A CENTRO DE CIˆ ENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA CURSO DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA MESTRADO EM MATEM ´ ATICA

42 

Full text

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

CURSO DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

MESTRADO EM MATEM ´

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J

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GR ´

AFICOS RADIAIS COMPLETOS SOBRE

S

n+1

(2)

Jobson de Queiroz Oliveira

GR ´

AFICOS RADIAIS COMPLETOS SOBRE

S

n+1

Disserta¸c˜ao submetida `a Coordena¸c˜ao do Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Ma-tem´atica, da Universidade Federal do Cear´a, para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros.

(3)

Oliveira, Jobson de Queiroz

O47g Gr´aficos Radiais Completos Sobre Sn+1 Jobson de Queiroz Oliveira. - Fortaleza: 2007.

32f. Orientador: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros.

(4)

3

(5)
(6)

Agradecimentos

Gostaria de agradecer inicialmente ao professor Abdˆenago Barros por ter aceitado me orientar e pela paciˆencia durante este per´ıodo.

Ao professor Pacelli Bessa, por seus conselhos.

Ao professor Luqu´esio Jorge por mostrar que Matem´atica deve ser um prazer e n˜ao um trabalho.

`

A Andr´ea pela eficiˆencia e paciˆencia.

Aos amigos: Alisson, Carpegiani, C´ıcero, Darlan Gir˜ao, Darlan Portela, Feliciano, Gleydson, Ivy, Jˆanio, Joserlan, Luiza, Michel, Paulo, Ronny, Silvana, Tony.

(7)

.

“O rio atinge seus objetivos porque

apren-deu a contornar obst´aculos.”

(8)

Resumo

Seja Sn+1 a esfera euclidiana n+1-dimensional e p0 Sn+1. Dado r > 0, considere o conjunto Sn(r) = {q Sn+1

; dist (q,p0) = r}. Seja Mn ⊂ Sn+1

gr´afico radial completo sobre Sn(r). Demonstraremos que se Mn tem

(9)

Sum´ario

1 Introduc¸˜ao 9

2 Preliminares 12

2.1 Curvaturas . . . 13 2.2 Gradiente, Divergente e Laplaciano . . . 14 2.3 Campos de Jacobi em variedades com curvatura constante . 19 2.4 Imers ˜oes Isom´etricas . . . 20

3 A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 25

3.1 Func¸˜ao Suporte . . . 25 3.2 Laplaciano da Func¸˜ao Suporte . . . 29

4 Gr´aficos Radiais 36

4.1 Gr´aficos Radiais . . . 36

(10)

Cap´ıtulo 1

Introduc¸˜ao

O estudo de superf´ıcies compactas com curvatura m´edia constante no espac¸o euclidiano tridimensional foi um dos principais problemas da Ge-ometria Diferencial Cl´assica. Um dos primeiros resultados acerca desse problema, devido a Delanay, diz que toda superf´ıcie de revoluc¸˜ao com-pacta com curvatura m´edia constante ´e uma esfera redonda. Em 1853, Jellet mostrou que toda superf´ıcie estreladaM⊂R3, com curvatura m´edia constante ´e uma esfera redonda. Posteriormente, Hopf mostrou que se uma superf´ıcie Σ R3 com curvatura m´edia constante ´e homeomorfa a uma

esfera, ent˜aoΣtamb´em ´e uma esfera redonda. A generalizac¸˜ao das curva-turas m´edia e gaussiana para uma hipersuperf´ıcieMnno espac¸o euclidiano (n+1)-dimensional s˜ao as r-´esimas curvaturas m´ediasHr,r = 1, . . . ,n, que s˜ao definidas pelos r-´esimos polin ˆomios sim´etricos elementares avaliados nas curvaturas principais de Mn. Posteriormente, S ¨uss (1952) mostrou que se uma hipersuperf´ıcie Mn no espac¸o euclidiano ´e compacta,

con-vexa, com Hr constante, para algumr = 1, . . . ,n, ent˜ao Mn ´e uma esfera.

A demonstrac¸˜ao de S ¨uss baseia-se nas f ´ormulas integrais de Minkowski, no entanto, tal demonstrac¸˜ao n˜ao se aplica a hipersuperf´ıcies compactas quaisquer. Alexandrov (1956) mostrou que toda hipersuperf´ıcie compacta mergulhada no espac¸o euclidiano que tem curvatura m´edia constante ´e

(11)

CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO 10

uma esfera redonda. Ros (1987) estendeu o resultado de Alexandrov mos-trando que a esfera redonda ´e a ´unica hipersuperf´ıcie compacta, mergu-lhada no espac¸o euclidiano com curvatura escalar constante. Em seguida, Ros (1988) estendeu este resultado para qualquer curvatura de ordem su-perior, mostrando que a esfera ´e a ´unica hipersuperf´ıcie compacta mergu-lhada no espac¸o euclidiano comHrconstante. Ap ´os este trabalho, Montiel e Ros (1991) obtiveram um resultado semelhante para o espac¸o hiperb ´olico e para a esfera euclidiana, sendo que, para esta ´ultima, com a hip ´otese adi-cional de a hipersuperf´ıcie estar totalmente contida num hemisf´erio. A hip ´otese de estar totalmente contida num hemisf´erio ´e essencial pois um produto de esferas gera hipersuperf´ıcies da esfera euclidiana com curva-tura m´edia constante. Revisitando o teorema de Jellett, Barros e Sousa (2006) estenderam tal teorema para hipersuperf´ıcies da esfera. Nosso objetivo principal neste trabalho ´e apresentar uma demonstrac¸˜ao desse resultado. Mais precisamente temos o seguinte teorema:

Teorema 1 Seja Mn Sn+1

um gr´afico radial completo sobre uma esfera de raio

R contida em Sn+1

. Se Mn tem curvatura m´edia constante n˜ao nula ent˜ao Mn ´e

uma esfera geod´esica.

Na sua demonstrac¸˜ao ser´a utilizada a primeira f ´ormula integral de Min-kowski, juntamente com um corol´ario do teorema a seguir, obtido por Sousa (2004).

Teorema 2 Seja M uma variedade riemanniana de dimens˜ao n+1e V um campo

conforme em M. Seja M uma hipersuperf´ıcie de M e η um campo de vetores

unit´ario, normal a M em M. Defina f : M→Rpor

f(p)=hV(p), η(p)ient˜ao

f =nhV,gradHi −(Ric (η)+|Aη|2)f n(ψH+η[ψ]),

(12)

CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO 11

segunda forma fundamental de M,ψ ´e o fator de conformidade do campo V e´e

o Laplaciano de M na m´etrica induzida por M.

Corol´ario 1 Seja x : MQn+1

c uma imers˜ao isom´etrica com curvatura m´edia

constante H de uma variedade riemanniana orient´avel M. Considere o campo

tangente V =Scgradρent˜ao

f =−|Aη|2f nHθc,

onde´e o Laplaciano em M, η´e normal a imers˜ao, |Aη| ´e a norma da segunda

forma fundamental Aηda imers˜ao,ρ: M→R´e a distˆancia intr´ınseca a um ponto

p0 ∈Mnfixado, Sc =sinρeθc =cosρ.

Finalmente, vamos enunciar a primeira f ´ormula integral de Minkowski que sera ´util na demonstrac¸˜ao do teorema 1:

Teorema 3 (Primeira F ´ormula Integral de Minkowski): Seja Mn uma

va-riedade riemanniana compacta e x:Mn Qn+1

c uma imers˜ao isom´etrica, ent˜ao

Z

M

HgdA=

Z

M θcdA,

(13)

Cap´ıtulo 2

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns conceitos e resultados b´asicos que ser˜ao utilizados ao longo deste trabalho.

Denotaremos porMn, ou simplesmente M, uma variedade riemanniana de dimens˜ao n. A conex˜ao de M ser´a denotada por ∇ eh, irepresentar´a sua m´etrica. Designaremos por X(M) o conjunto dos campos de vetores

de classe C∞ em M e por D(M) o anel das func¸ ˜oes reais de classe C

definidas em M. Se pM, ent˜ao TpM denotar´a o espac¸o tangente a M em p. Enunciaremos agora um importante teorema, cuja prova pode ser encontrada em do Carmo (1988).

Teorema 4 (Levi-Civita) Seja Mn uma variedade riemanniana. Ent˜ao existe

uma ´unica conex˜ao afimem M satisfazendo,X,Y,Z ∈ X(M), as seguintes

condic¸˜oes:

a)´e livre de torc¸˜ao, isto ´e,XY− ∇YX−[X,Y]=0;

b)´e compat´ıvel com a m´etrica, isto ´e,

(14)

Preliminares 13

2.1

Curvaturas

Nesta secc¸˜ao relembraremos definic¸ ˜oes e propriedades b´asicas a respeito das curvaturas seccional, escalar e de Ricci.

O tensor curvatura R de uma variedade riemanniana Mn ´e uma

cor-respondˆencia que associa a cada par X,Y ∈ X(M) uma aplicac¸˜ao linear

R(X,Y) :X(M)−→X(M) dada por

R(X,Y)Z=YXZ− ∇YXZ+[X,Y]Z ,

Z∈X(M).

Verifica-se que o tensor curvatura satisfaz as seguintes propriedades para quaisquerX,Y,Z,T∈X(M)

a) hR(X,Y)Z,Ti+hR(Y,Z)X,Ti+hR(Z,X)Y,Ti=0 (1aIdentidade de

Bian-chi);

b) hR(X,Y)Z,Ti=−hR(Y,X)Z,Ti; c) hR(X,Y)Z,Ti=−hR(X,Y)T,Zi; d) hR(X,Y)Z,Ti=hR(Z,T)X,Yi.

Lema 1 Sejam M uma variedade riemanniana e pM. Defina uma aplicac¸˜ao trilinear R′ :TpM×TpM×TpMTpM por

hR(X,Y,W),Zi=hX,WihY,Zi − hY,WihX,Zi,X,Y,Z,W TpM.

Ent˜ao M tem curvatura seccional constante c se e somente se R=cR,onde R ´e a

curvatura de M.

Sejaσ⊂TpMum subespac¸o bidimensional do espac¸o tangenteTpMe sejam

x,y ∈ σ dois vetores linearmente independentes. Definimos a curvatura seccionalKdeMempsegundoσpor

K(x,y)= hR(x,y)x,yi

(15)

Preliminares 14

onde|xy|2 =hx,xihy,yi − hx,yi2.

Seja XTpM um vetor unit´ario. Tomemos {z1, . . . ,zn−1,zn = X} uma

base ortonormal deTpM.

A curvatura de Ricci deMna direc¸˜ao deXemp´e definida por

Ricp(X)=

1

n−1

n−1

X

i=1

hR(X,zi)X,zii .

A curvatura escalar deMemp ´e definida como

S(p)= 1

n n

X

j=1

Ricp(zj) .

2.2

Gradiente, Divergente e Laplaciano

Nesta secc¸˜ao ser˜ao provados alguns resultados b´asicos envolvendo o gradiente e o Laplaciano de func¸ ˜oes reais de classeCdefinidos emMe

a divergˆencia de campos de vetores emM.

Seja fD(M). O gradiente de f ´e o campo de vetores emM, definido pela seguinte condic¸˜ao

hgrad f,Xi=X(f) , XX(M) .

Decorre da definic¸˜ao que se f,gD(M) ent˜ao: 1. grad (f +g)=grad f +grad g;

2. grad (f.g)= fgrad g+ggrad f.

SejaX ∈X(M). A divergˆencia deX´e a func¸˜aoDiv X:M−→R, definida por

(16)

Preliminares 15

As propriedades abaixo decorrem diretamente da definic¸˜ao. 1. Div(X+Y)=Div X+Div Y;

2. Div(f.X)= f.Div X+hgrad f,Xi ,

para quaisquerX,Y∈X(M) e qualquer f D(M).

Seja f D(M). O Laplaciano de f ´e o operador ∆ : D(M) −→ D(M) definido por

f =Div(grad f).

Usando as propriedades do gradiente e divergente, prova-se facilmente que

1. ∆(f +g)= ∆f + ∆g;

2. ∆(f.g)= fg+gf +2hgrad f,grad gi, para quaisquer f,gD(M).

Proposic¸˜ao 1 Sejam(x1, . . . ,xn)um sistema de coordenadas locais em M e f

D(M). Ent˜ao

grad f =

n

X

i,j=1

gijf ∂xj

∂ ∂xi,

onde gij=hxi,xjie(gij)´e a inversa da matriz(gij). Prova: Como grad f ∈ X(M) e {

x1, . . . ,

xn} constitui uma base, podemos

escrever

grad f =

n

X

i=1

ai ∂ ∂xi .

Portanto *

grad f, ∂ ∂xj

+ =

n

X

i=1

ai * ∂ ∂xi, ∂ ∂xj + = n X

i=1

aigij =

n

X

i=1

(17)

Preliminares 16

Assim considerando as matrizes F =

hgrad f, ∂ ∂xji

n×1,

A = (ak)n

×1 e G =

(gij)n×n, decorre queF = GA. Ent˜ao sendo G invert´ıvel temosA = G−1F e

com isso um elemento gen´erico de A se escreve como

ai =

n

X

j=1

gijfj ,

onde fj =hgrad f, ∂ ∂xji

= ∂f

xj. Portanto

grad f =

n

X

i=1

        n X

j=1

gijfj

        ∂ ∂xi = n X

i,j=1

gijf ∂xj

∂ ∂xi.

Proposic¸˜ao 2 Sejam(x1, . . . ,xn)um sistema de coordenadas locais em M e X =

n

P

j=1

ajxj um campo de vetores em M. Ent˜ao

div X=

n

X

i=1

        n X

j=1

ajΓiij+ ∂ai ∂xi         ,

ondeΓk

ijs˜ao os s´ımbolos de Christoffel da m´etrica em M. Prova: Por definic¸˜ao,div X=tr[Y7→ ∇YX]. Ent˜ao

∇ ∂ ∂xiX

= xi         n X

j=1

aj ∂ ∂xj         = n X

j=1

∇ ∂ ∂xi

"

aj ∂ ∂xj

#

=

n

X

j=1

"

aj∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xj + ∂aj ∂xi ∂ ∂xj # .

Fac¸a∇ ∂ ∂xi

∂ ∂xj

=

n

P

k=1

Γk ij

xk, para obter

∇ ∂ ∂xiX

=

n

X

j=1

       n X

k=1

ajΓkij ∂ ∂xk + ∂aj ∂xi ∂ ∂xj        = n X

k=1

        n X

j=1

(18)

Preliminares 17

Comodiv X=

n

X

i,l=1

gil

*

∇ ∂ ∂xiX,

∂ ∂xl

+

, temos que

div X=

n

X

i=1

        n X

j=1

ajΓiij+ ∂ai ∂xi         .

Proposic¸˜ao 3 Sejam(x1, . . . ,xn)um sistema de coordenadas locais em M e X =

n

P

i=1

aix

i um campo de vetores em M. Ent˜ao

div X = 1

g n

X

i=1

∂ ∂xi(ai

g),

onde g =det(gij).

Prova: Temos, inicialmente, que

Γi ij = 1 2 n X

l=1

"

∂ ∂xigjl+

∂ ∂xj

gli− ∂

∂xlgij

#

gli.

Ent˜ao 2

n

X

ij=1

ajΓiij = n

X

i,j=1

aj        n X

l=1

"

∂ ∂xigjl+

∂ ∂xjgli

∂ ∂xlgij # gli        = n X

ij,l=1

aj ∂gjl ∂xi g li+ n X

i,j,l=1

aj ∂gli ∂xj g lin X

i,j,l=1

aj ∂gij

∂xl g li.

(2.2)

Trocandoiporlna primeira parcela, temos que (2.2) se reduz a

2

n

X

i,j,l=1

ajΓi

ij = n

X

i,j,l=1

aj∂gli ∂xj g

li= n

X

i,j,l=1

ai∂glj ∂xi g

li. (2.3)

Logo, usando (2.3) e a Proposic¸˜ao 2, temos

div X =

n

X

i=1

        ai 2 n X

j,l=1

glj∂glj ∂xi + ∂ai ∂xi         = n X

i=1

        ai 2 n X

j,l=1

(19)

Preliminares 18

Usando o fato de que

n

X

j,l=1

gjl∂gjl ∂xi =

1

g ∂g

∂xi, obtemos

div X =

n

X

i=1

" ai 2 1 g ∂g ∂xi + ∂ai ∂xi # = n X

i=1

"

ai

2 1

g∂ √ g ∂xi + ∂ai ∂xi #

= 1

g n

X

i=1

"

∂ai ∂xi

g+ai(

g)

∂xi

#

= 1

g n

X

i=1

∂(aig)

∂xi .

Proposic¸˜ao 4 Sejam(x1, . . . ,xn)um sistema de coordenadas locais em M e f

D(M). Ent˜ao

f = 1

g n

X

i,j=1

∂ ∂xi

ggijf ∂xj

!

.

Prova: Por definic¸˜ao temos que

f =Div(grad f) . Assim, pela Proposic¸˜ao 1, temos que

grad f =

n

X

i,j=1

gijf ∂xj

∂ ∂xi .

Usando a Proposic¸˜ao 3, obtemos que

f = Div(grad f)= 1

g n

X

i=1

∂ ∂xi                 n X

j=1

gijf ∂xj         √ g        

= 1

g n

X

i,j=1

∂ ∂xi

ggijf ∂xj

!

,

(20)

Preliminares 19

Seja fD(M). Definimos o Hessiano de f em pMcomo o operador linearHess f :TpM−→TpM, dado por

(Hess f)Y=Ygrad f , YTpM .

Podemos considerarHess f como um tensor tal que para cada par de camposX,Y∈ X(M), temos

(Hess f)(X,Y)=h(Hess f)(X),Yi.

2.3

Campos de Jacobi em variedades com

curva-tura constante

SejaMnuma variedade riemanniana ep Mne sejaγ: [0,a] Mn

uma geod´esica deMn. Um campo de vetores Jao longo deγ ´e um campo

de Jacobi se vale:

D2J

dt2 +R

(t),J(t))γ(t)=0,t[0,a]

Tome agora Mvariedade riemanniana com curvatura seccional constante

c,γ : [0,a] → Mgeod´esica normalizada emMe Jum campo de Jacobi ao longo deγ, normal aγ′.

Segue do lema 1 da sec¸˜ao 2.1 e do fato de|γ′|=1 queR(γ,J)γ′ =cJ. De fato, para todo campoTao longo deγtemos

hR(γ′,J)γ′,Ti=c{hγ, γihJ,Ti − hγ,TihJ, γi}=chJ,Ti. DondeR(γ′,J)γ′ =cJ.

Temos ent˜ao que a equac¸˜ao de Jacobi se escreve

D2J

(21)

Preliminares 20

Sejaω(t) um campo paralelo ao longo deγcomhγ′(t), ω(t)i=0 e|ω(t)|=1. Temos que o campo J(t) dado por

J(t)=                         

(t), se c=0 sin(√ct)

c ω(t), se c>0

sinh(√−ct)

c ω(t), se c<0

´e soluc¸˜ao da equac¸˜ao de Jacobi, com condic¸ ˜oes as iniciaisJ(0)=0 e J(0)=

ω(0). Portanto, os campos de Jacobi numa variedade riemanniana com curvatura seccional constante s˜ao da forma J(t) acima.

2.4

Imers ˜oes Isom´etricas

Considere (Mn,g) e (Mm,g) variedades riemannianas. Uma aplicac¸˜ao

diferenci´avel x : M −→ M ´e uma imers˜ao sedxp : TpM −→ Tx(p)M for

in-jetiva∀pM. Se, al´em disso,xfor um homeomorfismo sobre x(M), com

x(M) munido com a topologia induzida porM, diz-se quex´e ummergulho. Quandoxg= g, ou seja, a m´etrica em M ´e opull-back, viaxda m´etrica em

M, dizemos quex ´eimers˜ao isom´etrica. Por simplicidade, denotaremos ge

gporh, i. Assimxg=gsignifica que

hz,wip =hdxp(z),dxp(w)ix(p) .

As conex ˜oes riemannianas de M eMser˜ao denotados por∇e∇, respecti-vamente. Considerandox: M−→Muma imers˜ao isom´etrica temos quex

´e localmente um mergulho, ou seja,∀pM, existe uma vizinhanc¸aUM

(22)

Preliminares 21

e cada vetor tangente υ ∈ TpMcomdxp(υ) ∈ Tx(p)M. Desse modo temos a

decomposic¸˜ao

TpM=TpM(TpM)

em cada pontopM, j´a que ´e poss´ıvel estender campos de vetores defi-nidos numa vizinhanc¸a Udex(p) emM. Nesse mesmo contexto prova-se que ∇ = , isto ´e,XY = (

XY)⊤, ondeX,Y ∈ X(M) eX,Ys˜ao extens ˜oes

de X,Y, respectivamente aX(M).

ConsiderandoX,Y∈X(U) eX,Yextens ˜oes de X,Y aX(x(U)) temos que

a aplicac¸˜aoAη : X(U)×X(U)−→X(U)⊥, dada por

α(X,Y)=

XY− ∇XY,

´e bilinear e sim´etrica, onde X(U)´e o conjunto dos campos de vetores

normais a x(U) ≈ U. Assim, dado η ∈ (TpM)⊥, definimos uma forma

bilinear e sim´etricaHη : TpM×TpM−→Rpor

Hη(X,Y)=hα(X,Y), ηi. A forma quadr´aticaIIη, definida emTpMpor

IIη(X)=Hη(X,X),

´e denominada segunda forma fundamental da imers˜ao x segundo o vetor normalη. `A formaHη podemos associar um operador linear auto-adjunto

Aη : TpM−→TpM, satisfazendo

hAη(X),Yi=Hη(X,Y) .

Por abuso de linguagem tamb´em designaremosAη porsegunda forma

fun-damentalda imers˜aoxsegundo o vetor normalη.

Assim, ´e f´acil provar que, sepM,XTpMeη∈(TpM)⊥, ent˜ao

(23)

Preliminares 22

ondeη ´e uma extens˜ao local deηnormal `a M. A f ´ormula de Gauss ´e um resultado fundamental no estudo das imers ˜oes e pode ser encontrada em do Carmo (1988), que estabelece o seguinte:

Teorema 5 (Equac¸˜ao de Gauss) : Sejam pM, X,Y vetores ortonormais de TpM. Ent˜ao

K(X,Y)−K(X,Y)=hα(X,X), α(Y,Y)i − |α(X,Y)|2 ,

onde K(X,Y)e K(X,Y)denotam, respectivamente, as curvaturas seccionais de M e M com relac¸˜ao ao plano gerado por X e Y.

Agora consideremos uma imers˜ao x : Mn −→ Mn+1. Sejam p M, η ∈ (TpM)⊥ e {e

1, . . . ,en} uma base ortonormal de TpM para a qual Aη ´e diagonal. Por simplicidade denotaremos Aη por A, j´a que a codimens˜ao da imers˜ao ´e um. TemosA(ei) =kiei, os auto-valores k

iss˜ao as curvaturas

principais de M emp. Ent˜ao

H(ei,ei)=ki .

Portanto a equac¸˜ao de Gauss se escreve como

K(ei,ej)−K(ei,ej)=kikj,i, j .

Em particular, se a curvaturaKdeMfor constante e igual ac, obtemos

K(ei,ej)=c+kikj.

Lema 2 Seja x : Mn Sn+1

uma imers˜ao isom´etrica ent˜ao |A|2 nH2 e vale a

igualdade se e somente se M ´e umb´ılica.

Prova: Considere os vetores v1 = (k1,k2, . . . ,kn),v2 = (1,1, . . . ,1) ∈ Rn,

(24)

Preliminares 23

vale a igualdade se e somente sev1 =kv2,comk∈R.Donde obtemos

1

n(k1+k2+. . .+kn)

2

k12+k2

2+. . .+k2n.

Mas|A|2 =k2 1+k

2

2+. . .+k 2

nenH2 =n(n1

Pn

j=1kj)2= 1n(k1+k2+. . .+kn)2donde

segue o resultado. Se vale a igualdade ent˜aokj =k, j= 1, . . . ,nisto ´e,M ´e umb´ılica.

Lema 3 Na esfera euclidianaSn+1vale a seguinte relac¸˜ao

Hessρ(X,Y)= cosρ

senρ[hX,Yi −XρYρ],

onde ρ ´e a distˆancia intr´ınseca a um ponto p0 ∈ Sn+1 fixado e senρ ´e soluc¸˜ao da

equac¸˜ao y′′+y=0com condic¸˜oes iniciais y(0)=0e y(0)=1.

Prova: Seja p0 ∈ Sn+1 fixado e considere a func¸˜ao ρ : Sn+1 → R dada por

ρ = distSn+1(p,p0) ent˜ao temos queρ =θondeθ ´e o ˆangulo formado pelos

vetorespep0, portanto

cosρ= hp,p0i

|p||p0|

=hp,p0i. Dado um campo de vetoresXemSn+1

temos

Xcosρ =senρXρ. Por outro lado,

Xcosρ=Xhp,p0i=hX,p0i. DondehX,p0i=−senρXρ.

(25)

Preliminares 24

emSn+1, obtemos

YXcosρ = Y(senρXρ)

= senρYXρcosρYρXρ.

Mas

YhX,p0i=h∇YX,p0i=h∇YX+α(X,Y),p0i,

onde∇´e a conex˜ao doRn+1eα(X,Y) a segunda forma fundamental deSn+1 vista como hipersuperf´ıcie deRn+1.

Na esferaSn+1

sabemos queα(X,Y)=−hX,Yipda´ı temos

senρYXρcosρYρXρ=h∇YX− hX,Yiip,p0i, isto ´e,

senρYXρcosρXρYρ=h∇YX,p

0i − hX,Yicosρ.

Note queh∇YX,p0i=∇YXhp,p0i=∇YXcosρ=−senρYXρ.

Substituindo na express˜ao acima, obtemos

senρYXρcosρXρYρ=senρYXρ− hX,Yicosρ. Donde

cosρ[hX,Yi −XρYρ]=senρYXρ+senρYXρ. ComoHessρ(X,Y)=XYρ− ∇XYρ =h∇Xgradρ,Yi,vem que

senρYXρ+senρYXρ=senρHessρ(X,Y). Logo,

Hessρ(X,Y)= cosρ

senρ[hX,Yi −XρYρ],

como quer´ıamos demonstrar.

(26)

Cap´ıtulo 3

A Primeira F ´ormula Integral de

Minkowski

3.1

Func¸˜ao Suporte

No que segueQn+1

c denotar´a uma variedade riemanniana (n+1)-dimensional,

completa, simplesmente conexa com curvatura seccional constantec. Seja x : Mn Rn+1

uma imers˜ao isom´etrica e tome p0 ∈ Rn+1, defina

χ : Mn Rn+1

por χ(p) = p p0 onde aqui fazemos a identificac¸˜ao

x(M)≈M.

Definag: MnRa func¸˜ao suporte da imers˜aoχpor g(p)=hχ(p),N(p)i,

onde N ´e o vetor unit´ario normal a M em p e h,i ´e o produto interno can ˆonico doRn+1.

Desejamos agora estender as noc¸ ˜oes de vetor posic¸˜ao e func¸˜ao suporte para variedades com curvatura seccional constante n˜ao-nula. Para isso utilizaremos a noc¸˜ao de campos de Jacobi em variedades com curvatura constante.

(27)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 26

Sejamγ: (−ǫ, ǫ)→Qn+1

c uma geod´esica normalizada tal queγ(0)=p0,E(t)

campo paralelo ao longo deγcomhγ′(t),E(t)i=0,|E(t)|=1 eJ(t)=Sc(t)E(t) o campo de Jacobi normal ao longo de γ que se anula em t = 0. Fixado

p0 ∈Qnc+1considere a func¸˜aoρ: Qn

+1

c →Rdada porρ(p)=dist (p,p0) onde

dist ´e a distˆancia intr´ınseca de Qn+1

c e denote por gradρ o gradiente da

func¸˜aoρemQn+1

c .

Sec=0 temos, fixandop0 =(a1, . . . ,an+1)

ρ(p)=dist (p,p0)=kpp0k= p(x1a1)2+. . .+(xn+1an+1)2.

Comoc=0 ent˜ao gradρ=(∂ρ ∂x1, . . . ,

∂ρ

xn+1) onde ∂ρ

∂xj =

1

2kpp0k

−122(xjaj)= (pjaj)

kpp0k

1 2

= pjaj

ρ(p) .

Logo

gradρ(p)=(p1−a1

ρ(p) , . . . ,

pn+1an+1

ρ(p) )=

χ(p)

ρ(p):χ(p)=ρ(p)gradρ(p).

Por analogia com o caso c = 0 definiremos o campo de vetores χ como

χ(p)= Sc(ρ(p))gradρ(p). Este campo ´e chamado de vetor posic¸˜ao com ori-gemp0.

Seja Mn uma variedade riemanniana orient´avel e x : Mn Qn+1

c uma

imers˜ao isom´etrica. Como estamos identificandoMn x(Mn) ent˜ao

pode-mos definir, para todopemMn, o vetorN(p), normal aMnx(Mn) emx(p).

Novamente por analogia com o casoc=0, definimos a func¸˜aog: MnR por:

(28)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 27

onde χ(p) = Sc(ρ)gradρ ´e o vetor posic¸˜ao com origem p0 Mn eh,i ´e o

produto interno dado pela m´etricahdeQnc+1.

A func¸˜ao gdefinida acima ´e chamada de func¸˜ao suporte da imers˜aox. Uma interpretac¸˜ao geom´etrica para a func¸˜ao gno casoc = 0 ´e que|g(p)| ´e a distˆancia dep0 ao hiperplano tangente ax(M) emx(p).

De fato, note que sec=0 ent˜ao temosx: MnRn+1

da´ı

|g(p)| = |hχ(p),N(p)i| = |hχ(p),N(p)i|

|N(p)|2 |N(p)|

= |Projχ(p)

N (p)|

= dist (p0,TpM),

ou seja,|g(p)| ´e a distˆancia dep0ao hiperplano tangente aχ(M) emχ(p).

No casoc >0 podemos assumir, sem perda de generalidade, queQn+1

c ´e a

esfera de raio 1

cnoR n+2

. Neste caso,|g(p)|´e igual a distˆancia euclidiana do pontop0ao hiperplano que cont´em a hipersuperf´ıcie totalmente geod´esica

tangente aχ(M) emχ(p).

Inicialmente, note que podemos escrever

p0 =cos (

(p))p− sin( √

(p))

c gradρ.

De fato, sejamp,p0 ∈S1

c

Rn+2

ent˜ao

p0 =ap+b

gradρ

|gradρ|,hp,p0i=

1

c cosθ,

ondeh,i ´e o produto interno can ˆonico doRn+2.Logo 1

ccosθ=hp,p0i=a

1

c +bhp,gradρi

e

1

c =hp0,p0i=a

21

c +2abhp,

gradρ

|gradρ|i+b

2

hgradρ |gradρ|,

gradρ

(29)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 28

Sendohp,gradρi=0 ent˜ao segue que

a=cosθ=cos((p))

b2= 1

c(1−cos

2θ)= 1

csin

2θ

Dondeb =1

csin (

(p)).Logo

p0 =cos (

(p))p− sin ( √

(p))

c gradρ,

da´ı

hp,N(p)i = hcos ((p))p sin (

(p))

c gradρ,N(p)i

= cos ((p))hp,N(p)i − sin (

(p))

c hgradρ,N(p)i

= sin(

(p))

c hgradρ,N(p)i.

Portanto

hp0,N(p)i = −

sin (√(p))

c hgradρ,N(p)i

= −hχ(p),N(p)i = g(p).

E ent˜ao |g(p)| = | − g(p)| = |hp

0,N(p)i| que ´e a distˆancia euclidiana de p0

ao hiperplano gerado por N(p) que cont´em a hipersuperf´ıcie totalmente geod´esica tangente aχ(M) emχ(p).

Definic¸˜ao 1 Uma subvariedade MQn+1

c ´e dita totalmente geod´esica se para

todo vTM, γv, geod´esica de Qn+1

c que passa por p e tem vetor velocidade v em

p est´a totalmente contida em M ou, equivalentemente, se toda geod´esica de M ´e

goed´esica de Qn+1

(30)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 29

3.2

Laplaciano da Func¸˜ao Suporte

Definic¸˜ao 2 Sejaω∈ Tr(M), isto ´e, ω´e um r-tensor covariante e V X(M). A derivada de Lie deωcom respeito a V, denotada por LVω´e definida por:

(LV)ω(X1, . . . ,Xr)=V[ω(X1, . . . ,Xr)−Prj=1ω(X1, . . . ,[V,Xj], . . . ,Xr).

Exemplo 1 Seω´e a m´etricah,ide M ent˜ao:

LVω(X,Y) = V[hX,Yi]− hX,[V,Y]i − h[V,X],Yi

= h∇VX,Yi+h∇VY,Xi − hX,[V,Y]i − h[V,X],Yi = h∇VX[V,X]i+h∇VY[V,Y],Xi

= h∇XV,Yi+h∇YV,Xi,

onde na ´ultima igualdade usamos o fato deser sim´etrica.

Definic¸˜ao 3 Seja V ∈X(M), dizemos que V ´e conforme se existeψ∈ C(M)tal

que LVh,i=2ψh,i.

O pr ´oximo teorema, provado inicialmente em Sousa (2003) ser´a um dos ingrediantes principais na demosntrac¸˜ao do nosso principal resultado.

Teorema 6 Seja M uma variedade riemanniana de dimens˜ao n+1e V um campo

conforme em M. Seja M uma hipersuperf´ıcie de M e η um campo de vetores

unit´ario, normal a M em M. Defina f : M→Rpor

f(p)=hV(p), η(p)ient˜ao

f =nhV,gradHi −(Ric (η)+|Aη|2)f n(ψH+η[ψ]),

(31)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 30

Corol´ario 2 Seja x : MQn+1

c uma imers˜ao isom´etrica com curvatura m´edia

constante H de uma variedade riemanniana orient´avel M. Considere o campo

tangente V =Scgradρent˜ao

f =−|Aη|2f nHθc,

onde´e o Laplaciano em M, η´e normal a imers˜ao, |Aη| ´e a norma da segunda

forma fundamental Aηda imers˜ao,ρ: M→R´e a distˆancia intr´ınseca a um ponto

p0 ∈Mnfixado, Sc =sinρeθc =cosρ.

Prova: Para usar o teorema acima devemos mostrar que o campoVdado por V = Scgradρ ´e conforme, ou seja, devemos mostrar que existe uma func¸˜aoψ∈ C∞(M) tal queLVh,i(X,Y)=2ψhX,Yi,X,Y X(M).

Sabemos queLV(X,Y)=h∇XV,Yi+h∇YV,Xie sendoSc =Sc(ρ) ent˜ao

XScgradρ = ScXgradρ+X(Sc)gradρ = ScXgradρ+θc()gradρ. Logo

LVh,i(X,Y) = h∇XScgradρ,Yi+h∇YScgradρ,Xi

= Sch∇Xgradρ,Yi+2θchgradρ,Xihgradρ,Yi+Sch∇Ygradρ,Xi = Sch∇Xgradρ,Yi+2θcX(ρ)Y(ρ)+Sch∇Ygradρ,Xi.

Mas

h∇Xgradρ,Yi= θc

Sc[hX,Yi −XρYρ].

Da´ı

LVh,i(X,Y) = Sc{θc

Sc[hX,Yi −X(ρ)Y(ρ)]+ θc

Sc[hX,Yi −X(ρ)Y(ρ)]}+2θcX(ρ)Y(ρ)

(32)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 31

LogoV =Scgradρ ´e conforme. Pelo teorema acima temos que

f = f(Ricp(η)+|Aη|2)nhgradH,Vi −n(ψH+η[ψ]) Sendo gradH=0 eV=Scgradρconforme vem que

f = (Ricp(η)+|Aη|2)f n(ψH+η[ψ]) = (Ricp(η)+|Aη|2)f n(ψH+η[ψ]). Note queη[S

c(ρ)]=S′′c(ρ)hgradρ, ηi.ComoS′′c +cSc =0 e f =hScgradρ, ηi

obtemosη[S

c(ρ)]=−c f.

Portanton(η[S

c(ρ)])=−cn f.

Mas Ricp(η)=Pnj=1hR(η,ej)η,eji, onde{e1, . . . ,en}´e base ortonormal deTpM.

Da´ı

Ricp(η)= n

X

j=1

hR(η,ej)η,eji=

n

X

j=1

c=nc

donde

Ricp(η)f =nc f.

Temos ent˜ao que

f =−|Aη|2f nHθc.

Teorema 7 (Primeira F ´ormula Integral de Minkowski): Seja Mn uma

va-riedade riemanniana compacta e x:MnQn+1

c uma imers˜ao isom´etrica. Ent˜ao

Z

M

HgdA=

Z

M θcdA,

onde H´e a curvatura m´edia da imers˜ao.

Prova: SejaXo vetor posic¸˜ao com origem emp0 ∈Me{E1, . . . ,En}

(33)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 32

as componentes tangente e normal do vetorX.

Note quehX⊥,Eji=0,∀j, da´ı, sendo∇a conex˜ao riemanniana deQn

+1

c vem

que

0=EjhX,Eji=h∇E

jX⊥,Eji+h∇EjEj,X⊥i, isto ´e,

h∇EjX⊥,Eji = −h∇EjEj,X⊥i

= −h(E

jEj)

⊤+(E

jEj) ⊥,Xi

= −h(E

jEj) ⊥,Xi

= −h(E

jEj)⊥,Xi.

Sabemos queDivM(X)=tr(Y(p)7→ ∇YX(p)).Logo

DivM(X⊤) =

n

X

j=1

h∇EjX,Eji

=

n

X

j=1

h∇Ej(XX⊥),Eji

=

n

X

j=1

h∇EjX,Eji −

n

X

j=1

h∇EjX,Eji

=

n

X

j=1

h∇EjX,Eji+

n

X

j=1

h(∇EjEj)⊥,Xi.

Afirmac¸˜ao: Pn

j=1h∇EjX,Eji=nθc,ondeX=Sc(ρ)gradρ.

Prova: Inicialmente, note que

EjSc(ρ)gradρ = Sc(ρ)∇Ejgradρ+Ej(Sc(ρ))gradρ

= Sc(ρ)E

jgradρ+Sc(ρ)hgradρ,Ejigradρ.

h∇EjSc(ρ)gradρ,Eji = hSc(ρ)∇Ejgradρ+Sc(ρ)hgradρ,Ejigradρ,Eji

= Sc(ρ)h∇E

jgradρ,Eji+θchgradρ,Eji

(34)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 33

Temos ent˜ao que

n

X

j=1

h∇EjX,Eji =

n

X

j=1

h∇EjSc(ρ)gradρ,Eji

=

n

X

j=1

{Sc(ρ)h∇Ejgradρ,Eji+θc(ρ)hgradρ,Eji

2

}

= Sc(ρ)

n

X

j=1

h∇Ejgradρ,Eji+θc(ρ)

n

X

j=1

hgradρ,Eji2.

Usando que

h∇Vgradρ,Wi= θc

Sc(hV,Wi −VρWρ),∀V,W∈ X(Q n+1

c ),

obtemos em particular

h∇Ejgradρ,Eji=

θc

Sc(1− hgradρ,Eji

2).

Portanto

n

X

j=1

h∇EjX,Eji = Sc(ρ)

n

X

j=1

h∇Ejgradρ,Eji+θc(ρ)

n

X

j=1

hgradρ,Eji2

= Sc(ρ)

n

X

j=1

(θc

Sc(1− hgradρ,Eji

2)+θc(ρ)

n

X

j=1

hgradρ,Eji2

= Sc(ρ)

n

X

j=1

θc Sc

(35)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 34

Note quehPn

j=1(∇EjEj)⊥, ηi=nHpois

H = 1

ntr(Aη(Ej))

= 1

n n

X

j=1

hAη(Ej),Eji

= 1

n n

X

j=1

hB(Ej,Ej), ηi

= 1

n n

X

j=1

h(∇EjEj) ⊥, ηi

= h1

n n

X

j=1

(∇EjEj)⊥, ηi.

LogonHη=Pn

j=1(∇EjEj)⊥.Temos ent˜ao que

DivM(X⊤) =

n

X

j=1

h∇EjX,Eji+

n

X

j=1

h(∇EjEj)⊥,Xi

= nθc+h

n

X

j=1

(∇EjEj) ⊥,Xi

= nθc+hnHη,Xi = nθc+nHg.

Integrando sobreMnobtemos

Z

M

DivM(X⊤)dA=

Z

M

n(θc+Hg)dA.

Pelo Teorema da Divergˆencia Z

M

Div(X⊤)dA= Z

M

hX⊤,NidA=0, poisM ´e compacta sem bordo. Da´ı

0= Z

M

DivM(X⊤)dA= Z

M

(36)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 35

Logo,

Z

M

(θc+Hg)dA=0, ou seja

Z

M

HgdA=

Z

M θcdA.

(37)

Cap´ıtulo 4

Gr´aficos Radiais

4.1

Gr´aficos Radiais

SejaMn Rn+1

um gr´afico radial sobreSn(r) e considereX: U ⊂Rn

Sn(r) parametrizac¸˜ao deSn(r) eY :U ⊂RnMnparametrizac¸˜ao deMn. Se

σ(u1, . . . ,un) =|Y(u1, . . . ,un)|> 0 ent˜aoY = σX. Considere agora a func¸˜ao

f : Mn R definida por f(Y) = hY,NYi, onde NY ´e um campo unit´ario

normal `aMn.

Observe queYj = ∂Y

∂uj

=σXj+σjX.Da´ı

hσX,(σX1+σ1X)∧. . .∧(σXn+σnX)

|Y1∧. . .∧Yn| i

=hσX,(σX1)∧. . .∧(σXn)

|Y1∧. . .∧Yn| i

.

Portanto

f(Y) = hσX, Y1∧. . .∧Yn

|Y1∧. . .∧Yn|i

= |X1∧. . .∧Xn|

|Y1∧. . .∧Yn|

σn+1hX,NXi

= |X1∧. . .∧Xn|

|Y1∧. . .∧Yn|

σn+11

rhX,Xi

= |X1∧. . .∧Xn|

|Y1∧. . .∧Yn|

σn+11 r <0.

(38)

Gr´aficos Radiais 37

Aqui tomamosNX=1

rXo campo unit´ario, normal `aS

n(r) de modo que a

curvatura m´ediaHSn(r)seja estritamente positiva.

Sejamp0 ∈ Sn+1 er >0 e tome o conjunto Sn(r) = {q ∈ Sn+1; dist (q,po) = r}.

Seja ent˜ao Mn Sn+1

gr´afico radial sobre Sn(r). Supondo Mn Sn+1 [p0,−p0], considere a projec¸˜ao estereogr´aficaP : Sn+1−[p0] → Rn+1 eVSn+1

o campo vetor posic¸˜ao com basep0emSn+1. Ent˜ao temos o seguinte lema:

Lema 4 Nas condic¸˜oes acima, a func¸˜ao f :Mn R, definida por f(p)=hVSn+1(p),NY(p)i,

tem sinal bem definido.

Prova: SejamX,Yparametrizac¸ ˜oes deSn(r) eMn respectivamente. Ent˜ao

P(X) ´e uma esfera emRn+1eP(Y) ´e gr´afico sobreP(X). ComoP ´e aplicac¸˜ao conforme ent˜ao existeeφ ∈ D(Mn) tal que

hdPqV,dPqWi=ehV,Wi,V,W TqMn,

ou seja,dPqpreserva o ˆangulo entre os vetoresVeW, logo, existem func¸ ˜oes g1,g2: P(Y)→Rcont´ınuas, ambas positivas ou ambas negativas tais que

dPq(VSn+1)= g1VRn+1

e

dPq(NY)= g2NP(Y).

Da´ı

ehV

Sn+1,NYi = hdPq(VSn+1),dPq(NY)i = hg1VRn+1,g2NP(Y)i > 0(ou < 0).

Comoe>0 segue que a func¸˜ao f tem sinal bem-definido.

(39)

Gr´aficos Radiais 38

Teorema 8 Seja Mn Sn+1

um gr´afico radial completo sobre o conjuntoSn(r)

definido acima. Se Mn tem curvatura m´edia constante n˜ao nula H ent˜ao Mn ´e

uma hipersuperf´ıcie totalmente umb´ılica.

Prova: Pelo Corol´ario 1, do cap´ıtulo 3, considerando f = hVSn+1(p),NY(p)i

temos que

f =−|Aη|2f nHθc,

ondeAη ´e a segunda forma fundamental deMn. Da´ı, integrando sobreM obtemos

Z

M

f dA= Z

M

|Aη|2f dA=− Z

M

nHθcdA.

Pelo Teorema da Divergˆencia temos Z

M

f dA =0. Logo

Z

M

|Aη|2f dA =− Z

M

nHθcdA.

Da Primeira F ´ormula Integral de Minkowski vem que Z

M

H f dA= Z

M θcdA.

Multiplicando ambas pornHe usando queH ´e constante n˜ao nula temos Z

M

nH2f dA= Z

M

nHθcdA=

Z

M

|Aη|2f dA.

Note agora que, como o sinal da func¸˜ao f ´e bem definido segue que, supondo f n˜ao negativa, temos, pelo Lema 2, que|Aη|2fnH2f.

isto implica queRM|Aη|2f dA ≥ R

MnH

(40)

Gr´aficos Radiais 39

Como vale a igualdade entre essas integrais ent˜ao Z

M

(|Aη|2fnH2f)dA=0.

Conseq ¨uentemante, pelo Lema 2 do cap´ıtulo 2 vem queM ´e umb´ılica.

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