Incompressibilidade de Toros Transversais a Fluxos Axioma A

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Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matem´atica

  Vamos denotar por M uma variedade Riemanniana tridimensional de classe r 1 C , com r ≥ 1, X : M → T M um campo de vetores sobre M de classe C e 1 X t : M → M o fluxo gerado por X em M de classe C .c Seja A um subconjunto de M . O conjunto ω-limite de um ponto p ∈ M ´e definido porω(p) = y ∈ M ; ∃ t n → +∞ quando n → ∞ tal que lim t →∞ n X t n (p) = y , ou seja, ω(p) ´e o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao da ´orbita positiva de p.

1.1 Conjuntos Hiperb´ olicos

  Vamos denotar por M uma variedade Riemanniana tridimensional de classe r 1 C , com r ≥ 1, X : M → T M um campo de vetores sobre M de classe C e 1 X t : M → M o fluxo gerado por X em M de classe C .c Seja A um subconjunto de M . O conjunto ω-limite de um ponto p ∈ M ´e definido porω(p) = y ∈ M ; ∃ t n → +∞ quando n → ∞ tal que lim t →∞ n X t n (p) = y , ou seja, ω(p) ´e o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao da ´orbita positiva de p.

2 Uma parametriza¸c˜ao da esfera S ´e dada por Y (θ, ϕ) = (cos θsenϕ, cos θ cos ϕ, senθ)

  xEm outras palavras, um subconjunto invariante Λ ⊂ M para um fluxo X t ´e hiperb´olico se existe uma decomposi¸c˜ao cont´ınua do espa¸co fibrado tangente u X ssT M = E ⊕ E ⊕ E sobre Λ consistindo de um subfibrado contr´atil E , Λ Λ Λ ΛuX Λ um subfibrado expansor E e um subfibrado E gerado por X. Os conjuntos ssW (p) = {q ∈ M ; d(X t (q), X t (p)) → 0, quando t → ∞} euu W (p) = {q ∈ M ; d(X t (q), X t (p)) → 0, quando t → −∞} s˜ao chamados respectivamente variedade est´avel e inst´avel forte do ponto ppara o campo de vetores X.

1.2 Grupo de Homotopia

  Dizemos que f e g s˜ao homot´opicas se existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua F : M × I → N tal queF (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x), para todo x ∈ M . Para toda aplica¸c˜ao f : M → N cont´ınua, a aplica¸c˜aoF : M × I → N dada por F (x, t) = f (x), para todo x ∈ M , ´e uma homotopia entre f e f .

1 Observa¸ c˜ ao .2.

  Dados x , x ∈ M e 1 η : I → M tal que η(0) = x e η(1) = x , ent˜ao existe um isomorfismo entre 1 π 1 (M, x ) e π 1 (M, x 1 ). Seja −1 P : π (M, x ) → π (M, x ) η 1 1 1 tal que −1 ′ ′ −1 P ([α ]) = [η ∗ α ∗ η ].η−1 P ´e a inversa de P η .

1 Os resultados acima podem ser generalizados e suas demonstra¸c˜oes seguem a mesma linha de racioc´ınio. Para maiores detalhes ver [6], Cap´ıtulo 4

  11 O n-´esimo grupo de homotopia de uma variedade M , com ponto base x , que se representa por π n (M, x ), ´e o grupo constitu´ıdo pelon→ M conjunto das classes de homotopia das aplica¸c˜oes cont´ınuas α : Inn tais que α(∂(I )) = {x }, munido com a opera¸c˜ao justaposi¸c˜ao, onde I = [0, 1] × . Dados x , x ∈ M e 1 η : I → M tal que η(0) = x e η(1) = x , ent˜ao existe um isomorfismo entre 1 π n (M, x ) e π n (M, x ).

1 Proposi¸ c˜ ao .2.6

  1 2 2 1 2 1 π (S ) = 1, π (S (S × S ) = π (S ) × π (S 2 2 ) = Z, π 2 2 2 ) = Z. Utilizando a Proposi¸c˜ao 1.2.7 existe uma homotopia H : M × I → M entre id M e uma aplica¸c˜ao constante g, digamos g : M → M com g(x) = p,para todo x ∈ M .

1.3 Aspectos Topol´ ogicos

  Em toda esta disserta¸c˜ao chamaremos de bola uma variedade homeomorfa 3 , esfera uma variedade homeoforma `a`a bola unit´aria de dimens˜ao 3 do R 3 e um toro s´olido uma variedade tridimensional compacta esfera unit´aria do R 2 1 homeoforma `a D × S . Uma variedade F ⊂ M compacta ´e 2-sided se existe um mergulho h : F × [−1, 1] → M com h(x, 0) = x, para todo x ∈ F e h(F ×[−1, 1]) ∩ ∂M = h(∂F × [−1, 1]).

1 Demonstra¸ c˜ ao

  De fato, o 3 homomorfismo π (T ) → π (S ) induzido pela inclus˜ao n˜ao ´e injetivo, pois 1 1 1 1 3 π (T ) = π (S ) × π (S (S ) = 1 ´e finito. Se um toro ´e compress´ıvel em uma variedade irredut´ıvelM ent˜ao o toro ´e bordo de um toro s´olido em M ou o toro est´a contido em uma bola contida em M .

2 M M = M/τ

  1 φ 2 ∪ M ∪ X → X ∪ X onde M = M 1 2 (uni˜ao disjunta) e τ : X 1 2 1 2 (uni˜ao −1 disjunta) ´e dado por τ |X = φ, τ |X = φ . Podemos colar dois toros s´olidos D × S pelo bordo e 2 1 2 1 2 1 2 1 obtermos uma variedade D × S ∪ id D × S , id : ∂(D × S ) → ∂(D × S ), 2 1 difeomorfo a S × S .

1.4 Folhea¸ c˜ oes

  1 2 ⊂ R × R −1 Os conjuntos da forma ϕ (U × {c}), c ∈ U s˜ao chamados placas de U , ou 1 2 placas de F.−1 | × {c} → U ´e umaFixando c ∈ U , a aplica¸c˜ao f = ϕ U 1 : U 2 ×{c} r 1 subvariedade conexa de dimens˜ao n e de classe C de M . Um caminho de placas de F ´e uma sequˆencia α , ..., α k de 1 placas tal que α ∩ α 6= ∅, para todo j ∈ {1, ..., k − 1}.j j +1 Dado que a variedade M ´e coberta por placas de F, podemos definir em M uma rela¸c˜ao de equivalˆencia: ”pRq se existe um caminho de placas α , ..., α k 1 com p ∈ α , q ∈ α k .

3 Exemplo 1.4.1

  Uma semicomponente de Reeb de uma folhea¸c˜ao F sobre uma variedade tridimensional N com bordo ´e um subconjunto saturado H ⊂ 1 × [0, 1], e um anelN , cujo bordo ´e formado por uma folha A ∈ F, A ≃ SK ⊂ ∂N com ∂K = ∂A, tal que a variedade dupla H ∪ id A H ⊂ N ∪ id ∂N N ´e uma componente de Reeb da folhea¸c˜ao dupla 2F. Uma aplica¸c˜ao p : M → M chama-se uma aplica¸c˜ao de recobrimento (ou, simplesmente, um recobrimento) quando cada ponto −1 x ∈ M pertence a um aberto V ⊂ M tal que p (V ) = ∪ α U α ´e uma uni˜ao de ∗ abertos U α de M , dois a dois disjuntos, cada um dos quais se aplica por p ∗ homeomorficamente sobre V .

2.1 Lemas

  Como 1 2 ∂(ST ) ⊂ Int(ST ) e 2 2 Int(ST ) ∩ ∂(ST ) = ∅ ent˜ao, 1 2 ∂(ST ) ∩ ∂(ST ) = ∅. Como ST ´e conexo por caminhos, existe um caminho em 1 2 2 ST que liga x a y, e este caminho passa por ∂(ST ) pois x ∈ Int(ST ) 2 2 e y ∈ ST \ST (∂(ST ) separa ST em duas componentes conexas).

1 Afirma¸c˜ao 2. ∂(ST ) ⊂ Int(ST )

  Com efeito, utilizando (2.1) obtemos 1 2 1 1 2 ∩ ∂(STST ) = (Int(ST ) ∪ ∂(ST )) ∩ ∂(ST ) 1 2 1 2 = (Int(ST ) ∩ ∂(ST )) ∪ (∂(ST ) ∩ ∂(ST )) 1 2 = Int(ST ) ∩ ∂(ST ). Sendo ST e ∂(ST ) fechados 1 2 em ST segue-se que o conjunto ST ∩ ∂(ST ) ´e fechado em ST e, portanto, 1 2 2 2 ∩ ∂(ST ST ) ⊂ ∂(ST ) ´e fechado em ∂(ST ).

2 Como os bordos de ST e ST est˜ao contidos um no interior do outro

2 1 1 2 ∂(ST ) ⊂ Int(ST ) (afirma¸c˜ao 2) e ∂(ST ) ⊂ Int(ST ) (hip´otese), con- clu´ımos ent˜ao que 1 2 1 1 2 2 ST ∪ ST = Int(ST ) ∪ ∂(ST ) ∪ Int(ST ) ∪ ∂(ST ) 1 2 = Int(ST ) ∪ Int(ST ). 1

2 Logo ST ∪ ST ´e um conjunto fechado e ao mesmo tempo aberto e sem

  Dado que ST ´e conexo e o conjunto acima descrito ´e fechado e aberto emST temos que o conjunto descrito ´e o toro s´olido ST , o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois ST possui bordo. AssimST i ∩ U = T i , ⊂ ST ⊂ ∂U .para todo i 6= i , dado que T i i e T i Para o caso particular n = 1, temos ∂U = T , onde T ´e bordo de um 1 1 toro s´olido ST 1 em ST .

1 S × S , ver Exemplo .3.5, p´agina 20. Consequentemente

  Ent˜ao, aplicando o Teorema 2 2 1 1.4.3 segue-se que 2F ´e a folhea¸c˜ao produto S × ∗ de M = S × S . Afirmamos que os toros do bordo de U s˜ao bordos de toros 28 Aplicando o Lema 2.1.2 em U e observando que ST ´e o ST i do lema, podemos assumir que ∂(ST ) ´e uma das componentes do bordo de U .

1 ST o toro s´olido de bordo T em ST (ver Lema 2..2)

  1 1 Notemos que X aponta para fora de ST transversal a T e como con- 1 sequˆencia do Teorema da Decomposi¸c˜ao Espectral temos que ST cont´em 1 um repulsor R em ST . Repetindo o argumento acima temos uma sequˆencia encaixante de toros s´olidosk 1 2 ⊃ ST ⊃ ST ⊃ · · · ⊃ ST ⊃ · · ·ST podemos reescrever a sequˆenciaA R A1 R i A R i i ST ⊃ ST ⊃ ST ⊃ · · · ⊃ ST ⊃ · · · ⊃ A ⊃ R com ST i e ST i , onde A i s˜ao atratores e R i s˜ao repulsores.

2.2 Teorema Principal Agora podemos provar o Teorema Principal

  Seja T ⊂ M um toro transversal ao fluxo X t Axioma A, onde M ´e uma variedade tridimensional fechada, irredut´ıvel e X t n˜ao exibepo¸co, fonte e ´orbita peri´odica homot´opica a um ponto em M . Logo usando o Lema 2.1.4 temos que ∂U ´e formado por uma uni˜ao de toros transversais a X t , os quais s˜ao incompress´ıveis porconta do Teorema Principal, Teorema 2.2.1, o que ´e um absurdo, dado que a variedade M ´e atoroidal.

3 Logo, S ´e uma variedade tridimensional, fechada, irredut´ıvel e existe um

  fluxo Axioma A sem po¸co nem fonte, contendo um toro transversal ao fluxo 3 (todo toro em S ´e compress´ıvel). L., Grupo Fundamental e Espa¸cos de Recobrimento.

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