Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

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Full text

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Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado

Formalismo Termodinˆ

amico e Dimens˜

ao de Hausdorff

Vanessa Ribeiro Ramos

Salvador-Bahia

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Vanessa Ribeiro Ramos

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro.

Co-orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Jr.

Salvador-Bahia

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Salvador, 2009. 60 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro. Co-orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Jr.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2009.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Sistemas dinˆamicos. 2. Teoria erg´odica. I. Pinheiro, Vilton Jeovan Viana. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Vanessa Ribeiro Ramos

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 11 de fevereiro de 2009.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Jr. (Co-orientador) UFBA

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que n´os lhe oferecemos.”

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Agrade¸co a Deus, for¸ca criadora que impulsiona minha vida. Aos meus pais, pela educa¸c˜ao moral e amor incondicional.

Ao meu orientador, Professor Dr.Vilton Pinheiro, exemplo de dedica¸c˜ao `a pesquisa matem´atica, que atrav´es de sua firmeza na condu¸c˜ao deste trabalho foi o maior respons´avel pelo meu crescimento acadˆemico. Ao meu co-orientador, Professor Dr. Au-gusto Armando, um matem´atico atencioso e preocupado com a forma¸c˜ao de seus alunos, agrade¸co pelos s´abios conselhos nos momentos de inseguran¸ca. Ao Professor Dr. Vitor Ara´ujo que, pela generosidade ao transmitir seus conhecimentos, fez despertar o meu in-teresse no estudo dos sistemas dinˆamicos. Ao Professor Dr. Paulo Varandas, um amigo querido, referˆencia de boa vontade e gentileza. A estes “dinˆamicos”, meu eterno agradeci-mento pelo apoio ao prosseguiagradeci-mento dos meus estudos de nossa bel´ıssima Matem´atica.

Ao Professor Dr. Carlos Matheus, pelos coment´arios e sugest˜oes para esta dis-serta¸c˜ao.

`

A Maria Teresa Gilly, pelo amparo e otimismo que fortaleceram meus passos no momento mais dif´ıcil desta caminhada.

`

As “super-poderosas”, Fabi, Liu, Man´u e `a ´Isis, queridas amigas que, com muito amor e cumplicidade, me ajudaram a superar tantos obst´aculos.

Ao Jo˜ao Paulo, pela disponibilidade em normatizar o layout deste trabalho. Aos professores do Instituto de Matem´atica-UFBA, pela aten¸c˜ao e carinho du-rante toda gradua¸c˜ao e mestrado. Em especial, ao Professor Dr. Enaldo Vergasta, um amigo e incentivador, alicerce de minha trajet´oria matem´atica.

`

A CAPES, pelo aux´ılio financeiro.

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O objetivo principal desta disserta¸c˜ao ´e usar o formalismo termodinˆamico para calcular a dimens˜ao de Hausdorff de um repulsor conforme. Com esta finalidade, constru´ımos parti¸c˜oes de Markov para sistemas uniformemente expansores utilizando a propriedade de sombreamento por pseudo-´orbitas. Tais parti¸c˜oes nos permite identificar a dinˆamica destes sistemas com um subshift de tipo finito. Para finalizar, exibimos um conjunto de parˆametros c ∈ C para os quais o polinˆomio z2 +c atua como um repulsor

conforme no seu conjunto de Julia.

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The main goal of this masters thesis is use the thermodynamical formalism for calculate the Hausdorff dimension of a conformal repeller. To this end, we constructed Markov partition for uniformly expanding dynamical systems making use of shading property by pseudo-orbit. Such partitions allow us to identify the dynamics of this systems with a subshift of finite type. Finally, we display one set of parametersc∈C for

which the polynomial z2+c acts as a conformal repeller on its Julia set.

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Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Shift . . . 3

1.2 Medidas Invariantes . . . 6

1.3 Ergodicidade . . . 7

1.4 Outros Resultados . . . 10

2 Entropia 12 2.1 Entropia do shift . . . 12

2.2 Entropia Topol´ogica e Press˜ao . . . 15

2.3 O Teorema de Shannon-McMillan-Breiman . . . 20

3 Formalismo Termodinˆamico 25 3.1 O Teorema de Perron-Frobenius-Ruelle . . . 25

3.2 Medidas Gibbs e Estados de Equil´ıbrio . . . 31

4 Repulsores Conformes 36 4.1 Defini¸c˜ao e Propriedades Gerais . . . 36

4.2 C´alculo da Dimens˜ao de Hausdorff de J . . . 41

5 Itera¸c˜ao de Polinˆomios Quadr´aticos 46 5.1 Conjuntos de Julia . . . 46

5.2 O Cardi´oide Principal . . . 52

A Medidas e Dimens˜ao de Hausdorff 55 A.1 Medidas de Hausdorff . . . 55

A.2 Dimens˜ao de Hausdorff . . . 57

Referˆencias 58

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(12)

O Formalismo Termodinˆamico desempenha um papel proeminente no entendi-mento das propriedades erg´odicas dos sistemas uniformemente hiperb´olicos. A id´eia central ´e utilizar as parti¸c˜oes de Markov para codificar as ´orbitas destes sistemas por sequˆencias simb´olicas infinitas e construir os chamados Estados de Equil´ıbrio e Medidas Gibbs.

Enquanto as medidas Gibbs fornecem um controle uniforme da medida de todas as bolas dinˆamicas, os estados de equil´ıbrio maximizam a press˜ao do sistema. Deste modo, essas medidas invariantes tornam-se as mais naturais associadas a uma transforma¸c˜ao expansora.

Apesar de nos restrigirmos ao estudo de sistemas uniformemente hiperb´olicos, as t´ecnicas apresentadas servem de modelo para a compreens˜ao da dinˆamica de sistemas mais gerais.

Neste trabalho, utilizaremos o formalismo termodinˆamico para calcular a dimens˜ao de Hausdorff de um repulsor conforme.

O cap´ıtulo 1 ´e composto de resultados preliminares para o entendimento dos enunciados e defini¸c˜oes da disserta¸c˜ao. Como a defini¸c˜ao de entropia m´etrica depende da existˆencia de medidas invariantes provamos a existˆencia de tais medidas para trans-forma¸c˜oes cont´ınuas em espa¸cos compactos. Para tal, utilizamos a no¸c˜ao de convergˆencia fraca no espa¸co M(X, T) das medidas invariantes por transforma¸c˜oes cont´ınuas T : X → X em que X ´e compacto. Em seguida, fornecemos uma interpreta¸c˜ao geom´etrica do conceito de medidas erg´odicas em espa¸cos compactos. Esta interpreta¸c˜ao nos permitiu concluir que as medidas definidas por princ´ıpio variacional s˜ao erg´odicas. Por ´ultimo, mostramos que um sistema dinˆamico expansor na m´etrica hiperb´olica ´e na verdade um sistema uniformemente hiperb´olico.

Como a imprevisibilidade das ´orbitas de um sistema dinˆamico pode ser medido pela entropia, no cap´ıtulo 2 apresentamos os conceitos de entropias m´etrica e topol´ogica para o shift, provando a principal rela¸c˜ao entre elas: o Princ´ıpio Variacional. Demonstramos o Teorema de Shannon-McMillan-Breiman e, baseados neste, definimos a entropia m´etrica de uma transforma¸c˜ao qualquer que preserva medida. Comentamos

(13)

ainda a interessante vers˜ao topol´ogica deste teorema dada por Brin e Katok. Denotando por X o espa¸co topol´ogico compacto AN

, em que A ={1, . . . , m}, e porT o shift emX, a cada fun¸c˜ao realφcont´ınua emXassociamos o operador de Ruelle, tamb´em conhecido como operador de transferˆencia,Lφ :C(X)→C(X) definido por:

Lφ(f)(x) =

X

y∈T−1(x)

eφ(y)f(y).

Iniciamos o cap´ıtulo 3, dedicado ao formalismo termodinˆamico, por mostrar o Teorema de Perron-Frobenius-Ruelle que, sob a hip´otese de φ ter varia¸c˜ao som´avel, garante a existˆencia de uma ´unica probabilidade invariante autofun¸c˜ao do operador adjunto L∗

φ.

Como consequˆencia deste teorema mostramos que para toda fun¸c˜ao φ H¨older existe um ´

unico estado de equil´ıbrio que ´e uma medida Gibbs.

No cap´ıtulo 4, mostramos como construir parti¸c˜oes de Markov, com elementos de diˆametro arbitrariamente pequeno, para sistemas uniformemente expansores utilizando a propriedade de sombreamento por pseudo-´orbitas. Fixada uma parti¸c˜ao de Markov, exibimos uma (semi)conjuga¸c˜ao do sistema expansor com um subshift de tipo finito. Essa identifica¸c˜ao tem uma particular importˆancia quando consideramos um repulsor conforme; uma vez que este sistema uniformemente expansor ´e topologicamente mixing podemos aplicar o formalismo termodinˆamico desenvolvido no cap´ıtulo 3 para calcular a sua dimens˜ao de Hausdorff.

Apresentamos no cap´ıtulo 5 algumas propriedades do Conjunto de Julia pro-duzido por itera¸c˜ao de polinˆomios complexos. Considerando a fam´ılia de polinˆomios quadr´aticos {Pc(z) = z2 +c}c∈C, exibimos um conjunto de parˆametros c ∈ C para os

quais, o conjunto de Julia associado ´e um repulsor conforme. Desta forma, tem-se um bom entendimento da dinˆamica do polinˆomio neste conjunto.

(14)

Preliminares

Neste cap´ıtulo, apresentamos algumas ferramentas b´asicas para o entendimento dos enunciados e defini¸c˜oes desta disserta¸c˜ao.

1.1

Shift

SejaX um espa¸co topol´ogico. Denotaremos porB(X) o conjunto das sequˆencias θ : Z X e por B+(X) o conjunto das sequˆencias θ : N X providos da topologia

produto. O shift T :B(X)←֓ ´e a transforma¸c˜ao definida por T(θ)(n) = θ(n+ 1)

Analogamente, define-se o shift T : B+(X) ֓ denominado `as vezes shift unilateral. Da An´alise Funcional, sabemos que ambas aplica¸c˜oes s˜ao cont´ınuas. No caso de X ser um conjunto finito com m elementos escreveremos B(m) = B(X), B+(m) = B+(X) e identificaremosX com o conjunto A={1, . . . , m} provido da topologia discreta.

A σ-´algebra dos boreleanos deB(m) ´e gerada pelos cilindros

x1. . . xn :={θ ∈B(m) ; θ(i) = xi , 1≤i≤n}

Diremos que um subconjunto Λ ⊂B(m) ´e um subshift se ´e compacto e invariante sob a dinˆamica deT, isto ´e, T−1(Λ) = Λ. Um subshift ΛB(m) ´e dito de tipo finito se existeM uma matrizm×m, chamada matriz de incidˆencia , cujos coeficientesmij s˜ao 0

ou 1 e tal que

θ ∈Λ ⇐⇒ mθ(i)θ(i+1) = 1

para todoi∈Z. Neste caso, denotaremos Λ = Λ(M). Reciprocamente, dada uma matriz

de incidˆenciaM = (mij)m×m podemos definir o subshift

(15)

Λ = Λ(M) := {θ∈B(m) ; mθ(i)θ(i+1) = 1, ∀i∈Z} Denotaremos pormn

ij as entradas da matrizMn.

Examinemos agora as rela¸c˜oes entre as propriedades alg´ebricas da matriz M e as propriedades topol´ogicas de Λ(M).

Seja X um espa¸co compacto e T : X →X uma transforma¸c˜ao cont´ınua. O par (X, T) ´e dito topologicamente transitivo, se para todo par de abertosU eV existen∈N

tal que Tn(U)V 6= . Dizemos que (X, T) ´e topologicamente mixing se, para todo

par de abertos U e V em X, existe k > 0 tal que Tn(U)V 6= ,n k. Note que

topologicamente mixing implica em topologicamente transitivo. O shift em AN

´e topologicamente mixing, pois para todo aberto U existe n ≥ 0 tal que Tn(U) = AN

Teorema 1.1.1. O subshift(Λ(M), T)´e topologicamente transitivo se, e somente se, para todo i, j ∈ A, existe n ≥ 1 tal que mn

ij > 0 (isto ´e, M ´e irredut´ıvel). Mais ainda, ele ´e

topologicamente mixing se, e somente se, existe n ≥ 1 tal que para todo i, j ∈ A temos

mk

ij >0,∀k ≥n (isto ´e, M ´e aperi´odica).

Na prova deste teorema usaremos o

Lema 1.1.2. Para todo 1≤i≤m, 1≤j ≤m e l ≥1, tem-se que m(ijl) = #Sij(l), em que

Sij(l) ´e o conjunto das fun¸c˜oes γ :{0, . . . , l} → {1, . . . , m} tais que

γ(0) =i γ(l) = j

mγ(t)γ(t+1) = 1, t∈ {0, . . . , l−1}

Demonstra¸c˜ao: (Lema 1.1.2.) Provaremos por indu¸c˜ao sobre l.

Para l = 1 a igualdade ´e clara. Suponha que vale para um dado l ≥ 1, e analisemos a igualdade paral+ 1.

Seja S a uni˜ao disjunta dos conjuntos Sit(l), com t tal que mtj = 1. Ent˜ao,

#S= X

mtj=1

#Sit(l) = X

mtj=1

m(itl) =X

t

m(itl)mtj =m(ijl+1).

Por outro lado, considerando a fun¸c˜ao φ :S → {θ :{0, . . . , l+ 1} → {1, . . . , m}}

definida por

φ(γ)(s) = γ(s), s= 0, . . . , l φ(γ)(l+ 1) =j

temos uma bije¸c˜ao entre S eSij(l+1).

De fato, pela defini¸c˜ao da fun¸c˜ao φ,

(16)

o que garante a injetividade da mesma. A sobrejetividade tamb´em ´e v´alida, pois dada α∈Sij(l+1), ou seja, α∈ {θ :{0, . . . , l+ 1} → {1, . . . , m}} tal que

α(0) =i α(l+ 1) =j

mα(t)α(t+1) = 1, t= 0, . . . , l ,

existeγ ∈S, mais precisamente γ ∈S(l)(l) definida como γ(s) = α(s), s= 0, . . . , l

mγ(t)γ(t+1) = 1, t= 0, . . . , l−1, tal que neste caso,

φ(γ)(s) =γ(s) = α(s), s= 0, . . . , l φ(γ)(l+ 1) =j =α(l+ 1)

mφ(γ)(t)φ(γ)(t+1) =mγ(t)γ(t+1)= 1, t= 0, . . . , l−1 mφ(γ)(l)φ(γ)(l+1) =mγ(l)j =mα(l)j = 1

.

Conclu´ımos ent˜ao que, dadaα em Sij(l+1), existe uma fun¸c˜aoγ em S tal que a imagem de γ por φ ´eα. Disto, segue que #S = #Sij(l+1).

Portanto, m(ijl+1) = #Sij(l+1).

c.q.d.

Com este lema provemos o teorema:

Demonstra¸c˜ao: (Teorema 1.1.1.) Queremos provar que, seU eV s˜ao abertos n˜ao vazios de Λ(M), ent˜ao existe n >0 tal que Tn(U)V 6=.

Como aσ-´algebra dos boreleanos deAN

´e gerada pela uni˜ao disjunta dos cilindros, seU eV s˜ao abertos de Λ(M), existem cilindros xj. . . xj+p eyi. . . yi+s tais que

(xj. . . xj+p)∩Λ(M)⊂U e (yi. . . yi+s)∩Λ(M)⊂V.

Ent˜ao,

Tn(U)V Tn((x

j. . . xj+p)∩Λ(M))∩(yi. . . yi+s)∩Λ(M)

= (xj+n. . . xj+p+n)∩(yi. . . yi+s)∩Λ(M)

(1.1)

Construiremos uma seq¨uˆenciaθ ∈AN

tal que θ ∈Tn(U)V.

Sejam θ1 ∈(xj. . . xj+p)∩Λ(M) e θ2 ∈(yi. . . yi+s)∩Λ(M). Consideren tal que

(17)

Pelo lema 1.1.2., existeα :{0, . . . , n+j−i−s} → {1, . . . , n} tal que α(0) =yi+s

α(n+j −i−s) =xj

mα(t)α(t+1) = 1, t∈ {0, . . . , n+j −i−s−1} Definimosθ ∈AN

como:

θ(t) =θ2(t), t≤i+s

θ(t) =α(t−i−s), i+s≤t≤n+j θ(t) =θ1(t−n), t≥n+j

Disto, da defini¸c˜ao deα e de θ1, θ2 ∈Λ(M), conclu´ımos que θ∈Λ(M). Al´em disso, θ ∈(xj+n. . . xj+p+n)∩(yi. . . yi+s).

Portanto, por (1.1), obtemos Tn(U)V 6=.

Reciprocamente, se (Λ(M), T) ´e transitivo, dados 1≤i≤m, 1≤j ≤m, para os cilindrosi0ej0 existen >0 tal queTn(j0)(i0)Λ(M)6=, isto ´e, (j

n)∩(i0)∩Λ(M)6=∅.

Sejaθ ∈(jn)∩(i0)∩Λ(M). Ent˜ao θ|{1,...,n} satisfaz: θ(0) =i

θ(n) = j

mθ(t)θ(t+1) = 1, t∈ {1, . . . , n−1} Pelo lema anterior, obtemosm(ijn) ≥1.

Seguindo as mesmas id´eias demonstra-se a segunda equivalˆencia do teorema. c.q.d.

Apesar de apresentarem uma dinˆamica bastante simples, os shifts modelam as dinˆamicas uniformemente hiperb´olicas: em particular, veremos no cap´ıtulo 4 que um sistema uniformemente expansor ´e uma r´eplica exata de algum subshift, pelo menos sob o ponto de vista de uma medida erg´odica aberta.

1.2

Medidas Invariantes

Sejam (X,A, µ) um espa¸co de medida eT :X ←֓uma transforma¸c˜ao mensur´avel. Diremos queµ´e uma medida invariante (ou T preserva a medida µ) se ∀A∈ A vale

µ(T−1(A)) =µ(A)

(18)

Teorema 1.2.1. Sejam (X,A, µ) um espa¸co de medida σ-finito e T : X ←֓ uma trans-forma¸c˜ao mensur´avel. Se existe uma sub´algebraB ⊂ Aque geraAe tal queµ(T−1(A)) = µ(A) para todo A∈ B ent˜ao µ ´e invariante.

Demonstra¸c˜ao: Defina a medida ν :A →R por

ν(A) =µ(T−1(A)).

Note queν|B =µ|B e portanto ν ´e a extens˜ao aA deµ|B. Como tal extens˜ao ´e ´unica (ver [2]) temos ν=µ, o que mostra queµ´e invariante.

c.q.d.

Vejamos uma aplica¸c˜ao deste teorema.

Exemplo 1.2.2. Sejam X = AN

, em que A = {1, . . . , m}, e T o shift unilateral. Dada uma probabilidade µ0 em A defina a medida produto µ nos cilindros por

µ(a1. . . an) := m

Y

i=1 µ0(ai)

Como os cilindros geram aσ-´algebra dos boreleanos de X, o teorema de extens˜ao garante a boa defini¸c˜ao de µ nesta ´algebra al´em disso, pelo teorema anterior, µ ´e uma medida invariante.

1.3

Ergodicidade

Nesta se¸c˜ao utilizaremos alguns resultados de An´alise Funcional que podem ser encontrados em [9].

Seja T uma transforma¸c˜ao que preserva medida de um espa¸co de probabilidade (X,A, µ). Diremos que µ´e uma medida erg´odica (ou T ´e erg´odica) se

A∈ A e T−1(A) =A=⇒µ(A) = 0 ou 1

Para uma interpreta¸c˜ao geom´etrica do conceito de ergodicidade, suponha que X seja um espa¸co m´etrico compacto e queA seja a cole¸c˜ao dos boreleanos deX. O teorema de representa¸c˜ao de Riesz-Markov (ver [2]) nos permite identificar a cole¸c˜ao das medidas boreleanas (com sinal) finitas M(A) com (C(X))∗, o dual do espa¸co das fun¸c˜oes reais cont´ınuas definidas emX, da seguinte forma

Φ :M(A) −→ (C(X))∗

µ 7−→ Φ(µ) : C(X)−→ R

f 7−→ Φ(µ)(f) := Z

X

(19)

Denotando por M(X) o conjunto das medidas de probabilidade definidas em X, a topologia fraca em (C(X))∗ induz uma topologia emM(X), chamada topologia fraca-* deM(X), com a seguinte no¸c˜ao de convergˆencia

µn−→f raca−∗ µ ⇐⇒ Z

X

f dµn −→

Z

X

f dµ, ∀f ∈C(X).

Por outro lado, sendo X m´etrico compacto, o conjunto C(X) ´e separ´avel e portanto a aplica¸c˜ao d∗ :M(A)× M(A)[0,+) definida por

d∗(µ, ν) := +∞ X

j=1 2−j

Z

X

gjdµ−

Z

X

gjdν

em que {gj}j≥1 ´e um subconjunto denso enumer´avel da bola unit´aria de C(X), ´e uma m´etrica que gera a toplogia fraca-* de M(X). Deste modo, aplicando o teorema de Banach-Alaoglu, temos queM(X) ´e compacto.

Em resumo, M(X) ´e um subconjunto convexo compacto de um espa¸co vetorial topol´ogico. O teorema de Krein-Millman mostra que neste caso, toda medida em M(X) ´e combina¸c˜ao convexa dos pontos extremais de M(X). Aqui um ponto µ ∈ M(X) ´e extremal se

µ1, µ2 ∈ M(X) e µ= 1

2(µ1+µ2)⇒µ1 =µ2 =µ.

Por exemplo, as medidas de Diracδx para x∈X s˜ao pontos extremais de M(X).

Seja T :X ←֓ uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Esta transforma¸c˜ao induz uma aplica¸c˜ao T∗ :M(X)֓ definida por

A∈ A, T∗µ(A) = µ(T−1(A)).

Proposi¸c˜ao 1.3.1. A fun¸c˜ao T∗ ´e linear e cont´ınua em M(X).

Demonstra¸c˜ao: A linearidade de T∗ ´e clara. Pelo teorema de Riesz-Markov, para toda f ∈C(X) vale Z

X

f d(T∗µ) = Z

X

f ◦T dµ

Desta equa¸c˜ao, vemos que se (µn) ´e uma sequˆencia em M(X) convergindo fracamente-*

para µent˜ao sequˆencia (T∗µ

n) converge fracamente-* paraT∗µ.

c.q.d.

(20)

DefinaM(X, T) como o conjunto das medidas deM(X) que s˜ao invariantes por T. Este ´e um conjunto compacto convexo n˜ao-vazio e portanto ´e gerado pelos seus pontos extremais. O teorema a seguir caracteriza estas medidas invariantes extremais.

Teorema 1.3.2. Os pontos extremais de M(X, T) s˜ao exatamente as medidas erg´odicas extremais.

Demonstra¸c˜ao: (Extremal⇒ erg´odica) Suponha que a medida µ ∈ M(X, T) n˜ao seja erg´odica. Ent˜ao existe um boreleano E ∈ A tal que T−1(E) = E e 0 < µ(E) < 1. Utilizando as fun¸c˜oes caracter´ısticas χE e χX\E, defina as medidas

µ1 := χE

µ(E)µ, µ2 :=

χX\E

µ(X\E)µ

desde queE eX\E s˜ao invariantes, µ1 eµ2 s˜ao invariantes. Logo,µn˜ao ´e extremal pois, µ = µ(E)µ1+ (1−µ(E))µ2.

(Erg´odica ⇒extremal) Seja µerg´odica, e suponha que µ=aµ1+ (1−a)µ2 com µi ∈ M(X, T) e 0 < a <1. Neste caso, µj ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ, e

pelo teorema de Radon-Nikodym (ver [2]),µj =fjµ com fj ≥0 e fj ∈ L1(µ).

Considere o conjunto E ={f1 <1}, como Z

E\T−1(E)

f1dµ+ Z

E∩T−1(E)

f1dµ = µ1(E) =µ1(T−1(E))

= Z

T−1(E)\E

f1dµ+ Z

E∩T−1(E)

f1dµ

ent˜ao Z

E\T−1(E)

f1dµ= Z

T−1(E)\(E)

f1dµ

e

µ(E\T−1(E)) = µ(E)−µ(E∩T−1(E)) = µ(T−1(E))−µ(E∩T−1(E)) = µ(T−1(E)\E)

Por outro lado, f1 <1 emE\T−1(E) e f1 1 em T−1(E)\E. Estes fatos mostram que µ(E△T−1(E)) = 0. Afirmamos queµ(E) = 0 ouµ(E) = 1.

De fato, indutivamente vemos que se µ(E△T−1(E)) = 0 ent˜ao µ(ET−n(E)) =

0. Definindo

E∞ = ∞ \

n=0 ∞ [

i=n

T−i(E)

(21)

Em verdade µ(E) = 0, pois µ1 = f1µ e µ1 ´e invariante. Deste modo, f1 ≥ 1 em µ-qtp x ∈ X, e o mesmo argumento aplicado ao conjuntoE = {f1 > 1} mostra que µ(E) = 0. Logo, f1 = 1 emµ-qtpx∈X e µ1 =µ, o que implica µ2 =µ.

c.q.d.

1.4

Outros Resultados

Os resultados a serem apresentados nesta se¸c˜ao s˜ao considerados cl´assicos de An´alise Complexa e Geometria Riemanniana, portanto omitiremos as demonstra¸c˜oes. Para maiores detalhes consulte [7] e [2].

Teorema 1.4.1. (Teorema de Uniformiza¸c˜ao de Riemann)Seja U um subconjunto aberto e simplesmente conexo deC, tal queU 6=C. Dadoz0 U, existe um ´unico biholomorfismo

f :U →D:={z C; |z|<1}, tal que f(z0) = 0 e f(z0)(0,+).

Em palavras, o teorema de uniformiza¸c˜ao de Riemann nos permite identificar um aberto simplesmente conexo do plano com o disco unit´arioD. EquipandoDcom a m´etrica

hiperb´olica ρ definida por

dρ(z) = |dz| (1− |z|2) classificamos os holomorfismos do disco com o

Lema 1.4.2. (Lema de Schwarz) Se f : D D ´e uma fun¸c˜ao holomorfa ent˜ao, com

rela¸c˜ao a m´etrica hiperb´olica, f ´e uma isometria ou ´e uma contra¸c˜ao.

Para ilustrar a importˆancia destes teoremas, considereU ⊂Cum aberto

simples-mente conexo e f :U → U uma fun¸c˜ao holomorfa que possui pelo menos um ponto fixo atratorz0 emU.Pelo teorema de uniformiza¸c˜ao de Riemann∃F :U →Dbiholomorfismo

com f(z0) = 0.

Defina ˆf :D֓por ˆf =FfF−1(z). Pelo lema de Schwarz, ˆf ´e uma isometria

ou uma contra¸c˜ao na m´etrica hiperb´olca. No entanto, da Geometria Riemanniana, sabe-mos que as isometrias na m´etrica hiperb´olica do disco s˜ao precisamente as tranforma¸c˜oes de M¨obius

T(z) = az+b bz+a em que |a|2− |b|2 = 1 e como

ˆ

f(0) = 0 e |Dfˆ(0)|=|Df(z0)|<1

(22)

Seja J ⊂ U compacto invariante por f, isto ´e, f−1(J) = J. Denotando por A o conjunto F(J) temos que A ´e compacto (e portanto ∃c < 1 ; |z| ≤ c, ∀z ∈ A ) e invariante por ˆf . Desta forma, ∀z =F−1z)J en 1 vale

||fˆnz)||

ρ≤kn||zˆ||ρ

Pela defini¸c˜ao da m´etricaρ

|Dfˆnz)|

1− |fˆnz)|2 ≤ kn

1− |zˆ|2 Logo,

|Dfn(z)| ≤ k

n(1c2)−1 min

ˆ

z∈A|DF

−1z)||DF(fnF−1z))| equivalentemente,

|Dfn(z)| ≤ Ckn, ∀z ∈J.

Deste modo, se J n˜ao possui pontos cr´ıticos de f ent˜ao ∃n0 tal que todo ramo inverso f−n ´e uniformemente expansor em J para todo n n0. Este resultado ser´a

(23)

Entropia

O conceito de entropia em sistemas dinˆamicos foi introduzido inicialmente por Kolmogorov e por Sinai em 1958 e 1959, respectivamente. Eles se basearam nos conceitos de entropia em teoria de informa¸c˜ao, introduzidos por Shannon. Enquanto a defini¸c˜ao de entropia m´etrica depende de uma medida invariante, a entropia topol´ogica ´e definida de modo puramente topol´ogico para transforma¸c˜oes cont´ınuas e n˜ao depende de medida. Intuitivamente, elas medem o qu˜ao desordenadas s˜ao as ´orbitas do sistema. A principal rela¸c˜ao entre elas ´e dada pelo Princ´ıpio Variacional.

Iniciamos o cap´ıtulo apresentando estes conceitos de entropia para o shift, uma vez que esta transforma¸c˜ao modelar´a o nosso sistema. Em seguida, veremos a defini¸c˜ao de entropia m´etrica, para uma transforma¸c˜ao qualquer que preserva medida, baseada no teorema de Shannon-McMillan-Breiman. E finalmente, com a vers˜ao topol´ogica de Brin-Katok, obtemos a equivalˆencia das defini¸c˜oes de entropia m´etrica para o shift.

2.1

Entropia do shift

Sejam X = AN

, em que A ={1, . . . , m}, e T o shift em X. O espa¸co de medida (X,A) tem uma decomposi¸c˜ao natural (Bn), em queBn´e aσ-´algebra gerada pelo conjunto

An dos cilindros x1. . . xn de ordem n.

Seja µ uma probabilidadeT-invariante em X. Para cada n definimos a entropia da parti¸c˜ao An com respeito `a medida µ como

Hµ(An) :=−

X

A∈An

µ(A) log(µ(A)).

Proposi¸c˜ao 2.1.1. Para todo n, p∈N temos Hµ(An+p)Hµ(An) +Hµ(Ap).

Demonstra¸c˜ao: Denotaremos por AB o cilindro da forma a1. . . anb1. . . bp, em que

a1. . . an=A∈ An e b1. . . bp =B ∈ Ap.

(24)

Note que todo cilindro de An+p ´e da forma AB. Logo,

µ(A) = X

B∈Ap

µ(AB) = X

B∈Ap

µ(BA).

o que implica,

X

B∈Ap

µ(AB)

µ(A) = 1 e X

B∈Ap

µ(AB) µ(A) µ(B) µ(AB) = 1 µ(A).

Da convexidade da fun¸c˜ao −log, segue que log(µ(A)) =−log

1 µ(A)

=−log  X

B∈Ap

µ(AB) µ(A)

µ(B) µ(AB)

≤ − X

B∈Ap

µ(AB) µ(A) log µ(B) µ(AB) . e portanto,

µ(A) logµ(A)≤ − X

B∈Ap

µ(AB) logµ(B) + X

B∈Ap

µ(AB) logµ(AB).

Tomando o somat´orio em A ∈ An e sabendo que da invariˆancia de µ temos

µ(B) = µ(T−n(B)) =µ( [ A∈An

AB) = X

A∈An

µ(AB), conclu´ımos que:

X

A∈An

µ(A) logµ(A) + X

B∈Ap

µ(B) logµ(B)≤ X

A∈An,B∈Ap

µ(AB) logµ(AB),

isto ´e,

Hµ(An+p)≤Hµ(An) +Hµ(Ap).

c.q.d.

A proposi¸c˜ao nos mostra que a sequˆencia (Hµ(An))n∈N ´e subaditiva. Acerca de

sequˆencias subaditivas temos a

Proposi¸c˜ao 2.1.2. Se (un)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia n˜ao negativa de n´umeros reais

satis-fazendo

un+p ≤un+up, ∀n, p∈N

ent˜ao a sequˆencia un

n

n≥1 ´e convergente.

Demonstra¸c˜ao: Seja c = inf

n (

un

n ). Pela defini¸c˜ao de ´ınfimo, dado ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que un0

(25)

un

n ≤

pun0 +uq

n < pun0

pn0 +uq

n ≤c+ε+ 1 n

sup 1≤j≤n0

uj

.

Logo, para n suficientemente grande un

n ≤ c+ 2ε, implicando na convergˆencia (para o ´ınfimo) da sequˆencia.

c.q.d.

Estes dois ´ultimos resultados garantem a boa defini¸c˜ao da entropia m´etrica do shift T com respeito `a medida µ:

hµ(T) := lim n→+∞

Hµ(An)

n

Objetivando apresentar uma outra forma de calcular a entropia do shift, hµ(T),

introduziremos o conceito de jacobiano.

Considere x=x1x2. . . xn. . .∈X. Para cadan∈N defina

Jn(x) =

  

µ(x2. . . xn)

µ(x1. . . xn)

, seµ(x1. . . xn)6= 0;

+∞ , caso contr´ario.

Devido `a invariˆancia da medidaµa fun¸c˜aoJn´e limitada inferiormente por 1. Sabe-se que

a sequˆencia (Jn) est´a em L1(µ) martingale com respeito a decomposi¸c˜ao (Bn) e portanto,

a fun¸c˜ao

Jµ(x) := lim

n→+∞Jn(x)

existe emµ-qtpx∈X. Ela ´e chamada o Jacobiano de T com respeito a medida µ. Como propriedade das fun¸c˜oes Jn temos a

Proposi¸c˜ao 2.1.3. A fun¸c˜ao x7→M(x) = sup{logJn(x); n ≥0} est´a em L1(µ).

Demonstra¸c˜ao: Para λ > 0, defina Eλ = {M > λ}. Este conjunto pode ser reescrito

como

Eλ =

x∈X; inf

n

µ(x1x2. . . xn)

µ(x2. . . xn)

< e−λ

.

Seja (Cn) a fam´ılia dos cilindros m´aximos para os quais µ(Cn)< e−λµ(T(Cn)).

Por maximalidade, (Cn) s˜ao dois a dois disjuntos, e Eλ =SCn. Portanto,

µ(Eλ) =

X

µ(Cn)< e−λ

X

µ(T(Cn))≤me−λ

e conclu´ımos que Z

X

M dµ= Z ∞

0

(26)

c.q.d.

Podemos agora estabelecer a F´ormula de Rohlin, a qual ´e ´util para o c´alculo da entropia.

Teorema 2.1.4. Seja Jµ o jacobiano de T com respeito `a µ. Ent˜ao,

hµ(T) =

Z

X

logJµdµ.

Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema da convergˆencia dominada, podemos escrever Z

X

logJµdµ= lim n→+∞

Z

X

logJndµ.

Mas, observe que Z

X

logJndµ=

X

A∈An

µ(A) logµ(T(A))− X

A∈An

µ(A) logµ(A) =un−un−1

Como sabemos que esta sequˆencia converge para o limite RXlogJµdµ, ent˜ao a soma a

C´esaro 1 n

n

X

i=1

(ui−ui−1) converge para o mesmo valor. Isto ´e, lim n→∞ 1 n n X i=1

(ui−ui−1) = lim

n→∞ 1 n n X i=1

(−Hµ(Ai−1) +Hµ(Ai)) =

Z

X

logJµdµ.

Logo,

Z

X

logJµdµ= lim n→∞

Hµ(An)

n −

Hµ(A0)

n

= lim

n→∞

Hµ(An)

n =hµ(T).

c.q.d.

2.2

Entropia Topol´

ogica e Press˜

ao

(27)

Seja φ uma fun¸c˜ao cont´ınua em X, denominada freq¨uentemente na literatura de potencial. Para cada n≥0, considere a soma de Birkhoff

Snφ= n−1 X

k=0

φ◦Tk

Para um cilindro C e uma fun¸c˜ao cont´ınua ψ ∈C(X), denotaremos por ψC = sup{ψ(x);x∈C}.

Teorema 2.2.1. O limite a seguir existe e define a Press˜ao do potencial φ.

P(φ) = lim

n→+∞ 1 nlog

X

C∈An

e(Snφ)C

!

Demonstra¸c˜ao: Dados A∈ An eB ∈ Ap, note que

(Sn+pφ)AB ≤(Snφ)A+ (Spφ)B.

Denotando por Vn a sequˆencia

Vn=

X

C∈An

e(Snφ)C

obtemos

Vn+p =

X

A,B

e(Sn+pφ)AB X

A,B

e(Snφ)Ae(Spφ)B = X

A∈An

e(Snφ)A X

B∈Ap

e(Spφ)B =V

nVp.

Aplicando a proposi¸c˜ao 2.1.2. com un= logVn, obtemos o resultado esperado.

c.q.d.

A Entropia Topol´ogica ´e definida como a press˜ao do potencial nulo, φ≡0. Para o shift completo, quando φ ≡0, temos que

X

C∈An

e(Snφ)C = #A

n =mn

e portanto, sua entropia topol´ogica ´e

lim

n→+∞ 1 n logm

n= logm.

(28)

Teorema 2.2.2. (Perron-Frobenius)Se M ´e uma matriz irredut´ıvel, existeλ >0tal que, para qualquer autovalor η de M, temos |η| ≤λ e, λ ´e um autovalor simples de M e Mt

associado a um autovetor positivo.

Aceitando provisoriamente este resultado temos o

Teorema 2.2.3. A entropia topol´ogica de um subshift Λ(M), associado `a matriz irre-dut´ıvel M, ´e log(λ(M)), em que λ(M) ´e o autovalor dominante de M.

Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema 2.2.1., a entropia topol´ogica ´e dada por

h(T) = lim

n→+∞ 1

nlogNn

em que Nn ´e o n´umero de cilindros de Λ(M) com ordem n. Seja Nn(j) o n´umero destes

cilindros que terminam com j ∈A. Claramente,

m

X

j=1

Nn(j) = Nn. E, para obter Nn+1(j), basta considerar todos os cilindros de ordem n que terminam com i ∈ A (que s˜ao os Nn(i)) para i= 1, . . . , m, tal

que mij = 1, isto ´e, aqueles que a ´ultima entrada i pode ser seguida do j. Desta forma,

vale

Nn+1(j) =

m

X

i=1

Nn(i)mij.

Denotando por Vn o vetor linha (Nn(j)), vemos que

Vn+1 = ( Nn+1(1) . . . Nn+1(m) ) = (

m

X

i=1

Nn(i)mi1 . . .

m

X

i=1

Nn(i)mim ) = VnM.

AssimVn+1 =VnM implicando queVn=V0Mn comV0 = (1, . . . ,1). E portanto,

Nn(j) = m

X

i=1

mnij =

m

X

i=1

V0(i)mnij, (2.1)

em que V0(i) ´e a i-´esima entrada do vetor V0.

Agora, com a existˆencia garantida pelo teorema 2.2.2., tome o autovetor positivo V deM associado ao autovalor dominanteλ(M). Deste modo,

V Mn=V M Mn−1 =λV Mn−1 =. . .=λnV, isto ´e,

m

X

i=1

V(i)mnij =λnV(j).

E, considerando a= minV(i) e b = maxV(i), para cadaj ∈A, temos que V(j) a λ n= m X i=1 V(i) a m n ij ≥ m X i=1

V0(i)mnij

(29)

De (2.1) e da aplica¸c˜ao do somat´orio emj ∈A, segue que m X j=1 V(j) a λ n m X j=1

Nn(j) =Nn≥ m X j=1 V(j) b λ n. Obtendo-se lim

n→+∞ 1 nlog m X j=1 V(j) a λ

n lim n→+∞

1

n logNn ≥n→lim+∞ 1 nlog m X j=1 V(j) b λ n.

Como os limites dos extremos s˜ao ambos iguais a logλ, conclu´ımos que

h(T) = lim

n→+∞ 1

nlogNn= logλ.

c.q.d.

Um importante resultado do formalismo termodinˆamico relaciona a entropia m´etrica e a press˜ao: o Pric´ıpio Variacional.

Para o potencial nulo, φ ≡ 0, o princ´ıpio variacional nos d´a a principal rela¸c˜ao entre a entropia topol´ogica e a entropia m´etrica, pois estabelece que a entropia topol´ogica de uma transforma¸c˜ao cont´ınua em um espa¸co m´etrico compacto ´e o supremo das entropias m´etricas tomado sobre todas as probabilidades invariantes para essa transforma¸c˜ao.

Teorema 2.2.4. (Princ´ıpio Variacional)

P(φ) = sup{hµ(T) +

Z

X

φ dµ;µ∈ M(X, T)}

Para demonstrarmos este teorema precisaremos do seguinte

Lema 2.2.5. Sejam p1, . . . , pn n´umeros reais n˜ao-negativos com n

X

i=1

pi = 1, tomando

a1, . . . , an n´umeros reais arbitr´arios temos,

n

X

i=1

pi(ai−logpi)≤log n

X

i=1 eai

! .

com igualdade se, e somente se, pi =

eai

Pn i=1eai

.

Demonstra¸c˜ao: (Lema) Considere a fun¸c˜ao f :Rn Rdefinida por

f(p1, . . . , pn) = n

X

i=1

(30)

A prova do lema consiste em encontrarmos o ponto de m´aximo daf na variedade ϕ−1(1), em que ϕ:RnR´e dada por ϕ(p1, . . . , pn) =

n

X

i=1 pi.

Utilizando a t´ecnica dos multiplicadores de Lagrange, basta procurarmos os pon-tos que satisfazem a igualdade ∇f =λ∇ϕ, para algumλ.

∇f =λ∇ϕ⇐⇒(a1−1−logp1, . . . , an−1−logpn) =λ(1, . . . ,1).

Logo,

(ai−1−logpi) = λ⇐⇒pi =eai−1−λ, ∀i∈ {1, . . . , n}.

Como

n

X

i=1

pi = 1, obtemos e−1−λ =

1 Pn

i=1eai

e portanto pi =

eai

Pn i=1eai

´e o ´unico ponto de

m´aximo da f.

c.q.d.

Demonstremos o teorema.

Demonstra¸c˜ao: Mostraremos primeiro queP(φ) ´e maior que o supremo indicado acima. Dadaµ∈ M(X, T), aplicando o lema anterior para pA =µ(A) e aA = (Snφ)A obtemos,

1 n

X

A∈An

pA(Snφ)A+

1

nHµ(An)≤ 1 nlog

X

A∈An

e(Snφ)C

!

Devido `a invariˆancia de µ,

X

A∈An

pA(Snφ)A≥ n−1 X

k=0 Z

X

(φ◦Tk)(x)dµ=

n−1 X

k=0 Z

X

φdµ=n Z

X

φdµ.

Portanto,

1

nHµ(An) + Z

X

φdµ≤ 1

nlog X

A∈An

e(Snφ)C

! .

Tomando o limite em n∈N, obtemos a desigualdade esperada.

A prova da desigualdade contr´aria ser´a obtida no cap´ıtulo 3, proposi¸c˜ao 3.2.6, onde garantimos a existˆencia de uma medidaν satisfazendo P(φ) =hν(T) +

Z

X

φdν. c.q.d.

Observamos que o sup{hµ(T) +

R

Xφ dµ;µ ∈ M(X, T)} ´e atingido por medidas

erg´odicas pois, como vimos no cap´ıtulo 1, toda medida deM(X, T) ´e combina¸c˜ao convexa destas.

(31)

2.3

O Teorema de Shannon-McMillan-Breiman

Aqui apresentaremos o conceito de entropia m´etrica, para uma transforma¸c˜ao que preserva medida, baseado no teorema de Shannon-McMillan-Breiman. Observamos que a defini¸c˜ao de entropia m´etrica que demos, no in´ıcio deste cap´ıtulo, foi restrita a uma medida invariante no shift.

Sejam (X,A, µ) um espa¸co de probabilidade e T :X ←֓ uma transforma¸c˜ao que preserva a medida µ. Se P ´e uma parti¸c˜ao de (X,A, µ) denotaremos por P(x) o ´atomo da parti¸c˜ao deP que cont´emx e por Pn(x) o conjunto dosy∈X tais que Tj(y) e Tj(x)

pertencem ao mesmo ´atomo deP para todo 0≤j ≤n. Ou seja:

Pn(x) ={y|Tj(y)∈ P(Tj(x)), 0≤j ≤n}

Equivalentemente,

Pn(x) = n

\

j=0

T−j(Pj(Tj(y)))

O conceito de entropia de uma parti¸c˜ao P est´a vinculado com a velocidade a que µ(Pn(x)) converge a zero, um resultado fundamental a este respeito ´e o seguinte teorema

Teorema 2.3.1. (Shannon-McMillan-Breiman) Sejam (X,A, µ) um espa¸co de probabili-dade eT :X ←֓ uma aplica¸c˜ao mensur´avel que preserva a medida µ. Dada uma parti¸c˜ao

P de X tal que

Hµ(P) =−

X

P∈P

µ(P) logµ(P)<+∞,

ent˜ao o limite

hµ(T,P, x) =− lim n→+∞

1

nlogµ(Pn(x))

existe para µ -quase todo ponto x ∈ X e a sequˆencia x → n−1logµ(P

n(x)) converge em

L1(µ).

Demonstra¸c˜ao: Escrevendo 1

nlogµ(Pn(x)) = 1 nlog

µ(Pn(x))

µ(Pn−1(x))

· · ·µ(P1(T

n−1(x))) µ(P(Tn(x))) µ(P(T

n(x))

= 1 n

n−1 X

j=0 log

µ(Pn−j(Tj(x)))

µ(Pn−j−1(Tj+1(x)))

+ 1

n logµ(P(T

n(x))

Mostraremos primeiro que a ´ultima parcela acima converge em µ-q.t.p e em L1(µ) para zero. Note que logµ(P(x)) ´e integr´avel pois, −RXlogµ(P(x))dµ = H(P) < +∞. Apli-cando o teorema de Birkhoff (ver [8]), conclu´ımos que

1

nlogµ(P(T

n(x))) = n+ 1

n 1 n+ 1

n

X

j=0

logµ(P(Tj(x))) 1

n

n−1 X

j=0

(32)

converge a zero tanto em L1(µ) quanto µ-qtp.

Com isto, o teorema reduz-se a prova de que a sequˆencia

1 n

n−1 X

j=0

Fn−j◦Tj

em que

Fn(x) := log

µ(Pn(x)

µ(Pn−1(T(x))) converge em µ-qtp e em L1(µ).

Por corol´ario do teorema de Birkhoff (ver [8]), ´e suficiente verificar que as fun¸c˜oes Fn s˜ao integr´aveis e que convergem em µ−qtp e em L1(µ). Para tal, considerando a

fun¸c˜ao

G(x) := sup

n≥1

|Fn(x)|

mostraremos que dado ε >0,∃A∈ A tal que G|A ∈ L1(µ) e

Z

Ac

|Fn|dµ≤ε,∀n≥1.

Se garantirmos a existˆencia deste conjunto A imediatamente teremos a integra-bilidade dasFn

Z

X

|Fn|dµ =

Z

A

|Fn|dµ+

Z

Ac

|Fn|dµ

Z

A

Gdµ+ε <+∞

Al´em disso, por corol´ario do teorema de Radon-Nikodym (ver [8]), temos que a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes

x7→ µ(Pn(x))

µ(Pn−1(T(x)))

= µ(P(x))∩(T −1P

n−1)(x) µ((T−1P

n−1)(x)) ,

em que (T−1P

n)(x) denota o ´atomo da parti¸c˜aoT−1Pn que cont´em x, converge em µ-qtp

x∈X a

X

P∈P (χP)Pb

onde

b

P := _

n≥1

T−1Pn−1 = ∞ _

j=1

T−j(P).

E portanto, a seq¨uˆencia (Fn) converge em µ-qtp x ∈ X. Da´ı, considerando

novamente o conjunto A, teremos: lim

n,m→∞sup Z

X

|Fn−Fm|dµ ≤ lim n→∞sup

Z

A

|Fn−Fm|dµ+ lim n→∞sup

Z

Ac

|Fn−Fm|dµ

≤ lim

n→∞sup Z

A

|Fn−Fm|dµ+ 2ǫ.

Aplicando o teorema da convergˆencia dominada, segue que (Fn) ´e de Cauchy em L1(µ) e

(33)

Encontremos ent˜ao este conjunto A.

Denotemos por P1, P2, . . . os ´atomos deP. Como por hip´otese H(P) = −X

j

µ(Pj) log(µ(Pj))<+∞,

dadoǫ >0,∃N ∈Ntal que X

j≥N

µ(Pj) log(µ(Pj))≤ǫ. Seja A:= N

X

j=1 Pj.

Para ver a integrabilidade G|A, comecemos por definir a fun¸c˜ao

Φ(c) := µ({x∈A;G(x)> c}).

Pela defini¸c˜ao de G, para cada x ∈ X tal que G(x) > c, existe um primeiro nx ∈N tal que |Fnx(x)|> c, isto ´e,

µ(P(x)∩(T−1Pnx−1)(x))≤e

−cµ((T−1P

nx−1)(x))).

Note que sey∈ P(x)∩(T−1Pnx−1)(x) =Pnx(x), vale queG(y)> ce vale a mesma

desigualdade acima para o y. Com isso, pela minimalidade do nx, segue que ny = nx,

ou seja, se y ∈ Pnx(x) ent˜ao Pnx(x) = Pny(y). Em outras palavras, {Pnx(x), x ∈ X}

constitui uma parti¸c˜ao deG−1((c,+)). Denotando por S

k os elementos desta parti¸c˜ao,

obtemos que para cada P ∈ P vale

µ(Sk∩P)≤e−cµ(Sk)

Deste modo,

µ(G−1((c,+∞))∩P) =µ([

k

Sk∩P)≤e−cµ(

[

k

Sk) = e−c

X

Sk⊂P

µ(Sk)≤e−c

Finalmente, somando emP ⊂A, obtemos Φ(c) =

N

X

j=1

µ(Pj ∩G−1((c,+∞))≤N e−c.

Portanto, G|A´e integr´avel. Resta-nos mostrar que

Z

A

|Fn|dµ≤ǫ,∀n≥1.

Sejam T1, T2, . . . os ´atomos de T−1P

n−1. Observe que, para quaisquer x, y ∈ Pj∩Tk temos Fn(x) =Fn(y). Assim:

Z

Ac

|Fn|dµ = −

X

j>N

X

k

µ(Pj ∩Tk) log

µ(Pj∩Tk)

µ(Tk)

= X

j>N

−X

k

µ(Tk)

µ(Pj ∩Tk)

µ(Tk)

log

µ(Pj∩Tk)

µ(Tk)

(34)

Pela convexidade da fun¸c˜aox7→xlogx eX

j

µ(Tj) = 1, segue que

Z

Ac

|Fn|dµ≤ −

X

j>N

(X

k

µ(Pj∩Tk) log(

X

k

µ(Pj ∩Tk)) =−

X

j>N

µ(Pj) log(µ(Pj))< ε.

c.q.d.

Motivados por este teorema definimos a entropia de T no ponto x com respeito `a parti¸c˜aoP como

hµ(T,P, x) =− lim n→+∞

1

nlogµ(Pn(x)) quando esse limite existe.

Desta forma, torna-se natural definirmos a entropia de T com respeito `a parti¸c˜ao

P por

hµ(T,P) =

Z

X

hµ(T,P, x)dµ(x)

A partir desta, temos a

Defini¸c˜ao 2.3.2. A entropia m´etrica, hµ(T), de uma transforma¸c˜ao T que preserva

me-dida de um espa¸co de probabilidade (X,A, µ) ´e o

hµ(T) = sup{hµ(T,P) ; −

X

P∈P

µ(P) logµ(P)<+∞}

ConsiderandoX um espa¸co m´etrico compacto eT :X ←֓uma aplica¸c˜ao cont´ınua que preserva medida µ, uma interessante vers˜ao topol´ogica do teorema de Shannon-McMillan-Breiman foi dada por Brin e Katok. Nesta vers˜ao, em vez de parti¸c˜oes do espa¸coX, eles trabalharam com as bolas dinˆamicas . Por defini¸c˜ao, dado ε >0,x∈X e n≥0, a bola dinˆamica centrada no ponto x∈X ´e dada por:

Bε(n, x) = {y∈X ; d(Tj(y), Tj(x))≤ε, 0≤j ≤n}.

Note que essa bola representa o conjunto dos pontos que ε-acompanham x pelo menos at´e o seun-´esimo iterado. A velocidade com que a medidaµdesta bola tende a zero pode ser estudada pelas express˜oes:

h+µ(T, x, ε) =− lim

n→+∞sup 1

nlogµ(Bε(n, x))

h−µ(T, x, ε) =− lim

n→+∞inf 1

(35)

Brin e Katok mostraram que lim

ε→0h +

µ(T, x, ε) = limε0h−µ(T, x, ε) em µ-qtp x e,

de-notando por hµ(T, x) o valor comum destes limites vale que

hµ(T) =

Z

X

hµ(T, x)dµ(x)

Como X = AN

´e um espa¸co compacto e a aplica¸c˜ao shift ´e cont´ınua, pode-mos aplicar a vers˜ao topol´ogica do teorema de Shannon-McMillan-Breiman e obter a equivalˆencia das defini¸c˜oes de entropia m´etrica para o shift.

hµ(T) =

Z

X

hµ(T, x)dµ(x)

= −

Z

X

lim

n→+∞ 1

nlog(µ(x1x2. . . xn))dµ(x) = − lim

n→+∞ 1 n

X

A∈An

µ(A) log(µ(A))

= lim

n→+∞

Hµ(An)

(36)

Formalismo Termodinˆ

amico

Medidas Gibbs e Estados de Equil´ıbrio s˜ao probabilidades invariantes que revelam interessantes propriedades erg´odicas de sistemas uniformemente expansores. Enquanto os estados Gibbs s˜ao definidos localmente e fornecem um controle uniforme da medida de to-dos os cilindros em termo da varia¸c˜ao local de seu potencialφ, os estados de equil´ıbrio s˜ao definidos globalmente, pelo princ´ıpio variacional, e maximizam a press˜ao de um sistema sob a a¸c˜ao deφ.A teoria dos estados de equil´ıbrio e medidas Gibbs ´e o que chamamos de

Formalismo Termodinˆamico.

O teorema de Perron-Frobenius-Ruelle, que ser´a demonstrado na pr´oxima se¸c˜ao, al´em de ser uma generaliza¸c˜ao do cl´assico teorema de Perron-Frobenius para matrizes irredut´ıveis, ´e a principal ferramenta do formalismo termodinˆamico para a constru¸c˜ao destas medidas.

3.1

O Teorema de Perron-Frobenius-Ruelle

A partir desta se¸c˜ao, X denotar´a o espa¸co topol´ogico compacto AN

, em que A={1, . . . , m}. Neste espa¸co, definimos a m´etrica

d(x, y) = 2−min{n≥0 ;xn6=yn}

Seja C(X) o espa¸co das fun¸c˜oes (uniformemente) cont´ınuas definidas em X. Dada f ∈

C(X), defina para cada k ≥0, a varia¸c˜ao def no cilindro de ordem k, ωk(f) = sup{|f(x)−f(y)|; d(x, y)≤2−k−1}

Note que

lim

k→+∞ωk(f) = 0

(37)

||f||B0 =

∞ X

k=0

ωk(f) +||f||∞ < ∞

Para exemplos de fun¸c˜oes em B0(X), considere o espa¸co Cα(X) das fun¸c˜oes que s˜ao H¨older cont´ınuas com expoenteα, isto ´e, as fun¸c˜oes f que

∃C >0, ∀x, y ∈X, |f(x)−f(y)| ≤C(d(x, y))α.

Considere agora φ uma fun¸c˜ao real cont´ınua definida em X. Associaremos a esta fun¸c˜ao, um operador Lφ em C(X), chamado operador de Ruelle ou operador de

transferˆencia, definido por

∀f ∈C(X), Lφ(f)(x) =

X

y∈T−1(x)

eφ(y)f(y) = X

i∈A

eφ(ix)f(ix).

Como C(X) ´e uma ´algebra com respeito as opera¸c˜oes pontuais de soma e mul-tiplica¸c˜ao, vemos que Lφ est´a bem definido e ´e um operador linear. Al´em disso, para

f ∈C(X)

|Lφ(f)(x)|=

X

y∈T−1(x)

eφ(y)f(y)

≤e||φ||∞(supxX#T−1(x))|f(x)| ≤m|f(x)|, ∀x∈X o que nos d´a

||Lφ(f)||∞≤C˜||f||∞

e portantoLφ´e cont´ınuo. Procedendo por indu¸c˜ao ´e f´acil ver que para todo n≥1

Lnφ(f)(x) = X

y∈T−n(x)

eSnφ(y)f(y)

em que Snφ ´e soma de BirkhoffSnφ = n−1 X

k=0

φ◦Tk.

Ap´os introduzir todas estas defini¸c˜oes, estamos prontos para demonstrar o teo-rema que intitula esta se¸c˜ao.

Teorema 3.1.1 (Perron-Frobenius-Ruelle). Para cada φ∈B0(X)

(PFR1) existe uma fun¸c˜ao h >0em C(X), autovetor do operadorLφ associada

a um autovalor simples β >0,

(PFR2) existe uma ´unica medida de probabilidade µ em X tal que L∗

φ(µ) =βµ

e para toda fun¸c˜aoψ ∈C(X), a sequˆencia β−nLn

φ(ψ)converge uniformemente em X para

hR ψdµ,

(PFR3) a press˜ao de φ ´e logβ.

(38)

Teorema 3.1.2. (Schauder-Tychonov) Sejam K um subconjunto convexo compacto de um espa¸co vetorial topol´ogico localmente convexo e Φ uma fun¸c˜ao cont´ınua de K em K. Ent˜aoΦ possui ponto fixo.

Dado φ ∈ B0(X) considere o operador de transferˆencia Lφ. Como vimos no

cap´ıtulo 1, podemos identificar o espa¸co M(A) das medidas (com sinal) finitas definidas em X com o dual de C(X), isto ´e, (C(X))∗ ≃ M(A). Deste modo, o operador adjunto

L∗

φ deLφ age da seguinte maneira

L∗

φ: (C(X))∗ ≃ M(A) −→ (C(X))∗ ≃ M(A)

µ 7−→ L∗φ(µ) : C(X)−→R

f 7−→ L∗φ(µ)(f) = Z

X

f dL∗φ(µ) = Z

X

Lφ(f)dµ

Definindo a fun¸c˜ao Φ :M(A)←֓por Φ(µ) = L

φ(µ)

R

XLφ(1)dµ

observamos que al´em de deixar invariante o subconjunto convexo compacto M(X) das medidas de probabilidades, Φ ´e cont´ınua emM(X), pois L∗

φ ´e cont´ınuo e

Lφ(1) =

X

i∈A

eφ(ix) ≥me−||φ||∞

=c >0

o que implica Z

X

Lφ(1)dµ≥c >0, ∀µ∈ M(X).

Aplicando o teorema de Schauder-Tychonov, existe µ ∈ M(X) ponto fixo de Φ, o que nos d´aL∗

φ(µ) = βµ em que β =

R

XLφ(1)dµ > 0.

Comecemos a provar (PFR1). Parax, y ∈X defina C(x, y) = sup

k≥1 sup

B∈Ak

(Skφ(Bx)−Skφ(By))

Note queC(x, y)≤

+∞ X

k=1

ωk(φ) em particular, sed(x, y)≤2−n−1ent˜aoC(x, y)≤

+∞ X

k=n+1 ωk(φ)

e portanto a fun¸c˜ao C ´e limitada e tende a zero quando x, y tornam-se suficientemente pr´oximos. Esta fun¸c˜ao tamb´em satisfaz

sup

a∈A

(φ(ax)−φ(ay) +C(ax, ay))≤C(x, y). Considere agora o conjunto

Λ ={g ∈C(X) ; g ≥0, Z

X

(39)

e a fun¸c˜ao Γ :C(X)←֓ dada por

Γ(f) = β−1Lφ(f)

Mostraremos que Λ ´e um subconjunto convexo compacto de C(X) e Γ(Λ) ⊂ Λ. A convexidade de Λ ´e clara. Para obter a compacidade ´e suficiente, pelo teorema de Ascoli-Arzela, mostrar que Λ ´e uma fam´ılia equicont´ınua e uniformemente limitada.

Dado g ∈Λ, como RXgdµ= 1 existe y0 ∈X tal que g(y0)≤1. Para todo x∈X vale

g(x)≤eC(x,y0)g(y0)e

P+∞

k=1ωk(φ) (3.1)

o que implica||g||∞ ≤e||φ||B0, ∀g ∈Λ, provando a limita¸c˜ao uniforme de Λ.

A desigualdade (3.1) ainda nos d´a

|g(x)−g(y)| ≤emax{C(x,y),C(y,x)}−1, ∀x, y ∈X logo, a equicontinuidade segue do fato de C tender a 0 com a d(x, y).

Para ver que Γ(Λ)⊂Λ, primeiro observe que, Z

X

β−1Lφ(g)dµ=

Z

X

β−1gd(L∗φµ) = Z

X

gdµ= 1.

em seguida, se g ∈Λ ent˜ao, das propriedades deφ β(Γg)(x) = Lφ(g)(x) =

X

a∈A

eφ(ax)g(ax)

≤ X

a∈A

eφ(ay)g(ay)eφ(ax)−φ(ay)+C(ax,ay)

≤ Lφ(g)(y)eC(x,y) =βeC(x,y)(Γg)(y)

Aplicando novamente o teorema de Schauder-Tychonov, a fun¸c˜ao Γ admite ponto fixo em Λ. Isto ´e equivalente ao operadorLφ possuir uma autofun¸c˜aoh∈Λ associada ao

autovalor β >0. Note que, por propriedade dos elementos de Λ,h >0.

O autovalor β ´e de fato um autovalor simples. Para confirmar isto seja g uma outra autofun¸c˜ao associada aβ. Fixe x∈X tal que g(x)>0 e tome

t= sup{s≥0 ; h−sg≥0}

Temos que h−tg ≥ 0 e existe y ∈ X com h(y)−tg(y) = 0. Por outro lado, para todo n∈N, temos

βn(h−tg)(y) = X

z∈T−n(y)

(40)

da´ı, (h−tg)(z) = 0 para todo z ∈ T−n(y). No entanto, [ n≥0

T−n(y) ´e denso em X, o que

imp˜oeh(x) = tg(x) para todo x∈X.

At´e aqui mostramos (PRF1) e a existˆencia da medidaµem (PFR2). Antes de continuarmos com a segunda parte, sejamh e β como acima e defina

g =φ−logh◦T + logh−logβ. Como

eg =β−1eφ h h◦T ,

denotando por Mh o operador de multiplica¸c˜ao por h, obtemos

Lg =β−1Mh−1LφMh.

Al´em disso, Lg(1) = 1, o que mostra que 1 ´e autovalor simples de Lg. Estabeleceremos

dois fatos:

(i) Existe uma ´unica probabilidade ν tal que L∗

g(ν) = ν

(ii) Para cada ψ ∈ C(X), a sequˆencia Ln

g(ψ) tende para

R

Xψdν uniformemente

em X.

Com estes dois fatos provamos (PFR2). De fato, se (i) acontece, ent˜ao para toda f ∈

C(X)

L∗φ

h)(hf) = Z

X

Lφ(hf)

h dν =β Z

X

Lg(f)dν =β

Z

X

f d(L∗gν) = β Z X f dν e portanto L∗ φ( ν

h) =β( ν h)

implica na unicidade de µcom ν =hµ. Se (ii) ´e verdade conclu´ımos

β−nLn

φ(ψ) =hLng(

ψ

h)−→h Z

X

ψ

hdν =h Z

X

ψ

hd(hµ) = h Z

X

ψdµ

uniformemente em X.

Concentremo-nos nas provas de (i) e (ii).

Seja ψ ∈C(X). Como Lg(1) = 1 ent˜ao Lng(1) = 1 e, portanto a sequˆencia Lng(ψ)

´e equilimitada.

Denotando por Cg a fun¸c˜ao an´aloga a C, definida anteriormente, a qual

deno-taremos agora porCφ, isto ´e,

Cg(x, y) = sup k≥1

sup

B∈Ak

(41)

e

Cφ(x, y) = sup k≥1

sup

B∈Ak

(Skφ(Bx)−Skφ(By))

temos queCg(x, y)≤Cφ(x, y) +ωn(h) se d(x, y)≤2−n−1. Al´em disso,

Ln

g(ψ)(x)− Lng(ψ)(y)

X

B∈An

eSng(Bx)(ψ(Bx)ψ(By))

(3.2) + X

B∈An

ψ(By)(eSng(Bx)eSng(By))

Mas, se d(x, y)≤2−n−1 ent˜ao

X

B∈An

eSng(Bx)(ψ(Bx)ψ(By))

≤ωn+k(ψ)

X

B∈An

eSng(Bx)

| {z } Ln

g(1)=1

= ωn+k(ψ)

e X

B∈An

ψ(By)(eSng(Bx)eSng(By))

≤ ||ψ||∞ X

B∈An

eSng(By) X

B∈An

1−esupB∈An(Sng(Bx)−Sng(By))

≤ ||ψ||∞

eCg(x,y)1

estabelecendo a equicontinuidade de Ln

g(ψ). Por Ascoli-Arzel`a, existe (nk) tal que a

subsequˆenciaLnk

g (ψ) converge uniformemente para alguma fun¸c˜ao ˆψ. ComoLg tem norma

limitada por 1, temos

sup(ψ)≥sup(Lg(ψ))≥. . .≥sup(Lng(ψ))≥. . .≥sup( ˆψ).

Por outro lado, ˆψ ≥ Lnk

g (ψ)−εk com εk→0. Logo, para todoN encontramos

sup(LN

g ( ˆψ))≥sup( ˆψ)−εk, ∀k

obrigando

sup(LNg ( ˆψ))≥sup( ˆψ) = r.

Expandindo esta desigualdade vemos que ˆψ = r em T−n(x) quando ˆψ(x) = r. Por

continuidade de ˆψ e densidade do conjunto T−n(x) conclu´ımos que ˆψ ´e constante.

Para obtermos (ii) ainda ´e preciso mostrar que toda subsequˆencia convergente tem o mesmo limite constante r. Seja (nj) outra sequˆencia para qual Lngj(ψ) converge.

Da mesma an´alise acima, o limite ´e constante. Esta constante tamb´em ´e o limite de sup(Lnj

g (ψ)), que por sua vez ´e uma subsequˆencia de sup(Lng(ψ)) que possue um ´unico

ponto de acumula¸c˜ao r.

Para provar (i), note primeiramente que L∗

g preserva M(X) pois

Z

X

d(L∗gµ) = Z

X

(42)

Mais uma vez pelo teorema de Schauder-Tychonov existe uma probabilidadeν ponto fixo deL∗

g (veremos na proposi¸c˜ao 3.2.2. que ν ´e invariante).

Garantida a existˆencia de ν ponto fixo de L∗

g podemos concluir que r =

R

Xψdν

j´a que Z

X

ψdν= Z

X

ψd((L∗

g)nν) =

Z

X

Ln

g(ψ)dν −→

Z

X

rdν =r

A unicidade de ν segue da unicidade do limite anterior.

Finalmente, para mostrar que P(φ) = logβ aplicaremos (PFR2) com ψ ≡1. P(φ)−logβ = lim

n→+∞ 1 nlog

X

B∈An

e(Snφ)B logβ

= lim

n→+∞ 1 nlogβ

−nsup x∈X

X

B∈An

eSnφ(Bx)

= sup

x∈X

lim

n→+∞ 1 nlogβ

−n X B∈An

eSnφ(Bx)

| {z }

β−nLn φ(1)−→h

= 0

c.q.d.

Observe que ´unica propriedade especial que utilizamos do shift foi a densidade do conjunto [

n≥0

T−n(y), que ´e equivalente ao fato do shift ser topologicamente mixing.

Desta forma, o teorema de Perron-Frobenius-Ruelle continua sendo v´alido no caso de um subshift de tipo finito associado a uma matriz aperi´odica.

3.2

Medidas Gibbs e Estados de Equil´ıbrio

Iniciemos por definir os principais objetos da se¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 3.2.1. Seja φ ∈ C(X). Uma medida de probabilidade µ ´e chamada uma medida Gibbs com respeito a φ se existem constantes K >0, C ∈R tais que

∀x∈X, ∀n ∈N, K−1 µ(x1. . . xn)

eSn(φ)+Cn ≤ K

Revisitando o Princ´ıpio Variacional, diremos que uma medida invariante µ´e um estado de equil´ıbrio para a fun¸c˜aoφ se

P(φ) =hµ(T) +

Z

X

φ dµ

(43)

som´avel. Em acr´escimo, mostraremos que este estado de equil´ıbrio tamb´em ´e uma medida Gibbs.

Sejaµuma medida de probabilidade emX. Dizemos que µ´e quase-invariante se T∗µ µeµ Tµ. Definindo o jacobianoJ

µpara tais medidas, o que ´e poss´ıvel devido

ao teorema de Radon-Nikodym, temos a seguinte f´ormula para mudan¸ca de vari´aveis.

Proposi¸c˜ao 3.2.2. Para toda fun¸c˜ao g ∈C(X) vale

m X i=1 Z X g(ix) 1 Jµ(ix)

dµ = Z

X

g dµ.

Demonstra¸c˜ao: Primeiramente note que T∗(gµ) µ pois, se µ(E) = 0 a quasi-invariˆancia de µimplica

|T∗(gµ)(E)|= Z

T−1(E)

g dµ≤ ||g||∞T∗µ(E) = 0 Pelo teorema de Radon-Nikodym,∃G∈ L1(µ) definida por

G(x) = lim

n→+∞

T∗(gµ)(x

1. . . xn)

µ(x1. . . xn)

µ−qtp x∈X tal que T∗(gµ) =Gµ. Por outro lado,

T∗(gµ)(x1. . . xn) = m

X

i=1 Z

ix1...xn

g dµ=

m

X

i=1

g(ix)µ(ix1. . . xn) +εn

com |εn| ≤ωn+1(g)T∗µ(x1. . . xn). Logo,

G(x) =

m

X

i=1

g(ix) 1 Jµ(ix)

Para concluir a proposi¸c˜ao basta observar a identidade

T∗(gµ)(X) = 1 = Z

X

d(T∗(gµ)) = Z

X

Gdµ.

c.q.d.

Como aplica¸c˜ao, considere a fun¸c˜ao φ(x) = −log(Jµ(x)). O operador de Ruelle

fica

Lφ(g)(x) =

X

y∈T−1(x)

eφ(y)g(y) =

m

X

i=1

g(ix) 1 Jµ(ix)

∀g ∈C(X) Pela f´ormula para mudan¸ca de vari´aveis obtemos

L∗

φ(µ) = µ

Em particular, seφ ´e H¨older cont´ınua ent˜ao µ´e o ´unico ponto fixo do operador L∗

φ.

Mais geralmente, se φ∈B0(X) est´a normalizada, isto ´e,

∀x∈X,

m

X

i=1

eφ(ix)= 1

o operador de Ruelle associado aφ possue norma 1, e portanto existe uma ´unica medida de probabilidadeν tal que L∗

(44)

Proposi¸c˜ao 3.2.3. ν ´e T-invariante.

Demonstra¸c˜ao: Para cada f ∈C(X), temos Z

X

f◦T dν = Z

X

f◦T d(L∗

φ(ν)) =

Z

X

Lφ(f◦T)dν =

Z X f m X i=1

eφ(ix)dν = Z

X

f dν.

Aplicando o Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz-Markov (ver [2]), ν(T−1(A)) = ν(A), para todoA boreleano.

c.q.d.

Proposi¸c˜ao 3.2.4. Para todo x∈X e todo n≥0, temos

e−ωn(φ) ν(x1. . . xn)e

−φ(x) ν(x2. . . xn)

≤ eωn(φ)

Em particular, φ=−log(Jν)

Demonstra¸c˜ao: Note que Z

X

e−φχx1...xndν =

Z

X

e−φχx1...xnd(L

φ(ν))

= Z

X

Lφ(e−φχx1...xn)dν

= Z

X

( X

y∈T−1(x)

χx1...xn(y))dν(y)

= Z

X

χx2...xndν

= ν(x2. . . xn)

e pela defini¸c˜ao deωn(φ), verificamos o resultado.

Tomando o limite em n concluimos queφ =−log(Jν).

c.q.d.

Como consequˆencia desta proposi¸c˜ao podemos concluir ν ´e uma medida Gibbs. De fato,

e−ωn(φ) ν(x1. . . xn)e

−φ(x) ν(x2. . . xn)

≤ eωn(φ)

por recorrˆencia,

ν(xn)e

Pn−2

j=0φ◦Tj e−ω2(φ)−...−ωn(φ) ν(x

1. . . xn)

≤ ν(xn)e

Pn−2 j=0φ◦T

j

eω2(φ)+...+ωn(φ)

aplicando novamente,

e−Pnj=0ωj(φ) ν(x1. . . xn)

eSn(φ) ≤ e

Pn

(45)

tomando K =ePnj=0ωj(φ) eC = 0 vem

K−1 ≤ ν(x1. . . xn)

eSn(φ) ≤ K ∀n ≥0

A medidaν tamb´em satisfaz:

Proposi¸c˜ao 3.2.5. A medida ν ´e a ´unica probabilidade T-invariante com a propriedade

P(φ) = hν(T) +

Z

X

φ dν = 0

Demonstra¸c˜ao: Se µ∈ M(X, T) ´e uma medida invariante ent˜ao

m

X

i=1 1 Jµ(ix)

= lim

n→+∞

m

X

i=1

µ(ix1. . . xn)

µ(x1. . . xn)

= lim

n→+∞

µ(T−1(x1. . . x

n))

µ(x1. . . xn)

= 1

Aplicando o lema 2.2.5. obtemos a desigualdade

m

X

i=1 1 Jµ(ix)

log(Jµ(ix)) + m

X

i=1

φ(ix) Jµ(ix)

≤ 0, ∀x∈X com igualdade se, e somente se,Jµ(ix) =e−φ(ix).

Integrando esta desigualdade com respeito `a medida µ,

m X i=1 Z X 1 Jµ(ix)

log(Jµ(ix))dµ+ m X i=1 Z X φ(ix) Jµ(ix)

dµ ≤ 0 aplicando as f´ormulas para mudan¸ca de vari´aveis e de Rohlin tem-se

hµ(T) +

Z

X

φdµ ≤ 0 com igualdade se, e somente se,Jµ=e−φ.

A proposi¸c˜ao 3.2.3. mostrou que a medida ν satisfaz a propriedade em quest˜ao. Esta ´e ´unica pois, se outra medida µ´e tal que Jµ = e−φ ent˜ao, pelo que j´a observamos,

L∗

φ(µ) = µ. No entanto, o teorema de Perron-Frobenius-Ruelle guarante a unicidade do

ponto fixo de L∗

φ quando φ ∈ B0(X) est´a normalizada. Note que neste caso, β = 1 e

portanto, P(φ) = 0.

c.q.d.

Ressaltamos que log(Jµ) ´e o limite dominado da sequˆencia log(Jn) desta forma,

seµ´e uma medida invariante ent˜ao o teorema da convergˆencia dominada (ver [2]) garante a extens˜ao da f´ormula para mudan¸ca de vari´aveis `a fun¸c˜ao log(Jµ).

Agora que j´a observamos algumas das propriedades da medida ν, ponto fixo do operadorL∗

φ, em queφ∈B0(X) est´a normalizada, podemos mostrar o principal resultado

(46)

Teorema 3.2.6. Sejamφ ∈B0(X) e h, µcomo no teorema de Perron-Frobenius-Ruelle. Ent˜aoν =hµ´e o ´unico estado de equil´ıbrio para φ. Al´em disso, ν ´e uma medida Gibbs.

Demonstra¸c˜ao: Seja φ ∈ B0(X). O caso φ normalizada, isto ´e, Lφ(1) = 1 j´a foi

estabelecido. Como vimos durante a demonstra¸c˜ao do teorema de Perron-Frobenius-Ruelle podemos reduzir caso geral a este definindog =φ−log(h◦T) + logh−logβ.

Seja ν = hµ a ´unica probabilidade invariante fixada por L∗

g. Para toda m ∈

M(X, T), da proposi¸c˜ao 3.2.5. temos que hm(T) +

Z

X

gdm ≤ hν(T) +

Z

X

gdν = 0.

Escrevendo g em fun¸c˜ao de φ e utilizando a T-invariˆancia das medidas m e ν obtemos

hm(T) +

Z

X

gdm ≤ hν(T) +

Z

X

gdν = 0

hm(T) +

Z

X

log h

h◦Tdm+ Z

X

φdm−logβ ≤ hν(T) +

Z

X

log h

(h◦T)dν+ Z

X

φdν −logβ = 0 hm(T) +

Z

X

φdm ≤ hν(T) +

Z

X

φdν = logβ = P(φ)

e portantoν ´e o ´unico estado de equil´ıbrio para φ.

Al´em disso, ν ´e uma medida Gibbs com o coeficientes K e C iguais a ePnj=0ωj(φ)

e−logβ respectivamente. Com efeito, se L∗

φ(ν) =βν a proposi¸c˜ao 3.2.3. torna-se

e−ωn(φ) βν(x1. . . xn)e

−φ(x) ν(x2. . . xn)

≤ eωn(φ)

Logo,

e−Pnj=0ωj(φ) ν(x1. . . xn)

eSn(φ)−logβ ≤ e

Pn j=0ωj(φ)

Figure

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