Estruturas Complexas Nilpotentes em Álgebras de Lie Solúveis

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  Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Estruturas Complexas Nilpotentes em ´ Algebras

de Lie Sol´ uveis.

  

Jaqueline Alexsandra de Souza Azevedo

  Salvador-Bahia Setembro de 2013 Estruturas Complexas Nilpotentes em ´ Algebras de Lie Sol´ uveis Jaqueline Alexsandra de Souza Azevedo

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Andr´e Lu´ıs Godinho Mandolesi.

  Salvador-Bahia Setembro de 2013 Azevedo, Jaqueline Alexsandra de Souza.

  Estruturas Complexas Nilpotentes em ´ Algebras de Lie Sol´ uveis / Ja- queline Alexsandra de Souza Azevedo. – Salvador, 2013. 56 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Andr´e Lu´ıs Godinho Mandolesi. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2013. Referˆencias bibliogr´aficas. 1. ´ Algebra Linear 2. ´ Algebras de Lie. 3. Estruturas Complexas.

I. Mandolesi, Andr´e Lu´ıs Godinho. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 512.81 Estruturas Complexas Nilpotentes em ´ Algebras de Lie Sol´ uveis .

  Jaqueline Alexsandra de Souza Azevedo

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 19 de setembro de 2013.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Andr´e Lu´ıs Godinho Mandolesi (Orientador) UFBA

  Prof. Dra. Rita de C´assia de Jesus Silva UFBA

  Prof. Dr. Evandro Carlos Ferreira dos Santos UFBA

  Este trabalho ´e dedicado aos meus pais Ana e Hil´ario e aos meus irm˜aos Carlos e Everton. Expresso minha gratid˜ao `as seguintes pessoas e institui¸c˜oes: `

  A CAPES, pelo apoio financeiro; `

  A secretaria e aos professores de p´os-gradua¸c˜ao do IM-UFBA, pela preocupa¸c˜ao em solucionar quest˜oes acadˆemicas nas quais eu estava diretamente envolvida; Ao meu orientador Andr´e Lu´ıs Godinho Mandolesi, pela confian¸ca e incentivo;

  ` A banca examinadora, pelas valorosas contribui¸c˜oes; Aos meus amigos do IM-UFBA, pelo apoio acadˆemico. E aos meus amigos de fora, pela compreens˜ao, os quais n˜ao citarei nomes para n˜ao cometer injusti¸cas; Aos meus pais Ana e Hil´ario e irm˜aos Carlos e Everton, pela paciˆencia, incentivo a persistˆencia e pela oportunidade que me deram de estudar.

  “Sucesso e genialidade, s˜ao 10 por cento de inspira¸c˜ao e 90 por cento de transpira¸c˜ao”

  (Albert Einstein) Considerando uma ´ Algebra de Lie (g, [., .]) com estrutura complexa J, ´e poss´ıvel definir em g um novo colchete Lie [∗] , de modo que se pode mostrar que os subespa¸cos J

  1,0 0,1

  g e g s˜ao sub´algebras de Lie isomorfas a (g, [∗] J ). Para tanto, neste trabalho ser˜ao consideradas apenas estruturas complexas integr´aveis.

  Ser´a mostrado tamb´em, que no caso em que essas sub´algebras forem nilpotentes, ent˜ao (g, [., .]) ser´a sol´ uvel. Nesse sentido, ser´a feita uma caracteriza¸c˜ao da ´ Algebras de Lie (g, [∗] ) com estrutura complexa s-passos nilpotente, afim de estudar o comportamento J do colchete de Lie original [., .], permitindo assim a constru¸c˜ao de exemplos de ´ Algebras de Lie de dim = 6.

  Tamb´em, ser´a mencionado o conceito de estrutura hipercomplexa, demonstrado alguns resultados alg´ebricos envolvendo tal estrutura e exemplificando em casos de ´ Algebras de Lie de dim = 8, afim de comentar sua importˆancia em outros contextos matem´aticos. Palavras-chave: ´ Algebras de Lie; estruturas complexas.

  Considering a Lie ´ Algebra (g, [., .]) with complex structure J, you can set in g,

  1,0 0,1

  a new Lie bracket [∗] , so that it is possible to show that the subspaces g and g are J Lie subalgebras isomorphic to the (g, [∗] J ). Therefore, this work will be considered only integrated complex structures.

  It will be shown also that in the case where these are nilpotent subalgebras, then (g[., .]) is soluble. Accordingly, there will be a characterization of Lie algebras (g, [∗]) with complex structure s-step nilpotent, in order to study the behavior of the original Lie bracket [., .], thus allowing the construction of examples of Lie algebras of dim = 6.

  Also, we mention the concept of hypercomplex structure, shown some results involving such algebraic structure and exemplifying in cases of Lie algebras of dim = 8, in order to comment on its importance in other mathematical contexts. Keywords: Lie ´ Algebras; Complex Structures.

  1 Introdu¸ c˜ ao

  3 Auto-espa¸ cos nilpotentes

  54 Referˆ encias

  4 Considera¸ c˜ oes Finais

  ´e nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

  ∗

  3.4 Exemplos em que g

  3.3 Caracteriza¸c˜ao de g∗ at´e dimens˜ao complexa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 37

  3.2 g ´e sol´ uvel se g ∗ ´e nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

  3.1 O colchete* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  31

  2.7 Estruturas Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  10

  2.6 Sub´algebra de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  2.5 Conjuga¸c˜ao entre ´ Algebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  2.4 Elementos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  2.3 Sub´algebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

  2.2 Representa¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

  2.1 ´

  12

  2 Conceitos b´ asicos

  56 Iniciado com os trabalhos de Sophus Lie no final do s´eculo XIX, as ´ Algebras de Lie surgiram com o prop´osito de estender uma teoria, an´aloga a teoria de Galois, ao estudo das equa¸c˜oes diferenciais. A id´eia de S. Lie de examinar os grupos de transforma¸c˜oes lineares como obtidos atrav´es de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias, foi importante como ponto de partida para a teoria que chamamos hoje de ” ´ Algebras de Lie”.

  Atualmente as ´ Algebras de Lie tˆem sido apontadas como um importante ele- mento de estudos, com aplica¸c˜oes em v´arios campos da Matem´atica e da F´ısica. Al´em de serem estruturas alg´ebricas extremamente atraentes por si mesmas, sua importˆancia se deve ao fato delas codificarem muitas informa¸c˜oes sobre a geometria dos Grupos de Lie correspondentes a elas.

  Em particular, recentemente tem surgido interesse no estudo de estruturas com- plexas em ´ Algebras de Lie nilpotentes e sol´ uveis, devido `a sua rela¸c˜ao com estruturas complexas e hipercomplexas em Grupos de Lie (ver [3]).

  Uma estrutura complexa em uma ´ Algebra de Lie real g ´e um endomorfismo J

  2

  tal que J = −I. No presente trabalho, veremos que no caso de uma estrutura complexa

  1,0 0,1

  integr´avel J sobre uma ´ Algebra de Lie real g, os auto-espa¸cos g e g associados aos C C autovalores i e −i, respectivamente, s˜ao sub´algebras complexas de g , onde g = C ⊗ g.

  Uma importante classe de estruturas complexas s˜ao as chamadas abelianas, que satisfazem [JX, JY ] = [X, Y ], para todo X, Y ∈ g. Em [6], I.Dotti e A. Fino provaram que tais estruturas s´o podem ocorrer em ´ Algebras de Lie sol´ uveis e em [3], M. Barberis e

  I. Dotti apresentaram uma caracteriza¸c˜ao das ´algebras sol´ uveis que admitem estruturas complexas abelianas.

  Em [2], A. Andrada, M. Barberis e I. Dotti estudaram a estrutura de Grupos de Lie que admitem estruturas complexas abelianas invariantes `a esquerda em termos de ´algebras associativas comutativas. Analisaram diferentes obst´aculos alg´ebricos em Grupos de Lie sol´ uveis que carregam estruturas complexas abelianas invariantes, al´em de estudar Grupos de Lie que admitem estruturas complexas abelianas invariantes `a esquerda. Nesse sentido, frisaram que uma estrutura Hermitiana ´e Kahler se, e somente se, o Grupo de Lie ´e produto direto de v´arias c´opias do plano real hiperb´olico por um fator euclidiano.

  1,0

  Em sua Tese de Doutorado [11], E. Licurgo considerou a situa¸c˜ao em que g

  0,1

  e g s˜ao nilpotentes, e mostrou que tamb´em nesse caso g deve ser sol´ uvel, sendo al´em disso obtida uma caracteriza¸c˜ao para ´ Algebras de Lie de dimens˜oes 2, 4 e 6. No presente trabalho detalhamos as demonstra¸c˜oes destes resultados, utilizando alguns procedimentos que esclareceram v´arias implica¸c˜oes.

  Ainda em [11], E. Licurgo e L.A.B. San Martin constru´ıram exemplos de ´ Algebras

  1,0 0,1

  de Lie g com estrutura complexa J para a qual os auto-espa¸cos g e g s˜ao ´ Algebras de a edifica¸c˜ao destes exemplos. Como base para a constru¸c˜ao desses exemplos, E. Licurgo e L.A.B. San Martin utilizaram manipula¸c˜oes alg´ebricas e, atrav´es delas descobriram como se comporta o colchete de Lie para uma dada base da ´ Algebra de Lie que satisfaz as condi¸c˜oes de alguns resultados obtidos por eles e apresentados em [12]. No presente trabalho, explanamos detalhadamente estas manipula¸c˜oes alg´ebricas sobre outra base da mesma ´ Algebra de Lie, afim de encontrar os mesmos resultados obtidos a menos de uma mudan¸ca de base.

  Uma variedade Hiper Kahler de Tor¸c˜ao (HKT) ´e uma variedade suave com es- trutura hipercomplexa {J , J , J } e m´etrica Riemaniana g, que ´e hyperhermitiana e

  1

  2

  3

  existe uma conex˜ao ▽, tal que ▽g = 0, ▽J i = 0 e o tensor de tor¸c˜ao T ´e tal que

  =1,2,3

  c(X, Y, Z) = g(X, T (Y, Z)) ´e uma 3-forma. Em [7], Isabel G. Dotti e A. Fino estudaram as estruturas Hiper Kahler de Tor¸c˜ao em Grupos de Lie 8-dimensionais. O conceito de estruturas hipercomplexas foi utilizado de modo a fundamentar os estudos sobre varie- dades Hiper Kahler de Tor¸c˜ao. Nesta disserta¸c˜ao, estudaremos o conceito de estruturas hipercomplexas e detalharemos a constru¸c˜ao de exemplos de estruturas hipercomplexas, tamb´em apresentados por E. Licurgo e L.A.B. San Martin em [11], abordando breves coment´arios a respeito de estruturas hipercomplexas sobre ´ Algebras de Lie nilpotentes 8-dimensionais, utilizando resultados obtidos em [8].

  Muitas quest˜oes continuam em aberto e diversos problemas precisar˜ao ser resolvi- dos at´e que tenhamos uma boa compreens˜ao de quais ´ Algebras de Lie admitem estruturas complexas integr´aveis, bem como uma classifica¸c˜ao de tais estruturas. Essa ´e portanto uma ´area de pesquisa promissora, e nessa disserta¸c˜ao faremos um levantamento de alguns principais resultados j´a obtidos.

  Estudaremos neste cap´ıtulo os conceitos b´asicos da teoria das ´ Algebras de Lie, que ser˜ao relevantes para fundamentar os resultados obtidos no cap´ıtulo seguinte. Nas primeiras se¸c˜oes estaremos interessados em defini¸c˜oes e propriedades de ´ Algebras de Lie, sub´algebras de Cartan e sub´algebras de Borel. Na ´ ultima se¸c˜ao introduziremos o conceito e algumas propriedades de estrutura complexa sobre uma ´ Algebra de Lie g e veremos a C rela¸c˜ao entre estruturas complexas integr´aveis e os ±i auto-espa¸cos de J em g .

  ´

2.1 Algebras de Lie

  Defini¸ c˜ ao 2.1. Uma ´ Algebra de Lie g ´e um espa¸co vetorial sobre um corpo K, munido de uma opera¸c˜ao bilinear, chamada colchete de Lie

  [. , .] : g × g −→ g que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: 1. anti-simetria:

  [X, X] = 0 (1) 2. identidade de Jacobi:

  [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0, (2) para todo X, Y, Z ∈ g.

  Exemplo 2.2. O conjunto gl(n, R) das matrizes reais n × n ´e uma ´ Algebra de Lie com colchete definido por [X, Y ] = XY − Y X. (3)

  Com efeito, gl(n, R) ´e um espa¸co vetorial com opera¸c˜oes usuais de soma e produto por n´ umeros reais. De (3) temos: [C, α A + α B] = C(α A + α

  B) − (α A + α B)C = α CA + α CB − α AC − α BC

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  = α (CA − AC) + α (CB − BC)

  1

  2

  = α [C, A] + α [C, B],

  1

  2

  para quaisquer A, B, C ∈ gl(n, R) e α , α ∈ R. Analogamente,

  1

  2

  [α A + α B, C] = α [A, C] + α [B, C].

  1

  2

  

1

  2 Isso mostra a bilinearidade de gl(n, R). Tamb´em, s˜ao satisfeitas as condi¸c˜oes (1) e (2)

  da defini¸c˜ao 2.1, para quaisquer matrizes A, B, C ∈ gl(n, R). De fato,

  [A, B] = AB − BA = −(BA − AB) = −[B, A] 2. identidade de Jacobi

  [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] =A[B, C] − [B, C]A + C[A, B] − [A, B]C+

  • B[C, A] − [C, A]B =ABC − ACB − BCA + CBA + CAB−

  − CBA − ABC + BAC + BCA − BAC− − CAB + ACB

  =0 Exemplo 2.3. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao n e gl(V ) o espa¸co das trans- forma¸c˜oes lineares de V . Como gl(V ) ´e isomorfo ao espa¸co das matrizes n×n, a opera¸c˜ao

  [T , T ] = T ◦ T − T ◦ T ,

  1

  2

  1

  2

  2

  1 com T e T ∈ gl(V ), define em gl(V ) um colchete de Lie.

  1

2 Exemplo 2.4. Seja g ´e um espa¸co vetorial. ´ E imediato verificar que a opera¸c˜ao

  [X, Y ] = 0, para quaisquer X, Y ∈ g, define um colchete de Lie em g. As ´ Algebras de Lie com colchetes assim s˜ao chamadas de ´algebras abelianas. Proposi¸ c˜ ao 2.5. Numa ´ Algebra de Lie tem-se que

  [X, Y ] = −[Y, X], (4) para quaisquer X, Y ∈ g.

  Demonstra¸c˜ao. Para quaisquer X, Y ∈ g temos que [X + Y, X + Y ] = 0.

  Segue da bilinearidade da ´ Algebra de Lie que [X, X] + [X, Y ] + [Y, X] + [Y, Y ] = 0. Portanto, [X, Y ] = −[Y, X].

  Note que, se o corpo K ´e de caracter´ıstica zero, ent˜ao a condi¸c˜ao (1) da defini¸c˜ao 2.1 e (4) s˜ao equivalentes. Defini¸ c˜ ao 2.6. Um subespa¸co h ⊂ g tal que [X, Y ] ∈ h se X, Y ∈ h ´e chamado de sub´algebra de g.

  sl (n, K) = {X ∈ gl(n, K) : trX = 0} ´e uma sub´algebra de gl(n, K). De fato, tr([X, Y ]) = tr(AB − BA) = tr(AB) − tr(BA) = 0.

  Algebra apenas por Portanto, [A, B] ∈ sl(n, K). Quando K = R ´e comum denotar esta ´ sl (n).

  Defini¸ c˜ ao 2.8. Um subespa¸co vetorial h ⊂ g, tal que [X, Y ] ∈ h se X ∈ g e Y ∈ h ´e chamado de ideal de g. Em particular, todo ideal de g ´e uma sub´algebra de g.

  Defini¸ c˜ ao 2.9. Seja g uma ´ Algebra de Lie e h ⊂ g um ideal. No espa¸co vetorial quociente g /h, defina

  [ ¯ X, ¯ Y ] = [X, Y ], onde ¯ X denota a classe X + h. A constru¸c˜ao desse colchete define em g/h uma estrutura de ´ Algebra de Lie. Defini¸ c˜ ao 2.10. Dada uma ´ Algebra de Lie g, podemos definir, por indu¸c˜ao, os seguintes subespa¸cos de g:

  (0)

  1

  g = g e g = g

  ′

  2

  g = [g, g] g = [g, g] ... ...

  (k) (k−1) (k−1) k k −1

  g = [g , g ] g = [g, g ], onde [a, b] denota o subespa¸co gerado por {[X, Y ]; X ∈ a, Y ∈ b}, se a e b s˜ao subconjuntos k

  (0) ′ (k)

  1

  2

  de g. Dizemos que g , g ,..., g ,... ´e a s´erie derivada de g e que g , g ,..., g ... ´e a s´erie central decrescente de g.

  (k) k

  Proposi¸ c˜ ao 2.11. Seja g uma ´ Algebra de Lie. Ent˜ao os subespa¸cos g e g s˜ao ideais de g, para todo k ≥ 1.

  Demonstra¸c˜ao. ´ Obvio que g ´e ideal de si pr´oprio. Ent˜ao, sejam i, j dois ideais n˜ao triviais P[X de g e sejam A = i , Y i ] e B ∈ g. Temos que X

  [A, B] = [[X i , Y i ], B], onde X ∈ i, Y ∈ j. Da identidade de Jacobi, segue que X [A, B] = [X i , [Y i , B]] − [Y i [X i , B]].

  Como i, j s˜ao ideais de g, segue da ´ ultima igualdade que [A, B] ∈ [i, j], isto ´e, [i, j] ´e ideal k

  (k) de g para quaisquer i, j ideais de g. Da´ı g e g s˜ao ideais de g para todo k ≥ 0.

  k k k (k) +1 +1

  Proposi¸ c˜ k ≥ 1.

  (k) k +1 (k) k +1

  Demonstra¸c˜ao. Se k = 0 ´e ´obvio que g ⊂ g . Para o caso k = 1, claro que g ⊂ g k k

  • 1 ′ 2 ′ ′

  2 (2)

  3

  e g ⊂ g . Como g = g , ´e claro que [g , g ] ⊂ [g, g ]. Da´ı g ⊂ g , isso prova a k

  (k−1)

  proposi¸c˜ao para o caso k = 2. Suponhamos, por indu¸c˜ao, que g ⊂ g . Ent˜ao, k k

  

(k) (k−1) (k−1) +1

  g k k k k = [g , g ] ⊂ [g, g ] = g .

  • 1 Tamb´em, g = [g, g ] ⊂ g , j´a que g ´e ideal de g.

  Defini¸ c˜ ao 2.13. Dada uma ´ Algebra de Lie g, dizemos que

  

(k)

  1. g ´e sol´ uvel se existir k ≥ 1, tal que g = {0} e k 2. g ´e nilpotente se existir k ≥ 1, tal que g = {0}.

  Defini¸ c˜ ao 2.14. Seja g uma ´ Algebra de Lie nilpotente. Dizemos que g ´e s-passos nilpo- k tente se s + 1 ´e o menor inteiro k tal que g = 0.

  Exemplo 2.15. Agora apresentaremos uma sub´algebra h de gl(3, R) chamada de ´algebra de Heisenberg e definida por       0 a b h = { 0 0 c : a, b, c ∈ R}   0 0 0

  Ela ´e uma ´ Algebra de Lie sol´ uvel. De fato,     0 0 b

  ′  

  h = { : b ∈ R}   0 0 0 0 0 0

  (2) e portanto, h = 0.

  2 ′

  3

  2

  ´ E f´acil ver que h ´e tamb´em nilpotente. Com efeito, h = h e h = [h, h ] = 0. Um fato relevante a se observar com rela¸c˜ao `a ´algebra de Heisenberg ´e que com respeito `a base                   0 1 0 0 0 0 0 0 1

  {e = , e = , e = }

  1 0 0 0      

2 0 0 1

3 0 0 0

  0 0 0 0 0 0 0 0 0

  [e , e ] = e

  1

  

2

  3 e o colchete dos demais elementos da base ´e nulo.

  Proposi¸ c˜ ao 2.16. Toda ´ Algebra de Lie nilpotente ´e tamb´em sol´ uvel. k

  (k) +1 Demonstra¸c˜ao. Isso decorre do fato de que g ⊂ g .

  Existe em g de dimens˜ao finita, um ´ unico ideal sol´ uvel chamado radical sol´ uvel, r (g) ⊂ g que cont´em todos os ideais sol´ uveis de g. Ver em [14]. Defini¸ c˜ ao 2.17. Dada uma ´ Algebra de Lie g, dizemos que g ´e semi-simples se o radical sol´ uvel de g ´e nulo, isto ´e, se n˜ao existem em g ideais sol´ uveis al´em do ideal nulo. Exemplo 2.18. A sub´algebra de Lie sl(2, R) = {X ∈ gl(2, R) : trX = 0} ´e semi-simples. De fato, considere a base de sl(2, R) " # " # " # 0 1 1 0 0 0

  {X = , Y = , Z = } 0 0 0 −1 1 0 Verifica-se facilmente que [X, Z] = Y [Y, X] = 2X [Y, Z] = −2Z.

  ′ ′

  Da´ı, que {X, Y, Z} ∈ sl(2, R) = [sl(2, R), sl(2, R)]. Portanto sl(2, R) = sl(2, R). Ra-

  (k)

  cioc´ınio an´alogo mostra que sl(2, R) = sl(2, R) para todo k ≥ 0. Com isso, sl(2, R) n˜ao ´e sol´ uvel.

  Al´em disso, todos os ideais de sl(2, R) s˜ao triviais. De fato, seja h ⊂ sl(2, R) um ideal. Tome W ∈ h e escreva W = aX + bY + cZ, com a, b e c reais n˜ao simultaneamente nulos. Obtemos [W, X] = cY − 2bX e [X, [X, W ]] = −2bZ.

  Se b 6= 0, temos que Z ∈ h, j´a que h ´e ideal. Com isso, Y = [X, Z] ∈ h, e por fim

  1 X = [Y, X] ∈ h.

  2 −1 Se b = 0 e c 6= 0, temos Y = [W, X] ∈ h. c

  Se b = c = 0, nos resta W = aX, e ainda assim teremos X ∈ h. E de qualquer modo, {X, Y, Z} ∈ h, isto ´e h = sl(2, R). Conclu´ımos que sl(2, R) ´e semi-simples. As ´ Algebras de Lie mais palp´aveis s˜ao as ´ Algebras sl(n, R), por essa raz˜ao ´e muito comum utiliz´a-las para ilustrar resultados de ´ Algebras de Lie semi-simples em geral. Defini¸ c˜ ao 2.19. Sejam g e h ´ Algebras de Lie. Uma transforma¸c˜ao linear φ : g −→ h ´e um homomorfismo se φ[X, Y ] = [φX, φY ], para todo X, Y ∈ g.

  Defini¸ c˜ ao 2.20. Sejam g uma ´ Algebra de Lie, V um espa¸co vetorial e gl(V) a ´ Algebra de Lie das transforma¸c˜oes lineares de V . Uma representa¸c˜ao de g em V ´e um homomorfismo ρ : g −→ gl(V ).

  Um tipo de representa¸c˜ao interessante ao nosso estudo ´e a representa¸c˜ao adjunta de g, que ´e dada por ad : g −→ gl(g)

  X 7−→ ad(X), onde ad(X)(Y ) = [X, Y ], para todo X, Y ∈ g. ´

  E f´acil ver que ad(X) e ad s˜ao transforma¸c˜oes lineares. E ad ´e homomorfismo por causa da identidade de Jacobi. De fato, ad[X, Y ](Z) = [[X, Y ], Z]

  = [X, [Y, Z] + [[X, Z], Y ] = ad(X)ad(Y )(Z) − ad(Y )ad(X)(Z) = [ad(X), ad(Y )](Z).

  A ´ ultima igualdade segue do colchete de Lie definido no exemplo 2.3. Exemplo 2.21. Podemos construir a representa¸c˜ao adjunta de sl(n) do seguinte modo. Considere a base " # " # " # 0 1 1 0 0 0

  {X = , Y = , Z = } 0 0 0 −1 1 0 de sl(2, R). Tomando H = aX + bY + cZ, temos que " # " # 0 2b −c 0

  • ad(H)X = [H, X] = a[X, X] + b[Y, X] + c[Z, X] = = 2bX − cY. 0 0 c

  Analogamente, " # " # 0 −2a

  • ad(H)Y = [H, Y ] = a[X, Y ] + b[Y, Y ] + c[Z, Y ] = = −2aX + 2cZ 0 0 2c 0 e
  • " # " #ad(H)Z = [H, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z] + c[Z, Z] = = aY − 2bZ. 0 −a 2b 0

  " #   2b −2a b a    

  ∈ sl(2, R) 7−→ ∈ gl(3, R)   −c a c −b 2c −2b ´e a representa¸c˜ao adjunta de sl(2, R).

  Defini¸ c˜ ao 2.22. Seja g uma ´ Algebra de Lie. Uma representa¸c˜ao ρ de g no espa¸co vetorial n V ´e uma representa¸c˜ao nilpotente se ρ(X) ´e nilpotente (isto ´e, ρ(X) = 0 para algum n ∈ N) para todo X ∈ g.

  Teorema 2.23. (Engel) Seja g uma ´ Algebra de Lie. g ´e nilpotente se, e somente se, ad(X) ´e nilpotente, para todo X ∈ g. Demonstra¸c˜ao. Ver em [14]. Proposi¸ c˜ ao 2.24. Seja h ⊂ g uma sub´algebra nilpotente de g. A representa¸c˜ao adjunta de h em si mesma ´e nilpotente. Demonstra¸c˜ao. Note que ad : h −→ gl(h)

  Y 7−→ ad(Y ) : h −→ h. Se a sub´algebra h ⊂ g ´e nilpotente, segue do teorema de Engel que ad(Y) ´e nilpotente, para todo Y ∈ h. A afirma¸c˜ao segue imediatamente da defini¸c˜ao de representa¸c˜oes nilpotentes.

  O conceito de peso, que consideraremos relevante para importantes efeitos poste- riores, ser´a constru´ıdo a partir dos resultados que seguem. Considere V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sobre um corpo K e seja

  T : V −→ V uma transforma¸c˜ao linear, cuja fatora¸c˜ao do polinˆomio minimal ´e dada r 1 r k por m T (t) = p

  1 (t) . . . p k (t) . O Teorema da Decomposi¸c˜ao Prim´aria decomp˜oe V numa

  soma direta de subespa¸cos invariantes por T na forma V = V ⊕ . . . ⊕ V s

  1

  que s˜ao os auto-espa¸cos generalizados k V i = {v ∈ V : p i (T ) v = 0 para algum k ≥ 1}

  No caso em que K ´e algebricamente fechado, temos p (T ) = T − λ , com λ i i i autovalor de T e os subespa¸cos da decomposi¸c˜ao prim´aria s˜ao escritos como k

  Destacaremos a rela¸c˜ao que estes auto-espa¸cos tem com os autovalores de T denotando-os por V λ i . Proposi¸ c˜ ao 2.25. Suponha que o corpo de escalares ´e algebricamente fechado. Sejam T e T transforma¸c˜oes lineares de V e V λ os auto-espa¸cos generalizados de T . Ent˜ao

  1 2 i q

  1 T (V λ ) ⊂ V λ para todo i se e s´o se ad(T ) (T ) = 0 para algum q ≥ 1. 2 i i

  1

  2 Demonstra¸c˜ao. Ver [14].

  Se g ´e uma ´ Algebra de Lie nilpotente e ρ uma representa¸c˜ao de g em V , dados q q X, Y ∈ g temos ad(X) (Y ) = 0 para algum q ≥ 1, e portanto ad(ρ(X)) (ρ(Y )) = 0.

  Fixando X ∈ g, podemos considerar a decomposi¸c˜ao prim´aria de V numa soma direta de subespa¸cos generalizados de ρ(X) na forma V = V ⊕ . . . ⊕ V s

  1 q

  Da proposi¸c˜ao anterior e de ad(ρ(X)) (ρ(Y )) = 0, temos que cada subespa¸co V ´e ρ(Y )-invariante para todo Y ∈ g e, portanto, g se representa em cada um deles. i Ent˜ao podemos tomar a decomposi¸c˜ao prim´aria de V i como soma direta de subespa¸cos invariantes por restri¸c˜oes de ρ(Y ), com Y ∈ g. Temos dois casos a considerar:

  ◦

  1 caso Se V ´e gerado por um ´ unico elemento, imediatamente teremos ρ(Y ) = λ (Y )v, i i para v ∈ V i . E da´ı que

  (ρ(Y ) − λ i (Y ))v = 0.

  ◦

  2 caso Se algum V i se decomp˜oe para algum ρ(Y ), podemos tomar uma nova decom- posi¸c˜ao de V e repetir o argumento anterior. Como a cada nova decomposi¸c˜ao a dimens˜ao dos subespa¸cos diminui, ap´os finitos passos obtemos uma decomposi¸c˜ao final

  V = W ⊕ . . . ⊕ W n,

  1

  tal que dado Y ∈ g, i = 1, ..., n, existe autovalor λ i (Y ) para ρ(Y ) tal que W i est´a contido no auto-espa¸co generalizado associado a λ i (Y ) e segue da decomposi¸c˜ao prim´aria, que se v ∈ W i k

  (ρ(Y ) − λ (Y )) v = 0 i para algum k ≥ 1.

  k i

  que para todo X ∈ g (ρ i (X) − λ i (X)) v = 0, para algum k, sempre que v ∈ V λ . Isto ´e i ρ i (X) − λ i (X) ´e nilpotente para todo X ∈ g. E da´ı que tr(ρ i (X) − λ i (X)) = 0 e trρ i (X)

  λ i (X) = . dim V λ i Com isso mostramos facilmente que λ i ´e linear.

  Com tudo que vimos, segue o teorema abaixo. Teorema 2.26. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sobre K, um corpo alge- bricamente fechado, e ρ uma representa¸c˜ao de g, uma ´ Algebra de Lie nilpotente, em V .

  Ent˜ao existem funcionais lineares λ ,..., λ de g tais que se

  1 s n

  V λ = {v ∈ V ; ∀X ∈ g, ∃ n ≥ 1 | (ρ(X) − λ i (X)) v = 0}, i ent˜ao V λ ´e invariante pela representa¸c˜ao ρ, isto ´e ρ(X)(V λ ) ⊂ V λ , ∀X ∈ g, 1 ≤ i ≤ s e i i i V = V λ ⊕ · · · ⊕ V λ s . 1 Demonstra¸c˜ao. A discuss˜ao acima j´a garante a existˆencia dos subespa¸cos W , . . . , W

  1 s

  invariantes pela representa¸c˜ao ρ, e aplica¸c˜oes lineares λ i : g −→ K tais que V = W ⊕ . . . ⊕ W s ,

  1 e W i ⊂ V λ como no enunciado. i

  Se houver v´arios W s em um mesmo V λ podemos som´a-los em um ´ unico W i ⊂ V λ , i i e agora podemos tomar λ i 6= λ j , sempre que i 6= j. Os funcionais lineares λ i − λ j s˜ao n˜ao nulos, ent˜ao podemos tomar X ∈ g n˜ao nulo, tal que λ (X) 6= λ (X), para i j i 6= j. Para X dessa forma, cada λ (X) ´e autovalor de ρ(X). Seja V seu auto-espa¸co i λ i (X) correspondente. Sabemos que auto-espa¸cos correspondentes a autovalores distintos s˜ao disjuntos, e W i ⊂ V λ , ent˜ao de V = W ⊕ . . . ⊕ W s segue que W i = V λ . Mas, por i (X)

  1 i (X) defini¸c˜ao, V λ i (X) ⊃ V λ i , logo W i ⊃ V λ i . Portanto, W i = V λ i .

  O teorema 2.26 motiva a seguinte defini¸c˜ao. Defini¸ c˜ ao 2.27. Um funcional linear λ : g −→ K para o qual n 0 6= V λ = {v ∈ V ; ∀X ∈ g, ∃ n ≥ 1, (ρ(X) − λ(X)) v = 0}

  ´e chamado de peso . O subespa¸co V ´e dito subespa¸co de peso associado a λ. λ Observa¸ c˜ ao 2.28. O teorema 2.26 garante que representa¸c˜oes de ´ Algebras de Lie nil- potentes e de dimens˜ao finita admitem pesos, no caso em que o corpo dos escalares ´e algebricamente fechado.

  Defini¸ c˜ de deriva¸c˜ao, se satisfaz D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X, DY ], para todo X, Y ∈ g.

  Exemplo 2.30. Seja g uma ´ Algebra de Lie e seja X ∈ g. A identidade de Jacobi nos permite concluir que a aplica¸c˜ao linear ad(X) : g −→ g ´e uma deriva¸c˜ao. Proposi¸ c˜ ao 2.31. Seja g uma ´ Algebra de Lie de dimens˜ao finita sobre um corpo algebri- camente fechado. Se D : g −→ g ´e uma deriva¸c˜ao e g

  = g λ ⊕ . . . ⊕ g λ m 1 ´e a decomposi¸c˜ao prim´aria de g, onde n g λ = {X ∈ g : (D − λ i ) X = 0 para algum n ≥ 1}, i ent˜ao [g λ , g λ ] ⊂ g λ e g λ = 0 se λ i + λ j n˜ao ´e autovalor de D. i j i +λ j i +λ j

  Demonstra¸c˜ao. Vamos fixar g λ i como na decomposi¸c˜ao da proposi¸c˜ao e tome X = 0. Se X ∈ g , ent˜ao ∃ n ≥ 1, tal que λ i n n −1 0 = (D − λ i ) X = (D − λ i )(D − λ i )

  X. n −1 Considere o menor inteiro n que satisfaz a condi¸c˜ao acima. Chamando X = (D−λ i ) X,

  1

  obteremos (D − λ i )X n n n 1 = 0 = X , isto ´e, DX 1 = X + λ i

  X

  1 . Mais uma vez, vamos chamar −2 −1 −2

  (D −λ ) X = X , temos que X = (D −λ ) X = (D −λ )(D −λ ) X = (D −λ )X , i

  2 1 i i i i

  2

  isto ´e, DX = X + λ i X . Repetindo o racioc´ınio, podemos obter conjuntos {X , . . . , X s }

  2

  1

  2

  1

  linearmente independentes, tais que DX j = X j −1 + λ i X j j = 1, . . . , s (X = 0), e existe uma base de g formada por tais conjuntos. Sejam {X , . . . , X } ⊂ g e λ i

  1 s λ i

  {Y , . . . , Y t } ⊂ g λ conjuntos linearmente independentes como acima. Mostraremos por

  1 j

  indu¸c˜ao sobre k + l que [X k , Y l ] ∈ g λ k = 1, . . . , s l = 1, . . . , t. i +λ j Como D ´e uma deriva¸c˜ao, temos

  D[X , Y ] = [DX , Y ] + [X , DY ] k l k l k l = [X k + λ i X k , Y l ] + [X k , Y l + λ j Y l ]

  −1 −1

  = [X k , Y l ] + [X k , Y l ] + (λ i + λ j )[X k , Y l ],

  −1 −1

  (D − (λ i + λ j ))[X k , Y l ] = [X k , Y l ] + [X k , Y l ].

  −1 −1 Se k = l = 1, obtemos (D − (λ + λ ))[X , Y ] = 0, ent˜ao [X , Y ] ∈ g . i j

  1

  1

  1 1 λ i +λ j

  A hip´otese de indu¸c˜ao ´e que [X k , Y l ] ∈ g λ e [X k , Y l ] ∈ g λ .

  −1 i +λ j −1 i +λ j q r

  Ou seja, [X k , Y l ] ∈ Ker(D − (λ i + λ j )) , para algum q e [X k , Y l ] ∈ Ker(D − (λ i + λ j )) ,

  −1 −1 n

  para algum r. De onde afirmamos que [X k −1 , Y l ] + [X k , Y l −1 ] ∈ Ker(D − (λ i + λ j )) , n = max{q, r}.

  Portanto, n 0 = (D − (λ i + λ j )) ([X k , Y l ] + [X k , Y l ]) n −1 −1

  • +1

  = (D − (λ i + λ j )) [X k , Y l ], isto ´e, [X , Y ] ∈ g . k l λ i +λ j Considere a deriva¸c˜ao ad(X), para cada X ∈ g, na proposi¸c˜ao acima. Sempre podemos admitir a existˆencia do auto-espa¸co generalizado n˜ao-nulo g (X) associado ao autovalor λ = 0, j´a que ad(X)X = 0, e da´ı X ∈ g (X).

2.3 Sub´ algebras de Cartan

  Agora, introduziremos o conceito de sub´algebra de Cartan, a fim de nos auxiliar na constru¸c˜ao de alguns resultados contidos no decorrer do nosso trabalho. Defini¸ c˜ ao 2.32. Seja g uma ´ Algebra de Lie. Uma sub´algebra h ⊂ g ´e dita sub´algebra de Cartan de g se satisfaz

  1. h ´e nilpotente e 2. seu normalizador em g ´e o pr´oprio h,isto ´e, {X ∈ g; ad(X)h ⊂ h} = h. Esta condi¸c˜ao ´e equivalente a

  2’. Se X ∈ g e [X, h] ⊂ h ent˜ao X ∈ h Exemplo 2.33. Considere a ´ Algebra de Lie g = gl(2, R). Ent˜ao, o conjunto das matrizes ! a 0 diagonais h = { } ´e uma sub´algebra de Cartan de g. De fato, ´e f´acil ver que h ´e 0 b

  ! α β nilpotente, pois ´e abeliano. Ainda, se X = , temos ! ! ! γ θ a 0 α β (a − b)β

  [ , ] = 0 b γ θ (b − a)γ e este colchete est´a em h se, e s´o se, γ = β = 0. Da´ı, X ∈ h.

  Seja h ⊂ g uma sub´algebra de Cartan. No teorema (2.26), vamos tomar V = g e ρ a representa¸c˜ao adjunta de h em g. Como a representa¸c˜ao adjunta de h em si mesma ´e nilpotente, o funcional nulo ´e sempre um peso dessa representa¸c˜ao. Denotamos por g o subespa¸co correspondente.

  Teorema 2.34. Seja V 6= 0 um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e g ⊂ gl(V ) uma sub´algebra. Suponha que todo X ∈ g ´e nilpotente. Ent˜ao, existe v ∈ V, v 6= 0 tal que Xv = 0 para todo X ∈ g. Demonstra¸c˜ao. Seja dim g = 1 e X ∈ g, X 6= 0. Como X ´e nilpotente, existe k ≥ 1 tal que k k k

  −1 −1

  X = 0 e X 6= 0. Seja ω ∈ V tal que X ω = υ 6= 0. Ent˜ao Xυ = 0, o que mostra o resultado acima para as ´ Algebras de Lie de dimens˜ao um. A demonstra¸c˜ao segue por indu¸c˜ao sobre a dimens˜ao de g e est´a detalhadamente contida em [14]. Proposi¸ c˜ ao 2.35. Sob as condi¸c˜oes da defini¸c˜ao 2.32, h = g . Demonstra¸c˜ao. Da discuss˜ao acima, temos n g = {X ∈ g; ∀H ∈ h; (ad(H)) (X) = 0} A representa¸c˜ao adjunta de h em g ´e nilpotente, e induz uma representa¸c˜ao tamb´em nilpotente,

  ρ : h −→ gl(g /h) H 7−→ ρ(H) : g /h −→ g /h. v + h 7−→ ad(H)v + h, isto ´e, a transforma¸c˜ao linear ρ(H) ´e nilpotente, para todo H ∈ h.

  Pelo teorema 2.34, existe ˜ v ∈ g /h n˜ao nulo, que ´e autovetor simultˆaneo de ρ(H) para todo H ∈ h, com ρ(H)˜ v = ˜0 ≡ h. Seja v ∈ g tal que ˜ v = v + h. Como h = ρ(H)˜ v = ad(H)v + h, nos resta que ad(H)v ∈ h. Ent˜ao v est´a no normalizador de h , que ´e o pr´oprio h, da´ı v ∈ h. Isso significa que ˜ v = ˜0, que n˜ao ´e autovetor. Nos resta g

  /h = 0, isto ´e g = h.

  Q. Segue do Teorema 2.26 e da afirma¸c˜ao acima, que Seu conjunto ser´a denotado por dada uma ´ Algebra de Lie g de dimens˜ao finita sobre o corpo dos complexos, dada uma sub´algebra de Cartan h de g e denotando por Q o conjunto de ra´ızes do par (h,g), podemos escrever X g = h ⊕ g λ ,

n

λ ∈ Q onde g λ = {X ∈ g; ∀H ∈ h; (ad(H) − λ(H)) (X) = 0, para algum n ≥ 1}.

2.4 Elementos regulares

  Seja g uma ´ Algebra de Lie n-dimensional. Para definir um elemento regular, tome X ∈ g. Denotaremos por p o o polinˆomio caracter´ıstico de ad(X) da forma X n n −1 p X (λ) = λ + p n (X)λ + . . . + p (X)λ + p (X),

  −1

  1

  onde cada p i (· ) ´e um polinˆomio de grau n − i nas coordenadas de X, j´a que os coeficientes do polinˆomio caracter´ıstico s˜ao polinˆomios no espa¸co das transforma¸c˜oes lineares e ad ´e linear em X. Em geral, esses coeficientes s˜ao dados pelo tra¸co de algum produto exterior da transforma¸c˜ao linear.

  Defini¸ c˜ ao 2.36. O posto de uma ´ Algebra de Lie de dimens˜ao finita ´e o menor ´ındice i em que p i n˜ao ´e identicamente nulo, onde p i denota, os coeficientes do polinˆomio carac- ter´ıstico. Um elemento X ∈ g ´e dito regular se p i (X) 6= 0 onde i ´e o posto de g.

  A ´ Algebra de Cartan ´e exatamente o subespa¸co g que aparece na decomposi¸c˜ao prim´aria da transforma¸c˜ao linear ad(X), para um elemento regular X gen´erico em h. Exemplo 2.37. Seja sl(2, R) com a base " # " # " # 0 1 1 0 0 0

  {X = , Y = Z = } 0 0 0 −1 1 0 Tomando H = aX + bY + cZ, a matriz de sua adjunta nesta base ´e       2b −2a ad(H) = −c a  

  2c −2b

  3

  2

  e, portanto, p H (λ) = λ − 4(b + ac)λ. Da defini¸c˜ao acima, temos que o posto de sl(2, R)

  2

  ´e um e H ´e elemento regular se e s´o se b + ac 6= 0. Em particular Y ´e um elemento regular. racter´ıstica zero e h ⊂ g uma sub´algebra de Cartan. Ent˜ao, existe um elemento regular X ∈ h.

  Antes de demonstrar o teorema acima, faremos uma breve discuss˜ao sobre a a¸c˜ao dos automorfismos sobre as sub´algebras de Cartan.

2.5 Conjuga¸ c˜ ao entre ´ Algebras de Cartan

  Defini¸ c˜ ao 2.39. Duas sub´algebras de Cartan s˜ao ditas conjugadas, se uma ´e a imagem da outra por automorfismo de g.

  Apresentaremos agora um fato relevante, que se refere a ´ Algebras de Cartan, a ser utilizado no capitulo seguinte. Teorema 2.40. Numa ´ Algebra de Lie sobre um corpo algebricamente fechado, as sub´algebras de Cartan s˜ao duas a duas conjugadas por automorfismos.

  Demonstraremos este resultado por procedimento puramente alg´ebrico. Nesse sentido, vamos recorrer ao Teorema Polinomial da Aplica¸c˜ao Aberta. Por quest˜oes did´aticas, ´e conveniente comentar com alguns detalhes as propriedades b´asicas dos polinˆomios sobre espa¸cos vetoriais sobre um corpo K algebricamente fechado e de caracter´ıstica zero .

  Defini¸ c˜ ao 2.41. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sobre K. Um polinˆomio em V ´e uma aplica¸c˜ao p : V −→ K que ´e constante ou pode ser escrita como soma de produto finitos de funcionais lineares de V . O conjunto dos polinˆomios ser´a chamado de K [V ].

  Defini¸ c˜ ao 2.42. Seja agora, W outro espa¸co vetorial sobre o corpo K. Uma aplica¸c˜ao P : V −→ W ´e dita polinomial se λ ◦ P ´e um polinˆomio em V para todo funcional linear λ ∈ K.

  O Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta ´e utilizado para garantir que a imagem de um aberto por uma aplica¸c˜ao que possui diferencial sobrejetora cont´em um conjunto aberto. No contexto alg´ebrico, um conjunto ´e aberto se for o complementar do conjunto dos zeros de um polinˆomio. Neste sentido enunciamos o teorema da Aplica¸c˜ao Aberta a aplica¸c˜oes polinomiais. Teorema 2.43. (Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta a aplica¸c˜oes polinomiais)

  Seja P : V −→ W uma aplica¸c˜ao polinomial e suponha que dP x ´e sobrejetora para algum x ∈ V . Seja p um polinˆomio n˜ao-nulo em V . Ent˜ao, exite um polinˆomio q ∈ K[W ] tal que para todo y ∈ W tal que q(y) 6= 0 existe x ∈ V com p(x) 6= 0 e tal que P (x) = y.

  Nossa inten¸c˜ao aqui, ´e aplicar o Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta para aplica¸c˜oes polinomiais a transforma¸c˜ao ad (X) (X, Y ) 7−→ e Y, ad (X) n P

  1 onde e = ad(X) . n

  ≥0

  n! k Como as sub´algebras de Cartan s˜ao nilpotentes, temos que ad(X) = 0, para algum k ≥ 0. Com isso, ´e suficiente considerar exponenciais que s˜ao dadas por somas finitas.

  Proposi¸ c˜ tD ao 2.44. Seja g uma ´ Algebra de Lie. Se D ´e uma deriva¸c˜ao nilpotente de g, ent˜ao e ´e um automorfismo de g, para todo t ∈ K. Demonstra¸c˜ao. Dados X, Y ∈ g, considere as curvas

  α : K −→ g β : K −→ g tD tD tD t 7−→ e [X, Y ] t 7−→ [e X, e Y ] Como D ´e nilpotente, essas curvas s˜ao polinomiais.

  Derivando, temos tD

  ′ α (t) = De [X, Y ] = Dα(t). tD

  Considerando as transforma¸c˜oes T tD

  

1 e T

2 dadas respectivamente por T 1 (t) = e

  X e T (t) = e Y ,utilizando o colchete do exemplo 2.3, obtemos

  2 ′ ′

  β (t) = [T , T ]

  1 2 t

′ ′

  = [T , T

  

2 ] t + [T

1 , T ] t

  1 t t t t

  2

  = [De X, e Y ] + [e X, De Y ] = Dβ(t)

  Ora, como α(0) = β(0) as duas curvas satisfazem o mesmo Problema de Valor Inicial. Ent˜ao, segue do teorema de Unicidade de Solu¸c˜ao que α(t) = β(t) ∀ t ∈ K. Isto ´e, tD tD tD e [X, Y ] = [e X, e Y ].

  Tamb´em, tD tr (tD) det e = e = 1, t j´a que o tra¸co de uma transforma¸c˜ao linear nilpotente se anula. Portanto, e D ´e um isomorfismo. g λ e Y num subespa¸co de ra´ızes g λ , segue da proposi¸c˜ao 2.31 que [X, Y ] ∈ g λ , isto i j k i +λ j ´e, ad(X)Y ∈ g λ i +λ j . Por indu¸c˜ao sobre k ≥ 1, temos ad(X) Y ∈ g k.λ i +λ j . Mas, existe k um n´ umero finito de ra´ızes, ent˜ao existe k ≥ 1, tal que ad(X) Y = 0, e da´ı que ad(X) ´e nilpotente.

  O Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta ser´a explorado no seguinte contexto. Sejam

  ′

  {X

  1 , ..., X n } uma uni˜ao de bases dos g s e {H n λ 1 , ..., H m } uma base de h. A aplica¸c˜ao

  ϕ : K × h −→ g t ad t ad t n ad n 1 (X 1 ) 2 (X 2 ) (X ) n (t, H) 7−→ e .e . . . e (H), onde t = (t

  1 , ..., t n ) ∈ K ´e uma aplica¸c˜ao polinomial, pois ad(X i ) ´e nilpotente para cada i = 1, ..., n e ϕ ´e linear em H.

  Tomando as derivadas parciais em rela¸c˜ao a t i , tem-se ∂ϕ

  (0, H) = ad(X i )(H) = −[H, X i ] = −λ i (H)X i , ∂t i onde λ i ´e a raiz correspondente a X i . Complementando essas derivadas parciais com as derivadas direcionais na dire¸c˜ao de H ∈ h, vˆe-se que dϕ ´e sobrejetiva se λ(H) 6= 0

  (0,H) para toda raiz λ. n

  Seja p um polinˆomio n˜ao nulo em K × h com p = p i ◦ ϕ, onde p i (X) ´e polinˆomio n˜ao nulo em g que ´e o coeficiente do termo de menor grau do polinˆomio caracter´ıstico de ad(X), e i ´e o posto de g. Segue do Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta que existe q ∈ K(g), n tal que dado Y ∈ g com q(Y ) 6= 0 existe (t, H) ∈ K × h com p(t, H) 6= 0 e ϕ(t, H) = Y .

  Agora, 0 6= p(t, H) = p i (ϕ(t, H)) = p i (Y ) e da´ı que Y ´e regular. De modo que H tamb´em ´e regular, pois t ad t ad t n ad n 1 (X 1 ) 2 (X 2 ) (X ) Y = e .e . . . e (H) e imagens de elementos regulares por automorfismos s˜ao regulares. Isso mostra que h cont´em elementos regulares. Como quer´ıamos no teorema 2.38.

  Com tudo que vimos, para toda sub´algebra de Cartan dada, existe um polinˆomio n˜ao nulo q ∈ g tal que o conjunto C q = {Y ∈ g : q(Y ) 6= 0}

  ´e formado por elementos regulares e para todo Y ∈ C q , existe um automorfismo ψ de g tal que ψ(Y ) ∈ h.

  ′ ′

  Tome outra sub´algebra de Cartan h , tem-se um polinˆomio q com mesmas pro-

  ′ ′ priedades. Como qq ´e um polinˆomio n˜ao nulo, existe Y ∈ g tal que q(Y ) 6= 0 6= q (Y ).

  ′ ′ ′

  Para este Y existem ψ e ψ tais que ψ(Y ) ∈ h e ψ (Y ) ∈ h , e da´ı que

  

′ −1 ′

ψ ψ (ψ(Y )) ∈ h .

  ′ −1 ′ ′

  de h por automorfismo, isto ´e, duas sub´algebras de Cartan s˜ao conjugadas entre si por automorfismos de g.

2.6 Sub´ algebra de Borel

  Nosso objetivo agora ´e definir a sub´algebra de Borel. O primeiro passo consiste numa discuss˜ao sobre a ordem lexicogr´afica em espa¸cos vetoriais. Defini¸ c˜ ao 2.45. Seja V um espa¸co vetorial sobre o corpo ordenado K e {v

  1 , ..., v n } uma

  base de V . Sejam v, w ∈ V escritos na forma v = a v + ... + a n v n

  1

  1

  w = b v + ... + b n v n ,

  1

  1

  com a i , b i ∈ K. A ordem lexicogr´afica em V em rela¸c˜ao a base {v

  1 , ..., v n } ´e dada por

  v ≤ w se v = w ou se a < b , onde i representa o primeiro ´ındice em que as coordenadas i i de v e w s˜ao diferentes. Essa ordem define de fato uma ordem que ´e compat´ıvel com a estrutura de espa¸co vetorial (isto ´e, v ≤ w ⇒ v + u ≤ w + u e xv ≤ xw se x > 0 e v ≤ w). Exemplo 2.46. A rela¸c˜ao R = {(a + bi, c + di) : b < d ou b = d e a ≤ c}, definida no conjunto dos n´ umeros complexos, ´e uma ordem lexicogr´afica para o conjunto C. Conside- rando z = −5 − i, z = 6 − i, z = −2 + 3i, z = 3 + 3i e z = −2 + 4i, temos a seguinte

  1

  2

  3

  4

  5 ordem lexicogr´afica z ≤ z ≤ z ≤ z ≤ z .

  1

  2

  3

  4

  5 Q +

  Q o conjunto de todas as ra´ızes positivas. Isto ´e, o Denotaremos por ⊂ conjunto dos pesos n˜ao-nulos da representa¸c˜ao adjunta de h em g que s˜ao funcionais lineares no espa¸co vetorial h que levam todo elemento positivo X ∈ h (escolhendo uma ordem lexicogr´afica em h) em um elemento n˜ao-negativo em C (escolhendo uma ordem lexicogr´afica no conjunto C).

  • Q
  • Defini¸ c˜

  Q, seja b = h ⊕ n ao 2.47. Para uma escolha de ra´ızes positivas ⊂ , onde

  • P
  • Qλ + n = g . A sub´algebra b de g ´e chamada de sub´algebra de Borel gerada por . λ

  ∈

  Observa¸ c˜ ao 2.48. Em ´ Algebras de Lie semi-simples as sub´algebras de Borel s˜ao jus- tamente as sub´algebras sol´ uveis maximais, no sentido que toda sub´algebra sol´ uvel est´a contida em alguma sub´algebra de Borel. Ainda todas as sub´algebras maximais s˜ao conju- gadas por um automorfismo interno de g a sub´algebra b. Ver ([11])

  Defini¸ c˜ ao 2.49. Seja g uma ´ Algebra de Lie. Dizemos que g ´e uma ´ Algebra de Lie complexa se for espa¸co vetorial complexo e [iX, Y ] = i[X, Y ], para todo X, Y ∈ g.

  Defini¸ c˜ ao 2.50. Uma estrutura complexa sobre uma ´ Algebra de Lie real g ´e um endo-

  2

  morfismo J do espa¸co vetorial g tal que J = −I. No que segue vamos supor sempre que J ´e integr´avel, isto ´e, N J = 0, onde N J ´e o tensor de Nijenhuis de J: N (X, Y ) = J[X, Y ] − [JX, Y ] − [X, JY ] − J[JX, JY ]. J Defini¸ c˜ ao 2.51. Dizemos que uma estrutura complexa J sobre g ´e adaptada se

  [JX, Y ] = J[X, Y ]. para todo X, Y ∈ g. Observa¸ c˜ ao 2.52. Se J ´e uma estrutura complexa adaptada, ent˜ao J ´e integr´avel. De fato,

  2 J[X, Y ] − [JX, Y ] − [X, JY ] − J[JX, JY ] = J[X, Y ] − J[X, Y ] − J[X, Y ] − J [X, JY ]

  = J[X, Y ] − J[X, Y ] − J[X, Y ] + J[X, Y ] = 0

  Observa¸ c˜ ao 2.53. No caso de J ser uma estrutura complexa adaptada g passa a ser uma ´

  Algebra de Lie Complexa se definirmos a multiplica¸c˜ao por escalares complexos atrav´es de J. Tomado iX ≡ JX, temos [iX, Y ] = [JX, Y ] = J[X, Y ] = i[X, Y ]. g

  A princ´ıpio, vamos considerar g como espa¸co vetorial real, dim = n. Sejam

  R

  {1, i}, {X , ..., X } bases de C e g, respectivamente. A complexificada de g ´e dada por

  1 n C g = C ⊗ g. C C

  Ent˜ao, {X , ..., X n , iX , ..., iX n } constitui uma base de g , dim g = 2n e podemos C

  1

  1 R C

  escrever g = g ⊕ ig. Se g ´e ´ Algebra de Lie real, ´e f´acil estender o colchete de Lie a g de modo que ela se torne uma ´ Algebra de Lie Complexa. C Dada uma estrutura complexa integr´avel J sobre g, sua complexificada g = g⊕ig C

  1,0 0,1

  pode ser escrita como g = g ⊕ g , onde C C

  1,0 0,1

  g g

  = {X ∈ g ; JX = iX} e = {X ∈ g ; JX = −iX} s˜ao os ± i-auto-espa¸cos de J.

  C 1,0 0,1

  Proposi¸ c˜

  1,0

  Demonstra¸c˜ao. Como J ´e integr´avel (N (X, Y ) = 0), temos para X, Y ∈ g J 0 = J[X, Y ] − [JX, Y ] − [X, JY ] − J[JX, JY ] = J[X, Y ] − [iX, Y ] − [X, iY ] − J[iX, iY ] = J[X, Y ] − i[X, Y ] − i[X, Y ] + J[X, Y ] = 2J[X, Y ] − 2i[X, Y ].

  1,0 1,0

  Assim J[X, Y ] = i[X, Y ] e da´ı, [X, Y ] ∈ g , para quaisquer X, Y ∈ g . Analogamente

  0,1 J[X, Y ] = −i[X, Y ], para quaisquer X, Y ∈ g .

  Defini¸ c˜ ao 2.55. Seja g uma ´ Algebra de Lie e J uma estrutura complexa sobre g. J ´e dita abeliana se satisfaz [JX, JY ] = [X, Y ], ∀X, Y ∈ g.

  Defini¸ c˜ ao 2.56. Seja g uma ´ Algebra de Lie real e J e J estruturas complexas sobre g.

  1

  2 Dizemos que o par {J 1 , J 2 }´e uma estrutura hipercomplexa sobre g, se J ◦ J = −J ◦ J .

  1

  2

  2

  1 Uma estrutura hipercomplexa {J 1 , J 2 } ´e dita abeliana, se J 1 e J 2 s˜ao estruturas complexas abelianas.

  Observa¸ c˜ ao 2.57. Algumas vezes uma estrutura hipercomplexa ´e apresentada como uma tripla de estruturas complexas {J

  1 , J 2 , J 3 } satisfazendo a rela¸c˜ao dos quat´ernios J = J J = −J J .

  3

  1

  2

  2

  1 Proposi¸ c˜

  ao 2.58. Sejam J

  1 e J 2 estruturas complexas integr´aveis sobre uma ´ Algebra de

  Lie g. Se {J , J } ´e estrutura hipercomplexa sobre g e J ´e abeliana, ent˜ao J tamb´em ´e

  1

  2

  1

  2 abeliana.

  2 Demonstra¸c˜ao. Da integrabilidade de J e de J = −I, temos

  2

  2

  −[X, Y ] = J [J X, Y ] + J [X, J Y ] − [J X, J Y ],

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  para todo X, Y ∈ g. Com isso, basta mostrarmos que J [J X, Y ] + J [X, J Y ] = 0, isto

  2

  2

  2

  2

  ´e [J X, Y ] = −[X, J Y ]. Do fato de J e J serem hipercomplexas, J ser integr´avel e J

  2

  2

  1

  2

  2

  1

  ser abeliana, temos [J X, Y ] + [X, J Y ] + J [J X, J Y ] = J [X, Y ] = J [J X, J Y ]

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  1

  1

  = [J J X, J Y ] + [J X, J J Y ] + J [J J X, J J Y ]

  2

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  = [−J J X, J Y ] + [J X, −J J Y ] + J [J J X, J J Y ]

  1

  

2

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 = −[J X, Y ] − [X, J Y ] + J [J X, J Y ].

  2

  2

  2

  2

  2 Logo, [J X, Y ] = −[X, J Y ].

  2

  2 Neste cap´ıtulo estaremos interessados em caracterizar e exemplificar ´ Algebras de Lie, com estrutura complexa cujos subespa¸cos sejam sub´algebras nilpotentes. Por quest˜oes did´aticas, na primeira se¸c˜ao faremos um estudo mais detalhado sobre estruturas complexas J definindo em g um novo colchete de Lie, de modo que g, munida deste colchete, seja uma

  1,0 0,1

  ´algebra de Lei isomorfa `as sub´algebras g e g . Na segunda se¸c˜ao veremos que dada uma C

  1,0 0,1

  ´algebra de Lie g, tal que g (ou equivalentemente g ) ´e uma sub´algebra nilpotente de g , ent˜ao g ´e sol´ uvel. Neste sentido, iremos nos dedicar a estruturas complexas para as quais C os ± i auto-espa¸cos s˜ao sub´algebras de g , para tanto consideraremos apenas ´ Algebras de Lie que admitem estruturas complexas integr´aveis. Na terceira se¸c˜ao caracterizaremos as ´ Algebras de Lie sol´ uveis at´e dimens˜ao 6 que admitem estruturas complexas com auto- espa¸cos nilpotentes. Por fim, na quarta se¸c˜ao faremos a constru¸c˜ao detalhada de v´arios exemplos que satisfazem as condi¸c˜oes dos resultados obtidos durante todo o cap´ıtulo.

3.1 O colchete*

  Para estudar a estrutura complexa J definimos em g um novo colchete de Lie

  1,0 0,1

  [∗] J , tal que g e g sejam ´ Algebras de Lie isomorfas a ( g,[∗] J ) Defini¸ c˜ ao 3.1. Seja (g, [., .]) uma ´ Algebra de Lie com uma estrutura complexa integr´avel J. Definimos

  [∗] J : g × g −→ g

  1 (X, Y ) 7−→ [X ∗ Y ] J = ([X, Y ] − [JX, JY ])

  2 Proposi¸ c˜ ao 3.2. (g, [∗] J ), como definida acima, ´e uma ´ Algebra de Lie.

  Demonstra¸c˜ao. A anti-simetria ´e ´obvia.

  Sejam α, β ∈ C, temos

  1 [αX + βY ∗ Z] J = ([αX + βY, Z] − [J(αX + βY, ), JZ])

  2

  1 = (α[X, Y ] + β[Y, Z] − [αJX + βJY, JZ])

  2 = α[X ∗ Z] J + β[Y ∗ Z] J . Isso prova a bilinearidade.

  Tamb´em se verifica a identidade de Jacobi de [∗] J . De fato, para todo X, Y, Z ∈ g,

  2 {([X, [JY, JZ]] + [JZ, [X, JY ]]+

  =

  1

  Agora usaremos a validade da identidade de Jacobi para o colchete [., .] [X ∗ [Y ∗ Z] J ] J + [Z ∗ [X ∗ Y ] J ] J + [Y ∗ [Z ∗ X] J ] J =

  2 ([X, [JY, JZ]] + [JZ, [X, JY ]]+

  4 ([X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]])+

  1

  Das trˆes ´ ultimas equa¸c˜oes, conclu´ımos que [X ∗ [Y ∗ Z] J ] J + [Z ∗ [X ∗ Y ] J ] J + [Y ∗ [Z ∗ X] J ] J =

  4 ([Y, [Z, X]]+[JX, [Y, JZ]]+[JZ, [JX, Y ]]+[X, [JY, JZ]]+[JZ, [X, JY ]]+ + [JX[, JY, Z] + [Z, [JX, JY ]]).

  1

  [Y ∗[Z∗X] J ] J =

  4 ([Z, [X, Y ]]+[JY, [Z, JX]]+[JX, [JY, Z]]+[Y, [JZ, JX]]+[JX, [Y, JZ]]+

  1

  [Z∗[X∗Y ] J ] J =

  4 ([X, [Y, Z]] + [JZ, [X, JY ]] + [JY, [JZ, X]] + [Z, [JX, JY ]]+

  1

  2 ([JY, Z]) + [Y, JZ])

  [X ∗ [Y ∗ Z] J ] J =[X ∗

  2 ([Y, Z] − [JY, JZ])] − [JX, J(

  1

  2 ([Y, Z] − [JY, JZ])] J

  =

  1

  2 ([X,

  1

  1

  1

  2 ([Y, Z] − [JY, JZ]))])

  =

  1

  2 ([X,

  1

  2 ([Y, Z] − [JY, JZ])] − [JX,

  • [JY, [Z, JX]] + [JZ, [JX, Y ]] + [Y, [JZ, JX]]) Do mesmo modo, obtemos
  • [JY, [JZ, X]] + [X, [JY, JZ]]) e
  • 1
  • [JY, [JZ, X]] + [Z, [JX, JY ]]+
  • [JY, [Z, JX]] + [JX, [Y, JZ]]+
  • [JZ, [JX, Y ]] + [Y, [JZ, JX]]+ + [JX, [JY, Z]]).
  • >[JY, [JZ, X]]) + [Z, [JX, JY ]]+
  • [JY, [Z, JX]] + [JX, [JY, Z]])+
  • [JX, [Y, JZ]] + [JZ, [JX, Y ]]+
  • [Y, [JZ, JX]] = 0

  ∗

  Fato 3.3. Seja g uma ´ Algebra de Lie e J uma estrutura complexa sobre g. Ent˜ao g ´e

  ∗ abeliana se, e s´o se, J ´e abeliana.

  Demonstra¸c˜ao. [X ∗ Y ] = 0 se, e s´o se, [X, Y ] − [JX, JY ] = 0; X, Y ∈ g J Proposi¸ c˜ ao 3.4. Seja (g, [., .]) uma ´ Algebra de Lie com estrutura complexa integr´avel J. Ent˜ao J ´e adaptada a (g, [∗] J ). Consequentemente, g ∗ ´e uma ´ Algebra de Lie complexa, se definirmos a multiplica¸c˜ao por i atrav´es de J. Demonstra¸c˜ao. Dados X, Y ∈ g, temos

  1 J[X ∗ Y ] J = (J[X, Y ] − J[JX, JY ])

  2

  1 = ([JX, Y ] + [X, JY ])

  2

  1 = ([JX, Y ] − [JJX, JY ]) = [JX ∗ Y ] J .

  2 Proposi¸ c˜ ao 3.5. Seja (g, [., .]) uma ´ Algebra de Lie com estrutura complexa J. Ent˜ao as

  1,0 0,1

  ´ Algebras de Lie g , g e (g, [∗] J ) s˜ao isomorfas. Demonstra¸c˜ao. Tome Z ∈ {X − iJX; X ∈ g}.

  2 JZ = JX − iJ X = JX − i(−X) = JX + iX = i(X − iJX) = iZ, 1,0

  isto ´e {X − iJX; X ∈ g} ⊆ g .

  1,0

  Tome Z ∈ g , e sejam X, Y ∈ g tais que Z = X + iY . Temos que JZ = iZ =⇒ JX + iJY = i(X + iY ) = −Y + iX.

  1,0

  Nos resta que −JX = Y , e da´ı Z = X − iJX. Logo, {X − iJX; X ∈ g} ⊇ g . Com

  1,0 isso, mostramos que g = {X − iJX; X ∈ g}.

  Considere

  1,0

  ϕ : (g, [∗] J ) −→ g

  1 X 7−→ (X − iJX)

  2 ´ E f´acil ver que ϕ(JX) = iϕ(X), ent˜ao ϕ ´e C-linear.

  1 ϕ[X ∗ Y ] J = ([X ∗ Y ] J − iJ[X ∗ Y ] J )

  2

  1

  1 = ([X, Y ] − [JX, JY ]) − iJ([X, Y ] − [JX, JY ])

  4

  4

  1 = ([X, Y ] − [JX, JY ] − i[JX, Y ] − [X, JY ])

  4

  1 = ([X, Y ] + [X, −iJY ] + [−iJX, Y ] + [−iJX, −iJY ])

  4

  1

  1 = [ (X − iJX), (Y − iJY )] = [ϕ(X), ϕ(Y )].

  2

  2

  1,0

  Logo ϕ ´e homeomorfismo, e portanto isomorfismo entre (g, [∗] ) e g . Analo- J

  1

  0,1

  gamente, g ´e isomorfo a (g, [∗] J ). Basta definir o isomorfismo ψ(X) = (X + iJX) e

  2

  0,1 observar que g = {X + iJX; X ∈ g} .

  Das proposi¸c˜oes 3.4 e 3.5, temos o seguinte corol´ario. Corol´ ario 3.6. Seja (g, [., .]) uma ´ Algebra de Lie com estrutura complexa integr´avel J. C

  0,1 1,0 Ent˜ao os ±i auto-espa¸cos g e g de J s˜ao sub´algebras complexas de g = g ⊕ ig.

  Defini¸ c˜ ao 3.7. Seja g uma ´ Algebra de Lie e J uma estrutura complexa sobre g. J ´e dita s-passos nilpotente se ´e integr´avel e g ´e s-passos nilpotente.

  ∗

  Uma estrutura hipercomplexa dada por um par {J , J } de estruturas complexas

  1

  2 ´e s-passos nilpotente se tanto J como J s˜ao s-passos nilpotente para o mesmo s.

  1

  2 g ´ 3.2 e sol´ uvel se g ´ e nilpotente

  ∗

  O principal resultado que obteremos nesta se¸c˜ao ´e que se g ´e nilpotente, ent˜ao

  ∗

  g ´e sol´ uvel. Veremos, nas pr´oximas se¸c˜oes, exemplos onde g ∗ ´e nilpotente e g ´e sol´ uvel, mas n˜ao ´e nilpotente.

  Teorema 3.8. Seja g uma ´ Algebra de Lie com estrutura complexa, tal que g ´e nilpotente.

  ∗ Ent˜ao g ´e sol´ uvel.

  A demonstra¸c˜ao deste Teorema ´e baseada em um lema de Goto. Por quest˜oes did´aticas, seguem algumas defini¸c˜oes cujo conhecimento ´e fundamental para a demons- tra¸c˜ao do Lema de Goto. Defini¸ c˜ ao 3.9. Seja A um subconjunto de g. Chamamos de centralizador de A em g e denotamos por z(A) o conjunto z(A) = {X ∈ g : [X, Y ] = 0, ∀ Y ∈ A} c(g) = {X ∈ g : [X, Y ] = 0, ∀ Y ∈ g} Defini¸ c˜ ao 3.10. Seja g uma ´ Algebra de Lie sobre um corpo K. Diremos que X ∈ g ´e um elemento semi-simples de g se ad(X) ´e diagonaliz´avel para alguma extens˜ao de K. Observa¸ c˜ ao 3.11. Se g ´e semi-simples, ent˜ao as sub´algebras de Cartan de g s˜ao as sub´algebras abelianas maximais cujos elementos s˜ao semi-simples. Ver [11]. Lema 3.12. (Goto) Seja g uma ´ Algebra de Lie semi-simples sobre um corpo algebrica- mente fechado e de caracter´ıstica zero, e seja n ⊂ g uma sub´algebra nilpotente. Ent˜ao dim g − dim h dim n ≤ dim b − dim h = ,

  2 onde b ´e uma sub´algebra de Borel e h uma sub´algebra de Cartan.

  Demonstra¸c˜ao. Se n ´e nilpotente, ent˜ao n ´e sol´ uvel. Da´ı est´a contida em alguma sub´algebra

  • de Borel b = h ⊕ n , j´a que g ´e semi-simples. Considere s o conjunto de todos os ele- mentos semi-simples de n e seja X ∈ s. Como n ´e nilpotente e ad(X) ´e diagonaliz´avel em C g , nos resta que ad(X) = 0, sempre que restrita a n. Segue que s ⊂ c(n) e s ´e abeliana.

  Como s ´e abeliana e seus elementos s˜ao semi-simples, temos que s est´a contida em alguma sub´algebra de Cartan ˜ h de b. Como h ⊂ b ´e sub´algebra de Cartan de g, ela ´e abeliana maximal com elementos semi-simples, logo ´e tamb´em sub´algebra de Cartan de b. Assim, h e ˜ h s˜ao conjugadas por algum automorfismo de b, e trocando n e s por suas imagens atrav´es desse automorfismo podemos sem perda de generalidade assumir s ⊂ h ⊂ b. Logo s ⊂ h ∩ n. Por outro lado, os elementos de h s˜ao semi-simples. Segue da forma como s foi definida que h ∩ n ⊂ s. Portanto h ∩ n = s P

  • Seja Γ = {λ ∈ Π : λ(S) = 0, ∀S ∈ s} e seja l = h ⊕ g . Afirmamos

  1 λ λ ∈Γ

  que l ´e o centralizador de s em b. De fato, se B ∈ z(s), em particular B ∈ b. Seja

1 P

  B = H + G λ , com H ∈ h e G λ ∈ g λ . Tome S ∈ s, ent˜ao λ ∈Π X X +

  • + + 0 = ad(S)B = ad(S)H + ad(S)G = 0 + λ(S)G , λ ∈Π λ λ λ ∈Π para todo S ∈ s. Nos resta que se G 6= 0, ent˜ao λ(S) = 0, isto ´e, λ ∈ Γ e B ∈ l . A ´ ultima λ

  1 igualdade na equa¸c˜ao acima segue do fato de h ser abeliana e de ad(S) ser diagonaliz´avel.

  

n

ad(S)X = λ(S)X, para todo X ∈ g λ . P

  Analogamente, se L = H + G λ , segue que λ ∈Γ X X ad(S)L = ad(S)H + ad(S)G = 0 + λ(S)G , λ ∈Γ λ ∈Γ λ λ pelo mesmo motivo de antes. Ainda de λ ∈ Γ, temos λ(S) = 0, e ad(S)L = 0. Logo L ∈ z(s).

  Portanto, h + n ⊂ z(s) = l

  1 e assim dim l ≥ dim n + dim h − dim h ∩ n = dim n + dim h − dim s.

  1 P +

  Por outro lado, se pomos l = g λ ent˜ao b = h ⊕ n = l ⊕ l . Seja

  • + 2

    λ

  1

  2 ∈Π \Γ

  • σ = {λ , ..., λ n } o sistema simples de ra´ızes contido em Π . σ ´e base do dual de h e

  1

  σ| s = {λ

  1 | s , ..., λ n | s } gera o dual de s. Mas se λ i ∈ Γ, ent˜ao λ i | s = 0, de modo que ∗

  devem existir pelo menos r ra´ızes λ , ..., λ ∈ σ, r ≥ dim s = dim s, que n˜ao est˜ao em Γ.

  1 r

  De modo que os espa¸cos de ra´ızes g λ , i = 1, ..., r est˜ao contidos em l , isso mostra que i

  2 dim l ≥ dim s.

2 Combinando as desigualdades temos dim b = dim l + dim l ≥ dim l + dim s ≥ dim n + dim h.

  1

  2

  1 Assim, dim n ≤ dim b − dim h. P Q Q − + − Q

  Por fim, seja n = g λ e = − . Ent˜ao, λ ∈

  − +

  g = h ⊕ n ⊕ n .

  Como n e n s˜ao sub´algebras isomorfas, logo tˆem as mesma dimens˜oes, ver [14]. ´ E f´acil ver que

  • dim g − dim h = 2 dim n ,
  • e por outro lado dim b − dim h = dim n . Isso conclui a demonstra¸c˜ao do Lema.

  K Proposi¸ c˜ ao 3.13. Seja g uma ´ Algebra de Lie sobre K e ¯ uma extens˜ao de K. g ´e K ¯

  K sol´ uvel se e s´o se g = ¯ ⊗ g ´e sol´ uvel. K ¯ Demonstra¸c˜ao. De fato, as ´algebras derivadas tanto de g quanto de g s˜ao gerados por colchetes sucessivos de elementos de g; as ´algebras derivadas de g s˜ao obtidas por com- K ¯ bina¸c˜oes lineares com coeficientes em K enquanto as de g por combina¸c˜oes lineares com

  K coeficientes em ¯ . Da´ı que

K K

¯ ¯

(n) (n) (g ) = (g ) para todo n ≥ 0. Proposi¸ c˜ quanto g/h sejam sol´ uveis. Ent˜ao g ´e sol´ uvel.

  Ver demonstra¸c˜ao [14]. Proposi¸ c˜ ao 3.15. Seja g uma ´ Algebra de Lie que n˜ao ´e sol´ uvel e r(g) seu radical sol´ uvel. Ent˜ao g/r(g) ´e semi-simples. Demonstra¸c˜ao. Seja π : g −→ g/r(g) o homomorfismo canˆonico e tome um ideal sol´ uvel

  −1 −1 −1

  i ⊂ g/r(g). Ent˜ao, π (i) ´e um ideal que cont´em r(g) e i = π (i)/r(g). Assim, π (i) ´e sol´ uvel e, portanto, est´a contido em r(g), isto ´e i = 0, ent˜ao g/r(g) ´e semi-simples.

  Estamos preparados para demonstrar o teorema 3.8. C Demonstra¸c˜ao. (Teorema 3.8) Escrevendo a complexificada g de g como soma direta de duas sub´algebras nilpotentes, por isomorfismo de g ∗ . C

  1,0 0,1

  g = g ⊕ g C Suponhamos que g n˜ao ´e sol´ uvel. Da proposi¸c˜ao 3.13 ter´ıamos que g n˜ao ´e C C sol´ uvel. Se r(g ) ´e o radical sol´ uvel de g , a proposi¸c˜ao 3.15 garante que a ´ Algebra de C C

  1,0 0,1

  Lie m = g /r(g ) ´e semi-simples. Considere n

  1 e n 2 as respectivas proje¸c˜oes de g e g

  sobre m. As proje¸c˜oes n e n continuam nilpotentes e m = n ⊕ n . Logo, pelo lema 3.12,

  1

  2

  1

  2

  1

  1 dim n < dim m e dim n < dim m. Contradi¸c˜ao a menos que m = {0}.

  1

  2

  2

2 Portanto g ´e sol´ uvel.

3.3 Caracteriza¸ c˜ ao de g∗ at´ e dimens˜ ao complexa 3

  Considerando apenas estruturas complexas integr´aveis, iremos caracterizar as ´

  Algebras de Lie h nilpotentes, tais que existe g com g = h. Esta caracteriza¸c˜ao ser´a feita

  ∗ separadamente, considerando h de dimens˜oes complexas 1,2 e 3.

  Se h ´e ´ Algebra de Lie Complexa 1-dimensional, ent˜ao h ´e abeliana. Proposi¸ c˜ ao 3.16. Seja h uma ´ Algebra de Lie nilpotente 2-dimensional, sobre um corpo K . Ent˜ao h ´e abeliana.

  1

  1 Demonstra¸c˜ao. Se dim h = 2, afirmamos que dim h = 1 ou dim h = 0. Caso contr´ario,

  1

  ter´ıamos h = h . Da´ı

  2

  1

1 n

  h = [h, h ] = [h, h] = h = h, de modo que h = h, para todo n > 1

  2

  1

  1

  1 Suponha dim h = 1 e seja {X} uma base de h . Seja Y ∈ h\h tal que {X, Y } ´e

  1

  1

  uma base de h. Temos que [X, Y ] ∈ h , j´a que h ´e ideal de h. Tome c ∈ K tal que

  1

  1

  2

  [X, Y ] = cX. Se c 6= 0, ent˜ao X = [X, Y ] e [X, Y ] = [ [X, Y ], Y ] ∈ h = {0}. Nos resta c c que c = 0 ⇒ [X, Y ] = 0. Logo h ´e abeliana.

  Da afirma¸c˜ao acima, segue que se h ´e uma ´ Algebra de Lie Complexa nilpotente 2-dimensional, ent˜ao h = g para g abeliana de dimens˜ao real 4.

  ∗

  Proposi¸ c˜ ao 3.17. Seja g uma ´ Algebra de Lie 2-dimensional. Ent˜ao g ´e abeliana ou existe uma base {X, Y } de g tal que [X, Y ] = Y .

  Demonstra¸c˜ao. Seja g uma ´ Algebra de Lie n˜ao abeliana e tome {X, Y } uma base de g. ′ ′ ′

  ′

  Temos que [X, Y ] 6= 0. Seja [X, Y ] = Y e tome X ∈ g, tal que {X , Y } forme uma base

  ′

  de g. Podemos escrever X e Y com rela¸c˜ao a base {X, Y }. Sejam α, β, γ, δ em K tais

  ′

  que X = αX + βY e Y = γX + δY . Da´ı,

  ′ ′ [X , Y ] = [αX + βY, γX + δY ] = (αγ − βδ)[X, Y ] = (αγ − βδ)Y .

  Como g ´e ´ Algebra de Lie n˜ao abeliana, temos (αγ − βδ) 6= 0. Ent˜ao podemos definir

  −1 ′

  A = (αγ − βδ) X e B = Y . Como ′ ′ ′

  −1 ′ −1

  [A, B] = (αγ − βδ) [X , Y ] = (αγ − βδ) (αγ − βδ)Y = Y = B, a base que procuramos ´e {A, B}.

  ′

  Teorema 3.18. Seja g uma ´ Algebra de Lie tridimensional cuja ´algebra derivada g ´e

  ′

  unidimensional. Suponha g ⊂ c(g). Ent˜ao existe uma base {X, Y, Z} de g tal que [Y, Z] = X, [X, Y ] = 0 e [X, Z] = 0 ou seja, g ´e isomorfa `a ´ Algebra de Heinsenberg.

  ′ ′

  Demonstra¸c˜ao. Sejam {X} e {X, Y

  1 , Z} bases de g e g respectivamente. Como g ⊂ c(g) ′

  e X ∈ g temos [X, W ] = 0 para qualquer W ∈ g, e, em particular [X, Y ] = 0 e [X, Z] = 0.

  1 ′

  Como [Z, Y ] ∈ g , temos que [Z, Y ] = aX. Se a = 0, teremos [Z, Y ] = 0. E da´ı para

  1

  1

  1

  quaisquer U, V ∈ g vale [U, V ] = [a X + a Y + a Z, b X + b Y + b Z] = 0.

  1

  2

  1

  

3

  1

  2

  1

  3 ′

  Conclu´ımos que dim(g ) = 0, contradizendo a hip´otese. Logo, a 6= 0.

  1 Definimos Y = Y . Ent˜ao, {X,Y,Z} tamb´em ´e uma base de g e [X, Y ] =

  1

  a 0, [X, Z] = 0 e

  1

  1 [Y, Z] = [Y , Z] = aX = X.

  1

  a a

  2-passos nilpotente. Em particular, h ´e abeliana ou isomorfa `a ´algebra de Heisenberg.

  2

  2 Demonstra¸c˜ao. Como h ´e nilpotente, n˜ao ´e poss´ıvel que dim h = 3. Se dim h = 0, ent˜ao h ´e abeliana e consequentemente, h ´e 1-passo nilpotente.

  2

  3

  2

  3 Se dim h = 1, n˜ao ´e poss´ıvel que dim h = 1, caso contr´ario h = h , o que

  3

  contradiz o fato de h ser nilpotente. Neste caso nos resta que dim h = 0, isto ´e h ´e 2-passos nilpotente e do teorema 3.18, h ´e isomorfa `a ´algebra de Heisenberg.

  2

  2

  2 Se dim h = 2, ent˜ao h ´e abeliana ou existe uma base {X, Y } de h tal que k [X, Y ] = Y . Neste caso Y ∈ h , para todo k, o que contradiz o fato de h ser nilpotente.

  2

  2

  2 Assim, nos resta que h ´e abeliana. Como h ´e ideal de h, segue que [X, Y ] ∈ h , para todo

  2

  2

  2

  2

  2 X ∈ h\h e para todo Y ∈ h . Da´ı ad(X)h ⊂ h , e como ad(X) restrita a h ´e nilpotente

  e lembrando que para cada transforma¸c˜ao linear nilpotente existe uma base em rela¸c˜ao `a qual a matriz associada ´e estritamente triangular superior, definimos, neste caso, a base

  2

  2

  {Y, Z} de h tal que ad(X)Y = 0, ad(X)Z = Y , isto ´e, [X, Y ] = 0 e [X, Z] = Y . Mas h ´e abeliana, ent˜ao [Y, Z] = 0. Dados U, V ∈ h, temos

  [U, V ] = [α X + α Y + α Z, β X + β Y + β Z]

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  = α β [X, Z] + α β [Z, X]

  1

  3

  

3

  1

  = (α β − α β )[X, Z]

  1

  3

  3

  1

  = γ[X, Z] = γY.

  2

  2 Como h = [U, V ] = γY , isso contradiz o fato de que dim h = 2.

  2 Logo, nos resta que s´o ´e poss´ıvel que dim h = 0, ent˜ao h ´e abeliana e 1-passo

  2

  nilpotente ou dim h = 1, e neste caso h ´e isomorfo a ´algebra de Heisenberg e 2-passos nilpotente .

  Se h = g ´e ´ Algebra de Lie Complexa nilpotente e n˜ao abeliana 3-dimensional,

  ∗ 1,0 0,1

  segue do lema acima que g ´e isomorfa `a ´algebra de Heisenberg. Ainda, g e g s˜ao

  ∗ isomorfas a ´algebra de Heisenberg.

  1,0

  Observa¸ c˜ ao 3.20. Considere uma base {X

  1 , X 2 , X 3 } de g , onde X k = Y k − iJY k , com k = 1, 2, 3. Note que {Y , Y , Y , JY , JY , JY } ´e uma base de g.

  1

  2

  3

  1

  2

  

3

P

  3 P

  3 Com efeito, se α k , β k (k = 1, 2, 3) s˜ao reais tais que α + k Y k β k JY k = 0 k k =1 =1

  ent˜ao,

  3

  

3

X X ¯

  X + ¯ k k k k

  X X − X + α k β k = 0. k k 2 2i

  =1 =1

  • β k

  ]) =

  2 ([Y

  1

  , JY

  2

  ] + [JY

  1

  , Y

  2

  1

  ]) =

  2 JY

  3 .

  Tamb´em, usando o fato de que J

  2

  = −I, segue que [JY

  1

  ∗ JY

  2

  1

  2

  1

  2 Y

  1

  2 ([Y

  1

  , JY

  2

  ] − [JY

  1

  , J

  2

  , −Y

  ]) =

  1

  2 ([Y

  1

  , JY

  2

  ] − [JY

  1

  ] =

  2 ([JY

  2

  

1

  2

  ] + [JY

  1

  , JY

  2

  ]) = −

  1

  2 ([Y

  , Y

  

1

  2

  ] − [JY

  1

  , JY

  2

  ]) = −

  1

  2 Y

  , Y

  2 (−[Y

  

1

  ]) =

  , JY

  2

  ] − [J

  2 Y

  1

  , J

  2 Y

  2

  1

  1

  2 ([JY

  

1

  , JY

  2

  ] − [−Y

  1

  , −Y

  2

  ]) =

  ] =

  ∗ JY

  3 X k =1

  1

  

1,0

  , como acima, ´e tal que [X

  1

  , X

  

2

  ] = X

  3

  ´e o ´ unico colchete n˜ao nulo dos elementos desta base. Assim, [Y

  − iJY

  3

  1

  , Y

  2

  − iJY

  2

  ] = Y

  3

  − iJY

  } de g

  , X

  , da´ı, [Y

  Como ¯ X k ∈ g

  α k

  2 −

  β k 2i

  X k +

  

3

X

k

=1

  α k

  2

  2i ¯ X k = 0.

  0,1

  2

  e g

  1,0

  ∩ g

  0,1 = 0, segue que α k = β k = 0.

  Como g

  1,0

  ´e isomorfa `a ´algebra de Heisenberg podemos supor, sem perda de generalidade que a base {X

  1

  , X

  3

  1

  1

  2

  1

  ∗ Y

  2

  ] =

  1

  2 ([Y

  

1

  , Y

  ] − [JY

  3 Deste modo,

  1

  , JY

  2

  ]) =

  1

  2 Y

  3

  e [Y

  [Y

  1 , Y 2 ] − [JY 1 , JY 2 ] = Y

3 e [Y

1 , JY 2 ] + [JY 1 , Y 2 ] = JY

  , Y

  

2

  2

  ] − i[Y

  1

  , JY

  2

  ] − i[JY

  1

  , Y

  ] + i

  , ent˜ao [Y

  2

  [JY

  1

  , JY

  2

  ] = Y

  3

  − iJY

  3

  3

  1

  2

  [JY ∗ Y ] = ([JY , Y ] − [J Y , JY ])

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1 = ([JY , Y ] − [−Y , JY ])

  1

  2

  1

  2

  2

  1 = ([Y

  1 , JY 2 ] + [JY 1 , Y 2 ])

  2

  1 = ([Y

  1 , JY 2 ] + [JY 1 , −J(JY 2 )])

  2

  1 = ([Y

  1 , JY 2 ] − [JY 1 , J(JY 2 )])

  2

  1 = [Y

  1 ∗ JY 2 ] = JY 3 .

  2 Finalmente, de [X , X ] = [X , X ] = 0, temos [Y − iJY , Y − iJY ] = 0. Ent˜ao,

  1

  3

  2

  3

  1

  1

  3

  3

  2 [Y , Y ] − i[Y , JY ] − i[JY , Y ] + i [JY , JY ] = 0.

  1

  3

  1

  3

  1

  3

  1

  3 Da´ı que,

  [Y

  1 , Y 3 ] − [JY 1 , JY 3 ] = 0

  e [Y , JY ] + [JY , Y ] = 0.

  1

  3

  1

  3 As igualdades acima nos fornecem, por exemplo

  1 [Y ∗ Y ] = ([Y , Y ] − [JY , JY ]) = 0.

  1

  3

  1

  

3

  1

  3

  2 Analogamente, verifica-se a nulidade dos demais colchetes de g ∗ . A discuss˜ao acima nos ajuda a articular o teorema seguinte. Teorema 3.21. Seja g ´e uma ´ Algebra de Lie 6-dimensional com estrutura complexa J n˜ao-abeliana. Se J ´e s-passos nilpotente, ent˜ao s=2 e existe {Z , Z , Z , Z , Z , Z } base

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  de g, tal que os colchetes n˜ao nulos de (g, [∗] J ) satisfazem [Z ∗ Z ] = [Z ∗ Z ] = −Z e [Z ∗ Z ] = [Z ∗ Z ] = −Z .

  1

  2

  3

  4

  5

  1

  3

  4

  2

  6 Demonstra¸c˜ao. Se J ´e s-passos nilpotente, segue que g ´e s-passos nilpotente. Como g ∗ ∗

  ´e 3-dimensional sobre C, temos do lema 3.19, que g ´e 2-passos nilpotente. Ainda, J ´e

  ∗ adaptada a g , logo ´e integr´avel . Segue da defini¸c˜ao 3.7 que J ´e 2-passos nilpotente. ∗ C 1,0

  Tamb´em, o auto-espa¸co g ´e sub´algebra complexa de g , pois J ´e integr´avel. Se J ´e

  1,0

  estrutura complexa n˜ao-abeliana, ent˜ao g ∗ ´e ´ Algebra de Lie n˜ao-abeliana. De g ≃ g ∗ ,

  1,0

  segue o isomorfismo entre g e a ´algebra de Heisenberg. Segue da discuss˜ao acima que g admite uma base {Z , Z , Z , Z , Z , Z }, com colchetes n˜ao-nulos dados por

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  [Z

  1 ∗ Z 2 ] = [Z 3 ∗ Z 4 ] = −Z

5 e [Z

1 ∗ Z 3 ] = [Z 4 ∗ Z 2 ] = −Z 6 . (5)

  Z

  1 = Y

  1 Z 2 = Y

  2 Z 3 = JY

  2

  −Y −JY

  3

  3 Z 4 = JY

  1 Z 5 = Z 6 =

  2

  2 Abaixo segue um exemplo que satisfaz tanto as condi¸c˜oes do Teorema 3.21, quanto do Lema 3.19.

  Exemplo 3.22. Seja g uma ´ Algebra de Lie e seja {e , e , e , e , e , e } uma base de g,

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  cujos colchetes satisfazem [e , e ] = −e [e , e ] = −e [e , e ] = −e [e , e ] = [e , e ] = −e

  1

  2

  3

  1

  3

  4

  

2

  3

  5

  1

  4

  2

  5

  6 A estrutura complexa J, sobre g, tal que

  Je = −e Je = −e Je = −e ,

  1

  2

  4

  5

  3

  6

  ´e 2-passos nilpotente. De fato, note que J n˜ao ´e abeliana, caso contr´ario ter´ıamos por exemplo, −e

  4 = [e 1 , e 3 ] = [Je 1 , Je 3 ]

  = [−e , −e ]

  2

  6 = 0.

  1,0

  Considerando a base {w = e − iJe , w = e − iJe , w = e − iJe } de g , temos

  1

  1

  1

  2

  

4

  4

  3

  3

  3

  [w , w ] = [e − iJe , e − iJe ]

  1

  2

  1

  1

  4

  4

  = [e , e ] − i[e , Je ] − i[Je , e ] − [Je , Je ]

  1

  4

  1

  4

  1

  4

  1

  4

  = −e − i[e , −e ] − i[−e , e ] − [−e , −e ]

  6

  1

  5

  2

  4

  2

  5

  = 0 [w , w ] = [e − iJe , e − iJe ]

  1

  3

  1

  1

  3

  3

  = [e , e ] − i[e , Je ] − i[Je , e ] − [Je , Je ]

  1

  3

  1

  3

  1

  3

  1

  3

  = −e − i[e , −e ] − i[−e , e ] − [−e , −e ] = −e − ie

  4

  1

  6

  2

  3

  2

  6

  4

  5

  = −e + iJe

  4

  4

  = −w

  2

  [w , w ] = [e − iJe , e − iJe ]

  2

  3

  4

  4

  3

  3

  = [e , e ] − i[e , Je ] − i[Je , e ] − [Je , Je ]

  4

  3

  4

  3

  4

  3

  4

  3

  = −i[e , −e ] − i[−e , e ] − [−e , −e ]

  4

  6

  4

  

3

  5

  6 = 0. Com isso, J ´e 2-passos nilpotente.

  ∗ .

  −

  −

  1

  2 e

  5

  −

  1

  2 e

  5

  1

  2 Je

  2 Je

  4

  =

  1

  2 e

  

5

  −

  1

  4

  1

  5

  ∗ e

  ∗ Je

  3

  ] J = J[e

  

1

  ∗ e

  3

  ] J + [e

  2

  3

  ] J = −

  ] J + [e

  1

  ∗ e

  6

  ] J − J[e

  2

  ∗ e

  6

  2 e

  −

  ] J − J[Je

  

1

  1

  ∗ e

  6

  ] J − [Je

  1

  ∗ e

  6

  ] J − [e

  ∗ Je

  3

  6

  ] J − J[Je

  1

  ∗ Je

  6

  ] J = 0 J[e

  6 ∗ e 2 ] J − [Je 6 ∗ e 2 ] J − [e 6 ∗ Je 2 ] J − J[Je 6 ∗ Je 2 ] J = 0

  E da nulidade dos demais colchetes [∗] J , afirmamos que J ´e integr´avel com rela¸c˜ao a g

  ] J = 0 J[e

  ∗ Je

  1

  3

  2 e

  5

  2 e

  5

  = 0 Do mesmo modo, obtemos

  J[e

  2

  ∗ e

  ] J − [Je

  2

  2

  ∗ e

  3

  ] J − [e

  

2

  ∗ Je

  3

  ] J − J[Je

  1

  3

  1,0

  ) − [−e

  ] − [Je

  1

  , Je

  3

  ]) =

  1

  2 ((−e

  4

  2

  , e

  , −e

  6

  ]) = −

  1

  2 e

  

4

Do mesmo modo, obtivemos os seguintes colchetes

  [e

  1

  3

  

1

  3

  )

  (g

  1,0

  )

  2

  = span{w

  2

  }, (g

  1,0

  3

  2 ([e

  = 0, o que mostra que g

  1,0 ´e 2- passos nilpotente .

  Tamb´em, [e

  1

  ∗ e

  3

  ] J =

  1

  ∗ e

  ] J = −

  ∗ Je

  Note que J[e

  ] J = −

  1

  2 e

  5 .

  Podemos estabelecer um isomorfismo φ : g

  

  −→ h, onde h ´e dada como em (5). Basta definir φ(e i ) = Z i , para i ∈ {1, 2, 3}, φ(e

  

4 ) = 2Z

5 , φ(e 5 ) = 2Z 6 e φ(e 6 ) = Z 4 .

  1

  ∗ e

  ∗ e

  3

  ] J − [Je

  1

  ∗ e

  3

  ] J − [e

  1

  6

  1

  1

  2 e

  2 e

  4

  [e

  6

  ∗ e

  2

  ] J = −

  1

  4

  [e

  [e

  2

  ∗ e

  3

  ] J = −

  1

  2 e

  5

  • 1
  • bZ

  • dZ

  5

  1

  ∗ Z

  1

  , vale 0 = J[Z

  ∗

  Como J ´e adaptada a g

  2

  Ent˜ao, a

  6 .

  5

  2

  = (a

  6

  = aJZ

  11 Z

  5

  = −I. De fato, −Z

  2

  ´ E f´acil ver que a = −d, j´a que J

  16 a 26 a 36 a 46 b d

  a c a

  45

  a

  35

  a

  25

  a

  15

  ] = [a

  1

  44

  2

  6

  13 Z

  5

  12 Z

  ] J = a

  

3

  ∗ Z

  2

  [Z

  13

  ] J + a

  1

  ∗ Z

  [Z

  12 Z

  12

  ] J = a

  1

  ∗ Z

  6

  16 Z

  5

  15 Z

  4

  14 Z

  3

  13 Z

  2

  0 0 a

  a

  ,

  6 } e estrutura complexa integr´avel J cujo colchete [∗] J satisfaz (5).

  5 = −J[Z 1 ∗Z 2 ] = [JZ 1 ∗Z 2 ] ∈ g

  , j´a que JZ

  6

  5

  = cZ

  6

  6 JZ

  5

  = aZ

  5

  a ij Z j , 1 ≤ i ≤ 4 JZ

  6 j =1

  Para isto escrevemos JZ i = P

  , Z

  = span{Z

  5

  , Z

  4

  , Z

  3

  , Z

  2

  , Z

  1

  , [∗]). Para tanto iniciaremos utilizando o Teorema 3.21. Vere- mos como se comporta o colchete original [., .] para uma dada ´ Algebra de Lie h com base {Z

  ∗

  Come¸caremos com uma prepara¸c˜ao para construir exemplos relacionando as es- truturas de (g, [., .]) e (g

  ∗

  2 ∗

  5 , Z 6 } e do mesmo modo, garantimos

  34

  42

  a

  24

  a

  14

  0 0 a

  43

  a

  33

  a

  23

  a

  13

  0 0 a

  a

  que JZ

  32

  a

  22

  a

  12

  a

  11 a 21 a 31 a 41 0 0

  A princ´ıpio, vamos considerar J = a

  6 }.

  , Z

  5

  ∈ span{Z

  6

  • bJZ
  • bc)Z
  • (ab + db)Z
  • bc = −1 b(a + d) = 0 Se b = 0, ter´ıamos a = i. Mas, g ´e ´ Algebra de Lie real. Nos resta que a = −d.
  • a
  • a
  • a
  • a
  • a
  • a

  • bZ
  • a
  • a
  • a
  • a
  • a
  • dZ
  • a
  • a
  • a
  • a
  • a

  −Z

  a

  46

  −c 0 Para obter os valores dos demais coeficientes, usaremos o fato de que J

  2 = −I.

  JZ

  1 = −cZ 4 + a

  15 Z 5 + a

  16 Z 6 ⇒

  1

  a

  = −c(cZ

  1

  5

  

46

Z

  6

  ) + a

  15

  (−cZ

  6

  36

  26

  16

  = a

  24

  = a

  31

  = a

  33

  = a

  34

  = a

  42

  43

  a

  = a

  44

  = 0 e −a

  23 = a 32 = a 41 = c Assim, obtemos uma melhor representa¸c˜ao matricial da estrutura complexa J.

  J = c c

  −c −c a

  15 a 25 a 35 a 45 c

  a

  16

  ) + a

  cZ

  22

  25

  2

  = −c(cZ

  2

  35 Z

  5

  

36

Z

  6

  ) + a

  (−cZ

  

6

  6

  ) + a

  26

  cZ

  5

  ⇒ 0 = (1 − c

  2

  )Z

  2 + c(−a

35 + a

26 )Z 5 + c(−a 36 − a 25 )Z 6 ,

  ⇒ −Z

  26 Z

  5

  − a

  ⇒ 0 = (1 − c

  2

  )Z

  1

  45

  16

  )Z

  5

  46

  15

  5

  )Z

  6

  , da´ı c = ±1. Fazendo c = 1, por exemplo, temos a

  16 = a 45 e a 15 = −a 46 . Tamb´em,

  JZ

  2

  = −cZ

  3

  25 Z

  = a

  = a

  14

  14

  2

  ] J = a

  11

  [Z

  1

  ∗ Z

  2

  ] J + a

  [Z

  6

  4

  ∗ Z

  2

  ] J = −a

  11 Z 5 − a

  14 Z 6 ,

  isso nos fornece a

  11

  ∗ Z

  16 Z

  21

  2

  −(aZ

  5

  6

  ) = −JZ

  5

  = J[Z

  1

  ∗ Z

  ] = [a

  5

  11 Z

  1

  12 Z

  2

  

13

Z

  3

  14 Z

  4

  15 Z

  = a, a

  = b. Al´em disso, −(cZ

  12

  4

  11

  [Z

  1

  ∗ Z

  3

  ] J + a

  14

  [Z

  ∗ Z

  3

  3

  ] J = −a

  11 Z 6 + a

  14 Z 5 ,

  consequentemente a

  11

  = d = −a, logo a = d = 0. Tamb´em, a

  14 = −c, logo b = −c.

  Analogamente, obtemos a

  ] J = a

  ∗ Z

  5

  11 Z

  6

  ) = −JZ

  6

  = J[Z

  1

  ∗ Z

  3

  ] = [a

  1

  6

  12 Z

  2

  

13

Z

  3

  14 Z

  4

  15 Z

  5

  16 Z

  13

  • a
  • a

45 Z

  • c(−a
  • a
  • c(−a
  • a
  • a
  • a
  • a

36 Em suma,

  • a
  • a
  • a
  • a

6 JZ

  ∗ X

  1

  e [X

  5

  ] = −X

  2

  ∗ X

  4

  ] = [X

  3

  , constru´ımos novos colchetes [X

  1

  4

  6

  = Z

  6

  , X

  5

  = Z

  5

  , X

  ∗ X

  2

  ] = [X

  = Y

  5

  6 JX 6 = −X

  3 JX 5 = X

  4 JX 4 = −X

  = X

  3

  1 JX

  = −X

  2

  1

  = Z

  Em particular, fazendo m = n = p = q = 0 temos que Z

  1 0 −1 0 1 n m q p 0 −1 m −n p −q 1

  J = −1 0

  Podemos assumir c = −1, pois caso c = 1 podemos trocar X i 7→ −X i , onde (i = 2, 4, 6), m 7→ −m, p 7→ −p. Reobteremos a matriz invertendo o sinal de c, sem afetar os colchetes. Assim,

  −c n m q p c m −n p −q −c 0

  J = c −c c

  6 A representa¸c˜ao matricial de J nesta nova base ´e dada por

  ] = −X

  3

  ∗ X

  2

  4

  26

  = −cZ

  2

  = cZ

  3

  6 JZ

  26 Z

  − a

  5

  25 Z

  3

  2

  5

  6 JZ

  16 Z

  5

  15 Z

  4

  = −cZ

  1

  JZ

  25

  35

  

26

Z

  − a

  , X

  1

  4

  = Z

  3

  , X

  4

  = Z

  2

  , X

  1

  = Z

  X

  25 Z

  Fazendo

  5 .

  = cZ

  6

  = −cZ

  5

  6 JZ

  15 Z

  16 Z 5 − a

  6 JZ 4 = cZ 1 + a

1 JX

  1 −X = [X ∗ X ] J = ([X , X ] − [JX , JX ])

  5

  1

  3

  1

  3

  1

  3

  2

  1 = ([X , X ] − [X , X ]),

  1

  3

  2

  4

  2 temos que [X , X ] = [X , X ] − 2X .

  1

  3

  

2

  4

  5 Tamb´em,

  1 −X = [X ∗ X ] J = ([X , X ] − [JX , JX ])

  6

  1

  4

  1

  4

  1

  4

  2

  1 = ([X , X ] + [X , X ]),

  1

  4

  2

  3

  2 temos que [X , X ] = −[X , X ] − 2X .

  1

  4

  2

  3

  6 De

  1 0 = [X ∗ X ] J = ([X , X ] − [JX , JX ])

  1

  5

  1

  5

  1

  5

  2

  1 = ([X , X ] − [X , X ]),

  1

  5

  2

  6

  2 temos que [X , X ] = [X , X ].

  1

  5

  2

  6 E, da nulidade dos colchetes [X ∗ X ] , [X ∗ X ] , [X ∗ X ] , obtemos as respectivas

  1

6 J

  

3

  5 J

  3

  6 J

  igualdades [X , X ] = [X , X ] − 2X

  1

  3

  

2

  4

  5

  [X , X ] = −[X , X ] − 2X

  1

  4

  2

  3

  6

  [X , X ] = [X , X ]

  1

  5

  

2

  6

  [X , X ] = −[X , X ]

  1

  6

  2

  5

  [X

  3 , X 5 ] = [X 4 , X 6 ] [X , X ] = −[X , X ].

  3

  6

  4

  5 Note que, mesmo com posse de (5), nada podemos afirmar a respeito dos colchetes [X , X ], [X , X ], [X , X ].

  1

  2

  3

  4

  5

6 Com tudo que vimos, descobrimos (no caso particular m = n = p = q = 0) como

  se comporta a estrutura complexa e o colchete original [., .] com rela¸c˜ao a base de uma ´ Algebra de Lie que satisfaz as condi¸c˜oes do Teorema 3.21.

  Observando estas igualdades, podemos construir um exemplo onde (g, [∗]) ´e J nilpotente, mas (g[., .]) n˜ao o ´e.

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  uma base fixada de g. Ent˜ao (g, [., .]) ´e uma ´ Algebra de Lie se os colchetes n˜ao nulos s˜ao dados por [Z , Z ] = Z , [Z , Z ] = 2Z , [Z , Z ] = −2Z .

  1

  2

  1

  2

  4

  5

  2

  3

  6 E o endomorfismo ¯ J : g −→ g dado por

  ¯ ¯ ¯ JZ = Z , JZ = Z , JZ = Z

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  2

  ´e uma estrutura complexa sobre g. Temos g = span{Z , Z , Z }, e observando que

  1 k

  5

  6

  3

  [Z , [Z , Z ]] = −Z , temos que Z ∈ g , analogamente Z ∈ g , para todo k ≥ 3, mos-

  2

  1

  2

  1

  1

  1 ¯

  trando que (g, [., .]) n˜ao pode ser nilpotente. Por´em, os colchetes n˜ao nulos de (g, [∗] ) J s˜ao [Z ∗ Z ] ¯ = [Z ∗ Z ] ¯ = −Z e [Z ∗ Z ] ¯ = [Z ∗ Z ] ¯ = −Z .

  1

  3 J

  4

  2 J

  5

  1

  4 J

  2

  3 J

  6 ¯

  Como se verifica no Teorema 3.21, (g, [∗] ) ´e 2-passos nilpotente. J Observamos que a ´ Algebra de Lie do exemplo 3.22 ´e nilpotente, ent˜ao n˜ao ´e isomorfa `a ´algebra de Lie do exemplo 3.23. Mas ainda assim, podemos ver que (g, [∗] ) ≃ J (g, [∗] ¯ ). J

  Exemplo 3.24. Sejam g uma ´ Algebra de Lie com colchetes n˜ao nulos dados por [e

  2 , e 4 ] = 2e

5 e [e

2 , e 3 ] = −2e 6 .

  Considere a estrutura complexa J : g −→ g dada por Je = −e Je = −e Je = −e .

  1

  2

  4

  5

  3

  6 Note que mesmo definindo a estrutura complexa do exemplo 3.22 , as ´ Algebras de Lie n˜ao

  s˜ao isomorfas, pois no exemplo 3.22, a ´algebra era 4-passos nilpotentes e agora a ´ Algebra de Lie ´e claramente 2-passos nilpotente.

  Os resultados seguintes ser˜ao ´ uteis para mostrar que ´e sempre poss´ıvel construir exemplos de ´ Algebras de Lie g com (g, [∗] ) s-passos nilpotentes, s ≥ 1. J Proposi¸ c˜ ao 3.25. Para todo s ≥ 1 existe uma estrutura s-passos nilpotente. Demonstra¸c˜ao. Primeiro, vamos analisar o caso s = 3. Seja      0 0 d f    0 a b c A = {A ∈ M 4×4 , A = }.     0 0 0 g 0 0 0 0 mente, que ABCD = 0. Denote por A k = span{A A ...A k ; A j ∈ A}.

  1

  2 Defina aff(A) = A ⊕ A a ´ Algebra de Lie com colchetes dados por [(A, B), (C, D)] = (AC − CA, AD − CB), ∀A, B, C, D ∈ A.

  E seja J o endomorfismo de aff(A) dado por J(A, B) = (B, −A), ∀A, B ∈ A.

2 Temos que J (A, B) = J(J(A, B)) = J(B, −A) = −(A, B).

  Ainda, J[(A, B), (C, D)] − [J(A, B), (C, D)] − [(A, B), J(C, D)] − J[J(A, B), J(C, D)] =

  = J(AC − CA, AD − CB) − [(B, −A), (C, D)]− − [(A, B), (D, −C)] − J[(B, −A), (D, −C)]

  = (AD − CB, CA − AC) − (BC − CB, BD + CA)− − (AD − DA, −AC − DB) − J(BD − DB, −BC + DA)

  = (AD − CB, CA − AC) − (BC − CB, BD + CA)− − (AD − DA, −AC − DB) − (−BC + DA, DB − BD)

  = (AD − CB − BC + CB − AD + DA + BC − DA, CA − AC − BD − CA + AC + DB − DB + BD) = (0, 0).

  Portanto J ´e uma estrutura complexa integr´avel sobre aff(A).

  Tamb´em,

  1

  2

  aff (A) ∋ [(A, B) ∗ (C, D)] J = ([(A, B), (C, D)] − [J(A, B), J(C, D)])

  ∗

  2

  1 = ([(A, B), (C, D)] − [(B, −A), (D, −C)])

  2

  1 = (AC − CA, AD − CB) − (BD − DB, −BC + DA)

  2

  1 = (AC − CA − BD + DB, AD − CB + BC − DA)

  2 6= (0, 0)

  Isto mostra que aff (A) n˜ao ´e abeliano, consequentemente, J n˜ao ´e abeliano. Seja

  ∗

  1 (X, Y ) = (AC − CA − BD + DB, AD − CB + BC − DA).

  2

  Pela proposi¸c˜ao (3.1) de [8], uma ´ Algebra de Lie nilpotente 8-dimensional que possui uma estrutura hipercomplexa ´e 2-passos nilpotente. Baseados neste fato, provare- mos a seguinte proposi¸c˜ao.

  (s+1)

  Isso mostra que aff (A)

  4 ∗

  ⊂ (A

  

4

  , A

  4 ) = (0, 0).

  Portanto J ´e uma estrutura complexa 3-passos nilpotente sobre aff(A).

  Do mesmo modo, se A = {A ∈ M

  (s+1)×(s+1)

  ; A = 0 a

  12 · · · a 1(s+1)

  · · · a

  2(s+1) ... ... ... ...

  · · · a s

  · · · },

  (A)

  Novamente A ´e associativa, n˜ao-comutativa, A

  1 .A 2 ...A s 6= 0 e A 1 .A 2 ...A s +1 = 0 para

  A

  1

  , A

  2

  , ..., A s , A s +1 ∈ A. Definindo o colchete e J como antes, vemos que aff(A) s

  ∗

  ⊂ (A s , A s ) e aff(A) s

  ∗

  ´e subespa¸co n˜ao nulo. Mais ainda, aff (A) s

  ⊂ (A s

  , A s

  Portanto, J ´e uma estrutura s-passos nilpotente sobre aff(A).

  ∗ .

  4

  aff

  2 (EX − XE − F Y + Y F, EY − XF + F X − Y E)

  ∗

  (A)

  3

  ∋ [(E, F ) ∗ (X, Y )] J =

  1

  2 ([(E, F ), (X, Y )] − [J(E, F ), J(X, Y )])

  =

  1

  2 ([(E, F ), (X, Y )] − [(F, −E), (Y, −X)])

  =

  1

  2 (EX − XE, EY − XF ) − (F Y − Y F, −F X + Y E)

  =

  1

  Mas da forma que foi definido, ´e f´acil ver que (X, Y ) ∈ (A

  ). Por outro lado, [(E, F )∗(W, Z)] J ∈ aff

  2

  , A

  2

  ), ent˜ao [(E, F ) ∗ (X, Y )] J ∈ (A

  3

  , A

  3 ).

  Analogamente, seja (W, Z) =

  1

  2 (EX − XE − F Y + DB, EY − XF + F X − Y E). ´

  E f´acil ver que [(E, F )∗(W, Z)] J ∈ (A

  4

  , A

  4

  • 1 ∗
  • +1

  • 1 ) = (0, 0).

  Proposi¸ c˜

  1

  2

  g 8-dimensional. Se uma das estruturas complexas ´e 2-passos nilpotente, ent˜ao a outra tamb´em ´e.

  3

  3

  3 Demonstra¸c˜ao. Do coment´ario acima, temos que g = 0. Mas g ⊂ g , logo g ´e no ∗ ∗ m´aximo 2-passos nilpotente, isto ´e, J i ´e s-passos nilpotente, com s 6 2.

  Suponha, sem perdas de generalidade, que J ´e uma estrutura complexa 2-passos

  1

  nilpotente. Se J

  2 fosse 1-passo nilpotente, isto ´e abeliano, ter´ıamos da proposi¸c˜ao 2.58 que J tamb´em seria abeliano. Nos resta que J tamb´em ´e 2-passos nilpotente.

  1

  2 Nosso interesse, agora ´e dar exemplo de estrutura hipercomplexa 2-passos nilpo- tente.

  Exemplo 3.27. Seja g uma ´ Algebra de Lie 8-dimensional com colchetes n˜ao nulos dados por [e , e ] = [e , e ] = −e [e , e ] = −[e , e ] = −e [e , e ] = [e , e ] = −e ,

  1

  2

  3

  4

  6

  1

  3

  

2

  4

  7

  1

  4

  2

  3

  8

  onde {e , e , e , e , e , e , e , e } ´e uma base de g. Seja {J , J } a estrutura hipercomplexa

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  1

  2

  sobre g dada por J e = e J e = e J e = e J e = e

  1

  1

  2

  1

  3

  4

  1

  5

  6

  1

  7

  8 J e = e J e = −e J e = e J e = −e .

  2

  1

  3

  2

  2

  4

  2

  5

  7

  2

  6

  8 Escreva (0,1)

  h = g = {ω j = e j + iJ J 2 2 e j , 1 ≤ j ≤ 8}

2 Utilizando o fato de que J = −I, temos por exemplo

  2

  [ω

  1 , ω 2 ] = [e 1 + iJ 2 e 1 , e 2 + iJ 2 e 2 ]

  = [e , e ] − i[e , e ] + i[e , e ] + [e , e ]

  1

  2

  

1

  4

  3

  2

  3

  4

  = −2(e − ie )

  6

  8

  = −2(e + iJ e )

  6

  2

  

6

  = −2ω

  6 ,

  [ω , ω ] = [e + iJ e , e + iJ e ]

  1

  3

  1

  2

  1

  3

  2

  3

  = [e , e ] + i[e , J e ] + i[J e , e ] − [J e , J e ]

  1

  3

  1

  2

  

3

  2

  1

  3

  2

  1

  2

  3

  = −e + e

  7

  7

  = 0,

  [ω

  2 , ω 3 ] = [e 2 + iJ 2 e 2 , e

3 + iJ

2 e 3 ]

  = [e , e ] + i[e , J e ] − i[e , e ] + [e , J e ]

  2

  3

  2

  

2

  3

  4

  3

  4

  2

  3

  = [e , e ] − i[e , e ] − i[e , e ] − [e , e ]

  2

  3

  2

  

1

  4

  3

  4

  1

  = −2(e + ie )

  8

  6

  = −2(e

  8 + iJ 2 e 8 ) = −2ω .

8 Por racioc´ınio an´alogo, obtemos,

  [ω , ω ] = −2ω [ω , ω ] = 0 [ω , ω ] = 0

  1

  2

  6

  1

  

3

  1

  4 [ω , ω ] = −2ω [ω , ω ] = 0 [ω , ω ] = −2ω .

  2

  3

  8

  2

  

4

  3

  4

  6

  2

  3 Logo h = span{ω 6 , ω 8 }, mas [ω 6 , ω 8 ] = 0. E da´ı, que h = {0}. Portanto J 2 ´e 2-passos

  nilpotente. Da proposi¸c˜ao 3.26, temos que {J , J } ´e 2-passos nilpotente. Mais ainda, g

  1 2 ∗ ´e 2-passos nilpotente e do Teorema 3.8, temos que g ´e sol´ uvel.

  Esta an´alise tamb´em poderia ser feita, a partir da estrutura complexa J , mos-

  1

  trando que J ´e 2-passos nilpotente considerando, por exemplo

  1 (1,0)

  h = g = {υ = e − iJ e , 1 ≤ j ≤ 8} j j J 1 1 j

2 Utilizando o fato J = −I, ter´ıamos por exemplo

  [υ , υ ] = [e − iJ e , e − iJ e ]

  1

  2

  1

  1

  1

  

2

  1

  2

  = [e , e ] + i[e , e ] − i[e , e ] + [e , e ]

  1

  2

  

1

  1

  2

  2

  2

  1

  = 0 e [υ , υ ] = [e − iJ e , e − iJ e ]

  1

  3

  1

  1

  1

  3

  1

  3

  = [e , e ] − i[e , J e ] − i[J e , e ] − [J e , J e ]

  1

  3

  1

  1

  

3

  1

  1

  3

  1

  1

  1

  3

  = [e , e ] − i[e , e ] − i[e , e ] − [e , e ]

  1

  3

  1

  4

  2

  3

  2

  4

  = −2(e − ie )

  7

  8

  = −2(e − iJ e )

  7

  1

  7 = −2υ .

7 Por racioc´ınio an´alogo, obtemos,

  [υ , υ ] = 0 [υ , υ ] = −2υ [υ , υ ] = 0

  1

  2

  1

  

3

  7

  1

  4

  [υ

  2 , υ 3 ] = −2υ 8 [υ 2 , υ 4 ] = 2υ 7 [υ 3 , υ 4 ] = 0.

  2

  7

  8

  7

  8

  3 h = {0}.

  O conceito de estrutura hipercomplexa foi utilizado em contextos geom´etricos (ver [7]) para embasar os estudos sobre variedades Hyper Kahler de Tor¸c˜ao-HKT. Defini¸ c˜ ao 3.28. Seja M uma variedade suave com uma estrutura hipercomplexa {J , J , J }

  1

  2

  3

  e m´etrica riemaniana g. M ´e dita variedade hyperhermitiana se ´e hermitiana com res- peito a cada J i =1,2,3 . Uma dada variedade hyperhermitiana (M, J i =1,2,3 ) ´e Hyper Kahler de Tor¸c˜ao se existe uma conex˜ao ▽, tal que

  ▽g = 0, ▽J i = 0, c(X, Y, Z) = g(X, T (Y, Z)),

  =1,2,3

  onde T ´e o tensor de tor¸c˜ao desta conex˜ao e c satisfaz a rela¸c˜ao c = −JdJF, com F = g(J., .). Observa¸ c˜ ao 3.29. O Teorema 3.1 de [7], I. G. Dotti e A. Fino garantem que a estrutura hipercomplexa de uma estrutura Hyper Kahler de Tor¸c˜ao sobre qualquer ´ Algebra de Lie 2-passos nilpotente ´e abeliana. Como g n˜ao ´e abeliano, j´a que g ≃ h, temos que a

  ∗ ∗

  estrutura hipercomplexa {J , J } do exemplo 3.27 n˜ao ´e uma estrutura hipercomplexa de

  1

  2 uma estrutura HKT. Tratamos de apresentar neste trabalho os principais conceitos da teoria das ´ Algebras de Lie, que fundamentaram todos os resultados obtidos. Al´em disso, introduzimos o con- ceito e as propriedades de estruturas complexas sobre uma ´ Algebra de Lie real e vimos que no caso de uma estrutura complexa integr´avel J sobre uma ´ Algebra de Lie real g, os

  1,0 0,1

  auto-espa¸cos g e g associados aos autovalores i e −i, respectivamente, s˜ao sub´algebras C C complexas de g , onde g = C ⊗ g.

  Tamb´em, consideramos estruturas complexas integr´aveis J sobre ´ Algebras de Lie (g, [., .]) e definimos um novo colchete de Lie [∗] J sobre g dado por

  [∗] J : g × g −→ g

  1 (X, Y ) 7−→ ([X, Y ] − [JX, JY ]).

  2 Neste caso denotamos a ´ Algebra de Lie obtida por g . A vantagem desse novo colchete

  ∗ ´e que J ´e adaptada a ele, de modo que g ∗ passa a ser uma ´ Algebra de Lie Complexa. 1,0 0,1 Vimos que a ´ Algebra de Lie g ´e isomorfa tanto a g quanto a g . ∗

  1,0

  Munidos do colchete [∗] J , vimos que dada uma ´ Algebra de Lie g, tal que g (ou C

  0,1

  equivalentemente g ) ´e uma sub´algebra nilpotente de g , ent˜ao g ´e uma ´ Algebra de Lie sol´ uvel. Para demonstrar este resultado, nos baseamos no Lema 3.12 devido a Goto para ´

  Algebras de Lie semi-simples sobre corpos algebricamente fechados e de caracter´ıstica zero.

  Al´em disso, caracterizamos as ´ Algebras de Lie sol´ uveis 6-dimensionais que ad- mitem estruturas complexas n˜ao abelianas. Vimos que se g ´e uma ´ Algebra de Lie 6- dimensional e J ´e uma estrutura complexa integr´avel s-passos nilpotente (neste caso, equivale a g ser s-passos nilpotente ) ent˜ao, J ´e 2-passos nilpotente e existe uma base

  ∗

  {Z , ..., Z } de g tal que os colchetes n˜ao nulos de (g, [∗]) J s˜ao dados por

  1

  6 [Z ∗ Z ] = [Z ∗ Z ] = −Z e [Z ∗ Z ] = [Z ∗ Z ] = −Z .

  1

  2

  3

  4

  5

  1

  3

  4

  2

  6 Com base neste resultado, em [12] Edson Licurgo e Luiz San Martin verificaram

  o comportamento dos elementos da base {Z , ..., Z } de g para os colchetes n˜ao nulos de

  

1

  6

  (g, [., .]). Neste sentido, no presente trabalho, constru´ımos detalhadamente estes resulta- dos.

  Baseado no comportamento desta base, com respeito ao colchete de Lie original, foram constru´ıdos exemplos de ´ Algebras de Lie g de dimens˜ao 6 com estrutura complexa satisfazendo as condi¸c˜oes dos resultados 3.8 e 3.21. Ainda, discutimos resultados ´ uteis para mostrar que sempre ´e poss´ıvel construir exemplos de ´ Algebras de Lie g com (g, [∗] J )) s-passos nilpotentes, s ≥ 1, para tanto constru´ımos a ´ Algebra de Lie aff(A). as quais g ´e s-passos nilpotente, construindo exemplo de uma ´ Algebras de Lie de di-

  ∗

  mens˜ao 8 com estruturas hipercomplexas e levantamos argumentos, baseados em [7] e na proposi¸c˜ao 3.26, que garantiram que o exemplo constru´ıdo n˜ao caracterizou uma estrutura hipercomplexa de uma variedade Hiper Kahler de Tor¸c˜ao. De modo, que torna-se not´avel a importˆancia das estruturas complexas para o estudo dessas variedades.

  [1] A. Andrada; M. L. Barberis; I. Dotti. Classication of abelian complex structures on 6-dimensional lie algebras, Journal of the London Mathematical Society , v. 1, n. 83, p. 232-255, (2011).

  [2] A. Andrada; M. L. Barberis; I. Dotti. Abelian hermitian geometry, Differential Geo- metry and its Applications, v. 30, n. 5, p. 509-519, (2012). [3] M. L. Barberis; Dotti I. Abelian complex structures on solvable lie algebras, Journal of Lie Theory, v. 1, n. 14, p. 25-34, (2004). [4] Barros, Carlos Jos´e Braga; Santana, Alexandre Jos´e. Estruturas Alg´ebricas com ˆenfase em elementos da Teoria de Lie. ed. (Maring´a-PR):Eduem- Editora da Universidade

  Estadual de Maring´a, 2011. [5] I. G. Dotti; A. Fino. Abelian hypercomplex 8-dimensional nilmanifolds, Annals of Global Analysis and Geometry, v. 1, n. 18, p. 47-59, (2000).

  [6] I. G. Dotti; A. Fino. Hypercomplex nilpotent lie groups, Contemp. Math, n. 28), p.

  310-314, (2001). [7] I. G. Dotti; A. Fino. Hyperkahler torsion structures invariant by nilpotent lie groups, Classical and Quantum Gravity, v. 3, n. 19, p. 551-562, (2002).

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  Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

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