Ricardo Luiz Queiroz Freitas

47 

Full text

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´

atica

Curso de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica

Dissertac

¸˜

ao de Mestrado

Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espac

¸o com Curvatura

edia Constante no Espac

¸o de De Sitter

Ricardo Luiz Queiroz Freitas

Salvador-Bahia

(2)

Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espac

¸o com Curvatura

edia Constante no Espac

¸o DE SITTER

Disserta¸c˜ao apresentada ao cole-giado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica em 14 de mar¸co de 2008.

Banca examinadora

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador)

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa

(3)

Freitas, R.

“Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espac¸o com Curvatura M´edia Cons-tante no Espac¸o DE SITTER” / Ricardo Luiz Queiroz Freitas. Salvador-Ba, 2008.

Orientador: Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (UFBA).

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFBA, 39 p´aginas.

Palavras-Chave: Espa¸co de De Sitter, Hipersuperf´ıcies, Curvatura m´edia

(4)
(5)

Na vida, n˜ao vale tanto o que temos nem tanto

im-porta o que somos. Vale o que realizamos com aquilo que

possu´ımos e, acima de tudo, importa o que fazemos de n´os”.

(6)

Agradecimentos

A todos os professores respons´aveis por esta vit´oria e em especial, aos professores: Enaldo

Silva Vergasta, Marco Antˆonio Nogueira Fernandes, Isaac Costa L´azaro, Carlos Eduardo Nogueira Bahiano, David Arneson Hill, Augusto Armando de Castro J´unior, todos da Universidade Fed-eral da Bahia.

A todos os amigos e colegas que torceram por mim e que de alguma forma contribu´ıram

para essa minha vit´oria, especialmente aos colegas Elias, Eliseu, Mariana, Jarbas, Yuri, Kleyber e B´arbara e ao grande amigo Paulo Henrique.

A meus pais e irm˜aos por toda a for¸ca nos momentos de dificuldades.

Gostaria tamb´em de agradecer a todos os colegas e funcion´arios do Instituto de Matem´atica e aos professores: ´Ezio de Ara´ujo Costa e Abdˆenago Alves de Barros, os quais compuseram a banca

(7)

Resumo

Seja Mn uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante H no

espa¸co de Sitter Sn1+1. Usaremos o operador φ = AHI, onde A ´e o tensor de Weingarten associado `a segunda forma fundamental de M, e as ra´ızes BH BH+ de um certo polinˆomio de grau dois, para mostrar que ou|φ|2 0 e M ´e totalmente umb´ılica, ou B

H ≤ sup|φ|2 ≤

BH+. Para o caso H 2

n1

n mostramos os seguintes resultados: para cada n´umero B

no intervalo

max{0,BH},BH+

existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante tal que sup|φ|2 =B; se sup|φ|2 =B

H ´e atingido em algum ponto, ent˜ao a

hipersuperf´ıcieM correspondente ´e um cilindro hiperb´olico.

(8)

Sum´

ario

Resumo vii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

2 O Modelo do Hiperbol´oide n-dimensional Hn−1

r2

para o Espa¸co Hiperb´olico 15

3 O Produto Hk−1

r2 ×

Sn−k(√1 +r2) 19

4 As Hipersuperf´ıcies Rotacionais 24

(9)

Introdu¸

ao

Seja Ln+2 o espa¸co euclidiano (n+ 2)-dimensional com a m´etrica de Lorentz ( , ) dada por

(p,q) =p0q0+p1q1+. . .+pn+1qn+1.

Definimos o Espa¸co de De Sitter por

Sn1+1={pLn+2; (p,p) = 1}.

Dessa forma, Sn1+1 ´e uma variedade de Lorentz com curvatura seccional constante igual a 1. Uma hipersuperf´ıcie Mn imersa emSn+1

1 ´e dita tipo espa¸co se a m´etrica induzida em Mn pela

imers˜ao em Sn1+1´e riemanniana.

O estudo desses tipos de hipersuperf´ıcies foi inspirado, em particular, por uma conjectura

apresentada por A. J. Goddard [7] afirmando que toda hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante em Sn1+1 deve ser totalmente umb´ılica. O primeiro resultado nesta dire¸c˜ao foi obtido por J. Ramanathan [15] em 1987. Ele mostrou que se a curvatura m´edia

H de uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa em S3

1 ´e constante e satisfaz H2 <1, ent˜ao a

hipersuperf´ıcie ´e totalmente umb´ılica. Independentemente, e ainda em 1987, K. Akutagawa [1]

provou a conjectura de Goddard para o caso H2 < 4(n−1)

n2 , com n ≥ 2. Por outro lado, S.

Montiel [10] provou a conjectura para o caso compacto. Esses resultados levaram `a conclus˜ao de que a conjectura geral era falsa, como mostrado pela existˆencia dos ent˜ao chamados cilindros

hiperb´olicos, os quais s˜ao completos, n˜ao umb´ılicos e isom´etricos a um produto H1( senht)×

Sn−1( cosht) de um ramo hiperb´olico com uma esfera (n1)-dimensional. Esses cilindros ser˜ao

definidos e descritos neste trabalho.

Nos restringiremos `as hipersuperf´ıcies tipo espa¸co completas com curvatura m´edia constante n˜ao nula porque as hipersuperf´ıcies m´aximas (H = 0) no Espa¸co de De Sitter s˜ao totalmente geod´esicas.

Dada uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co Mn com curvatura m´edia constante H, para cada

pMn, definimos φ:TpM →TpM por

(10)

em que A´e o operador associado `a segunda forma fundamental de M. Observe que

φ = AHI

φ·φ = (AHI)(A∗ −HI) =AA∗ −2HAI+H2I

tr(φφ) = tr(AA)2Htr(A) +nH2 = tr(AA)nH2=|A|2nH2 =|φ|2

Verifica-se, facilmente, que tr(φ) = 0 e que |φ|2 = 1 2n

i,j

(ki−kj)2, onde os n´umeros ki,

i = 1, ...,n, s˜ao os autovalores de A. Dessa forma, |φ|2 = 0 se, e somente se, M ´e totalmente umb´ılica.

O operadorφmostrou-se ´util no estudo das hipersuperf´ıcies com curvatura m´edia constante

no ambiente riemanniano. Por exemplo, H. Alencar e M. do Carmo [2] provaram um “teorema de gap” para hipersuperf´ıcies compactas com curvatura m´edia constante na esfera euclidiana unit´aria Sn+1, caracterizando oH(r)-toro por uma condi¸c˜ao sobre |φ|2.

1.1Teorema(Alencar, do Carmo). SejaMnuma hipersuperf´ıcie compacta e orient´avel imersa em Sn+1 com curvatura m´edia constante H > 0. Suponha que |φ|2 B

H para cada p ∈ M,

onde BH ´e o quadrado da raiz positiva do polinˆomio

PH(x) =x2+

n(n2)H

n(n1)x−n(H

2+ 1).

Ent˜ao, |φ|2 0 e M ´e totalmente umb´ılica ou |φ|2 BH e Mn ´e isom´etrico ao H(r)-toro

Sn−1(r)×S1(√1r2), onde r2 < n−1

n .

U. H. Ki, H. J. Kim e H. Nakagawa [8] usaram uma vers˜ao de Lorentz do polinˆomio PH

para encontrar um limite superior para|φ|. Eles mostraram que uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co

completa em Sn1+1 com curvatura m´edia constante H 2

n1

n e |φ|constante e igual a este

limite superior ´e um Cilindro Hiperb´olico.

Nesta disserta¸c˜ao apresentaremos os teoremas contidos no artigo de A. Brasil, G. Colares

e O. Palmas [3], intitulado “complete spacelike hypersurfaces with constant mean curvature in the de Sitter space: a gap theorem”, que estendem alguns resultados mencionados acima. No

primeiro teorema, usa-sePH para obter uma estimativa para|φ|, com limites inferior e superior.

1.2 Teorema. SejaMn uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa imersa emSn+1

1 , n≥3, com

curvatura m´edia constante H >0. Ent˜ao sup|φ|2 < e

(i) |φ| ≡0 eM ´e totalmente umb´ılica; ou

(ii)BH sup|φ|2 B+

H, onde BH− ≤B+H s˜ao as ra´ızes do polinˆomio

PH(x) =x2−

n(n2)H

n(n1)x+n(1−H

(11)

Verifica-se quePH tem ra´ızes reais se, e somente se,H≥

2√n1

n . Como uma conseq¨uˆencia

do Teorema 1.2, n˜ao existe nenhuma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia

constante H 2

n1

n tal que 0 < sup|φ|

2 < B

H. Diremos que para cada constante H ≥

2√n1

n , existe uma lacuna entre uma hipersuperf´ıcie umb´ılica (|φ| ≡0) e uma hipersuperf´ıcie

com sup|φ|2 =B

H, com curvaturas m´edias H. O ”gap”para 0≤H <

2√n1

n foi provado

por Akutagawa [1], conforme citado anteriormente.

Para o caso H 2

n1

n tamb´em mostraremos que n˜ao existe ”gap”entre as ra´ızes de PH, isto ´e, provaremos que para cada n´umero B no intervalo

max{0,BH},BH+

existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante H tal que sup|φ|2 =B.

Estes exemplos constituem uma classe de novas hipersuperf´ıcies de rota¸c˜ao com curvatura m´edia constante em Sn1+1. Mais precisamente, apresentaremos a prova do seguinte teorema:

1.3 Teorema. Dado um inteiro n 3 e uma constante H tal que H 2

n1

n , sejam

BHBH+ as ra´ızes do polinˆomio PH . Ent˜ao,

(i) Para qualquer valorBno intervalo

max{0,BH},BH+

existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co

completa em Sn1+1 com curvatura m´edia constante H e sup|φ|2 =B. (ii) Se, al´em disso, H = 2

n1

n , existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa em S

n+1 1

com curvatura m´edia constante H e sup|φ|2 =B+

H que n˜ao ´e um Cilindro Hiperb´olico.

Apresentaremos tamb´em o teorema abaixo que ´e uma generaliza¸c˜ao de um resultado provado

por Montiel [11]. No trabalho de Montiel esse resultado ´e provado para o casoH = 2

n1

n .

1.4 Teorema. SejaMn uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa imersa emSn1+1, n3, com curvatura m´edia constante H de modo que 2

n1

n ≤H <1 e sup|φ|2 =B

H. Este supremo

´e atingido se, e somente se,M ´e isom´etrico ao Cilindro Hiperb´olico

H1( senht)×Sn−1( cosht).

Nossos resultados podem ser interpretados graficamente pela figura seguinte, onde associ-amos a cada hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completaMn com curvatura m´edia constanteH, o par

de coordenadas

H, sup|φ|2

no primeiro quadrante de um 2-plano.

(12)

1

H

1 empty new rotation hypersurfaces hypersurfaces umbilic x (cylinders) x x

φ

2 + c c− n 2

n n 1<k< n 2

H xS 1<k< H S H S H S n 2 n 2 2

sup

n− n− <k<n− k k n− n− n− n− 2 k k 1

n−1 k(n−k) k 2 n 1 1 1

Nosso trabalho ´e constitu´ıdo de cinco cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1 trataremos de alguns con-ceitos b´asicos que ser˜ao utilizados nas demonstra¸c˜oes dos resultados principais. Analisaremos,

tamb´em os tensores curvatura e de Ricci para as hipersuperf´ıcies imersas emSn1+1, encontrando um limite inferior para a curvatura de Ricci de M. Al´em disso, faremos uma demonstra¸c˜ao da F´ormula de Simmons usando c´alculo tensorial. Essa f´ormula, que j´a foi usada em diversos

artigos, ´e de extrema importˆancia para as provas dos teoremas centrais do nosso trabalho.

No cap´ıtulo 2 faremos uma descri¸c˜ao do espa¸co Hn−1

r2

o qual denotaremos como o modelo do Hiperbol´oide n-dimensional para o Espa¸co Hiperb´olico. Veremos que este se constitui numa hipersuperf´ıcie do Espa¸co de Lorentz Ln+1.

Analisaremos, no cap´ıtulo 3, as hipersuperf´ıcies do tipo Hk−1

r2 ×

Sn−k(√1 +r2) ֒ Sn+1 1 , a

partir das quais definiremos o cilindro hiperb´olico. Essas hipersuperf´ıcies aparecer˜ao em di-versos resultados do nosso trabalho e mostraremos que a curvatura m´edia e a segunda forma

fundamental das mesmas s˜ao constantes.

Finalmente, antes de demonstrarmos nossos resultados principais no cap´ıtulo 5, faremos,

no cap´ıtulo 4, uma breve explana¸c˜ao das hipersuperf´ıcies rotacionais, que correspondem a uma

fam´ılia de hipersuperf´ıcies completas em Sn1+1 com curvatura m´edia constanteH 2

n1

n e

sup|φ|2 =B para cadaB

max

0,BH

,BH+

(13)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nesta se¸c˜ao abordaremos algumas defini¸c˜oes e resultados importantes que ser˜ao utilizados nas demonstra¸c˜oes dos teoremas contidos no nosso trabalho.

SejaMn uma hipersuperf´ıcie completa tipo espa¸co de dimens˜aonimersa no Espa¸co de De Sitter de dimens˜ao n+ 1, que denotaremos porSn1+1. Representamos porB sua segunda forma fundamental

B(X,Y) =XY − ∇XY

onde X,Y s˜ao campos de vetores em M, e e s˜ao as conex˜oes m´etricas de Sn1+1 e M, respectivamente. Se N ´e um campo normal unit´ario local em M, temos

B(u,v) =Au,v N

onde u,v T M e A ´e o operador de forma associado `a segunda forma fundamental de M.

ComoA ´e uma aplica¸c˜ao linear sim´etrica, existe uma base ortonormal{e1,. . .,en}de TpM tal

que Aei =kiei,i= 1,. . .,n. Temos, por defini¸c˜ao, que a curvatura m´edia H de M ´e dada por

H= 1

n

i

ki.

Primeiramente, vamos encontrar um limite inferior para a curvatura de Ricci.

Seja a curvatura R de M dada por

R(X,Y)Z =X∇YZ− ∇Y∇XZ− ∇[X,Y]Z.

Ent˜ao a equa¸c˜ao de Gauss ser´a dada por

R(u,v)w,z =R(u,v)w,zB(v,z),B(u,w) +B(u,z),B(v,w) ,

com u,v,w,zT M eR o tensor curvatura deSn1+1.

(14)

R(u,v)w,z

= (u,w v,zu,z v,w )− −Av,z N,Au,w N +Au,z N,Av,w N

= u,w v,z +v,w u,z +Au,w Av,zAv,w Au,z

= u,w v+v,w u+Au,w AvAv,w Au,z (1.1)

que ´e o tensor curvatura deM.

Usando a defini¸c˜ao de tensor de Ricci e o resultado obtido acima, teremos para x,yT M

e {ei}um referencial ortonormal de T M

Ric(x,y) =

i

R(ei,x)y,ei

=

i

(x,y ei,ei − ei,y x,ei − Ax,y Aei,ei +Aei,y Ax,ei )

= nx,yx,yAx,y

i

Aei,ei +

i

ei,Ay Ax,ei

= nx,yx,yAx,y trA+Ax,Ay

= (n1)x,ynHAx,y +A2x,y .

Calculando a curvatura de Ricci de M na dire¸c˜ao de um vetorei de uma base ortonormal{ei}

de TpM obtemos

Ric(ei) = (n−1)ei,ei −nHAei,ei +A2ei,ei

= n1nHki+k2i

= n1 +k2

i −nHki+

n2H2

4 −

n2H2

4 = n1 + ki−

nH

2

2

−n

2H2

4 ≥n−1−

n2H2

4 , ou seja,

Ric(ei)≥n−1 + ki−

nH

2

2

− n

2H2

4 ≥n−1−

n2H2

4

Assim, temos que a curvatura de Ricci deM´e limitada inferiormente, uma vez que a mesma

n˜ao depende da base ortonormal escolhida.

Apresentaremos, agora, uma demonstra¸c˜ao da f´ormula de Simmons utilizando ferramentas

do c´alculo tensorial. Essa f´ormula j´a foi usada em diversos artigos e ser´a fundamental para as demonstra¸c˜oes dos resultados principais deste trabalho. Vejamos, antes, algumas defini¸c˜oes e

proposi¸c˜oes.

1.1Definic¸˜ao. Sejamf :MnQn+1

c uma hipersuperf´ıcie ondeQnc+1 tem curvatura seccional

constante c e A :T M T M o tensor de Weingarten. Definimos a derivada covariante de A,

como sendo a aplica¸c˜ao A dada por

∇A:T M×T M T M

(15)

1.2 Proposic¸˜ao. A aplica¸c˜ao A ´e bilinear, isto ´e, para todo X,Y,Z T M e para todo

f C∞(M),

(i) A(X+f Y,Z) =A(X,Z) +fA(Y,Z)

(ii) A(X,Y +f Z) =A(X,Y) +fA(X,Z).

Prova. (i):

∇A(X+f Y,Z) = X+f YAZ −A(∇X+f YZ)

= XAZ+f∇YAZ−A∇XZ−f A∇YZ

= A(X,Z) +fA(Y,Z)

(ii):

∇A(X,Y +f Z) = XA(Y +f Z)−A(∇X(Y +f Z))

= XAY +∇Xf AZ −A(∇XY)−A(∇Xf Z)

= A(X,Y) +fXAZ+X(f)AZ−Af∇XZ−AX(f)Z

= A(X,Y) +fXAZ−A(f∇XZ)

= A(X,Y) +f{∇XAZ−A(∇XZ)}

= A(X,Y) +fA(X,Z)

1.3 Proposic¸˜ao. A aplica¸c˜ao A ´e sim´etrica, isto ´e, A(X,Y) = A(Y,X), para todo

X,Y T M.

Prova. Como Qn+1

c tem curvatura seccional constante e f tem codimens˜ao 1, a equa¸c˜ao

de Codazzi def se reduz a

∇X(AY)− ∇Y(AX) =A([X,Y]) =A(∇XY)−A(∇YX) ,

Logo

∇X(AY)−A∇XY =∇YAX−A∇YX,

provando assim a proposi¸c˜ao.

1.4 Definic¸˜ao. A segunda derivada covariante deA ´e definida como sendo a aplica¸c˜ao

∇2A:T M×T M ×T M T M

∇2A(X,Y,Z) = X(∇A(Y,Z))− ∇A(∇XY,Z)− ∇A(Y,∇XZ)

1.5Proposic¸˜ao. A aplica¸c˜ao2Asatisfaz2A(X,Y,Z) =2A(X,Z,Y), para todoX,Y,Z T M.

(16)

Prova. Segue da proposi¸c˜ao 1.3.

1.6 Proposic¸˜ao. A aplica¸c˜ao 2A satisfaz 2A(X,Y,Z) =2A(Y,X,Z) +R(X,Y)(AZ)

A(R(X,Y)Z), para todo X,Y,Z T M.

Prova. Temos que

∇2A(X,Y,Z) = X(∇A(Y,Z))− ∇A(∇XY,Z)− ∇A(Y,∇XZ)

= X∇YAZ− ∇XA(∇YZ)− ∇∇XYAZ+A(∇∇XYZ)

−∇YA(∇XZ) +A(∇Y∇XZ)

e

∇2A(Y,X,Z) = Y∇XAZ− ∇YA(∇XZ)− ∇∇YXAZ

+A(∇∇YXZ)− ∇XA(∇YZ) +A(∇X∇YZ) .

Assim, usando a f´ormula (1.1) do tensor curvatura deM conclui-se que

∇2A(X,Y,Z)− ∇2A(Y,X,Z) =R(X,Y)(AZ)A(R(X,Y)Z)

1.7 Definic¸˜ao. Dado um tensor sim´etrico ϕ:T M×T M T M, definimos o tra¸co deϕcomo sendo o campo trϕdado por

trϕ=

n

i=1

ϕ(Ei,Ei),

onde {Ei,. . .,En}´e um referencial ortonormal.

1.8 Observa¸c˜ao. Da teoria da ´Algebra Linear, podemos concluir que a defini¸c˜ao anterior

inde-pende do referencial ortonormal escolhido.

1.9 Proposic¸˜ao. Nas condi¸c˜oes anteriores tr(A) = grad(trA).

Prova. Escolha{E1,. . .,En}referencial principal, isto ´e, A·Ei =λiEi.

(1) grad(trA),Y =Y(trA) =Y

i

AEi,Ei

=

i

∇YAEi,Ei +

i

AEi,∇YEi , para

todo Y T M.

(17)

De fato, Ae , s˜ao sim´etricos e

∇A(X,Y),Z = XAY −A(∇XY) ,Z

= XAY,Z − A(∇XY) ,Z

= XAY,ZAY,XZ − ∇XY,AZ

= XY,AZY,A(XZ) − ∇XY,AZ

= XY,AZY,A(XZ) − {XY,AZ − Y,∇XAZ }

= Y,XAZ − Y,A(∇XZ)

= Y,A(X,Z)

= A(X,Z),Y .

(3) ComoA(X,Y),Z n˜ao muda com as permuta¸c˜oes de X,Y eZ, temos para todoY, que

tr(A),Y =

i

∇A(Ei,Ei),Y

=

i

∇A(Ei,Ei),Y

=

i

∇A(Y,Ei),Ei

=

i

∇YAEi−A(∇YEi) ,Ei

=

i

∇YAEi,Ei −

i

AEi,∇YEi .

(4) Temos ainda que

AEi,∇YEi =λiEi,∇YEi =λiEi,∇YEi =λi·

1

2·YEi,Ei = 0. Logo de (1), (2), (3) e (4) segue que

tr(A) = grad(trA).

1.10 Definic¸˜ao. Seja XT M. Definimos o tensor ΓX como

ΓX :T M×T M → T M

ΓX(Y,Z) = ∇2A(X,Y,Z).

Pela proposi¸c˜ao 1.5 temos que ΓX ´e sim´etrico.

1.11 Proposic¸˜ao. Para cada XT M, tr ΓX =n∇XgradH, ondeH ´e a curvatura m´edia de

f :MnQn+1

c .

(18)

Prova. Escolha {E1,. . .,En} um referencial geod´esico em p ∈ M, isto ´e, um referencial

ortonormal que satisfaz (EiEj) (p) = 0 com i,j = 1,. . .,n. Assim,

tr ΓX =

i

∇2A(X,Ei,Ei)

=

i

∇X(∇A(Ei,Ei))−2

i

∇A(XEi,Ei)

= X

i

∇A(Ei,Ei)

−2

i

∇A(XEi,Ei)

= X(tr∇A)−2

i

∇A(XEi,Ei)

= X(grad(trA))−2

i

∇A(XEi,Ei)

= nX(gradH)−2

i

∇A(XEi,Ei) .

Vamos mostrar, agora, queA(XEi,Ei) = 0 emp.

Se X =

j

xjEj, temos

∇A(XEi,Ei) = ∇A

j

xjEjEi,Ei

= A

j

xj∇EjEi,Ei

=

j

xj∇A

∇EjEi,Ei

.

ComoA´e um tensor, temos queA

∇EjEi,Ei

(p) depende apenas dos valores deEjEi e de

Eiemp. Como

∇EjEi

(p) = 0, segue queA

∇EjEi,Ei

(p) = 0 e, portanto,A(XEi,Ei) (p) =

0. Logo, tr ΓX(p) = n(∇XgradH) (p). Como p ´e arbitr´ario, temos o resultado desejado.

1.12 Definic¸˜ao. O Laplaciano de A ´e o 1-tensor dado por

∆A:T M T M

∆A(X) = tr

(Y,Z)→ ∇2A(Y,Z,X)

.

Assim, se {E1,. . .,En}´e um referencial ortonormal, temos que

∆A(X) =

i

∇2A(Ei,Ei,X)

=

i

∇2A(Ei,X,Ei)

=

i

∇2A(X,Ei,Ei) +R(Ei,X)AEi−AR(Ei,X)Ei

,

paraX T M. Como a curvatura m´ediaHda imers˜ao ´e suposta constante, segue da proposi¸c˜ao 1.11 que

i

(19)

Dessa forma, obtemos

∆A(X) =

i

R(Ei,X)AEi−

i

AR(Ei,X)Ei

=

(X,AEi Ei− Ei,AEi X− AX,AEi AEi+AEi,AEi AX)

−A

i

(X,Ei Ei− Ei,Ei X− AX,Ei AEi+AEi,Ei AX)

.

Uma vez queX =

i

X,Ei Ei e

i

AEi,Ei = trA=nH, conclu´ımos que

∆A(X) = AXnHXA3X+ (trA2)AXAX+nAX+A3XnHA2X

= nAXnHX+ (trA2)AXnHA2X, (1.2)

para cadaX T M.

Veremos, agora, alguns conceitos e resultados que s˜ao conseq¨uˆencias imediatas da ´Algebra Linear.

1.13 Definic¸˜ao. Seja Mn uma variedade riemanniana. Dados A:T M T M e B :T M

T M 1-tensores em M, definimos o produto interno de 1-tensores como sendo a aplica¸c˜ao

A,B :M R

A,B (p) =A(p),B(p) = tr (A(p)·B(p)∗) ,

onde B(p)∗ denota o operador adjunto de B(p).

Por simplicidade , escreveremos

A,B = tr (A·B∗) .

1.14 Definic¸˜ao. Sejam C : T M×T M T M e D : T M ×T M T M 2-tensores em M. Definimos o produto interno desses 2-tensores como sendo a aplica¸c˜ao

C,D :M R

C,D (p) =C(p),D(p) =

i,j

C(p)(ei,ej),D(p)(ei,ej) ,

onde {e1,. . .,en}´e base ortonormal de TpM.

´

E f´acil verificar que o produto interno acima est´a bem definido, ou seja, independe da base ortonormal escolhida. As normas de 1-tensores e 2-tensores s˜ao as normas provenientes do

produto interno que denotaremos sempre por | , |. Para simplificar a nota¸c˜ao, n˜ao faremos distin¸c˜ao dos s´ımbolos de laplaciano de tensor e de laplaciano de fun¸c˜oes reais.

1.15 Proposic¸˜ao. Sejam A:T M T M eB :T M T M 1-tensores em M. Ent˜ao,

A,B =∆A,B +A, ∆B + 2A,B ,

em que A ´e a derivada covariante de A.

(20)

Prova. Seja{E1,. . .,En} um referencial geod´esico em p∈M. Temos que

A,B = tr (B∗·A) =

j

(B∗A)(Ej),Ej =

j

AEj,BEj

Assim,

A,B (p) =

i

(EiEiA,B ) (p) =

i

EiEi

j

AEj,BEj

(p)

=

i,j

EiEiAEj,BEj (p)

=

i,j

Ei(∇EiAEj,BEj +AEj,∇EiBEj ) (p)

=

i,j

{∇Ei∇EiAEj,BEj +∇EiAEj,∇EiBEj

+EiAEj,∇EiBEj +AEj,∇Ei∇EiBEj }(p)

=

i,j

∇Ei∇EiAEj,BEj (p) +

i,j

AEj,∇Ei∇EiBEj (p)

+2

i,j

∇EiAEj,∇EiBEj (p)

Vamos mostrar, nesta ´ultima express˜ao, que a primeira parcela ´e igual a∆A,B , a segunda, a A, ∆B e a terceira a 2A,B .

Temos que

∆A,B =

j

∆A(Ej),BEj

=

j

i

∇2A(Ei,Ei,Ej),BEj

=

i,j

∇Ei∇A(Ei,Ej)− ∇A(∇EiEi,Ej)− ∇A(Ei,∇EiEj) ,BEj .

ComoEiEi e ∇EiEj se anulam emp (referencial geod´esico), conclu´ımos que

∆A,B (p) =

i,j

∇Ei∇A(Ei,Ej),BEj (p).

Mas,

∇Ei∇A(Ei,Ej) =∇Ei(∇EiAEj −A(∇EiEj)) =∇Ei∇EiAEj− ∇EiA(∇EiEj) .

Usando a equa¸c˜ao de Codazzi, obtemos

∇Ei∇A(Ei,Ej) =∇Ei∇EiAEj−

∇∇EiEjAEi+A([Ei,∇EiEj])

.

Como o referencial utilizado ´e geod´esico, temos, finalmente, que

(21)

Portanto,

∆A,B (p) =

i,j

∇Ei∇EiAEj,BEj (p).

De modo an´alogo,

A, ∆B (p) =

i,j

AEj,∇Ei∇EiBEj (p).

Agora, vamos calcular A,B . Lembrando a defini¸c˜ao 3.13,

∇A,B =

i,j

∇A(Ei,Ej),∇B(Ei,Ej)

=

i,j

∇EiAEj−A(∇EiEj) ,∇EiBEj−B(∇EiEj)

=

i,j

∇EiAEj,∇EiBEj .

Isto conclui a prova da proposi¸c˜ao.

1.16 Corol´ario. Se A´e auto-adjunta ent˜ao 1

2∆

trA2

=|∇A|2+A, ∆A .

Prova. Temos que

tr

A2

= tr (AA) = tr (AA∗) =A,A .

Portanto,

1 2∆

trA2

= 1

2∆A,A

= 1

2(∆A,A +A, ∆A + 2∇A,∇A )

= 1 2

2A, ∆A + 2|∇A|2

= |∇A|2+A, ∆A .

A partir da equa¸c˜ao 1.2, obtemos

A, ∆A =

A,nAnHId+ (trA2)AnHA2

= nA,AnHA,Id + trA2A,AnHA,A2

= ntrA2n2H2+

trA2

2

−nHtrA3

e pelo Corol´ario 1.16, teremos a f´ormula

1 2∆

trA2

=|∇A|2+ntrA2n2H2+

trA2

2

−nHtrA3,

conhecida como a F´ormula de Simmons.

Ao inv´es do tensor de Weingarten A usaremos o tensor sim´etrico φ=AHI , onde H ´e a curvatura m´edia deM. Dessa forma, teremos que trφ= 0. Al´em disso, a base {ei} tamb´em

diagonaliza φ, com autovalores µi =ki−H e

|2 =

i

µ2i = 1 2n

i,j

(ki−kj)2.

(22)

De fato,

i,j

(ki−kj)2 =

i,j

((ki−H)−(kj −H))2

=

i,j

(ki−H)2−2

i,j

(ki−H)(kj−H) +

i,j

(kj −H)2

= n|φ|22·0 +n|φ|2 = 2n|φ|2

Desta forma, |φ|2 0 se, e somente se,Mn ´e totalmente umb´ılica. Portanto, a f´ormula de Simmons com o tensorφ se escreve

1 2∆

trφ2

=|∇φ|2+

trφ2

2

−nHtrφ3+n

1H2

(23)

Cap´ıtulo 2

O Modelo do Hiperbol´

oide

n

-dimensional

H

n

1

r

2

para o Espa¸

co

Hiperb´

olico

Neste cap´ıtulo descreveremos o Espa¸co Hiperb´olico Hn−1

r2

que ´e uma hipersuperf´ıcie do

Espa¸co de Lorentz Ln+1, ou seja, o espa¸co Rn+1 munido da m´etrica pseudo-riemanniana, a qual definiremos a seguir.

SejaQ:Rn+1Ra forma quadr´aticaQ(x0,. . .,xn) =−x20+x21+. . .+x2n eLn+1 o espa¸co

Rn+1 com a m´etrica pseudo-riemanniana induzida porQ, a qual denotaremos por (·,·). Ent˜ao, teremos:

(u,v) = 1

2{Q(u+v)−Q(u)−Q(v)}. (2.1)

Esta m´etrica pseudo-riemanniana ´e chamada m´etrica de Lorentz. Conv´em observar que paran= 3 ela aparece na teoria de relatividade.

Seja Hn−1

r2

= {x = (x0,. . .,xn); (x,x) = −r2,x0 > 0 er > 0}. Observe que,

geometrica-mente Q(x) = r2 ´e um hiperbol´oide de duas folhas e Hn−1

r2

´e a folha contida no semi-espa¸co

x0 >0. Claramente, Hn−1

r2

´e uma hipersuperf´ıcie de Ln+1, pois, ´e uma componente conexa da imagem inversa der2 por Q.

2.1 Proposic¸˜ao. Segundo a m´etrica de Lorentz, o vetor η= x

r ´e ortogonal ao espa¸co tangente TxHn−1

r2

, para todoxHn−1

r2

.

Prova. Seja v TxHn−1

r2

. Ent˜ao v = α′(0), onde α ´e uma curva regular em Hn −1

r2

com

α(0) =x. Assim,α(t) = (x0(t),. . .,xn(t)), comx0(t)>0. Logo,

(24)

Segue que,2x0(t)x′0(t)+2x1(t)x′1(t)+. . .+2xn(t)xn′(t) = 0. Parat= 0, temos que (α(0),α′(0)) =

0, ou seja, (x,v) = 0. Assimxv e portanto ηv.

2.2 Proposic¸˜ao. (η,η) =1. Prova. (η,η) =

x r, x r = 1

r2(x,x) =

1

r2(−r 2) =

−1.

2.3 Proposic¸˜ao. β ={b0,. . .,bn}, com b0 =η, (bi,bj) = δij para i,j = 1,. . . n e (bi,b0) = 0, para i = 1,. . . n, ´e uma base de Ln+1. Al´em disso, a m´etrica induzida por Ln+1 em Hn−1

r2

´e

riemanniana.

Prova. Para ver queβ ´e uma base deLn+1, basta observar queLn+1 = [η]TxHn−1

r2

, com

[η]TxHn−1

r2

.

Para a segunda parte usamos o fato de que o ´ındice de uma forma quadr´atica independe da base escolhida. Escolhendo a base canˆonica {e0,. . .,en}de Ln+1, vemos que o ´ındice deQ´e

igual a 1. Logo, como Q(η) = (η,η) =1 <0, temos que Q(bi)>0, ∀ i= 1,. . .,n. Portanto,

Q|TxHn1

r2

´e positiva definida. Assim, a m´etrica induzida por Ln+1 em Hn−1

r2

´e riemanniana.

2.4Proposic¸˜ao. A segunda forma fundamental deHn−1

r2

֒Ln+1 ´e dada porSη =−

1

rId. Al´em

disso, a curvatura seccional de Hn−1

r2

´e constante e igual a K=1

r2.

Prova. Sejam xHn−1

r2

,{b1,. . .,bn} uma base deTxHn−1

r2

e η = x

r ∈(TpM)

.

Considere-mos o campoN normal aHn−1

r2

dado porN(p) = p

r. ComoN(x) =η e (N,N)p =−1 para todo pHn−1

r2

temos que

(Sη(bi),bj) =

−(biN)

T,b j

=

−∇biN,bj

.

Calculemos

∇vN

(x), para um vetor qualquervTxHn−1

r2

.

De

N(p) = 1

r ·

n

i=0

piei = n

i=0

1

rpi

ei,

temos que as coordenadas deN(p) na base canˆonica{e0,. . .,en}deLn+1s˜ao dadas porNi(p) =

1

r ·pi.

SejavTxHn−1

r2

. Ent˜ao

v =α′(0) = (α′0(0),. . .,α′n(0)) = (v0,. . .,vn)

e α(0) =x, ondeα(t) = (α0(t),. . .,αn(t)). Portanto

v(Nk)(x) =

d

dt(Nk◦α)(t)|t=0= d

dtNk(α(t))|t=0 = d dt

1

r ·αk(t)

t=0

= 1

r ·α

(25)

Usando a express˜ao da conex˜ao e lembrando que Γk

ij(Ln+1) = Γkij(Rn+1) = 0 teremos:

∇vN

(x) =

k

v(Nk)(x) +

i,j

viNj(x)Γkij(x)

ek = n k=0

v(Nk)(x)ek

= 1

r

n

k=0

α′k(0)ek

= 1

r

n

k=0

vkek

= 1

rv.

Segue, portanto, que

Sη(bi) =−∇biN =−

1

rbi ⇒Sη =−

1

rId.

Da´ı, B(X,Y) =(B(X,Y),η)η =(SηX,Y)η= 1

r(X,Y)η = η

r(X,Y).

Finalmente, usando a f´ormula de Gauss e tomando{X,Y}ortonormal,

K(X,Y)K¯(X,Y) = (B(X,X),B(Y,Y))(B(X,Y),B(X,Y)).

Como Γk

ij(Ln+1) = Γkij(Rn+1) = 0, temos que ¯K(X,Y) = 0. Logo,

K(X,Y) =1

r2(X,X)(Y,Y)−

1

r2(X,Y) 2 =

r12.

Para o que se segue denotaremos O1(n+ 1) ={T ´e linear ;T preserva a m´etrica }e ˜Hn−1

r2

=

{x= (x0,. . .,xn); (x,x) =−r2,x0<0 er >0}. 2.5 Lema. Seja T O1(n+ 1). Se para p Hn−1

r2

temos T(p) Hn−1

r2

(resp. H˜n−1

r2

), ent˜ao

T(x)Hn−1

r2

(resp. H˜n−1

r2

), para todo xHn−1

r2

.

Prova. Se T O1(n+ 1) e x Hn−1

r2

, ent˜ao (T x,T x) = (x,x) = r2. Dessa forma,

T xHn−1

r2

ou T xH˜n−1

r2

.

Seja p Hn−1

r2

tal que T(p) Hn−1

r2

. Suponha que q Hn−1

r2

, com T(q) / Hn−1

r2

, isto ´e,

T(q) H˜n−1

r2

. Seja, ainda, α uma curva em Hn−1

r2

que liga p a q. Ent˜ao, T α ´e uma curva em

Q−1(r2) ligandoT(p) a T(q).

Sendo α(t) = (x0(t),. . .,xn(t)), x0>0 temos que T◦α(t) = (y0(t),. . .,yn(t)) ´e cont´ınua.

Como T(p)Hn−1

r2

, isto ´e,T(α(0))Hn−1

r2

ent˜ao y0(0)>0 e uma vez queT(q)∈H˜n−1

r2

(i.e.,

T(α(1))H˜n−1

r2

) teremosy0(1)<0. Pela continuidade dey0,∃ t′∈(0, 1) tal quey(t′) = 0 o que

implicaria emTα(t′)/Q−1(r2), uma contradi¸c˜ao, pois, (T(α(t)),T(α(t))) = (α(t),α(t)) =

−r2.

(26)

2.6 Proposic¸˜ao. Se T O1(n+ 1) edet(T)>0, ent˜ao T Hn−1

r2

=Hn−1

r2

.

Prova. Seja x = (r, 0,. . ., 0) Hn−1

r2

e {b1,. . .,bn} base de TxHn−1

r2

. Considere, ainda,

e0 =

x

r = (1, 0,. . ., 0). ComoT preserva a m´etrica, temos que {T(e0),T(e1),. . .,T(en)}´e base

ortonormal de Ln+1 e sendo Q uma forma quadr´atica de ´ındice 1, teremos T(e0) paralelo a

e0. Logo, T(e0) = ±e0. Como det(T) > 0, T e0 = e0. Pelo lema anterior T

Hn−1

r2

= Hn−1

r2

.

2.7 Proposic¸˜ao. Hn−1

r2

´e completa.

Antes de apresentarmos a prova da Proposi¸c˜ao 2.7 veremos o conceito de variedade

ho-mogˆenea e, em seguida, mostraremos que toda variedade hoho-mogˆenea ´e completa.

Dizemos que uma variedade riemanniana M ´e homogˆenea se dados p,q M existe uma isometria deM que leva pem q.

2.8 Lema. Toda variedade homogˆenea ´e completa.

Prova do Lema 2.8. Se, por absurdo, M n˜ao ´e completa, existem p M e uma

geod´esica normalizadaγ : [0,t0]→M comγ(0) =p que n˜ao se estende al´em det0. Sejamε >0

suficientemente pequeno tal que q = γ(t0 −ε/2) e Bε(p) e Bε(q) s˜ao bolas normais em p e q,

respectivamente. Sejamϕ:M M uma isometria com ϕ(p) = q e v TpM, |v|= 1, tal que

dϕpv =γ′(t0−ε/2). Como γ ´e normalizada, ´e claro que |v|=|dϕpv|=|γ′(t0−ε/2)|= 1. Por

outro lado, considere a geod´esica α: [0,ε)M dada por α(t) = expp(tv). Temos ent˜ao que (ϕα)(0) =ϕ(p) =q=γ(t0−ε/2)

e

α)′(0) =dϕpα′(0) =dϕpv=γ′(t0−ε/2) .

Conclui-se que ϕα´e uma geod´esica que parte deq =γ(t0−ε/2) com velocidadeγ′(t0−ε/2)

na bola normal Bε(q). Por unicidade, ϕ◦α=γ|[t0−ε/2,t0], o que significa que podemos estender

γ na bola normalBε(q) e, portanto, al´em de t0. Contradi¸c˜ao.

Prova da Proposi¸c˜ao 2.7. Dados p,q Hn−1

r2

e bases ortonormais {vi} ⊂ T pHn−1

r2

e

{wi} ∈ T qHn−1

r2

, i = 1,. . .,n, vamos mostrar que a restri¸c˜ao a Hn−1

r2

da transforma¸c˜ao linear

T : Ln+1 Ln+1 tal que T

p r

= q

r e T(vi) = wi, i = 1,. . .,n ´e isometria de H

n −1 r2 . Como p r, p r = q r, q r

=1, (vi,vj) = (wi,wj) =δij e (p,vi) = (q,wi) = 0, ent˜ao ´e claro que existe

uma transforma¸c˜ao linearT :Ln+1 Ln+1que preserva a m´etrica. Comop,q Hn−1

r2 eT p r = q

r ⇔T(p) =q∈H

n −1

r2

. Ent˜ao, pelo lema 2.5, T

Hn−1

r2

=Hn−1

r2

. Segue que,T|Hn

−1

r2

´e isometria de

Hn−1

r2

. Portanto, Hn−1

r2

´e homogˆenea. Desta forma, conclu´ımos, pelo lema 2.8, que ela ´e completa.

(27)

Cap´ıtulo 3

O Produto

H

k

1

r

2

×

S

n

k

(

1 +

r

2

)

Neste cap´ıtulo, definiremos o cilindro hiperb´olico que ´e uma hipersuperf´ıcie do espa¸co de De Sitter Sn1+1. Calcularemos as suas curvaturas principais, a curvatura m´edia e a segunda forma fundamental. Faremos, inicialmente, algumas considera¸c˜oes sobre variedade produto e sobre produto de imers˜oes. Sejam M,N,M e N variedades tais queN ´e riemanniana. Suponha que

M ´e uma variedade diferenci´avel com uma m´etrica pseudo-riemanniana (·,·) induzida por uma forma quadr´atica Q. Sejam as imers˜oes isom´etricas f :M M e g :N N, onde a m´etrica

induzida porf emM ´e riemanniana e Q(η,η)<0,ηχ(M)⊥, (ou seja, o ´ındice deQ´e igual

a codimens˜ao def). Considerando emM ×N e em M ×N as m´etricas produtos, teremos que a imers˜ao

f×g:M×N M×N

tamb´em ´e isom´etrica.

Denotemos por M,N e N as conex˜oes riemannianas de M,N e N, respectivamente, e por M a conex˜ao pseudo-riemmaniana deM. Assim a conex˜ao riemanniana deM ×N e a

conex˜ao pseudo-riemmaniana de M×N s˜ao tais que

∇M×N

X Y =∇MXMYM +∇

N XNYN

e

∇MU×NV =∇MUMVM+∇NUNVN.

Sendo X = (XM,XN) e Y = (YM,YN) campos de vetores tangentes a M ×N, U =

(UM,UN) e V = (VM,VN) campos de vetores tangentes a M ×N,XM,YM ∈χ(M),XN,YN ∈

χ(N),UM,VM χ(M) eUN,VN χ(N).

SejamBf eBgas segundas formas fundamentais def eg, respectivamente. Paraη ∈χ(M)⊥

e µ χ(N)⊥, consideremos os operadores de forma Af

η : T M → T M e Agµ : T N → T N,

associados aBf eBg, respectivamente. Para ue vtangentes a M ew,z tangentes aN, temos:

(28)

A segunda forma da imers˜ao produtof×g, denotada por Bf×g, ´e dada por

Bf×g(X,Y) = (Bf(XM,YM),Bg(XN,YN)) .

Seja N = (η,µ) em M ×N normal a M×N, com η em M normal a M,µ em N normal

a N, (η,η) +|µ|2 = 1 e (η,η) = ρ2,ρ > 0. Vamos encontrar o operador de forma AfN×g

associado af ×g. Sabemos que

AfN×gX,Y =ANf×g(XM,XN), (YM,YN)

=Bf×g((XM,XN), (YM,YN)),N

= (Bf(XM,YM),Bg(XN,YN)), (η,µ)

=Bf(XM,YM),η +Bg(XN,YN),µ

=ρ·Afη ρ

XM,YM +|µ|Agµ

|µ|XN,YN

= ρAfη ρ

XM +|µ|Agµ

|µ|

XN,Y .

Dessa forma, para a imers˜ao produtof ×g o operador de forma na dire¸c˜ao normal N ´e

AfN×gX = ρAfη ρ

XM +|µ|Agµ

|µ|

XN

=

ρ·Afη ρ ◦

πM+|µ|Agµ

|µ| ◦

πN

·X, (3.1)

ondeπM ´e a proje¸c˜ao sobreM e πN ´e a proje¸c˜ao sobreN.

Vejamos agora o caso em que f e g s˜ao as inclus˜oes canˆonicas Hk−1

r12

⊂ Lk+1 e Sn−k(r

2) ⊂

Rn−k+1, ou seja,

f :Hk−1

r12

֒ Lk+1;f(p) =p g:Sn−k(r

2) ֒→ Rn−k+1;g(q) =q

Observe que f ´e isometria porque, pelo cap´ıtulo 2, a m´etrica induzida emHk−1

r2

por Lk+1 ´e Riemmaniana.

Consideremos o produto dessas imers˜oes

f ×g:Hk−1

r21

×Sn−k(r2)֒→Ln+2.

Sejam p Hk−1

r21

e q Sn−k(r2), isto ´e, (p,p) = −r21 e |q|2 = r22. Assim, (p,q) ∈ Hk−1

r21

×

Sn−k(r

2) e ((p,q), (p,q)) = (p,p)+|q|2 =−r21+r22. Se−r12+r22 = 1 er =r1teremosr2 =√1 +r2.

Neste caso os pontos (p,q) de Hk−1

r2 ×

Sn−k(√1 +r2) estar˜ao no espa¸co de De Sitter

Sn1+1 ={(p,q)Ln+2; ((p,q), (p,q)) = 1}. Consideremos, agora, a hipersuperf´ıcie

ϕ=f×g:Hk−1 2 ×

(29)

Nosso objetivo, a partir de agora, ´e encontrar as curvaturas principais deϕ, que denotaremos

por λ1,. . .,λn. Para as inclus˜oes Hk−1

r2 f

֒ Lk+1,Sn−k(1 +r2) ֒g Rn−k+1 e Sn+1 1

i

֒ Ln+2, n´os temos os operadores de forma associados Afη˜ = 1

rId, A

g

˜

µ =

1

1 +r2Id e A

i

Γ = Id, com

˜

η(p) = −p

r , ˜µ(q) =

−q

1 +r2 e Γ(p,q) = (p,q). Observe que Γ(p,q) = (p,q) ´e normal a S

n+1 1

e a Hk−1

r2

×Sn−k(√1 +r2). Precisamos de um campo N(p,q) = (ap,bq), unit´ario, normal a

Hk−1

r2 ×

Sn−k(√1 +r2) e tangente a Sn+1

1 , ou seja, que cumpra as seguintes condi¸c˜oes:

(i) ((ap,bq), (p,q)) = 0, isto ´e,a(p,p) +b|q|2 = 0;

(ii)a2(p,p) +b2|q|2=1.

De (i), temos ar2+b(1 +r2) = 0, o que implica b=

!

r2

1 +r2

"

a.

De (ii), temos a2r2+b2(1 +r2) =1, isto ´e,a2+b2

!

1 +r2 r2

"

= −1

r2 . Assim,

a2 = 1 +r

2

r2 .

Portanto, podemos escolher

a=

1 +r2

r

e

b= r 1 +r2.

Logo, o vetor normal ´e dado por

N(p,q) =

!

− √

1 +r2

r ·p,− r

1 +r2 ·q

"

.

Considerando os valores deη =

1 +r2

r ·p e o deµ=− r

1 +r2 ·q, obtemos

# #

(η,η) = 1 +r

2

r2 (p,p) =

1 +r2

r2 ·(−r

2) =(1 +r2) =ρ2

| = √ r

1 +r2 · 1 +r 2=r.

Aplicando-se em 3.1 os dois ´ultimos resultados, temos

AN = 1 +r2·Af−p r ◦

πM +r·Ag−q

1+r2

◦πN

Assim, # #

AN(XM, 0) =

1 +r2·Af

−p r

XM =

1 +r2

r XM AN(0,XN) = r·Ag −q

1+r2

XN =

r

1 +r2XN

(30)

Tomando-se uma base ortonormal de vetores {(e1, 0),. . ., (ek, 0), (0,hk+1),. . ., (0,hn)}, em que

{ei}diagonalizaAfη˜ e{hi}diagonalizaAgµ˜ e considerando que senh (t) =re cosh (t) =

1 +r2,

temos que as curvaturas principais do produtoHk−1

r2

×Sn−k(√1 +r2) s˜ao

λ1=. . .=λk=

1 +r2

r = coth(t)

e

λk+1=. . .=λn= √ r

1 +r2 = tght.

Portanto a curvatura m´ediaH de ϕ´e dada por

H= 1

n

$

k·

1 +r2

r + (n−k)· r

1 +r2

%

= k+nr

2

nr√1 +r2.

Escreveremos |A|2 em fun¸c˜ao da tgh (t) e da coth(t). Multiplicando-se ambos os membros da

igualdade

n·H =k·

1 +r2

r + (n−k)· r

1 +r2

por coth(t), obtemos a equa¸c˜ao

kcoth2(t)nHcoth(t) +nk= 0,

cujas ra´ızes s˜ao

coth(t) = nH± n

2H24k(nk)

2k ,

desde quen2H24k(nk)>0.

Portanto,

S = |A|2 =

n

1

λ2i =k·coth2(t) + (nk)· tgh2(t)

= (nk) 4k

2

(nH ± n2H24k(nk))2 +k·

(nH± n2H24k(nk))2

4k2 .

Utilizando o operadorφ=AHI e os resultados anteriores, temos que

|2 =|A|2nH2= k(n−k)

n (coth(t)− tgh (t))

2.

Substituindo-se tgh (t) = nH−kcotht

nk na express˜ao anterior, obtemos

|2 =|A|2nH2= k(n−k)

n coth(t)−

nHkcotht nk

2

= k

n(nk)[n(coth(t)−H)]

2.

Uma vez que coth(t) = nH ± n

2H24k(nk)

2k , teremos que

|2 = k

n(nk)

& 'n

nH± n2H24k(nk)

2k −H

( )

2

= n

4k(nk)

*

(n2k)H± n2H24k(nk)

+

2

(31)

Logo,

|2 =

n

2√k√nk

, ,

,(n−2k)H± n

2H24k(nk)

, , ,.

Quandok= 1,

|2 =

n

2√n1

, ,

,(n−2)H± n

2H24(n1)

, , ,

e a hipersuperf´ıcieH1−1

r2

×Sn−1(√1 +r2) ´e denominada Cilindro Hiperb´olico.

(32)

Cap´ıtulo 4

As Hipersuperf´ıcies Rotacionais

Neste cap´ıtulo, descreveremos uma fam´ılia de hipersuperf´ıcies completas em Sn1+1 com cur-vatura m´edia constante H 2

n1

n e sup|φ|

2 = B, para cada B

max

0,BH

,BH+

conforme o teorema 1.3. Tais hipersuperf´ıcies s˜ao chamadas de rotacionais e faremos, a seguir, uma breve discuss˜ao das mesmas baseando-se no artigo de M. do Carmo e M. Dajczer [5].

Sabemos que uma transforma¸c˜ao ortogonal em Ln+2 ´e uma aplica¸c˜ao linear que preserva a m´etrica. Estas transforma¸c˜oes ortogonais induzem todas as isometrias deSn1+1.

SejaPkum subespa¸co vetorial de dimens˜aokdoLn+2. Pk´e dito lorentziano (resp. rieman-niano, degenerado) se a restri¸c˜ao da m´etrica aPk´e uma m´etrica lorentziana (resp. riemanniana, degenerada). Denotaremos por O(Pk) o conjunto das transforma¸c˜oes ortogonais de Ln+2 com

determinante positivo que deixamPk fixado.

4.1 Definic¸˜ao. Escolha P2, P3 tais que P2 P3 e C uma curva regular tipo espa¸co em

Sn1+1(P3P2). A ´orbita deCsobO(P2)´e chamada a hipersuperf´ıcie rotacional esf´erica (resp. hiperb´olica, parab´olica)M emSn1+1 gerada porC, quandoP2´e Lorentziano (resp. Riemanniano, degenerado).

Neste trabalho, precisaremos apenas do caso esf´erico. Pela m´etrica de Lorentz em Ln+2, a base canˆonica e0,. . .,en,en+1 satisfaz

ei,ej =ǫiδij,

ondeǫ0 =−1 e, do contr´ario,ǫi = 1. TomeP2 o plano gerado pore0 ee1 e P3 gerado pore0,e1

e e2. Seja (y0(s),y1(s),y(s)) a parametriza¸c˜ao pelo comprimento de arco da curvaC. A partir

dessas escolhas, podemos tomar uma parametriza¸c˜ao de uma hipersuperf´ıcie rotacional M por

f(s,u1,. . .,un−1) = (y0(s),y1(s),y(s)Φ(u1,. . .,un−1)) ,

de acordo com M. do Carmo e M. Dajczer [5]. Aqui Φ(u1,. . .,un−1) = (Φ1,. . ., Φn) ´e uma

(33)

vez que a curvaCpertence aSn1+1e o parˆametrosrepresenta o seu comprimento do arco teremos

−y02(s) +y12(s) +y2(s) = 1

e

−y′2

0(s) +y′12(s) +y′2(s) = 1

e, portanto, as fun¸c˜oesy0(s),y1(s) podem ser calculadas em termos dey(s) atrav´es das rela¸c˜oes

y0 = y2−1 coshϕ

e

y1 = y2−1 senhϕ,

paray >1.

Derivando as express˜oes anteriores com rela¸c˜ao `a s, teremos

y′

0=

yy′

y21 coshϕ+ y

21 senhϕϕ

e

y′1= yy′

y21 senhϕ+ y

21 coshϕϕ

e, portanto,y′2

1 −y0′2 =−

y2y′2

y21 + (y

21)ϕ′2.

Assim, ϕ(s) fica determinada por

1 =y′2

0(s) +y1′2(s) +y′2(s) =−

y2y′2

y21 + (y

21)ϕ′2+y′2 ϕ= y′2+y2−1

y21 ,

ou seja,

ϕ(s) =

-s

0

y′2+y21

y21 ds.

O caso 0 < y < 1 pode ser tratado de forma similar, mas n˜ao o usaremos no nosso trabalho. Usamos a parametriza¸c˜ao acima para calcular as curvaturas principais deM as quais s˜ao dadas por

ki =

y′2+y21

y

e

kn=

y′′+y

y′2+y21,

com i= 1,. . .,n1.

Desta forma, temos que a curvatura m´edia de M ´e dada por

nH =

n

i=1

ki = (n−1)

y′2+y21

y +

y′′+y

y′2+y21. (4.1)

(34)

4.2 Lema. SendoH constante, uma integral primeira da equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem 4.1 ´e dada por

y′2 = 1y2+ a

yn−1 +Hy

2

, com a constante. (4.2)

Prova. Pondo v= y′2+y21 temos

vv′ =y′(y+y′′)v′= y′(y+y′′)

v . (4.3)

Da equa¸c˜ao 4.1, conclu´ımos que

y′′+y

v =nH −(n−1) v y

e substituindo este resultado na equa¸c˜ao 4.3 obtemos

v′ = y′

y [nyH−(n−1)v] .

Pondo f =vHy, temos que f′ =vHy. Como H ´e constante, o resultado acima implica

que

f′y=v′yHyy′ = (n1)y′(yHv) =(n1)f y′.

Assim,

f′

f =−(n−1) y′

y ⇒(lnf)

=(n1)(lny)lnf =(n1)lny+ lnaf = a

yn−1,

ondea´e uma constante. Segue quev2 = (f +Hy)2 =y′2+y21 o que nos d´a a equa¸c˜ao 4.2.

Escrevendo a integral primeira como

G(y,y′) =yn−1( y′2+y21Hy) =a0

vemos que que as curvas de n´ıvel deGest˜ao associadas `as hipersuperf´ıcies rotacionais tipo espa¸co. Para nossas finalidades, ´e suficiente analisar as curvas de n´ıvel deG contidas no conjunto

(y,y′)/y >0,y′2+y210,G(y,y′)0

.

Estudaremos a seguir os pontos cr´ıticos deG.

4.3 Lema. Seja H0 e G(y,y′) =yn−1( y2+y21Hy). Ent˜ao: 1. Se 0H < 2

n1

n , G n˜ao tem pontos cr´ıticos.

2. Se H= 2

n1

n , G tem apenas um ponto cr´ıtico do tipo degenerado.

3. Se 2

n1

(35)

4. Se H1, G tem apenas um ponto cr´ıtico.

Prova. Os pontos cr´ıticos de Gao longo dos eixosy′ ey s˜ao tais que

∂G

∂y = (n−1)y

n−2

y′2+y21Hy

+yn−1

1 2 ·

2y

y′2+y21 −H

= 0

e

∂G ∂y′ =y

n−1 y′

y′2+y21 = 0.

Da segunda equa¸c˜ao, temos que y′ = 0 e substituindo na primeira, temos que os pontos

cr´ıticos deG satisfazem a equa¸c˜ao

y2nHy y21 + (n1)(y21) = 0.

Fazendo a substitui¸c˜aoy = cosh (r) e dividindo a express˜ao resultante por senh2(r), obtemos

coth2(r)nHcoth(r) + (n1) = 0.

Resolvendo a equa¸c˜ao para coth(r), temos

coth(r) = nH± n

2H24(n1)

2 .

Comoy= cosh (r) = coth(r)

coth2(r)1 podemos substituir a express˜ao para coth(r) nesta ´ultima equa¸c˜ao obtendo, finalmente, que

y= nH ± n

2H24(n1)

.

nH ± n2H24(n1)

2

−4 .

O lema segue, ent˜ao, diretamente dessa ´ultima equa¸c˜ao.

Observe que esses pontos cr´ıticos correspondem exatamente aos cilindros hiperb´olicos.

Tomandoy = cosh (r) vemos, facilmente, que as curvaturas principais desses cilindros s˜ao

ki=

y21

y =

1 cothr =

2

nH ± n2H24(n1),

parai= 1,. . .,n1, e

kn=

y

y21 = coth(r) =

nH ± n2H24(n1)

2 .

Conforme resultados do cap´ıtulo 3, |φ|2 ´e dada por

|2 = n 4(n1)

*

(n2)H± n2H24(n1)

+

2

.

A natureza dos pontos cr´ıticos pode ser determinada por uma an´alise da Hessiana de G. Um

c´alculo direto, mostra que, seH = 2

n1

n , o ´unico ponto cr´ıtico de G´e do tipo degenerado.

Um outro c´alculo direto, por´em mais extenso e uma subseq¨uente an´alise da Hessiana mostra, tamb´em, que:

(36)

1. Quando 2

n1

n < H <1, o ponto cr´ıtico com menor coordenada y´e um ponto de sela,

enquanto o outro ´e um centro. A express˜ao paray mostra que o centro tende para infinito

quandoH1.

2. Se H1, temos apenas um ponto cr´ıtico do tipo sela.

A figura seguinte mostra as curvas de n´ıvel deGparaH 2

n1

n com as indica¸c˜oes dos

respectivos pontos cr´ıticos ao longo do eixo y.

No cap´ıtulo seguinte usaremos alguns desses resultados sobre as hipersuperf´ıcies rotacionais

tipo espa¸co para a prova do teorema 1.3.

c

-1 0 1

d

-1 0 1

a

-1 0 1

b

(37)

Cap´ıtulo 5

Demonstra¸

oes dos Resultados

Tendo visto os conceitos mais importantes necess´arios `as demonstra¸c˜oes dos resultados do nosso trabalho, estamos prontos para desenvolvˆe-las.

Para a demonstra¸c˜ao do teorema 1.2, usaremos alguns resultados. O primeiro ´e um lema cuja prova se deve a M. Okumura [13] e fornece uma estimativa para trφ3, ondeφ=AHI e

A´e o operador de forma associado `a segunda forma fundamental de M.

5.1 Lema. Sejam µi, i = 1, 2, 3,. . .,n, n´umeros reais tais que

i

µi = 0 e

i

µ2i = β2 0. Ent˜ao,

− n−2

n(n1)β

3

i

µ3i n−2 n(n1)β

3

e a igualdade ´e v´alida se, e somente se, (n1) dos n´umeros µi s˜ao iguais a

β

n(n1) e

µ1=−

/

n1

n β ou (n−1) dos n´umeros µi s˜ao iguais a − β

n(n1) eµ1 =

/

n1

n β.

Prova. Se β2 = 0, n˜ao temos o que provar. Suponha ent˜ao β2 = 0. Usaremos o m´etodo

dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos cr´ıticos de g : Rn R dada por

g(µ1,. . .,µn) =

i

µ3i, submetida `as condi¸c˜oes

i

µi = 0 e

i

µ2i =β2. Sendo ϕ1(µ1,. . .,µn) =

i

µi= 0 e ϕ2(µ1,. . .,µn) =

i

µ2i =β2 temos,

∇g= 3αϕ1+

3 2λ∇ϕ2,

ou seja,

(3µ21,. . ., 3µ2n) = (3α,. . ., 3α) + (3λµ1,. . ., 3λµn) .

Segue que os pontos cr´ıticos de g s˜ao dados pelos valores de µi que satisfazem `a equa¸c˜ao

quadr´atica

Figure

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