O PERAÇÕES E MATRIZES ELEMENTARES

10 

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(1)

IFBA – INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA – ÁLGEBRA LINEAR

PROF.: GUSTAVO COSTA

ALUNO: ______________________________________________________

Lista de Exercícios – Matrizes e Sistemas Lineares

E

XERCÍCIOS DE

A

PRENDIZAGEM

1

O

PERAÇÕES E MATRIZES ELEMENTARES

1 – Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes:

a)

1 4 0 0 0 1 0 0 0 A  =      

b) 0 1 0 0

0 0 0 1 B = 

 

 

c) 1 4

0 2 C = − 

 

  d)

1 0 0 1 0 0 1 2 D   =   e)

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 X   =   f)

1 0 0

1 4 3

2 3 6

Y      =      

2 – Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo. Utilizando a notação n A( ) para nulidade de A e p A( ) para o posto de A.

a) B2 3× e ( )p B =2. b) C3 2× e ( )p C =3.

c) D2 4× e ( )p D =3. d) F2 3× e ( )n F =2.

e) G4 3× e ( )n G =0. f) H3 e ( )n H =0.

g) J3 e ( )p J =2. h)

3 – Considere as matrizes:

1 1 0

0 0 1

0 3 0

A  =      

; 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1 / 3 E  =      

e 2

(2)

a)Diga, justificando se E1 e E2 são matrizes elementares e, em caso afirmativo, indique as

operações elementares O1 e O2 que transformam a matriz identidade de ordem 3 em E1 e E2,

respectivamente. b)Calcule as matrizes:

i) B =E A1 ii) C =E B2 iii) D =E E A2 1

c) Determine as matrizes , e F G H tais que:

i) F é obtida de A aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O1 do item a);

ii) G é obtida de B aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O2 do item a);

iii) H é obtida de A aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O1 e O2, nesta ordem.

d)Compare as matrizes encontradas nos itens b) e c). Conclua sobre a multiplicação de matrizes elementares à esquerda de uma matriz A e aplicação de operações elementares nas linhas de A, correspondentes às matrizes elementares.

4 – Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.

a) 1 3

2 7 A= 

 

  b)

2 5 1

4 1 2

0 4 1

B

− 

=



 

 

c)

1 1 2

3 2 4

0 1 2

C

=



− 

 

 

5 – Considere a matriz A=

( )

aij 3 3× , tal que

, 2 ,

, ij

i j i j

a i j i j

j i i j  + < 

= − =  − > 

. Determine X na equação

AX =B, onde

2 0 1 B

 −        

= 

     

.

E

XERCÍCIOS DE

A

PRENDIZAGEM

2

D

ETERMINANTE

1 – Calcule o determinante das matrizes abaixo:

3 1

− 

(3)

d) cossenxxsencosxx

 e)

1 3 4

5 2 3

1 4 2

           f)

1 4 6

0 2 5

0 0 3

− − −        −      g)

1 3 2 0 3 1 0 2 2 3 0 1 0 2 1 3

         h) 0 1

0 1 0 0 0

1 0

a b

a a b b a         i)

1 2 3 4 5

0 1 2 3

0 0 1 2

0 0 0 1

0 0 0 0 a b c d              

2 – Determine x nas equações abaixo:

a) 2 2 11

4 5 3 1

x x

x x

− =

+ − b)

1 1

1 1 0

1 1 x x x − = − c)

1 1 2 3

2 2 1

2

3 2 1 0

1 1 2 0

x − − − = − −

3 – Seja

4 0 1 2 3 2 1 0 4 A       =         

. Determine todos os valores reais de λ tais que det

(

AλI3

)

=0.

4 (Wronskiano) – Sejam ϕ ϕ1, ,...,2 ϕnC( , )I \ funções reais n−1 vezes deriváveis no intervalo I ⊆\. O Wronskiano de ϕ ϕ1, ,...,2 ϕn (denotado por W( , ,...,ϕ ϕ1 2 ϕn)) é calculado por

1 2

1 2

1 2

( 1) ( 1) ( 1)

1 2

( , ,..., ) det

n n n

n n n

n

W

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕϕ

        =         " "

# # " #

"

Calcule o Wronskiano de cada conjunto de funções:

a)

{

1, , t t2

}

b)

{

2t−3, 2t2 +1, 3t2 +t

}

c)

{

at, , bt ct

}

(4)

E

XERCÍCIOS DE

A

PRENDIZAGEM

3

S

ISTEMAS DE

E

QUAÇÕES

L

INEARES

1 – Em cada um dos seguintes itens é dada a matriz escalonada linha equivalente à matriz ampliada de um sistema linear. A partir dessas matrizes, discuta o sistema linear original e dê o conjunto solução, quando for o caso.

a)

1 0 1 2 5 0 1 0 2 1 0 0 0 0 0 P  =       b)

1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 Q  =      

2 – Utilize o Método de Gauss (operações elementares) para resolver os seguintes sistemas de equações lineares:

a)

2 2 10

3 2 2 1

5 4 3 4

x y z

x y z

x y z

 + − =  + + =   + + =  b) 1

2 5 2 5

2 7 8

x y z

x y z

x y z  + + =  + =   + − =−  c)

2 3 11

4 3 2 0

6

3 4

x y z

x y z

x y z

x y z

 − + =   − + =   + + =  + + =  d) 4

2 5 2 3

7 7 5

x y z

x y z

x y z  + + =

 + =



 + − =



e) 2 3 0

2 5 6 0

x y z

x y z

 − + =   + + =  f) 0 4 4 2 x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

+ + + =   + + =   + + =   − + + = 

3 – Determine a solução de cada sistema pela Regra de Cramer.

a)

2 2 4

2 1

3 5 2 1

x y z

x y z

x y z

 + + =  + + =   + + =  b) 3 0

2 2 0 0 x y z

y z

x y z

 + − =  + =   + + =  c) 0 2 1 3 1

x y z

x y z

x y z

 + − =  + + =   − + =  d)

1 4 2 1 32

2 1 7 9 14

1 1 3 1 11

1 2 1 4 4

a b c d − −   −               =                 − −    −     

4 – Utilize operações elementares para determinar os valores de e α β que tornam o sistema ao lado possível determinado:

3 7

5 3 5 2

(5)

5 – Utilize operações elementares sobre linhas para discutir em função de k os seguintes sistemas lineares:

a)

4 3 2

5 4 0

2

x y

x y

x y k

− + =

 = 

 − =



b)

2 1

2 0 x y kz

kx y z

x y z

− − − =

 + = 

 + + = 

c)

2 5 2 0

0

2 0 0

x y z

x y z

x y kz

 − + =

 + + = 

 + + =



d) 1

2 4

1

x y z

x y kz k

y kz  + + =−

 + =



 =



6 – É possível para uma parábola que tem equação na forma y =a+bx+cx2 passar pelos quatro

pontos (0,1), (1, 3), (2,15) P Q R e (3, 37)S ? Utilize sistemas lineares para explicar sua resposta.

7 – Considere o sistema de matriz ampliada

1 1 1 1

2 3 4

1 1 1 0

3 4 5

1 1 1 1

4 5 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

a) Obtenha a solução exata;

b) Resolva-o utilizando dois algarismos significativos;

c) Agora faça a seguinte experiência: escreva o mesmo sistema, arredondando para dois algarismos significativos, mas a partir daí ache sua solução usando o máximo de algarismos significativos que

sua calculadora permite. Compare com a solução exata. Isto mostra que o refinamento é limitado pelo arredondamento inicial que, num sistema mal condicionado, pode alterar drasticamente a solução.

8 – Fatoração LU . Seja A é uma matriz quadrada de ordem n que pode ser escrita como A=L U⋅ onde L é uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior. Então o sistema A X⋅ =B pode ser expresso como (L U⋅ )⋅X =B e, portanto, pode ser resolvido em dois passos:

Passo 1: Seja U X⋅ =Y de modo que (L U⋅ )⋅X =B pode ser escrito como L Y⋅ =B. Resolva este sistema em Y .

(6)

Utilize fatoração LU para resolver o sistema

2 0 0 3 5 2 4

4 1 0 0 4 1 5

3 2 3 0 0 2 2

x y z

     

     

 

=

     

     

     

− −     

     

    

.

9 – Determine , , a b c∈ \ tais que o gráfico do polinômio p x( )=ax2+bx +c passe pelo ponto ( 1, 0)

A− e tem uma tangente horizontal em ( 2,9)B − .

10 – Um engenheiro supervisiona a produção de três tipos de automóveis. Considera-se que três tipos de material (metal, plástico e borracha) são necessários para produção de cada automóvel. A quantidade necessária para produção de cada tipo de automóvel está ilustrada na tabela

Marca do automóvel Metal (kg/carro) Plástico (kg/carro) Borracha (kg/carro)

1 4000 25 100 2 1700 80 120 3 1900 42 250

Admitindo-se que um total de 106 ton de metal, 2.17 ton de plástico e 8.2 ton de borracha estão disponíveis por dia, monte um sistema de equações relacionando a produção máxima (no carros/dia) para cada marca de automóvel. Quantos carros de cada marca são produzidos?

11 – Um combustível automotivo é composto da mistura de 90% gasolina e o restante de álcool. Outra mistura possui 96% de gasolina e o restante de álcool. Quanto devemos adicionar de cada um desses combustíveis para obter 90 litros de um combustível que tenha 94% de gasolina e o restante de álcool?

12 – A tabela abaixo exibe as porcentagens de albumina, carboidrato e lipídio em cada um dos alimentos A, B e C. Verifique se é possível combinar esses alimentos formando uma refeição que contenha 40% de albumina; 40% de carboidrato e 20% de lipídio

A B C

Albumina 30% 50% 20%

(7)

E

XERCÍCIOS DE

A

PRENDIZAGEM

4

A

PLICAÇÕES

Circuitos Elétricos. Em um circuito elétrico é possível determinar a corrente em cada trecho em termos da resistência e da diferença de potencial. Na figura a seguir o símbolo “

|

” representa uma bateria (medida em volts) que gera uma carga que produz uma corrente. A corrente sai da bateria do lado que contém a reta vertical mais longa. O símbolo representa um resistor. As resistências são medidas em ohms. A letras maiúsculas representam os nós, e i ou I (medida em ampères) representa a corrente entre os nós. As setas indicam o sentido do fluxo da corrente. Se uma corrente é negativa isso significa que a corrente naquele trecho flui no sentido oposto ao da seta.

Para obter as correntes são utilizadas as seguintes leis 1. Lei de Ohm

A diferença de potencial elétrico E em cada resistor corresponde a E =RI , onde R é a

resistência em ohms. 2. Leis de Kirchhoff

i) Em cada nó a soma das correntes que entram é igual à soma das correntes que saem

ii) Em cada ciclo fechado, a diferença de potencial total é zero

Podemos utilizar esses conhecimentos no circuito da figura. Vejamos,

Nó 1: I1− −I2 I5 =0

Nó 2: − −I1 I3 +I4 =0

Nó 3: I3 +I5 +I6 =0

Nó 4: I2− −I4 I6 =0

Loop A: I R1 1I R3 3 +I R5 5 =E1E3 Loop B: I R2 2I R5 5 +I R6 6 =E2 Loop C: I R3 3+I R4 4I R6 6 =E3 +E4

(8)

Figura 1 Figura 2

2 – Siga a idéia do exercício anterior ou consulte algum livro para determinar o sistema linear que calcula a corrente elétrica em cada um dos trechos indicados nos circuitos ilustrados a seguir:

(a) (b)

Balanceamento de Reações Químicas. As reações químicas estão presentes em muitos fenômenos naturais e os químicos para compreendê-las, representam tais reações por equações químicas, sendo que algumas precisam ser balanceadas, ou seja, verificar se o número de átomos dos reagentes antes da reação é igual ao número de átomos dos produtos.

Humphry Davy, no início do século XIX, aproveitou a invenção da pilha de Alessandro Volta para mostrar que a água é formada por dois gases que receberam o nome de hidrogênio e oxigênio e como o volume de hidrogênio era duas vezes maior que o de oxigênio, Davy concluiu que

2 2 2

2H +O →2H O

É claro que se os coeficientes na equação química acima fossem 4, 2 e 4 ao invés de 2, 1 e 2 a equação também estaria balanceada, mas isto seria redundante, por isso adotamos a regra que os coeficientes na equação química devem ser os menores inteiros positivos.

Algumas reações químicas são facilmente balanceadas, por exemplo, a reação química

2

(9)

ƒ Começar com o elemento que aparecer apenas uma vez no lado dos reagentes e no lado dos produtos;

ƒ Dar preferência aos elementos que possuir maior índice.

Através desta técnica podemos fazer o balanceamento da reação química devido a queima do álcool comum que é dada por

2 6 2 2 2

C H O+OCO +H O.

O método alternativo que propomos e que funciona para todos os tipos de reações químicas e que é uma aplicação interessante dos sistemas lineares é denotar por variáveis os coeficientes de cada composto e resolver um sistema linear equivalente. No exemplo acima, sejam , , e x y z w tais que

2 6 2 2 2

xC H O+yOzCO +wH O

Para que haja balanceamento, o número de átomos dos reagentes deve ser igual ao número de átomos dos produtos, de forma que obtemos o sistema de equações lineares:

2

6 2

2 2

x z

x w

x y z w

 =

 = 

+ = +



Segue-se que z =2x, 3w = x e y =3x. Assim, a equação química é dada por

2 6 3 2 2 2 3 2

xC H O+ xOxCO + xH O

E, para x =1, temos a equação balanceada com os menores inteiros positivos possíveis.

3 – Resolva os problemas envolvendo equilíbrio de fórmulas químicas.

a) – A decomposição térmica de mol de dicromato de amônio é representada pela equação

4 2 2 7 2 2

(NH )Cr ON +Cr Ox y +zH O . Determine os valores de x, y e z na equação química dada.

b) – Num “sapato de cromo”, o couro é tratado com um banho de “licor de cromo”, preparado através da reação representada pela equação:

2 2 7 2 2 ( ) 4 2 4

Na Cr O +xSO +H OyCr OH SO +Na SO

Determine os valores de x e y na equação química acima.

4 – Utilize o método de resolução de sistemas lineares em cada caso a seguir para obter a equação química balanceada (mínima).

(10)

Observação

3 : amonia

NH O2 : oxigênio N2 : nitrogênio H O2 : água

2 : dióxido de carbono

CO C H O6 12 6 : glicose C H4 10 : gás butano

5 – Discretização. Queremos determinar a distribuição de temperatura no interior de uma placa (representada na figura abaixo) sabendo que a temperatura em volta desta placa é dada conforme indicado na figura. Para isto vamos utilizar um princípio físico que garante (de forma aproximada) que a temperatura em um vértice é igual a média das temperaturas dos quatro vértices mais próximos. Deste modo, a temperatura a, por exemplo, é igual a (20+25+ +b d) / 4. Procedendo desta forma vamos obter seis equações correspondendo a cada uma das seis variáveis , , , , ,a b c d e f :

4 45

4 15

4 25

4 55

4 20

4 35

a b d a b c e b c f a d e b d e f c e f

 − − =

 + − − = 

− + − =



− + − =

− − + = 

− − + =



Placa aquecida Determine as temperaturas e interprete o resultado.

Comentário. Neste exemplo poderíamos utilizar, ao invés de uma malha 4 5× , uma malha 100 100× (em torno de 10 mil variáveis). Ou então considerar a distribuição de calor em uma peça sólida, com três dimensões espaciais. Neste caso, utilizando uma malha de 100 100 100× × , chegamos a cerca de 1 milhão de variáveis. Desta forma surge, naturalmente, a resolução de sistemas com muitas equações e o \n com

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