DISSERTAÇÃO DE MESTRADO OBTIDA POR Gerson Filippini O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO À ELASTICIDADE PLANA EM MATERIAL ISOTRÓPICO

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM CIÊNCIA E

  

ENGENHARIA DE MATERIAIS - PGCEM

  Formação: Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais DISSERTAđấO DE MESTRADO OBTIDA POR

  Gerson Filippini

O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO À ELASTICIDADE PLANA EM MATERIAL ISOTRÓPICO

  Apresentada em 26 / 11 / 2004 perante a Banca Examinadora: Dr. Miguel Vaz Júnior - Presidente (UDESC) Dr. Guillermo Juan Creus (UFRGS) Dr. Pablo Andrés Muñoz Rojas (UDESC) Dr. Renato Barbieri (UDESC)

  

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA –DEM

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM CIÊNCIA E

  

ENGENHARIA DE MATERIAIS - PGCEM

  Formação: Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais DISSERTAđấO DE MESTRADO OBTIDA POR

  Gerson Filippini

O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO A ELASTICIADE PLANA EM MATERIAL ISOTRÓPICO

  Apresentada em 26 / 11 / 2004 perante a Banca Examinadora: Dr. Miguel Vaz Júnior - Presidente (UDESC) Dr. Guillermo Juan Creus (UFRGS) Dr. Pablo Andrés Muñoz Rojas (UDESC) Dr. Renato Barbieri (UDESC)

  

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM CIÊNCIA

  

E ENGENHARIA DE MATERIAIS – PGCEM

DISSERTAđấO DE MESTRADO

Mestrando: GERSON FILIPPINI – Engenheiro Mecânico

Orientador: Prof. Dr. MIGUEL VAZ JÚNIOR

  

Co-orientador: Prof. Dr. RENATO BARBIERI

CCT/UDESC – JOINVILLE

O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO A ELASTICIDADE PLANA EM MATERIAL ISOTRÓPICO

  DISSERTAđấO APRESENTADA PARA OBTENđấO DO TễTULO DE MESTRE EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS DA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA, CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT, ORIENTADA PELO PROF. DR. MIGUEL VAZ JÚNIOR.

  Joinville 2004

  UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT COORDENAđấO DE PốS-GRADUAđấO Ố CPG

O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO A ELASTICIDADE PLANA

  " EM MATERIAL ISOTRÓPICO "

  por

Gerson Filippini

  Essa dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS

  na área de concentração "Metais", e aprovada em sua forma final pelo CURSO DE MESTRADO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS

  DO CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS DA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA

  Dr. Miguel Vaz Júnior (presidente) (UDESC) Dr. Guillermo Juan Creus (UFRGS)

  Banca Examinadora:

  Dr. Pablo Andrés Munõz Rojas (UDESC) Dr. Renato Barbieri (UDESC) FICHA CATALOGRÁFICA NOME: FILIPPINI, Gerson DATA DEFESA: 26/11/2004 LOCAL: Joinville, CCT/UDESC

NÍVEL: Mestrado Número de ordem: 41 – CCT/UDESC

FORMAđấO: Ciência e Engenharia de Materiais ÁREA DE CONCENTRAđấO: Metais TÍTULO: O Método de Volumes Finitos Aplicado a Elasticidade Plana em Material Isotrópico PALAVRAS - CHAVE: Método de Volumes Finitos, Material Isotrópico, Simulação Numérica.

  NÚMERO DE PÁGINAS: x, 93p. CENTRO/UNIVERSIDADE: Centro de Ciências Tecnológicas da UDESC PROGRAMA: Pós-graduação em Ciência e Engenharia de Materiais - PGCEM CADASTRO CAPES: 4100201001P-9 ORIENTADOR: Miguel Vaz Júnior CO-ORIENTADOR: Renato Barbieri PRESIDENTE DA BANCA: Miguel Vaz Júnior

MEMBROS DA BANCA: Dr. Renato Barbieri, Dr. Pablo Andrés Muñoz Rojas e Dr. Guillermo

  Juan Creus

  Dedico este trabalho ao S ENHOR J ESUS e a meus Pais.

AGRADECIMENTOS

  Ao Prof. Dr. Miguel Vaz Júnior, pelo seu empenho em orientar e balizar o andamento do trabalho, não medindo esforços para esclarecer minhas dúvidas, corrigir meus pontos falhos e me amparar com amor fraternal. Ao Prof. Dr. Renato Barbieri, pela sua prontidão todas as vezes que o procurei para orientar em aspectos de sua competência.

  Ao Prof. Dr. Pablo A. Muñoz Rojas, pelo seu empenho e participação na área de elementos finitos através do software MANEH e também pela sua prontidão em sanar dúvidas de sua competência. A todos professores do Curso de Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais e do curso de Engenharia Mecânica, já que propiciaram que eu pudesse realizar este trabalho. À Universidade do Estado de Santa Catarina – UDESC e ao Programa de Pós- graduação em Ciência e Engenharia de Materiais - PGCEM por possibilitar a realização do presente trabalho. Ao Centro de Ciências Tecnológicas e ao Departamento de Engenharia Mecânica pela infraestrutura oferecida.

  Ao Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná – CEFET-PR, por possibilitar um horário de trabalho compatível com o desenvolvimento deste trabalho.

  A meus Pais, Olimpio e Libera, que nunca mediram esforços para proporcionar uma educação com bases sólidas, despendendo esforços desde minha formação primária até o presente trabalho. A minha esposa, Graziella e filhos, Gabriell e Gabriella por terem suplantado a dor da distância e proporcionado alegria a cada retorno.

  A meu irmão Francisco Filippini e sua família que de forma, direta ou muitas vezes indireta, contribuíram para que eu pudesse chegar ao presente trabalho.

  Aos amigos, Romário e Conceição pela sua hospitalidade, compreensão e amizade a mim despendida ao longo dos anos que os conheci.

  

SUMÁRIO

SÍMBOLOS................................................................................................................... IV

LISTA DE FIGURAS .....................................................................................................V

LISTA DE TABELAS ............................................................................................... VIII

RESUMO ...................................................................................................................... IX

ABSTRACT ....................................................................................................................X

CAPễTULO 1 - INTRODUđấO .....................................................................................1

  3.3 - E

  4.2 - F ORMULAđỏES DAS E QUAđỏES DE E LEMENTOS F

  ISTÓRICO ............................................................................................................25

  4.1 - H

  

CAPÍTULO 4 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS.........................................25

  ......................................................................23

  ONTORNO

  V ALOR DE C

  ROBLEMA A

  3.5 - P

  3.4.1 - Modelo da Lei de Hooke Generalizada..........................................................21 3.4.2 - Estado Plano de Tensão ................................................................................22 3.4.3 - Estado Plano de Deformação ........................................................................23

  3.4 - L EIS C ONSTITUTIVAS ............................................................................................20

  3.3.1 – Equilíbrio Translacional...............................................................................19 3.3.2 - Equilíbrio Rotacional ....................................................................................20

  .............................19

  QUAđỏES PARA O EQUILễBRIO LOCAL NA FORMA DIFERENCIAL

  3.2.1 - Tensor Tensão de Cauchy..............................................................................17

  1.1 - O BJETIVO DA DISSERTAđấO ....................................................................................2 1.2 - P ANORAMA DA DISSERTAđấO ..................................................................................2

  ..............................................15

  AUCHY

  C

  

ENSOR DE

  T

  QUILÍBRIO E O

  E

  RINCÍPIOS DE

  3.2 – P

  INEMÁTICA PARA P EQUENAS D EFORMAđỏES .......................................................14

  3.1 - C

  

CAPÍTULO 3 – MECÂNICA DO CONTÍNUO...........................................................13

  2.1 - D ETALHAMENTO DE ARTIGOS ..................................................................................4

  

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA..............................................................4

  INITOS ........................................26

  4.3 - E QUAđấO D

  IFERENCIAL DOS D ESLOCAMENTOS .....................................................28 4.3.1 - Equações de equilíbrio para o estado plano de deformação ..........................29

  4.4 – A PLICAđấO DO M ÉTODO DE G ALERKIN ................................................................31

  4.4.1 – Método de Galerkin Aplicado à Elasticidade Plana ......................................32

  4.5 – E SQUEMAS DE S UAVIZAđấO PARA T ENSÕES ..........................................................34

  4.5.1 - Tensões obtidas diretamente no nó ................................................................35 4.5.3 - Tensões obtidas por suavização local ............................................................36 4.5.4 - Tensões obtidas por suavização global..........................................................38

  

CAPÍTULO 5 – MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS..............................................40

  5.1 - H ............................................................................................................40

  ISTÓRICO

  5.2 – C ONSISTÊNCIA , E STABILIDADE E C ONVERGÊNCIA .................................................41 5.3 – O M ÉTODO DOS

  V OLUMES F

  INITOS A PLICADO A E LASTICIDADE P LANA ................41 5.3.1 – Discretização das Equações de Governo ......................................................42 5.3.2 – Solução das Equações Discretizadas ............................................................51 5.3.3 – Solução do Sistema de Equações – Algoritmo Iterativo.................................53 5.3.4 – Cálculo das Tensões nos Nós ........................................................................55

  5.4 – C ONSIDERAđỏES F

  INAIS S OBRE O MVF................................................................55

CAPÍTULO 6 – PROBLEMAS PROPOSTOS.............................................................56

  IGA B

  I ENGASTADA COM D ESLOCAMENTO P RESCRITO ........................................56

  • 6.1 – V

  6.1.1 – Estudo de convergência do MVF ..................................................................57 6.1.2 – Mapas de diferenças MVF – MEF ................................................................59

  IGA B

  I ENGASTADA COM D ESLOCAMENTO P RESCRITO EM A MBOS OS L ADOS ......60

  • 6.2 – V

  6.2.1 – Campos de tensões cisalhantes, equivalentes e normais ................................61 6.2.2 – Campos de diferenças nas tensões cisalhantes, equivalentes e normais.........63 6.2.3 – Tensões cisalhantes nas secções transversal e longitudinal...........................65 6.2.4 – Convergência no ponto de máxima tensão cisalhante ...................................68 6.2.5 – Tensões Calculadas pela Teoria de Vigas .....................................................69 6.2.6 – Razão de Aspecto..........................................................................................72

  6.3 – M E Z B S C ......................76

  ODO DE NERGIA ERO EM UMA ARRA UJEITA A OMPRESSÃO

  6.4 – C ONCLUSÕES S OBRE OS P ROBLEMAS P ROPOSTOS ..................................................80

  

CAPÍTULO 7 – CONCLUSÕES...................................................................................82

  

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..........................................................................84

APÊNDICE ....................................................................................................................89

  A PÊNDICE A – E QUAđỏES D

  ISCRETIZADAS PARA

  V OLUMES DE C ONTROLE NA F RONTEIRA

  

DO P ROBLEMA ..............................................................................................................89

  A PÊNDICE B – D ERIVADAS PARA P ÓS -P ROCESSAMENTO DAS T ENSÕES NOS

  V OLUMES DA F RONTEIRA ...................................................................................................................99 A PÊNDICE C – T ABELAS DE DADOS UTILIZADOS EM GRÁFICOS .....................................101

  • – Área;
    • Tensor alternante;

  • – Área sujeita a força de superfície;

  F - Funcional;

  B - Tensor estado inicial de tensão (2 a

  orden); ijkl

  • Tensor de quarta ordem que contem as constantes elásticas do material;
  • Coeficiente de Poisson; i
  • Função genérica; x
  • 1
  • Tensão de flexão normal máxima em x sobre o engaste; máx xy
  • Tensão cisalhante máxima na linha neutra da viga;
  • Tensor identidade;

  C , C

  ) (x

  f

  f

  a

  derivada da função em x;

  • Integrando; Π - Energia potencial; i

  • Coeficientes da solução aproximada;

  M – Momento fletor; c n

  I

  P - Força agindo em um ponto i; L - Operador diferencial; u - Vetor solução; * u - Vetor solução aproximada; Q

  • Tensor deformação infinitesimal (2
    • – Distância da linha neutra até o ponto mais afastado na direção y;

  ρ - Massa específica; ijk

  N

  ,N

  i

  , W i - Funções de forma;

  w - Funções peso; [ ] K - Matriz rigidez;

  { } F - Vetor força; t e

  k e

  e

  P - Quantidade de movimento; H

  g - Vetor aceleração da gravidade;

  , n n - Vetor normal a uma superfície; i , e ou , 3 2 1 e e e - Vetores unitários; f

  

SÍMBOLOS

A

  a t

  u - Deslocamento; E - Módulo de elasticidade;

  ν

  , t t - Força de tração e compressão na

  superfície (força de contato);

  b - Vetor força de corpo; ij

  σ , - Tensor tensão; engaste xx

  σ

  σ

  I – Momento de inércia;

  I

  X x , - Coordenadas espaciais; t - Tempo;

  a

  orden);

  E - Tensor deformação de Green-

  Lagrange;

  • Momento da quantidade de movimento; i
    • – Espessura de um elemento bidimensional;
    • – Matriz rigidez de um elemento;

  detJ – Determinante do Jacobiano; [R], r – Resíduo; {u e } – Deslocamentos nodais para o elemento;

  • Vetor força de corpo;
  • Sistema de coordenadas paramétricas ij

  ξOη

  • – Força cortante no interior de uma viga; {f} – Vetor força global;

  σ~ - Tensão suavizada; G

  N

  ~

  • Funções de forma; [S

  e

  ] – Matriz de suavização do elemento; {f e } – Vetor força do elemento;

  [S] – Matriz de suavização global;

  V c

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 - Caso teste elaborado para comparar os MVF, MEF e solução exata

  [ZIENKIEWICZ, 1990]. ............................................................................................5

Figura 1.2 - Barra carregada axialmente. Convergência da solução para deslocamentos por

  VF usando vértice centrado para elementos lineares [ZIENKIEWICZ, 1990]. ............5 Figura 1.3 - Tensão radial.

  σ , e tempo de processamento [TAYLOR, 1999]. ..................7 rr

Figura 1.4 - Tração em uma lâmina com elemento bi-linear e estado plano de tensões

  [FALLAH, 2000]. ......................................................................................................8

Figura 1.5 - Curva força versus deslocamento para uma lâmina em tração [FALLAH,

  2000]..........................................................................................................................8

Figura 1.6 - Geometria da parede grossa de uma esfera [WHEEL, 1996]............................9Figura 1.7 - Comparação entre a solução analítica e a obtida pelo MVF para a tensão circunferencial e radial [WHEEL, 1996]...................................................................10Figura 1.8 - Intersecção entre cilindro esfera [WHEEL, 1996]. ........................................10Figura 1.9 - Tensão na intersecção cilindro esfera obtidos pelo MVF e pelo método analítico [WHEEL, 1996].........................................................................................11Figura 3.1 – Inter-relação das variáveis na solução de problemas estáticos de mecânica dos sólidos [CHEN, 1990]. .............................................................................................13Figura 3.2 – Deslocamento de um corpo. .........................................................................14Figura 3.3 - Tetraedro infinitesimal. .................................................................................17Figura 3.3 – Exemplo de definição de condições de contorno...........................................24Figura 4.1 – Corpo tridimensional [CHANDRUPATLA, 1991] .......................................27Figura 4.2 – Sistema de coordenadas naturais utilizado na extrapolação de tensões a partir dos pontos de Gauss. ................................................................................................36Figura 4.3 – Elemento bidimensional, parabólico e isoparamétrico (HINTON, 1974).......38Figura 5.1 – Domínio Genérico do Problema ...................................................................42Figura 5.2 – Volume de controle no interior do domínio ..................................................43Figura 5.3 – Interpolação linear numa superfície genérica A-B ........................................48Figura 5.4 – Estrutura da matriz de coeficientes para problemas bidimensionais ..............51Figura 5.5 – Algoritmo de solução iterativo.....................................................................54Figura 6.1 – Viga bi-engastada com deslocamento prescrito em ambas extremidades.......57Figura 6.2 - Convergência da solução para o método de Gauss Seidel k=1,950 e TDMA

  k =1,950. ...................................................................................................................58

Figura 6.3 – Efeito da variação do parâmetro de sobrerelaxação para os métodos TDMA e

  Gauss-Seidel. ...........................................................................................................58

Figura 6.4 – Diferenças percentuais entre o MEF e MVF para os deslocamentos em x. ....59Figura 6.5 – Diferenças percentuais entre o MEF e MVF para os deslocamentos em y. ....59Figura 6.6 – Viga bi-engastada com deslocamento prescrito em ambas extremidades.......61Figura 6.7 – Mapa do campo de tensões normais na direção x. .........................................61Figura 6.8 – Mapa do campo de tensões normais na direção y. .........................................62Figura 6.9 – Mapa do campo de tensões cisalhantes. ........................................................62Figura 6.10 – Mapa do campo de tensões equivalentes.....................................................63Figura 6.11 – Diferenças absolutas entre o MEF e MVF para a tensão cisalhante. ............63Figura 6.12 – Diferenças absolutas entre o MEF e MVF para a tensão equivalente...........64Figura 6.13 – Diferenças absolutas entre o MEF e MVF para tensões normais em x.........64Figura 6.14 – Comparação entre MEF e MVF para tensão cisalhante,

  τ , na seção xy longitudinal (central) da viga próxima ao engaste. Os valores destes gráficos constam na tabela C.1 do apêndice C. ....................................................................................66

Figura 6.15 – Convergência da tensão cisalhante,

  τ , para MVF na seção longitudinal xy central da viga próxima ao engaste. Os valores destes gráficos constam na tabela C.2 do apêndice C...........................................................................................................67

Figura 6.16 – Comparação entre MEF e MVF para tensão cisalhante,

  τ , na seção xy transversal central da viga. Malha 6 x 60 elementos. Os valores destes gráficos constam na tabela C.3 do apêndice C........................................................................68

Figura 6.17 – Convergência dos valores da tensão cisalhante nos nós localizados em x=0,

  y=2,5 mm e em x=25 mm, y=2,5 mm. Os valores destes gráficos constam na tabela

  C.4 do apêndice C. ...................................................................................................70

Figura 6.18 – Elementos quadrangulares e triangulares com razão de aspecto boa e ruim.72Figura 6.19 – Comportamento da solução através do MVF para diferentes razões de aspecto. Os valores destes gráficos constam na tabela C.5 do apêndice C. ................74Figura 6.20 – Comportamento da solução através do MEF com elementos lineares para diferentes razões de aspecto. Os valores destes gráficos constam na tabela C.6 do

  apêndice C. ..............................................................................................................74

Figura 6.21 – Comportamento da solução através do MEF com elementos lineares para razões de aspecto 1:1, Suavização Global e diferentes refinos de malha. Os valores

  destes gráficos constam na tabela C.7 do apêndice C. ...............................................75

Figura 6.22 – Comportamento da solução através do MEF com elementos quadráticos para diferentes razões de aspecto. Os valores destes gráficos constam na tabela C.8 do

  apêndice C. ..............................................................................................................76

Figura 6.23 – Modelo de geometria assumida pelos elementos que apresenta padrão não físico. .......................................................................................................................77Figura 6.24 – Modos de movimento de corpo rígido, de deformação e de energia zero

  [HUGHES, 1987].....................................................................................................78 Figura 6. 25 – Barra sujeita a compressão, sistema de coordenadas, geometria, configuração deformada e detalhes de elementos......................................................79 Figura 6. 26 – Comparação entre o estado inicial e deformado das posições dos nós na coluna posicionada a x=2,5 mm para MEF-Integração reduzida. Os valores destes gráficos constam na tabela C.9 do apêndice C. .........................................................79

  Figura A.1 – Volumes de controle na fronteira do domínio do problema ..........................89 Figura B.1 – Volumes de controle na fronteira do domínio do problema e pontos usados no cálculo das derivadas................................................................................................99

LISTA DE TABELAS

Tabela 1.1 - Erros percentuais obtidos por Oñate et al. [OÑATE, 1994] para o MVF com esquemas de célula centrada e de vértice centrado para problema teste semelhante ao

  da figura 1.1 ...............................................................................................................6

Tabela 6.1 – Erro relativo entre resultados obtidos pela teoria de vigas e obtidos pelos métodos numéricos (MVF e MEF) para uma malha 8x80. ........................................71Tabela 6.2 – Casos utilizados no estudo da razão de aspecto ............................................73

  Tabela A.1 – Equações discretizadas para volumes da fronteira .......................................90 Tabela B.1 – Equacionamento para cálculo de derivadas com aproximação parabólica. .100 Tabela C.1 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.14.................................................101 Tabela C.2 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.15.................................................102 Tabela C.3 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.16.................................................102 Tabela C.4 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.17.................................................103 Tabela C.5 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.19.................................................104 Tabela C.6 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.20.................................................105 Tabela C.7 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.21.................................................106 Tabela C.8 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.22.................................................107 Tabela C.9 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.26.................................................108

RESUMO

  O Método de Elementos Finitos (MEF) tem sido tradicionalmente aplicado a problemas mecânicos de análise de tensões, enquanto o Método de Volumes Finitos (MVF) tem sua aplicação principal em transferência de calor e mecânica dos fluidos. Nos últimos anos, o uso de Elementos Finitos em problemas de dinâmica dos fluidos tem mostrado um aumento substancial. Isso se deve não somente a sua conhecida facilidade de tratar geometrias complexas, mas também ao desenvolvimento de novas técnicas de estabilização de elementos. Por outro lado, o desenvolvimento de novas estratégias baseadas em malhas não estruturadas tem renovado o incentivo na aplicação do método de Volumes Finitos. O presente trabalho discute diversos aspectos relativos à aplicação do MVF a problemas de elasticidade plana com malhas estruturadas e cartesianas, com ênfase nas comparações entre as distribuições de tensões obtidas pelo MVF e aquelas calculadas pelo MEF a partir de diferentes esquemas de suavização. As análises são feitas para uma viga engastada em ambos lados com deslocamentos prescritos nas extremidades visando avaliar principalmente as tensões cisalhantes. Observou-se que o campo de tensões calculado pelo MVF apresenta menor diferença quando comparado com aquele obtido pelo MEF utilizando-se o esquema de suavização global. Ressalta-se que o problema é abordado pelo prisma de Volumes Finitos (discretização das equações de governo e métodos de solução) visando futura implementação em códigos já existentes para problemas de termofluidos, com vistas à aplicação a problemas de interação fluido- estrutura. Fez-se também uma verificação inicial da existência de modos espúrios em um problema compressivo e a influência da variação da razão de aspecto dos elementos sobre os resultados.

  Palavras-chave. Volumes Finitos, Elementos Finitos, Elasticidade plana.

ABSTRACT

  The Finite Elements Method (MEF) has been traditionally applied to stress analysis in solid mechanics, whereas the Finite Volume Method (MVF) has its main application in heat transfer and fluid flow analyses. In the last years, use of Finite Elements in fluid dynamics problems has shown a substantial increase due, not only to its well-known facility to handle complex geometries, but to the development of new element stabilisation techniques. On the other hand, the development of new models based on unstructured meshes has open new possibilities for application of the Finite Volume method. The present work addresses some aspects associated to the application of the MVF to plane elasticity, in which a discretisation procedure for Cartesian meshes is presented and comparisons between FEM and FVM for test problems are discussed. Emphasis is given to stress computation for Finite Volumes and comparisons to those obtained via recovery techniques for Finite Elements. The discretisation strategy and solution of the linear equation system have been approached under the classical FVM perspective, aiming at integration in existing Finite Volume codes. The analyses have been performed for a doubly-clamped beam with prescribed displacements in both ends, in which special attention is given to the shear stresses. It has been observed that the stresses evaluated using the MVF yields smaller differences when compared to the global smoothing method associated to the FEM. Furthermore, Finite Volumes has shown less susceptibility to poor aspect ratio then Finite Elements using linear shape functions. A qualitative analysis of the compression of a cylindrical billet has also shown no hourglass for Finite Volumes solutions.

  Palavras-chave. Finite Volume, Finite Elements, Plane Elasticity.

Capítulo 1 - Introdução

  A simulação numérica para solução de problemas de engenharia tem sido empregada de forma crescente pelas indústrias das mais diversas áreas: metal-mecânica, automotiva, aeronáutica, alimentos e meio ambiente, dentre outras, visando diminuir custos, agilizar processos e tomadas de decisão.

  Na solução de problemas que envolvem escoamento de fluidos, troca de calor, transferência de massa e deformação em materiais, é comum a utilização de métodos específicos, tais como o Método de Elementos Finitos (MEF), o Método de Volumes Finitos (MVF), o Método de Elementos de Contorno e o Método das Diferenças Finitas. Os métodos de Elementos Finitos e Volumes Finitos têm se sobressaído sobre os demais, sendo que o primeiro é utilizado com mais freqüência na área de Mecânica Estrutural Computacional (MEC), enquanto que o MVF é utilizado preferencialmente na área de Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD ).

  Diversos aplicativos comerciais, que utilizam MEF e MVF, têm sido desenvolvidos nos últimos anos. Para a solução de problemas de Mecânica Estrutural o MEF é tradicionalmente utilizado, cujos aplicativos mais comuns no Brasil são o ANSYS [ANSYS, 2004], ALGOR [ALGOR, 2004], MARC [MARC, 2004], NASTRAN [NASTRAN, 2004] e ABAQUS [ABAQUS, 2004]. No entanto, para a solução de problemas de CFD é comumente utilizado o MVF, cujos aplicativos mais comuns neste caso são o CFX [CFX, 2004] e o FLUENT [FLUENT, 2004].

  A preferência em utilizar o MEF para problemas de mecânica estrutural reside na sua facilidade de representar domínios com geometria complexa, através de malhas não estruturadas. Por outro lado, para problemas de dinâmica dos fluídos, apesar do MVF ter dificuldades na representação de geometrias complexas, este é conservativo (conservativo em relação as propriedades avaliadas), não somente no domínio do problema, mas também dentro de cada volume finito. Além disso, para problemas estruturais o MVF satisfaz a continuidade das tensões através das fronteiras dos elementos [WHEEL, 1996]. É interessante ressaltar que MEF (aplicando o método de Galerkin) satisfaz o equilíbrio numa média global dentro do domínio, mas não é conservativo nos elementos individuais.

  ∗ Comumente referenciada em inglês como Computational Fluid Dynamics - CFD

  Há mais de 50 anos que o MEF vem sendo utilizado em problemas de mecânica estrutural, porém, recentemente, tem surgido um interesse em desenvolver procedimentos para esta área que empreguem uma aproximação por MVF. Esse interesse vem do desejo de utilizar, em problemas estruturais, algoritmos amplamente testados no contexto de CFD, visando a solução acoplada da interação entre o movimento de fluidos e a deformação da estrutura. Como exemplo, pode-se citar os problemas de linhas de vapor sob pressão e vibrações induzidas por fluxos sobre estruturas flexíveis [WHEEL, 2003]. Esta estratégia permite a análise da interação entre escoamento fluido, transferência de calor e deformação da estrutura sob o mesmo foco do MVF, o que facilita grandemente o estudo das propriedades e variáveis acopladas do problema.

  Os estudos feitos sobre a aplicação do método de Volumes Finitos para problemas de mecânica estrutural têm, até a presente data, sido focalizados principalmente do ponto de vista do MEF. As abordagens tratam o MVF como um caso (uma classe) particular ou uma extensão do MEF.

  1.1 - Objetivo da dissertação

  O objetivo da presente dissertação é desenvolver um modelo em Volumes Finitos para problemas de elasticidade plana e avaliar seu desempenho através da análise de convergência e da comparação de soluções obtidas pelo MEF para problemas teste. Ressalta-se que a abordagem deste trabalho é feita do prisma da formulação clássica do MVF para problemas de dinâmica dos fluidos computacional (discretização das equações de governo e métodos de solução).

  1.2 - Panorama da dissertação

  Relaciona-se abaixo uma visão geral dos assuntos abordados em cada capítulo da dissertação. O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica sobre a aplicação do método de Volumes Finitos a problemas de mecânica dos sólidos. O Capítulo 3 contém um breve estudo a respeito do problema de mecânica estrutural do ponto de vista de mecânica do contínuo. Os desenvolvimentos necessários à obtenção das equações de governo são apresentados, bem como estudos complementares das aproximações e considerações utilizadas.

  No Capítulo 4 aborda-se o MEF clássico, aplicado aos problemas de elasticidade plana para deformações infinitesimais. O Capítulo 5 apresenta o clássico MVF aplicado a problemas de dinâmica de fluidos. Na seqüência é mostrado o desenvolvimento do problema de análise de deformações infinitesimais na região elástica linear em sólidos e a discretização da equação de governo para o MVF.

  No Capítulo 6 são apresentados problemas propostos onde são avaliados mapas de diferenças entre as soluções apresentadas pelo MVF e pelo MEF, tanto para os campos de deslocamentos como para os campos de tensões. Também é feita a discussão de resultados.

  No Capítulo 7 tem-se a conclusão do trabalho.

Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica

  A revisão literária sobre os desenvolvimentos na área do método de volumes finitos aplicado a problemas de mecânica estrutural mostrou que existem poucas linhas de pesquisa neste assunto. Os estudos nesta área surgiram em meados de 1990 com Zienkiewicz e Oñate [ZIENKIEWICZ, 1990], intensificando um pouco em meados de 1995 e mantendo um ritmo constante até a atualidade.

  As pesquisas iniciais preocuparam-se principalmente com comparações entre as formulações dos dois métodos (MEF e MVF) aplicados a problemas de mecânica estrutural [ZIENKIEWICZ, 1990] e [IDELSOHN, 1993]. Pode-se considerar Oñate e Zienkiewicz como sendo os pesquisadores que impulsionaram inicialmente a abordagem do MVF aplicado MEC. A partir de então surgiram diversas pesquisas voltadas para problemas de placas e cascas [WHEEL, 1996], elasticidade e visco-plasticidade [TAYLOR, 1995], e termoelasticidade em materiais anisotrópicos [FAINBERG, 1996] dentre outras.

  Recentemente o foco de pesquisa nesta área tem se expandido, com aplicações envolvendo processos de soldagem [TAYLOR, 2002], conformação mecânica (extrusão e forjamento) [WILLIAMS, 2002], vasos de pressão [WHEEL, 1996], interação entre fluido e estrutura [SLONE, 2002], dinâmica dos sólidos (vibração) [SLONE, 2003], diferenças entre os métodos de diferenças finitas, volumes finitos e elementos finitos [YAMAMOTO, 2002] e estimativas para erro residual para o MVF [JASAK, 2003]. A seguir é apresentada uma breve retrospectiva a respeito do assunto, onde os artigos chave e seus pontos principais são discutidos visando uma melhor contextualização da presente dissertação.

  2.1 - Detalhamento de artigos

  A discussão sistemática foi iniciada por Zienkiewicz e Oñate [ZIENKIEWICZ, 1990] que aborda a comparação entre o método de Volumes Finitos e o de Elementos Finitos com a perspectiva de que o MVF é um caso particular do Método dos Resíduos

  (MRP). Foram avaliados os esquemas de célula centrada e vértice centrado

  Ponderados

  para volumes finitos, paralelamente com o MEF, para a solução exata do problema esboçado na figura 1.1.

Figura 1.1 - Caso teste elaborado para comparar os MVF, MEF e solução exata [ZIENKIEWICZ, 1990].

  A análise consiste de uma viga engastada com carregamento axial uniformemente distribuído. Os resultados são apresentados na figura 1.2 para a convergência da solução por Volumes Finitos usando vértice centrado. É visível que com o refinamento da malha a solução por Volumes Finitos usando vértice centrado tende aos valores da solução exata. O autor acrescenta a esta figura uma nota com relação a solução por Volumes Finitos utilizando célula centrada “Nota: A solução por Elementos Finitos e Volumes Finitos

  centrados na célula possuem soluções nodais exatas em todos os casos. ”.

Figura 1.2 - Barra carregada axialmente. Convergência da solução para deslocamentos por VF usando vértice centrado para elementos lineares

  

[ZIENKIEWICZ, 1990]. Posteriormente, Idelsohn e Oñate [IDELSOHN, 1994] apresentam um estudo comparando os dois métodos (MVF e MEF) para problemas elípticos (difusão-convecção e fluxo de fluídos), mostrando que os dois procedimentos têm semelhança na implementação, discretização e aproximação. Além disso, foi demonstrado que, em muitos casos, ambas as técnicas são completamente equivalentes. Os autores afirmam em suas conclusões que o MVF pode ser interpretado como uma classe do MRP com funções peso constantes.

  Em 1994, Oñate et al. [OÑATE, 1994] apresentam uma discussão mais aprofundada sobre a aplicação do MVF em problemas de mecânica estrutural. Neste estudo o MVF é novamente avaliado como um caso particular do MRP. A análise de alguns casos teste levou os autores a concluírem que o MVF utilizando esquema de célula centrada é mais preciso que o esquema de vértice centrado. A tabela 1.1 apresenta um resumo dos resultados para os esquemas de célula centrada e de vértice centrado.

Tabela 1.1 - Erros percentuais obtidos por Oñate et al. [OÑATE, 1994] para o MVF com esquemas de célula centrada e de vértice centrado para problema teste

  

semelhante ao da figura 1.1

  Malha Nó

  VF/Vértice centrado VF/Célula centrada

  (No. Elementos)

  Deslocamento Deslocamento (%) (%)

  1

  2 50 12,5 2 9,09 2,27 2 3 12,5 3,13

  2 3,85 0,96

  3 3 4,35 1,09 4 5,55 1,39 No ano de 1995 Taylor et al. [TAYLOR, 1995] iniciam uma série de artigos, sendo um dos últimos publicado no ano de 2002 [TAYLOR, 2002]. O primeiro estudo na área de mecânica estrutural mostrou a aplicação do MVF na solução da equação constitutiva visco- plástica. Os autores obtiveram resultados favoráveis ao uso do MVF quando comparado

  • *

    com o MEF convencional (utilizando CST ) com respeito à precisão e ao tempo de processamento. Na seqüência, os autores supracitados, em 1999, apresentam uma formulação para o MVF centrado no vértice com malha estruturada para modelar deformações elasto-plásticas de materiais sólidos submetido a pequenas deformações e com geometrias complexas [TAYLOR, 1999]. São feitas comparações com o método de elementos finitos e apresentadas simulações de um vaso esférico pressurizado internamente. São utilizados elementos finitos hexaédricos lineares. Os resultados obtidos na comparação entre Elementos Finitos e Volumes Finitos para os valores de tensão radial e o tempo de processamento são ilustrados na figura 1.3. Percebe-se que o MVF apresentou um melhor desempenho em termos de aproximação quando comparado com a solução exata. Nota-se que o tempo de processamento do MVF foi significativamente maior para todos os testes apresentados. A solução do problema foi obtida pelo Método dos Gradientes Conjugados .

  (a) Tensão radial (b) Tempo de processamento

Figura 1.3 - Tensão radial. σ , e tempo de processamento [TAYLOR, 1999].

rr Em 2000, Fallah et al. [FALLAH, 2000], apresentam uma comparação do método de Elementos Finitos com Volumes Finitos para problemas geometricamente não lineares de análise de deslocamentos. Novamente o MVF é analisado como sendo um caso particular do MRP, utilizando a formulação baseada em um esquema centrado no vértice e fluxos no centro das faces. São feitos testes em problemas específicos e os resultados dos deslocamentos revelaram que o MVF pode chegar aos resultados do MEF para um
  • * refinamento maior da malha. A figura 1.4 representa um dos problemas teste realizados,

  Comumente referenciada em inglês como Constant Strain Triangle - CST cujos resultados encontram-se na figura 1.5, mostrando que os resultados para os dois métodos, aproximam a teoria para grandes deformações que se utiliza do tensor deformação de Green-Lagrange.

Figura 1.4 - Tração em uma lâmina com elemento bi-linear e estado plano de tensões [FALLAH, 2000].Figura 1.5 - Curva força versus deslocamento para uma lâmina em tração [FALLAH, 2000].

  Em 2002, Slone et al. [SLONE, 2002], discutem a aplicação do MVF na solução de um problema de interação fluido estrutura na região elástica do material utilizando uma malha não estruturada em conjunto com o esquema de vértice centrado. Foram obtidos bons resultados para a freqüência natural de oscilação bem como da amplitude e período.

  Em anos recentes, alguns estudos sobre a aplicação do MVF a problemas de fabricação têm sido apresentados. O modelamento do processo de extrusão e forjamento de materiais metálicos é discutido por Williams et al. [WILLIAMS, 2002], enquanto que Taylor et al. [TAYLOR, 2002] apresentam solução para o processo de soldagem.

  A aplicação do MVF a problemas de mecânica dos sólidos é discutida por Wheel em diversos trabalhos [WHEEL, 1996, 1997a, 1997b, 1998, 2003]. Em 1996 este autor aborda a aplicação do método de Volumes Finitos na análise de tensão de estruturas axisimétricas sob pressão. Em todos os casos teste observou-se que o refinamento da malha faz com que haja convergência da solução dos deslocamentos para a solução analítica. Verificou-se que, com certo nível de refinamento da malha, os resultados são similares àqueles obtidos pelo MEF usando elementos quadriláteros de alta ordem, quatro nós e oito nós. Dois problemas teste são apresentados: esfera de parede espessa e intersecção de um cilindro com uma esfera, ambos sob pressão.

  A figura 1.6 mostra o esquema do primeiro problema teste enquanto que a figura 1.7 mostra os resultados da tensão radial ao longo da parede da esfera obtidos pelo MVF e pela solução analítica. Segundo o autor, pela análise da figura 1.7 o MVF apresentou uma estimativa precisa para a distribuição de tensões.

Figura 1.6 - Geometria da parede grossa de uma esfera [WHEEL, 1996].

  A figura 1.8 mostra a geometria do segundo problema teste e a figura 1.9 mostra a comparação de resultados obtidos pelo método analítico e com o MVF para valores de tensão radial na região de intersecção cilindro esfera.

Figura 1.7 - Comparação entre a solução analítica e a obtida pelo MVF para a tensão circunferencial e radial [WHEEL, 1996].Figura 1.8 - Intersecção entre cilindro esfera [WHEEL, 1996].Figura 1.9 - Tensão na intersecção cilindro esfera obtidos pelo MVF e pelo método analítico [WHEEL, 1996].

  A respeito da figura 1.9, o autor comenta “... claramente demonstra que o

  

procedimento de volumes finitos é capaz de determinar a forma da curva de distribuição

de tensão com precisão e providenciar uma razoável estimativa do valor máximo de

tensão na curva, mesmo quando uma malha grosseira é utilizada. ” [WHEEL, 1996].

  Em 1997, Wheel apresenta um artigo voltado à análise de deformação em placas semi-espessas [WHEEL, 1997a]. Alguns problemas teste são resolvidos e o autor conclui que, para os casos estudados, o refinamento da malha faz com que as soluções para os deslocamentos e distribuição dos momentos convirjam para os valores da solução analítica. Outro ponto importante é que os resultados mostram que a formulação proposta aparentemente não apresenta o problema de travamento que é característico do método de Elementos Finitos quanto aplicado a problema de placas de Mindlin-Reissner. Posteriormente, Wheel [WHEEL, 1997b, 1998] apresenta um estudo mais detalhado do travamento volumétrico em materiais incompressíveis para o MVF através da investigação do efeito da introdução do grau de liberdade rotacional para volumes finitos quando aplicados a problemas de mecânica estrutural. Os resultados obtidos pelo autor indicam que o MVF contendo o grau de liberdade de rotação é mais preciso que o MVF convencional que emprega apenas os deslocamentos. Também se observa, para o campo de deslocamentos, que esse novo MVF é mais preciso que o MEF com formulação equivalente.

  Finalmente, ressalta-se que os desenvolvimentos apresentados nesta dissertação procuram avançar o estudo do MVF a problemas de mecânica dos sólidos no contexto das técnicas de formulação e solução tradicionalmente adotadas em CFD.

Capítulo 3 – Mecânica do Contínuo

  A mecânica do contínuo é a base para o modelamento do problema de mecânica estrutural. Através deste estudo são definidas as relações matemáticas entre as tensões e deformações, e suas respectivas interdependências com as condições de fronteira e os deslocamentos.

  As relações entre a cinemática e as condições de equilíbrio dos corpos são as leis constitutivas dos materiais. Essas definem as características do material, seja ele elástico ou inelástico, através do relacionamento das componentes de uma medida de tensão com a correspondente medida de deformação.

  A figura 3.1 abaixo mostra como se relacionam as variáveis de solução de um problema de mecânica dos sólidos estático. As secções seguintes apresentam deduções que possibilitam desenvolver as inter-relações apresentadas na figura 3.1.

Figura 3.1 – Inter-relação das variáveis na solução de problemas estáticos de mecânica dos sólidos [CHEN, 1990].

  Forças de Superfície (t) e Forças de Corpo(b)

  Tensões (σ σ σ σ) Desloca- mentos (u)

  Deforma- ções (εεεε)

  E qu aç õe s de eq ui líb ri o

  E qu aç õe s de co m pa ti bi lid ad e

  

Leis constitutivas

  3.1 - Cinemática para Pequenas Deformações

  O movimento geral de um corpo deformável pode ser representado a partir da

figura 3.2. No instante t a posição do ponto P é denotada por X enquanto que no instante

  • tt por x . Da mesma forma, o ponto Q está localizado nas coordenadas

  X X no + instante t e no instante .

  • x x tt

  X , x 3 3

  q

  X

  • u (

  X ) x

  • x x

  Q p

  

X

x

  • tt
  • X

  X u (X ) P t

  

X

X , x 2 2 X , x 1 1 Figura 3.2 – Deslocamento de um corpo.

  Assumindo que ocorrem apenas pequenas deformações, a abordagem cinemática fica bastante simplificada, que neste caso, é possível mostrar que [BONET, 1999], [MALVERN, 1969]

  x = [ Iu ( x )] ∆ , (3.1) +

  X

  onde u é o vetor deslocamento e I é o tensor identidade, que para um incremento de tempo dt passa a ser

  d x = [ Iu ( x )] (3.2) + d

  X O tensor deformação infinitesimal, , é a parte simétrica do tensor gradiente de deslocamento, u ∇ . é dado por:

  1 T ( u u ) (3.3)

  • = ∇ ∇

  2

  3.2 – Princípios de Equilíbrio e o Tensor de Cauchy

  Algumas considerações são importantes antes de apresentar a equação de equilíbrio na forma integral. Um problema de mecânica dos sólidos pode ter dois tipos de condições de contorno: deslocamento prescrito ou forças prescritas. No mesmo ponto sobre a fronteira pode-se ter as duas condições, desde que em direções diferentes. As forças que atuam em um corpo podem ser de dois tipos, as forças de corpo, por exemplo, as de natureza magnética ou gravitacional e as forças de superfície, que atuam na fronteira do corpo.

  As equações de equilíbrio, aqui apresentadas, são baseadas na conservação da quantidade de movimento, P , e na conservação do momento da quantidade de movimento, H , ou seja, momento linear e momento angular respectivamente.

  P = V dv (quantidade de movimento) (3.4) ρ H = x × V dv (momento da quantidade de movimento) (3.5) onde V é o vetor velocidade e “×” indica o produto vetorial.

  O princípio de equilíbrio na forma integral estabelece que as forças aplicadas sobre o corpo, tanto as forças de corpo quanto as de superfície, devem satisfazer as equações de conservação da quantidade de movimento e momento da quantidade de movimento. Deste modo, para qualquer subdomínio H de Ω tem-se:

  • H
  • H

  • × H
  • ×

  V x representa a mudança do momento da quantidade de movimento

  ρ

  dv t

  ∂ ∂ H

  ) da n x t x , ( representa o momento das forças de superfície sobre a fronteira H ∂ ;

  × H

  ) dv (x f x representa o momento das forças de corpo sobre o volume H ;

  onde:

  V x a n x t x x f x ) , ( ) ( , (3.7)

  ρ

  dv t d dv

  = × + × H H H

  ∂ ∂

  O mesmo pode ser feito para a conservação do momento da quantidade de movimento, ×

  dv t

  ρ V representa a mudança da quantidade de movimento sobre o volume H . Este termo vale zero para os casos em que o corpo não possui aceleração.

  ∂ H

  ∂ ;

  da , n x t ) ( representa as forças de superfície sobre a fronteira H

  representa as forças de corpo sobre o volume H ;

  f

  ) (x

  dv

  Onde:

  ) , ( ) ( , (3.6)

  V a n x t x f

  ρ

  dv t d dv

  = + H H H

  ∂ ∂

  sobre o volume H . Este termo vale zero para os casos em que o corpo não possui aceleração angular.

  3.2.1 - Tensor Tensão de Cauchy O tensor tensão de Cauchy é utilizado ao longo da maior parte deste trabalho, daí a necessidade de apresentar alguns tópicos a respeito do mesmo. A sua definição matemática

  é feita a partir de um tetraedro infinitesimal no interior de um corpo Ω , conforme ilustrado na figura 3.3. ´ x 3 Sistema de referência local

  Face 2 (plano x -x ) 1 2

  ∆ A ´ 2 ( )

  te ⋅ ∆ A 1 1

  ∆ A

  Face 1 A

  ∆ (plano x -x ) 1 2 3 ´ n t ( −e ) ⋅ ∆ A 2 2 e 3

t (n ) A

  e 2 ´

  x 2

  e 1

  ∆ A 3 Face 3 ´ (plano x -x ) 1 2 ´ t ( −e ) ⋅ ∆ A 3 3 x 1 Figura 3.3 - Tetraedro infinitesimal.

  Considerando que o corpo esteja em equilíbrio, a aplicação da equação da conservação da quantidade de movimento (3.6) ao tetraedro é H f ( + x ) dv t ( x , n ) d a = , (3.8) H onde, t ( x , n ) da , é a integral das forças de superfícies que atuam nas faces do tetraedro e, H H f (x ) dv , é a integral das forças de corpo que atuam no corpo tetraédrico. Tomando-se um tetraedro suficientemente pequeno tem-se d a → ∆ a e dv → ∆ v , e no limite, quando o tetraedro tende a um ponto, têm-se os valores das forças de corpo tendendo a zero. Deste modo, pode-se mostrar que Face 2

  Face 1 Face 3 1 2 3

  t ( x , n ) t t t n 1 1 1 1

1

1 2 3 Eixo ordenado 1 t ( x , n ) = t ( x , n ) = t t tn (3.9) 2 2 2 2

2

1 2 3 Eixo ordenado 2 t ( x , n ) t t t n 3 3 3 3

3

Eixo ordenado 3

  onde t é a densidade de força em relação à área. Define-se σ a partir da equação (3.9) ij por

  t x n n 1 ( , ) σ σ σ 11 12 13 1 t x n = ⋅ n (3.10) 2 ( , ) σ σ σ 21 22 23 2 t x n n 3 ( , ) σ σ σ 31 32 33 3 ou t ( x , n ) = n (3.11)

  ou ainda

  t = n (3.12) i ij j σ onde o índice “i” representa a face do octaedro e o índice “j” a direção da força. O tensor t ( n x , ) é a

  σ é o chamado tensor tensão de Cauchy, n é o vetor normal à superfície e ij força por unidade de área atuando no ponto (vetor tração).

  ∂

  σ σ σ σ σ σ

  x f x x x x f x x x x f x x x

  Equilíbrio em Equilíbrio em

  3 3 3 33 2 32 1 31 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 Equilíbrio em

  ∂

  ∂

  ∂ ∂

  ∂ = +

  ∂

  ∂ ∂

  ∂ = +

  ∂ ∂

  3.3 - Equações para o equilíbrio local na forma diferencial

  A equação (3.15) pode ser escrita em termos de suas componentes: = +

  f = + ] [ div (3.15)

  Assim, para uma região H arbitrária, tem-se

  dv div dv div dv f f . (3.14)

  ] [ ] [ = + = + H H H

  ( )

  Substituindo a equação (3.13) na equação (3.8) tem-se

  ] dv div da d [ n a t (3.13)

  O vetor tensão, t , pode ser obtido por n t = e o segundo termo da equação (3.8) pode ser avaliado através do teorema da divergência de Gauss como = = ∂ ∂ H H H

  d dv a n x t x f (3.8)

  ) , ( ) ( = + H H

  3.3.1 – Equilíbrio Translacional Para o caso estático, as forças de superfície, t , estão em equilíbrio translacional com as forças de corpo, f , de modo que

  σ σ σ (3.16)

  3.3.2 - Equilíbrio Rotacional O equilíbrio rotacional mostra que o tensor tensão de Cauchy é simétrico. Isso pode ser feito através da equação da conservação do momento da quantidade de movimento, H H + x × t da x × f dv = (3.17)

  Deste modo, é possível mostrar que

  e = , (3.18) ijk kl σ onde e é o tensor alternante. Em termos das componentes tem-se ijk

  − = = σ σ σ σ 23 32 23 32

  σ − σ = σ = σ σ = σ , (3.19) 31 13 31 13 ij ji σ − σ = σ = σ 12 21 12 21 ou ainda, T

  (3.20) = indicando que o tensor tensão de Cauchy é simétrico, satisfazendo, assim, a condição de equilíbrio rotacional.

  3.4 - Leis Constitutivas

  Conforme ilustrado na figura 3.1, as leis constitutivas definem o relacionamento entre o tensor tensão, , e o tensor deformação, . Utilizou-se o modelo elástico linear isotrópico, também conhecido por Lei de Hooke Generalizada, para expressar a relação entre tensão e deformação.

  3.4.1 - Modelo da Lei de Hooke Generalizada A Lei de Hooke Generalizada estabelece uma relação linear elástica entre os estados de tensão e deformação,

  = B C : ou = + + B C , (3.21) σ ε ij ij ijkl kl

  Onde B são as componentes de um estado de tensão inicial e C é um tensor de quarta ordem contendo as constantes elásticas do material. Este modelo é capaz de descrever materiais ortotrópicos e anisotrópicos. Devido à simetria de e , o número de componentes do tensor C é reduzido de 81 para 36, pois C = C = C = C . Além ijkl jikl ijlk jilk disso, tem-se que reduzindo o número de componentes independentes para 21

  C = C ijkl klij

  [CHEN, 1990]. Considerando a tensão inicial nula, a representação matricial de (3.21) é σ C C C C C C ε 11 11 12 13 14 15 16 11

  σ C C C C C ε 22 22 23 24 25 26 22 σ C C C C ε 33 33 34 35 36 33

  = (3.22) σ C C C γ 12 44 45 46 12

  σ C C γ 23 55 56 23 Sim.

  C

  σ γ 31 66 31 O caso em estudo é de isotropia completa, o que simplifica ainda mais a matriz C .

  Pode-se expressar os termos desta matriz em função das propriedades do material que, para o caso em estudo, são o módulo de elasticidade, E , e o coeficiente de Poisson, ν .

  = = =

  2

  σ (3.23)

  Em alguns casos pode-se fazer algumas hipóteses simplificadoras sobre o estado global de tensões, possibilitando uma análise 2D. Essas hipóteses são o Estado Plano de Tensão, Estado Plano de Deformação e os Sólidos de Revolução. Quando aplicadas simplificam grandemente a equação (3.23).

  3.4.2 - Estado Plano de Tensão O estado plano de tensão é caracterizado por apresentar as componentes do tensor tensão não nula apenas em um plano. Supondo que este plano seja o 1-2 tem-se que 33 32 31

  = = = σ σ σ

  , (3.24) ou seja, = 22 21 12 11 σ σ

  σ σ , (3.25) que, aplicado à equação (3.23), fornece [BUCHANAN, 1995]

  − −

  = 12 22 11 2 12 22 11

  2

  ν ν ν ν ν ν

  1

  1

  1

  1 ε

  ε ε

  ν ν

  ν ν

  σ σ σ

  E

  σ σ σ σ σ

  ν ν

  − −

  1 )

  − −

  − −

  = 31 31 23 23 12 12 33 22 11 31 23 12 33 22 11

  2

  2

  2 )

  2 1 (

  2

  2 1 (

  ε ν

  2

  1 )

  2 1 (

  2

  1

  1

  1

  1 γ ε γ ε γ ε

  ε ε

  . (3.26) Sim.

  3.4.3 - Estado Plano de Deformação O estado plano de deformação é caracterizado por apresentar componentes do tensor deformação não nula apenas em um plano. Supondo que este plano seja o 1-2 tem-se que

  , (3.27) ε = ε = ε = 31 32 33 ou seja,

  ε ε 11 12 = , (3.28)

  ε ε 21 22 que, aplicado à equação (3.23), fornece [BUCHANAN, 1995] 1 −

  σ ν ν ε 11 11 E = 1 − . (3.29)

  σ ν ν ε 22 22 ( 1 )( 1 − + 2 )

  ν ν 1 − 2 ν

  2 σ 12 ε 12

  2

  3.5 - Problema a Valor de Contorno

  O problema é solucionado satisfazendo-se simultaneamente as equações da cinemática, as relações constitutivas, as equações de equilíbrio e as condições de contorno, conforme sumarizado abaixo para comportamento elástico linear.

  1 T ( u )

  Cinemática = ∇ ∇

  • u

  2 Constituti va = C (3.30) [ ]

  • Equilíbrio div f =
A partir destas equações pode-se escrever as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos, que para um problema tridimensional, consiste em um sistema acoplado com 3 equações e 3 incógnitas (deslocamentos em e x ).

  x , x 1 2 3 As condições de contorno podem ser definidas com deslocamento prescrito numa

  região da fronteira, Γ , ou força prescrita em outra região da fronteira, Γ , de tal maneira u t que Γ = + Γ Γ u t

  , (3.31) Γ Γ = u t φ onde Γ é toda a fronteira do domínio Ω .

  A figura 3.3 apresenta um exemplo de definição de condições de contorno para o caso de uma viga com deslocamento prescrito nas suas extremidades.

  y Fronteira

  Γ = + Γ Γ u t Γ t 1

  Γ Domínio Γ u 1 u 2 O Γ t 2 x t t t 1 + Γ = Γ Γ 2

  Γ = Γ + Γ u u u 1 2 Figura 3.3 – Exemplo de definição de condições de contorno

Capítulo 4 – Método dos Elementos Finitos

  A análise estrutural objetiva a determinação do campo de deslocamentos, as deformações internas e as tensões que atuam no sistema. Este sistema esta sujeito à atuação de forças externas ou deslocamentos conhecidos. A análise como um todo é de difícil solução. Entretanto, a partir de uma formulação matemática apropriada este problema pode ser contornado dividindo-se o meio contínuo em partes mais simples. A este processo dá-se o nome de discretização do meio contínuo. O Método dos Elementos Finitos é o processo que mais tem sido usado na discretização de meios contínuos.

  O MEF tem sido largamente utilizado em problemas de mecânica estrutural (elástico-linear), bem como em problemas não lineares estáticos ou dinâmicos, mecânica dos fluidos, eletromagnetismo, transmissão de calor, filtração de meios porosos, campo elétrico e acústica, entre outros.

  4.1 - Histórico

  Conforme relatado por Chandrupatla [CHANDRUPATLA, 1991], a análise de estruturas de avião originou a idéia básica do Método de Elementos Finitos. Em 1941, Hrenikoff apresentou a solução do problema de elasticidade usando o “frame work

  

method”. Posteriormente, Courant, em 1943, usou interpolação sobre regiões triangulares

  com partes de polinômios para modelar problemas de torção. Ressalta-se, também, a clássica publicação de Turner e colaboradores, que, em 1956, obtém as equações de rigidez para treliças, vigas e outros elementos em notação matricial que são resolvidas em computadores digitais. O nome Elementos Finitos foi dado por Clough em 1960, e passou a identificar o uso da metodologia geral aplicável a sistemas discretos. Nos anos 60, o método foi utilizado por engenheiros para aproximar a solução de problemas de análise de tensão, fluxo de fluido, transferência de calor e outras áreas.

  Em 1955, um livro por Argyris sobre teorema de energia e métodos matriciais serve de plataforma para futuros desenvolvimentos e estudos de Elementos Finitos. Entretanto, o primeiro livro específico sobre Elementos Finitos foi publicado por Zienkiewicz e Chung, em 1967. No final da década de 60 e início da década de 70, os Elementos Finitos começaram a ser aplicados a problemas não-lineares e grandes deformações. Um livro escrito por Oden sobre mecânica do contínuo não-linear é publicado em 1972. A partir da década de 70 outras fundamentações matemáticas são elaboradas, novos elementos são desenvolvidos e estudos para convergência são apresentados, com extensões para outras áreas da engenharia [CHANDRUPATLA, 1991]. Atualmente, a grande evolução dos computadores tem possibilitado ampliar os campos da pesquisa e a utilização do MEF no projeto e modelamento de produtos.

  4.2 - Formulações das Equações de Elementos Finitos

  Várias aproximações podem ser usadas para transformar a formulação física do problema para uma formulação discretizada utilizando Elementos Finitos. A formulação matemática do problema é definida por uma equação diferencial e o método mais utilizado para formulação com Elementos Finitos é o Método de Galerkin. Se o problema físico puder ser formulado como uma minimização de um funcional, a Formulação Variacional das equações de Elementos Finitos é usualmente utilizada. O Método de Galerkin é apenas um dos vários métodos que têm origem na aplicação do Método dos Resíduos Ponderados, sendo alguns dos demais denominados por: Método dos Mínimos Quadrados, Método dos

  

Momentos e o Método da Colocação. A Formulação Variacional é também conhecida

  como método de Rayleigh-Ritz, pois foi apresentado por Rayleigh em 1877 e redefinido com rigor matemático por Ritz em 1909.

  A Formulação Variacional, para certo problema genérico, consiste em encontrar a função f (x ) que minimiza o funcional x 2 F ( x , f , f ) =

  I x , f , f dx , (4.1) x x x 1 ( )

  onde F ( x , f , f ) é o funcional, x ( x ) I x , f , f é o integrando, x e x representam os 1 2 extremos do domínio do problema e f é a derivada primeira da função f. Para a x elasticidade, um funcional comumente adotado para minimização é o da energia potencial total, Π , definido por

  1 T T T T Π = dVu f dVu T dSu P , (4.2) i i

  2 V V S i onde u é o campo de deslocamentos, f a força distribuída por unidade de volume ( forças de corpo ), t representa as forças de tração e compressão na superfície ( forças de contato e a pressão ), P representa uma força agindo em um ponto i e representa a tensão i agindo no elemento dV . No lado direito da equação (4.2), o primeiro termo representa a energia de deformação elástica devido às tensões internas do material, o segundo representa a energia devido à ação das forças de corpo, o terceiro a energia devido às forças de superfície e o quarto a energia devido às forças pontuais. A figura 4.1 mostra os termos utilizados no equacionamento da energia potencial Π .

Figura 4.1 – Corpo tridimensional [CHANDRUPATLA, 1991]

  A idéia básica do Método dos Resíduos Ponderados é obter uma solução aproximada para a equação diferencial

  Au = , (4.3) b

  • * aplicada a um domínio V , onde A é um operador diferencial, u é o vetor solução da equação diferencial e b é o vetor força de corpo. A solução aproximada, u , é definida
  • como uma combinação linear de um conjunto de funções previamente selecionadas e pode ser escrita como
    • * , (4.4)

      u = WQ

    • * onde Q são coeficientes a serem determinados e W são funções básicas (normalmente polinômios de x, y e z) e linearmente independentes. Como u é uma aproximação, a * equação (4.4) não será exatamente satisfeita, originando assim o erro residual r dado por

      r = Aub . (4.5)

      Deste modo, toma-se um conjunto de funções peso, w = w ( i 1 , 2 , 3 ,...) e monta-se os i = produtos internos com o erro residual para cada uma destas funções, ( r , w ) = rw dV . (4.6) V Impondo a condição de ortogonalidade, ( r , w ) , tem-se que o erro residual da equação

      = (4.3) é zero na média ponderada. Finalmente pode-se definir um conjunto de funções peso de acordo com os diversos métodos, por exemplo: Método de Galerkin, Método dos

      w

    Mínimos Quadrados , Método dos Momentos, Método da Colocação e Diferenças Finitas.

      4.3 - Equação Diferencial dos Deslocamentos

      As equações de governo para elasticidade plana são obtidas a partir das equações da e do momento da quantidade de movimento.

      conservação da quantidade de movimento

      Ambas foram obtidas no Capítulo 3 e são definidas respectivamente pelas equações (3.16) para o equilíbrio translacional e (3.20) para o equilíbrio rotacional. Para essas equações do Capítulo 3 considera-se que o corpo possui aceleração linear e angular nulas, de modo que

      div [ ] f = , (4.7) + onde é o tensor tensão e f são as forças de corpo. A conservação do momento da quantidade de movimento é dada por T = , (4.8) indicando que o tensor tensão é simétrico.

      A deformação e o deslocamento para elasticidade plana relacionam-se através da equação (4.9), obtida a partir da cinemática para pequenas deformações no Capítulo 3,

      1 T = ( ∇ uu ) , (4.9) +

      2 onde é o tensor deformação infinitesimal e u ∇ é o gradiente do deslocamento. A relação constitutiva é dada por

      = C (4.10) onde C é um tensor de quarta ordem contendo as constantes elásticas do material. A equação (4.10) é uma particularização da equação (3.30) para o caso em que as tensões iniciais são nulas.

      4.3.1 - Equações de equilíbrio para o estado plano de deformação Para material isotrópico, o módulo elástico C para o estado plano de deformação é

      − a b 1 ν ν

      E C = ν − ν = b a (4.11)

      1 ( 1 ν )( 1 − + 2 ν ) 1 −

      2 ν c onde ν é o coeficiente de Poisson, E é o módulo de Young, a , e c representam as b constantes da elasticidade plana conforme equação (4.11). Reescrevendo as equações (4.7) e (4.10) para coordenadas cartesianas obtém-se

      { }

      ∂ ∂

      (4.14)

      e, finalmente, substituindo a equação (4.9) na equação (4.14),

      { }

      = + × ∂

      ∂ ∂

      ∂ ∂

      ∂ ×

      

    b

    b

    c a b b a x y y x

      ∂ ∂

      ∂ ∂

      ∂ ∂

      ∂ ∂ y x

      b b v u y x y x c a b b a x y y x

      (4.15) ou ainda

      ( ) CL b u L

      ε ε ε

      ∂ y x xy yy xx

      = + ∂

      (4.12) e = xy yy xx xy yy xx

      ∂ ∂

      ∂ ∂

      ∂ ∂

      ∂ y x xy yy xx

      b b x y y x

      σ σ σ

      c a b b a

      ∂ ∂

      ε ε ε

      σ σ σ

      (4.13) Substituindo a equação (4.13) na equação (4.12)

      { }

      = + × ∂

      ∂ ∂

      ∂ ∂

      = + T , (4.16) T

      onde o termo ( L CL ) é também chamado de operador diferencial, A e contém as propriedades elásticas do material bem como as relações entre deformação e deslocamento e será representado por T

      A = L CL . (4.17) 4.4 – Aplicação do Método de Galerkin

      No Método dos Resíduos Ponderados, são escolhidas as funções peso w à partir * das funções básicas usadas para construir a solução aproximada u . Assim, as funções peso são uma combinação linear das funções W . Considerando uma função peso arbitrária i

      w ela é determinada por n w = W , (4.18) i = 1 φ i i onde os coeficientes

      φ são arbitrários porém devem satisfazer a condição de contorno i * homogênea onde é prescrito. Substituindo as funções peso, dadas pela equação (4.18),

      u

    • * em (4.6) e impondo a condição de ortogonalidade tem-se

      w LuP dV = . (4.19) V ( )

    • * Fazendo-se as devidas substituições das funções peso w e da solução aproximada

      

    u , pode-se proceder com a integração no domínio V . Obtêm-se, assim, as equações

      discretizadas, , (4.20)

      [ ] K Q = F { } { } onde K é uma matriz de coeficientes, F é o vetor força e Q é o vetor que representa

      [ ] { } { }

      os valores Q procurados na equação (4.4). Assim, resolvendo-se esse sistema tem-se a i

    • * e

      solução aproximada u . A matriz rigidez de um elemento, k , é obtida a partir de e T 1 1

      k = t L CL det J d ξd η , (4.21) e − − 1 1

      onde t é a espessura do elemento bidimensional (t = 1 para o estado plano de e e deformação), L é o operador diferencial definido nas equações (4.15) e (4.16). O detJ é o determinante do Jacobiano de transformação de coordenadas entre o sistema ortogonal xOy e o sistema de coordenadas ξOη, definido por

      ∂ xy ∂ ∂

      ξ ξ = , (4.22)

    J

      ∂ xy ∂ ∂

      η η onde x e y são aproximadas como funções de ξ e η, e podem ser escritas como 1 1 2 2 + + + x = W x W x W x W x 3 3 4 4 (4.23) 1 1 2 2 + + + y = W y W y W y W y 3 3 4 4 O vetor força F contém as forças de corpo, forças de tração sobre a superfície e carregamentos pontuais nos nós da malha. Na figura 4.1, estas três formas de contribuição nas componentes do vetor força F são designadas por f dV , f dV e f dV para as forças de x y z corpo, t para as forças de tração e P para carregamentos pontuais nos nós da malha. i 4.4.1 – Método de Galerkin Aplicado à Elasticidade Plana

      O Método de Galerkin aplicado ao problema de elasticidade plana, utilizando-se das equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos, possibilita a obtenção da solução do problema dentro de um subdomínio, também chamado de elemento finito. Utilizando-se

    • * um elemento finito do tipo bidimensional (quadrilateral) e fazendo as funções de forma * genéricas W iguais a N , pode-se aproximar a solução de u por u , que é definido como i i
      • N u N u N u N u N u
        • * i i u
        • 1 1 2 2 3 3 4 4
          • * u

          , (4.24) = = =

        • N v N v N v N v N v

          v i i 1 1 2 2 3 3 4 4

          ou ainda

          u 1 v 1 u 2 N N N N v 1 2 3 4 2

          . (4.25) = N u

          [ ] { } u N N N N u 1 2 3 4 3 v 3 u 4 v 4 A equação diferencial em termos dos deslocamentos é obtida através da R u

          substituição da equação (4.16) devido à

           em (4.25), porém agora com um resíduo R v aproximação. A equação abaixo representa isso. T

        • L C L N u b = (4.26)

          [ ] [ ][ ][ ] { } { } [R ] u u u

          Aplicando o Método de Galerkin à equação diferencial aproximada, (4.26) tem-se T

          N R dV = , (4.27) V [ ] [ ] u

          onde sua solução minimiza o resíduo através da ortogonalização do mesmo sobre as funções básicas N . Este procedimento resulta em um sistema de equações conforme a i equação (4.20), característica do Método de Galerkin. Neste caso Q representa os valores nodais do campo de deslocamentos para o elemento finito quadrilateral bidimensional, conforme (4.4)

          K u = F . (4.28) [ ] { } { }

          A solução u é determinada para todos os elementos finitos do domínio e é chamada de Solução Local. A partir deste ponto monta-se a Solução Global que representa o domínio completo do problema através da montagem da matriz rigidez global. Obtém-se, assim, o sistema de equações global o qual pode ser resolvido através de um método de solução de sistemas de equações lineares. Maiores detalhes sobre este procedimento são descritos em [CHANDRUPATLA, 1991] e [BUCHANAN, 1995].

          O presente trabalho, para os resultados obtidos pelo Método dos Elementos Finitos, utilizou o programa computacional MANEH, [MANEH, 2004]. Através deste programa foram obtidos os resultados para o MEF dos deslocamentos e tensões pós-processadas para os problemas propostos nas secções do Capítulo 6.

          4.5 – Esquemas de Suavização para Tensões

          A análise de tensões é freqüentemente requerida em aplicações na engenharia. Em análises que envolvem integração numérica nos elementos, tal como elementos isoparamétricos, os pontos de integração são aqueles que apresentam maior precisão no cômputo das tensões. Porém, para o usuário, por questões de visualização, é interessante apresentar os valores nodais das tensões. Entretanto, é bem conhecido que as funções de interpolação não apresentam bom comportamento próximo às extremidades da região de interpolação fazendo com que as tensões aproximadas nestes pontos apresentem os piores valores. É, portanto, razoável se esperar que valores de tensões tomados no interior do elemento sejam mais precisos que no contorno do mesmo [HINTON, 1974].

          Em elementos finitos baseados em deslocamentos, o campo de tensão normalmente resulta descontínuo através das fronteiras inter-elementos. Isto é, para um mesmo nó pertencente a dois ou mais elementos, tem-se para cada elemento uma tensão diferente calculada sobre o nó. Para ajustar esta falta de continuidade das tensões na fronteira do elemento recorre-se aos chamados esquemas de suavização. Alguns dos esquemas normalmente utilizados são tensões obtidas diretamente no nó, extrapolação, suavização

          

        local e suavização global. Apesar de que o enfoque dos esquemas de suavização aqui

          apresentados é sobre a análise de tensões, estes esquemas podem ser utilizados para suavizar qualquer campo de variável derivado de valores obtidos pelo MEF no interior do elementos.

          4.5.1 - Tensões obtidas diretamente no nó As tensões não suavizadas, σ ij,η), em qualquer ponto de cada elemento podem ser obtidas pela relação usual entre tensão e deslocamento, e

          ξ , η = C LN ξ , η u , (4.29)

          { }( ) [ ] [ ( ) ] { } e

          onde [C] é a matriz constitutiva para o elemento e {u } são os deslocamentos nodais para o elemento. Cada nó global é mapeado, verificando-se todos os elementos que o contém. Em cada elemento substituem-se as posições paramétricas (ξ,η) do nó na expressão (4.29). As tensões suavizadas são obtidas pela média dos valores nos nós oriundos de cada elemento conectado a ele. 4.5.2 - Tensões obtidas por extrapolação

          Em um elemento finito quadrilateral linear para problemas bidimensionais, os pontos que fornecem os valores mais próximos do exato são aqueles da regra de integração de Gauss. Portanto, nesta técnica, os valores de tensões nos nós da malha são obtidos através da extrapolação dos valores de tensões localizados nestes pontos. Normalmente os resultados obtidos para as tensões através da extrapolação são mais precisos que os obtidos

          

        diretamente nos nós conforme descrito na seção 4.5.1. Esta afirmativa é especialmente

        válida para as tensões cisalhantes.

          Por exemplo, a extrapolação a partir de 4 pontos de Gauss para elementos quadrangulares isoparamétricos é dada por = G G G G , (4.30) + + +

          σ σ σ σ ijP 1 ij 1 2 ij 2 3 ij 3 4 ij σ 4 onde P = A, B, C e D são os nós do elemento, segundo a figura 4.2, e G são as funções

          1...4

          utilizadas para a extrapolação que, para o caso de elemento linear, são as mesmas empregadas na solução por Elementos Finitos, de modo que G = N = I I I I ), com ξ I , η I ± 3 [COOK, 1989]. Assim como no caso anterior, as tensões nodais suavizadas são obtidas através da média nos nós. A figura 4.2 ilustra a posição dos pontos de integração de

          Gauss e o ponto P onde se deseja calcular as tensões através da extrapolação.

        Figura 4.2 – Sistema de coordenadas naturais utilizado na extrapolação de tensões a partir dos pontos de Gauss.

          4.5.3 - Tensões obtidas por suavização local , o procedimento para avaliar a

          Para um elemento, tendo-se a tensão não suavizada σ ij tensão suavizada σ~ utilizando as funções de suavização é a minimização do funcional ij dado pela equação (4.31), o qual representa a aproximação pelo método dos mínimos quadrados (HINTON, 1974), 2

          ~ ~

          ~ ~ χ = σ − σ d ξ d η e σ = N σ (4.31) e ( ) , ij ij ij G ij G

          ~ onde N são as funções de forma. O mínimo é encontrado fazendo-se ∂ ∂ ~ = e G χ σ integrando-se numericamente esta última obtém-se a expressão para o elemento na seguinte forma

          σ e IV ij , σ .

          1

          2

          1

          3

          2

          1

          2

          3

          2

          2

          1

          3

          2

          1

          2

          1

          1

          1

          2

          σ σ

          σ , III ij ,

          η ξ σ σ , , = e da mesma forma para II ij ,

          ( ) I I ij I ij

          σ , definidas na figura 4.3. Pode-se escrever ainda que

          σ , III ij , σ e IV ij ,

          , (4.34) onde as tensões não suavizadas nos pontos de Gauss são representadas por I ij , σ , II ij ,

          σ σ σ σ

          ~ σ σ

          2

          1 ~ ~ ~

          3

          2

          1

          2

          1

          3

          3

          1

          { } { } e e S f

          ~ :

          ~ são funções lineares e uma regra de integração de Gauss 2x2 é adotada na avaliação da matriz de suavização (S

          N

          . (4.33) Se G

          : : ~ ~ ... ~ ~ 1 1 1 1 1 1

          ~ ~ ... ~ ~

          : ~

          ~ ~

          N d d N d d N d d N d d N N N d d N d d N N n n n n n n

          ) e do lado direito da equação (4.33), então pode-se mostrar que as tensões suavizadas nos nós minimizando-se o funcional (4.31) são dadas por 1 ,

          η ξ η ξ

          σ η ξ η ξ

          η ξ σ σ

          = η ξ σ

          J det (Jacobiano) é constante e a equação (4.32) pode ser escrita como

          ] [ . (4.32) Para elementos em forma retangular e em paralelogramo, o valor do

          = ~

          e

          ~ ij σ

          2

          1

          1

          2

          1

          3

          2

          1

          2

          3

          , 2 , ~ ij

          2

          − − − + = IV ij III ij II ij I ij ij ij ij ij , , , , 4 , 3 , 2 , 1 ,

          − + − − − − + −

          . Estas podem ser obtidas pela expressão

          ~ ij σ

          ~ ij σ e 4 ,

          σ , 3 ,

        • − − −

        Figura 4.3 – Elemento bidimensional, parabólico e isoparamétrico (HINTON, 1974).

          Outra forma de suavização local é a discreta, onde se utiliza o funcional dado pela equação, np 2 = ( , ) − g ( , ) , (4.35)

          χ σ ξ η ξ η k = 1 [ ij k k ij k k ] onde np é o número de amostras dentro do elemento. Neste caso deve ser notado que g é uma aproximação por mínimos quadrados que enquadra exatamente as tensões não suavizadas , , e . Ao contrário da suavização global, a local não

          σ σ σ σ ij , , , , I ij II ij III ij IV fornece valores únicos de tensão nos pontos nodais requerendo, assim, o cálculo de médias nodais.

          4.5.4 - Tensões obtidas por suavização global Este procedimento de suavização utiliza o método dos mínimos quadrados aplicado a todo o domínio do problema. O que se deseja calcular são as tensões suavizadas nodais, avaliadas no elemento pela função suavizada g,η) apresentada anteriormente. Neste caso a função g é obtida por n

          ~

          g ( , ) = N , (4.36) ij k ij , k ξ η σ k = 1

          ~ ~ onde N k são as funções de interpolação globais para o nó k com coordenadas (ξ,η), σ ij k , são as componentes da tensão suavizada nodal para o nó k e n é o número de nós por

          ~ elemento na análise de suavização. As funções N de suavização podem ser de ordem k diferente que as funções N usadas na análise de elementos finitos (HINTON, 1974). O k erro entre as tensões suavizadas e não suavizadas em qualquer ponto no interior do elemento é

          , (4.37)

          e ξ , η = σ ξ , η − g ξ , η ij ij ij ( ) ( ) ( )

          onde σ ij,η) é avaliado pela equação (4.29). A determinação das tensões nodais suavizadas, σ~ , com k variando de 1 até o número total de nós p, é obtida através da k minimização do funcional, ne 2

          = e , det J d d , (4.38) χ ( ξ η ) [ ] ξ η l = 1 ij onde ne é o número total de elementos e det[J] é o determinante da matriz Jacobiano. A solução deste problema é semelhante ao problema original em elementos finitos, i.e., o e procedimento de minimização feito para cada elemento resulta em um vetor força {f } e e uma matriz suavização do elemento [S ], que são montados respectivamente no vetor força global {f} e na matriz de suavização global [S], de modo que a solução do sistema

          ~

          S = f , (4.39) [ ] { } { }

          fornece os valor das tensões suavizadas em cada nó do domínio do problema. É importante ressaltar que este problema possui três graus de liberdade por nó, cada qual correspondente a um componente do tensor tensão, resultando em um sistema de equações com um número de graus de liberdade maior do que o problema de elementos finitos original. Entretanto, como os componentes são desacoplados divide-se o problema em três e faz-se a triangularização da matriz [S] uma única vez reduzindo, assim, o tempo de processamento.

        Capítulo 5 – Método dos Volumes Finitos 5.1 - Histórico

          O Método dos Volumes Finitos (MVF) é um método numérico que teve sua origem a partir do Método das Diferenças Finitas (MDF) e, em muitos problemas, eles são equivalentes. Para entender melhor a origem do MVF é interessante considerar um breve histórico.

          O MDF foi grandemente utilizado no passado em problemas de escoamento de fluidos e transferência de calor, até o início da década de 70. O método, entretanto, não apresentava facilidades para tratar com geometrias complexas, o que dificultava seu uso na grande parte de problemas com aplicações práticas. A dificuldade de o MDF tratar com geometrias complexas vem do fato de que praticamente todo seu desenvolvimento foi baseado nos sistemas coordenados ortogonais, como o cartesiano, o cilíndrico e o esférico. Porém, posteriormente, o mesmo foi aprimorado e pode ser aplicado a qualquer tipo de malha, inclusive a não estruturada.

          A aplicação do MDF tem por base à representação das derivadas espaciais e temporais através de expressões algébricas e essas expressões são obtidas usando as séries de Taylor. Esse tipo de aproximação gera erros de truncamento inevitáveis, porém consegue-se manter controle sobre esses erros e suas influências. O MDF e o MEF (elementos lineares) utilizando Galerkin apresentavam dificuldades ao tratarem com problemas de convecção dominante, sendo apenas apropriados a problemas puramente difusivos. Desta dificuldade surgiu o interesse em aprimorar o MVF, pois neste as equações aproximadas são obtidas através do balanço de conservação da propriedade envolvida no volume elementar (propriedades: massa, quantidade de movimento e entalpia, dentre outras). Deste modo, a lei de conservação da propriedade, quando discretizada, continua sendo conservativa no volume de controle, constituindo esta uma grande vantagem do MVF sobre o MDF. Ainda na década de 70 houve o aparecimento de computadores com maior capacidade de processamento e os sistemas coordenados ortogonais convencionais começaram a ceder espaço para os sistemas coordenados generalizados coincidentes com a fronteira do domínio possibilitando ao MVF resolver problemas de fluidos em geometrias irregulares [MALISKA, 1995].

          5.2 – Consistência, Estabilidade e Convergência

          A solução usando o MVF dá origem a um sistema de equações complexo e de comportamento matemático desconhecido. Sendo difícil provar que uma aproximação numérica é estável e convergente. Daí análises de Consistência, Estabilidade e devem ser realizados através de estudo de caso sobre os problemas físicos

          Convergência

          de interesse. Ressalta-se que a Estabilidade e Convergência dependem das condições em que é aplicado o método numérico, tais como: tamanho da malha, tamanho do intervalo de tempo e coeficientes de relaxação entre outros.

          Um método numérico é dito Consistente se as equações discretizadas aproximarem as equações diferenciais quando a malha for refinada a tal ponto que os intervalos de discretização tendam a zero. Para o caso do MVF, o qual é desenvolvido a partir das equações na forma conservativa, todo modelo é dito Conservativo.

          Deseja-se ainda que a solução numérica obtida seja a solução exata das equações discretizadas. Quando isso ocorre tem-se um método com Estabilidade. A Estabilidade pode ser afetada por fatores tais como arredondamento de máquina, forma de tratar com o acoplamento entre variáveis e outros.

          Uma aproximação numérica apresenta Convergência quando a mesma for e Estável [FERZIGER, 1999].

          Consistente 5.3 – O Método dos Volumes Finitos Aplicado a Elasticidade Plana

          A aproximação das equações diferenciais pelo MVF pode ser feita de duas maneiras. Através do balanço da propriedade de interesse sobre os volumes finitos, ou através da

          integração da equação diferencial na forma conservativa sobre o volume

          finito, no espaço e no tempo. Ambos procedimentos são equivalentes no que diz respeito à equação discretizada final. As equações de governo, discutidas no capítulo 3, são:

          f ] , (3.15)

          [

        • div = T

          , (3.20) = onde a equação (3.15) representa a equação da conservação da quantidade de movimento, enquanto que a equação (3.20) está associada à equação da conservação do momento da quantidade de movimento. 5.3.1 – Discretização das Equações de Governo

          As equações de governo devem agora ser discretizadas para alguns volumes finitos genéricos comuns na fronteira e no interior do domínio. Como o presente trabalho tem por objetivo enfocar comparações básicas sobre resultados obtidos a partir do MVF e os resultados obtidos pelo MEF, será apresentada apenas a discretização da equação de governo utilizando-se de coordenadas cartesianas ortogonais e uma malha estruturada para problemas de elasticidade plana. O domínio representado na figura 5.1 é o caso genérico que será utilizado nas comparações.

          Fronteira do problema Fr N

          y Fr NE NORTE

          n Vértice da fronteira Fr NW

        • 1 n

          2 OESTE n- Fr E

        • 3 n

          Interior Fr W 4 n-

          LESTE

          5 n-

          Fr SW

          1 j = i = 1 2 3 4 5 . . . m-1 m

          x SUL

          Fr S

        Figura 5.1 – Domínio Genérico do Problema

          A malha cartesiana e estruturada é composta dos nós localizados pelos índices 1 ... , 1 ... . No presente estudo nove volumes-padrão são necessários para

          i = m j = n

          representar todos os volumes possíveis no domínio e fronteira do problema. Estes estão designados na figura 5.1 por FrN, FrS, FrE, FrW, FrNE, FrSE, FrNW, FrSW e Interior. O volume Interior é um padrão de volume finito que é utilizado para discretizar os pontos P no interior do domínio, os volumes FrN, FrS, FrE e FrW são usados para discretizar pontos nas fronteiras norte (N), sul (S), leste (E) e oeste (W) respectivamente, já os volumes FrNE, FrSE, FrNW e FrSW são usados para discretizar pontos nos vértices das fronteiras.

          Nos próximos parágrafos será apresentada a discretização para o volume no interior do domínio. O apêndice A contém as equações discretizadas para volumes nas fronteiras. A figura 5.2 apresenta a célula utilizada para a discretização em volumes finitos do volume no interior do domínio.

          ∆ x Pontos nodais

          NE NW N nne nnw

        • + σ yy

          δ y n

          σ yx

          wnw ene y

          δ n

        n

          σ xy

          δ y n

          σ xx

          P σ w e xx E W

          ∆ y σ xy δ y

          b s

          ρ y

          s wsw ese y

          δ s

        • + σ yx

          δ y

          σ s yy

          SW SE ssw

          S sse y − + + − δ

        x δ x x x

        w w e e

        δ δ

        δ x x

        w e

        δ

          O x

        Figura 5.2 – Volume de controle no interior do domínio

          O termo b representa a força de corpo aplicada sobre o volume de controle e é y constante para todos os casos de volumes de controle analisados na figura 5.1. Isso ocorre, pois o domínio do problema apresentado tem as direções principais coincidentes com as direções do sistema xOy . Conseqüentemente todos os volumes de controle terão faces paralelas ou perpendiculares ao sistema de coordenadas.

          A equação de governo dada pela equação (3.15) pode ser reescrita para o caso bidimensional como ∂

          σ ∂ σ xx xy

        • = (na direção x ) ∂ xy

          , (5.1) ∂ σ ∂ σ yx yy

          (na direção y ) ρ + + b = y

          ∂ xy onde o valor de é zero pois a direção das forças de corpo por unidade de volume é

          b x

          coincidente com a direção de Oy do sistema cartesiano adotado. A discretização pode ser feita pela integração da equação de governo, equação (5.1), sobre o volume de controle ou ainda através do balanço de forças sobre o volume de controle discretizado na figuras 5.2. Como os dois métodos levam à mesma equação discretizada, a obtenção da equação é feita através do balanço de forças.

          O balanço de forças nas direções Ox e Oy sobre o volume de controle mostrado na figura 5.2 é representado pelas equações (5.2) e (5.3) abaixo.

        • y − ∆ yx − ∆ x = , (5.2) σ σ σ σ xx xx yx yx e w n s

          ∆ − + ∆ + y yx − ∆ x bxy = , (5.3) σ σ σ σ ρ xy xy yy yy y e w n s onde os índices e w aplicados sobre as tensões indicam que as mesmas devem ser

          n , , s e

          avaliadas sobre a região de fronteira do volume de controle. As componentes da tensão são dadas pelas equações (3.26) e (3.29) para os casos de estado plano de tensão e estado plano de deformação respectivamente. Estas podem ser generalizadas utilizando-se as constantes

        A , , a b e c que assumem valores específicos para o estado plano de tensão ou deformação.

        Considerando o sistema cartesiano, a equação generalizada e as constantes para cada caso são

          , (5.8)

          (5. 7) Substituindo a equação (5.7) na equação (5.4) e expandindo nas componentes de tensão obtém-se

          A

          (5.6) As deformações são dadas pela equação (3.3) e podem ser reescritas para o sistema cartesiano como

          ∂ ∂

          = ∂ ∂

          = ∂ ∂

          =

          x v y u y v x u xy yy xx

          2

          1 ε

          ε ε

          ∂ ∂

          ν ν

          ∂ =

          ∂ ∂

          ∂ =

          ∂ ∂

          ∂ =

          x v y u

          Ac y v a x u

          A b y v b x u

          A a xy yy xx

          σ σ σ

          c b a E

          ν ν

          = xy yy xx xy yy xx

          = −

          c a b b a A

          ε ε

          ε σ σ σ

          2 (5.4)

          Estado tensão de plano

          2

          1

          1

          1 2

          = =

          = ν

          = ν

          ν ν

          c b a E

          A

          (5.5) Estado deformação de plano

          2

          2

          1

          1 )

          2 1 )( 1 ( −

          = =

          − = − +

        • ∂ ∂
        que podem ser substituídas nas equações de equilíbrio (5.2) e (5.3), representando o equilíbrio na direção x, ∂ uvuv

        • A a byA a byxyxy e w

          (5.9) ∂ uvuv

        • Acx − + Acx = ∂ yxyx n s e na direção y,

          ∂ uvuv

        • AcyAcyyxyx e w

          (5.10) ∂ uvuv

        • A b axA b axbxy =

          ρ yxyxy n s onde as derivadas parciais avaliadas sobre as fronteiras do volume de controle são determinadas por uma aproximação linear através da derivada central. É importante ressaltar que tais derivadas também podem ser obtidas a partir de funções de interpolação de ordens mais altas.

          Neste caso, as derivadas sobre as fronteiras dos volumes são aproximadas através do esquema de derivadas centrais, de modo que as derivadas do deslocamento x são definidas como

          uu uu

          ∂ uu e ne w nw e se w sw − − − − = =

          ∂ + + x x xx x x n e w s e w δ δ δ δ

          u uu u uu

          ∂ ∂ E P P W = =

          ∂ x xx x e w δ δ e w , (5.11)

          u uu u uu

          ∂ ∂ N P P S = =

          y y y y

          ∂ δ ∂ δ n s n s

          uu uu

          ∂ uu n ne s se n nw s sw − − − − = =

          y y y y y

        • y

          ∂ δ δ ∂ δ δ e w n s n s + enquanto que as derivadas do deslocamento em y são

          vv vv

          ∂ vv N P P S = =

          ∂ y δ yy δ y n s n s

          vv vv

          ∂ vv n ne s se n nw s sw − − − − = =

          ∂ + y δ + y δ yy δ y δ y e w n s n s . (5.12)

          vv vv

          ∂ vv e ne w nw e se w sw − − − − = =

          ∂ x δ x δ xx δ x δ + + x n e w s e w

          vv vv

          ∂ vv E P P W = =

          ∂ x δ xx δ x e e w w Os valores dos deslocamentos u e v que estão sobre os pontos

          

        nne sse ene wnw nnw ssw ese e wsw devem ser interpolados a

          , , , , , , partir dos valores nodais conhecidos. Para isso foi utilizada uma interpolação linear entre os pontos N e NE para o ponto nne , S e SE para o ponto sse , e assim sucessivamente para os demais pontos. A interpolação linear sobre uma superfície genérica

          AB é mostrada na figura 5.3 e dada por

        • = (5.13) ou ainda A a B a B A

          SW s W s sw w SE s E s se e NW n W n nw w NE n E n ne e u f u f u u f u f u u f u f u u f u f u

          , nw n

          

        v

          , sw s

          v

          , ne e

          v

          , nw w

          v

          , se e

          v

          e sw w

          v

          , tem- se

          ) 1 ( ) 1 (

          , se s

          ) 1 ( ) 1 (

          − + = − + =

          − + = − + =

          − SW w S w sw s NW w N w nw n SE e S e se s NE e N e ne n u f u f u u f u f u u f u f u u f u f u

          ) 1 ( ) 1 (

          ) 1 ( ) 1 (

          − + = − + =

          − + = − + =

          −

          (5.16) e

          

        A B

        A φ B φ

          Função aproximada B A φ

          A-B

        a

        δ + a δ a

          v

          v

        Figura 5.3 – Interpolação linear numa superfície genérica A-B A

          u

          B a a a a B A

          φ δ

          δ φ

          δ δ

          φ − +

          φ f f φ φ

          )

          1 ( − + =

          (5.14) onde

          a a a a a a f f

          δ δ

          δ δ − +

          = − = ) 1 ( e (5.15) Aplicando essa técnica de interpolação aos valores dos deslocamentos ne e

          , nw w

          , ne n

          u

          , se e

          u

          , sw w

          u

          , ne n

          u

          , se s

          u

          , nw n

          u

          , sw s

          u

          δ

          (5.22)

          evidência. Estas são as equações discretizadas pelo método de volumes finitos para o volume no interior do domínio apresentado na figura 5.2. u W u E w u S e u N s u P n u p

          δ δ +

          = , w w w

          x x f

          δ δ +

          = (5.18) Com os valores interpolados pelas equações (5.16), (5.17) e (5.18) e com as derivadas avaliadas nas fronteiras do volume de controle, equações (5.11) e (5.12), pode-se proceder com a discretização completa das equações (5.9) e (5.10). O resultado é apresentado nas equações (5.19)

           e (5.20) respectivamente, já com os valores nodais de u e v colocados em

          B u A u A u A u A u A + + + + = (5.19) v W v E w v S e v N s v P n v p

          = , e e e

          B v A v A v A v A v A + + + + = (5.20)

          onde

          v w v e v s v n v p u w u e u s u n u p A A A A A A A A A A

          (5.21) e

          SE g v v NE se v SW ne v NW sw

        v

        W nw v E w v S e v N s v n v SE u NE se u SW ne u NW sw

        u

        W nw u E w u S e u N s u n u B u B u B u B u B u B u B u B u B B

          B v v B v B v B v B v B v B v B B

          x x f

          δ δ +

          SW w S w sw s NW w N w nw n SE e S e se s NE e N e ne n v f v f v v f v f v v f v f v v f v f v

          ) 1 ( ) 1 (

          ) 1 ( ) 1 (

          ) 1 ( ) 1 (

          − + = − + =

          − + = − + =

          − SW s W s sw w SE s E s se e NW n W n nw w NE n E n ne e v f v f v v f v f v v f v f v v f v f v

          ) 1 ( ) 1 (

          − + = − + =

          y y f

          − + = − + =

          −

          (5.17) onde

          n n n y y f

          δ δ +

          = , s s s

        • =
        • =
        • =
        • =
        Os coeficientes A das equações (5.21) são dados por u v u v Ac Aa Ac Aa A = ∆ x , A = ∆ x , A = ∆ x , A = ∆ x n n s s y y y y δ δ δ δ n n s s n n s s

          (5.23) u v u v Aa Ac Aa Ac A y , A y , A y , A y e e w w = ∆ = ∆ = ∆ = ∆

          x x x x

          δ δ δ δ e e w w e e w w Os coeficientes B das equações (5.22) são dados por u u Abf Abf e w B = − B = ∆ y − ∆ y n s

        • y y y y δ δ δ δ n s n s e w
        • v v e w Acf Acf B = − B = ∆ y − ∆ y n s<
        • y y y y δ δ δ δ n s n s e w
        • u u n s Acf Acf B = − B = ∆ x − ∆ x e w<
        • x x x x δ δ δ δ e w e w n s
        • v v n s Abf Abf B = − B = ∆ x − ∆ x e w<
        • x x x x δ δ δ δ e w e w n s u n e

          Ac (

          1 − f ) Ab ( 1 − f ) ne = ∆ + B xy δ + + x δ x δ y δ y e w n s n e

          Ab (

          1 f ) Ac ( 1 f ) v n e − − ne + B = ∆ xy δ δ δ + + x x y δ y e w n s n e

          (5.24) ( 1 ) ( 1 ) u Acf Abf s e B = − ∆ x − ∆ y se

          δ δ + + x x δ y δ y e w n s s e ( 1 ) ( 1 ) v Abf Acf s e B = − ∆ x − ∆ y se

        • x x y y δ δ δ δ e w n s s e u s w

          Ac (

          1 − f ) Ab ( 1 − f )

        • B = ∆ xy swx x y y δ δ δ δ e w n s s w v s w

          Ab (

          1 − f ) Ac ( 1 − f )

          B x y sw = ∆ ∆ +

        • x y y + x

          δ e w n s δ δ δ s w

          • > > > > >
          • O sistema de equações lineares, equação (5.25), pode ser resolvido por um método iterativo ou direto. O Método de Jacobi é um método iterativo ponto a ponto de lenta convergência e requer uma matriz com dominância diagonal. O Método de Gauss-Seidel também é iterativo e ponto a ponto, diferentemente do Método de Jacobi neste método os valores nodais das variáveis são sempre os mais recentemente calculados. Tanto o Método

            − ∆

            onde A representa a matriz de coeficientes, u representa o vetor deslocamento (incógnita do problema) e f o vetor independente onde as condições de contorno são atribuídas. É interessante observar que para o caso analisado (bidimensional, coordenadas cartesianas e malha estruturada), o formato de cada matriz dos coeficientes para as equações (5.19) e (5.20) é pentadiagonal não simétrica, como mostrado na figura 5.4.

            Au f = (5.25)

            Ao aplicar-se as equações discretizadas aos pontos nodais da malha é obtido um sistema de equações lineares, que pode ser escrito na forma matricial como

            ∆ ∆ − = ρ 5.3.2 – Solução das Equações Discretizadas

            B y x b y v g

            ) ) 1 ( 1 (

            − = δ δ δ δ

            ∆

            y y y Ab f x x x Ac f

            B

          w

          s n w n w e n v nw

            y y y Ac f x x x Ab f

            ) ) 1 ( 1 (

            − = δ δ δ δ

            − ∆

            ∆

            B

          w

          s n w n w e n u nw

          Figura 5.4 – Estrutura da matriz de coeficientes para problemas bidimensionais

            

          de Jacobi como o de Gauss-Seidel são de fácil implementação, totalmente vetorizáveis e

            indicados para processamento paralelo. O método utilizado neste trabalho foi o TDMA (TriDiagonal Matrix Algorithm) também conhecido como algoritmo de Thomas. É um método iterativo linha-por-linha (ou coluna-por-coluna) mais rápido que os métodos iterativos convencionais ponto a ponto. Em associação aos métodos de Gauss-Seidel e TDMA, também foi utilizado o Método das Sobre-relaxações Sucessivas – SOR que procura acelerar o processo de convergência através da aplicação de uma sobre-relaxação nos valores obtidos. A sobre-relaxação é feita através de I

          • + 1 I +
          • 1 I

              φ φ φ P P P Gauss Seidel TDMA ou I 1 onde representa o valor da solução em um ponto, P, correntemente sendo computada,

            • = k ( k − 1 ) , (5.26)
            • φ P
            • I 1 + ou seja, na iteração I+1. representa a solução em um ponto P obtida pelos

                φ P Gauss Seidel TDMA ou métodos de Gauss-Seidel ou TDMA na iteração I+1. k é o parâmetro de sobre-relaxação I adotado e φ é o valor da solução no ponto P na iteração imediatamente anterior. Se o P parâmetro de sobre-relaxação for maior que 1 (k &gt; 1) tem-se uma convergência acelerada, porém k não pode ser maior que um valor ótimo, acima do qual a convergência é prejudicada. Se este parâmetro for menor que 1, então se tem uma sub-relaxação e a convergência é freada. A convergência também pode ser acelerada grandemente através de métodos multigrid [FERZIGER, 1999].

                O critério de convergência utilizado foi o da norma do resíduo, ou seja, quando esta for menor que uma determinada tolerância o processo iterativo é finalizado. A norma do resíduo é dada por

                N I + + + + + 1 I 1 I 1 I 1 I 1 2

                ε rro = A φ A φ A φ A φ A φ − B , (5.27) + + + + i = 1 (

              P P n n s s e e w w )

              I 1 I 1 I + + 1 I 1 I + 1 + + onde N representa o número total de nós, , , , e representam as

                φ φ φ φ φ P n s e w soluções da iteração atual no ponto P e nos nós a norte, sul, leste e oeste respectivamente.

                

              B representa o coeficiente dado pela equação (5.22) e os coeficientes A são dados pela

              equação (5.21) e (5.23).

                Por outro lado, os métodos diretos apresentam a principal desvantagem de utilizarem grande quantidade de memória para alocação de variáveis. Além dos métodos diretos e indiretos apresentados existe o método Modified Strongly Implicit – MSI que é iterativo, mas fortemente implícito e resolve o sistema linear através de uma decomposição LU aproximada [MALISKA, 1995], [FERZIGER, 1999].

                5.3.3 – Solução do Sistema de Equações – Algoritmo Iterativo Há basicamente dois algoritmos iterativos (i) acoplamento com iteração simultânea e (ii) acoplamento com solução seqüencial [FERZIGER, 1999]. No caso (i) os deslocamentos em x e y são considerados parte de um sistema único, cujos coeficientes são calculados utilizando os valores mais recentes. Esta estratégia foi adotada neste trabalho por aumentar consideravelmente a convergência global do problema. Na solução acoplada seqüencial, cada equação é tratada de forma independente, combinado a um esquema global de verificação de convergência. Esta estratégia tende a ser muito mais estável, sendo largamente utilizada em problemas de CFD. Testes mostraram um aumento substancial no número de iterações necessárias para alcançar a convergência no presente caso.

                Neste item é apresentado um diagrama de blocos onde consta os principais passos para solução dos sistemas (5.19) e (5.20) e também a determinação das tensões pós- processadas. A figura 5.5 apresenta um algoritmo típico para solução de problemas pelo método iterativo, sendo este o utilizado no presente trabalho.

              • ,- &amp; ! )! ! .

              Figura 5.5 – Algoritmo de solução iterativo

                ! !" # $ ! $ %!

                # $ ! &amp; '! ( ! !

                ( ' )! !

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                $ 1 , 2 %

                %!

                5.3.4 – Cálculo das Tensões nos Nós A determinação das tensões para o método utilizado é pós-processada, ou seja, após a determinação dos deslocamentos calcula-se as tensões utilizando-se as equações (5.8) que, aplicadas a um ponto P, resultam em

                ∂ uv σ + = A a b xx P

                ∂ xy P Puv

                = A b a , (5.28) σ

              • yy Pxy P Puv
              • = Ac σ xy Pyx P Puvuv onde as derivadas , , e são aproximadas pelo esquema de derivadas

                ∂ xyyx P P P P centrais que, para o volume no interior do domínio da figura 5.2, são ∂ u uuv vv E W N S

                ; ; = =

                δ δ δ δ P (5.29)

              • ∂ + x x xy y y P e w n s

                ∂ u uuv vv N S E W ; ;

                = = ∂ + + y y yx x x P δ δ δ δ n s P e w

                Para o caso dos volumes sobre a fronteira, as aproximações das derivadas são mostradas no apêndice B.

                5.4 – Considerações Finais Sobre o MVF

                Apesar de que as aproximações das equações de governo terem sido descritas para malhas cartesianas e funções de interpolação lineares, esta estratégia pode ser facilmente estendida para malhas estruturadas não ortogonais através da decomposição das forças nas faces do volume e da força de corpo. Aproximações de ordem mais elevada também podem ser obtidas através da utilização de funções de interpolação de ordem mais alta para descrever tanto as forças quanto as derivadas dos deslocamentos nas faces do volume.

              Capítulo 6 – Problemas Propostos

                A avaliação da formulação em MVF para elasticidade plana é feita através da análise de problemas propostos. Na secção 6.1 é apresentado um problema de uma viga bi- engastada com deslocamento prescrito na face direita, conforme mostrado na figura 6.1. Na secção 6.2 é apresentado um problema de uma viga bi-engastada com deslocamento prescrito nas faces direita e esquerda, conforme mostrado na figura 6.6. Finalmente na secção 6.3 é apresentado um problema proposto com o objetivo de avaliar alguns aspectos dos modos de energia zero para o MEF.

                Em todos os problemas propostos foram utilizados: módulo de elasticidade, E = ]x[N ]” 210 GPa e coeficiente de Poisson, ν = 0,3. As malhas são representadas por “[N y x elementos, ou seja, primeiro a indicação do número de elementos no eixo Oy, depois a indicação do número de elementos no eixo Ox, sendo que todas malhas são ortogonais e estruturadas. Outros parâmetros tais como geometria do problema, condições de contorno, tipos de elementos (se lineares ou quadráticos), forma de integração pela regra de Gauss e método de pós-processamento das tensões, serão definidos no contexto de cada exemplo. Em algumas análises utilizou-se uma Solução Padrão, a qual foi obtida pelo MEF utilizando uma malha de alto refino. Maiores detalhes são apresentados a seguir.

                6.1 – Viga Bi-engastada com Deslocamento Prescrito

                Para o problema proposto na figura 6.1 os deslocamentos prescritos nas faces são: face direita u = 0 mm e v = -1 mm, face esquerda u = 0 mm e v = 0 mm. As

                

              pre pre pre pre

                dimensões da viga são: 50 mm de comprimento, 5 mm de altura e 250 mm de largura. Este problema assume estado plano de deformação e a largura (250 mm) da viga não foi representada na figura 6.1.

                Neste primeiro problema proposto as seguintes análises são feitas:

              • Um estudo da convergência da solução pelo MVF;
              • O comportamento do campo de deslocamento obtido pelo MVF através da comparação com uma solução pelo MEF.
              Figura 6.1 – Viga bi-engastada com deslocamento prescrito em ambas extremidades.

                6.1.1 – Estudo de convergência do MVF 1 Para o MVF é feito um estudo de convergência utilizando-se os métodos de solução Gauss-Seidel e TDMA, assim como a definição do melhor parâmetro de sobre- relaxação. Na Figura 6.2 é apresentado um gráfico que ilustra o comportamento da convergência da solução para ambos os métodos para o caso de uma malha de 8 x 80 (640 elementos) e com o fator de sobrerelaxação ótimo (aquele que apresenta a maior taxa de convergência), que para ambos os casos, foi de 1,950. A convergência é atingida quando a

              • 5

                norma do resíduo das equações (5.19) e (5.20) for menor do que 10 . Pode-se observar que no intervalo das primeiras 60 iterações, aproximadamente, houve uma tendência de acréscimo do resíduo, seguido de uma queda nas iterações seguintes. São necessárias 17100 iterações para conseguir a convergência da solução utilizando Gauss-Seidel, e 13150 iterações utilizando TDMA.

                As Figuras 6.3(a) e (b) apresentam o gráfico utilizado para determinar o melhor parâmetro de sobre-relaxação para cada método. Em ambos os casos, o parâmetro de sobre-relaxação, k, ótimo para três refinos de malha estudados foi sempre acima de 1,9. Observa-se que valores ligeiramente superiores ao k ótimo causam um aumento abrupto do número de iterações necessárias para a solução. Este comportamento é típico de problemas resolvidos iterativamente e está associado aos autovalores da matriz de coeficientes [FERZIGER, 1999].

                1,0E+09 . o çã

                1,0E+04 lu so a d uo íd es R 1,0E-01

                Gauss-Seidel - Resíduo(u) Gauss-Seidel - Resíduo(v) TDMA - Resíduo(u) TDMA - Resíduo(v)

                1,0E-06 1 1000 1000000 Iteração

              Figura 6.2 - Convergência da solução para o método de Gauss Seidel k=1,950 e TDMA k=1,950.

                1,E+07 1,E+07 s õe s aç õe er aç It er It

                1,E+05 1,E+05 4x40

                4x40 8x80 8x80 16x160 16x160

                1,E+03 1,E+03 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 w w

                (a) Gauss-Seidel. (b) TDMA

              Figura 6.3 – Efeito da variação do parâmetro de sobrerelaxação para os métodos TDMA e Gauss-Seidel.

                6.1.2 – Mapas de diferenças MVF – MEF A figura 6.4 apresenta o mapa de diferenças percentuais entre os métodos MEF e

                MVF para os deslocamentos na direção x dos pontos nodais. A mesma malha 8 x 80 (640 elementos) foi utilizada na comparação. No caso do MEF utilizou-se elementos quadrilaterais lineares com 4 pontos de integração para a regra de Gauss. Da mesma forma, a Figura 6.5 apresenta as diferenças para os deslocamentos na direção y.

                O mapa mostrado na figura 6.4 evidencia que as maiores diferenças são próximas a 4,5%, aparecem apenas em 4 nós, sendo os demais valores inferiores a este. Nesta região os deslocamentos na direção x são próximos de zero o que reflete em uma grande diferença

              • 4

                percentual. Em termos absolutos as maiores diferenças alcançaram 1,69.10 mm nos pontos correspondentes.

                5.00 4.58 4.17 3.75 3.33 2.92 2.50 2.08 1.67 1.25 0.83 0.42 0.00

              Figura 6.4 – Diferenças percentuais entre o MEF e MVF para os deslocamentos em x.

                O mapa mostrado na figura 6.5 indica que as maiores diferenças nos deslocamentos em

                a

              y (podendo atingir até 35%) ocorrem nos nós localizados na 1 coluna subseqüente ao

                engaste na face esquerda. Nesta região os deslocamentos em y são próximos de zero, ocorrendo fenômeno semelhante àquele relatado para os deslocamentos em x. Nestes nós

              • 5

                as maiores diferenças absolutas em y alcançaram 4,50.10 mm para um valor absoluto de

              • 7

                deslocamento de 1.72.10 mm. Para os demais nós do domínio as diferenças percentuais são bastante baixas, atingindo valores entre 0,01 e 0,2 %.

                

              10.00 9.17 8.33 7.50 6.67 5.83 5.00 4.17 3.33 2.50 1.67 0.83 0.00

              Figura 6.5 – Diferenças percentuais entre o MEF e MVF para os deslocamentos em y.

                É importante ressaltar que este comportamento (maiores erros próximo à face com deslocamento nulo) foi observado em todas as simulações feitas, sendo independente do número de nós da malha ou da face que for prescrito o deslocamento nulo.

                2 6.2 – Viga Bi-engastada com Deslocamento Prescrito em Ambos os Lados

                O cálculo da componente cisalhante do tensor tensão, devido a sua dependência das derivadas cruzadas dos deslocamentos, apresenta maiores erros de aproximação. Visando a avaliação de possíveis discrepâncias, uma comparação entre a solução apresentada pelo MEF e pelo MVF é realizada através do estudo de uma viga bi-engastada com deslocamentos prescritos em suas extremidades, conforme mostrado na figura 6.6. Os deslocamentos pré-definidos nas faces são: direita (engastada) u pre = 0 mm e v pre = -0,5 mm, face esquerda (engastada) u = 0 mm e v = 0,5 mm. As dimensões da viga são: 50

                pre pre

                mm de comprimento, 5 mm de altura e 250 mm de largura. Este problema também é um caso de estado plano de deformação.

                Para este problema as seguintes análises são feitas:

              • O comportamento dos campos de tensões cisalhantes, equivalentes e normais em y obtidos pelo MVF através da comparação com soluções pelo MEF utilizando diversas formas de pós-processamento das tensões;
              • O comportamento das tensões cisalhantes nas secções transversal e longitudinal

                (nas linhas centrais);

              • Convergência no ponto de máxima tensão cisalhante no engaste e na secção central transversal da viga;
              • Análise da influência da razão de aspecto dos elementos sobre os resultados apresentados pelo MVF e MEF.

                Para este problema, o comportamento dos aspectos envolvidos na convergência segue a mesma tendência que as análises feitas no problema proposto da secção 6.1.

              Figura 6.6 – Viga bi-engastada com deslocamento prescrito em ambas extremidades.

                6.2.1 – Campos de tensões cisalhantes, equivalentes e normais , para o

                A figura 6.7 apresenta a distribuição de tensões normais na direção x, σ xx MVF. Observa-se que as tensões assumem valores elevados nas regiões próximas aos engastes que estão afastadas da linha central, estes valores atingem 1,62 GPa na tração e na compressão. Esse efeito é esperado já que a viga é flexionada e as extremidades são engastadas. Também se observa que na região da linha central longitudinal e na linha central transversal os valores das tensões normais em x são próximos de zero. Esse efeito, da mesma forma, é esperado, pois a linha central longitudinal é a linha neutra e a transversal é uma linha de simetria.

              Figura 6.7 – Mapa do campo de tensões normais na direção x.

                , para o Na figura 6.8 apresenta as distribuições de tensões normais na direção y, σ yy

                MVF e os três esquemas de suavização do MEF. Espera-se que as tensões normais em y sejam próximas de zero na região central da viga. Observa-se que o MVF e o MEF com

                

              extrapolação foram os que tiveram valores mais próximos de zero. As regiões de cor

                “branca” são regiões que estão fora da faixa de valores definidos, assim na figura 6.8 são os valores de tensão acima e abaixo de 1MPa e –1 MPa respectivamente. Este tipo de situação aparecem também em outras figuras.

              Figura 6.8 – Mapa do campo de tensões normais na direção y.

                , para o MVF. As A figura 6.9 apresenta as distribuições de tensões cisalhantes, σ xy tensões cisalhantes atingiram valores mais elevados nas regiões próximas aos quatro cantos da viga, onde os valores das tensões normais em x são maiores.

              Figura 6.9 – Mapa do campo de tensões cisalhantes

                A figura 6.10 apresenta as distribuições de tensões equivalentes para o MVF. As tensões equivalentes apresentaram um campo de tensões simétrico. Os valores mais elevados foram obtidos nas regiões próximas aos quatro cantos da viga, onde os valores das tensões normais em x e cisalhantes foram maiores.

              Figura 6.10 – Mapa do campo de tensões equivalentes

                6.2.2 – Campos de diferenças nas tensões cisalhantes, equivalentes e normais A figura 6.11 apresenta o mapa de diferenças absolutas entre os resultados obtidos pelo MVF e MEF, com elemento linear, para o campo de tensão cisalhante. A malha utilizada foi 8 x 80 elementos (640 elementos). Três esquemas de suavização para tensões foram utilizados, suavização global, suavização local e extrapolação. Para o caso abordado, a suavização através das tensões obtidas diretamente no nó é equivalente ao cálculo através da suavização local. Essa equivalência ocorre em malhas não distorcidas. Como ilustração, a figura 6.11 apresenta as diferenças absolutas para o caso das tensões obtidas diretamente no nó, que, nos demais casos, será suprimida. Observa-se que as diferenças apresentadas entre o MVF e o MEF com o esquema de suavização global são as menores se comparadas com a suavização local e a extrapolação.

              Figura 6.11 – Diferenças absolutas entre o MEF e MVF para a tensão cisalhante.

                Semelhantemente, a figura 6.12 apresenta as diferenças absolutas para o campo de tensões equivalentes para os três esquemas de suavização. Observa-se que, como no caso da tensão cisalhante, as diferenças apresentadas entre o MVF e o MEF com o esquema de suavização global são as menores.

              Figura 6.12 – Diferenças absolutas entre o MEF e MVF para a tensão equivalente.

                A figura 6.13 apresenta os mapas de diferenças para as tensões normais na direção x, que neste caso, as diferenças foram menores quando a solução pelo MVF é comparada com a solução pós-processada para o MEF utilizando o esquema de suavização local.

              Figura 6.13 – Diferenças absolutas entre o MEF e MVF para tensões normais em x.

                É visível, nas figuras 6.11 e 6.12 para as tensões cisalhantes e equivalentes, que as diferenças absolutas são mais elevadas nas regiões próximas do engaste. Estas diferenças são oriundas tanto das diferenças nos deslocamentos, quanto de erros de aproximação dos valores pós-processados. Nota-se uma possibilidade de maiores erros nos casos onde a média nodal das tensões é calculada no MEF. Essa média nodal é calculada nos esquemas de suavização por extrapolação e suavização local e são justamente nestes casos que as diferenças absolutas entre os dois métodos são maiores, conforme mostrado nas figuras 6.11 e 6.12. Portanto, nestas mesmas figuras, vê-se que o MVF apresentou valores de tensões cisalhante e equivalente pós-processadas mais próximos aos obtidos pelo MEF (elemento linear) com o esquema de suavização global. Quanto à média nodal, a literatura mostra que ela deve ser extrapolada através de polinômios de uma ordem de grandeza inferior à aqueles usados para a solução do problema [ZIENKIEWICZ, 1994]. No presente caso, dever-se-ia utilizar funções constantes (interpolação das tensões no centróide com posterior média nos nós), o que, por outro lado, reduziria em demasia a precisão da aproximação. A secção 6.2.2 procura esclarecer melhor estas diferenças.

                6.2.3 – Tensões cisalhantes nas secções transversal e longitudinal Uma análise mais detalhada nas secções centrais longitudinais e transversais ajuda a compreender melhor as causas das diferenças nos nós próximos aos engastes e na superfície de fronteira livre.

                A figura 6.14 apresenta as diferenças entre os dois métodos para a tensão cisalhante. A referência MEF-Refinada Extrapolação é a solução assumida como padrão para o problema proposto, que foi obtida para uma malha 70 x 700 elementos (49000 elementos) quadráticos com 8 nós. A tensão suavizada foi calculada pelo método da extrapolação devido ao alto custo computacional requerido para a suavização global. Vê-se em todos os casos simulados (malhas com 4 x 40, 6 x 60, 8 x 80 e 10 x 100 elementos), que o MVF é o que mais se aproxima da malha refinada. O MEF apresenta oscilações na solução para os nós próximos ao engaste, o que não ocorre com o MVF, que converge de forma suave à solução padrão. Conforme esperado, quanto maior o refino da malha, menores as oscilações e as diferenças entre os métodos.

                T en sã o C is al ha nt e [M Pa ] .

              • 100
              • 80
              • 60
              • 40
              • 20
              • 100
              • 80
              • 60
              • 40
              • 20
              • 100
              • 80
              • 60
              • 40
              • 20
              • 100
              • 80
              • 60
              • 40
              • 20

                T en sã o C is al ha nt e [M Pa ] .

                80 100 0,0 1,0 2,0 3,0 x [mm]

                60

                40

                20

                Malha 10 x 100 Elementos

                MEF-Refinada Extrapolação MEF - Extrapolação MEF - Suavização Local MEF - Suavização Global 8x80 MVF 8x80

                T en sã o C is al ha nt e [M Pa ] .

                80 100 0,0 1,0 2,0 3,0 x [mm]

                60

                40

                20

                Malha 8 x 80 Elementos

                MEF-Refinada Extrapolação MEF - Extrapolação MEF - Suavização Local MEF - Suavização Global 6x60 MVF 6x60

                x [mm]

              Figura 6.14 – Comparação entre MEF e MVF para tensão cisalhante,

                80 100 0,0 1,0 2,0 3,0

                60

                40

                20

                Malha 6 x 60 Elementos

                MEF-Refinada Extrapolação MEF - Extrapolação MEF - Suavização Local MEF - Suavização Global 4x40 MVF 4x40

                T en sã o C is al ha nt e [M Pa ] .

                80 100 0,0 1,0 2,0 3,0 x [mm]

                60

                40

                20

                longitudinal (central) da viga próxima ao engaste. Os valores destes gráficos constam na tabela C.1 do apêndice C. Malha 4 x 40 Elementos

                τ , na seção

                xy

                MEF-Refinada Extrapolação MEF - Extrapolação MEF - Suavização Local MEF - Suavização Global 10x100 MVF 10x100

                A figura 6.15 mostra a convergência do MVF para os valores da tensão cisalhante nos nós próximos ao engaste e na linha central longitudinal. A convergência ocorre de forma suave desde malhas grosseiras (4 x 40 elementos) até às mais refinadas (16 x 160 elementos).

                A figura 6.16 mostra que o comportamento das tensões cisalhantes na região central transversal da viga segue a mesma tendência discutida anteriormente. É interessante mencionar que a tensão cisalhante nas superfícies superior e inferior da viga deve ser zero. As simulações mostram que nos nós sobre a superfície livre, para o MEF, nos três casos de suavização de tensões, ocorre uma mudança brusca de direção na curvatura. Na região mais interna da viga os valores fornecidos pelo MEF estão acima da curva refinada padrão, já nas regiões próximas à superfície livre os valores estão abaixo da curva padrão. Por outro lado, a tensão cisalhante obtida com o MVF apresenta sempre valores menores que a curva padrão. Essa análise foi feita para as malhas 8 x 80 e 10 x 100 elementos e o comportamento, a forma e a posição das curvas foram semelhantes.

                20

                40

                60

                80 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 x [mm]

                T en sã o C is al ha nt e [M Pa ] .

                MEF-Refinada Extrapolação 16x160 10x100 8x80 6x60 4x40

              • 100
              • 80
              • 60
              • 40
              • 20

              Figura 6.15 – Convergência da tensão cisalhante,

                xy

                τ , para MVF na seção

                

              longitudinal central da viga próxima ao engaste. Os valores destes gráficos constam

              na tabela C.2 do apêndice C.

                MEF - Refinada Extrapolação

              • 10 MEF - Extrapolação MEF - Suavização Local MEF - Suavização Global -20 MVF 6x60 .

                ] Pa

              • 30

                [M e nt

              • 40

                ha al is C o

              • 50

                sã en T

              • 60
              • 70
              • 80 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y [mm]

              Figura 6.16 – Comparação entre MEF e MVF para tensão cisalhante, τ , na seção xy transversal central da viga. Malha 6 60 elementos. Os valores destes gráficos

                x

              constam na tabela C.3 do apêndice C.

                6.2.4 – Convergência no ponto de máxima tensão cisalhante No caso da tensão cisalhante calculada através do MEF, as oscilações apresentadas na região próxima ao engaste e as mudanças de curvatura junto à superfície apresentadas na figura 6.16 são melhor visualizadas através da análise de convergência para os valores da solução refinada padrão. A figura 6.17 apresenta esta análise para os nós localizados nas posições x=0, y=2,5 mm (engaste) e x=25 mm, y=2,5 mm (centro da viga). Os valores apresentados pelo MEF no nó localizado junto ao engaste convergem para a solução padrão de forma suave, porém mais lentamente que o MVF. No caso do nó localizado na região central da viga, a convergência do MEF não é suave, ocorrendo oscilações para os valores obtidos com a suavização local e global. No caso do MVF a convergência é suave, porém ligeiramente mais lenta do que o MEF.

                6.2.5 – Tensões Calculadas pela Teoria de Vigas Utilizando-se da teoria de vigas [SNYDER, 1973], pode-se obter as tensões teóricas associadas aos pontos de interesse. Neste exemplo determinou-se a tensão normal

                σ xx máxima sobre o engaste (para o exemplo em questão corresponde ao ponto x = 0,0 mm e

                y = 5,0 mm), e a tensão cisalhante máxima,

                σ , na região central da viga (para o exemplo xy em questão corresponde ao ponto x = 25 mm e y = 2,5 mm) onde a força cortante é constante. As equações para o cálculo das tensões são engaste n Mc

                = , (6.1) σ xx

                I máx

                3 V c = , (6.2)

                σ xy engaste

                2 A máx onde representa a tensão normal na direção x sobre o engaste, é a tensão σ xx

                σ xy cisalhante máxima que ocorre na linha neutra, M é o momento fletor teórico na região do engaste, c é a distância da linha neutra até o ponto mais afastado (neste exemplo c = 2,5 n n mm, V é a força cortante ao longo da viga. Para uma viga de comprimento l e secção c transversal retangular de altura h e profundidade b, a área é dada por A=bh e o momento de 3 3

                2

                inércia I=bh 12 para o estado plano de tensão e I=bh [12 (1-v )] para o estado plano de

                / / deformação.

                A determinação de M e de V é feita através da formulação utilizando o método da c sobreposição para vigas estaticamente indeterminadas [SNYDER, 1973], que para o presente caso, é

                12 EIy máx

                V = − , (6.3) c 3 l

                6 EIy máx (6.4)

                M = 2 l

              • 72,0
              • 70,0
              • 68,0
              • 66,0
              • 64,0
              • 62,0
              • 60,0 100 1000 10000 100000 Graus de Liberdade
              • 90,0
              • 70,0
              • 50,0
              • 30,0
              • 10,0 10,0 30,0 50,0 70,0 90,0

                70 Figura 6.17 – Convergência dos valores da tensão cisalhante nos nós localizados em x=0, y=2,5 mm e em x=25 mm, y=2,5 mm. Os valores destes gráficos constam na tabela C.4 do apêndice C.

                Convergência Tensão Cisalhante no ponto (x = 0 ; y = 2,5 mm)

                100 1000 10000 100000 1000000 Graus de liberdade T en sã o C is al ha nt e [M P a] .

                MEF-Refinada Extrapolação MEF - Extrapolação MEF - Suavização Local MEF - Suavização Global MVF

                Convergência Tensão Cisalhante Máxima no ponto (x = 25 mm ; y = 2,5 mm)

                T en sã o C is al ha nt e [M pa ] .

                MEF-Refinada Extrapolação MEF - Extrapolação MEF - Suavização Local MEF - Suavização Global MVF onde y é a flecha máxima (neste exemplo y = 1 mm), E é o módulo de elasticidade. máx máx Resolvendo-se as equações (6.1) a (6.4) para o exemplo proposto obtém-se as comparações apresentadas na tabela 6.1. Para os valores obtidos pelo MVF percebe-se que os maiores erros relativos são para a tensão normal no ponto sobre o engaste, atingindo valores de até 28,6%. Já para as tensões cisalhantes o erro fica entorno de 1,8%. Os erros relativos para a tensão normal obtida pelo MEF atingiram valores mínimos de 3,1% para e máximos de 35,6% para o esquema de suavização global. Já para as

                extrapolação

                tensões cisalhantes os valores mínimos foram de 1,9% para o esquema de suavização global e máximos de 4,5% para o esquema de suavização global.

                É importante ressaltar que os valores teóricos utilizados para comparação foram obtidos a partir de uma formulação que contém simplificações que, por sua vez, colaboram para aumentar as diferenças observadas.

              Tabela 6.1 – Erro relativo entre resultados obtidos pela teoria de vigas e obtidos pelos métodos numéricos (MVF e MEF) para uma malha 8x80. engaste máx

                [GPa] [MPa] xx σ σ xy

                Teoria -1,260 -69,253 MVF -1,620 -68,040

              Erro [%] 28,6 1,8

              S.Global -1,709 -67,910

              Erro [%] 35,6 1,9

                F

              S. Local -1,674 -66,140

                E M

              Erro [%] 32,9 4,5

              Extrapol. -1,221 -66,560

              Erro [%] 3,1 3,9

                6.2.6 – Razão de Aspecto Quando discretiza-se um problema bidimensional tenta-se evitar elementos com elevada razão de aspecto, ou seja, elementos alongados ou estreitos como os ilustrados na parte direita da figura 6.18.

              Figura 6.18 – Elementos quadrangulares e triangulares com razão de aspecto boa e ruim

                Entende-se por razão de aspecto de um elemento bidimensional como a relação entre dimensão maior, a, e a menor, b do elemento. De uma forma geral, elementos com razão de aspecto superior a 3 devem ser vistos com cautela, porém procura-se nunca exceder a 10, pois geralmente não produzem bons resultados. Porém, não se pode generalizar esta afirmação, já que elementos com razão de aspecto elevada não necessariamente produzem resultados ruins, pois observa-se a influência do carregamento e condições de contorno do problema [FELIPPA, 2003].

                Para o problema proposto, fez-se um estudo da tensão cisalhante na região do engaste obtidas pelo MVF, MEF linear e MEF quadrático (8 nós). Utilizou-se o esquema de suavização global para o cálculo pós-processado das tensões cisalhantes para o MEF. Esse estudo foi feito na linha central longitudinal próxima a região do engaste. Para cada método utilizou-se malhas com diferentes razões de aspecto, conforme a tabela 6.2.

              Tabela 6.2 – Casos utilizados no estudo da razão de aspecto

                Malha Razão de aspecto (Elem.em y) x (Elem.em x) (a/b)

                30x300 1:1 30x150 2:1 30x100 3:1

                30x75 4:1 30x60 5:1 30x30 10:1 30x20 15:1 30x15 20:1

                A figura 6.19 ilustra o comportamento da tensão cisalhante na linha central longitudinal obtida através do MVF para as diferentes razões de aspecto. As figuras 6.20 e 6.21 mostram os resultados correspondentes para o MEF com elementos lineares e o MEF com elementos quadráticos. Em cada uma dessas três figuras é plotada a curva de resultados MEF-Refinada como solução padrão. Para a figura 6.22 não se apresentou todos os casos relacionados na tabela 6.2, mas apenas os casos onde há um maior afastamento da solução padrão. A fim de facilitar a comparação, procurou-se, em todas figuras incluídas nesta secção, adotar mesmos limites superiores e inferiores para os eixos coordenados e um tamanho de gráfico único.

                Na figura 6.19 observa-se que o MVF, para os casos estudados, é afetado com mais significância a partir de uma razão de aspecto 5:1. É importante notar que, para o MVF, as curvas tiveram um comportamento suave ao redor da solução padrão, ou seja, mantiveram uma tendência de acompanhar a curvatura da solução padrão, mesmo para razões de aspecto mais elevadas.

                Conforme se observa na figura 6.20, para os casos estudados, o MEF (elementos lineares) é afetado mais intensamente pela mudança da razão de aspecto a partir de 3:1 e 4:1, apesar de que os resultados das curvas, MEF 1:1 e MEF 2:1, também apresentarem distorções próximo ao engaste. Essas distorções também apareceram em outras análises com razão de aspecto 1:1 e podem ser vistas na figura 6.21, e, portanto, são intrínsecas à solução obtida através do MEF.

                100 MEF - Refinado 1:1 2:1

                50 3:1 .

                ] 4:1

                Pa 5:1

                M [ 10:1 te

                15:1 an lh

                20:1

              • 50

                sa Ci o sã

              • 100

                en T

              • 150
              • 200 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 x [mm]

              Figura 6.19 – Comportamento da solução através do MVF para diferentes razões de aspecto. Os valores destes gráficos constam na tabela C.5 do apêndice C

                100 MEF - Refinado 1:1 2:1

                50 3:1 . 4:1

                ] 5:1

                Pa 10:1

                M [ 15:1 te an

                20:1

              • 50

                lh sa Ci o

              • 100

                sã en T

              • 150
              • 200 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 x [mm]

              Figura 6.20 – Comportamento da solução através do MEF com elementos lineares para diferentes razões de aspecto. Os valores destes gráficos constam na tabela C.6 do

                

              apêndice C. A figura 6.22 mostra que a solução obtida através do MEF com elementos quadráticos é menos prejudicada com o aumento da razão de aspecto. Nota-se que a curva

                

              MEF8nós 5:1 praticamente está sobre a solução padrão e os efeitos negativos, discutidos

                para as figuras 6.20 e 6.19, começam a aparecer somente para razões de aspecto superiores a 10:1.

                Comparando a tensão cisalhante para o nó no engaste tem-se:

              • A solução padrão atinge o valor máximo de 72,1 MPa, figura 6.19 e 6.20;
              • O MVF com razão de aspecto 5:1 atinge 43,7 MPa, figura 6.19 (malha 30 x

                60);

              • O MEF com razão de aspecto 2:1 atinge 41,9 MPa, figura 6.20 (malha 30 x

                150);

              • O MEF quadrático (8 nós) com razão de aspecto 15:1 atinge 51,6 MPa,

              figura 6.22 (malha 30 x 20);

                A partir desta análise percebe-se que o MVF sofre menos influência do aumento da razão de aspecto que o MEF linear. E, como era de se esperar, o MEF com elementos quadráticos é menos afetado pela variação da razão de aspecto.

                100 MEF-Refinada Extrapolação 30x300

                50 20x200 16x160 10x100 .

                ] 8x80

                Pa 6x60

                [M e 4x40 nt

              • 50

                ha al is C o

              • 100 sã en T
              • 150
              • 200 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 x [mm]

              Figura 6.21 – Comportamento da solução através do MEF com elementos lineares para razões de aspecto 1:1, Suavização Global e diferentes refinos de malha. Os

                

              valores destes gráficos constam na tabela C.7 do apêndice C.

                100 MEF - Refinado 5:1

                50 10:1 15:1 20:1 .

                ] Pa

              • 50

                [M e nt ha al is

              • 100

                C o sã en T

              • 150
              • 200 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 x [mm]

              Figura 6.22 – Comportamento da solução através do MEF com elementos quadráticos para diferentes razões de aspecto. Os valores destes gráficos constam na tabela C.8 do

                

              apêndice C.

                6.3 – Modo de Energia Zero em uma Barra Sujeita a Compressão

                Na solução por Elementos Finitos, é conhecido que os elementos de uma malha podem apresentar instabilidade quanto aos modos de deformação resultando deformações com padrões não físicos [HUGHES, 1987]. A figura 6.23 mostra a configuração típica do problema para elementos quadrangulares.

              Figura 6.23 – Modelo de geometria assumida pelos elementos que apresenta padrão não físico.

                Essa instabilidade nos elementos é também conhecida por modo espúrio, modo 3

                

              cinemático , “hourglass” ou modo de energia zero. O termo modo de energia zero em um

                elemento refere-se ao vetor de deslocamento nodal, u , que não é o movimento de corpo e rígido, mas apesar disso produz energia zero de deformação, U , dada por: d

                1 T

                U = u Ku , d e e

                2 onde K é a matriz rigidez do elemento. O modo de energia zero ocorre por causa de uma deficiência na formulação do elemento, tal como o uso de integração de Gauss de baixa ordem [HUGHES, 1987].

                A figura 6.24 apresenta os modos de movimento de corpo rígido, de deformação e de energia zero que um elemento quadrangular bilinear de 4 nós está sujeito. As configurações 7 e 8 somente aparecerão se um único ponto de Gauss for utilizado na integração da matriz rigidez.

              Figura 6.24 – Modos de movimento de corpo rígido, de deformação e de energia zero [HUGHES, 1987].

                Essas configurações de energia zero ocorrem porque um único ponto de Gauss no centro de um elemento linear não captura este tipo de forma de distorção que apresenta = = = quando avaliadas nas linhas centrais. As configurações 7 e 8

                ε ε γ xx yy xy desaparecem quando for utilizada a regra de integração Gauss de ordem dois ou superior para os elementos quadrilaterais lineares. O modo de energia zero pode ocorrer em um simples elemento ou em uma malha de elementos e sua ocorrência indica que a solução do problema não é única e a matriz rigidez global é singular ou quase singular [HUGHES, 1987].

                A verificação da ocorrência do modo de energia zero para soluções obtidas pelo MEF e MVF foi feita sobre um problema de compressão uniaxial de uma barra, conforme

              figura 6.25. Na mesma figura é apresentada a configuração da barra não deformada, da barra deformada e três detalhes da deformação da malha. O primeiro detalhe mostra a

                solução obtida pelo MEF utilizando integração de Gauss com 1 (um) ponto para todas as parcelas de [K], o segundo detalhe mostra a solução obtida pelo MEF porém utilizando integração de Gauss de ordem 2, e o terceiro detalhe apresenta a solução obtida pelo MVF. O campo de distribuição representado em cada caso refere-se aos deslocamentos na direção de y.

                

              Figura 6. 25 – Barra sujeita a compressão, sistema de coordenadas, geometria,

              configuração deformada e detalhes de elementos.

                Linha deformada MEF-Int Reduzida Linha deformada MEF-Int Cheia MVF Linha original

                5,0 4,5 4,0 3,5 ] m 3,0 m [ y 2,5 2,0

                1,5 1,0 0,5 0,0

                2,6 1,8 2,3 2,1 1,8 2,3 1,8 2,3 x [mm]

                

              Figura 6. 26 – Comparação entre o estado inicial e deformado das posições dos nós na

              coluna posicionada a x=2,5 mm para MEF-Integração reduzida. Os valores destes

              gráficos constam na tabela C.9 do apêndice C.

                A figura 6.25 evidencia a ocorrência do modo de energia zero quando a solução é obtida pelo MEF com integração reduzida (1 ponto de integração de Gauss). Porém a solução do mesmo problema através do MEF utilizando integração cheia (integração de Gauss de ordem 2) e através do MVF não apresentaram modos de energia zero. A evidência do aparecimento dos modos espúrios é realçada pela figura 6.26, onde as ondulações formadas pelos pontos deslocados são evidentes. Ressalta-se que esta análise é apenas ilustrativa, uma vez que a demonstração rigorosa da inexistência de modos espúrios para o MVF não foi realizada.

                6.4 – Conclusões Sobre os Problemas Propostos

                Os problemas foram avaliados para o caso da elasticidade plana, estado plano de deformação, funções de interpolação lineares, malhas ortogonais e estruturadas e solução iterativa do sistema de equações para o MVF. Para o MEF, em algumas análises, foram utilizados elementos quadráticos de 8 nós. As análises foram feitas sobre dois problemas propostos e abordaram os seguintes pontos:

              • Estudos de convergência;

                Avaliação das diferenças entre as soluções obtidas pelo MVF e MEF para

              • deslocamentos, tensões cisalhantes, equivalentes e normais; Verificação de qual dos métodos de suavização de tensões (obtidas pelo • MEF) gera resultados mais próximos dos valores obtidos pelo MVF;
              • Verificação de como a variação da razão de aspecto pode influenciar nos resultados obtidos pelos dois métodos (MEF e MVF); • Aparecimento de modos espúrios nas soluções obtidas pelo MEF e MVF.

                O estudo da convergência para o MVF utilizando solução iterativa através dos métodos Gauss-Seidel e TDMA, ambos com sobre relaxação, mostrou que os dois métodos apresentaram um comportamento semelhante na convergência, sendo praticamente equivalentes em termos de ordem de grandeza do número de iterações e comportamento da curva de convergência.

                Os mapas de diferenças calculados entre as soluções obtidas pelo MVF e pelo MEF, indicaram uma boa aproximação das soluções. Exceções foram os nós em posições críticas, ou seja, aqueles posicionados juntos aos engastes, nas superfícies livres e seus respectivos nós vizinhos.

                Quanto ao pós-processamento das tensões, verificou-se que a solução apresentada pelo MVF se aproxima, na maioria dos casos, mais da solução apresentada por MEF utilizando o esquema de Suavização Global. Uma forma alternativa eficiente de pós- processamento de tensões para o método de Elementos Finitos é o esquema de recuperação superconvergente [ZIENKIEWICZ, 1992]. Uma comparação utilizando este método é sugerido como trabalhos futuros.

                Quanto à comparação de alguns resultados obtidos pelo MVF com valores teóricos utilizando a teoria de vigas, os resultados foram satisfatórios principalmente para os erros relativos sobre a tensão cisalhante máxima na linha neutra, entorno de 1,8%. Porém para os erros relativos sobre a tensão normal esses erros foram elevados, de até 28,6%. Em parte esses erros elevadas vem do fato de que os valores teóricos utilizados para comparação foram obtidos a partir de formulação que contém simplificações, colaborando assim para aumentar as diferenças observadas.

                Como estudo inicial verificou-se que a variação da razão de aspecto gera menos influência na solução apresentada por MVF do que na solução obtida por MEF para elementos lineares.

                Os testes preliminares quanto ao aparecimento de modos espúrios mostraram que, no problema proposto, a solução por MVF não deu origem a estes modos. Por outro lado, a solução por MEF com sub-integração apresentou modos espúrios.

              Capítulo 7 – Conclusões

                Os resultados obtidos pelo MVF foram encorajadores e o sugerem como uma possível alternativa para a estimativa de tensões em problemas de elasticidade plana, especialmente se aplicado a problemas de interação fluido-estrutura.

                O presente trabalho avaliou o MVF sobre problemas com malhas cartesianas e estruturadas, isso simplificou os procedimentos de discretização e de solução do problema. Por outro lado, a abordagem do MVF utilizando malhas não ortogonais e não estruturadas generalizaria mais ainda a aplicabilidade do método, sendo sugerida como trabalhos futuros. Da mesma forma, a geometria dos problemas estudados são relativamente simples de maneira a favorecer o uso de malha ortogonal e estruturada. Para o caso de geometrias mais complexas, o uso de malhas não estruturadas facilita o processo de representação dos domínios.

                As tensões calculadas pelo MVF apresentaram maior aproximação com aquelas obtidas pelo MEF utilizando suavização global. Entretanto, o custo computacional desta última é comparativamente mais elevado devido à necessidade da solução de um problema de elementos finitos equivalente.

                Para os problemas propostos, o MVF se mostrou estável quando sujeito a elevados gradientes de tensão cisalhante, menos sensível a alterações na razão de aspecto dos elementos e não ocasionou o aparecimento dos modos espúrios. Entretanto, uma análise mais rigorosa deve ser feita para este último.

                Ressalta-se que o MVF apresenta um tempo de processamento elevado quando se utiliza método iterativo de solução do sistema de equações (Gauss-seidel, TDMA, ADI, etc.). Assim, recomenda-se a utilização de métodos para a solução do sistema de equações que aproveitem as características da matriz de coeficientes do MVF.

                De uma maneira geral pode-se dizer que o MVF teve um bom desempenho nos problemas avaliados, inclusive melhores que o MEF equivalente nos cálculos das tensões. O presente trabalho abordou apenas alguns dos aspectos da aplicação do MVF à elasticidade plana, assim sugere-se, entre outros, os seguintes pontos para trabalhos futuros:

              • Avaliar estado plano de tensões e 3D;
              • Aplicar outros métodos de solução do sistema de equações;
              • Estender o modelo para malhas não ortogonais e não estruturadas;

              • Avaliação dos modos espúrios com maior rigor matemático;

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              APÊNDICE Apêndice A – Equações Discretizadas para Volumes de Controle na Fronteira do Problema

                As equações discretizadas neste apêndice correspondem aos volumes de controle da fronteira do problema e estão listadas na tabela A.1. O domínio do problema apresentado na figura A.1 é idêntico ao apresentado na figura 5.1.

                Fr N

                y Fr NE NORTE

                n Fr NW

              • 1 n

                2 OESTE n- Fr E

              • 3 n

                Fr W

                4 n-

                LESTE

                5 n-

                Fr SW

                1 j = i = 1 2 3 4 5 . . . m-1 m

                x SUL

                Fr S

              Figura A.1 – Volumes de controle na fronteira do domínio do problema

                É importante notar que, para estado plano de tensão, os coeficientes contidos nos

                u v u v

                termos A , A , B e B devem ser multiplicados pela espessura t , exceto aqueles que u v e contém as forças aplicadas, B e B . F F

                

              Tabela A.1 – Equações discretizadas para volumes da fronteira

              u Volume

                Termo B (acoplamento entre e ) u v

                Equação discretizada para u u u u u u u u u u u u u u u u u u P Termo A p

              FrN

                p P s S e E w W s S e E w W se SE sw SW P P F p s e w +

              • A u = A u A u A u B B = B v B v B v B v B v B v B A = A A A
              • u u Ac Aay Aay u A = ∆ x A = A = s e w y x

                  2 x

                  2 δ δ s e s e δ w w

                  ( 1 ) u u

                  Abfy Abfy Abfy Acf Ab ( e w e s u w s 1 − f ) ∆ y Acf

                  − = + B = B − ∆ + x B = − ∆ x

                  s s e w te

                  2 y 2 y 2 x x y 2 x x + y δ δ δ δ δ δ δ δ s s s e w s e w e w e s w s

                • en ci fi

                  Abfy Acf Abfy Acf Abf Abf oe ( u e s u w s u e w 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ∆ yy

                  C B = − − ∆ x B = ∆ + x B = − se sw p u y x x y x x y s e w s e w s s e s w s e w + + + 2 y

                • B = F y x x
                • F x s e w P δ δ δ f = f = f = s e w y x x

                    2 δ 2 δ δ δ 2 δ

                  • δ

                    δ δ

                    δ δ δ s e w v

                    Termo B (acoplamento entre v e u ) Equação discretizada para v

                    Termo v v v v v v v v v v v v v v v v v v P A p p P s S e E w W s S e E w W se SE sw SW P P F g p s e w + + A = + v A v A v A v B B =

                  • B u B u B u B u B u B u B B A = A A A
                  • v v Aa Acy Acy v A = ∆ x A = A = s e w y x

                      2

                      2 δ δ s e s e δ x w w

                      Acf Acf Abf Ac (

                      1 − f ) Ac ( 1 f ) Abf v e w v s e v w syyy − ∆ y s e w = − ∆ + s B = B = − ∆ x B x + + −

                      te

                      2

                      2

                      2

                      2 δ δ δ δ δ δ δ δ + s s e w s s e w e w s e w s + y y x x y y x x

                      en ci fi

                      ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

                      Acfy Abf Acfy Abf Acfy Acfy oe v v e s w s e w v C B = − − + ∆ x B = ∆ x B = − se sw p

                      2

                      2 δ y δ x δ x δ y δ x δ x δ y s e w s e w s s e s w s + + + e w + 2 δ + y

                      2 v vy δ y δ x δ x s e w

                      B = F B = − bx F y g y f = f = f = P ρ s e w

                      2

                      y x x

                      δ δ δ s e w

                      90

                    • =
                    • u w u e u n u p<
                    • ∆ −

                      B e n e w n w v n

                      δ δ δ

                      ∆ − =

                      ∆

                      B n w e n w n w v w

                      x x x Abf y y Ac f

                      δ δ δ

                      − ∆

                      ∆ −

                      B e n e n w e n v e

                      y y Ac f

                    x

                    x x Abf

                      2 ) 1 (

                      − = δ δ

                      ∆

                      y y Acf y y Acf

                      x x x Ab f y y

                      2

                      2

                      δ

                      ∆ =

                      y x Ac A w w v w

                      2

                      δ

                      ∆ =

                      y x Ac A e e v e

                      2

                      ∆ = δ

                      Aa A n n v n

                      A A A A + + = C oe fi ci en te s x y

                      B B u B u B u B u B u B u B B

                      2 ) 1 (

                      Ac f B n w e n e n e v ne

                      Equação discretizada para P v

                      − = δ δ P y v F

                      δ δ +

                      x x f

                      = w w

                      δ δ +

                      x x f

                      = e e e

                      δ δ +

                      y y f

                      ρ n n n

                      ∆ ∆ − =

                      y B x b y v g

                      2

                      F B =

                      ∆

                      ∆

                      Acf B w n w e n e v p

                      y y Acf y y

                      2

                      2

                      2 ) 1 (

                      ) 1 (

                      − = δ δ δ

                      − ∆ −

                      ∆

                      Ac f B n w e n

                    w

                    n w v nw

                      x x x Ab f y y

                      2 ) 1 (

                      ) 1 (

                      = δ δ δ

                      Termo B (acoplamento entre v e u ) Termo v p A v W v E w v N e v P n v p B v A v A v A v A + + + = F P v g v v P NW v NE nw v W ne v E w v N e v n v

                      = w

                      = w

                      ∆ =

                      δ δ δ

                      ∆ − − =

                      ∆

                      Ab f B n w e n

                    e

                    n e u e

                      x x x Acf y y

                      δ δ

                      ∆ =

                      ∆ −

                      Abf B w n w e n e u n

                      y y Abf y y

                      2

                      2

                      δ

                      y x Aa A w w u w

                      x x x Acf y y

                      2

                      δ

                      ∆ =

                      y x Aa A e e u e

                      2

                      ∆ = δ

                      Ac A n n u n

                      A A A A + + = C oe fi ci en te s x y

                      B v B v B v B v B v B v B B

                      FrS W u u E w u N e u P n u p B u A u A u A u A + + + = F P u u P NW u NE nw u W ne

                    u

                    E w u N e u n u

                      ) Termo u p A

                      Termo B (acoplamento entre u e v

                      Volume Equação discretizada para P u

                      91 (Continuação da Tabela – A.1)

                      2 ) 1 (

                      Ab f B n w e n w n w u w

                      δ δ +

                      2 ) 1 (

                      x x f

                      = w w

                      δ δ +

                      x x f

                      = e e e

                      δ δ +

                      F B = n n n y y f

                      − = δ δ P x u F

                      ∆

                      B w n w e n e u p

                      y y Abf y y Abf

                      2

                      2

                      ) 1 (

                      ∆

                      − = δ δ δ

                      − ∆ −

                      ∆

                      Ab f B n w e n

                    w

                    n w u nw

                      x x x Ac f y y

                      2 ) 1 (

                      ) 1 (

                      = δ δ δ

                      ∆

                      Ab f B n w e n e n e u ne

                      x x x Ac f y y

                      2 ) 1 (

                      δ δ δ

                      ∆ − =

                    • =
                    • v w v e v n v p<
                    • =
                    • ∆ −

                    • =
                    • u w u s u n u p<
                    • − =

                      ∆ −

                      ∆ −

                      B n w n s w s v w

                      x x Abf x x Abf

                      2

                      2

                      2 ) 1 (

                      − = δ δ δ

                      ∆ −

                      ∆

                      B w s n w

                    s

                    w s v s

                      y y y Acf x x Ab f

                      2 ) 1 (

                      = δ δ δ

                      ∆

                      δ δ

                      B w s n w n w n v n

                      y y y Acf x x Ab f

                      ∆ = δ

                      y x Ac A w w v w

                      δ

                      ∆ =

                      x y Aa A s s v s

                      2

                      δ

                      ∆ =

                      x y Aa A n n v n

                      2

                      A A A A + + = C oe fi ci en te s

                      ∆ =

                      2 )

                      Termo B (acoplamento entre v e u ) Termo v p A v W v S w v N s v P n v p B v A v A v A v A + + + = F P v g v v P SW v NW sw v W nw v S w v N s v n v

                      ∆ =

                      δ δ +

                      x x f

                      = w w

                      δ δ +

                      y y f

                      = s s s

                      δ δ +

                      y y f

                      2 ρ n n n

                      − =

                      ∆ ∆

                      F B = y x B b y v g

                      δ δ P y v F

                      ∆ −

                      ) 1 ( 1 (

                      Abf B s w s n w n v p

                      x x Abf x x

                      2

                      2

                      − = δ δ δ

                      ∆ − − ∆

                      B n w n

                    w

                    s n w v nw

                      x x Ab f y y y Ac f

                      ) 1 ( 1 (

                      2 )

                      = δ δ δ

                      ∆ −

                      B s w s w s n w v sw

                      x x Ab f y y y Ac f

                      B B u B u B u B u B u B u B B

                      Equação discretizada para P v

                      = w

                      δ

                      2 ) 1 (

                      δ δ δ

                      ∆ − − =

                      ∆

                      Ac f B w s n w

                    s

                    w s u s

                      y y y Abf x x

                      δ δ δ

                      ∆ −

                      B n w n w s n w u n

                      x x Ac f y y y Abf

                      2 ) 1 (

                      ∆ = δ

                      y x Aa A w w u w

                      ∆ =

                      2

                      x y Ac A s s u s

                      2

                      δ

                      ∆ =

                      x y Ac A n n u n

                      2

                      A A A A + + = C oe fi ci en te s

                      B v B v B v B v B v B v B B

                      FrE W u u S w u N s u P n u p B u A u A u A u A + + + = F P u u P SW u NW sw u W nw

                    u

                    S w u N s u n u

                      ) Termo u p A

                      Termo B (acoplamento entre u e v

                      Volume Equação discretizada para P u

                      92 (Continuação da Tabela – A.1)

                      2

                      x x Acf x x

                      = w

                      2

                      δ δ +

                      x x f

                      = w w

                      δ δ +

                      y y f

                      = s s s

                      δ δ +

                      F B = n n n y y f

                      δ δ P x u F

                      ∆ =

                      ∆ −

                      B s w s n w n u p

                      x x Acf x x Acf

                      2

                      Acf B s w s n w n u w

                      = δ δ δ

                      ∆ −

                      B s w s

                    w

                    s n w u sw

                      x x Ac f y y y Ab f

                      ) 1 ( 1 (

                      2 )

                      − = δ δ δ

                      ∆ − − ∆

                      B n w n w s n w u nw

                      x x Ac f y y y Ab f

                      ) 1 ( 1 (

                      2 )

                      − = δ δ

                      ∆

                    • =
                    • v w v s v n v p<

                      (Continuação da Tabela – A.1) u

                      Volume Termo B (acoplamento entre e ) u v

                      Equação discretizada para u

                    u u u u u u u u u u u u u u u u u

                    P Termo A p

                    FrW

                      p P n N s S e E n N s S e E ne NE se SE P P F p n s e + +

                    • A u = A u A u A u B B = B v B v B v B v B v B v B A = A A A
                    • u u Acx Acx Aa u A = A = A = ∆ y n s e y 2 y 2 x

                        δ δ n s n s δ e e ( 1 ) ( 1 ) u u

                      Abf Acfx Acfx Abf Acfx Acfx

                      e n s e u n s

                      B = ∆ yB = − ∆ y B = −

                        s n s e te

                        2 + x 2 y y x + y y x 2 x

                        2 δ δ δ δ δ δ δ δ n s e e n s e e e n s e n s

                        en ci fi

                        Abf Acfx Abf Acfx Acf Acf oe ( u e n u e s u n s 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ∆ xx ne se = ∆ + p + C B y B = − ∆ yB = − +

                      • y y x y y x x x

                        2

                        2 + +

                        2 B = F y y x F x n s e P δ δ δ

                        δ 2 u n s e n s e e e δ δ δ δ δ δ δ e n e s n s

                        f = f = f = n s e y y x

                        δ δ δ n s e v

                        Termo B (acoplamento entre v e u ) Equação discretizada para v

                        Termo v v v v v v v v v v v v v v v v v v P A p p P n N s S e E n N s S e E ne NE se SE P P F g p n s e + +

                      • A v A v A v B B = B u B u B u B u B u B u B B A = A A A + + + A v =
                      • v v Aax Aax Ac v A = A = A = ∆ y n s e y 2 y

                          2 δ δ n s n s δ x e e

                          Ab (

                          1 − f ) Acf Ab ( 1 − f ) Acf Abf Abf v n e v s e v n sxxxx n s + s B = − ∆ y B = − ∆ y B = − e

                          te

                          2

                          2

                          2

                          2 δ δ + + x y δ y δ x δ y δ y δ x δ x e n s e n s e e n e s e n s

                          en ci fi

                          ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

                          Acf Abfx Acf Abfx Abfx Abfx oe v v e s e n n s v

                        • C B = − ∆ yB = + ∆ y B = − se ne
                        • p

                            2

                            2 δ δ δ + + y y x δ y δ y δ x δ x n s e n s e e e e s e n + + + n s 2 δ x

                            2 v vx δ y δ y δ x n s e

                            B = F B = − by F y g y f = f = f = P ρ n s e

                            2

                            y y x

                            δ δ δ n s e

                            93

                          • ∆ −
                          • ∆ −
                          • ∆ −

                            Ab f B w s w s w s v s

                            2 ) 1 (

                            − = δ δ

                            ∆

                            Ac f B s w s

                          w

                          s w v w

                            x x Abf y y

                            2 ) 1 (

                            2

                            − = δ δ

                            ∆

                            y y Acf x x

                            x x Ab f y y Ac f

                            2 ) 1 (

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            y x Ac A w w v w

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            x y Aa A s s v s

                            2 ) 1 (

                            B s w s w s w v sw

                            C oe fi ci en te s

                            2

                            δ δ +

                            x x f

                            = w w w

                            δ δ +

                            y y f

                            ρ s s s

                            ∆ ∆ − =

                            y x B b y v g

                            2

                            F B =

                            ∆ −

                            δ δ P y v F

                            ∆ − =

                            ∆ −

                            B s w s w s w v p

                            x x Abf y y Acf

                            2

                            2

                            δ δ

                            − =

                            2

                            Termo B (acoplamento entre v e u ) Termo v p A v W v S w v P s v p B v A v A v A + + = F P v g v v P SW v W sw v S w v s v B B u B u B u B u B B + + + + + = A A A + = v w v s v p

                            =

                            2

                            − = δ δ

                            ∆

                            Ac f B w s w s w s u s

                            y y Abf x x

                            2 ) 1 (

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            y x Aa A w w u w

                            δ

                            2 ) 1 (

                            ∆ =

                            x y Ac A s s u s

                            2

                            C oe fi ci en te s

                            FrNE W u u S w u P s u p B u A u A u A + + = F P u u P SW u W sw

                          u

                          S w u s u B v B v B v B v B B + + + + = A A A + = u w u s u p

                            ) Termo u p A

                            Termo B (acoplamento entre u e v

                            Volume Equação discretizada para P u

                            94 (Continuação da Tabela – A.1)

                            2

                            x x Acf y y

                            Equação discretizada para P v

                            Abf B s w s w s w u p

                            =

                            δ δ +

                            x x f

                            = w w w

                            δ δ +

                            F B = s s s y y f

                            δ δ P x u F

                            ∆ − =

                            ∆ −

                            x x

                          Acf y

                          y

                            Ab f B s w s

                          w

                          s w u w

                            2

                            2

                            = δ δ

                            ∆ −

                            B s w s w s w u sw

                            x Ac f y y Ab f

                            2 ) 1 ( x

                            2 ) 1 (

                            − = δ δ

                            ∆

                          • ∆ −
                          • ∆ −

                            ∆ −

                            δ δ

                            ∆ − =

                            ∆ −

                            Ac f B s e s e s e v e

                            x x Abf y y

                            2 ) 1 (

                            2

                            δ δ

                            ∆ − =

                            Ab f B e s e s e s v s

                            2 ) 1 (

                            y y Acf x x

                            2 ) 1 (

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            y x Ac A e e v e

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            x y Aa A s s v s

                            2 ) 1 (

                            x x Ab f y y Ac f

                            C oe fi ci en te s

                            2

                            δ δ +

                            x x f

                            = e e e

                            δ δ +

                            y y f

                            ρ s s s

                            ∆ ∆ − =

                            y x B b y v g

                            2

                            F B =

                            B s e s e s e v se

                            = δ δ P y v F

                            ∆

                            B s e s e s e v p

                            x x

                          Abf

                          y y Acf

                            2

                            2

                            δ δ

                            − − =

                            − ∆

                            ∆ −

                            2

                            Termo B (acoplamento entre v e u ) Termo v p A v E v S e v P s v p B v A v A v A + + = F P v g v v P SE v E se v S e v s v B B u B u B u B u B B + + + + + = A A A + = v e v s v p

                            =

                            y x Aa A e e u e

                            δ δ

                            ∆ − =

                            ∆ −

                            Ac f B e s e s e s u s

                            y y Abf x x

                            2 ) 1 (

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            2

                            2 ) 1 (

                            δ

                            ∆ =

                            x y Ac A s s u s

                            2

                            C oe fi ci en te s

                            FrNW E u u S e u P s u p B u A u A u A + + = F P u u P SE u E se

                          u

                          S e u s u B v B v B v B v B B + + + + = A A A + = u e u s u p

                            ) Termo u p A

                            Termo B (acoplamento entre u e v

                            Volume Equação discretizada para P u

                            95 (Continuação da Tabela – A.1)

                            2

                            x x Acf y y

                            Equação discretizada para P v

                            2

                            =

                            δ δ +

                            x x f

                            = e e e

                            δ δ +

                            F B = s s s y y f

                            = δ δ P x u F

                            ∆

                            Abf B s e s e s e u p

                            x x Acf y y

                            2

                            Ab f B s e s e s e u e

                            δ δ

                            ∆ − − =

                            ∆ − −

                            B s e s e s e u se

                            x Ac f y y Ab f

                            2 ) 1 ( x

                            2 ) 1 (

                            δ δ

                            ∆ − =

                            ∆ −

                            =

                            ∆ −

                            δ δ

                            ∆ − =

                            ∆ −

                            Ac f B n w n

                          w

                          n w v w

                            x x Abf y y

                            2 ) 1 (

                            2

                            δ δ

                            ∆ − =

                            Ab f B w n w n w n v n

                            2 ) 1 (

                            y y Acf x x

                            2 ) 1 (

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            y x Ac A w w v w

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            x y Aa A n n v n

                            2 ) 1 (

                            x x Ab f y y Ac f

                            C oe fi ci en te s

                            2

                            δ δ +

                            x x f

                            = w w w

                            δ δ +

                            y y f

                            ρ n n n

                            ∆ ∆ − =

                            y x B b y v g

                            2

                            F B =

                            B n w n w n w v nw

                            = δ δ P y v F

                            ∆

                            B n w n w n w v p

                            x x Abf y y Acf

                            2

                            2

                            δ δ

                            − − =

                            − ∆

                            ∆ −

                            2

                            Termo B (acoplamento entre v e u ) Termo v p A v W v N w v P n v p B v A v A v A + + = F P v g v v P NW v W nw v N w v n v B B u B u B u B u B B + + + + + = A A A + = v w v n v p

                            96 (Continuação da Tabela – A.1)

                            ∆ =

                            2

                            δ δ

                            ∆ − =

                            ∆ −

                            Ac f B w n w n w n u n

                            y y Abf x x

                            2 ) 1 (

                            2

                            δ

                            y x Aa A w w u w

                            x x Acf y y

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            x y Ac A n n u n

                            2

                            C oe fi ci en te s

                            FrSE W u u N w u P n u p B u A u A u A + + = F P u u P NW u W nw

                          u

                          N w u n u B v B v B v B v B B + + + + = A A A + = u w u n u p

                            ) Termo u p A

                            Termo B (acoplamento entre u e v

                            Volume Equação discretizada para P u

                            2 ) 1 (

                            Ab f B n w n

                          w

                          n w u w

                            Equação discretizada para P v

                            x x

                          Acf y

                          y

                            =

                            δ δ +

                            x x f

                            = w w w

                            δ δ +

                            F B = n n n y y f

                            = δ δ P x u F

                            ∆

                            Abf B n w n w n w u p

                            2

                            ∆ −

                            2

                            δ δ

                            ∆ − − =

                            ∆ − −

                            B n w n w n w u nw

                            x Ac f y y Ab f

                            2 ) 1 ( x

                            2 ) 1 (

                            δ δ

                            ∆ − =

                          • ∆ −

                          • ∆ −
                          • ∆ −

                            Ab f B e n e n e n v n

                            2 ) 1 (

                            − = δ δ

                            ∆

                            Ac f B n e n e n e v e

                            x x Abf y y

                            2 ) 1 (

                            2

                            − = δ δ

                            ∆

                            y y Acf x x

                            x x Ab f y y Ac f

                            2 ) 1 (

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            y x Ac A e e v e

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            x y Aa A n n v n

                            2 ) 1 (

                            B n e n e n e v ne

                            C oe fi ci en te s

                            2

                            δ δ +

                            x x f

                            = e e e

                            δ δ +

                            y y f

                            ρ n n n

                            ∆ ∆ − =

                            y x B b y v g

                            2

                            F B =

                            ∆ −

                            δ δ P y v F

                            ∆ − =

                            ∆ −

                            B n e n e n e v p

                            x x Abf y y Acf

                            2

                            2

                            δ δ

                            − =

                            2

                            Termo B (acoplamento entre v e u ) Termo v p A v E v N e v P n v p B v A v A v A + + = F P v g v v P NE v E ne v N e v n v B B u B u B u B u B B + + + + + = A A A + = v e v n v p

                            =

                            2

                            − = δ δ

                            ∆

                            Ac f B e n e n e n u n

                            y y Abf x x

                            2 ) 1 (

                            2

                            δ

                            ∆ =

                            y x Aa A e e u e

                            δ

                            2 ) 1 (

                            ∆ =

                            x y Ac A n n u n

                            2

                            C oe fi ci en te s

                            FrSW E u u N e u P n u p B u A u A u A + + = F P u u P NE u E ne

                          u

                          N e u n u B v B v B v B v B B + + + + = A A A + = u e u n u p

                            ) Termo u p A

                            Termo B (acoplamento entre u e v

                            Volume Equação discretizada para P u

                            97 (Continuação da Tabela – A.1)

                            2

                            x x Acf y y

                            Equação discretizada para P v

                            Abf B n e n e n e u p

                            =

                            δ δ +

                            x x f

                            = e e e

                            δ δ +

                            F B = n n n y y f

                            δ δ P x u F

                            ∆ − =

                            ∆ −

                            x x

                          Acf y

                          y

                            Ab f B n e n

                          e

                          n e u e

                            2

                            2

                            = δ δ

                            ∆ −

                            B n e n e n e u ne

                            x Ac f y y Ab f

                            2 ) 1 ( x

                            2 ) 1 (

                            − = δ δ

                            ∆

                          • ∆ −
                          • ∆ −

                          Apêndice B – Derivadas para Pós-Processamento das Tensões nos Volumes da Fronteira

                            Na equação (5.26), quando aplicada aos volumes da fronteira FrN, FrS, FrE, FrW,

                            

                          FrNE, FrSE, FrNW e FrSW conforme definidos na figura A.1, é necessário determinar a

                            derivada sobre o ponto P da fronteira. A figura B.1 ilustra esta situação para cada volume de fronteira.

                            W P E N NN N WW W S

                            E EE N P P SS S S W P E

                            

                          FrN FrS FrE FrW

                          WW W E P EE P

                            NN NN S N S N SS SS

                            P WW W P E EE FrNE FrNW FrSE FrSW

                          Figura B.1 – Volumes de controle na fronteira do domínio do problema e pontos usados no cálculo das derivadas

                            A aproximação para as derivadas quando o ponto P fica posicionado como ponto central é feita pelo esquema de derivadas centrais, definidas na equação (5.27), porém, a aproximação da derivada em que o ponto P fica na extremidade, como exemplo a derivada

                            ∂ v sobre o ponto P para o volume FrN, o cálculo da derivada é feito através de uma ∂ y P função parabólica aproximada através dos três pontos, que para o caso citado são os pontos: P, S e SS. A tabela B.1 apresenta o equacionamento para cálculo dessas derivadas com aproximação parabólica.

                            

                          Tabela B.1 – Equacionamento para cálculo de derivadas com aproximação

                          parabólica.

                          df

                            2 h ( ) t = α − α ; + P 1

                            d

                            α

                            ff ff 2 1 3 1

                            − α − α α − α 2 1 3 1

                            h = ;

                            α − α 2 3

                            ff 3 1 t = − h − ( α α ) ; 3 1

                            − α α 3 1 FrN , FrNE e FrS , FrSE e FrE , FrNE e FrW , FrNW e

                            FrNW FrSW FrSE FrSW df df

                          VALORES

                            Para α = x Para α = y

                            dx dy P P DOS PTS f = u f = v f = u f = v f = u f = v f = u f = v

                            α α α α

                            y SS y P x WW x P

                            α α α α

                            1 y y x x S N W E

                            α α α α

                            2 y P y NN x P x EE

                            α α α α

                            3 u v u v u v u v SS SS P P WW WW P P

                          F

                            1 u v u v u v u v S S N N W W E E

                          F

                            2 u v u v u v u v P P NN NN P P EE EE

                          F

                            3 y P y P x P x P

                            α α α α P

                            Apêndice C – Tabelas de dados utilizados em gráficos

                          Tabela C.1 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.14.

                            , ! 3 4 4.

                            %5 %5 !" ( %5 !" ' 4 4. 2% 4 4.

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7 26,00465

                            6

                            7

                          • .8.... 5* 89 5 8: / 5 484 99 -42,30299
                            • 8 .. 54 8: 59 8:* . 59 8.4** -68,77324 8 ... 5:+8: 9 5:48:/..

                            5 8/*4+ -72,26171 98/ .. 5: 8* .9 5:48. .* 5/.8/+ *

                          • -71,81543 8.... 5:98 :/: 5: 8* 9 5/*8 * : -71,27660 :8 .. 5:98/4 / 5: 8./9 5/*8* 44 -71,00450 /8 ... 5:98/4 + 5: 8. *: 5/*8 9:

                            , ! 3 : :.

                            %5 %5 !" ( %5 !" ' : :. 2% : :.

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7 .8. **8.. 4 54*8+*99 8.99 4/8 .

                          .8 5 48 :+: 5 *8 /:+ 5:8+9. 5 48 ..

                          • 8/ 5::8 4 5:48 + 5/+89:. 5:*8

                            4 8 5/*8 4+ 5:+8: +9 5/98 .: 5/.8:4:+

                          989 5: 89** 5:/8 4. 5/.8+/ 5/*89+4/

                          48 5::8 + / 5: 8 9:9 5: 8 : 5/.8 +4

                            

                          8. 5::8.*./ 5: 8 :++ 5:/8 /.. 5:+8 94

                          , ! 3 .

                            %5 %5 !" ( %5 !" ' . 2% .

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                          .8... 98 / / 5*:84:99 .8/ 9* 8: :/

                          .8: 5*.8* : 5 8 9*/ 5.8 *: 5*.8://:

                          • 8 . 5 :89 . 5 48 / 5:48:: /

                            5

                            8

                          • *8 / 5/.8 . 5:+8/ .4 5/ 8+ 4 5:/8/4*

                            8 .. 5/*8/ / 5/.8+/ 5/48* : 5/*84*44

                            98* 5:+8:* 5:+8**.. 5/*8* 4/ 5/*8 4+

                            98/ . 5:/8+:/: 5:/8 9* 5:+89+:* 5/.89.9

                            , ! 3 *. *..

                            %5 %5 !" ( %5 !" ' *. *.. 2% *. *..

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7 .8... 9*8+ 9 5.84*4 9.89/:+ :48/9/: .8 .. .8 9+: *8+//+ *.8/+ .84//

                          • 8... 54 8 9 5448 .+4

                            5 8 ++ 54 8+.+

                          • *8 .. 5::8* / 5: 8 +* 5:/8 +9. 5: 8 +/4

                            8... 5/ 8.+/* 5/*84+ 5/48*:: 5/.8 *:.

                            8 .. 5/*8+:9 5/*8 */9 5/98*+:. 5/*8/+4

                            98... 5/.89. 4 5:+8+:. 5/*8994 5/*8 +*:

                          Tabela C.2 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.15

                            6

                            7 .8... 26,00465

                          .8... 4/8 . .8... 8: :/ .8... :48/9/:

                          0,0000 /*8*.4 *8 . -42,30299

                          .8 .. 5 48 .. .8: 5*.8://: .8 .. .84//

                          0,3125 8.4 : 8 .. -68,77324 *8/.. 5:*8 4 *8 .

                            

                          5

                          8 *8... 54 8+.+ 0,6250 5*/8 98/ . -72,26171 8 .. 5/.8:4:+ *8 / 5:/8/4* *8 .. 5: 8 +/4 0,9375 5498.+ 8... -71,81543 989.. 5/*89+4/ 8 .. 5/*84*44 8... 5/.8 *:. 1,2500 5 8: : :8 . -71,27660

                          48 .. 5/.8 +4 98* 5/*8 4+ 8 .. 5/*8/+4

                          1,5625 5:/8* *: /8 .. -71,00450 8... 5:+8 94 98/ . 5/.89.9 98... 5/*8 +*: 1,8750 5/*8.* / 8/ . -70,89099 8 .. 5:+84 489/ 5:+84+*+ 98 .. 5/.89 +. 2,1875 5/ 8 +* *.8... -70,84714 :8/.. 5:+8 9: 8... 5: 8+/9 48... 5:+84 : 2,5000 5/ 8 *.: **8 . -70,83082

                          /8 .. 5:+8*9:. 8: 5: 8: : 48 .. 5: 8 ++

                          2,8125 5/*8 4 9 Tabela C.3 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.16.

                            , ! 3 : :.

                            % % !" ( % !" '

                            2% : :. ; 6

                            7

                            7

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7 8.. 5 .8/ + 5*:8: :: 5**8 4*: 5/8 ..: 48*/ 59 8/ +: 59 8.9 * 59 8.:9* 59+8.. 9899 5 8994 5 /8 / 5:*844.9 5:*8 / 8 . 5: 8 4+. 5: 8.+/ 5:/8://: 5:+8.//9

                            6

                            6

                            , !

                          4 4. : :. . *. *.. *: *:.

                            6

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            7

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                          • 8:/ 5 8994 5 /8 / 5:*844.9 5:*8 / .8 9 59 8/ +: 59 8.9 * 59 8.:9* 59+8.. .8.. 5 .8/ + 5*:8: :: 5**8 4*: 5/8 ..:

                          Tabela C.4 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.17

                            Máxima tensão cisalhante (engaste x = 0 e x = 50 mm e y = 2,5 mm) % % % !" !"

                            ( ' 2% !'

                            6

                            

                          7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7 *..

                          • + 4 4. *:. 4*. 5* 89

                            5 8: / 5 484 99 :8..4/ : :. 9:. /9 **8.. 4 54*8+*99 8.99 4/8 .

                            

                          . :4. *4 98 / / 5*:84:99 .8/ 9* 8: :/

                          • . *.. *... 9*8+ 9 5.84*4 9.89/:+ :48/9/:
                          • : *:. :. 4/4 4 84/4+ 48+ 4 4 8

                            9 /*8*.4 . .. 4... 44 .89 998 9 .89 44 / 8* 9. 9.. +... * :: /8. + 4:8.9+ /89 / / 8/+4/ . .. :4... * +/: ::89*4/ ::89*4/ ::89*4/ *......

                          • 3* 9. * . " 3* 9. *.. " 93* 9. / "
                          • .3* 9. . "
                          • 3* 9. * " .3* , , , , , , , ,
                          • >

                            *8... 54+8:. 8... 5/*8+ 98... 5/*8* 48... 5:+8 +4 8... 5: 84.: *.8... 5: 8* + * 8... 5: 894+ .8... 5: 89 9

                          • *8*:/ 5 /8 *4 8999 5/ 84 * 98 .. 5:+8+4+ 48::/ 5: 8499 8 99 5:/8+ : **8::/ 5: 8*:4 */8 .. 5: 89 98999 5: 89 9

                          • *8999 5:98/.* 8::/ 5/*8+*4 48... 5: 8+// 8999 5:/8++ :8::/ 5:/8 4 *98999 5: 8*:/ .8... 5: 89 :8::/ 5: 89 9

                          • *8 .. 5:/8/9 98... 5/.8++ 48 .. 5: 894/ :8... 5:/8 * /8 .. 5:/8 . * 8... 5: 8*: 8 .. 5: 89 9.8... 5: 89 9

                          • *8::/ 5/.894 98999 5/.8./ 8... 5:/8+ :8::/ 5:/8/49 8999 5:/8 .. *:8::/ 5: 8*: 8... 5: 89 998999 5: 89*

                          • *8 99 5/*8 98::/ 5:+89*. 8 .. 5:/8/+ /8999 5:/8/ 9 +8*:/ 5:/8 . * 8999 5: 8*: /8 .. 5: 89 9:8::/ 5: 89 9

                            8... 5/ 8:4 48... 5: 8/ : :8... 5:/8/.9 8... 5:/8/*+ *.8... 5:/8 .9 .8... 5: 8*: 9.8... 5: 89 4.8... 5: 8: :

                            8*:/ 5/ 8 :+ 48999 5: 89*. :8 .. 5:/8:: 8::/ 5:/8/ . *.8 99 5:/8 .4 *8::/ 5: 8*: 9 8 .. 5: 89 498999 5/*8 :/

                            8999 5/ 8/9 48::/ 5: 8. / /8... 5:/8:4: +8999 5:/8/ * **8::/ 5:/8 . 98999 5: 8*: 9 8... 5: 894+ 4:8::/ 5/ 8 *9

                            8 .. 5/ 89 : 8... 5:/8 4 /8 .. 5:/8:4* *.8... 5:/8/ * 8 .. 5:/8 . 8... 5: 8*: 9/8 .. 5: 8949 .8... 54+89..

                            8::/ 5/*8+*9 8999 5:/8/ : 8... 5:/8:4. *.8::/ 5:/8/ *98999 5:/8 . :8::/ 5: 8*: 4.8... 5: 84.* 8 99 5/*89 + 8::/ 5:/8: 8 .. 5:/8:4* **8999 5:/8/ *48*:/ 5:/8 . 8999 5: 8*: 4 8 .. 5:+8. * 98... 5/.8 :* :8... 5:/8:*4 +8... 5:/8:4* * 8... 5:/8/ 9 * 8... 5:/8 . 9.8... 5: 8*: 4 8... 5/*8+4

                            104

                          Tabela C.5 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.19.

                            

                          Tensão cisalhante (engaste x = 0 e y = 2,5 mm)

                          9. 9.. "

                            43* 9. :. " 3* 9. 9. "

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7 .8... / 8/+ .8... : 8+*+ .8... :*8+.4 .8... 98. .8... 498:+: .8... 89. .8... 5 8//9 .8... 54+89.. .8*:/ 498.+/ .8999 */8 9 .8 .. 5*8+4: .8::/ 5*:8 .8 99 5 8* * *8::/ 5 /8*/4 8 .. 5:+8.:* 98999 5/ 8 *9 .8999 *:89* .8::/

                            5 8 :4 *8... 5448++: *8999 5 /84 *8::/ 5:48 : 98999 5/ 8.9 8... 5/*8+4 :8::/ 5/*8 :/

                          .8 .. 5:8.9* *8... 54/8 /: *8 .. 5:484* 8... 5/.8* : 8 .. 5/*8:* 8... 5/.8.* /8 .. 5:+8. * *.8... 5: 8: :

                          .8::/ 5 48*++ *8999 5:*8+ 9 8... 5/*8** 8::/ 5/*8 : 98999 5/.8+ / :8::/ 5: 8 :4 *.8... 5: 84.* *98999 5: 89 9

                          .8 99 59 8 : *8::/ 5:+8* 4 8 .. 5/ 8* * 98999 5/.8: . 48*:/ 5:+89/ 8999 5: 8 .* * 8 .. 5: 8949 *:8::/ 5: 89*

                          • 3* 9. * . " 3* 9. *.. " 93* 9. / "
                          • .3* 9. . "
                          • 3* 9. * " .3* , , , , , , , ,

                          • *8... 5 .8/// 8... 5/989.* 98... 5/*8*+. 48... 5: 8: / 8... 5:/8//: *.8... 5:/8+ 4 * 8... 5: 8 : .8... 5: 8 .

                          • 8*:/ 5 8+4* 8999 5/98* : 98 .. 5:+8 :: 48::/ 5:/8 + 8 99 5:/8 + **8::/ 5:/8 :: */8 .. 5: 8*4 98999 5: 89++
                          • *8999 5:48/4+ 8::/ 5/ 8*9 48... 5: 8 4 8999 5:/8:4. :8::/ 5:/8 +4 *98999 5:/8 .8... 5: 8*:+ :8::/ 5: 89++

                          • 8 .. 5: 8:: 98... 5/.8+9+ 48 .. 5:/8+ 9 :8... 5:/8 : /8 .. 5:/8:.* * 8... 5:/8 9 8 .. 5: 8*: 9.8... 5: 8 .
                          • 8::/ 5/*8*9: 98999 5:+8 9 8... 5:/8/./ :8::/ 5:/8
                          • 8 99 5/ 8 98::/ 5:+8.:: 8 .. 5:/8 9 /8999 5:/8

                            105

                          Tabela C.6 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.20.

                            

                          Tensão cisalhante (engaste x = 0 e y = 2,5 mm)

                          9. 9.. "

                            43* 9. :. " 3* 9. 9. "

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                          .8... /89 : .8... 4*8 /* .8... :8 /. .8... **84*4 .8... 598 * .8... 5/ 8. .8... 5*9.8 / .8... 5* 48 *4

                          .8*:/ 4:84 .8999 48: : .8 .. /89/ .8::/ 5 8+4. .8 99 5* 8+. *8::/ 59:8 :/ 8 .. 59/8:.* 98999 59 8 :+

                          .8999 *48*/ .8::/ 5 /8. * *8... 5 984*+ *8999 5:+8*:4 *8::/ 5/ 8. 9 98999 5 :89 : 8... 5 489/ :8::/ 5 984*

                          .8 .. 5:8/:+ *8... 54+8/4/ *8 .. 5:/8/44 8... 5/ 8+. 8 .. 5/ 8// 8... 5:48/ /8 .. 5: 8+9. *.8... 5:98./*

                          .8::/

                            5 89+: *8999 5:48/ 4 8... 5/98 :: 8::/ 5/98 : 98999 5/*8.// :8::/ 5: 8944 *.8... 5:+84.: *98999 5:+8+ +

                          .8 99 59+8/. *8::/ 5/*8* 8 .. 5/ 8+/ 98999 5/.8 . 48*:/ 5: 89 4 8999 5:/8: * 8 .. 5:/8+.* *:8::/ 5: 8.*4

                            9 8999 5:/8:./ *:8::/ 5:/8 4 8... 5: 8*: 998999 5: 8.*4

                            4 +8*:/ 5:/8:.+ * 8999 5:/8 4 /8 .. 5: 8*: 9:8::/ 5:+8+ + 8... 5/98*4 48... 5: 84 9 :8... 5:/8 94 8... 5:/8 *.8... 5:/8:.+ .8... 5:/8 4 9.8... 5: 8*:+ 4.8... 5:98./* 8*:/ 5/98 9* 48999 5: 8. + :8 .. 5:/8 */ 8::/ 5:/8 + *.8 99 5:/8:.+ *8::/ 5:/8 4 9 8 .. 5: 8*4 498999 5 984* 8999 5/ 8+ * 48::/ 5:/8 9: /8... 5:/8 *9 +8999 5:/8 :. **8::/ 5:/8:.+ 98999 5:/8 4 9 8... 5: 8 : 4:8::/ 59 8 :+ 8 .. 5/ 8 + 8... 5:/8:/+ /8 .. 5:/8 *9 *.8... 5:/8 :* * 8 .. 5:/8:.+ 8... 5:/8 4 9/8 .. 5:/8+.* .8... 5* 48 *4 8::/ 5/*8+/: 8999 5:/8 8... 5:/8 *4 *.8::/ 5:/8 :* *98999 5:/8:.+ :8::/ 5:/8 4 4.8... 5:+84.: 8 99 5/*89+. 8::/ 5:/8 9 8 .. 5:/8 * **8999 5:/8 :* *48*:/ 5:/8:.+ 8999 5:/8 4 4 8 .. 5: 8+9. 98... 5/.8 * :8... 5:/8 .9 +8... 5:/8 *: * 8... 5:/8 :* * 8... 5:/8:.+ 9.8... 5:/8 4 4 8... 5 489/

                            8. 5:/8 /.. 98/ . 5:+89+:* 98... 5/*8994 *8 / .. 5/ 8+.+4 *8 .. 5: 8:. *8... 5 .8///4 8/ .. 5/*8 9 8 5:/8:/*/ 489/ 5: 84:* 98 .. 5:+8:+99 8* / . 5/9849 * *8/ . 5/*8+/: *8*:/ 5 8+4*

                            7

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            6

                            7

                            7

                            6

                            7 .8.... 5 484 99 .8. 8.99 .8... .8/ 9* .8... 9.89/:+ .8..... 4 8 9 .8... .89 44 .8... /89 /

                            5 8/*4+ *8/ 5/+89:. *8 . 5:48:: / *8...

                            

                          5

                          8 ++ .8: .. 5 *8/4 9 .8 .. 5/8 :4. .8999 *48*/ * 98/ .. 5/.8/+ * 8 5/98 .: *8 / 5/ 8+ 4 *8 .. 5:/8 +9. .8+9/ . 54 844.+ .8/ . 59*8/ *. .8 .. 5:8/: 8.... 5/*8 * : 989 5/.8+/ 8 .. 5/48* : 8... 5/48*:: *8 ... 5:*8 9: *8... 5 .84 4 .8::/

                            5 89+:4 :8 .. 5/*8* 44 48 5: 8 : 98* 5/*8* 4/ 8 .. 5/98*+:. *8 : . 5:+8: + *8 . 5:*8 9 .8 99 59+8/. * /8 ... 5/*8 9:

                            6

                            6

                            106

                          Tabela C.7 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.21.

                            7

                            

                          Tensão cisalhante (engaste x = 0 e y = 2,5 mm)

                          4 4. : :. . *. *.. *: *:. . .. 9. 9..

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            6

                            7

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                          • 8 .. 59 8.4** .8 5:8+9. .8: 5.8 *: .8 .. *.8/+ .89* . 8 .* .8 . 9 8/:4 .8*:/ 4:84 *: 8 ...
                          • .8.... 5/*8 9 :8/ 5:/8:/9+ 8... 5: 8. 48... 5: 8: + 8 .... 5/ 8/ . 8... 5/98 9 * *8999 5:48/4
                            • 8 .. 5/*8 9 /8 5:/8:/ 9 8: 5:/8+ 4/ 48 .. 5: 8*9 * 8 * . 5/*8: ** 8 . 5/98 4/ *8 .. 5: 8::

                            >8 ... 5/*8 9 / 89 5:/8:/: :8 . 5:/8+*: 8... 5:/8 : 9 98* .. 5/.8 :.* 8 .. 5/ 8:9/9 *8::/ 5/*8*9:4
                          • *98/ .. 5/*8 9 / +8 5:/8:// :8 / 5:/8+.+4 8 .. 5:/8/4* 9849/ . 5:+8:4 8/ . 5/*8/ * *8 99 5/ 8 *

                            * 8.... 5/*8 9 / *.8. 5:/8://: /8 .. 5:/8+.++ :8... 5:/8:+9* 98/ ... 5: 8+4/4 98... 5/.8 + / 8... 5/98*4 .

                          • :8 .. 5/*8 9 / *.8 5:/8://: 8* 5:/8+**9 :8 .. 5:/8:/: 48.: . 5: 844: 98 . 5/.8*.. 8*:/ 5/98 9*4 */8 ... 5/*8 9 / **8/ 5:/8:/// 8/ . 5:/8+* /8... 5:/8:/*/ 489/ .. 5: 8*.4* 98 .. 5:+849* 8999 5/ 8+ .
                          • 8/ .. 5/*8 9 / * 8 5:/8://: +89/ 5:/8+* / /8 .. 5:/8:/*4 48: / . 5:/8 / 98/ . 5: 8 +/ 8 .. 5/ 8 +

                            .8.... 5/*8 9 / *989 5:/8://: *.8... 5:/8+* + 8... 5:/8:/ 8..... 5:/8/94+ 48... 5: 84 8::/ 5/*8+/:*

                          • 8 .. 5/*8 9 / *48 5:/8://: *.8: 5:/8+*9. 8 .. 5:/8:/ + 89* . 5:/8:4: 48 . 5: 8* 9 8 99 5/*89 +/

                            8 ... 5/*8 9 / * 8. 5:/8://: **8 . 5:/8+*9. +8... 5:/8:/94 8: .. 5:/8 +9 48 .. 5:/8+: : 98... 5/.8 *4:

                          • 3* 9. * . " 3* 9. *.. " 93* 9. / "
                          • .3* 9. . "
                          • 3* 9. * " .3* , , , , , , , ,

                            6 7 6 &lt; 7

                            48 9 5:/8:+. +8*:/ 5::8:+* *98/ . 5: 8/.. * 8999 5:48 :

                            4

                            9 5*/84. *8*:/ 5 8 *+ *8/ . 5/*84+: 8999 5/ 8 :* 8+*/ 5/.8/4+ 8 99 5::8/*. 8/ . 5: 8::: **8::/ 5:48

                          .8::/ 5 :89*4 *8999 5: 84.4 8... 5/98: . 8::/ 5/ 84 9 98999 5/.899. :8::/ 5:+89: *.8... 5/*8:: *98999 5/48 /4

                          .8/ . 5998 9 *8 .. 5: 8 .* 8 . 5/ 8 // 98... 5/.8:*/ 98/ . 5: 8:44 /8 .. 5::8: **8 . 5: 8:+9 * 8... 5:48 /

                          .8 99 54.8 :4 *8::/ 5/*8 *4 8 .. 5/ 8/+ 98999 5/.8**/ 48*:/ 5: 8/. 8999 5:+89 : * 8 .. 5/*8: *:8::/ 5/48 9

                          .8+*/ 54:8.+* *8 99 5/ 89:9 8/ . 5/*8 4. 98::/ 5: 8

                            4.8 + .8999 *98:./ .8 .. 5+8: . .8::/ 5 8 :* .8 99 5448 /+ *8::/ 5 .8.*. 8 .. 5 8:/ 98999 5 8 :

                          .8 . /89. .8 .. 5/8*/: .8/ . 59 8*/. *8... 54+8*4+ *8 . 5 +8+* 8 .. 5/.89/ 98/ . 5: 8 +. 8... 5:*8::9

                          .8999 *48. : .8::/ 5 :8/ / *8... 5 8 * *8999 5::8/.. *8::/ 5/98 .4 98999 5/ 8:: 8... 5/ 8+/ :8::/ 5/:8/ :

                          .84*/ 8// .8 99 59+8/.9 *8 . 5:*844+ *8::/ 5/.8 8. 9 5/ 89 / 48*:/ 5:/8*+ :8 . 5: 8 : 8999 5:48* :

                          .8 .. 5 8 9 *8... 5 *8 . *8 .. 5:+8: 9 8... 5/48. 4 8 .. 5/984.4 8... 5:+8/ /8 .. 5/*8+.. *.8... 5/ 8.+: .8

                            6 7 6 &lt; 7 .8... / 8*/ .8... /*8: . .8... /.8: + .8... :+8* : .8... :/8.:4 .8... *8:** .8... 9 84* .8... *84 .8. 9 :89 * .8*:/ 4*8+/ .8 . 8++ .8999 */89 .84*/ /8**. .8 99 5 8* / *8 . 54:8. 4 *8::/ 5 8.// .8*:/

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            6 7 6 &lt; 7

                            43* 9. :. " 3* 9. 9. "

                            

                          Tensão cisalhante (engaste x = 0 e y = 2,5 mm)

                          9. 9.. "

                          • 8... 5 *844. 8... 5/989 98... 5/*8..9 48... 5: 8/4 8... 5: 8* *.8... 5:+89*+ * 8... 5/*8: . .8... 5/48
                          • 8. 9 5 8 ** 8*:/ 5/98*.*
                          • >

                            *8*:/ 5 +84 4 8999 5/98*.4 98 .. 5:+8 4. 48::/ 5: 8**9 8 99 5:/8+:/ **8::/ 5:+89* */8 .. 5/*8:*+ 98999 5/48 /

                          • *8 . 5: 89 + 8 .. 5/ 849 98/ . 5: 8/ 4 8... 5:/8 * :8 . 5:/8 +. * 8 .. 5::8:+ * 8/ . 5: 8/.* 8... 5:48 /

                          • *8999 5: 8* 8::/ 5/ 8.: 48... 5: 8:*. 8999 5:/8 : :8::/ 5:/8+9* *98999 5:+89* .8... 5/*8:*+ :8::/ 5/48 /

                          • 84*/ 5:/8.4 8 99 5/*89 : 48 . 5: 8. : 8::/ 5:/84. /8. 9 5:/8 / *48*:/ 5::8:+ *8 . 5: 8/.* 8999 5:48 /
                          • 8 .. 5: 8+ + 98... 5/.8 48 .. 5: 8.+9 :8... 5:/8/ : /8 .. 5:/8+ : * 8... 5:+89* 8 .. 5/*8:*+ 9.8... 5/48

                            107

                          Tabela C.8 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.22.

                            98 . 5:+8+4 48999 5:/8+ 4 84*/ 5:/89/9 *.8 99 5::8:+ *:8 . 5: 8/.* *8::/ 5:48 /

                            (Continuação da Tabela – C.8)

                            9. 9.. "

                          • 3* ,

                            6 7 6 &lt; 7

                          • 8 9 5/.8*
                          • 8::/ 5/*89.+
                          • 8/ . 5/*8+:*
                          • 8 99 5/ 8:94 *8+*/ 5/ 8+..

                            8... 5/98 .: 8. 9 5/98 .+ 8*:/ 5/98 :: 8 . 5/98*.. 8999 5/ 8++ 84*/ 5/ 8/99 8 .. 5/ 8 9/

                            8 9 5/ 8

                            9 8::/ 5/*8+ . 8/ . 5/*8: * 8 99 5/*89+4 8+*/ 5/*8./* 98... 5/.8 .

                            

                          Tabela C.9 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.26.

                            &lt; ! (! %5# = "! %5# = ! 2% !=!

                            &lt; &lt; &lt; ) ) ) ;

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                            6

                            7

                          .8. 5 8. 5.* *8++ 5 8*4 5.* *8++ 5 8* 5.* *8++ 8 .

                          .8 5 8.+ 5.* *8++ 548+: 5.* 8.. 548+9 5.* 8.* 8 .

                          • 8. 548/ 5.* 8.9 548 * 5.*

                            8. 548/+ 5.* 8. 8 .

                          • 8 548 5.* 8. 548/. 5.*

                            8.9 548:+ 5.* 8.9 8 . 8. 548 4 5.* 8. 548:4 5.* 8.4 548:4 5.* 8.4 8 . 8 548/9 5.* 8.9 548: 5.* 8.4 548: 5.* 8.4 8 . 98. 548 4 5.* 8. 548:4 5.* 8.4 548:4 5.* 8.4 8 . 98 548 5.* 8. 548/. 5.* 8.9 548:+ 5.* 8.9 8 . 48. 548/ 5.* 8.9 548 * 5.* 8. 548/+ 5.* 8. 8 .

                          48 5 8.+ 5.* *8++ 548+: 5.* 8.. 548+9 5.* 8.* 8 .

                            

                          8. 5 8. 5.* *8++ 5 8*4 5.* *8++ 5 8* 5.* *8++ 8 .

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