Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

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  Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Formalismo Termodinˆ amico e Dimens˜ ao de Hausdorff

Vanessa Ribeiro Ramos

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2009 Formalismo Termodinˆ amico e Dimens˜ ao de Hausdorff Vanessa Ribeiro Ramos

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro. Co-orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Jr.

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2009 Ramos, Vanessa Ribeiro.

  Formalismo Termodinˆ amico e Dimens˜ ao de Hausdorff / Vanessa Ribeiro Ramos. – Salvador, 2009. 60 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro. Co-orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Jr. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2009. Referˆ encias bibliogr´ aficas.

1. Sistemas dinˆ amicos. 2. Teoria erg´ odica. I. Pinheiro, Vilton Jeovan Viana. II.

  Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 517.938 Formalismo Termodinˆ amico e Dimens˜ ao de Hausdorff Vanessa Ribeiro Ramos

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 11 de fevereiro de 2009.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Jr. (Co-orientador) UFBA

  Prof. Dr. Carlos Matheus Silva Santos Coll`ege de France

  A Deus.

  “A vida n˜ao d´a e nem empresta, n˜ao se comove e nem se apieda. Tudo que ela faz ´e retribuir e transferir aquilo que n´os lhe oferecemos.”

  (Albert Einstein) Agradecimentos Agrade¸co a Deus, for¸ca criadora que impulsiona minha vida.

  Aos meus pais, pela educa¸c˜ao moral e amor incondicional. Ao meu orientador, Professor Dr.Vilton Pinheiro, exemplo de dedica¸c˜ao `a pesquisa matem´atica, que atrav´es de sua firmeza na condu¸c˜ao deste trabalho foi o maior respons´avel pelo meu crescimento acadˆemico. Ao meu co-orientador, Professor Dr. Au- gusto Armando, um matem´atico atencioso e preocupado com a forma¸c˜ao de seus alunos, agrade¸co pelos s´abios conselhos nos momentos de inseguran¸ca. Ao Professor Dr. Vitor Ara´ ujo que, pela generosidade ao transmitir seus conhecimentos, fez despertar o meu in- teresse no estudo dos sistemas dinˆamicos. Ao Professor Dr. Paulo Varandas, um amigo querido, referˆencia de boa vontade e gentileza. A estes “dinˆamicos”, meu eterno agradeci- mento pelo apoio ao prosseguimento dos meus estudos de nossa bel´ıssima Matem´atica.

  Ao Professor Dr. Carlos Matheus, pelos coment´arios e sugest˜oes para esta dis- serta¸c˜ao.

  ` A Maria Teresa Gilly, pelo amparo e otimismo que fortaleceram meus passos no momento mais dif´ıcil desta caminhada.

  ` As “super-poderosas”, Fabi, Liu, Man´ u e `a ´Isis, queridas amigas que, com muito amor e cumplicidade, me ajudaram a superar tantos obst´aculos.

  Ao Jo˜ao Paulo, pela disponibilidade em normatizar o layout deste trabalho. Aos professores do Instituto de Matem´atica-UFBA, pela aten¸c˜ao e carinho du- rante toda gradua¸c˜ao e mestrado. Em especial, ao Professor Dr. Enaldo Vergasta, um amigo e incentivador, alicerce de minha trajet´oria matem´atica.

  ` A CAPES, pelo aux´ılio financeiro. Enfim, agrade¸co a todos os colegas do mestrado, funcion´arios do Instituto de

  Matem´atica-UFBA e amigos que de alguma forma contribu´ıram nesta etapa de minha caminhada.

  Resumo

  O objetivo principal desta disserta¸c˜ao ´e usar o formalismo termodinˆamico para calcular a dimens˜ao de Hausdorff de um repulsor conforme. Com esta finalidade, constru´ımos parti¸c˜oes de Markov para sistemas uniformemente expansores utilizando a propriedade de sombreamento por pseudo-´orbitas. Tais parti¸c˜oes nos permite identificar a dinˆamica destes sistemas com um subshift de tipo finito. Para finalizar, exibimos um

  2

  conjunto de parˆametros c ∈ C para os quais o polinˆomio z + c atua como um repulsor conforme no seu conjunto de Julia.

  Palavras-chave: Formalismo Termodinˆamico; Parti¸c˜ao de Markov; Repulsores Conformes; Dimens˜ao de Hausdorff.

  Abstract

  The main goal of this masters thesis is use the thermodynamical formalism for calculate the Hausdorff dimension of a conformal repeller. To this end, we constructed Markov partition for uniformly expanding dynamical systems making use of shading property by pseudo-orbit. Such partitions allow us to identify the dynamics of this systems with a subshift of finite type. Finally, we display one set of parameters c ∈ C for

  2 which the polynomial z + c acts as a conformal repeller on its Julia set.

  Keywords: Thermodynamical Formalism; Markov Partition; Conformal Repellers; Hausdorff Dimension.

  Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  1

  1 Preliminares 3 1.1 Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.2 Medidas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.3 Ergodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7

  1.4 Outros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

  2 Entropia

  12

  2.1 Entropia do shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

  2.2 Entropia Topol´ogica e Press˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  2.3 O Teorema de Shannon-McMillan-Breiman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  3 Formalismo Termodinˆ amico

  25

  3.1 O Teorema de Perron-Frobenius-Ruelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  3.2 Medidas Gibbs e Estados de Equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  4 Repulsores Conformes

  36

  4.1 Defini¸c˜ao e Propriedades Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

  4.2 C´alculo da Dimens˜ao de Hausdorff de J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  5 Itera¸c˜ ao de Polinˆ omios Quadr´ aticos

  46

  5.1 Conjuntos de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

  5.2 O Cardi´oide Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 A Medidas e Dimens˜ ao de Hausdorff

  55 A.1 Medidas de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A.2 Dimens˜ao de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

  Referˆ encias

  58 ´Indice Remissivo

  59 Lista de Figuras

  5.1 Conjunto de Mandelbrot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  5.2 Conjunto de Julia associado ao parˆametro c do conjunto de Mandelbrot. . 50

  2

  5.3 Alguns conjuntos de Julia da fam´ılia quadr´atica P (z) = z + c. . . . . . . 51

  c Introdu¸c˜ ao

  O Formalismo Termodinˆamico desempenha um papel proeminente no entendi- mento das propriedades erg´odicas dos sistemas uniformemente hiperb´olicos. A id´eia central ´e utilizar as parti¸c˜oes de Markov para codificar as ´orbitas destes sistemas por sequˆencias simb´olicas infinitas e construir os chamados Estados de Equil´ıbrio e Medidas Gibbs.

  Enquanto as medidas Gibbs fornecem um controle uniforme da medida de todas as bolas dinˆamicas, os estados de equil´ıbrio maximizam a press˜ao do sistema. Deste modo, essas medidas invariantes tornam-se as mais naturais associadas a uma transforma¸c˜ao expansora.

  Apesar de nos restrigirmos ao estudo de sistemas uniformemente hiperb´olicos, as t´ecnicas apresentadas servem de modelo para a compreens˜ao da dinˆamica de sistemas mais gerais.

  Neste trabalho, utilizaremos o formalismo termodinˆamico para calcular a dimens˜ao de Hausdorff de um repulsor conforme. O cap´ıtulo 1 ´e composto de resultados preliminares para o entendimento dos enunciados e defini¸c˜oes da disserta¸c˜ao. Como a defini¸c˜ao de entropia m´etrica depende da existˆencia de medidas invariantes provamos a existˆencia de tais medidas para trans- forma¸c˜oes cont´ınuas em espa¸cos compactos. Para tal, utilizamos a no¸c˜ao de convergˆencia fraca no espa¸co M(X, T ) das medidas invariantes por transforma¸c˜oes cont´ınuas T : X → X em que X ´e compacto. Em seguida, fornecemos uma interpreta¸c˜ao geom´etrica do conceito de medidas erg´odicas em espa¸cos compactos. Esta interpreta¸c˜ao nos permitiu concluir que as medidas definidas por princ´ıpio variacional s˜ao erg´odicas. Por ´ ultimo, mostramos que um sistema dinˆamico expansor na m´etrica hiperb´olica ´e na verdade um sistema uniformemente hiperb´olico.

  Como a imprevisibilidade das ´orbitas de um sistema dinˆamico pode ser medido pela entropia, no cap´ıtulo 2 apresentamos os conceitos de entropias m´etrica e topol´ogica para o shift, provando a principal rela¸c˜ao entre elas: o Princ´ıpio Variacional. Demonstramos o Teorema de Shannon-McMillan-Breiman e, baseados neste, definimos a entropia m´etrica de uma transforma¸c˜ao qualquer que preserva medida. Comentamos

  2 ainda a interessante vers˜ao topol´ogica deste teorema dada por Brin e Katok. N Denotando por X o espa¸co topol´ogico compacto A , em que A = {1, . . . , m}, e por T o shift em X, a cada fun¸c˜ao real φ cont´ınua em X associamos o operador de Ruelle, tamb´em conhecido como operador de transferˆencia, L : C(X) → C(X) definido por:

  φ

  X

  φ(y) L (f )(x) = e f (y). φ −1 y∈T (x)

  Iniciamos o cap´ıtulo 3, dedicado ao formalismo termodinˆamico, por mostrar o Teorema de Perron-Frobenius-Ruelle que, sob a hip´otese de φ ter varia¸c˜ao som´avel, garante a

  ∗ existˆencia de uma ´ unica probabilidade invariante autofun¸c˜ao do operador adjunto L . φ

  Como consequˆencia deste teorema mostramos que para toda fun¸c˜ao φ H¨older existe um unico estado de equil´ıbrio que ´e uma medida Gibbs. ´ No cap´ıtulo 4, mostramos como construir parti¸c˜oes de Markov, com elementos de diˆametro arbitrariamente pequeno, para sistemas uniformemente expansores utilizando a propriedade de sombreamento por pseudo-´orbitas. Fixada uma parti¸c˜ao de Markov, exibimos uma (semi)conjuga¸c˜ao do sistema expansor com um subshift de tipo finito. Essa identifica¸c˜ao tem uma particular importˆancia quando consideramos um repulsor conforme; uma vez que este sistema uniformemente expansor ´e topologicamente mixing podemos aplicar o formalismo termodinˆamico desenvolvido no cap´ıtulo 3 para calcular a sua dimens˜ao de Hausdorff.

  Apresentamos no cap´ıtulo 5 algumas propriedades do Conjunto de Julia pro- duzido por itera¸c˜ao de polinˆomios complexos. Considerando a fam´ılia de polinˆomios

  2

  quadr´aticos {P (z) = z + c} , exibimos um conjunto de parˆametros c ∈ C para os

  c c∈C

  quais, o conjunto de Julia associado ´e um repulsor conforme. Desta forma, tem-se um bom entendimento da dinˆamica do polinˆomio neste conjunto.

  O apˆendice A ´e um breve resumo sobre dimens˜ao de Hausdorff. Neste, al´em de defini¸c˜oes b´asicas, demonstramos um resultado de fundamental importˆancia para o c´alculo da dimens˜ao de Hausdorff a partir do estado de equil´ıbrio. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo, apresentamos algumas ferramentas b´asicas para o entendimento dos enunciados e defini¸c˜oes desta disserta¸c˜ao.

1.1 Shift

  Seja X um espa¸co topol´ogico. Denotaremos por B(X) o conjunto das sequˆencias

  • θ : Z → X e por B (X) o conjunto das sequˆencias θ : N → X providos da topologia produto. O shift T : B(X) ←֓ ´e a transforma¸c˜ao definida por

  T (θ)(n) = θ(n + 1)

  • Analogamente, define-se o shift T : B (X) ←֓ denominado `as vezes shift unilateral. Da An´alise Funcional, sabemos que ambas aplica¸c˜oes s˜ao cont´ınuas. No caso de X

  um conjunto finito com m elementos escreveremos B(m) = B(X), B (m) = B (X) e identificaremos X com o conjunto A = {1, . . . , m} provido da topologia discreta.

  A σ-´algebra dos boreleanos de B(m) ´e gerada pelos cilindros x . . . x := {θ ∈ B(m) ; θ(i) = x , 1 ≤ i ≤ n}

  1 n i

  Diremos que um subconjunto Λ ⊂ B(m) ´e um subshift se ´e compacto e invariante

  −1

  sob a dinˆamica de T , isto ´e, T (Λ) = Λ. Um subshift Λ ⊂ B(m) ´e dito de tipo finito se existe M uma matriz m × m, chamada matriz de incidˆencia , cujos coeficientes m s˜ao 0

  ij

  ou 1 e tal que θ ∈ Λ ⇐⇒ m = 1

  θ(i)θ(i+1)

  para todo i ∈ Z. Neste caso, denotaremos Λ = Λ(M ). Reciprocamente, dada uma matriz de incidˆencia M = (m ) podemos definir o subshift

  ij m×m

  4 Λ = Λ(M ) := {θ ∈ B(m) ; m = 1 , ∀i ∈ Z}

  θ(i)θ(i+1) n n

  Denotaremos por m as entradas da matriz M .

  ij

  Examinemos agora as rela¸c˜oes entre as propriedades alg´ebricas da matriz M e as propriedades topol´ogicas de Λ(M ). Seja X um espa¸co compacto e T : X → X uma transforma¸c˜ao cont´ınua. O par

  (X, T ) ´e dito topologicamente transitivo, se para todo par de abertos U e V existe n ∈ N

  n

  tal que T (U ) ∩ V 6= ∅. Dizemos que (X, T ) ´e topologicamente mixing se, para todo

  n

  par de abertos U e V em X, existe k > 0 tal que T (U ) ∩ V 6= ∅, ∀ n ≥ k. Note que topologicamente mixing implica em topologicamente transitivo. N O shift em A ´e topologicamente mixing, pois para todo aberto U existe n ≥ 0 N

  n

  tal que T (U ) = A Teorema 1.1.1. O subshift (Λ(M ), T ) ´e topologicamente transitivo se, e somente se, para

  n

  todo i, j ∈ A, existe n ≥ 1 tal que m > 0 (isto ´e, M ´e irredut´ıvel). Mais ainda, ele ´e

  ij

  topologicamente mixing se, e somente se, existe n ≥ 1 tal que para todo i, j ∈ A temos

  k m > 0, ∀ k ≥ n (isto ´e, M ´e aperi´odica). ij

  Na prova deste teorema usaremos o

  (l) (l)

  Lema 1.1.2. Para todo 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ m e l ≥ 1, tem-se que m = #S , em que

  ij ij (l)

  S ´e o conjunto das fun¸c˜oes γ : {0, . . . , l} → {1, . . . , m} tais que

  ij

  γ(0) = i γ(l) = j m = 1, t ∈ {0, . . . , l − 1}

  γ(t)γ(t+1) Demonstra¸c˜ ao: (Lema 1.1.2.) Provaremos por indu¸c˜ao sobre l.

  Para l = 1 a igualdade ´e clara. Suponha que vale para um dado l ≥ 1, e analisemos a igualdade para l + 1.

  (l)

  Seja S a uni˜ao disjunta dos conjuntos S , com t tal que m tj = 1. Ent˜ao,

  it

  X X

  X

  (l) (l) (l) (l+1) #S = #S = m = m m tj = m . it it it ij m tj =1 m tj =1 t

  Por outro lado, considerando a fun¸c˜ao φ : S → {θ : {0, . . . , l + 1} → {1, . . . , m}} definida por φ(γ)(s) = γ(s), s = 0, . . . , l φ(γ)(l + 1) = j

  (l+1) temos uma bije¸c˜ao entre S e S . ij

  De fato, pela defini¸c˜ao da fun¸c˜ao φ, γ 6= ψ ∈ S =⇒ φ(γ) 6= φ(ψ),

  5 o que garante a injetividade da mesma. A sobrejetividade tamb´em ´e v´alida, pois dada

  (l+1)

  α ∈ S , ou seja, α ∈ {θ : {0, . . . , l + 1} → {1, . . . , m}} tal que

  ij

  α(0) = i α(l + 1) = j m = 1, t = 0, . . . , l ,

  α(t)α(t+1) (l)

  existe γ ∈ S, mais precisamente γ ∈ S definida como

  iα(l)

  γ(s) = α(s), s = 0, . . . , l m = 1, t = 0, . . . , l − 1 ,

  γ(t)γ(t+1)

  tal que neste caso, φ(γ)(s) = γ(s) = α(s), s = 0, . . . , l φ(γ)(l + 1) = j = α(l + 1) . m = m = 1, t = 0, . . . , l − 1

  φ(γ)(t)φ(γ)(t+1) γ(t)γ(t+1)

  m = m = m = 1

  φ(γ)(l)φ(γ)(l+1) γ(l)j α(l)j (l+1)

  Conclu´ımos ent˜ao que, dada α em S , existe uma fun¸c˜ao γ em S tal que a imagem de

  ij (l+1)

  γ por φ ´e α. Disto, segue que #S = #S .

  ij (l+1) (l+1)

  Portanto, m = #S .

  ij ij c.q.d.

  Com este lema provemos o teorema: Demonstra¸c˜ ao: (Teorema 1.1.1.) Queremos provar que, se U e V s˜ao abertos n˜ao vazios

  n de Λ(M ), ent˜ao existe n > 0 tal que T (U ) ∩ V 6= ∅. N

  Como a σ-´algebra dos boreleanos de A ´e gerada pela uni˜ao disjunta dos cilindros, se U e V s˜ao abertos de Λ(M ), existem cilindros x j . . . x j+p e y i . . . y i+s tais que (x . . . x ) ∩ Λ(M ) ⊂ U e (y . . . y ) ∩ Λ(M ) ⊂ V.

  j j+p i i+s

  Ent˜ao,

  n n

  ⊃ T T (U ) ∩ V ((x j . . . x j+p ) ∩ Λ(M )) ∩ (y i . . . y i+s ) ∩ Λ(M )

  (1.1) = (x . . . x ) ∩ (y . . . y ) ∩ Λ(M )

  

j+n j+p+n i i+s

N

n

  Construiremos uma seq¨ uˆencia θ ∈ A tal que θ ∈ T (U ) ∩ V .

  ∈ (x ∈ (y Sejam θ

  1 j . . . x j+p ) ∩ Λ(M ) e θ 2 i . . . y i+s ) ∩ Λ(M ). Considere n tal que

  i + s < n + j

  (n+j−i−s)

  m > 0

  y i+s x j

  6 Pelo lema 1.1.2., existe α : {0, . . . , n + j − i − s} → {1, . . . , n} tal que α(0) = y

  i+s

  α(n + j − i − s) = x

  j N m α(t)α(t+1) = 1, t ∈ {0, . . . , n + j − i − s − 1}

  Definimos θ ∈ A como: θ(t) = θ (t), t ≤ i + s

  2

  θ(t) = α(t − i − s), i + s ≤ t ≤ n + j θ(t) = θ

  1 (t − n), t ≥ n + j

  Disto, da defini¸c˜ao de α e de θ , θ ∈ Λ(M ), conclu´ımos que θ ∈ Λ(M ). Al´em disso,

  1

  2 θ ∈ (x j+n . . . x j+p+n ) ∩ (y i . . . y i+s ). n Portanto, por (1.1), obtemos T (U ) ∩ V 6= ∅.

  Reciprocamente, se (Λ(M ), T ) ´e transitivo, dados 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ m, para os

  n cilindros i e j existe n > 0 tal que T (j )∩(i )∩Λ(M ) 6= ∅, isto ´e, (j )∩(i )∩Λ(M ) 6= ∅. n

  Seja θ ∈ (j n ) ∩ (i ) ∩ Λ(M ). Ent˜ao θ | {1,...,n} satisfaz: θ(0) = i θ(n) = j m = 1, t ∈ {1, . . . , n − 1}

  θ(t)θ(t+1) (n)

  Pelo lema anterior, obtemos m ≥ 1.

  ij Seguindo as mesmas id´eias demonstra-se a segunda equivalˆencia do teorema.

  c.q.d. Apesar de apresentarem uma dinˆamica bastante simples, os shifts modelam as dinˆamicas uniformemente hiperb´olicas: em particular, veremos no cap´ıtulo 4 que um sistema uniformemente expansor ´e uma r´eplica exata de algum subshift, pelo menos sob o ponto de vista de uma medida erg´odica aberta.

1.2 Medidas Invariantes Sejam (X, A, µ) um espa¸co de medida e T : X ←֓ uma transforma¸c˜ao mensur´avel.

  Diremos que µ ´e uma medida invariante (ou T preserva a medida µ) se ∀A ∈ A vale

  −1

  µ(T (A)) = µ(A) A dinˆamica de transforma¸c˜oes que preservam medida ´e o tema da Teoria Erg´odica. Um crit´erio para verificar se uma transforma¸c˜ao preserva medida ´e dado pelo

  7 Teorema 1.2.1. Sejam (X, A, µ) um espa¸co de medida σ-finito e T : X ←֓ uma trans-

  −1

  forma¸c˜ao mensur´avel. Se existe uma sub´algebra B ⊂ A que gera A e tal que µ(T (A)) = µ(A) para todo A ∈ B ent˜ao µ ´e invariante. Demonstra¸c˜ ao: Defina a medida ν : A → R por

  −1 ν(A) = µ(T (A)).

  Note que ν| = µ| e portanto ν ´e a extens˜ao a A de µ| . Como tal extens˜ao ´e ´ unica (ver

  B B B [2]) temos ν = µ, o que mostra que µ ´e invariante.

  c.q.d. Vejamos uma aplica¸c˜ao deste teorema. N

  Exemplo 1.2.2. Sejam X = A , em que A = {1, . . . , m}, e T o shift unilateral. Dada uma probabilidade µ em A defina a medida produto µ nos cilindros por

  m

  Y µ(a . . . a ) := µ (a )

  1 n i i=1

  Como os cilindros geram a σ-´algebra dos boreleanos de X, o teorema de extens˜ao garante a boa defini¸c˜ao de µ nesta ´algebra al´em disso, pelo teorema anterior, µ ´e uma medida invariante.

1.3 Ergodicidade

  Nesta se¸c˜ao utilizaremos alguns resultados de An´alise Funcional que podem ser encontrados em [9]. Seja T uma transforma¸c˜ao que preserva medida de um espa¸co de probabilidade

  (X, A, µ). Diremos que µ ´e uma medida erg´odica (ou T ´e erg´odica) se

  −1

  A ∈ A e T (A) = A =⇒ µ(A) = 0 ou 1 Para uma interpreta¸c˜ao geom´etrica do conceito de ergodicidade, suponha que X seja um espa¸co m´etrico compacto e que A seja a cole¸c˜ao dos boreleanos de X. O teorema de representa¸c˜ao de Riesz-Markov (ver [2]) nos permite identificar a cole¸c˜ao das medidas

  ∗

  boreleanas (com sinal) finitas M(A) com (C(X)) , o dual do espa¸co das fun¸c˜oes reais cont´ınuas definidas em X, da seguinte forma

  ∗

  Φ : M(A) −→ (C(X)) µ 7−→ Φ(µ) : C(X) −→ R

  Z f 7−→ Φ(µ)(f ) := f dµ

  X

  8 Denotando por M(X) o conjunto das medidas de probabilidade definidas em X,

  ∗

  a topologia fraca em (C(X)) induz uma topologia em M(X), chamada topologia fraca-* de M(X), com a seguinte no¸c˜ao de convergˆencia Z Z µ −→ µ ⇐⇒ f dµ −→ f dµ, ∀f ∈ C(X).

  n f raca− n

  X X

  Por outro lado, sendo X m´etrico compacto, o conjunto C(X) ´e separ´avel e portanto a

  ∗

  aplica¸c˜ao d : M(A) × M(A) → [0, +∞) definida por

  Z Z

  X

  ∗ −j

  d (µ, ν) := 2 g dµ − g dν

  j j

  X X j=1

  em que {g } ´e um subconjunto denso enumer´avel da bola unit´aria de C(X), ´e uma

  j j≥1

  m´etrica que gera a toplogia fraca-* de M(X). Deste modo, aplicando o teorema de Banach-Alaoglu, temos que M(X) ´e compacto.

  Em resumo, M(X) ´e um subconjunto convexo compacto de um espa¸co vetorial topol´ogico. O teorema de Krein-Millman mostra que neste caso, toda medida em M(X) ´e combina¸c˜ao convexa dos pontos extremais de M(X). Aqui um ponto µ ∈ M(X) ´e extremal se

  1 µ , µ ∈ M(X) e µ = (µ + µ ) ⇒ µ = µ = µ.

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2 Por exemplo, as medidas de Dirac δ para x ∈ X s˜ao pontos extremais de M(X).

  x

  Seja T : X ←֓ uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Esta transforma¸c˜ao induz uma aplica¸c˜ao

  ∗

  T : M(X) ←֓ definida por

  ∗ −1 A ∈ A, T µ(A) = µ(T (A)). ∗ Proposi¸c˜ ao 1.3.1. A fun¸c˜ao T ´e linear e cont´ınua em M(X).

  ∗

  Demonstra¸c˜ ao: A linearidade de T ´e clara. Pelo teorema de Riesz-Markov, para toda f ∈ C(X) vale Z Z

  ∗

  f d(T µ) = f ◦ T dµ

  X X

  Desta equa¸c˜ao, vemos que se (µ ) ´e uma sequˆencia em M(X) convergindo fracamente-*

  n

∗ ∗

  para µ ent˜ao sequˆencia (T µ ) converge fracamente-* para T µ.

  n c.q.d.

  Da An´alise Funcional sabemos que toda fun¸c˜ao linear cont´ınua definida em um subconjunto compacto convexo de um espa¸co vetorial topol´ogico possui um ponto fixo.

  ∗

  Em nosso caso, aplicando este resultado `a fun¸c˜ao T , isto significa que toda transforma¸c˜ao cont´ınua de X admite uma medida invariante.

  9 Defina M(X, T ) como o conjunto das medidas de M(X) que s˜ao invariantes por T . Este ´e um conjunto compacto convexo n˜ao-vazio e portanto ´e gerado pelos seus pontos extremais. O teorema a seguir caracteriza estas medidas invariantes extremais. Teorema 1.3.2. Os pontos extremais de M(X, T ) s˜ao exatamente as medidas erg´odicas extremais. Demonstra¸c˜ ao: (Extremal ⇒ erg´odica) Suponha que a medida µ ∈ M (X, T ) n˜ao seja

  −1 erg´odica. Ent˜ao existe um boreleano E ∈ A tal que T (E) = E e 0 < µ(E) < 1.

  Utilizando as fun¸c˜oes caracter´ısticas χ e χ , defina as medidas

  E X\E

  χ χ E X\E

  µ

  1 := µ, µ 2 := µ

  µ(E) µ(X\E) desde que E e X\E s˜ao invariantes, µ

  1 e µ 2 s˜ao invariantes. Logo, µ n˜ao ´e extremal pois, µ = µ(E)µ + (1 − µ(E))µ .

  1

  2

  (Erg´odica ⇒ extremal) Seja µ erg´odica, e suponha que µ = aµ + (1 − a)µ com

  1

  2

  ∈ M(X, T ) e 0 < a < 1. Neste caso, µ µ i

  j ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ, e

  1 pelo teorema de Radon-Nikodym (ver [2]), µ = f µ com f ≥ 0 e f ∈ L (µ). j j j j

  Considere o conjunto E = {f < 1}, como

  1 Z Z −1

  f dµ + f dµ = µ (E) = µ (T (E)) −1 −1

  1

  1

  1

  1 E\T (E) E∩T (E)

  Z Z = f dµ + f dµ −1 −1

  1

  1 T (E)\E E∩T (E)

  ent˜ao Z Z −1 −1 f

  1 dµ = f 1 dµ E\T (E) T (E)\(E)

  e

  −1 −1

  µ(E \ T (E)) = µ(E) − µ(E ∩ T (E))

  −1 −1

  = µ(T (E)) − µ(E ∩ T (E))

  

−1

  = µ(T (E) \ E)

  

−1 −1

  Por outro lado, f < 1 em E \ T (E) e f ≥ 1 em T (E) \ E. Estes fatos mostram que

  1

  1 −1

  µ(E△T (E)) = 0. Afirmamos que µ(E) = 0 ou µ(E) = 1.

  −1 −n

  De fato, indutivamente vemos que se µ(E△T (E)) = 0 ent˜ao µ(E△T (E)) =

  0. Definindo

  

∞ ∞

  \ [

  −i

  E = T (E)

  ∞

n=0 i=n

−1 obtemos µ(E△E ) = 0 e T (E) = E. Pela ergodicidade de µ, µ(E) = 0 ou µ(E) = 1. ∞

  10 Em verdade µ(E) = 0, pois µ = f µ e µ ´e invariante. Deste modo, f ≥ 1

  1

  1

  1

  1

  em µ-qtp x ∈ X, e o mesmo argumento aplicado ao conjunto E = {f > 1} mostra que

  1

  µ(E) = 0. Logo, f

  1 = 1 em µ-qtp x ∈ X e µ 1 = µ, o que implica µ 2 = µ.

  c.q.d.

1.4 Outros Resultados

  Os resultados a serem apresentados nesta se¸c˜ao s˜ao considerados cl´assicos de An´alise Complexa e Geometria Riemanniana, portanto omitiremos as demonstra¸c˜oes. Para maiores detalhes consulte [7] e [2]. Teorema 1.4.1. (Teorema de Uniformiza¸c˜ao de Riemann) Seja U um subconjunto aberto

  ∈ U , existe um ´ e simplesmente conexo de C, tal que U 6= C. Dado z unico biholomorfismo

  ′ f : U → D := {z ∈ C ; |z| < 1}, tal que f (z ) = 0 e f (z ) ∈ (0, +∞).

  Em palavras, o teorema de uniformiza¸c˜ao de Riemann nos permite identificar um aberto simplesmente conexo do plano com o disco unit´ario D. Equipando D com a m´etrica hiperb´olica ρ definida por

  |dz| dρ(z) =

  2

  (1 − |z| ) classificamos os holomorfismos do disco com o Lema 1.4.2. (Lema de Schwarz) Se f : D → D ´e uma fun¸c˜ao holomorfa ent˜ao, com rela¸c˜ao a m´etrica hiperb´olica, f ´e uma isometria ou ´e uma contra¸c˜ao.

  Para ilustrar a importˆancia destes teoremas, considere U ⊂ C um aberto simples- mente conexo e f : U → U uma fun¸c˜ao holomorfa que possui pelo menos um ponto fixo atrator z em U. Pelo teorema de uniformiza¸c˜ao de Riemann ∃F : U → D biholomorfismo com f (z ) = 0.

  −1

  Defina ˆ f : D ←֓ por ˆ f = F ◦ f ◦ F (z). Pelo lema de Schwarz, ˆ f ´e uma isometria ou uma contra¸c˜ao na m´etrica hiperb´olca. No entanto, da Geometria Riemanniana, sabe- mos que as isometrias na m´etrica hiperb´olica do disco s˜ao precisamente as tranforma¸c˜oes de M¨obius az + b

  T (z) = bz + a

  2

  2

  em que |a| − |b| = 1 e como ˆ f (0) = 0 e |D ˆ f (0)| = |Df (z )| < 1 temos que ˆ f ´e uma contra¸c˜ao na m´etrica hiperb´olica, isto ´e, ∃k < 1 tal que

  n n n

  ρ( ˆ f (z), ˆ f (w)) ≤ k ρ(z, w) , ∀z, w ∈ U, n ≥ 1

  11

  −1

  Seja J ⊂ U compacto invariante por f , isto ´e, f (J) = J. Denotando por A o conjunto F (J) temos que A ´e compacto (e portanto ∃c < 1 ; |z| ≤ c, ∀z ∈ A ) e

  −1

  invariante por ˆ f . Desta forma, ∀z = F (ˆ z) ∈ J e ∀n ≥ 1 vale

  n n

  || ˆ f (ˆ z)|| ≤ k ||ˆ z||

  ρ ρ

  Pela defini¸c˜ao da m´etrica ρ

  n n

  |D ˆ f (ˆ z)| k ≤

  2 n

  

2

  1 − |ˆ z| 1 − | ˆ f (ˆ z)| Logo,

  n 2 −1

  k (1 − c )

  n

  |Df (z)| ≤

  −1 n −1

  min |DF (ˆ z)||DF (f ◦ F (ˆ z))|

  ˆ z∈A

  equivalentemente,

  n n |Df (z)| ≤ Ck , ∀z ∈ J.

  Deste modo, se J n˜ao possui pontos cr´ıticos de f ent˜ao ∃n tal que todo ramo

  −n

  inverso f ´e uniformemente expansor em J para todo n ≥ n . Este resultado ser´a utilizado no cap´ıtulo 5 desta disserta¸c˜ao.

  Cap´ıtulo 2 Entropia

  O conceito de entropia em sistemas dinˆamicos foi introduzido inicialmente por Kolmogorov e por Sinai em 1958 e 1959, respectivamente. Eles se basearam nos conceitos de entropia em teoria de informa¸c˜ao, introduzidos por Shannon. Enquanto a defini¸c˜ao de entropia m´etrica depende de uma medida invariante, a entropia topol´ogica ´e definida de modo puramente topol´ogico para transforma¸c˜oes cont´ınuas e n˜ao depende de medida.

  Intuitivamente, elas medem o qu˜ao desordenadas s˜ao as ´orbitas do sistema. A principal rela¸c˜ao entre elas ´e dada pelo Princ´ıpio Variacional.

  Iniciamos o cap´ıtulo apresentando estes conceitos de entropia para o shift, uma vez que esta transforma¸c˜ao modelar´a o nosso sistema. Em seguida, veremos a defini¸c˜ao de entropia m´etrica, para uma transforma¸c˜ao qualquer que preserva medida, baseada no teorema de Shannon-McMillan-Breiman. E finalmente, com a vers˜ao topol´ogica de Brin-Katok, obtemos a equivalˆencia das defini¸c˜oes de entropia m´etrica para o shift.

  2.1 Entropia do shift N

  Sejam X = A , em que A = {1, . . . , m}, e T o shift em X. O espa¸co de medida (X, A) tem uma decomposi¸c˜ao natural (B n ), em que B n ´e a σ-´algebra gerada pelo conjunto A dos cilindros x . . . x de ordem n.

  n 1 n

  Seja µ uma probabilidade T -invariante em X. Para cada n definimos a entropia da parti¸c˜ao A com respeito `a medida µ como

  n

  X H (A ) := − µ(A) log(µ(A)).

  µ n A∈A n

  Proposi¸c˜ ao 2.1.1. Para todo n, p ∈ N temos H (A ) ≤ H (A ) + H (A ).

  µ n+p µ n µ p

  Demonstra¸c˜ ao: Denotaremos por AB o cilindro da forma a . . . a b . . . b , em que

  1 n 1 p a . . . a = A ∈ A e b . . . b = B ∈ A . 1 n n 1 p p

  13 Note que todo cilindro de A ´e da forma AB. Logo,

  n+p

  X X µ(A) = µ(AB) = µ(BA). p p

  B∈A B∈A

  o que implica,

  X X µ(AB) µ(AB) µ(B)

  1 = 1 e = . p p µ(A) µ(A) µ(AB) µ(A)

  B∈A B∈A

  Da convexidade da fun¸c˜ao − log, segue que  

  X X 1 µ(AB) µ(B) µ(AB) µ(B)  log(µ(A)) = − log = − log  ≤ − log . µ(A) µ(A) µ(AB) µ(A) µ(AB) p p

  B∈A B∈A

  e portanto,

  X X µ(A) log µ(A) ≤ − µ(AB) log µ(B) + µ(AB) log µ(AB). p p

  B∈A B∈A

  Tomando o somat´orio em A ∈ A e sabendo que da invariˆancia de µ temos

  n

  [

  X

  −n

  µ(B) = µ(T (B)) = µ( AB) = µ(AB), conclu´ımos que:

  A∈A n A∈A n

  X X

  X µ(A) log µ(A) + µ(B) log µ(B) ≤ µ(AB) log µ(AB),

  A∈A n B∈A p A∈A n ,B∈A p

  isto ´e, H (A ) ≤ H (A ) + H (A ).

  µ n+p µ n µ p c.q.d.

  A proposi¸c˜ao nos mostra que a sequˆencia (H (A )) ´e subaditiva. Acerca de

  µ n n∈N

  sequˆencias subaditivas temos a Proposi¸c˜ ao 2.1.2. Se (u ) ´e uma seq¨ uˆencia n˜ao negativa de n´ umeros reais satis-

  n n≥1

  fazendo u ≤ u + u , ∀ n, p ∈ N

  n+p n p u n

  ent˜ao a sequˆencia ´e convergente.

  n n≥1

  u

  n

  Demonstra¸c˜ ao: Seja c = inf ( ). Pela defini¸c˜ao de ´ınfimo, dado ε > 0, ∃ n ∈ N tal

  n

  n u

  n

  que ≤ c + ε. Mas, para n > n , sabemos que existem p, q ∈ N, com n ≥ q, tais que n ≤ pu n = n p + q. A hip´otese nos d´a, u + u . Com isso,

  n no q

  14 u pu + u pu u

  1

  n n q n q ≤ + < ≤ c + ε + sup u . j

  n n pn n n 1≤j≤n u

  n

  Logo, para n suficientemente grande ≤ c + 2ε, implicando na convergˆencia n (para o ´ınfimo) da sequˆencia. c.q.d.

  Estes dois ´ ultimos resultados garantem a boa defini¸c˜ao da entropia m´etrica do shift T com respeito `a medida µ : H (A )

  µ n

  h (T ) := lim

  µ

n→+∞

  n Objetivando apresentar uma outra forma de calcular a entropia do shift, h (T ),

  µ introduziremos o conceito de jacobiano.

  Considere x = x x . . . x . . . ∈ X. Para cada n ∈ N defina

  1 2 n

   µ(x . . . x )

  2 n

   , se µ(x

  1 . . . x n ) 6= 0;

  µ(x

  1 . . . x n )

  J (x) =

  n

   +∞ , caso contr´ario. Devido `a invariˆancia da medida µ a fun¸c˜ao J ´e limitada inferiormente por 1. Sabe-se que

  

n

  1

  a sequˆencia (J ) est´a em L (µ) martingale com respeito a decomposi¸c˜ao (B ) e portanto,

  n n

  a fun¸c˜ao J µ (x) := lim J n (x)

  n→+∞ existe em µ-qtp x ∈ X. Ela ´e chamada o Jacobiano de T com respeito a medida µ.

  Como propriedade das fun¸c˜oes J temos a

  n

  1 Proposi¸c˜ ao 2.1.3. A fun¸c˜ao x 7→ M (x) = sup{log J (x); n ≥ 0} est´a em L (µ). n

  Demonstra¸c˜ ao: Para λ > 0, defina E = {M > λ}. Este conjunto pode ser reescrito

  λ

  como µ(x x . . . x )

  1 2 n −λ

  E = x ∈ X; inf < e .

  λ n

  µ(x

  2 . . . x n ) −λ

  Seja (C n ) a fam´ılia dos cilindros m´aximos para os quais µ(C n ) < e µ(T (C n )).

  S Por maximalidade, (C ) s˜ao dois a dois disjuntos, e E = C . Portanto,

  n λ n

  X X

  −λ −λ

  µ(E ) = µ(C ) < e µ(T (C )) ≤ me

  λ n n

  e conclu´ımos que Z Z

  

M dµ = µ(E )dλ ≤ m.

  λ

  X

  15 c.q.d.

  Podemos agora estabelecer a F´ormula de Rohlin, a qual ´e ´ util para o c´alculo da entropia. Teorema 2.1.4. Seja J µ o jacobiano de T com respeito `a µ. Ent˜ao,

  Z h (T ) = log J dµ.

  

µ µ

  

X

Demonstra¸c˜ ao: Pelo teorema da convergˆencia dominada, podemos escrever

  Z Z log J dµ = lim log J dµ.

  µ n n→+∞

  X X

  Mas, observe que Z

  X X − u log J dµ = µ(A) log µ(T (A)) − µ(A) log µ(A) = u

  n n n−1

  X n n A∈A A∈A

  R Como sabemos que esta sequˆencia converge para o limite log J µ dµ, ent˜ao a soma a

  X n

  X

  1 C´esaro (u − u ) converge para o mesmo valor. Isto ´e,

  i i−1

  n

  i=1 n n

  Z

  X X

  1

  1 lim (u − u ) = lim (−H (A ) + H (A )) = log J dµ.

  i i−1 µ i−1 µ i µ n→∞ n→∞

  n n

  X i=1 i=1

  Logo, Z

  H (A ) H (A ) H (A )

  µ n µ µ n log J dµ = lim − = lim = h (T ). µ

  µ n→∞ n→∞

  n n n

  X c.q.d.

2.2 Entropia Topol´ ogica e Press˜ ao

  A entropia topol´ogica ´e a taxa de crescimento exponencial das ´orbitas essencial- mente diferentes de ordem n. Esta ´e um invariante ´ util para determinar se dois sistemas dinˆamicos s˜ao conjugados. Sistemas dinˆamicos conjugados sempre tem a mesma entropia topol´ogica, mas a rec´ıproca s´o ´e verdadeira para alguns sistemas particulares como, por exemplo, os shifts de Bernoulli.

  16 Seja φ uma fun¸c˜ao cont´ınua em X, denominada freq¨ uentemente na literatura de potencial. Para cada n ≥ 0, considere a soma de Birkhoff

  

n−1

  X

  k

  S φ = φ ◦ T

  n

k=0

  Para um cilindro C e uma fun¸c˜ao cont´ınua ψ ∈ C(X), denotaremos por ψ = sup{ψ(x); x ∈ C}.

  C Teorema 2.2.1. O limite a seguir existe e define a Press˜ao do potencial φ.

  !

  X

  1

  (S n φ) C

  P (φ) = lim log e

  n→+∞

  n

  C∈A n

  Demonstra¸c˜ ao: Dados A ∈ A e B ∈ A , note que

  n p (S φ) ≤ (S φ) + (S φ) .

n+p AB n A p B

  Denotando por V n a sequˆencia

  X

  (S n φ) C

  V = e

  n

C∈A n

  obtemos

  X X

  X X

  (S n+p φ) AB (S n φ) A (S p φ) B (S n φ) A (S p φ) B

  V = e ≤ e e = e e = V V .

  n+p n p A,B A,B A∈A n B∈A p

  Aplicando a proposi¸c˜ao 2.1.2. com u n = log V n , obtemos o resultado esperado. c.q.d.

  A Entropia Topol´ogica ´e definida como a press˜ao do potencial nulo, φ ≡ 0. Para o shift completo, quando φ ≡ 0, temos que

  X

  (S n φ) C n

  e = #A = m

  n C∈A n

  e portanto, sua entropia topol´ogica ´e

  1

  n lim log m = log m. n→+∞

  n Em contraste, o c´alculo da entropia topol´ogica de um subshift n˜ao ´e t˜ao trivial, mas iremos fazer isto para o caso em que a matriz de incidˆencia M ´e irredut´ıvel (o subshift ´e topologicamente transitivo). Para tal, utilizaremos o seguinte teorema que ´e (para M aperi´odica) um caso particular do teorema 3.1.1 que demonstraremos no pr´oximo cap´ıtulo.

  17 Teorema 2.2.2. (Perron-Frobenius) Se M ´e uma matriz irredut´ıvel, existe λ > 0 tal que,

  t

  para qualquer autovalor η de M , temos |η| ≤ λ e, λ ´e um autovalor simples de M e M associado a um autovetor positivo.

  Aceitando provisoriamente este resultado temos o Teorema 2.2.3. A entropia topol´ogica de um subshift Λ(M ), associado `a matriz irre- dut´ıvel M , ´e log(λ(M )), em que λ(M ) ´e o autovalor dominante de M .

  Demonstra¸c˜ ao: Pelo teorema 2.2.1., a entropia topol´ogica ´e dada por

  1 h(T ) = lim log N n

  

n→+∞

  n em que N ´e o n´ umero de cilindros de Λ(M ) com ordem n. Seja N (j) o n´ umero destes

  n n cilindros que terminam com j ∈ A. m

  X Claramente, N n (j) = N n . E, para obter N n+1 (j), basta considerar todos os

  j=1

  cilindros de ordem n que terminam com i ∈ A (que s˜ao os N (i)) para i = 1, . . . , m, tal

  n

  que m = 1, isto ´e, aqueles que a ´ ultima entrada i pode ser seguida do j. Desta forma,

  ij

  vale

  

m

  X N (j) = N (i)m .

  

n+1 n ij

i=1

  Denotando por V o vetor linha (N (j)), vemos que

  n n m m

  X X N (i)m . . . N (i)m

  V n i1 n im ) = V M.

  n+1 = ( N (1) . . . N (m) ) = ( n n+1 n+1 i=1 i=1 n

  Assim V = V M implicando que V = V M com V = (1, . . . , 1). E portanto,

  n+1 n n

m m

  X X

  n n

  N (j) = m = V (i)m , (2.1)

  n ij ij

i=1 i=1

em que V (i) ´e a i-´esima entrada do vetor V .

  Agora, com a existˆencia garantida pelo teorema 2.2.2., tome o autovetor positivo V de M associado ao autovalor dominante λ(M ). Deste modo,

  

n n−1 n−1 n

  V M = V M M = λV M = . . . = λ V, isto ´e,

  m

  X

  n n V (i)m = λ V (j).

ij

i=1

  E, considerando a = min V (i) e b = max V (i), para cada j ∈ A, temos que

  m m m

  X X

  X V (j) V (i) V (i) V (j)

  n n n n n

  λ = m ≥ V (i)m ≥ m = λ .

  ij ij ij

  a a b b

  i=1 i=1 i=1

  18 De (2.1) e da aplica¸c˜ao do somat´orio em j ∈ A, segue que

  m m m

  X X

  X V (j) V (j)

  n n

  ≥ ≥ λ N n (j) = N n λ . a b

  j=1 j=1 j=1

  Obtendo-se

  m m

  X X

  1 V (j)

  1

  1 V (j)

  n n lim log λ ≥ lim log N ≥ lim log λ . n n→+∞ n→+∞ n→+∞

  n a n n b

  j=1 j=1

  Como os limites dos extremos s˜ao ambos iguais a log λ, conclu´ımos que

  1 h(T ) = lim log N = log λ.

  n n→+∞

  n c.q.d.

  Um importante resultado do formalismo termodinˆamico relaciona a entropia m´etrica e a press˜ao: o Pric´ıpio Variacional. Para o potencial nulo, φ ≡ 0, o princ´ıpio variacional nos d´a a principal rela¸c˜ao entre a entropia topol´ogica e a entropia m´etrica, pois estabelece que a entropia topol´ogica de uma transforma¸c˜ao cont´ınua em um espa¸co m´etrico compacto ´e o supremo das entropias m´etricas tomado sobre todas as probabilidades invariantes para essa transforma¸c˜ao.

  Teorema 2.2.4. (Princ´ıpio Variacional) Z

  P (φ) = sup{h µ (T ) + φ dµ ; µ ∈ M(X, T )}

  

X

Para demonstrarmos este teorema precisaremos do seguinte n

  X Lema 2.2.5. Sejam p

  1 , . . . , p n n´ umeros reais n˜ao-negativos com p i = 1, tomando i=1

  a , . . . , a n´ umeros reais arbitr´arios temos,

  1 n

  !

  n n

  X X

  a i p (a − log p ) ≤ log e . i i i i=1 i=1 a i

  e com igualdade se, e somente se, p = .

  i P n

a i

  e

  i=1 n

  Demonstra¸c˜ ao: (Lema) Considere a fun¸c˜ao f : R → R definida por

  

n

  X − log p f (p

  1 , . . . , p n ) = p i (a i i ).

i=1

  19

  −1

  A prova do lema consiste em encontrarmos o ponto de m´aximo da f na variedade ϕ (1),

  n

  X

  n

  → R ´e dada por ϕ(p em que ϕ : R

  

1 , . . . , p n ) = p i .

i=1

  Utilizando a t´ecnica dos multiplicadores de Lagrange, basta procurarmos os pon- tos que satisfazem a igualdade ∇f = λ∇ϕ, para algum λ.

  ∇f = λ∇ϕ ⇐⇒ (a − 1 − log p − 1 − log p

  1 1 , . . . , a n n ) = λ(1, . . . , 1).

  Logo,

  a i −1−λ (a − 1 − log p ) = λ ⇐⇒ p = e , ∀i ∈ {1, . . . , n}. i i i n a i

  X 1 e

  −1−λ

  Como p = 1, obtemos e = e portanto p = ´e o ´ unico ponto de

  i P n i P n a i a i

  e e

  i=1 i=1 i=1

  m´aximo da f . c.q.d.

  Demonstremos o teorema. Demonstra¸c˜ ao: Mostraremos primeiro que P (φ) ´e maior que o supremo indicado acima. Dada µ ∈ M(X, T ), aplicando o lema anterior para p = µ(A) e a = (S φ) obtemos,

  A A n A

  !

  X X

  1

  1

  1

  (S

  • p (S φ) H (A ) ≤ log e n φ) C

  A n A µ n

  n n n

  A∈A n A∈A n

  Devido `a invariˆancia de µ,

  n−1 n−1

  Z Z Z

  X X

  X

  k p (S φ) ≥ (φ ◦ T )(x)dµ = φdµ = n φdµ. A n A n

  X X

  X A∈A k=0 k=0

  Portanto, !

  Z

  X

  1

  1

  (S n φ) C H (A ) + φdµ ≤ log e . µ n

  n n

  X A∈A n Tomando o limite em n ∈ N, obtemos a desigualdade esperada.

  A prova da desigualdade contr´aria ser´a obtida no cap´ıtulo 3, proposi¸c˜ao 3.2.6, Z onde garantimos a existˆencia de uma medida ν satisfazendo P (φ) = h (T ) + φdν.

  ν

  X c.q.d.

  R Observamos que o sup{h (T ) + φ dµ ; µ ∈ M(X, T )} ´e atingido por medidas

  µ

  X

  erg´odicas pois, como vimos no cap´ıtulo 1, toda medida de M(X, T ) ´e combina¸c˜ao convexa destas.

  No pr´oximo cap´ıtulo, saberemos sobre quais condi¸c˜oes esse supremo ´e atingido e como encontrar tais medidas.

  20

2.3 O Teorema de Shannon-McMillan-Breiman

  Aqui apresentaremos o conceito de entropia m´etrica, para uma transforma¸c˜ao que preserva medida, baseado no teorema de Shannon-McMillan-Breiman. Observamos que a defini¸c˜ao de entropia m´etrica que demos, no in´ıcio deste cap´ıtulo, foi restrita a uma medida invariante no shift.

  Sejam (X, A, µ) um espa¸co de probabilidade e T : X ←֓ uma transforma¸c˜ao que preserva a medida µ. Se P ´e uma parti¸c˜ao de (X, A, µ) denotaremos por P(x) o ´atomo

  j j

  da parti¸c˜ao de P que cont´em x e por P (x) o conjunto dos y ∈ X tais que T (y) e T (x)

  n

  pertencem ao mesmo ´atomo de P para todo 0 ≤ j ≤ n. Ou seja:

  j j

  P (x) = {y|T (y) ∈ P(T (x)), 0 ≤ j ≤ n}

  n

  Equivalentemente,

  n

  \

  −j j

  P

  

n (x) = T (P j (T (y)))

j=0

  O conceito de entropia de uma parti¸c˜ao P est´a vinculado com a velocidade a que µ(P (x)) converge a zero, um resultado fundamental a este respeito ´e o seguinte teorema

  n

  Teorema 2.3.1. (Shannon-McMillan-Breiman) Sejam (X, A, µ) um espa¸co de probabili- dade e T : X ←֓ uma aplica¸c˜ao mensur´avel que preserva a medida µ. Dada uma parti¸c˜ao P de X tal que

  X H µ (P) = − µ(P ) log µ(P ) < +∞,

  P ∈P

  ent˜ao o limite

  1 h (T, P, x) = − lim log µ(P (x))

  µ n

n→+∞

  n

  −1

  existe para µ -quase todo ponto x ∈ X e a sequˆencia x → n log µ(P n (x)) converge em

1 L (µ).

  Demonstra¸c˜ ao: Escrevendo

  n−1

  1 1 µ(P (x)) µ(P (T (x)))

  n

  1 n

  log µ(P (x)) = log · · · µ(P(T (x))

  n n

  n n µ(P (x)) µ(P(T (x)))

  n−1 n−1 j

  X 1 µ(P (T (x)))

  1

  n−j n

  = log + log µ(P(T (x))

  j+1

  n µ(P n−j−1 (T (x))) n

  j=0

  1 Mostraremos primeiro que a ´ ultima parcela acima converge em µ-q.t.p e em L (µ) para

  R zero. Note que log µ(P(x)) ´e integr´avel pois, − log µ(P(x))dµ = H(P) < +∞. Apli-

  X

  cando o teorema de Birkhoff (ver [8]), conclu´ımos que

  n n−1

  X X 1 n + 1

  1

  1

  n j j

  log µ(P(T (x))) = log µ(P(T (x))) − log µ(P(T (x))), n n n + 1 n

  j=0 j=0

  21

  1 converge a zero tanto em L (µ) quanto µ-qtp.

  Com isto, o teorema reduz-se a prova de que a sequˆencia

  n−1

  X

  1

  j

  F ◦ T

  

n−j

  n

  j=0

  em que µ(P (x)

  n

  F (x) := log

  n

  µ(P (T (x)))

  n−1

  1 converge em µ-qtp e em L (µ).

  Por corol´ario do teorema de Birkhoff (ver [8]), ´e suficiente verificar que as fun¸c˜oes

  1 F s˜ao integr´aveis e que convergem em µ−qtp e em L (µ). Para tal, considerando a n

  fun¸c˜ao G(x) := sup |F (x)|

  n n≥1

  Z

  1 mostraremos que dado ε > 0, ∃ A ∈ A tal que G| ∈ L (µ) e |F |dµ ≤ ε, ∀ n ≥ 1. A n c A

  Se garantirmos a existˆencia deste conjunto A imediatamente teremos a integra- bilidade das F

  n

  Z Z Z |F |dµ = |F |dµ + |F |dµ

  

n n n

c

  X A A

  Z ≤ Gdµ + ε < +∞

  A

  Al´em disso, por corol´ario do teorema de Radon-Nikodym (ver [8]), temos que a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes

  −1

  P µ(P n (x)) µ(P(x)) ∩ (T n−1 )(x) x 7→ = ,

  −1

  µ(P (T (x))) µ((T P )(x))

  n−1 n−1 −1 −1

  em que (T P )(x) denota o ´atomo da parti¸c˜ao T P que cont´em x, converge em µ-qtp

  n n

  x ∈ X a

  X (χ P )

  b P P ∈P

  onde

  ∞

  _ _

  −1 −j

  b P := T P = T (P).

  n−1 n≥1 j=1

  E portanto, a seq¨ uˆencia (F ) converge em µ-qtp x ∈ X. Da´ı, considerando

  n

  novamente o conjunto A, teremos: Z Z Z lim sup |F − F |dµ ≤ lim sup |F − F |dµ + lim sup |F − F |dµ

  n m n m n m n,m→∞ n→∞ n→∞ c

  X A A

  Z ≤ lim sup |F − F |dµ + 2ǫ.

  n m n→∞ A

  1 Aplicando o teorema da convergˆencia dominada, segue que (F ) ´e de Cauchy em L (µ) e n 1 portanto, convergente em L (µ).

  22 Encontremos ent˜ao este conjunto A.

  Denotemos por P , P , . . . os ´atomos de P. Como por hip´otese

  1

2 X

  H(P) = − µ(P ) log(µ(P )) < +∞,

  j j j N

  X X dado ǫ > 0, ∃ N ∈ N tal que − µ(P ) log(µ(P )) ≤ ǫ. Seja A := P .

  j j j j≥N j=1

  Para ver a integrabilidade G| A , comecemos por definir a fun¸c˜ao Φ(c) := µ({x ∈ A; G(x) > c}).

  Pela defini¸c˜ao de G, para cada x ∈ X tal que G(x) > c, existe um primeiro n ∈ N tal que |F (x)| > c, isto ´e,

  x n x

−1 −c −1

  µ(P(x) ∩ (T P x )(x)) ≤ e µ((T P x )(x))).

  n −1 n −1 −1

  Note que se y ∈ P(x)∩(T P x )(x) = P x (x), vale que G(y) > c e vale a mesma

  

n −1 n

  desigualdade acima para o y. Com isso, pela minimalidade do n x , segue que n y = n x , ou seja, se y ∈ P (x) ent˜ao P (x) = P (y). Em outras palavras, {P (x), x ∈ X}

  n x n x n y n x −1

  constitui uma parti¸c˜ao de G ((c, +∞)). Denotando por S os elementos desta parti¸c˜ao,

  k

  obtemos que para cada P ∈ P vale

  −c

  µ(S ∩ P ) ≤ e µ(S )

  k k

  Deste modo, [ [

  X

  −1 −c −c −c

  µ(G ((c, +∞)) ∩ P ) = µ( S ∩ P ) ≤ e µ( S ) = e µ(S ) ≤ e

  k k k k k S k ⊂P

  Finalmente, somando em P ⊂ A, obtemos

  N

  X

  −1 −c Φ(c) = µ(P ∩ G ((c, +∞)) ≤ N e . j j=1

  Z |F |dµ ≤ ǫ, ∀ n ≥ 1. Portanto, G| A ´e integr´avel. Resta-nos mostrar que n

  A −1

  P Sejam T

  1 , T 2 , . . . os ´atomos de T n−1 . Observe que, para quaisquer x, y ∈

  P ∩ T temos F (x) = F (y). Assim:

  j k n n

  Z

  X X µ(P ∩ T )

  j k

  |F |dµ = − ∩ T c n µ(P j k ) log µ(T )

  A k j>N k

  X X ∩ T ∩ T

  µ(P j k ) µ(P j k ) − = µ(T k ) log .

  µ(T ) µ(T )

  k k j>N k

  23 X Pela convexidade da fun¸c˜ao x 7→ x log x e µ(T j ) = 1, segue que

  

j

  Z

  X X

  X X |F |dµ ≤ − ( µ(P ∩ T ) log( µ(P ∩ T )) = − µ(P ) log(µ(P )) < ε. c

n j k j k j j

A

  j>N j>N k k

  c.q.d. Motivados por este teorema definimos a entropia de T no ponto x com respeito `a parti¸c˜ao P como

  1 h µ (T, P, x) = − lim log µ(P n (x))

  

n→+∞

  n quando esse limite existe. Desta forma, torna-se natural definirmos a entropia de T com respeito `a parti¸c˜ao

  P por Z h (T, P) = h (T, P, x)dµ(x)

  µ µ

  X A partir desta, temos a

  Defini¸c˜ ao 2.3.2. A entropia m´etrica, h µ (T ), de uma transforma¸c˜ao T que preserva me- dida de um espa¸co de probabilidade (X, A, µ) ´e o X h (T ) = sup{h (T, P) ; − µ(P ) log µ(P ) < +∞}

  µ µ P ∈P

  Considerando X um espa¸co m´etrico compacto e T : X ←֓ uma aplica¸c˜ao cont´ınua que preserva medida µ, uma interessante vers˜ao topol´ogica do teorema de Shannon- McMillan-Breiman foi dada por Brin e Katok. Nesta vers˜ao, em vez de parti¸c˜oes do espa¸co X, eles trabalharam com as bolas dinˆamicas . Por defini¸c˜ao, dado ε > 0, x ∈ X e n ≥ 0, a bola dinˆamica centrada no ponto x ∈ X ´e dada por:

  j j B ε (n, x) = {y ∈ X ; d(T (y), T (x)) ≤ ε, 0 ≤ j ≤ n}.

  Note que essa bola representa o conjunto dos pontos que ε-acompanham x pelo menos at´e o seu n-´esimo iterado. A velocidade com que a medida µ desta bola tende a zero pode ser estudada pelas express˜oes:

  1

  • h (T, x, ε) = − lim sup log µ(B (n, x))

  ε µ n→+∞

  n

  1

  −

  h (T, x, ε) = − lim inf log µ(B ε (n, x))

  µ n→+∞

  n

  • +

    µ

  ))dµ(x) = − lim

  lim

  n→+∞

  1 n log(µ(x

  1

  x

  2

  . . . x

  n

  n→+∞

  Z

  1 n

  X A∈A n µ(A) log(µ(A))

  = lim

  n→+∞

  H

  µ

  (A

  

n

  X

  (T, x)dµ(x) = −

  24 Brin e Katok mostraram que lim

  (T, x) o valor comum destes limites vale que h

  ε→0

  h

  (T, x, ε) = lim

  ε→0

  h

  − µ

  (T, x, ε) em µ-qtp x e, de- notando por h

  µ

  µ

  µ

  (T ) = Z

  X

  h

  µ

  (T, x)dµ(x) Como X = A N ´e um espa¸co compacto e a aplica¸c˜ao shift ´e cont´ınua, pode- mos aplicar a vers˜ao topol´ogica do teorema de Shannon-McMillan-Breiman e obter a equivalˆencia das defini¸c˜oes de entropia m´etrica para o shift. h

  µ

  (T ) = Z

  X

  h

  ) n Cap´ıtulo 3 Formalismo Termodinˆ amico

  Medidas Gibbs e Estados de Equil´ıbrio s˜ao probabilidades invariantes que revelam interessantes propriedades erg´odicas de sistemas uniformemente expansores. Enquanto os estados Gibbs s˜ao definidos localmente e fornecem um controle uniforme da medida de to- dos os cilindros em termo da varia¸c˜ao local de seu potencial φ, os estados de equil´ıbrio s˜ao definidos globalmente, pelo princ´ıpio variacional, e maximizam a press˜ao de um sistema sob a a¸c˜ao de φ. A teoria dos estados de equil´ıbrio e medidas Gibbs ´e o que chamamos de Formalismo Termodinˆamico.

  O teorema de Perron-Frobenius-Ruelle, que ser´a demonstrado na pr´oxima se¸c˜ao, al´em de ser uma generaliza¸c˜ao do cl´assico teorema de Perron-Frobenius para matrizes irredut´ıveis, ´e a principal ferramenta do formalismo termodinˆamico para a constru¸c˜ao destas medidas.

  3.1 O Teorema de Perron-Frobenius-Ruelle N

  A partir desta se¸c˜ao, X denotar´a o espa¸co topol´ogico compacto A , em que A = {1, . . . , m}. Neste espa¸co, definimos a m´etrica n n

  − min{n≥0 ; x 6=y }

  d(x, y) = 2 Seja C(X) o espa¸co das fun¸c˜oes (uniformemente) cont´ınuas definidas em X. Dada f ∈ C(X), defina para cada k ≥ 0, a varia¸c˜ao de f no cilindro de ordem k,

  −k−1

  ω (f ) = sup{|f (x) − f (y)| ; d(x, y) ≤ 2 }

  k

  Note que lim ω (f ) = 0

  

k

k→+∞

  Defina B (X) como o espa¸co das fun¸c˜oes f ∈ C(X) tais que

  26

  ∞

  X ||f ||

  B = ω k (f ) + ||f || ∞ < ∞ k=0 α

  Para exemplos de fun¸c˜oes em B (X), considere o espa¸co C (X) das fun¸c˜oes que s˜ao H¨older cont´ınuas com expoente α, isto ´e, as fun¸c˜oes f que

  α ∃C > 0, ∀x, y ∈ X, |f (x) − f (y)| ≤ C(d(x, y)) .

  Considere agora φ uma fun¸c˜ao real cont´ınua definida em X. Associaremos a esta fun¸c˜ao, um operador L em C(X), chamado operador de Ruelle ou operador de

  φ

  transferˆencia, definido por

  X X

  φ(y) φ(ix) ∀f ∈ C(X), L (f )(x) = e f (y) = e f (ix). φ

−1

i∈A

y∈T (x)

  Como C(X) ´e uma ´algebra com respeito as opera¸c˜oes pontuais de soma e mul- tiplica¸c˜ao, vemos que L φ est´a bem definido e ´e um operador linear. Al´em disso, para f ∈ C(X)

  X

  φ(y) ||φ|| ∞ −1

  |L (f )(x)| = e f (y) (sup #T (x))|f (x)| ≤ m|f (x)|, ∀x ∈ X

  φ

  ≤ e −1 x∈X y∈T (x) o que nos d´a

  ||L (f )|| ≤ ˜ C||f ||

  φ ∞ ∞

  e portanto L ´e cont´ınuo. Procedendo por indu¸c˜ao ´e f´acil ver que para todo n ≥ 1

  φ

  X

  n S n φ(y)

  L (f )(x) = e f (y)

  φ −n

y∈T (x)

n−1

  X

  k em que S φ ´e soma de Birkhoff S φ = φ ◦ T . n n k=0

  Ap´os introduzir todas estas defini¸c˜oes, estamos prontos para demonstrar o teo- rema que intitula esta se¸c˜ao. Teorema 3.1.1 (Perron-Frobenius-Ruelle). Para cada φ ∈ B (X)

  (PFR1) existe uma fun¸c˜ao h > 0 em C(X), autovetor do operador L associada

  φ

  a um autovalor simples β > 0,

  ∗

  (PFR2) existe uma ´ unica medida de probabilidade µ em X tal que L (µ) = βµ

  φ −n n

  e para toda fun¸c˜ao ψ ∈ C(X), a sequˆencia β L (ψ) converge uniformemente em X para

  φ

  R h ψdµ, (PFR3) a press˜ao de φ ´e log β. Demonstra¸c˜ ao: Durante a demonstra¸c˜ao deste teorema, aplicaremos v´arias vezes o seguinte resultado (para uma prova consulte [9]):

  27 Teorema 3.1.2. (Schauder-Tychonov) Sejam K um subconjunto convexo compacto de um espa¸co vetorial topol´ogico localmente convexo e Φ uma fun¸c˜ao cont´ınua de K em K.

  Ent˜ao Φ possui ponto fixo.

  Dado φ ∈ B (X) considere o operador de transferˆencia L φ . Como vimos no cap´ıtulo 1, podemos identificar o espa¸co M(A) das medidas (com sinal) finitas definidas

  

  em X com o dual de C(X), isto ´e, (C(X)) ≃ M(A). Deste modo, o operador adjunto

  ∗

  L de L age da seguinte maneira

  φ φ ∗ ∗ ∗

  L ≃ M(A) −→ (C(X)) ≃ M(A) : (C(X))

  φ ∗

  µ 7−→ L (µ) : C(X) −→ R

  φ

  Z Z

  ∗ ∗

  f 7−→ L (µ)(f ) = f dL (µ) = L (f )dµ

  φ φ φ

  X X

  Definindo a fun¸c˜ao Φ : M(A) ←֓ por

  ∗

  L (µ)

  φ

  Φ(µ) = R L (1)dµ

  φ

  

X

  observamos que al´em de deixar invariante o subconjunto convexo compacto M(X) das

  ∗

  medidas de probabilidades, Φ ´e cont´ınua em M(X), pois L ´e cont´ınuo e

  φ

  X

  φ(ix) −||φ|| ∞

  L (1) = e ≥ me = c > 0

  φ i∈A

  o que implica Z L (1)dµ ≥ c > 0, ∀µ ∈ M(X).

  φ

  X Aplicando o teorema de Schauder-Tychonov, existe µ ∈ M(X) ponto fixo de Φ, o que

  R

  ∗

  L nos d´a L (µ) = βµ em que β = φ (1)dµ > 0.

  φ

  X Comecemos a provar (PFR1). Para x, y ∈ X defina

  C(x, y) = sup sup (S k φ(Bx) − S k φ(By))

  k≥1 B∈A k

  X X

  −n−1

  Note que C(x, y) ≤ ω (φ) em particular, se d(x, y) ≤ 2 ent˜ao C(x, y) ≤ ω (φ)

  k k k=1 k=n+1

  e portanto a fun¸c˜ao C ´e limitada e tende a zero quando x, y tornam-se suficientemente pr´oximos. Esta fun¸c˜ao tamb´em satisfaz sup (φ(ax) − φ(ay) + C(ax, ay)) ≤ C(x, y).

  a∈A

  Considere agora o conjunto Z

  C(x,y)

  Λ = {g ∈ C(X) ; g ≥ 0, gdµ = 1 e ∀x, y ∈ X, g(x) ≤ e g(y) }

  X

  28 e a fun¸c˜ao Γ : C(X) ←֓ dada por

  −1

  Γ(f ) = β L (f )

  φ

  Mostraremos que Λ ´e um subconjunto convexo compacto de C(X) e Γ(Λ) ⊂ Λ. A convexidade de Λ ´e clara. Para obter a compacidade ´e suficiente, pelo teorema de Ascoli- Arzela, mostrar que Λ ´e uma fam´ılia equicont´ınua e uniformemente limitada.

  R Dado g ∈ Λ, como gdµ = 1 existe y ∈ X tal que g(y ) ≤ 1. Para todo x ∈ X

  X

  vale

  P +∞ C(x,y ) ω (φ) k=1 k

  g(x) ≤ e g(y ) ≤ e (3.1)

  ||φ|| B0 o que implica ||g|| ≤ e , ∀g ∈ Λ, provando a limita¸c˜ao uniforme de Λ. ∞

  A desigualdade (3.1) ainda nos d´a

  

max{C(x,y),C(y,x)}

  |g(x) − g(y)| ≤ e − 1, ∀x, y ∈ X logo, a equicontinuidade segue do fato de C tender a 0 com a d(x, y).

  Para ver que Γ(Λ) ⊂ Λ, primeiro observe que, Z Z Z

  −1 −1 ∗ β L (g)dµ = β gd(L µ) = gdµ = 1.

  φ φ

  X X

  X

  em seguida, se g ∈ Λ ent˜ao, das propriedades de φ

  X

  φ(ax)

  β(Γg)(x) = L (g)(x) = e g(ax)

  φ a∈A

  X

  φ(ay) φ(ax)−φ(ay)+C(ax,ay)

  ≤ e g(ay)e

  a∈A C(x,y) C(x,y)

  ≤ L (g)(y)e = βe (Γg)(y)

  φ

  Aplicando novamente o teorema de Schauder-Tychonov, a fun¸c˜ao Γ admite ponto fixo em Λ. Isto ´e equivalente ao operador L possuir uma autofun¸c˜ao h ∈ Λ associada ao

  

φ

autovalor β > 0. Note que, por propriedade dos elementos de Λ, h > 0.

  O autovalor β ´e de fato um autovalor simples. Para confirmar isto seja g uma outra autofun¸c˜ao associada a β. Fixe x ∈ X tal que g(x) > 0 e tome t = sup{s ≥ 0 ; h − sg ≥ 0}

  Temos que h − tg ≥ 0 e existe y ∈ X com h(y) − tg(y) = 0. Por outro lado, para todo n ∈ N, temos

  X

  n S n φ(z)

  β (h − tg)(y) = e (h − tg)(z) = 0, −n

  z∈T (y)

  29 [

  −n −n

  da´ı, (h − tg)(z) = 0 para todo z ∈ T (y). No entanto, T (y) ´e denso em X, o que

  n≥0 imp˜oe h(x) = tg(x) para todo x ∈ X.

  At´e aqui mostramos (PRF1) e a existˆencia da medida µ em (PFR2). Antes de continuarmos com a segunda parte, sejam h e β como acima e defina g = φ − log h ◦ T + log h − log β. Como h

  g −1 φ

  e = β e , h ◦ T denotando por M o operador de multiplica¸c˜ao por h, obtemos

  h

−1 −1

  L = β M L M .

  

g φ h

h

  Al´em disso, L (1) = 1, o que mostra que 1 ´e autovalor simples de L . Estabeleceremos

  g g

  dois fatos:

  ∗

  (i) Existe uma ´ unica probabilidade ν tal que L (ν) = ν

  g

  R

  n

  (ii) Para cada ψ ∈ C(X), a sequˆencia L (ψ) tende para ψdν uniformemente

  g

  X em X.

  Com estes dois fatos provamos (PFR2). De fato, se (i) acontece, ent˜ao para toda f ∈ C(X)

  Z Z Z Z ν L (hf )

  φ ∗ ∗

  L L ( )(hf ) = dν = β g (f )dν = β f d(L ν) = β f dν

  φ g

  h h

  X X

  X X

  e portanto ν ν

  ∗

  L ( ) = β( )

  φ

  h h implica na unicidade de µ com ν = hµ. Se (ii) ´e verdade conclu´ımos Z Z Z

  ψ ψ ψ

  −n n n

  β L (ψ) = hL ( ) −→ h dν = h d(hµ) = h ψdµ

  φ g

  h h h

  X X

  X uniformemente em X.

  Concentremo-nos nas provas de (i) e (ii).

  n n

  Seja ψ ∈ C(X). Como L (1) = 1 ent˜ao L (1) = 1 e, portanto a sequˆencia L (ψ)

  g g g

  ´e equilimitada.

  Denotando por C g a fun¸c˜ao an´aloga a C, definida anteriormente, a qual deno- taremos agora por C , isto ´e,

  φ

  C (x, y) = sup sup (S g(Bx) − S g(By))

  g k k k≥1 B∈A k

  30 e C (x, y) = sup sup (S φ(Bx) − S φ(By))

  φ k k k≥1 B∈A k −n−1

  temos que C g (x, y) ≤ C φ (x, y) + ω n (h) se d(x, y) ≤ 2 . Al´em disso,

  X

  n n S n g(Bx)

  (ψ)(x) − L (ψ)(y) e (ψ(Bx) − ψ(By)) (3.2) L g g ≤

  

B∈A n

  X S g(Bx) ψ(By)(e − e ) n S n g(By)

  • B∈A n

    −n−1

  Mas, se d(x, y) ≤ 2 ent˜ao

  X X

  S n g(Bx) S n g(Bx)

  e (ψ(Bx) − ψ(By)) (ψ) e = ω (ψ)

  n+k n+k

  ≤ ω

  B∈A n B∈A n

  | {z } n

  L (1)=1 g

  e

  X X

  X S n g(Bx) S n g(By) S n g(By) sup (S n g(Bx)−S n g(By)) B∈An ψ(By)(e − e ) e

  ∞

  ≤ ||ψ|| 1 − e

  B∈A n B∈A n B∈A n C g (x,y)

  ≤ ||ψ|| e − 1

  ∞ n

  estabelecendo a equicontinuidade de L (ψ). Por Ascoli-Arzel`a, existe (n k ) tal que a

  g n k

  subsequˆencia L (ψ) converge uniformemente para alguma fun¸c˜ao ˆ ψ. Como L tem norma

  g g

  limitada por 1, temos

  n sup(ψ) ≥ sup(L g (ψ)) ≥ . . . ≥ sup(L (ψ)) ≥ . . . ≥ sup( ˆ ψ). g n k

  Por outro lado, ˆ ψ ≥ L (ψ) − ε com ε → 0. Logo, para todo N encontramos

  k k g N

  sup(L ( ˆ ψ)) ≥ sup( ˆ ψ) − ε k , ∀k

  g

  obrigando

  N sup(L ( ˆ ψ)) ≥ sup( ˆ ψ) = r. g −n

  Expandindo esta desigualdade vemos que ˆ ψ = r em T (x) quando ˆ ψ(x) = r. Por

  −n continuidade de ˆ ψ e densidade do conjunto T (x) conclu´ımos que ˆ ψ ´e constante.

  Para obtermos (ii) ainda ´e preciso mostrar que toda subsequˆencia convergente

  n j tem o mesmo limite constante r. Seja (n ) outra sequˆencia para qual L g (ψ) converge. j

  Da mesma an´alise acima, o limite ´e constante. Esta constante tamb´em ´e o limite de

  n j n

  sup(L (ψ)), que por sua vez ´e uma subsequˆencia de sup(L (ψ)) que possue um ´ unico

  g g ponto de acumula¸c˜ao r.

  ∗

  Para provar (i), note primeiramente que L preserva M(X) pois

  g

  Z Z

  ∗

  d(L µ) = L (1)dµ = µ(X)

  

g

g

  X X

  31 Mais uma vez pelo teorema de Schauder-Tychonov existe uma probabilidade ν ponto fixo

  ∗ de L (veremos na proposi¸c˜ao 3.2.2. que ν ´e invariante). g

  R

  ∗

  Garantida a existˆencia de ν ponto fixo de L podemos concluir que r = ψdν

  g

  X

  j´a que Z Z Z Z

  ∗ n n

  ψdν = ψd((L ) ν) = L (ψ)dν −→ rdν = r

  g g

  X X

  X X A unicidade de ν segue da unicidade do limite anterior.

  Finalmente, para mostrar que P (φ) = log β aplicaremos (PFR2) com ψ ≡ 1.

  X

  1

  (S n φ) B

  P (φ) − log β = lim log e − log β

  n→+∞

  n

  B∈A n

  X

  1

  −n S n φ(Bx)

  = lim log β sup e

  n→+∞

  n

  x∈X B∈A n

  X

  1

  −n S n φ(Bx)

  = sup lim log β e

  n→+∞

  n

  x∈X B∈A n

  | {z } −n n

  β L (1)−→h φ

  = 0 c.q.d.

  Observe que ´ unica propriedade especial que utilizamos do shift foi a densidade [

  −n do conjunto T (y), que ´e equivalente ao fato do shift ser topologicamente mixing. n≥0

  Desta forma, o teorema de Perron-Frobenius-Ruelle continua sendo v´alido no caso de um subshift de tipo finito associado a uma matriz aperi´odica.

3.2 Medidas Gibbs e Estados de Equil´ıbrio Iniciemos por definir os principais objetos da se¸c˜ao.

  Defini¸c˜ ao 3.2.1. Seja φ ∈ C(X). Uma medida de probabilidade µ ´e chamada uma medida Gibbs com respeito a φ se existem constantes K > 0, C ∈ R tais que µ(x . . . x )

  1 n

−1

  ∀x ∈ X, ∀n ∈ N, K ≤ ≤ K

  S n (φ)+Cn

  e Revisitando o Princ´ıpio Variacional, diremos que uma medida invariante µ ´e um estado de equil´ıbrio para a fun¸c˜ao φ se

  Z P (φ) = h (T ) + φ dµ

  µ

  X Nesta se¸c˜ao, como consequˆencia do teorema de Perron-Frobenius-Ruelle, provare-

  mos a existˆencia e unicidade de estado de equil´ıbrio para um potencial φ de varia¸c˜ao ω (φ)

  k

  32 som´avel. Em acr´escimo, mostraremos que este estado de equil´ıbrio tamb´em ´e uma medida Gibbs.

  Seja µ uma medida de probabilidade em X. Dizemos que µ ´e quase-invariante se

  ∗ ∗

  T µ ≪ µ e µ ≪ T µ. Definindo o jacobiano J para tais medidas, o que ´e poss´ıvel devido

  µ ao teorema de Radon-Nikodym, temos a seguinte f´ormula para mudan¸ca de vari´aveis.

  Proposi¸c˜ ao 3.2.2. Para toda fun¸c˜ao g ∈ C(X) vale

  m

  Z Z

  X

  1 g(ix) dµ = g dµ. J (ix)

  µ

  X X i=1 ∗

  Demonstra¸c˜ ao: Primeiramente note que T (gµ) ≪ µ pois, se µ(E) = 0 a quasi- invariˆancia de µ implica Z

  ∗ ∗

  |T (gµ)(E)| = g dµ ≤ ||g|| T µ(E) = 0 −1 ∞ T (E)

  1 Pelo teorema de Radon-Nikodym, ∃G ∈ L (µ) definida por ∗

  T (gµ)(x . . . x )

  1 n

  G(x) = lim µ − qtp x ∈ X

  n→+∞

  µ(x

  

1 . . . x n )

  tal que T (gµ) = Gµ. Por outro lado,

  m m

  Z

  X X

  ∗

  T (gµ)(x . . . x ) = g dµ = g(ix)µ(ix . . . x ) + ε

  1 n 1 n n ix 1 ...x n i=1 i=1 ∗

  | ≤ ω com |ε n n+1 (g)T µ(x

  1 . . . x n ). Logo, m

  X

  1 G(x) = g(ix) J µ (ix)

  i=1

  Para concluir a proposi¸c˜ao basta observar a identidade Z Z

  ∗ ∗ T (gµ)(X) = 1 = d(T (gµ)) = Gdµ.

  X X c.q.d.

  Como aplica¸c˜ao, considere a fun¸c˜ao φ(x) = − log(J (x)). O operador de Ruelle

  µ

  fica

  m

  X X

  1

  φ(y)

  L ∀g ∈ C(X)

  (g)(x) = e g(y) = g(ix)

  φ

  J (ix) −1 µ y∈T (x) i=1 Pela f´ormula para mudan¸ca de vari´aveis obtemos

  ∗

  L (µ) = µ

  φ ∗ Em particular, se φ ´e H¨older cont´ınua ent˜ao µ ´e o ´ unico ponto fixo do operador L . φ

  Mais geralmente, se φ ∈ B (X) est´a normalizada, isto ´e,

  m

  X

  φ(ix)

  ∀x ∈ X, e = 1

  i=1

  o operador de Ruelle associado a φ possue norma 1, e portanto existe uma ´ unica medida

  ∗ de probabilidade ν tal que L (ν) = ν. Investiguemos as propriedades desta medida. φ

  33 Proposi¸c˜ ao 3.2.3. ν ´e T -invariante.

  Demonstra¸c˜ ao: Para cada f ∈ C(X), temos

  m

  Z Z Z Z Z

  X

  ∗ φ(ix)

  L f ◦ T dν = f ◦ T d(L (ν)) = φ (f ◦ T )dν = f e dν = f dν.

  φ

  X X

  X X

  X i=1 −1

  Aplicando o Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz-Markov (ver [2]), ν(T (A)) = ν(A), para todo A boreleano. c.q.d. Proposi¸c˜ ao 3.2.4. Para todo x ∈ X e todo n ≥ 0, temos

  −φ(x)

  ν(x . . . x )e

  

1 n

−ω n (φ) ω n (φ)

  e ≤ ≤ e ν(x

  2 . . . x n )

  Em particular, φ = − log(J ν ) Demonstra¸c˜ ao: Note que

  Z Z

  −φ −φ ∗

  e χ dν = e χ d(L (ν))

  x 1 ...x n x 1 ...x n φ

  X X

  Z

  −φ

  = L (e χ )dν

  φ x 1 ...x n

  X Z

  X = ( χ x 1 ...x n (y))dν(y)

  X −1 y∈T (x)

  Z = χ x ...x n dν 2 X

  = ν(x . . . x )

  2 n e pela defini¸c˜ao de ω (φ), verificamos o resultado. n Tomando o limite em n concluimos que φ = − log(J ).

  ν c.q.d.

  Como consequˆencia desta proposi¸c˜ao podemos concluir ν ´e uma medida Gibbs. De fato,

  −φ(x)

n n

  ν(x

  

1 . . . x n )e

−ω (φ) ω (φ)

  ≤ ≤ e e ν(x . . . x )

  2 n

  por recorrˆencia,

  P n−2 j j=0 φ◦T −ω 2 (φ)−...−ω n (φ)

  ν(x ) e e ≤ ν(x . . . x )

  n 1 n P n−2 j j=0 φ◦T ω 2 (φ)+...+ω n (φ)

  ≤ ν(x ) e e

  n

  aplicando novamente,

  P n P n

  ν(x . . . x )

  1 n − ω j (φ) ω j (φ) j=0 j=0

  e ≤ ≤ e ∀n ≥ 0 n

  S (φ)

  e

  34 P n j=0 ω j (φ) tomando K = e e C = 0 vem

  ν(x . . . x )

  1 n −1

  ≤ ≤ K ∀n ≥ 0 K

  S n (φ)

  e A medida ν tamb´em satisfaz: Proposi¸c˜ ao 3.2.5. A medida ν ´e a ´ unica probabilidade T -invariante com a propriedade

  Z P (φ) = h (T ) + φ dν = 0

  ν

  X Demonstra¸c˜ ao: Se µ ∈ M(X, T ) ´e uma medida invariante ent˜ao m m −1

  X X 1 µ(ix . . . x ) µ(T (x . . . x ))

  1 n 1 n

  = lim = lim = 1

  n→+∞ n→+∞

  J (ix) µ(x . . . x ) µ(x . . . x )

  µ 1 n 1 n i=1 i=1

  Aplicando o lema 2.2.5. obtemos a desigualdade

  m m

  X X 1 φ(ix) ≤ 0 , ∀x ∈ X log(J µ (ix)) +

  J (ix) J (ix)

  µ µ i=1 i=1

−φ(ix)

com igualdade se, e somente se, J (ix) = e . µ

  Integrando esta desigualdade com respeito `a medida µ,

  m m

  Z Z

  X X 1 φ(ix) log(J (ix))dµ + dµ ≤ 0

  µ

  J (ix) J (ix)

  µ µ

  X X i=1 i=1

  aplicando as f´ormulas para mudan¸ca de vari´aveis e de Rohlin tem-se Z h (T ) + φdµ ≤ 0

  µ

  

X

−φ

  com igualdade se, e somente se, J = e .

  µ A proposi¸c˜ao 3.2.3. mostrou que a medida ν satisfaz a propriedade em quest˜ao.

  −φ

  Esta ´e ´ unica pois, se outra medida µ ´e tal que J = e ent˜ao, pelo que j´a observamos,

  µ ∗

  L (µ) = µ. No entanto, o teorema de Perron-Frobenius-Ruelle guarante a unicidade do

  φ ∗

  ponto fixo de L quando φ ∈ B (X) est´a normalizada. Note que neste caso, β = 1 e

  φ portanto, P (φ) = 0.

  c.q.d. Ressaltamos que log(J ) ´e o limite dominado da sequˆencia log(J ) desta forma,

  µ n

  se µ ´e uma medida invariante ent˜ao o teorema da convergˆencia dominada (ver [2]) garante a extens˜ao da f´ormula para mudan¸ca de vari´aveis `a fun¸c˜ao log(J ).

  µ

  Agora que j´a observamos algumas das propriedades da medida ν, ponto fixo do

  ∗

  operador L , em que φ ∈ B (X) est´a normalizada, podemos mostrar o principal resultado

  φ deste cap´ıtulo.

  35 Teorema 3.2.6. Sejam φ ∈ B (X) e h, µ como no teorema de Perron-Frobenius-Ruelle.

  Ent˜ao ν = hµ ´e o ´ unico estado de equil´ıbrio para φ. Al´em disso, ν ´e uma medida Gibbs. Demonstra¸c˜ ao: Seja φ ∈ B (X). O caso φ normalizada, isto ´e, L φ (1) = 1 j´a foi estabelecido. Como vimos durante a demonstra¸c˜ao do teorema de Perron-Frobenius- Ruelle podemos reduzir caso geral a este definindo g = φ − log(h ◦ T ) + log h − logβ.

  ∗

  Seja ν = hµ a ´ unica probabilidade invariante fixada por L . Para toda m ∈

  g

  M(X, T ), da proposi¸c˜ao 3.2.5. temos que Z Z h (T ) + gdm ≤ h (T ) + gdν = 0.

  m ν

  X X

  Escrevendo g em fun¸c˜ao de φ e utilizando a T -invariˆancia das medidas m e ν obtemos Z Z h m (T ) + gdm ≤ h ν (T ) + gdν = 0

  X X

  Z Z Z Z h h h (T ) + log dm + φdm − log β ≤ h (T ) + log dν + φdν − log β = 0

  m ν

  h ◦ T (h ◦ T )

  X X

  X X

  Z Z h (T ) + φdm ≤ h (T ) + φdν = log β = P (φ)

  m ν

  X X e portanto ν ´e o ´ unico estado de equil´ıbrio para φ.

  P n j=0 ω j (φ)

  Al´em disso, ν ´e uma medida Gibbs com o coeficientes K e C iguais a e

  ∗

  e − log β respectivamente. Com efeito, se L (ν) = βν a proposi¸c˜ao 3.2.3. torna-se

  φ −φ(x)

  βν(x . . . x )e

  1 n −ω n (φ) ω n (φ)

  e ≤ ≤ e ν(x . . . x )

  2 n

  Logo,

  P n P n

  ν(x . . . x )

  1 n − ω j (φ) ω j (φ) j=0 j=0

  ≤ ≤ e e

  S n (φ)−log β

  e c.q.d. Cap´ıtulo 4 Repulsores Conformes

  Os Sistemas Uniformemente Expansores exemplificam as aplica¸c˜oes do Formalismo Termodinˆamico. Com a propriedade da existˆencia de parti¸c˜oes de Markov, identificamos a dinˆamica destes sistemas com a dinˆamica de subshifts em um espa¸co N simb´olico A . Neste n´ıvel, podemos aplicar toda a teoria desenvolvida no cap´ıtulo ante- rior para construir um estado de equil´ıbrio µ do sistema inicial. No caso dos repulsores conformes, que representam uma classe dos sistemas uniformemente expansores, al´em de revelar propriedades erg´odicas, o estado de equl´ıbrio µ ainda nos permite calcular a dimens˜ao de Hausdorff destes conjuntos limites.

4.1 Defini¸c˜ ao e Propriedades Gerais

  Sejam f uma fun¸c˜ao holomorfa de um subconjunto aberto V de C em C e J um subconjunto compacto de V . Defini¸c˜ ao 4.1.1. A tripla (J, V, f ) ´e um repulsor conforme se

  n ′ n

  (R1) ∃C > 0 e α > 1 constantes tais que |(f ) (z)| ≥ Cα , ∀z ∈ J e n ≥ 1, \

  −n −1

  (R2) f (V ) ´e relativamente compacto em V , com J = f (V ),

  n≥1 n

  (R3) Todo aberto U para o qual U ∩ J 6= ∅, ∃n > 0 tal que J ⊂ f (U ∩ J). A seguir, apresentamos algumas propriedades dos repulsores conformes.

  −1 Proposi¸c˜ ao 4.1.2. Se (J, V, f ) ´e um repulsor conforme ent˜ao f (J) = J e f (J) = J. −1 −n

  Demonstra¸c˜ ao: Da condi¸c˜ao (R2) temos J ⊂ f (J) e do fato dos conjuntos f (V )

  −1

  estarem encaixados segue que f (J) ⊂ J. Por outro lado, dado x ∈ J, para todo n ≥ 0,

  n n+1

  tem-se f (f (x)) = f (x) ∈ V o que implica em f (x) ∈ J, novamente pela condi¸c˜ao (R2). Para a inclus˜ao contr´aria, sejam x ∈ J e ε > 0 tais que B(x, ε) ⊂ V , da condi¸c˜ao

  37

  n (R3) existe n > 0 tal que J ⊂ f (B(x, ε) ∩ J) logo, existe y ∈ J com x = f (y).

  c.q.d. Proposi¸c˜ ao 4.1.3. Se a cardinalidade de J for maior que um ent˜ao J ´e um conjunto perfeito.

  Demonstra¸c˜ ao: Suponha que J ´e n˜ao perfeito e n˜ao vazio. Ent˜ao existem x ∈ J e ε > 0

  n tais que J ∩ B(x, ε) = {x}. Pela condi¸c˜ao (R3), J ⊂ f (J ∩ B(x, ε)) para algum n > 0. n Aplicando a proposi¸c˜ao anterior, vemos que y = f (x) para todo y ∈ J, logo J = {x}.

  c.q.d. Proposi¸c˜ ao 4.1.4. A fun¸c˜ao f ´e expansiva em J no seguinte sentido:

  n n ∃β > 0, ∀x 6= y ∈ J, ∃n ∈ N; |f (x) − f (y)| ≥ β. k

  Demonstra¸c˜ ao: Trocando f por algum iterado f , se necess´ario, podemos supor que λ =

  ′

  min |f (z)| > 1 para z ∈ J. Ent˜ao dado p ∈ J, pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa, ∃δ > 0

  p

  tal que a restri¸c˜ao de f a B p = B(p, δ ) ´e difeomorfismo. Aplicando a desigualdade do

  δ p −1

  Valor M´edio `a (f ) obtemos

  B δp

−1 −1 −1

  |(f ) (ˆ x) − (f ) (ˆ y)| ≤ λ |ˆ x − ˆ y|

  B B δp δp para todo ˆ x, ˆ y ∈ f (B ). δ p

  Tomando x, y ∈ B p com f (x) = ˆ x, f (y) = ˆ y vem

  δ

  |(f )(x) − (f )(y)| ≥ λ|x − y|

  B B δp δp

  Por compacidade podemos tomar β = min{δ ; p ∈ J} para obter

  p

  |f (x) − f (y)| ≥ λ|x − y| para todo x, y ∈ J com |x − y| < β.

  j j

  Deste modo, dados x, y ∈ J enquanto |f (x) − f (y)| < β aplicamos o argumento anterior e encontramos

  j j j

  |f (x) − f (y)| ≥ λ |x − y|

  n

  no entanto, sendo λ > 1 existe n ∈ N tal que λ |x − y| ≥ β e portanto,

  n n

  |f (x) − f (y)| ≥ β. c.q.d.

  O nosso pr´oximo objetivo ser´a mostrar a existˆencia de parti¸c˜oes de Markov para os repulsores conformes a partir da propriedade de sombreamento por pseudo-´orbitas, propriedade fundamental destes sistemas. Para tal, precisamos introduzir o conceito de pseudo-´orbitas.

  38 Defini¸c˜ ao 4.1.5. Seja η um n´ umero real positivo. Uma sequˆencia finita ou infinita (x ), 0 ≤ i ≤ N ≤ +∞, de pontos de J ´e chamada uma η-pseudo-´orbita se

  i

  |x − f (x i+1 i )| ≤ η, ∀i ≥ 0.

  Note que uma ´orbita ´e uma 0-pseudo-´orbita. Diremos que duas pseudo-´orbitas (x ), (y ), de mesmo comprimento, est˜ao

  i i δ-pr´oximas se |x − y | ≤ δ, ∀i. i i

  Proposi¸c˜ ao 4.1.6. Seja (J, V, f ) um repulsor conforme. Para todo δ > 0, existe η > 0 tal que toda η-pseudo-´orbita est´a δ-pr´oxima a uma ´orbita. Demonstra¸c˜ ao: Sem perda de generalidade, podemos supor que o δ > 0 dado ´e menor que β/2, em que β ´e a constante da proposi¸c˜ao 4.1.4. Iniciaremos com o caso de uma η-pseudo-´orbita finita (x i ), 0 ≤ i ≤ k.

  Para η < β/2, assim como na proposi¸c˜ao 4.1.4, temos que a restri¸c˜ao de f `a bola B ´e injetiva e vale

  δ xk

  

−1 −1 −1

  |f (x ) − x | ≤ λ |x − f (x )| ≤ λ η

  k k−1 k k−1

  Aplicando o mesmo argumento para x , obtemos

  k−1 −2 −2 −1 −1

  |f (x ) − x | ≤ |f (x ) − f (x )| + |f (x ) − x |

  k k−2 k k−1 k−1 k−2 −1 −1 −1

  ≤ λ |f | + λ |x − f (x (x k ) − x k−1 k−1 k−2 )|

  −2 −1

  ≤ (λ + λ )η Continuando o processo, vem

  k

  X

  1

  j −k −j

  |f (f (x )) − x | ≤ η( λ ) ≤ η, ∀ 0 ≤ j ≤ k

  k j −1

  1 − λ

  j=1

  1 −1

  Escolhendo η de forma que η ≤ δ, conclu´ımos que a η-pseudo-´orbita (x ) 0 ≤

  i 1−λ −k i ≤ k, est´a δ-pr´oxima da ´orbita de y = f (x k ).

  Considere agora uma η-pseudo-´orbita infinita (x ) . Para cada k fixado, existe

  j j∈N um segmento de ´orbita (y (k)) 0 ≤ j ≤ k, δ-pr´oxima do segmento (x , x , . . . , x ). j

  1 k Para cada j ∈ {0, 1, . . .}, considere a sequˆencia (y (k)) . j k∈N

  Como, |y | + |x − y

  

j (n + m) − y j (n)| ≤ |y j (n + m) − x j j j (n)| ≤ δ + δ = β, ∀n, m ∈ N

  temos que,

  −(n−j)

  |y (n + m) − y (n)| ≤ λ diamJ, ∀n, m ∈ N

  j j e portanto (y (k)) ´e de Cauchy. j k∈N

  39 Seja p = lim y (k). Pela continuidade da f ,

  j j k→+∞

  p = lim y (k) = lim f (y (k)) = f ( lim y (k)) = f (p ), ∀j

  j+1 j+1 j j j k→+∞ k→+∞ k→+∞

  e por constru¸c˜ao, |p − x | = | lim y (k) − x | = lim |y (k) − x | ≤ δ, ∀j

  j j j j j j k→+∞ k→+∞

  Portanto, a η-pseudo-´orbita (x ) est´a δ-pr´oxima da ´orbita (p ) .

  j j∈N j j∈N c.q.d.

  Fixaremos agora uma constante γ com algumas propriedades desejadas. Con-

  1

  sidere o β da proposi¸c˜ao 4.1.4. e um δ < β da proposi¸c˜ao 4.1.6. para obter η. Seja ent˜ao

  2

  1

  1

  γ ≤ min{ η, δ} tal que |x − y| < γ implique em |f (x) − f (y)| ≤ η. Fixe tamb´em uma

  2

  2

  cole¸c˜ao finita A de pontos de J, A = {x , . . . , x }, tais que para todo x ∈ J , existe algum

  1 n

  x ∈ A com |x − x | ≤ γ. Note que estamos usando fortemente o fato de J ser compacto

  i i para construir tanto A quanto γ.

  }, deno- Uma vez fixados a constante η e o conjunto de s´ımbolos A = {x N 1 , . . . , x n N taremos por Σ(f ) o subconjunto de A formado por todas as η-pseudo-´orbitas de A . N Com a m´etrica definida no cap´ıtulo 3, ´e f´acil ver que Σ(f ) ´e um conjunto fechado em A . A proposi¸c˜ao 4.1.6. nos permite associar a cada elemento σ ∈ Σ(f ) um ponto x ∈ J tal que σ est´a δ-pr´oximo `a ´orbita de x. Devido a expansividade de f em J (proposi¸c˜ao 4.1.4.), o ponto x ´e unicamente determinado por σ = (σ i ) i∈N e portanto

  i

  podemos escrever x = Φ(σ) ⇔ |σ − f (x)| ≤ δ para todo i ≥ 0. Observe que esta

  i aplica¸c˜ao Φ ´e sobrejetiva e cont´ınua.

i

  De fato, dado x ∈ J sabemos que f (x) ∈ J, ∀i. Por compacidade, para cada i

  i

  1

  ∈ A tal que |x −f existe x (x)| ≤ γ (≤ min{ η, δ}). Considerando ent˜ao a sequˆencia

  j(i) j(i)

  2

  σ = (σ i ) definida por σ i = x j(i) temos que σ ∈ Σ(f ) pois, para todo i

  i+1 i

  |σ − f (σ )| ≤ |σ − f (x)| + |f (σ ) − f (f )(x)|

  i+1 i i+1 i

  1

  1 < η + η = η

  2

  2 e portanto Φ ´e sobrejetiva.

  −j

  Para a continuidade de Φ, basta observar que se ∃ε > 0 tal que ∀ˆ δ = 2 tem-se

  j j

  d(σ, α) < ˆ δ mas |Φ(σ) − Φ(α)| = |x − y| ≥ ε ent˜ao |f (x) − f (y)| < β , ∀j e isso contradiz a expansividade de f em J.

  Para cada k ∈ {1, ..., n} defina o conjunto })

  F k = Φ({σ ∈ Σ(f ) tal que σ(0) = σ = x k Desde que Φ ´e cont´ınua, cada F ´e um subconjunto fechado de J.

  k

  40 Proposi¸c˜ ao 4.1.7. Se f (F ) ∩ F 6= ∅ ent˜ao F ⊂ f (F ).

  k j j k

  Demonstra¸c˜ ao: Se f (F ) ∩ F 6= ∅ ent˜ao existe uma sequˆencia σ ∈ Σ(f ) da forma

  k j

  σ = (x x . . .). Isso implica em |f (x ) − x | ≤ η. Da´ı, para toda η-pseudo-´orbita da

  k j k j

  forma σ = (x . . .) a sequˆencia x σ = (x x . . .) tamb´em est´a em Σ(f ) al´em de, Φ(σ) =

  j k k j

  ⊂ f (F f (Φ(x k σ)) e isto mostra que F j k ). c.q.d.

  }, j ∈ {1, . . . , n}, ser´a nossa candidata `a parti¸c˜ao de Markov A cobertura {F

  j para J.

  c˜ ao de Markov Defini¸c˜ ao 4.1.8. Uma Parti¸ para J ´e uma cobertura finita de J por conjuntos R j , 1 ≤ j ≤ k satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:

  (M1) Cada conjunto R ´e o fecho de seu interior intR .

  j j

  ∩ intR (M2) intR i j = ∅, para todo i 6= j. (M3) Se x ∈ intR e f (x) ∈ intR ent˜ao R ⊂ f (R ).

  

j i i j

(M4) Cada restri¸c˜ao f ´e injetiva.

  R j

  Note que os conjuntos F k , constru´ıdos anteriormente, satisfazem as condi¸c˜oes (M3) e (M4), mas n˜ao necessariamente as condi¸c˜oes (M1) e (M2). Com a finalidade de obter uma parti¸c˜ao de Markov para o repulsor conforme J modificaremos a cobertura {F }.

  j

  Seja Z o aberto, denso em J, definido por Z = J\ ∪ ∂F j . Como f ´e localmente aberta, vemos que f (Z) ⊂ Z. Para cada j, k ∈ {1, . . . , n}, particione F da seguinte

  j

  forma: F = D ∪ I = (F \F ) ∪ (F ∩ F ). Dado x ∈ Z defina R(x) como a interse¸c˜ao

  j jk jk j k j k

  de todos os interiores dos v´arios D e I que cont´em x. Desta forma, se x, y ∈ Z ent˜ao

  jk jk

  os conjuntos R(x) e R(y) s˜ao idˆenticos ou s˜ao disjuntos. Existe apenas um n´ umero finito destes conjuntos, tomemos a cole¸c˜ao de seus fechos, {R , . . . , R } = {R(x) para x ∈ Z}.

  1 s

  Assim, as condi¸c˜oes (M1) e (M2) de parti¸c˜ao de Markov foram satisfeitas para a cole¸c˜ao {R , . . . , R }.

  1 s

  Como cada R ⊂ F para algum i, a condi¸c˜ao (M4) continua sendo satisfeita

  j i

  e portanto, falta-nos apenas verificar (M3). Para isto, ´e suficiente observar que se y ∈ f (R(x)) ent˜ao R(y) ⊂ f (R(x)).

  Da injetividade local de f , vemos que f (R(x)) ´e uma interse¸c˜ao de conjuntos da forma int(f (F ) ∩ f (F )) ou int(f (F )\f (F )), que por sua vez podem ser reescritos

  j l j l

  ∩ F \F da forma int ∪ (F i l ) e int ∪ i (∩ l (F i l )), respectivamente, j´a que cada f (F j ) ´e uma uni˜ao de F . Da´ı, se um conjunto de uma destas duas formas conter y ele tem que conter

i R(y).

  41 Portanto, a cobertura {R , . . . , R } ´e uma parti¸c˜ao de Markov para J.

  1 s

  Observe que este m´etodo nos permite construir os elementos da parti¸c˜ao com diˆametros arbitrariamente pequenos.

4.2 C´ alculo da Dimens˜ ao de Hausdorff de J

  Iniciaremos esta se¸c˜ao mostrando como (semi)conjugar uma dinˆamica uniforme- mente expansora f com a dinˆamica de um subshift de tipo finito. Posteriormente, apli- caremos o formalismo termodinˆamico desenvolvido no cap´ıtulo anterior para estabelecer a f´ormula, feita pelo Bowen, que permite calcular a dimens˜ao de Hausdorff de um repulsor conforme (J, V, f ).

  Sejam (J, V, f ) um repulsor conforme e {J , . . . , J } uma parti¸c˜ao de Markov para

  1 m

  J, com diamJ < β para todo i ∈ {1, . . . , m}, em que β ´e a constante da

  i proposi¸c˜ao 4.1.4.

  Como vimos no cap´ıtulo 1, definindo a matriz de incidˆencia (

  1, se J ⊂ f (J );

  j i

  M = (m ) =

  ij 0, caso contr´ario.

  podemos associar `a M o subshift de tipo finito

  • Λ(M ) = {θ ∈ B (m) ; m = 1}

  θ(i)θ(i+1)

  desta forma, θ ∈ Λ(M ) ⇐⇒ J ⊂ f (J ).

  θ(i+1) θ(i) Observe que, devido `a expansividade de f e diamJ < β, o conjunto Λ(M ) ´e n˜ao vazio. i

  Com respeito `a aplica¸c˜ao Π : Λ(M ) −→ J definida por \

  −n

  Π(θ) = f (J )

  θ(n) n≥0

  temos a Proposi¸c˜ ao 4.2.1. Π est´a bem definida, ´e sobrejetiva, cont´ınua e, para todo θ ∈ Λ(M ), satisfaz f ◦ Π(θ) = Π ◦ T (θ).

  Demonstra¸c˜ ao: Como cada J ´e um conjunto fechado e

  i

  θ ∈ Λ(M ) ⇐⇒ J ⊂ f (J )

  θ(i+1) θ(i) −n

  temos que {f (J )} ´e uma cadeia decrescente de compactos e portanto,

  θ(n) n≥0

  \

  −n

  f (J ) 6= ∅

  θ(n) n≥0

  42 \

  −n n n

  Ademais, se x, y ∈ f (J θ(n) ) ent˜ao |f (x) − f (y)| < β, ∀n ≥ 0 e isto contradiz a

  n≥0 expansividade de f em J. Logo, Π est´a bem definida.

  Para verificar a sobrejetividade de Π, procederemos por indu¸c˜ao. Dado x ∈ J, existe i ∈ {1, . . . , m} tal que x ∈ J , chame θ(0) = i. Suponha que

  i

  definimos θ(0), θ(1), . . . , θ(n) satisfazendo

  n

  \

  −j

  m = 1 e x ∈ f (J )

  

θ(i)θ(i+1) θ(j)

j=0

  Mas, [ f (J ) ∩ ( intJ ) 6= ∅

  

θ(m) i

i

  [ caso contr´ario, f (J ) ⊂ ∂J e neste caso, int(∂J ) 6= ∅ para algum i, o que ´e um

  θ(m) i i i

  absurdo. Portanto, ∃k tal que f (J ) ∩ intJ 6= ∅ o que nos d´a J ⊂ f (J ). Definindo

  θ(m) k k θ(m) ent˜ao θ(m + 1) = k constru´ımos, por indu¸c˜ao, θ ∈ Λ(M ) com Π(θ) = x.

  Da expans˜ao uniforme de f provamos que Π ´e cont´ınua, pois dados θ ∈ Λ(M ) com Π(θ) = x e ε > 0 podemos tomar n tal que

  n

  \

  

−j

  diam( f (J )) ≤ ε

  θ(j) j=0

  Se α est´a suficientemente pr´oximo a θ vale α(j) = θ(j) para 0 ≤ j ≤ n , de modo que

  n n

  \ \ \

  −j −j −j

  Π(y) = f (J ) ⊂ f (J ) = f (J )

  α(j) α(j) θ(j)

j≥0 j=0 j=0

  e isto prova que d(Π(x), Π(y)) ≤ ε.

  A conjuga¸c˜ao f ◦ Π(θ) = Π ◦ T (θ) para todo θ ∈ Λ(M ) segue de \ \

  −n −n+1

  f ◦ Π(θ) = f ( f (J )) = f (J )

  θ(n) θ(n) n≥0 n≥0

  \ \

  −ˆ n −ˆ n

  = f (J ) = f (J )

  θ(ˆ n+1) θ(ˆ n+1)

n≥−1 ˆ n≥0 ˆ

  = Π ◦ T (θ) em que a pen´ ultima igualdade deve-se ao fato de J ⊂ f (J ).

  θ(1) θ(0) c.q.d.

  A (semi)conjuga¸c˜ao Π traduz a dinˆamica de f pela a¸c˜ao do shift em Λ(M ). De fato, sob o ponto de vista de uma medida erg´odica aberta, que ´e o caso da medida Gibbs, Π ´e uma conjuga¸c˜ao e portanto, a dinˆamica de f em J ´e a r´eplica exata de T em Λ(M ). Neste conjunto, podemos aplicar o formalismo termodinˆamico para obter um estado de equil´ıbrio µ, nosso interesse neste estado de equil´ıbrio ser´a conhecido durante a

  43 demonstra¸c˜ao do teorema 4.2.4. Por enquanto, defina o cilindro x . . . x , x ∈ {1, ..., m}

  o n i i

  como o conjunto dos pontos x ∈ J tais que f (x) ∈ J para cada i = 0, . . . , n. A

  x i proposi¸c˜ao a seguir, fornece um controle uniforme dos diˆametros destes cilindros. ′

  Proposi¸c˜ ao 4.2.2. Defina φ = −(log |f |) . Existe uma constante C tal que para cada

  

J

  cilindro x . . . x e cada x ∈ x . . . x temos

  o n o n

−1 S n φ(x) S n φ(x)

  C e ≤ diam(x . . . x ) ≤ Ce ,

  o n n−1

  X

  

k

em que S φ ´e a soma de Birkhoff φ ◦ f . n k=0

  Para provar esta proposi¸c˜ao, utilizaremos um resultado b´asico de An´alise Com- plexa (para uma prova consulte [7]): Teorema 4.2.3. Se Ψ ´e uma fun¸c˜ao holomorfa injetiva no disco D(a, r) ent˜ao existe uma constante C tal que

  |Ψ(x) − Ψ(y)|

  −1 ′ ′ ∀x, y ∈ D(a, r), C |Ψ (a)| ≤ ≤ C|Ψ (a)|.

  |x − y|

  n

  Demonstra¸c˜ ao: (Proposi¸c˜ao 4.2.2.) Dado um cilindro x . . . x n , por defini¸c˜ao, f envia este cilindro em J . Fixe um ponto a ∈ J . Tomando o diam(J ) = r/4 suficientemente

  x n x n x n

  pequeno de modo que r J n ⊂ B(a, ) ⊂ B(a, r) ⊂ V

  x

  4

  −n

  vemos que o cilindro x . . . x ´e igual a g(J ), em que g ´e um ramo injetivo de f

  n x n definido em B(a, r).

  Fixando agora os pontos x, y ∈ J x n tais que |g(x) − g(y)| = diam(x . . . x n ) e aplicando o teorema anterior temos

  ′ ′ ′

  diam(x . . . x ) ≤ C|g (a)| ≤ C |g (z)|

  n para todo z ∈ J n . Para a desigualdade contr´aria, fixe ˆ x, ˆ y ∈ J n tais que |ˆ x − ˆ y| = r/4. x x

  Novamente pelo teorema anterior,

  ′

  diam(x . . . x ) ≥ |g(ˆ x) − g(ˆ y)| ≥ C|g (z)|

  n

  Para concluir a demonstra¸c˜ao, note que n ′

  

′ −n ′ n ′ −1 − log |(f ) (z)| S n φ(g(z))

|g (z)| = |(f ) (z)| = |(f ) (z)| = e = e .

  c.q.d.

  44 Como f ´e holomorfa, a fun¸c˜ao φ ´e H¨older cont´ınua e portanto a fun¸c˜ao e φ := φ ◦ Π ∈ B (X). O formalismo termodinˆamico ´e perfeitamente aplic´avel a esta situa¸c˜ao. Considere a aplica¸c˜ao π(t) = P (te φ). Em t = 0, seu valor ´e a entropia topol´ogica de T que ´e log α, em que α ´e o raio espectral de M . Este ´e positivo pois M possui

  Λ(M )

  e coeficientes inteiros. Al´em disso, pela propriedade (R1), a fun¸c˜ao S φ ´e negativa para n

  n

  suficientemente grande, pois

  n−1 n−1

  X X

  k ′ k

  e e S φ(x) = φ ◦ T (x) = − log |f (Π ◦ T )|(x)

  n k=0 k=0

n−1 n−1

  X Y

  ′ k ′ k

  = − log |f (f ◦ Π)|(x) = − log |f (f ◦ Π)|(x)

  

k=0 k=0

n ′

  |(Π(x)) = − log |(f )

  Observamos tamb´em que π ´e estritamente decrescente e !

  X

  1 n e

  (tS φ) A

  π(t) = P (te φ) ≤ lim log e

  n→+∞

  n n

  A∈A

  !

  X

  1

  1

  t −tn n t

  ≤ lim log (CdiamA) = lim log(2 m C )

  n→+∞ n→+∞

  n n n

  A∈A

  = log m − t log 2 implicando lim π(t) = −∞. Desta forma, existe um ´ unico n´ umero real d > 0 tal que

  t→+∞ π(d) = 0.

  Este n´ umero real d ´e a liga¸c˜ao de uma propriedade erg´odica (press˜ao topol´ogica) da dinˆamica de f com uma propriedade geom´etrica (dimens˜ao de Hausdorff - defini¸c˜ao no apˆendice) do repulsor conforme J. Com efeito, temos o principal resultado de nosso trabalho Teorema 4.2.4. A dimens˜ao de Hausdorff de J ´e o ´ unico real positivo d para o qual P (de φ) = 0.

  Demonstra¸c˜ ao: Seja d o ´ unico n´ umero real tal que π(d) = P (de φ) = 0. Dados ε, δ > 0, para n suficientemente grande todo cilindro de ordem n possue diˆametro menor que ε, e consequentemente

  X X

  

ε δ δ(S n φ) e nP n (δ)

A

  Λ (J) ≤ (diamA) ≤ Ke = Ke

  δ A∈A n A∈A n

  em que !

  X

  1

  e δ(S n φ) A

  P (δ) = log e −→ P (δ e φ) quando n → +∞

  n

  n

  A∈A

  45 Como para δ > d, P (δ e φ) < 0 temos

  ε nP n (δ)

  Λ (J) = lim Λ (J) ≤ lim Ke = 0

  δ δ ε→0 n→+∞ concluimos que dim (J) ≤ d.

  H

  Para a desigualdade oposta aplicaremos a proposi¸c˜ao A.2.2. ao estado de equil´ıbrio µ da fun¸c˜ao de φ. Precisamos

  µ da fun¸c˜ao dφ o qual foi induzido pelo estado de equil´ıbrio e mostrar que

  d

  µ(B(x, r)) ≤ Cr para um ponto arbitr´ario x ∈ J e r suficientemente pequeno.

  n ′ Sejam c, suficientemente pequeno, e n o maior inteiro para o qual r|(f ) (x)| ≤ c. n ′

  Para algum c temos c c ≤ r|(f ) (x)| ≤ c. Denotando por B o conjunto dos cilindros A de ordem n que encontram B(x, r) temos

  X µ(B(x, r)) ≤ µ(A).

  A∈B

  Sendo µ ´e um estado de equil´ıbrio para dφ em particular, ´e uma medida Gibbs, temos para todo z ∈ A

  

S n dφ(z)+ ˆ Cn −1 S n dφ(z)+ ˆ Cn

  Be ≤ µ(A) ≤ B e em que ˆ C = P (dφ) = 0. Por outro lado, sendo φ H¨older, f tem distor¸c˜ao limitada e isto nos d´a

  S n dφ(z) n ′ −d n ′ −d

  e = |(f ) (z)| ≤ K|(f ) (x)| , ∀z ∈ A Logo,

  −1 n ′ −d −1 d

  µ(A) ≤ B K|(f ) (x)| ≤ B Kr Para concluir ainda ´e preciso mostrar que ∃s independente de x, r, n tal que

  #B < s. Para tal, primeiro construa vizinhan¸cas V (k) dos cilindros de ordem 1 de forma ∩ J 6= ∅. Estas induzem vizinhan¸cas V (x que V (k) ∩ V (l) 6= ∅ se e somente se, J k l . . . x n ) para cada cilindro. Seja s o maior n´ umero de V (k) contendo pontos em comum. Por constru¸c˜ao, dado n haver´a tamb´em no m´aximo s vizinhan¸cas V (x . . . x ) com pontos em

  n comum. No entanto, sabemos que se y ∈ (x . . . x ), ∃ε > 0 tal que B(y, ε) ⊂ V (x . . . x ). n n

  Escolhendo r, suficientemente pequeno, podemos assumir que todo cilindro de B s˜ao tais que B(x, r) ⊂ V (x . . . x n ) e pelo que vimos, n˜ao existe mais do que s destes.

  Portanto,

  X X

  −1 d d

  ≤ Cr µ(B(x, r)) ≤ µ(A) ≤ B Kr

  A∈B A∈B c.q.d. Cap´ıtulo 5 Itera¸c˜ ao de Polinˆ omios Quadr´ aticos

  As itera¸c˜oes de um polinˆomio complexo produz o chamado Conjunto de Julia, que al´em de ser um repulsor de aspecto fractal com ´orbitas transitivas, ainda possui um sub- conjunto denso de pontos peri´odicos. Um melhor entendimento da dinˆamica nestes con-

  2 juntos ´e obtido ao considerar-se a fam´ılia {P (z) = z + c} de polinˆomios quadr´aticos. c c∈C

  Neste cap´ıtulo, exibiremos um conjunto de parˆametros c ∈ C para os quais, o conjunto

  2 de Julia associado a cada polinˆomio P (z) = z + c ´e um repulsor conforme. c

5.1 Conjuntos de Julia

  Seja P : C → C um polinˆomio de grau n ≥ 2 com coeficientes complexos,

  n n−1

  P (z) = a z + a z + . . . + a z + a . Com o objetivo de estudarmos o comportamento

  n n−1

  1 k

  da sequˆencia de iterados P (z), definimos o Conjunto de Julia preenchido do polinˆomio P como

  k

  K(P ) := {z ∈ C ; P (z) 9 ∞} Como para M suficientemente grande

  |P (z)| ≥ n|z| se |z| ≥ M temos que K(P ) ´e um subconjunto compacto de C. Al´em disso, K(P ) nunca ´e vazio pois cont´em todos os pontos peri´odicos de P . Defini¸c˜ ao 5.1.1. O Conjunto de Julia de P ´e a fronteira do Conjunto de Julia preenchido, J(P ) = ∂K(P ) e o Conjunto de Fatou ´e o complemento em C de J(P ), O(P ) = C\J(P ).

  47 Quando o significado estiver claro, escreveremos K no lugar de K(P ) e J de J(P ).

  Algumas propriedades b´asicas do conjunto de Julia s˜ao dadas pela Proposi¸c˜ ao 5.1.2. J ⊂ K ´e um conjunto compacto n˜ao vazio, invariante pela dinˆamica

  s com J(P ) = J(P ) para todo s > 0.

  Demonstra¸c˜ ao: Sejam z ∈ K e z ∈ C\K. Aplicando o teorema da alfˆandega ao

  1

  segmento λz + (1 − λ)z

  1 com 0 ≤ λ ≤ 1, existe ˆ λ ∈ [0, 1] tal que o ponto ˆ λz + (1 − ˆ λ)z

  1 est´a na ∂K logo, J ´e n˜ao vazio e, sendo fechado no compacto K, tamb´em ´e compacto. k

  Para mostrarmos a P −invariˆancia de J, tome z ∈ J. Da defini¸c˜ao, P (z) 9 ∞

  k

  e existe sequˆencia w → z com P (w ) → ∞ quando k → ∞ para cada n ∈ N. Logo,

  n n k k

  P (P (z)) 9 ∞ e P (P (w )) → ∞ como a continuidade de P nos permite escolher P (w )

  n n

  t˜ao pr´oximo de P (z) o quanto se queira concluimos que P (z) ∈ J e portanto, P (J) ⊂ J

  −1 o que tamb´em implica em J ⊂ P (J).

  Ainda considerando z e w como a cima, se P (z ) = z tomamos v → z com

  n n k k−1 k k−1

  P (v ) = w da´ı, P (z ) = P (z) 9 ∞ e P (v ) = P (w ) → ∞ quando k → ∞

  n n n n −1 −1

  ∈ J. Consequentemente, P portanto, z (J) ⊂ J o que implica em J = P (P (J)) ⊂ P (J).

  s k

  Claramente, J(P ) = J(P ) para todo s > 0 uma vez que, P (z) → ∞ se, e

  s k sk somente se, (P ) (z) = P (z) → ∞.

  c.q.d. A respeito das componentes limitadas de O(P ) temos o seguinte resultado: Proposi¸c˜ ao 5.1.3. Se U ´e uma componente conexa do intK ent˜ao P(U) tamb´em o ´e.

  Al´em disso, a restri¸c˜ao P | : U → P (U ) ´e pr´opria.

  U

  Demonstra¸c˜ ao: Devido a P −invariˆancia de K, P (U ) ´e subconjunto de alguma compo- nente V do intK. Se P (U ) 6= V ent˜ao existe z ∈ ∂P (U ) ∩ V ⊂ P (∂U ) ∩ V desde que P ´e localmente aberta, mas isto ´e imposs´ıvel pois, ∂U ⊂ J.

  −1

  Seja K um subconjunto compacto de V ; se P (K) n˜ao ´e compacto existe uma sequˆencia (z ) ⊂ K com z = P (ζ ), ζ ∈ U e dist(ζ , U ) → 0. Tomando uma sub-

  n n n n n

  sequˆencia, se necess´ario, podemos assumir que z → z ∈ K, ζ → ζ ∈ ∂U ⊂ J e z = P (ζ)

  n n o que ´e imposs´ıvel desde que P (J) = J.

  c.q.d. Observamos que se z ∈ J, toda vizinhan¸ca V de z cont´em pontos w e v tais que,

  z k k

  P (w) → ∞ e P (v) permanece limitado quando k → ∞, isto nos leva a pensar que os iterados de P , nestas vizinhan¸cas, podem assumir qualquer valor complexo. A proposi¸c˜ao

  48 a seguir, quase confirma nossa intui¸c˜ao. Antes de demonstr´a-la, lembremos ao leitor a defini¸c˜ao de fam´ılia normal:

  Sejam U um subconjunto aberto de C, e g k : U → C uma fam´ılia de fun¸c˜oes anal´ıticas complexas. A fam´ılia {g } ´e dita normal em U se toda sequˆencia de fun¸c˜oes

  k

  selecionadas em {g } possue uma subsequˆencia que converge uniformemente, em todo

  k

  subconjunto compacto de U , para uma fun¸c˜ao anal´ıtica limitada ou para infinito. A } ´e normal em w ∈ U se existe algum subconjunto aberto V de U contendo w fam´ılia {g k tal que a fam´ılia {g } ´e normal em V.

  k k

  Proposi¸c˜ ao 5.1.4. J = { z ∈ C ; a fam´ılia {P } ´e n˜ao normal em z}. Demonstra¸c˜ ao: Se z ∈ J ent˜ao em toda vizinhan¸ca V de z existem pontos w tais que

  k

k

  P (w) → ∞ quando k → ∞ enquanto que P (z) permanece limitado para todo k. Logo,

  k

  } ´e uniformemente convergente em V e consequentemente, nenhuma subsequˆencia de {P

  k a fam´ılia {P } ´e n˜ao normal em z.

  Seja z 6∈ J. Se z ∈ intK tomamos um conjunto aberto V com z ∈ V ⊂ intK e

  k

  teremos P (w) ∈ K para todo w ∈ V e todo k ∈ N ent˜ao, pelo Teorema de Montel (ver

  k k

  [4]), P ´e uma fam´ılia normal em w. Se z ∈ C\K existem k e r tais que |P (w)| > r para

  

k

  todo w em alguma vizinhan¸ca V de z da´ı, P (w) → ∞ uniformemente em V e novamente

  k {P } ´e normal em w.

  c.q.d.

  k

  O fato da fam´ılia {P } ser n˜ao normal em J implica que existe no m´aximo

  k

  um ponto w do plano complexo que n˜ao ´e imagem de P , para algum k (Teorema de Montel - ver[4]), em uma vizinhan¸ca de J, isto ´e, P ´e mixing perto de J. ´ E importante observar que esta poss´ıvel exce¸c˜ao w n˜ao ´e um elemento do conjunto de Julia. De

  k

  fato, tomando w ∈ J e U uma vizinhan¸ca de w onde {P } ´e n˜ao normal, temos que S

  ∞ j −1

  w ∈ E := C\ P (U ). Se ∃z tal que P (z) = w ent˜ao, como P (E) ⊂ E e E

  j=0

  possui no m´aximo um ponto, z = w . Logo, a ´ unica solu¸c˜ao de P (z) − w = 0 ´e w o

  n

  que implica em P (z) − w = a(z − w ) para alguma constante a. Desta forma, para z

  

k

  suficientemente pr´oximo a w , a sequˆencia P (z) − w converge uniformemente para zero e portanto, w 6∈ J .

  c

  Esta proposi¸c˜ao ´e utilizada como defini¸c˜ao do conjunto de Julia para fun¸c˜oes complexas mais gerais tais como, fun¸c˜oes racionais ou meromorfas. Provaremos agora o principal resultado desta se¸c˜ao.

  Teorema 5.1.5. O conjunto dos pontos peri´odicos repulsores de P ´e um subconjunto denso no conjunto de Julia.

  49 Demonstra¸c˜ ao: Seja w um ponto peri´odico repulsor de P com per´ıodo s, ent˜ao w ´e

  s k

  ponto fixo de G = P . Suponha que {G } ´e normal em w; logo, w possui uma vizinhan¸ca

  

k i

  } converge para uma fun¸c˜ao anal´ıtica finita aberta V na qual alguma subsequˆencia {G

  k

  G (a subsequˆencia n˜ao pode convergir para o infinito pois, G (w) = w para todo k) ′ ′

  k i

  consequentemente, a sequˆencia das derivadas tamb´em converge com (G ) (z) → G (z) i i ′ ′

  k k

  para todo z ∈ V . Entretanto, pela regra da cadeia, |(G ) (w)| = |(G (w)) | → ∞ pois,

  k

  } n˜ao pode w ´e um ponto fixo repulsor. Isto contradiz a finitude de G (w) e portanto, {G

  s

  ser normal em w. Temos ent˜ao, w ∈ J(G) = J(P ) = J(P ) e sendo J fechado segue que o fecho do conjunto dos pontos peri´odicos repulsores de P est´a contido em J. Seja E = {w ∈ J; ∃v 6= w com P (v) = w e P (v) 6= 0}. Se w ∈ E existe

  −1 −1

  uma vizinhan¸ca aberta V de w na qual est´a bem definida P : V → P (V ) com

  −1

  } em V por P (w) = v 6= w. Defina a fam´ılia de fun¸c˜oes anal´ıticas {H k

  k

  (P (z) − z) H k (z) =

  −1

  (P (z) − z) Dado U , vizinhan¸ca aberta de w com U ⊂ V , da proposi¸c˜ao 5.1.3 temos que {H } ´e n˜ao

  k

  normal em U . Aplicando o Teorema de Montel (ver [4]), H (z) assume 0 ou 1 para algum

  k k k+1

  ∈ U . No primeiro caso tem-se P k e z (z ) = z ; e no segundo caso P (z ) = z . Desta forma, U cont´em pontos peri´odicos de P e portanto w est´a no fecho dos pontos peri´odicos repulsores de P para todo w ∈ E.

  Desde que P ´e polinˆomio, E cont´em todos os pontos de J exceto uma quantidade finita. Como J ´e perfeito temos que J ⊂ ¯ E ´e um subconjunto do fecho dos pontos peri´odicos repulsores de P . c.q.d. A partir de agora fixaremos a nossa aten¸c˜ao na dinˆamica de fun¸c˜oes quadr´aticas em C. Estudaremos os Cojuntos de Julia de polinˆomios da forma

  2 P c (z) = z + c

  Isto n˜ao ´e restritivo desde que qualquer outro polinˆomio quadr´atico ´e conjugado linear- mente a P para algum c ent˜ao, estudando os Conjuntos de Julia de P n´os efetivamente

  c c

  estudamos os Conjuntos de Julia de qualquer polinˆomio quadr´atico, j´a que uma trans- forma¸c˜ao linear ´e uma similaridade de C.

  −1 1/2 Observe que P (z) possui dois valores distintos ±(z − c) exceto quando z = c. c

  −1

  Da´ı, se U ´e uma pequena vizinhan¸ca aberta com c 6∈ U a pr´e-imagem P (U ) possui dois

  c subconjuntos disjuntos nos quais P ´e invert´ıvel. c

  50 Os Conjuntos de Julia ilustram como um processo aparentemente simples de iterar fun¸c˜oes quadr´aticas em C pode resultar em conjuntos extremamente complexos (figura 5.3). Fixando uma propriedade dos conjuntos de Julia temos a Defini¸c˜ ao 5.1.6. O Conjunto de Mandelbrot M ´e o conjunto dos parˆametros c, tais que, o Conjunto de Julia J = J(P ) ´e conexo. Equivalentemente,

  c c k

  M := {c ∈ C ; P (0) 9 ∞ quando k → ∞}

  c

  A figura 5.1 ´e o conjunto de Mandelbrot; ele ´e um compacto de estrutura ainda n˜ao totalmente entendida.

  Figura 5.1: Conjunto de Mandelbrot.

  Figura 5.2: Conjunto de Julia associado ao parˆametro c do conjunto de Mandelbrot.

  51

  2 Figura 5.3: Alguns conjuntos de Julia da fam´ılia quadr´atica P c (z) = z + c.

  (a) c = −0.1 + 0.1i (b) c = −0.5 + 0.5i (c) c = −1 + 0.05i (d) c = −0.2 + 0.75i

  2

  (e) c = 0.25 + 0.52i (f ) c = −0.5 + 0.55i (g) c = 0.66i (h) c = −i

  52

5.2 O Cardi´ oide Principal

  V´arias informa¸c˜oes acerca da estrutura dos conjuntos de Julia est˜ao contidas no Conjunto de Mandelbrot M. Nesta se¸c˜ao exibiremos um subconjunto de M formado por

  2

  parˆametros c para os quais, o polinˆomio P = z + c ´e hiperb´olico no Julia, nosso interesse

  c

  nesta propriedade ser´a conhecida durante a demonstra¸c˜ao do teorema 5.2.2. Antes de exibirmos este subconjunto precisamos da Proposi¸c˜ ao 5.2.1. Se z ´e um ponto fixo atrator de P c ent˜ao ele atrai o ponto cr´ıtico. Demonstra¸c˜ ao: Suponha que z ´e um ponto fixo atrator de P , isto ´e, P (z ) = z e

  c c

  |P (z )| < 1. Ent˜ao z est´a no conjunto de Fatou de P pois, todo ponto z em uma

  c c

  pequena vizinhan¸ca de z ´e atra´ıdo por ele. Seja U o interior da componente conexa do conjunto de Fatou que cont´em z ; das proposi¸c˜oes 5.1.3. e 5.1.4. temos que P c (U ) = U

  k

  e {P } ´e uma fam´ılia normal em U . Uma vez que esta fam´ılia converge para z , em um

  c

  pequeno disco em torno de z , ela tem que convergir para z na componente U . Isto implica que U ´e a bacia de atra¸c˜ao de z .

  Se o ponto cr´ıtico n˜ao est´a em U , P ´e um automorfismo pr´oprio de U com

  c

  um ponto fixo z . Aplicando o Teorema de Uniformiza¸c˜ao de Riemann, existe um bi- holomorfismo F : D → U com F (0) = z , onde D ´e o disco unit´ario. Definindo ˆ P : D → D por

  

−1

  ˆ P (z) := F ◦ P ◦ F (z)

  c

  temos que ˆ P (0) = 0 e pelo o Lema de Schwarz, obtemos que P c ´e uma rota¸c˜ao. O que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo, o ponto cr´ıtico tem que estar em U . c.q.d. Como o ´ unico ponto cr´ıtico de P ´e o zero, concluimos da proposi¸c˜ao anterior que

  c se P possui um ponto fixo atrator, o parˆametro c est´a no conjunto de Mandelbrot M. c

  Desta forma, para determinarmos um subconjunto de M basta impormos que P possua

  c

  ponto fixo atrator

  2 P (z) = z + c = z e |P (z)| = |2z| < 1 c

  O conjunto em quest˜ao, conhecido como o Cardi´oide Principal do conjunto de Mandelbrot e denotado por C, ´e a imagem do disco {z ∈ C ; |z| < 1/2} pela aplica¸c˜ao z 7→ z(1 − z).

  O teorema 5.2.2., principal resultado deste cap´ıtulo, mostrar´a que para c ∈ C o Conjunto de Julia J ´e um repulsor conforme.

  c

  53 Teorema 5.2.2. Se c ´e um elemento do Cardi´oide Principal C ent˜ao existe uma vizin- han¸ca V de J , tal que, (J , V, P ) ´e um repulsor conforme.

  c c c

  Demonstra¸c˜ ao: Diremos que o polinˆomio P ´e hiperb´olico se a ´orbita de seu ponto cr´ıtico

  

c

  permanece a uma distˆancia positiva de J c . Provaremos que para todo P c hiperb´olico existe uma vizinhan¸ca V de J , tal que, (J , V, P ) ´e um repulsor conforme. Note que pela

  c c c proposi¸c˜ao 5.2.1. o teorema segue como um caso particular.

  S

  • n

  Seja O (0) := P (0), a ´orbita positiva do zero. Ent˜ao U = C\O (0) ´e um

  n≥0 c aberto que cont´em J c . −1

  Claramente, P (U) est´a contido em U. Desde que c 6∈ U, podemos construir

  c −1

  um levantamento holomorfo de P para uma cobertura U de U. Pelo Teorema de Uni-

  c

  formiza¸c˜ao de Riemann, U ´e identificado com o disco unit´ario o que, pelo Teorema de

  

−1

  Schwarz, implica que o levantamento de P ´e uma contra¸c˜ao estrita ou ´e uma isometria

  c

  do disco unit´ario, com respeito `a m´etrica hiperb´olica ρ. No entanto, as ´ unicas isometrias do disco unit´ario com respeito `a m´etrica hiperb´olica s˜ao as transforma¸c˜oes de M¨obius, que por sua vez n˜ao possuem ponto fixo repulsor (J ⊂ U e J possue ponto fixo repulsor) logo,

  c c −1

  P ´e uma contra¸c˜ao estrita. Desta forma, P ´e estritamente expansivo para a m´etrica

  c c

  hiperb´olica ρ e, pelo que vimos no cap´ıtulo 1, isto nos permite concluir a propriedade hiperb´olica (R1) de P em J .

  c c

  Para construir a vizinhan¸ca V considere W , vizinhan¸ca limitada de J , na qual

  c

  ∃µ > 1 tal que para a m´etrica hiperb´olica ρ em W kDP (z)k ≥ µ, ∀z ∈ J

  c ρ c

  Tome ε > 0, suficientemente pequeno e defina N := {z ∈ W ; ρ(z, J ) < ε}

  ε c −1

  ∩ P Note que N ε c (C\W ) = ∅ logo, P (N ε ) ⊂ W e como em W a expans˜ao ´e de no

  c

  m´ınimo µ temos

  −1

  P (N ) ⊂ N ⊂ N

  ε ε/µ ε c

  Consequentemente,

  −k−1 −k −k k

  P (N ) ⊂ P (N ) e P (N ) ⊂ N , ∀k ≥ 0

  ε ε ε c c c ε/µ

  Tomando V = N ε , vizinhan¸ca de J c , concluimos a propriedade (R2).

  Falta verificarmos a propriedade (R3). Seja U um aberto que intersecta J ,

  c

  devido a densidade dos pontos peri´odicos repulsores em J , ∃s ≥ 0, tal que, U cont´em um

  c

  54

  s

  ponto fixo repulsor de P . Por restri¸c˜ao `a uma vizinhan¸ca deste ponto podemos assumir

  c (j+1)s js que P (U ) ⊂ P c (U ) , ∀j ≥ 0. c

  S

  ns s ns

  } ´e n˜ao Defina E := C\ P (U ). Desde que J(P ) = J(P c ), a fam´ılia {P

  n c c c

  normal em U e aplicando o teorema de Montel, E possui no m´aximo um ponto w que, pelo que vimos na se¸c˜ao 5.1, n˜ao ´e um elemento de J .

  c

  S S

  N ns js

  Assim, J ⊂ P (U ). Por compacidade, ∃N tal que J ⊂ P (U ) e como

  c c n c j=0 c N s

  ⊂ P esta cadeia ´e crescente temos J c (U ).

  c c.q.d. Apˆ endice A Medidas e Dimens˜ ao de Hausdorff A.1 Medidas de Hausdorff n n

  Uma medida exterior em R ´e qualquer fun¸c˜ao µ : P(R ) −→ R satisfazendo

  • E ⊂ F ⇒ µ(E) ≤ µ(F )

  ∞ ∞

  [

  X

  • µ(

  E j ) ≤ µ(E j )

  j=1 j=1

  diremos que a medida exterior µ ´e uma m´etrica exterior se tamb´em satisfizer

  • d(E, F ) > 0 ⇒ µ(E ∪ F ) = µ(E) + µ(F )

  

n

  Seja µ uma medida exterior em R . A cole¸c˜ao T de todos os conjuntos µ- mensur´aveis ´e definido por

  n

  E ∈ T ⇔ ∀X ⊂ R , µ(X) = µ(X ∩ E) + µ(X \ E) O Teorema de Carath´eodory nos garante que T ´e uma σ-´algebra, µ ´e uma medida

  n

  em T e sendo µ tamb´em uma m´etrica, T cont´em todos os boreleanos do R . Note que com este teorema, constru´ımos uma medida a partir de uma fun¸c˜ao de conjuntos, isto ´e, definimos primeiramente uma medida exterior, fixamos a cole¸c˜ao dos cojuntos mensur´aveis e com o teorema de Carath´eodory conclu´ımos que tal cole¸c˜ao ´e na verdade uma σ-´algebra.

  Considere agora uma fun¸c˜ao φ : R → R cont´ınua, crescente, com φ(0) = 0. Se E

  n

  ´e um subconjunto de R , definimos

  ∞

  X

  ε ε

  Λ (E) = lim Λ (E) em que Λ (E) = inf φ(diam(B )),

  φ i φ φ

  ε→0 {(B i )} i=0

  o ´ınfimo sendo calculado sobre todas as coberturas (B ) de E por bolas de raios menores

  i ε

  que ε. Observe que a associa¸c˜ao ε → Λ (E) ´e crescente em ε logo, Λ φ est´a bem definida.

  φ

  56 Proposi¸c˜ ao A.1.1. Λ ´e uma m´etrica exterior, chamada a medida de Hausdorff

  φ associada a φ.

  Demonstra¸c˜ ao: Pela escolha de φ, vemos claramente que Λ φ ´e uma fun¸c˜ao crescente de

  n

  conjuntos. Ademais, se (E ) ´e uma sequˆencia de subconjuntos do R , ε e δ s˜ao reais

  i i≥0 i

  positivos, para cada i, podemos considerar uma cobertura (B ) de E por bolas de

  j≥0 i j

  raios menores que ε, tais que,

  ∞

  X

  i ε −1−i

  φ(diam(B )) ≤ Λ (E ) + δ2

  i

j φ

i=0

  S

  i

  Da´ı, (B ) ´e uma cobertura de E por bolas de raios menores que ε e

  i,j≥0 i j

  X S

  ε ε

  Λ ( E ) ≤ Λ (E ) + δ,

  

i i

φ φ

i=0

fazendo ε e δ tenderem a zero, mostramos que Λ φ ´e uma medida exterior. n

  Al´em disso, dados E e F , subconjuntos de R , com d(E, F ) > 0 tome ε =

  1 d(E, F ) e considere (B ) uma cobertura de E ∪ F por bolas de raios menores que ε. i

  10 A condi¸c˜ao sobre ε nos permite dividir a cobertura B em duas classes disjuntas: a que i

  encontra E e a que encontra F . Deste modo,

  ∞

  X

  ε ε

  Λ (E) + Λ (F ) ≤ φ(diam(B i )) ≤ Λ φ (E) + Λ φ (F )

  φ φ i=0

  tomando o ´ınfimo e fazendo ε tender a zero conclu´ımos que Λ ´e uma m´etrica exterior.

  φ c.q.d. α

  Quando φ(t) = t para α > 0, escreveremos Λ α em vez de Λ φ . Note que se α = n,

  n

  a medida de Hausdorff associada ´e um m´ ultiplo da medida de Lebesgue em R e se α > n temos que Λ = 0 para todo boreleano.

  α

  S

  n

  De fato, sendo F um boreleano de R , podemos escrever F = F com

  p p≥0

  Λ (F ) < ∞. Escolhendo ε > 0, α > n, e uma cobertura (B ) de F por bolas de raios

  n p i p

  menores que ε temos,

  ∞ ∞

  X X

  α α−n n

  (diam(B )) ≤ (2ε) (diam(B ))

  i i i=0 i=0 ε α−n ε o que implica em Λ (F p ) ≤ (2ε) Λ (F p ) . α n

  Logo,

  X Λ (F ) ≤ Λ (F ) = 0.

  α α p p≥0

  57 A.2 Dimens˜ ao de Hausdorff

  n

  Seja E um boreleano do R , definimos a sua dimens˜ao de Hausdorff por dim (E) = inf{α > 0 tais que Λ (E) = 0}.

  H α

  Devido a observa¸c˜ao feita na se¸c˜ao anterior, esse ´ınfimo existe e encontra-se em [0, n]. Proposi¸c˜ ao A.2.1. A dimens˜ao de Hausdorff dim (E) ´e o ´ unico n´ umero real d ≥ 0 tal

  H que Λ (E) = 0 quando α > d e Λ (E) = +∞ quando 0 ≤ α < d. α α

  Demonstra¸c˜ ao: Da defini¸c˜ao, Λ (E) = 0 quando α > d. Dado 0 ≤ α < d existe β com

  α

  α < β < d e Λ β (E) > 0. Considerando cobertura (B i ) de E por bolas de raios menores que ε e observando que

  X X

  β β−α α ε β−α ε

  ≤ (2ε) ⇒ Λ (diam(B i )) (diam(B i )) (E) ≤ (2ε) Λ (E)

  β α i i

  concluimos que a possibilidade Λ (E) < ∞ implica em Λ (E) = 0, o que ´e uma con-

  α β tradi¸c˜ao.

  c.q.d. Intuitivamente, ´e preciso estar na dimens˜ao certa para medirmos o conjunto. ´ E importante ressaltar que nesta dimens˜ao, a medida de Hausdorff de um conjunto E pode assumir qualquer valor entre 0 e +∞, podendo inclusive ser +∞. Por exemplo, E = [0, r] para r ∈ (0, +∞] possue dimens˜ao 1( a dimens˜ao de Hausdorff coincide com a dimens˜ao topol´ogica uma vez que, E ´e homeomorfo a reta!) e Λ 1 (E) = r.

  A proposi¸c˜ao a seguir, nos fornece uma limita¸c˜ao inferior para a dimens˜ao de Hausdorff de certos conjuntos

  n

  Proposi¸c˜ ao A.2.2. Seja E um boreleano de R . Suponha que existam constantes posi- tivas C e α, e uma medida boreliana µ suportada em E, tal que, para todo x ∈ E e todo

  α r > 0, tenhamos µ(B(x, r) ∩ E) ≤ Cr . Ent˜ao dim (E) ≥ α.

  H

  Demonstra¸c˜ ao: Dados β ≤ α, ε > 0 e (B ) uma cobertura de E por bolas de raios n˜ao

  

i

  maiores que ε. Ent˜ao para todo B temos,

  i α β

  µ(B ) = µ(B ∩ E) ≤ C(diam(B )) ≤ C(diam(B ))

  

i i i i

  Logo, [

  X X

  −1 β −1 −1

  C µ(E) = C µ( B ∩ E) ≤ C µ(B ∩ E) ≤ (diam(B ))

  i i i i i i ε −1

  tomando o ´ınfimo sobre todas as coberturas de E mostramos que Λ (E) ≥ C µ(E) > 0

  β para todo ε, e portanto dim (E) ≥ α. H c.q.d. Referˆ encias [1] BOWEN, Rufus. Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms.

  New York: Springer-Verlag, 1975. (Lectures Notes in Mathematics, 470) [2] CASTRO JUNIOR, Augusto A. Curso de teoria da medida, 2. ed. Rio de Janeiro:

  IMPA, 2005. (Projeto Euclides) [3] Do CARMO, Manfredo P. Geometria Riemanniana, 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA,

  2005. (Projeto Euclides) [4] FALCONER, Kenneth. Fractal geometry: mathematical foundations and applications, vol. 1. New York: John Wiley and Sons, 1990.

  [5] KATOK, Anatole; HASSELBLATT, Boris. Introduction to the modern theory of dy- namical systems. Cambridge: Cambridge University Press, c1995. (Encyclopedia of mathematics and its applications)

  [6] KELLER, Gerhard. Equilibrium states in ergodic theory. Cambridge: Cambridge Uni- versity Press, 1998. (London Mathematical Society Student Texts, 22) [7] LINS NETO, Alcides. Fun¸c˜oes de uma vari´avel complexa, 2. ed. Rio de Janeiro:

  IMPA, 1996. (Projeto Euclides) [8] MA ˜ N´

  E, Ricardo. Teoria Erg´odica. Rio de Janeiro: IMPA, 1983. (Projeto Euclides) [9] REED, Michael; SIMON, Barry. Methods of modern mathematical physics, vol. 1. New York: Academic Press, 1972. [10] ZINSMEISTER, Michel. Thermodynamic Formalism and Holomorphic Dynamical

  Systems. Providence: AMS, 2000. (SMF/AMS Texts and Monographs, 2)

  ´Indice Remissivo

  Bola dinˆamica, 23 Cardi´oide Principal, 52 Conjunto de Fatou, 46 de Julia, 46 de Mandelbrot, 50

  Dimens˜ao de Hausdorff, 57 Entropia da parti¸c˜ao, 12 m´etrica de uma transforma¸c˜ao que preserva medida, 23 do shift, 14 topol´ogica, 16

  Estado de Equil´ıbrio, 31 F´ormula de Bowen, 41 de Rohlin, 15 para Mudan¸ca de Vari´aveis, 32

  Formalismo Termodinˆamico, 25 Fun¸c˜ao expansiva, 37

  H¨older, 26 Lema de Schwarz, 10 M´etrica exterior, 55 hiperb´olica, 10

  Matriz de incidˆencia, 3 Medida de Hausdorff, 56 erg´odica, 7 exterior, 55 Gibbs, 31 invariante, 6

  Operador adjunto, 27 de transferˆencia, 26 de Ruelle, 26

  Parti¸c˜ao de Markov, 40 Polinˆomio hiperb´olico, 53 quadr´atico, 49

  Pontos extremais, 8 Press˜ao, 16 Princ´ıpio Variacional, 18 Pseudo-´orbita, 38 Repulsor Conforme, 36 Sequˆencias subaditivas, 13 Shift, 3 Soma de Birkhoff, 26 Subshift, 3 Teorema de Perron-Frobenius, 17 de Perron-Frobenius-Ruelle, 25 de Representa¸c˜ao de Riez-Markov, 7 de Schauder-Tychonov, 27 de Shannon-McMillan-Breiman, 20

  60 de Uniformiza¸c˜ao de Riemann, 10 Topologia fraca-*, 8 Topologicamente mixing, 4 transitivo, 4

  Transforma¸c˜ao de M¨obius, 10 Vers˜ao Topol´ogica do Teorema de Shannon-McMillan-Breiman,

  23

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