e ! ij λ

      2 g = . λ

      2 Tendo em conta que as express˜oes do gradiente e do Laplaciano de uma fun¸c˜ao

      f sobre uma variedade Riemanianna (M, g), em termos da m´etrica g, s˜ao dadas por (ver [8]):

      X kl (g ∂ l f )∂ k

      ∇f = k,l e

      2 X

      1 jk √ ∆f = ∂ j (g g∂ k f ),

      √ g j,k

      =1

      temos

      X kl (g ∂ l f )∂ k

      ∇f = k,l

      11

      12

      21

      22

      = (g ∂ f + g ∂ f )∂ + (g ∂ f + g ∂ f )∂

      1

      2

      1

      1

      2

      2

      11

      12

      21

      22

      = (g ∂ z f + g ∂ z f )∂ z + (g ∂ z f + g ∂ z f )∂ z

      ¯ ¯ ¯

      1

      1 + = f z ¯ ∂ z f z ∂ z ¯ . λ λ

      Ou seja,

      1

      1 + f z ∂ z f z ∂ z .

      ¯ ¯

      ∇f = λ λ

      E, para o Laplaciano de f , ficamos com

    2 X

      1 jk

      ∆f = ∂ j (g g∂ k f ) √ g j,k

      =1

    2 X

      1 λ λ i i

      1

      2

      = ∂ j (g i∂ f ) + ∂ j (g i∂ f )

      1

      2

      p

      2

      2

      2 /4

      −λ j

      =1

      2 = (i∂ z (f z ) + i∂ z (f z ))

      ¯

      λi

      2 = (f zz + f z z )

      ¯ ¯

      λ

      4 = f z z .

      ¯

      λ Portanto,

      4 ∆f = f z z .

      ¯

      λ Com isso podemos apresentar a prova do seguinte lema. Lema 2.2.3. Seja Σ uma superf´ıcie imersa em E(κ, τ ). Ent˜ao as seguintes equa¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

      2

      2

      2

      4H + κ )ν q

      2 − (κ − τ

      2

      2

      2

      = 4(H e ) + (κ )(1 ) ; (2.24) k∇νk − H − 4τ − ν −

      2

      2

      4(κ ) κ

      − τ − 4τ

      2

      2

      2

      2

      ∆ν = + 2τ + (κ )(1 ) e )ν . (2.25) −(4H − 4τ − ν − 2K

      Al´em disso, longe dos zeros isolados de q, temos ∆ ln q = 4K. (2.26)

      2 Prova. Usando a equa¸c˜ao (2.8) e a igualdade ν z = A pA, obtemos

      −(H − iτ) ¯ − λ

      2 z z z = ν ν

      |ν |

      4

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      

    2

      2

      2 = + + (H + τ ) (H + iτ )p ¯ A (H A .

    • 2

      |p| |A| |A| − iτ)¯p

      λ λ λ Como

      2

      2 Q = 2(H = iτ )p )A ,

      − (κ − 4τ temos que

      2

      = Q ¯ Q (2.27)

      |Q|

      2

      2

      2

      2

      2

      4

      = 4(H + τ ) + (κ ) |p| − 4τ |A|

      2

      2

      2 ) 2(H + iτ )p ¯ A + 2(H .

      −(κ − 4τ − iτ)¯pA

    2 Mas, como (κ )

      − 4τ 6= 0, podemos escrever a express˜ao acima da seguinte forma

      2

      2

      2

      2

      2

      4

      2

      4(H + τ ) (κ )

      2 2 |p| − 4τ |A| |Q|

    • 2(H + iτ )p ¯ A + 2(H = .

      − iτ)¯pA −

      2

      2

      2

      (κ ) (κ ) (κ ) − 4τ − 4τ − 4τ

    1 Multiplicando esta express˜ao por e substituindo em z

      λ |ν |, obtemos

      2

      2

      2

      4 (H + τ )

      4

      2

      2

      2

      2 2 |p|

    • z + (H + τ ) |ν | = |p| |A| |A|

      2

      2

      λ (κ ) λ − 4τ

      2

      2

      4

      2

      (κ ) − 4τ |A| |Q| + .

      −

      2

      2

      (κ ) λ λ(κ ) − 4τ − 4τ

      2

    2 Substituindo (2.9) e 4 = λ(H e ), temos que

      |p| − K

      2

      2

      2

      2

      (1 ) (1 ) H + τ

    z = (H e ) λ + (H + τ ) + (H e ) λ

      2 2 − ν

      

    2

    2 − ν

      2

      |ν | − K − K

      2

      4 4 κ − 4τ

      2

      2

      2

      (1 )

      2 − ν |Q| +(κ ) λ .

      − 4τ −

      2

      2

      4

      4 |Q|

      2

    2 Usando que = z e substituindo q = , encontramos

      k∇νk |ν |

      2

      λ λ

      2

      2

      4 H + τ

      2

      2

      2

      2

      

    2

      2

      2

      2

      = z = (H e )(1 ) + (H + τ )(1 ) + 4 (H e ) k∇νk |ν | − K − ν − ν − K

      2

      λ κ

      − 4τ

      2

      2

      (1 ) q

      2 − ν

    • (κ )

      (2.28) − 4τ −

      2

      4 (κ ) − 4τ

      2

      2 H + τ

      2

      2

      = (H e ) (1 ) + 4 (2.29)

      − K − ν

      2

      κ − 4τ

      2

      2

      2

      1 H + τ q

      2 2 − ν

    • (1 )(κ ) − ν − 4τ −

      2

      2

      4 κ κ − 4τ − 4τ

      2

      2

      2

      1 H + τ q

      − ν

      2

      2

      2

      = 4(H + e ) + (κ )(1 ) − K − 4τ − ν −

      2

      2

      4 κ κ

      − 4τ − 4τ

      2

      2

      2

      4H + κ )ν q

      − (κ − 4τ

      2

      2

      2 = 4(H e ) + (κ )(1 ) .

      − K − 4τ − ν −

      2

      2

      4(κ ) κ

      − 4τ − 4τ

      Portanto,

      2

      2

      2

      4H + κ )ν

      2 − (κ − 4τ

      2

      2

      2

      = (4(H e ) + (κ )(1 )) (2.30) k∇νk − K − 4τ − ν

      2

      4(κ ) − 4τ q

      −

      2

      κ − 4τ

      2 Por outro lado, derivando a equa¸c˜ao ν z = p ¯ A com respeito a ¯ z, −(H − iτ)A −

      λ obtemos

      2

      2

      2 ¯ ν z z = z p z A p ¯ A z p ¯ + Aλ z .

      ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

      −(H − iτ)A − −

      2

      λ λ λ Observando que ¯ A z = ¯ A z , temos

      ¯

      λ z

      ¯

      ¯ ¯ A z = ¯ A z = A + ¯ pν.

      ¯

      λ Usando as equa¸c˜oes (2.6), (2.7) e que H ´e constante, temos

      2

      2

      (H + τ )

      2

      2

      2

      2 ν z z = λν )ν + ν . ¯

      − − (κ − 4τ |A| |p| 2 λ E, substituindo (2.9), obtemos

      2

      2

      (H + τ ) λν

      2

      2

      2

      2

      ν z z = λν (κ )(1 ) + ν

      ¯

      − − − 4τ − ν |p|

      2 4 λ

      2

      λν

      8

      2 2 |p|

      2

      2 = (κ )(1 ) + + 2(H + τ ) .

      − − 4τ − ν

      2

      4 λ

      2

      4

      4 |p|

      2 Como ∆ν = ν z z e H e = , obtemos ¯

      − K

      2

      λ λ

      2

      2

      2

      2

      2 )(1 ) + 2(H e ) + 2(H + τ ))ν.

      ∇ν = −((κ − 4τ − ν − K Finalmente, seja p ∈ Σ tal que Q(p) 6= 0. Ent˜ao

      2

      4 |Q|

      ∆ ln q = ∆ ln

      2

      λ

      2

      2

      = ∆4 |Q| − ∆ ln λ

      2

      = ∆4 |Q| − 2 ln λ. Assim,

      2

      2

      ∆ ln = (ln ) z z ¯ |Q| |Q|

      = (ln(Q ¯ Q)) z z

      ¯

      ¯ Q z Q + Q ¯ Q z

      =

      2

      |Q| z

      ¯

      ¯ Q z Q QQ z

      ¯

    • = Q ¯ Q Q ¯ Q z

      ¯

      Q z = = 0.

      Q z

      ¯

      e, portanto, ∆ ln q = −2∆ ln λ.

      Sabendo que 2(ln f ) z z ¯

      4 K = e ∆f = (ln f ) z z ¯ , −

      λ λ temos que

      2K(I) = (2.31)

      −∆(ln λ),

      e, assim, ∆ ln q = 4K(I), como afirmado.

      Cap´ıtulo 3 Classifica¸c˜ oes de H-superf´ıcies completas em E(κ, τ )

      Em 1966, Tilla Klotz e Robert Ossermann classificaram, em [16], as superf´ıcies de

      3 curvatura m´edia constante imersas em R , cuja curvatura Gaussiana n˜ao muda de sinal.

      Mais precisamente, eles demonstraram o seguinte resultado.

      Teorema (Klotz-Ossermann). Uma superf´ıcie completa, com curvatura m´edia

      3

      constante H em R , cuja curvatura Gaussiana K n˜ao muda de sinal ´e ou uma esfera, ou uma superf´ıcie m´ınima, ou um cilindro circular reto.

      3 Este resultado foi estendido para superf´ıcies em S por D. Hoffman, em 1973, e

      3

      por R. Tribuzy, em 1978, para o espa¸co ambiente H . Neste ´ ultimo caso, com a hip´otese extra da curvatura Gaussiana K ser n˜ao positiva. Ver [23] e [36], respectivamente.

      Em 2010, J. Espinar e H. Rosenberg estenderam o resultado acima para superf´ıcies de curvatura m´edia constante imersas em espa¸cos homogˆeneos tridimensionais E(κ, τ ), com grupo de isometria de dimens˜ao quatro, cuja curvatura Gaussiana n˜ao muda de sinal.

      Na se¸c˜ao inicial deste cap´ıtulo apresentaremos mais dois resultados que tamb´em classificam as H-superf´ıcies em E(κ, τ ), isto ´e, superf´ıcies de curvatura m´edia constante H em E(κ, τ ). Tais classifica¸c˜oes envolvem as fun¸c˜oes q e ν definidas anteriormente, e s˜ao fundamentais para a demonstra¸c˜ao dos teoremas principais que ser˜ao apresentados na se¸c˜ao 3.2.

    3.1 Fun¸c˜ oes q e ν constantes

      Nesta se¸c˜ao apresentaremos dois teoremas que classificam as superf´ıcies completas de curvatura m´edia constante em E(κ, τ ) com fun¸c˜oes q e ν constantes. Veja Cap´ıtulo 2, se¸c˜ao 2.1.

      Sejam q : Σ −→ [0, +∞) a fun¸c˜ao definida por

      2

      4 |Q| q = ,

      2

      λ

      2

      onde Qdz ´e a diferencial de Abresch-Rosenberg, e ν : Σ −→ [−1, 1] a fun¸c˜ao ˆangulo definida por

      ν = hN, ξi, onde N ´e um campo unit´ario normal a Σ e ξ ´e o campo vertical.

      Dizemos que a superf´ıcie Σ ⊂ E(κ, τ) ´e um cilindro vertical sobre uma curva α se

      −1

      2

      2

      Σ = π (α), onde α ´e uma curva em M (κ) e π ´e proje¸c˜ao de E(κ, τ ) sobre M (κ). Veja o Cap´ıtulo 1, se¸c˜ao 1.2.

      O pr´oximo resultado, que pode ser encontrado em [13], descreve a geometria dos cilindros verticais em E(κ, τ ). De fato, esse resultado caracteriza tais cilindros como superf´ıcies cuja fun¸c˜ao ˆangulo ´e identicamente nula. Proposi¸c˜ ao 3.1.1. Seja Σ

      ⊂ E(κ, τ) um cilindro vertical sobre α. Ent˜ao a curvatura m´edia, Gaussiana e extr´ınseca s˜ao, respectivamente, k g

      2 H = , K = 0, K e = ,

      −τ

      2

      2

      onde κ g ´e a curvatura geod´esica da curva α com respeito a m´etrica g de M (κ). Al´em disso, estes cilindros s˜ao caracterizados por ν ≡ 0. Em particular, um cilindro vertical

      2

      completo em E(κ, τ ) ´e isom´etrico a R . Tamb´em, quando τ ≡ 0, um plano vertical em

      2 M × R ´e totalmente geod´esico.

      2 Prova. Seja α (κ) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Sejam

      ⊂ M t, n campos de vetores tangentes e normais ao longo de α. Denote por T e N o ´ unico levantamentos horizontais em E(κ, τ ) de t e n, respectivamente. Assim, T ´e tangente a

      −1

      Σ = π (α). Como ξ tamb´em ´e tangente a Σ, ent˜ao {T, ξ} ∈ X(Σ) ´e uma base ortonormal em Σ e N ´e um campo de vetores normais unit´arios ao longo de Σ, em particular, ν

      ≡ 0. Agora, escolha N tal que

      {T, N, ξ} seja uma base positiva. A segunda forma fundamental aplicada aos vetores X, Y ∈ X(Σ) ´e dada por

      II(X, Y ) = X Y, N h∇ i.

      Vamos calcular a segunda forma de Σ na base {T, ξ}. Como ξ ´e um campo de Killing unit´ario, as fibras s˜ao geod´esicas. Logo, ξ ξ = 0.

      ∇ Por outro lado, usando que T ξ = τ (T {T, N, ξ} ´e uma base positiva, e que ∇ ∧ ξ), temos T ξ, N h∇ i = τhT ∧ ξ, Ni

      = τ det(T, ξ, N ) =

      −τ det(T, N, ξ) =

      −τ, ou seja,

      II(T, ξ) = −τ e II(ξ, T ) = τ. Al´em disso, T T, N t t, n = k g , M 2 h∇ i = h∇ i M 2

      2

      onde e (κ), respectivamente. h i ∇ s˜ao a m´etrica e a conex˜ao Riemanniana de M

      Sejam X := x ξ + x T e Y := y ξ + y T . Assim,

      1

      2

      1

      2 II(X, Y ) = x 1 ξ 2 (y ξ + y T ), N

    • x

      1

      2

      h∇ i = x 1 ξ (y ξ + y T ) + x 2 T (y ξ + y T ), N

      1

      2

      1

      2

      h∇ ∇ i =

      1 y 1 ξ ξ + x 1 y 2 ξ T + x 2 y

      1 T ξ + x 2 y

      2 T T, N

      hx ∇ ∇ ∇ ∇ i = y ξ, N y T, N y ξ, N y T, N

      1 1 ξ

      1 2 ξ

      2

      1 T

      2

      2 T

      hx ∇ i + x h∇ i + x h∇ i + x h∇ i = x y τ y τ + x y k g .

      1

      2

      2

      1

      2

      2

      − x Ou seja,

      ! ! y

      1

      −τ

      II(X, Y ) = (x , x )

      1

      2 g y

      2

      −τ k e operador de forma ´e !

      −τ S = . g −τ k

      Logo,

      1

      1 H = trS = k g

      2

      2 e a curvatura extr´ınseca

      2 K e = det S = .

      −τ Usando a equa¸c˜ao de Gauss (2.5), obtemos

      

    2

      2

      2 K = K e + τ + (κ )ν

      − 4τ

      2

      2

      2

      = + τ + (κ )0 −τ − 4τ = 0. Portanto, k g = 2H, K = 0 e K e = −τ

      2 .

      ∈ V . Pelo Teorema [10], existe uma isometria ambiente

      ¯ t

      s˜ao dados por                 

      λ (s, t) = λ(s) p

      ¯

    t (s, t) = p(s)

      H

      ¯ t (s, t) = H(s)

      T ¯ t (s, t) = a(s)∂ s ν ¯ t (s, t) = ν(s), isto ´e, os dados fundamentais de ψ ¯ t e ψ coincidem em qualquer ponto (s, t)

      I

      ¯ t

      ¯ t : E(κ, τ )

      −→ E(κ, τ) tal que

      I

      ¯ t

      ◦ ψ = ψ

      ◦ i

      ¯ t ,

      , p ¯ t , H ¯ t , T ¯ t , ν ¯ t } de ψ

      . Os dados fundamentais {λ

      Antes de prosseguirmos precisamos do seguinte lema que ser´a utilizado na de- monstra¸c˜ao do pr´oximo resultado. Lema 3.1.2. Seja Σ

                      

      ⊂ E(κ, τ) uma superf´ıcie conexa tal que todos os seus dados funda- mentais ( h, i, S, T, ν) dependem somente de um parˆametro real. Ent˜ao Σ ´e invariante por um grupo a um parˆametro de isometrias.

      Prova. Suponha que todos os dados fundamentais de Σ dependem somente de s. Seja U um dom´ınio simplesmente conexo em Σ e V

      ⊂ R

      2

      , um dom´ınio simplesmente conexo de uma superf´ıcie S, tal que ψ : V −→ U ⊂ E(κ, τ). Parametrizamos V por parˆametros

      (s, t) obtidos acima. Usando o mesmo argumento usado na prova do Teorema 1.1 de [18] conclu´ımos que os dados fundamentais {λ

      , p , H , T , ν } de ψ s˜ao dados por

      λ (s, t) = λ(s) p (s, t) = p(s) H (s, t) = H(s)

      ¯ t

      T (s, t) = a(s)∂ s ν (s, t) = ν(s), onde a(s) ´e uma fun¸c˜ao suave.

      Sejam ¯ t ∈ R e i

      ¯ t : R

      2

      −→ R

      2

      um difeomorfismo dado por i(s, t) := (s, t + ¯ t), e defina ψ ¯ t := ψ

      ◦ i

      para todo ¯ t ∈ R e, portanto, S ´e uma superf´ıcie invariante por um grupo a um parˆametro

      O pr´oximo lema classifica as superf´ıcies de curvatura m´edia constante em E(κ, τ ) com q identicamente nulo. Lema 3.1.3 (Espinar-Rosenberg). Seja Σ

      ⊂ E(κ, τ) uma H−superf´ıcie sobre a qual a

      2

      2

      diferencial de Abresch-Rosenberg ´e nula. Ent˜ao Σ ´e ou um slice em H × R ou S × R se H = 0 = τ , ou Σ ´e invariante por um grupo a um parˆametro de isometrias de E(κ, τ ).

      Al´em disso, sobre a curvatura de Gauss dessas superf´ıcies podemos afirmar que:

      2

    • κ &gt; 0, ent˜ao K &gt; 0 e tais superf´ıcies s˜ao esferas rotacionalmente invari-
      • se 4H antes;

      2

    • κ = 0 e ν

      , ou um

      3

    • se 4H ≡ 0, ent˜ao K ≡ 0 e Σ ´e ou um plano vertical em Nil ^

      2

      cilindro vertical sobre um horociclo em H P SL (C);

      2

      × R ou • existe um ponto com curvatura de Gauss negativa nos demais casos.

      2

      2 Prova. Sendo H = 0 = τ, e tendo em conta que Q := 2(H + iτ )p )A ´e

      − (κ − 4τ identicamente nula, por hip´otese, conclu´ımos que

      

    2

      2 (κ )A = 0.

      − 4τ

      2 Como (κ ) − 4τ 6= 0, temos que A ≡ 0.

      1

      2 Por (2.9), vale λ(1 ) = 0, ou seja, ν =

      − ν ±1 e, portanto, Σ ´e um slice em

      4

      2

      2 H × R ou S × R.

      Agora, se H 6= 0 ou τ 6= 0, temos

      2

      2

      0 = 2(H + iτ )p )A , − (κ − 4τ ou seja,

      2

      2

      2(H + iτ )p = (κ )A . (3.1) − 4τ

      Tomando o m´odulo dos termos da igualdade acima, obtemos

      2

      2

      2

      2

      2

      4

      4(H + τ ) = (κ ) , |p| − 4τ |A| isto ´e,

      2

      2

      (κ )

      2 − 4τ

      4 4 = .

      |p| |A|

      

    2

      2 H + τ

      2

      2

    2 Usando que 4 = λ (H e ) e a express˜ao (2.9), obtemos

      |p| − K

      2

      2

      2

      2

      (κ ) (1 )

      

    2 − 4τ − ν

      H e = . (3.2) − K

      2

      2

      16(H + τ ) Multiplicando a igualdade 2.8 por (H + iτ ), usando (3.1) e (2.9), encontramos

      2

      2

      

    2

      (H + iτ )ν z = + τ )A (H + iτ )p ¯ A −(H −

      λ A

      2

      

    2

      2

      2

      = + τ )A ) −(H − (κ − 4τ |A|

      λ

      1

      2

      

    2

      2

      2

      = + τ )A ) A(1 ) −(H − (κ − 4τ − ν

      4

      1

      2

      2

      2

      2

      =

      4H + 4τ + (κ )(1 ) A − − 4τ − ν

      4

      1

      2

      2

      2

      =

      4H + κ )ν

      A, − − (κ − 4τ

      4 ou seja,

      1

      

    2

      2

      2

      (H + iτ )ν z =

      4H + κ )ν A. − − (κ − 4τ

      4 Novamente, tomando o m´odulo da express˜ao acima,

      1

      2

      2

      2

      2

      

    2

      2

      2

      2

      (H + τ ) z =

      4H + κ )ν , |ν | − (κ − 4τ |A|

      16 que implica

      2

      2

      2

      2

      (4H + κ )ν )

    z = .

      2 − (κ − 4τ

      2

      |ν | |A|

      

    2

      2

      16(H + τ ) Escrevendo

      2

      2

      2

      4H + κ )ν − (κ − 4τ g(ν) = ,

      √

      2

      2

      4 H + τ temos que z = g(ν) . (3.3)

      2

      2

      2

      |ν | |A| Suponha que ν ´e uma fun¸c˜ao n˜ao constante. Em particular, ν n˜ao ´e identicamente nulo e, portanto, existe p z (p) z ´e cont´ınua, existe uma vizinhan¸ca

      ∈ Σ tal que ν 6= 0. Como ν U de p, onde ν z 6= 0.

    2 Podemos assumir que ν

      6= 1, pois, do contr´ario, ter´ıamos, por (2.9), que |A| ≡ 0

      e, consequentemente, por (3.3) ter´ıamos ν = 0, o que contradiz a hip´otese de ν n˜ao ser z constante. Em particular, de (3.3) inferimos que g(ν) 6= 0 em U. Agora, substituindo (2.9) em (3.3), encontramos

      1

    z = g(ν) λ(1 )

      2

      

    2

      2

      |ν | − ν

      4 e assim, obtemos que

      2

      4 z |ν |

      λ = . (3.4)

      2

      2

      (1 )g(ν) − ν

      Substituindo as express˜oes (3.1) e (3.4) na igualdade obtida no Lema 2.2.3 do Cap´ıtulo 2,

      4

      2

      

    2

      2

      2

      2

      ∆ν = ν z z = )(1 ) + 2(H e ) + 2(H + τ ) ν,

      ¯ encontramos λ

      2

      2

      2

      2

      2

      ν z z = (κ )(1 + 2(H e ) + 2(H + τ ) ν

      ¯

      − − 4τ − ν − K

      4

      2

      2

      2

      2

      2

      4 z (κ ) (1 ) |ν | − 4τ − ν

      2

      2

      2

      2

      = (κ )(1 ) + 2 + 2(H + τ ) − − 4τ − ν

      2

      2

      2

      2

      4(1 )g(ν) 16(H + τ ) − ν

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      ν z 16(κ )(1 )(H + τ ) + 2(κ ) (1 ) + 32(H + τ ) |ν | − 4τ − ν − 4τ − ν

      = −

      2

      2

      2

      2

      (1 )g(ν) 16(H + τ ) − ν

      2

      2

      2

      2

      

    2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      ν z (κ ) (1 ) + 8(κ )(1 )(H + τ ) + 16(H + τ ) |ν | − 4τ − ν − 4τ − ν

      = −2

      2

      2

      2

      2

      (1 )g(ν) 16(H + τ ) − ν

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      ν z (κ )(1 ) + 4(H + τ ) |ν | − 4τ − ν

      = −2 √

      2

      2

      2

      2

      (1 )g(ν) − ν

      4 H + τ

      2

      2

      2

      

    2

      2

      ν z

      4H + κ )ν |ν | − (κ − 4τ

      = √

      −2

      2

      2

      2

      2

      (1 )g(ν) − ν

      4 H + τ

      2

      ν z |ν |

      2

      = g(ν) −2

      2

      2

      (1 )g(ν) − ν

      2

      ν z |ν | = .

      −2

      2

      (1 ) − ν

      Portanto,

      2

      ν z |ν |

      ν z z = . (3.5)

      ¯

      −2

      2

      1 − ν

      Defina s := arctgh(ν) em U . Note que s ´e uma fun¸c˜ao real bem definida em U , j´a que ν : Σ

      −→ R e −1 &lt; ν &lt; 1. Al´em disso, temos que

      2

      2

      ν z ν z z (1 ) + 2ν z

      ¯

      − ν |ν | s z = e s z z = .

      ¯

      2

      2

      2

      1 (1 ) − ν − ν

      4 Substituindo (3.5) em s z z obtemos que s z z = 0, e, como ∆s = s z z , conclu´ımos

      ¯ ¯ ¯

      λ que ∆s = 0 e s ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica. Logo s ´e parte real de uma fun¸c˜ao holomorfa. Assim, podemos considerar um novo parˆametro conforme w para a primeira forma fun- damental de Σ tal que w = s + it, ou seja, s = Re(w).

      Como s := arctgh(ν), segue-se que ν = tgh(s) e ν = ν(s), isto ´e, ν s´o depende de s. Assim, por 3.4,temos λ = λ(s) e, por 3.3 e 2.4, temos que T = T (s), e p = p(s) pela defini¸c˜ao da diferencial de Abresch-Rosenberg. Isto ´e, todos os dados fundamentais de Σ dependem somente de s. Pelo Lema 3.1.2, Σ ´e uma superf´ıcie invariante por um grupo a um parˆametro de isometrias.

      Agora, vamos provar as afirma¸c˜oes sobre a curvatura Gaussiana de Σ. Usando a

      2

      2

      2

      equa¸c˜ao de Gauss K = K e + τ + (κ )ν e (3.2), obtemos que − 4τ

      2

      2

      2

      (κ ) (1 − 4τ − ν)

      2

      2

      2

    2 H + τ + (κ )ν .

      − 4τ − K =

      2

      2

      16(H + τ ) Fazendo

      2

      2

      2

      a := 4(H + τ ) e b := (κ ) − 4τ

      , escrevemos a express˜ao acima como

      2

      2

      2

      b (1 )

      2 − ν

      a + 4bν − 4K = a e, reordenando os termos, podemos escrever

      2

      2

      2

      2

      2 4aK = a + 4abν (1 ) .

      − b − ν

      2

    2 Somando e subtraindo b , 4a e 4ab, obtemos

      2

      2

      2

      2

      2 4aK = a + (2a + b) )) .

      − b − (2a + b(1 − ν

      2 Vamos considerar os trˆes poss´ıveis casos para o valor da soma 4H + κ.

      2

    • κ &gt; 0, temos:
      • Se 4H

      2

      a + b = 4H + κ &gt; 0, o que implica que b &gt; −a. Por outro lado,

      

    2

      2

      a + 8τ − b = 4H − κ &gt; 0.

    2 Como 4H > −κ, temos que a − b > 0 e b < a.

      2

      2

      2 Assim,

      ) + τ ) &gt; 0, o −a &lt; b &lt; a e a &gt; |b| &gt; 0, j´a que (κ − 4τ 6= 0. Logo a = 4(H que implica que H

      6= 0 ou τ 6= 0.

      2

      2

      2 Al´em disso, a = (a + b)(a

      − b − b) &gt; 0 e, como ν ≤ 1, tamb´em conclu´ımos que

      2

      2

      2

      (2a + b) )) , logo ≥ (2a + b(1 − ν

      2

      2

      2

      2

      2

      a + (2a + b) )) − b − (2a + b(1 − ν

      K = &gt; 0.

      4a Como Σ ´e completa, Σ ´e topologicamente uma esfera.

      2

    • κ = 0, temos
      • Se 4H

      2

      a + b = 4H + κ = 0, ou seja, a = −b e a equa¸c˜ao acima pode ser reescrita como

      

    2

      2

      2 4aK = a (1 ) ).

      − (1 + ν

      2

      2 Sendo ν ) )

      ≤ 1 e a &gt; 0, temos que (1 − (1 + ν ≤ 0, isto ´e, existem pontos de Σ que tem curvatura Gaussiana negativa, a menos que ν ≡ 0. Neste caso, temos que

      K ≡ 0.

      2

      2 Note que 4H + κ = 0 implica que κ = −4H ≤ 0. Assim, consideramos dois casos.

      

    2

      2

      2 Se H (κ) = H e E(κ, τ ) = H

      6= 0, ent˜ao κ &lt; 0 e portanto M × R, se τ = 0, ou ^

      E(κ, τ) = P SL (C), se τ

      2

      6= 0. Como estamos supondo ν ≡ 0, temos que Σ ´e um ^

      2

      cilindro sobre um horociclo em H P SL 2 (C).

      × R ou

      2

      2 Se H = 0, temos que κ = 0 e τ (κ) = R e E(κ, τ ) = N il . Como

      3

      6= 0. Logo M

      2

      ν , isto ´e, Σ ´e um plano

      ≡ 0 e κ = 0, Σ ´e um cilindro sobre uma linha reta em R vertical em N il .

      3

      2

    • κ &lt; 0, temos
      • Se 4H

      2

      a + b = 4H + κ &lt; 0 e

      2

      2

      2

      a + 4τ − b = 4H − κ + 4τ

      2

      2 = 4H .

      − κ + 8τ

      2

      2 Como 4H + κ &lt; 0, temos que 0 &lt; ≤ 4H −κ, ou seja, −κ &gt; 0. Logo a − b &gt; 0.

      Portanto,

      2

      2

      a = (a + b)(a − b − b) &lt; 0.

      2

      2

      

    2

      2

      2 Ent˜ao, como 4aK = a + (2a + b) )) , temos que para ν = 0,

      − b − (2a + b(1 − ν

      2

      2

      4aK = a &lt; 0 e, portanto, existe pelo menos um ponto em Σ com curvatura − b

      2

      gaussiana negativa. Isto ´e, para 4H + κ ≤ 0 temos que existe pelo menos um ponto em Σ com curvatura gaussiana negativa.

      Para finalizar este lema precisamos da seguinte afirma¸c˜ao.

      2

    • Afirma¸c˜ ao 3.1.4. N˜ao existe superf´ıcie completa com curvatura m´edia constante 4H

      2

      κ &lt; 0 em E(κ, τ ), κ &lt; 0, com q

      Σ ≡ 0, K ≥ 0 e inf {ν } = c &gt; 0.

      De fato, suponha que tal superf´ıcie exista. Como estamos supondo que K ≥ 0 e

      Σ ´e completa, ent˜ao pelo Lema 5 de [16], Σ ´e uma esfera ou ´e uma superf´ıcie n˜ao compacta

      2

      2

      e parab´olica. Como inf + κ &lt; 0, Σ n˜ao pode ser uma esfera. Logo Σ

      Σ

      {ν } = c &gt; 0 e 4H ´e uma superf´ıcie n˜ao compacta e parab´olica. Como q ´e identicamente nulo em Σ e vimos acima que arctgh(ν) ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica, temos que arctgh(ν) ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica limitada em Σ. Pelo Princ´ıpio

      2

      do M´aximo de Hopf, ν ´e constante. Isto implica que K &lt; 1 ´e constante em ≡ 0 e c &lt; ν

      Σ. Assim, a proje¸c˜ao

      2

      π : Σ (κ) → M

      ´e um difeomorfismo global e uma quasi-isometria. Contradi¸c˜ao, pois Σ ´e parab´olica e

    2 M (κ), κ < 0, ´e hiperb´olica e a afirma¸c˜ao ´e verdadeira e, portanto, o lema est´a provado.

      O pr´oximo Teorema ´e uma extens˜ao do lema anterior e classifica as superf´ıcies de curvatura m´edia constante imersas em E(κ, τ ) cuja fun¸c˜ao q ´e constante. Teorema 3.1.5 (Espinar-Rosenberg). Seja Σ

      ⊂ E(κ, τ) uma H−superf´ıcie completa com fun¸c˜ao q constante. (i) Seja q = 0 em Σ.

      2

      2 • Se H = 0 = τ, ent˜ao Σ ´e um slice em H × R ou S × R.

      2

    • κ &gt; 0, ent˜ao Σ ´e uma esfera S H mergulhada rotacional, o que tamb´em
      • Se 4H implica que K &gt; 0.

      2

    • κ = 0 e ν = 0 em Σ, ent˜ao Σ ´e um cilindro vertical sobre uma
      • Se 4H curva completa de curvatura

      |κ|. Isto ´e, Σ ´e ou um cilindro vertical sobre uma

      2

      linha reta em N il , ou um cilindro vertical sobre um horociclo em H

      3

      × R ou ^

      P SL 2 (C). Al´em disso, todos esses exemplos s˜ao planos.

      2

    • κ
      • Se 4H ≤ 0 e ν n˜ao ´e constante, ent˜ao Σ tem um ponto com curvatura de Gauss negativa.

      (ii) Seja q 6= 0 em Σ, ent˜ao Σ ´e um cilindro vertical sobre uma curva completa de

      2 curvatura geod´esica 2H em M (κ).

      Prova. O Lema anterior nos d´a a classifica¸c˜ao para q = 0. Vamos ent˜ao, analisar o caso q 6= 0.

      Suponhamos, por contradi¸c˜ao, que ν n˜ao ´e constante em Σ. Como q &gt; 0, escre-

      2

      vemos q = c &gt; 0. Assim, podemos considerar uma parametriza¸c˜ao conforme z sobre Σ

      2

      2

      2

      tal que e Qdz = cdz em Σ. Portanto, por (2.18) h·, ·i = |dz|

      2

      2 Q = c = 2(H + iτ )p )A . (3.6)

      − (κ − 4τ Podemos assumir que H

      6= 0 ou τ 6= 0, caso contr´ario, por (2.9), ν seria constante, o que contradiz a hip´otese. Usando (2.8) e que λ = 1, temos

      2

      2

      (H + iτ )ν z = + τ )A A.

      −(H − 2p ¯

      2

      2 Como, por (3.6), 2(H + iτ )p = (κ )A + c e usando (2.9), obtemos

      − 4τ

      2

      2

      2

      2

      (H + iτ )ν z = + τ )A )A + c) ¯ A −(H − ((κ − 4τ

      2

      2

      2

      2

      = + τ )A ) A A −(H − (κ − 4τ |A| − C ¯

      2

      (κ )

      2 2 − 4τ

      2

    • = + τ (1 ))A

      A, −(H − ν − c ¯

      4 isto ´e,

      2

      (κ )

      2

    2 − 4τ

      2

    • (H + iτ )ν z = H + τ (1 ))A A.

      − ν − c ¯

      4

      4

      2 Tomando o m´odulo na express˜ao acima e usando que = z

      k∇νk |ν |, do Lema 2.2.3, λ obtemos

      2

      2

      2

      2

      2

      4(H + τ ) = (g(ν) + 4c) (1 ), (3.7) k∇νk − ν onde

      2

      2

      2 g(ν) := 4H + κ )ν .

      − (κ − 4τ Como q ´e constante, temos ∆ ln q = 0, e, pela igualdade (2.26) do Lema 2.2.3, temos que K

      ≡ 0. Logo, pela equa¸c˜ao de Gauss (2.5),

      2

      2

      2

      0 = K e + τ + (κ )ν , − 4τ

      e, portanto,

      2

      2

      2

      2

      2 H e = H + τ + (κ )ν .

      − K − 4τ Usando a express˜ao acima e a igualdade (2.24) do Lema 2.2.3, temos que

      2

      2

      2

      4H + κ )ν q

      2 − (κ − 4τ

      

    2

      2

      2

      = 4(H e ) + (κ )(1 ) k∇νk − K − 4τ − ν −

      2

      2

      4(κ ) κ

      − 4τ − 4τ

      2

      g(ν) c

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      = 4(H + τ + (κ )ν ) + (κ )(1 ) − 4τ − 4τ − ν −

      2

      2

      4(κ ) κ

      − 4τ − 4τ

      2

      g(ν) c

      2

      2

      2

      2

      2

      =

      4H )ν + 4(κ )ν − κ − (κ − 4τ − 4τ −

      2

      2

      4(κ ) κ

      − 4τ − 4τ

      2

      g(ν) c

      

    2

      2

      = g(ν) + 4(κ )ν − 4τ −

      2

      2

      4(κ ) κ − 4τ − 4τ

      2

      2

      g(ν) c

      2

      = + g(ν)ν , −

      2

      2

      4(κ ) κ − 4τ − 4τ ou seja,

      2

      2

      g(ν) c

      2

      2

      = + g(ν)ν . (3.8) k∇νk −

      2

      2

      4(κ ) κ − 4τ − 4τ

      2 Agora, juntando as equa¸c˜oes (3.7) e (3.8) obtemos a igualdade polinomial em ν

      2

      2

      2

      2

      

    2

      g(ν) a ac

      2

      2

      2 + ν g(ν)a = (g(ν) + 4c) (1 ).

      − − ν 4b b

      Podemos escrever

      2

    6 P (ν ) := C(a, b, c)ν + termos de ordem menor = 0.

      6

      2

      2 Observando que ν aparece no termo ν , conclu´ımos que o coeficiente do termo

      −4bg(ν)

      6

      3

      ν ´e C(a, b, c) = que ´e n˜ao nulo. Isto gera uma contradi¸c˜ao, e conclu´ımos assim que −4b a fun¸c˜ao ν ´e constante. Agora, resta provar que Σ ´e um cilindro vertical sobre uma curva completa de curvatura geod´esica 2H. Isto ser´a feito no Teorema 3.1.6 a seguir.

      Apresentamos agora a classifica¸c˜ao das superf´ıcies completas de curvatura m´edia constante H em E(κ, τ ) com fun¸c˜ao ˆangulo ν : Σ −→ R dada por ν = hN, ξi sendo constante. Antes, precisamos introduzir uma fam´ılia de superf´ıcies que aparece nesta classifica¸c˜ao.

      Seja κ,τ uma fam´ılia de superf´ıcies completas com curvatura m´edia constate H S em E(κ, τ ), κ &lt; 0, satisfazendo para qualquer Σ κ,τ :

      ∈ S

      2 + κ &lt; 0.

    • 4H κ,τ .
    • q ´e identicamente nulo em Σ ∈ S

      2 &lt; 1 ´e constante ao longo de σ.

    • 0 &lt; ν e = e K = (κ ) &lt; 0 s˜ao constantes ao longo de Σ.

      2

      2

    • K −τ − 4τ Teorema 3.1.6 (Espinar-Rosenberg). Seja Σ

      ⊂ E(κ, τ) uma superf´ıcie de curvatura m´edia constante H com fun¸c˜ao ˆangulo constante. Ent˜ao, Σ ´e ou um cilindro vertical

      2

      2

      sobre uma curva completa de curvatura geod´esica 2H em M (κ), ou um slice em H × R

      2 ou S κ,τ com κ &lt; 0 .

      × R, ou Σ ∈ S Prova. Podemos assumir que ν

      ≤ 0. O caso ν &gt; 0 ´e similar. Vamos dividir a prova em trˆes casos: o 1 Caso. ν = 0. A prova desta afirma¸c˜ao foi feita no Lema 3.1.3.

      Neste caso, Σ deve ser um cilindro vertical sobre uma curva completa de curvatura

      2 geod´esica 2H em M (κ). o

    2 Caso. ν = −1.

      

    2

    Pela equa¸c˜ao (2.9), temos que = 0, o que implica que A = 0. Por (2.7)

      |A|

      2

      2 H + iτ = 0. Portanto H = τ = 0 e Σ ´e um slice em H o × R ou S × R.

      3 Caso.

      −1 &lt; ν &lt; 0. Mostraremos que este caso Σ κ,τ com κ &lt; 0. Como ν ´e constante, ν z ∈ S ≡ 0. Por

      (2.8), temos 2p

      ¯ (H A.

      − iτ)A = − λ

      Tomando o m´odulo ao quadrado na igualdade acima, obtemos

      2

      4 |p|

      2

      

    2

      2 (H + τ ) = .

      |A| |A|

      2

      λ 2

      4|p|

      2

      2 2 Como ν e = , obtemos,

      6= ±1, por (2.9), |A| 6= 0. Usando a express˜ao (2.15) H − K λ

      2

      4 |p|

      2

      2

      2 H + τ = = H e

      − K

      

    2

      λ

      2

      e, portanto, K e = em Σ. Como ν ´e constante, ∆ν = 0 e por (2.25), −τ

      2

      2

      2

      2

      0 = (4H + 2τ + (κ )(1 ) e )ν − 4τ − ν − 2K

      2

      2

      2

      2

      2

      = (4H + 2τ + (κ )(1 )( ))) − 4τ − ν −2(−τ

      2

      2

      2

      2

      = 4H + 4τ + (κ )(1 ), − 4τ − ν ou seja,

      2

      2

      2

      2

      4H + 4τ + (κ )(1 ) = 0. (3.9) − 4τ − ν

      2

      4 |Q|

      2 Por defini¸c˜ao, q = . Substituindo a express˜ao (2.27) para nesta igualdade,

      |Q|

      2

      λ temos

      2

      4

      4

      4

      2 2 |p|

      2 2 |A|

      q = 4(H + τ ) + (κ ) − 4τ

      2

      2

      λ λ

      2

      (κ ) − 4τ

      2

      2

      2(H + iτ )p ¯ A + 2(H −4 − iτ)¯pA

      2

      λ substituindo

      2

      4

      1

      2 2 |p|

      2

      2 H + τ = e = λ(1 )

      |A| − ν

      2

      λ

      4 a express˜ao acima fica

      2

      2

      (1 )

      2

      2

      2

      2 2 − ν

      q = 4(H + τ )(H e ) + (κ ) − K − 4τ

      4

      2

      (κ ) − 4τ

      2

      2

      2(H + iτ )p ¯ A + 2(H −4 − iτ)¯pA

      2

      λ e usando que 2p 2¯ p

      ¯ (H A e (H + iτ ) ¯ A =

      A, − iτ)A = − −

      λ λ obtemos

      2

      2

      (1 )

      2

      2

      2

      2 2 − ν

      q = 4(H + τ )(H e ) + (κ ) − K − 4τ

      4

      2

      (κ ) − 4τ

      2

      2

      2

      2

      2

      2 +4 (H + τ ) + (H + τ ) .

      1

      2

      2

      2 Novamente, substituindo = λ(1 ), K e = e utilizando (3.9), temos

      |A| − ν −τ

      4

      2

      2

      (1 )

      2

      2

      2

      2 2 − ν

      q = 4(H + τ )(H e ) + (κ ) − K − 4τ

      4

      2

      (κ ) − 4τ

      2

      2

      2

      

    2

      2

      2

    • 4 (H + τ ) + (H + τ )

      |A| |A|

      2

      λ

      2

      2

      (1 ) − ν

      2

      2

      2

      2

      

    2

      = 4(H + τ )(H e ) + (κ ) − K − 4τ

      4

      2

      2

      2

      2

    • 2((κ ))(1 )(H + τ )

      − 4τ − ν

      1

      2

      2

      2

      2

      

    2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      = (κ ) (1 ) + 8(κ )(1 )(H + τ ) + 16((H + τ ) ) − 4τ − ν − 4τ − ν

      4

      1

      2

      2

      2

      2

      2

      = (κ )(1 + 4(H + τ ) − 4τ − ν

      4

      1

      2

      2

      2

      2

      2

      =

      4H + (κ )(1 )4τ − 4τ − ν

      4 = 0,

      2

      isto ´e, q = 0 em Σ. Al´em disso, de (3.9) conclu´ımos que 4H + κ &lt; 0 o que implica que κ &lt; 0. Portanto, Σ κ,τ , κ &lt; 0.

      ∈ S

    3.2 Curvatura de Gauss K limitada

      Aqui apresentamos a classifica¸c˜ao das superf´ıcies de curvatura m´edia constante H em E(κ, τ ), cuja curvatura Gaussina K n˜ao muda de sinal. Come¸caremos essa se¸c˜ao definindo fun¸c˜oes subharmˆonicas e superf´ıcies de Ri- emann parab´olicas, bem como alguns fatos relacionados com tais superf´ıcies que ser˜ao usados nas pr´oximas demonstra¸c˜oes. Uma referˆencia deste t´opico ´e [3].

      Dizemos que uma fun¸c˜ao v com valores reais ´e subharmˆonica em uma regi˜ao plana Ω se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

      ′ (i) v ´e semicont´ınua superior em Ω, isto ´e, v(z) v(z ).

      ≥ lim sup z

      →z ′

      (ii) Para qualquer fun¸c˜ao harmˆonica u em una regi˜ao Ω ⊂ Ω, a diferen¸ca v − u ou ´e

      ′ constante ou n˜ao tem um m´aximo em Ω .

      Numa fun¸c˜ao semicont´ınua superior ´e convencionalmente permitido assumir o valor −∞, mas n˜ao o valor +∞.

      Dizemos que v ´e superharmˆonica se −v ´e subharmˆonica. Uma superf´ıcie de Riemann W ´e dita ser parab´olica se n˜ao existe fun¸c˜oes subharmˆo- nicas negativa n˜ao constante em W . Um fato importante sobre superf´ıcies de Riemann parab´olicas ´e que vale o Princ´ıpio do M´aximo cl´assico para tais superf´ıcies. Veja [3], p. Teorema 3.2.1 (Espinar-Rosenberg). Seja Σ ⊂ E(κ, τ) uma H-superf´ıcie completa com

      2 K

    • κ &gt; 0, ≥ 0. Ent˜ao, Σ ´e ou uma esfera rotacional e neste caso, em particular, 4H

      2 ou um cilindro vertical sobre uma curva completa de curvatura geod´esica 2H em M (κ).

      Prova. Primeiro vamos provar que Σ ´e uma esfera topol´ogica ou uma superf´ıcie parab´olica n˜ao compacta. Depois mostramos que, quando a superf´ıcie ´e uma esfera topol´ogica, ent˜ao ela ´e uma esfera rotacional. Se Σ ´e uma superf´ıcie completa n˜ao compacta, parab´olica, usaremos o Teorema 3.1.5 para provar que Σ ´e um cilindro vertical.

      Ent˜ao, seja Σ uma superf´ıcie completa, com K ≥ 0. Usando o Lema 5 do artigo [16], conclu´ımos que Σ ´e ou uma esfera ou uma superf´ıcie n˜ao compacta e parab´olica.

      Caso Σ seja uma esfera, o fato de a curvatura m´edia ser constante nos permite concluir que Σ ´e uma esfera de curvatura m´edia constante, rotacionalmente invariante em E(κ, τ) utilizando os teoremas de [2].

      Consideremos, ent˜ao Σ uma superf´ıcie parab´olica n˜ao compacta. Podemos as- sumir q n˜ao identicamente nulo pois, caso contr´ario, como K ≥ 0, pelo Teorema 3.1.5, temos que Σ ´e um cilindro vertical sobre uma linha reta em N il ou uma cilindro vertical

      3

      ^

      2

      sobre um horociclo em H P SL 2 (C).

      × R ou Pela equa¸c˜ao de Gauss 2.5, temos que

      2

      2

      2

      2

      2

    • e + τ + (κ )ν e + τ ≤ K = K − 4τ ≤ K |κ − 4τ |, pois

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      (κ )ν )ν − 4τ ≤ |(κ − 4τ | ≤ |κ − 4τ ||ν | ≤ |κ − 4τ |.

      2

    2 Logo,

    • e −K ≤ τ |κ − 4τ |, o que implica que

      2

      2

      2

      2 H + e = H + τ (3.10) − K |κ − 4τ |.

      2

      2 Por outro lado, usando a defini¸c˜ao de Qdz em 2.18 e a desigualdade

      |α + β| ≤

      2

      2

      2 ( ) , |α| |β| ∀α, β ∈ C, temos

    • 2

      q

      2

      2 |Q|

      2

      2

      = = )A |2(H + iτ)p − (κ − 4τ |

      2

      2

      2 λ λ

      2

      2

      2

      2

      2

      )A + [2 ] ≤ |2(H + iτ)p| |(κ − 4τ |

      2

      λ

      4

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      = 4(H + τ + (κ ) ) |p| − 4τ |A|

      2

      λ

      

    2

      2

      4

      4 |p| |A|

      2

      2

      2

      2 = 4(H + τ ) + (κ ) .

      − 4τ

      2

      2

      λ λ

      2

      4

      1 |p|

      2

      2

      2 Substituindo as express˜oes H = e = λ(1 ), na desiguladade anterior, e

      −K |A| −ν

      2

      λ

      4

      2

      2

      q (κ ) − 4τ

      2

      2

      2

      2

      2

    • τ )(H e ) + (1 ) ≤ 4(H − K − ν

      2

      4

      e, usando (3.10), obtemos

      2

      2

      q (κ )

      − 4τ

      2

      2

      2

      

    2

      2

      2

    • τ )(H e ) + (H + τ , ≤ 4(H − K |κ − 2τ |) +

      2 4 isto ´e,

      2

      2

      (κ )

      2

      2

      2

      2

      2 2 − 4τ

      0 &lt; q + τ + )(H e ) + (H + τ ≤ 2c, onde c = 4(H − K |κ − 2τ |) +

      4 Como ∆ ln q = 4K ≥ 0, temos que ln q ´e uma fun¸c˜ao subharmˆonica limitada por cima por ln c, em uma superf´ıcie de Riemann parab´olica Σ, considerando a estrutura complexa dada pela m´etrica induzida. Sendo ln q uma fun¸c˜ao subharmˆonica, o valor −∞ ´e permitido em pontos isolados. Pelo princ´ıpio do M´aximo ver ([22], p. 15), ln q e, portanto, q ´e constante. Como supomos q n˜ao identicamente nulo, conclu´ımos que q ´e uma constante positiva. Pelo Teorema 3.1.5, Σ ´e um cilindro completo vertical sobre uma

      2 curva de curvatura geod´esica 2H em M (κ).

      Antes de enunciarmos e provarmos a classifica¸c˜ao das superf´ıcies completas em E(κ, τ) com K &lt; 0, apresentamos o seguinte resultado que ser´a necess´ario na prova do pr´oximo teorema.

      Lema 3.2.2 ([14]). Seja (Σ, I) uma superf´ıcie de Riemann orientada e suponha que

    2 Qdz I = √qI ´e uma m´etrica flat em Σ i i ) = 0.

      6= 0 ´e holomorfa. Ent˜ao ˜ − {p }, onde q(p Se I ´e completa e q &gt; 0, ent˜ao ˜ I ´e completa e (Σ, I) ´e parab´olica.

      ≥ c Prova. Usando as express˜oes (2.31) e (2.26), temos

      √ I) = ∆ ln qλ

      −2K( ˜

      1 = ∆ ln q + ∆ ln λ

      2 = 2K( ˜ I) I) = 0.

      − 2K( ˜ Portanto K( ˜ I) = 0 e ˜ I ´e uma m´etrica flat. Mostremos que ˜ I ´e completa. Suponha que I ´e uma m´etrica completa. Ent˜ao, o comprimento de qualquer curva divergente, isto ´e, as curvas que saem de qualquer compacto de Σ, ´e infinito. Como q &gt; 0, vale a desigualdade

      ≥ C p

      √ ˜

      I = qI C I, ≥ isto ´e, p

      ˜ Logo as curvas divergentes para ˜ I tamb´em tem comprimento infinito e, portanto, ˜ I ´e com-

      2

      pleta. Resta-nos provar que (Σ, I) ´e parab´olica. Seja u (Σ) uma fun¸c˜ao subharmˆonica ∈ C n˜ao positiva, isto ´e ∆u

      ≥ 0 e u ≤ 0. Ent˜ao,

      2

      2 √

      ∆u = u z z = q u z z

      ¯ ¯

      λ λ√q

      ˜

      √ I = q∆ u, I ˜ I ˜ onde ∆ ´e o Laplaciano associado a m´etrica ˜

      I. Assim, temos que ∆ u ≥ 0 e u ≤ 0. Pelo Princ´ıpio do M´aximo, (ver [22] p.15), u = cte e (Σ, I) ´e uma superf´ıcie de Riemann parab´olica ((Σ, ˜ I) e, portanto (Σ, I) ´e parab´olica).

      Vejamos agora a classifica¸c˜ao das H–superf´ıcies em E(κ, τ ) com curvatura Gaus- siana negativa. Teorema 3.2.3 (Espinar-Rosenberg). Seja Σ

      ⊂ E(κ, τ) uma superf´ıcie de curvatura

      2

      2

      2

      m´edia constante H com K + τ ≤ 0 e H − |κ − 4τ | &gt; 0. Ent˜ao, Σ ´e um cilindro vertical

      2 completo sobre uma curva completa de curvatura geod´esica 2H em M (κ).

      2

      2 Prova. Vamos dividir a prova em dois casos, κ &lt; 0 e κ &gt; 0. o − 4τ − 4τ 2 1 Caso. κ &lt; 0.

      − 4τ

      2

      2

      2 Como K e + τ + (κ )ν , temos que

      ≤ 0, pela equa¸c˜ao de Gauss K = K − 4τ

    e + τ + (κ )ν

      2

      2

      2

      ≥ K = K − 4τ

      2

      2

      2 e + (κ )ν

      −K ≥ τ − 4τ

      2

      2

      2

      2

      2 H e + τ + (κ )ν

      − K ≥ H − 4τ

      2

      2

      2

      2

      2

    • τ + (κ ) = H + κ , ≥ H − 4τ − 3τ ou seja,

      2

      2

      2

      2

      2

      2 H + τ + (κ ) = H + κ . e

      − K ≥ H − 4τ − 3τ Usando a express˜ao

      

    2

      2

      2

      (κ ) H + τ q

      2

      2

      2 2 − 4τ

      2

      2

      2

      = (2H e +τ )(1 )+ (1 ) +4 (H e ) ≤ k∇νk −K −ν −ν −K −

      2

      2

      4 κ κ − 4τ − 4τ

      2

      e o fato que κ &lt; 0, obtemos − 4τ

      2

      2

      2

      q κ H + τ

      2

    e + τ )(1 ) + (1 )

      2

    2 − τ

      2

      2

      2

      4 (H e ) ≤ (2H − K − ν − ν − K

      2

      2

      κ 4 κ

      − 4τ − 4τ

      2

      2

      2

      2

      q e + τ )(1 )(κ ) ≥ (2H − K − ν − 4τ

      2

      κ − 4τ

      2

      2

      

    2

      2

      2

      (1 + ) + 4(H + τ )(H e ) − ν − K

      4

      2

      2

      2

    • τ )(H e ) ≥ 4(H − K

      2

      κ − 4τ

      2

      2

      2

      2

      2

      2

    • (κ )(1 ) H + τ (H ) + (1 ) e

      − 4τ − ν − K − ν

      4

      2

      2

      2

      2

      2

      = (H e ) 4H + 4τ + (κ )(1 ) − K − 4τ − ν

      2

      2

      (κ ) − 4τ

      2

      2

      2

      

    2

      2

      2

    • (H + τ )(κ )(1 ) + (1 )

      − 4τ − ν − ν

      4

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2 H + τ + (κ )ν

      4H + 4τ + (κ )(1 ) ≥ − 4τ − 4τ − ν

      2

      2

      (κ )

      2

      2

      2 2 − 4τ

      2

    • (H + τ )(κ )(1 ) + (1 . (3.11)

      − 4τ − ν − ν)

      4 Esta ´ ultima desigualdade vale pois

      2

      2

      2

      2 4H + 4τ + (κ )(1 ) &gt; 0.

      − 4τ − ν Mas, por hip´otese,

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2 0 &lt; 4(H + τ ) + 4τ + κ = 4H + κ.

      − |κ − 4τ | = 4H − 4τ Logo,

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      4H + 4τ + (κ )(1 ) = 4H + 4τ + κ )ν − 4τ − ν − 4τ − (κ − 4τ

      2

      2

      2

      = 4H + κ )ν − (κ − 4τ

      2 + κ &gt; 0.

      ≥ 4H

      2

      2

      2 Agora, seja a := H + τ e b := κ . Defina uma fun¸c˜ao real suave f :

      − 4τ [

      −1, 1] −→ R por

      2

      b

      2

      

    2

      2

      2

      2 f (x) = (a + bx )(4a + b(1 )) + ab(1 ) + (1 ) .

      − x − x − x

      4

      ′

      Note que f (ν) ´e a desigualdade (3.11) e, portanto, q (x) = ≥ f(ν) em Σ. Temos que f

      2

      2

      3

      (4ab + b )x x e os pontos cr´ıticos de f s˜ao − 3b s

      4a + b x = 0, x = . ±

      3 |b|

      2

      4a + b

      4H + κ

      

    2

      2

      2

      2

      2 Observando que = e 4(H + κ ) &gt; 0, pois H + τ

      − 3τ − |κ − 4τ | &gt; 0

      2

      3 3(κ ) |b| − 4τ por hip´otese, temos

      2

      2

      2

      2 e 4a + b &gt; 1.

      3 |b|

      Logo o ´ unico ponto cr´ıtico de f em ( −1, 1) ´e x = 0. Al´em disso,

      2

      f (0) = (4a + b) /4 &gt; 0 e f ( ±1) = 4a(a + b) &gt; 0. Sendo f uma fun¸c˜ao real cont´ınua definida em um compacto, o m´aximo e o m´ınimo se realizam. Sabendo que o m´ınimo pode ser realizado em x = 0 ou em x =

      ±1 temos que se c = min {f(0), f(±1)} &gt; 0, ent˜ao q

      ≥ f(ν) ≥ c &gt; 0.

      2

      2 Pelo Lema 3.2.2, a m´etrica ds = √qI ´e completa, plana em Σ e (Σ, ds ) ´e uma

      superf´ıcie parab´olica. Al´em disso, 2 ds

      1

      4K ∆ ln q = ∆ ln q =

      ≤ 0, √ √ q q ou seja, ln q ´e uma fun¸c˜ao superharmˆonica limitada por cima pela constante positiva ln c em uma superf´ıcie parab´olica. Pelo Princ´ıpio do M´aximo (ver [22] p. 15), ln q ´e constante o que implica que q ´e constante. Como q

      ≥ c &gt; 0, temos q ´e uma constante positiva. Pelo

      2 Teorema 3.1.5 segue-se o resultado e o caso κ &lt; 0 est´a provado. o − 4τ 2 2 Caso κ &gt; 0.

      − 4τ

      2

      p A

      2 Sejam w := 2(H + iτ ) e w = (κ ) . Ent˜ao, usando a defini¸c˜ao de Q

      1

      2

      − 4τ λ λ

      2

      temos q = 4

      1 + w 2 . Assim,

      |w |

      2

      = w w ¯

      1

      1

      

    1

      |w |

      2

      4

      2 2 |p|

      = (H + τ )

      2

      λ

      2

      2

      2

      = (H + τ )(H e ), − K

      2

      4 |p|

      2

      2

      2

      2

      visto que H e = . Usando a equa¸c˜ao de Gauss, K = K e + τ + (κ )ν , e − K

      − 4τ

      2

      λ

      2

      que K &gt; 0, obtemos ≤ 0 e κ − 4τ

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2 H e + τ + (κ )ν + τ ,

      − K ≥ H − 4τ ≥ H ou seja,

      2

      2

      2 H e + τ .

      − K ≥ H Logo,

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2 = (H + τ )(H e ) + τ )(H + τ ) = (H + τ ) .

      1

      |w | − K ≥ (H Tamb´em,

      2

      = w w ¯

      2

      2

      2

      |w |

      4

      2 2 |A|

      = (κ ) − 4τ

      2

      λ

      2

      

    2

      (κ ) − 4τ

      2

      2

      = (1 ) − ν

      16

      2

      2

      

    2

      2

      (κ ) κ − 4τ − 4τ

      = , ≤

      16

      4

      2

      2

      2

      visto que (1 ) − ν ≤ 1, pois ν ≤ 1.

      2

      2 Agora, usando a desigualdade para n´ umeros complexos, ,

      |α+β| ≥ ||α|−|β|| ∀α, β ∈

      2

      2

    2 C e a hip´otese, H + τ

      − |κ − 4τ | &gt; 0, temos q

      2

      2

      = + w

      1

      2

      1

      2

      |w | ≥ ||w | − |w ||

      4

      2

      2

      |κ − 4τ |

      2

      2

    • τ ) ≥ −

      (H

      4

      1

      2

      

    2

      2

      2

      = 4(H + τ ) &gt; 0, − |κ − 4τ |

      16 isto ´e, q ≥ cte &gt; 0. Assim, q ´e limitado por baixo por uma constante positiva. Procedendo como no caso anterior, conclu´ımos que q ´e uma constante positiva. Como q

      6= 0, segue-se do Teorema 3.1.5 que Σ ´e um cilindro vertical sobre uma curva de curvatura geod´esica 2H

      2 em M (κ). Referˆ encias

      [1] U. Abresch and H. Rosenberg, A Hopf Differential for Constant Mean Curvature

      2

    2 Surfaces in S × R and H × R, Acta Math., 193 (2004), 141-174.MR213.

      [2] U. Abresch and H. Rosenberg, Generalized Hopf Differentials, Mat. Contemp., 28 (2005), 1-28 .MR2195187. [3] L. Ahlfors and L. Sario, Riemann surfaces, Princeton Mathematical Series 26, Prin- ceton University Press, Princeton, N. J. 1960. [4] L. J. Al´ıas, M. Dajczer and H. Rosenberg, The Dirichlet problem for CMC surfaces in Heisenberg space,Calc. Var. (2007) 30:513-522. [5]

      F. Bonahon, Geometric structures on 3-manifolds. In Handbook of Geometric To- pology, North-Holland, Amsterdam, 2002. [6] M. do Carmo, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA,

      a 4 edi¸c˜ao, 2008.

      [7] M. do Carmo, Geometria Diferencial de Curvas e Superf´ıcies, Textos Universit´arios,

      a Rio de Janeiro: SMB, 2 edi¸c˜ao, 2006.

      [8] I. Chavel, Eigenvalue in Riemannian Geometry, Academic Press, New York, 1984. [9]

      B. Daniel, Isometric immersions into 3-dimensional homogeneous manifolds, Com- ment. Math.Helv. 82(2007), no. 1,87-131.MR2296059. n n [10] B. Daniel, Isometric immersions into S

      × R e H × R and applications to minimal surfaces, Trans. Amer. Math. Soc. 361 (2009), no. 12, 6255-6282. [11] B. Daniel and P. Mira, Existence and Uniqueness of constant mean curvature spheres in Sol

      3 , preprint, arXiv: 0812.3059.

      [12] J. Espinar and H. Rosenberg, Complete Constant Mean Curvature surfaces in ho- mogeneous spaces, Comment. Math. Helv., to appear.

      [13] J. Espinar and I. Oliveira, Locally convex surfaces immersed in a Killing submersion, preprint. arXiv: 1002.1329. [14] J. Espinar, La ecuaci´on de Codazzi en superficies, Ph.D Thesis, Universidad de Granada, 2007. [15] C. Espinoza, Surfaces of Constant Mean Curvature in Homogeneous Three Mani- folds with Emphasis in ] P SL

      2 (R, τ ), Ph.D. Thesis, PUC - Rio, 2010 .

      [16] T. Klotz and R. Ossermann, Complete Surfaces in E

      3

      with Constant Mean Curva- ture, Commentarii Mathematici Helvetici, 41 (1966-67), 313-318. MR0211332. [17] E. Lages, Grupo Fundamental e Espa¸cos de Recobrimento, Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA, 1993. [18] I. Fern´andez and P. Mira, A Characterization of Constant Mean Curvature Surfaces In Homogeneous 3-Manifolds, Differential Geom. Appl. 25 (2007), no.3, 281-289.

      MR2330457. [19] M. H. Farkas and I. Kra, Riemann Surface, Springer-Verlag, New York, 1980. [20] C. Figueroa, Geometria das subvariedades do grupo de Heisenberg, Ph.D. Tese, Uni- camp (1996).

      [21] C. Figueroa, F. Mercuri and R. Pedrosa, Invariant surfaces of the Heisenberg groups., Ann. Math. Pura Appl. 177, (1999) 173-194. [22] D. Gilbag, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, New York, 2nd edition, 1983. [23] D. Hoffman, Surfaces of constant mean curvature in manifolds of constant curva- ture, J. Diff. Geom., 8 (1973), 161-176. [24] J. M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction Curvature, Springer-Verlag, New York, 1997. [25] W. S. Massey, Algebraic Topologic: An Introduction, Springer-Verlag, New York, 1977. [26] C. Matheus, A Classifica¸c˜ao de Thurston das Geometrias tridimensionais, Notas de semin´arios, Impa, 2007. [27] J. Milnor, Curvatures of left invariant metrics on Lie groups, Advances in Mathe- matics 21 (1976) 293-329.

      [28] B. Nelli and H. Rosenberg, Minimal surfaces in H

      2

      × R, Bull. Braz. Math. Soc., New Series 33, 263-292 (2002). [29] P. Petersen, Riemannian Geometry, Graduate texts in Mathematics. Springer, New York, 2nd edition, 2006. [30] A. L. Pinheiro, Minimal vertical graphs in Heisenberg space, Preprint. [31] B. O’Neill, The Fundamental equations of Submersion, Michigan Math. J., 13(1969)459-469. [32] V. Patrangenaru, Classifying 3 and 4 dimension homogeneous Riemannian mani- folds by Caetan triples, Pac. J. Math., 173(2): 511-532, 1996. [33] H. Rosenberg, R. Souam, E. Toubiana, General curvature estimates for stable H- Surfaces in 3-manifold. To appear in J. of Diff. Geom., 2010. [34] P. Scott, The geometrie of 3-Manifolds, Bull. London Math. Soc, 15 (1983), 401-487. [35] W. Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology, Vol. 1, Princeton Uni- versity Press, 1997. [36] R. Tribuzy, Hopf ’s method and deformations of surfaces preserving mean curvature, An. Acad. Brasil. Ciˆenc., 4 (1978), 447-450. [37] F. Torralbo, Rotationally Invariant Constant Mean Curvature Surfaces In Homoge- neous 3-Manifolds, Diff. Geom. Appl., to appear (2009), arXiv:0911.5128. [38] F. Torralbo, Superficies de Curvatura Media Paralela en S

      2

      × S

      2

      y H

      2

      × H

      2

      y Superficie de Curvatura Media constante en Espacios Homog´eneos, Ph.D. Thesis, Universidade de Granada (2010).

      [39] F. Torralbo, Compact Minimal Surfaces in The Berger Spheres, preprint, 2009, arXiv:0906.1439. [40] E. Toubiana e R. S´a Earp, Introduction `a la g´eom´etrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann. Ed. Cassini, Paris, 2009. [41] M. Troyanov, L’horizon de SOL, Math.1998 vol. 16 (5),441-479. [42] R. Younes, Surfaces Minimales Dans des Vari´et´es Homog`enes, Ph.D. Thesis, Uni- versit´e Fran¸cois Rabelais de Tours, 2009.

      Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

      Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

      &lt;http://www.pgmat.ufba.br&gt;

Novo documento

Tags

Documento similar

Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Instituto de Ciências Sociais e Aplicadas - ICSA
0
3
249
Universidade Federal do Pará - UFPA Instituto de Ciências da Arte - ICA Programa de Pós Graduação em Artes - PPGARTES
0
1
127
Universidade Federal de Uberlândia Instituto de História - INHIS
0
2
81
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica Aprendizagem Ativa e Colaborativa: uma proposta de uso de metodologias ativas no ensino da matem´ atica
0
0
67
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
88
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
64
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
105
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
1
136
Universidade Federal da Bahia
0
5
167
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Matem´
0
0
97
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Matem´
0
1
102
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica PRATICANDO ESTAT´ ISTICA NO ENSINO M´ EDIO
0
0
64
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica Os polinˆ omios centrais de algumas ´ algebras
0
0
102
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
74
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
58
Show more