Ricardo Luiz Queiroz Freitas

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´ atica

  

Curso de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espac ¸o com Curvatura

M´ edia Constante no Espac ¸o de De Sitter

Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  Salvador-Bahia

  

Mar¸ co / 2008 Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espac ¸o com Curvatura M´ edia Constante no Espac ¸o DE SITTER

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao cole- giado do curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´ atica em 14 de mar¸co de 2008.

  Banca examinadora

  Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador) Prof. Dr. ´ Ezio de Ara´ ujo Costa Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros Freitas, R.

  ¸o com Curvatura M´ edia Cons- “Hipersuperf´ıcies Completas tipo Espac tante no Espac ¸o DE SITTER ” / Ricardo Luiz Queiroz Freitas. Salvador-Ba, 2008.

  Orientador: Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (UFBA). Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´ os-gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFBA, 39 p´ aginas.

  Palavras-Chave: Espa¸co de De Sitter, Hipersuperf´ıcies, Curvatura m´edia cons- tante.

  A Deus, a meus pais, irm˜ aos e amigos.

  “Na vida, n˜ ao vale tanto o que temos nem tanto im-

  

porta o que somos. Vale o que realizamos com aquilo que

possu´ımos e, acima de tudo, importa o que fazemos de n´ os”.

  Cˆ andido Xavier. Agradecimentos

  A todos os professores respons´aveis por esta vit´oria e em especial, aos professores: Enaldo Silva Vergasta, Marco Antˆ onio Nogueira Fernandes, Isaac Costa L´azaro, Carlos Eduardo Nogueira Bahiano, David Arneson Hill, Augusto Armando de Castro J´ unior, todos da Universidade Fed- eral da Bahia.

  A todos os amigos e colegas que torceram por mim e que de alguma forma contribu´ıram para essa minha vit´ oria, especialmente aos colegas Elias, Eliseu, Mariana, Jarbas, Yuri, Kleyber e B´arbara e ao grande amigo Paulo Henrique.

  A meus pais e irm˜aos por toda a for¸ca nos momentos de dificuldades. Gostaria tamb´em de agradecer a todos os colegas e funcion´arios do Instituto de Matem´ atica e aos professores: ´ Ezio de Ara´ ujo Costa e Abdˆenago Alves de Barros, os quais compuseram a banca examinadora e que verificaram com tanto zelo esta disserta¸c˜ao. Um agradecimento especial ao Professor Jos´e Nelson Barbosa pela orienta¸c˜ao no desenvolvimento e pelo tema escolhido para esta disserta¸c˜ao. Resumo n

  Seja M uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante H no

  n+1

  espa¸co de Sitter S

  1 . Usaremos o operador φ = A − HI, onde A ´e o tensor de Weingarten

  associado `a segunda forma fundamental de M , e as ra´ızes B de um certo polinˆ omio

  H ≤ B H 2 −

  2

  de grau dois, para mostrar que ou |φ| ≡ 0 e M ´e totalmente umb´ılica, ou B ≤ sup |φ| ≤

  H

  √

  2

  • n − 1 B mostramos os seguintes resultados: para cada n´ umero B . Para o caso H ≥

  H

  n

  no intervalo existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura max{0, B }, B

  H H

  2 2 −

  m´edia constante tal que = B; se = B ´e atingido em algum ponto, ent˜ ao a sup |φ| sup |φ| H hipersuperf´ıcie M correspondente ´e um cilindro hiperb´ olico. vii

  Sum´ ario

  Resumo vii

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares

  5

  n

  2 O Modelo do Hiperbol´ oide n-dimensional H −1 para o Espa¸ co Hiperb´ olico r2

  15 √

  k

  2 n−k

  3 O Produto H ( 1 + r ) −1 × S 19 r2

  4 As Hipersuperf´ıcies Rotacionais

  24

  5 Demonstra¸ c˜ oes dos Resultados

  29 viii Introdu¸ c˜ ao n+2

  Seja L o espa¸co euclidiano (n + 2)-dimensional com a m´etrica de Lorentz ( , ) dada por q + p q + . . . + p q .

  

1

1 n+1 n+1

  (p, q) = −p Definimos o Espa¸co de De Sitter por

  n+1 n+2

  S = {p ∈ L ; (p, p) = 1}.

  1 n+1

  Dessa forma, S ´e uma variedade de Lorentz com curvatura seccional constante igual a 1.

  1 n+1 n n

  Uma hipersuperf´ıcie M imersa em S ´e dita tipo espa¸co se a m´etrica induzida em M pela

  1 n+1

  imers˜ao em S ´e riemanniana.

1 O estudo desses tipos de hipersuperf´ıcies foi inspirado, em particular, por uma conjectura

  apresentada por A. J. Goddard [7] afirmando que toda hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com

  n+1

  curvatura m´edia constante em S deve ser totalmente umb´ılica. O primeiro resultado nesta

  1

  dire¸c˜ao foi obtido por J. Ramanathan [15] em 1987. Ele mostrou que se a curvatura m´edia

  3

  2 H de uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa em S ´e constante e satisfaz H < 1, ent˜ ao a

  1

  hipersuperf´ıcie ´e totalmente umb´ılica. Independentemente, e ainda em 1987, K. Akutagawa [1] 4(n − 1)

  2

  provou a conjectura de Goddard para o caso H < , com n ≥ 2. Por outro lado, S.

  2

  n Montiel [10] provou a conjectura para o caso compacto. Esses resultados levaram `a conclus˜ao de que a conjectura geral era falsa, como mostrado pela existˆencia dos ent˜ao chamados cilindros

  1

  hiperb´ olicos, os quais s˜ ao completos, n˜ao umb´ılicos e isom´etricos a um produto H ( senh t) ×

  n−1

  S ( cosh t) de um ramo hiperb´ olico com uma esfera (n − 1)-dimensional. Esses cilindros ser˜ao definidos e descritos neste trabalho.

  Nos restringiremos `as hipersuperf´ıcies tipo espa¸co completas com curvatura m´edia constante n˜ ao nula porque as hipersuperf´ıcies m´aximas (H = 0) no Espa¸co de De Sitter s˜ao totalmente geod´esicas.

  

n

  Dada uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co M com curvatura m´edia constante H, para cada

  n

  , definimos φ : T M por

  p p

  p ∈ M M → T φX, Y = AX, Y − H X, Y , em que A ´e o operador associado `a segunda forma fundamental de M . Observe que φ = A − HI

  2 I

  φ · φ∗ = (A − HI)(A ∗ −HI) = AA ∗ −2HAI + H

  

2

  2

  2

  2

  2

  tr(φφ∗) = tr(AA∗) − 2H tr(A) + nH = tr(AA∗) − nH = |A| − nH = |φ|

  1

  2

  2

  = (k i j ) , onde os n´ umeros k i , Verifica-se, facilmente, que tr(φ) = 0 e que |φ| − k

  2n

  i,j

  2

  = 0 se, e somente se, M ´e totalmente i = 1, ..., n, s˜ao os autovalores de A. Dessa forma, |φ| umb´ılica.

  O operador φ mostrou-se ´ util no estudo das hipersuperf´ıcies com curvatura m´edia constante no ambiente riemanniano. Por exemplo, H. Alencar e M. do Carmo [2] provaram um “teorema de gap” para hipersuperf´ıcies compactas com curvatura m´edia constante na esfera euclidiana

  n+1 2 unit´ aria S , caracterizando o H(r)-toro por uma condi¸c˜ .

  ao sobre |φ|

  n

  1.1 Teorema (Alencar, do Carmo). Seja M uma hipersuperf´ıcie compacta e orient´ avel imersa

  n+1

  2 em S

  H com curvatura m´edia constante H > 0. Suponha que |φ| ≤ B para cada p ∈ M, onde B ´e o quadrado da raiz positiva do polinˆ omio

  H 2 n(n − 2)H 2 + P (x) = x + 1). H

  x − n(H n(n − 1)

  2 2 n Ent˜ e M ´e isom´etrico ao H(r)-toro

  H ao, |φ| ≡ 0 e M ´e totalmente umb´ılica ou |φ| ≡ B

  √

  1 2 n − 1 n−1

2 S ( ), onde r < .

  (r) × S 1 − r n U. H. Ki, H. J. Kim e H. Nakagawa [8] usaram uma vers˜ ao de Lorentz do polinˆ omio P

  H

  para encontrar um limite superior para |φ|. Eles mostraram que uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co √

  2

  n+1 n − 1

  completa em S

  1 com curvatura m´edia constante H ≥ e |φ| constante e igual a este

  n limite superior ´e um Cilindro Hiperb´ olico. Nesta disserta¸c˜ao apresentaremos os teoremas contidos no artigo de A. Brasil, G. Colares e O. Palmas [3], intitulado “complete spacelike hypersurfaces with constant mean curvature in the de Sitter space: a gap theorem”, que estendem alguns resultados mencionados acima. No primeiro teorema, usa-se P

  H para obter uma estimativa para |φ|, com limites inferior e superior. n+1 n

  1.2 Teorema. Seja M uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa imersa em S

  , n ≥ 3, com

  1

  2 curvatura m´edia constante H &gt; 0. Ent˜

ao sup |φ| &lt; ∞ e

  (i) |φ| ≡ 0 e M ´e totalmente umb´ılica; ou

  2 − (ii)B , onde B s˜ ao as ra´ızes do polinˆ omio

  H ≤ sup |φ| ≤ B H H ≤ B H

2 n(n − 2)H

  2 P H (x) = x ).

  − x + n(1 − H n(n − 1)

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  √

  2 n − 1

  Verifica-se que P . Como uma conseq¨ uˆencia

  H

  tem ra´ızes reais se, e somente se, H ≥ n do Teorema 1.2, n˜ ao existe nenhuma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia

  √

  2 n − 1

  2 −

  tal que 0 &lt; &lt; B constante H ≥ sup |φ| . Diremos que para cada constante H ≥

  H

  n √

  2 n − 1 , existe uma lacuna entre uma hipersuperf´ıcie umb´ılica (|φ| ≡ 0) e uma hipersuperf´ıcie n

  √

  2 n − 1

  2 −

  com = B foi provado sup |φ| , com curvaturas m´edias H. O ”gap”para 0 ≤ H &lt;

  H

  n por Akutagawa [1], conforme citado anteriormente. √

  2 n − 1 tamb´em mostraremos que n˜ao existe ”gap”entre as ra´ızes de

  Para o caso H ≥ n

  P H , isto ´e, provaremos que para cada n´ umero B no intervalo existe uma max{0, B H }, B H

  2 hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia constante H tal que = B.

  sup |φ| Estes exemplos constituem uma classe de novas hipersuperf´ıcies de rota¸c˜ao com curvatura m´edia

  n+1

  constante em S . Mais precisamente, apresentaremos a prova do seguinte teorema:

  1

  √

  2 n − 1

  , sejam

  1.3 Teorema. Dado um inteiro n ≥ 3 e uma constante H tal que H ≥ n

  −

  • B as ra´ızes do polinˆ omio P . Ent˜ ao,

  H

  ≤ B

  H H

  

(i) Para qualquer valor B no intervalo existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co

  max{0, B H }, B H

  n+1 2 completa em S com curvatura m´edia constante H e = B.

  1

  sup |φ| √

  2 n − 1

  n+1 , existe uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa em S (ii) Se, al´em disso, H =

  1

  n

  • 2 com curvatura m´edia constante H e = B que n˜ ao ´e um Cilindro Hiperb´ olico.

  sup |φ| H Apresentaremos tamb´em o teorema abaixo que ´e uma generaliza¸c˜ao de um resultado provado

  √

  2 n − 1 por Montiel [11]. No trabalho de Montiel esse resultado ´e provado para o caso H = . n

  n n+1

  1.4 Teorema. Seja M uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa imersa em S

  1 , n ≥ 3, com

  √

  2 n − 1

  2 −

curvatura m´edia constante H de modo que = B . Este supremo

  ≤ H &lt; 1 e sup |φ|

  H

  n

  ´e atingido se, e somente se, M ´e isom´etrico ao Cilindro Hiperb´ olico

  1 n−1

  H ( cosh t).

  ( senh t) × S Nossos resultados podem ser interpretados graficamente pela figura seguinte, onde associ-

  n

  amos a cada hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa M com curvatura m´edia constante H, o par

  2

  de coordenadas H, no primeiro quadrante de um 2-plano. sup |φ|

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  2 n−

  1

  1 sup

  H S φ

  x (cylinders)

  • c empty new rotation hypersurfaces n−

  k k H S

  x

  n 1&lt;k&lt; 2 n−

  2 k n−

  k H S

  x

  n n &lt;k&lt;n−

  1

  2

  c−

  n− k n−

  2

  1

  1 H

  x S

  n

  umbilic

  1

  2 n− k

  2

  1 n H

  k(n− )

  hypersurfaces

  1&lt;k&lt; n n

  2 Nosso trabalho ´e constitu´ıdo de cinco cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1 trataremos de alguns con-

  ceitos b´asicos que ser˜ao utilizados nas demonstra¸c˜oes dos resultados principais. Analisaremos,

  n+1

  tamb´em os tensores curvatura e de Ricci para as hipersuperf´ıcies imersas em S , encontrando

  1

  um limite inferior para a curvatura de Ricci de M . Al´em disso, faremos uma demonstra¸c˜ao da F´ ormula de Simmons usando c´ alculo tensorial. Essa f´ ormula, que j´ a foi usada em diversos artigos, ´e de extrema importˆancia para as provas dos teoremas centrais do nosso trabalho.

  n

  No cap´ıtulo 2 faremos uma descri¸c˜ao do espa¸co H −1 o qual denotaremos como o modelo r2 do Hiperbol´ oide n-dimensional para o Espa¸co Hiperb´ olico. Veremos que este se constitui numa

  n+1 hipersuperf´ıcie do Espa¸co de Lorentz L .

  √

  n+1 k n−k

  2 Analisaremos, no cap´ıtulo 3, as hipersuperf´ıcies do tipo H −1 ( 1 + r , a r2

  × S ) ֒→ S

  1

  partir das quais definiremos o cilindro hiperb´ olico. Essas hipersuperf´ıcies aparecer˜ao em di- versos resultados do nosso trabalho e mostraremos que a curvatura m´edia e a segunda forma fundamental das mesmas s˜ao constantes.

  Finalmente, antes de demonstrarmos nossos resultados principais no cap´ıtulo 5, faremos, no cap´ıtulo 4, uma breve explana¸c˜ao das hipersuperf´ıcies rotacionais, que correspondem a uma √

  2

  n+1 n − 1

  fam´ılia de hipersuperf´ıcies completas em S e

  1 com curvatura m´edia constante H ≥

  n

  • +

    2 − max 0, B , B conforme teorema 1.3.

  sup |φ| = B para cada B ∈ H H

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Nesta se¸c˜ao abordaremos algumas defini¸c˜oes e resultados importantes que ser˜ao utilizados nas demonstra¸c˜oes dos teoremas contidos no nosso trabalho.

  n

  Seja M uma hipersuperf´ıcie completa tipo espa¸co de dimens˜ao n imersa no Espa¸co de De

  n+1

  Sitter de dimens˜ ao n + 1, que denotaremos por S . Representamos por B sua segunda forma

  1

  fundamental Y

  X X

  B(X, Y ) = ∇ Y − ∇

  n+1

  1

  e M , onde X, Y s˜ao campos de vetores em M , e ∇ e ∇ s˜ao as conex˜oes m´etricas de S

  respectivamente. Se N ´e um campo normal unit´ ario local em M , temos B(u, v) = − Au, v N onde u, v ∈ T M e A ´e o operador de forma associado `a segunda forma fundamental de M.

  , . . . , e M tal

  1 n p

  Como A ´e uma aplica¸c˜ao linear sim´etrica, existe uma base ortonormal {e } de T que Ae = k e , i = 1, . . . , n. Temos, por defini¸c˜ao, que a curvatura m´edia H de M ´e dada por

  i i i

  1 H = k .

  i

  n

i Primeiramente, vamos encontrar um limite inferior para a curvatura de Ricci.

  Seja a curvatura R de M dada por Z.

  X Y Y X [X,Y ]

  R(X, Y )Z = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇ Ent˜ ao a equa¸c˜ao de Gauss ser´a dada por

  R(u, v)w, z = − R(u, v)w, z − B(v, z), B(u, w) + B(u, z), B(v, w) ,

  n+1 .

  com u, v, w, z ∈ T M e R o tensor curvatura de S

  1 n+1

  tem curvatura seccional Observe que R(u, v)w, z = u, w v, z − u, z v, w pois S

  1

  constante igual a 1. Dessa forma, temos

  R(u, v)w, z = − ( u, w v, z − u, z v, w ) − − Av, z N, − Au, w N + − Au, z N, − Av, w N = − u, w v, z + v, w u, z + Au, w Av, z − Av, w Au, z

  (1.1) = − u, w v + v, w u + Au, w Av − Av, w Au, z que ´e o tensor curvatura de M .

  Usando a defini¸c˜ao de tensor de Ricci e o resultado obtido acima, teremos para x, y ∈ T M

  i

  e {e } um referencial ortonormal de T M Ric(x, y) = , x)y, e

  i i

  R(e

  i

  = , e , e

  i i i i i i i i

  ( x, y e − e , y x, e − Ax, y Ae + Ae , y Ax, e )

  i

  i i i i

  = n x, y − x, y − Ax, y Ae e , Ay Ax, e

  • , e

  i i

  = n x, y − x, y − Ax, y trA + Ax, Ay

  2 = (n − 1) x, y − nH Ax, y + A x, y .

  Calculando a curvatura de Ricci de M na dire¸c˜ao de um vetor e

  i i

  de uma base ortonormal {e } de T M obtemos

  p

  2 Ric(e , e , e e , e i i i i i i i

  ) = (n − 1) e − nH Ae + A

  

2

  • k

  i

  = n − 1 − nHk i

  2

  2

  2

  2

  n H n H

  2

  • i

  = n − 1 + k − nHk −

  i

  4

  4

  2

  2

  2

  2

  2

  nH n H n H k ,

  i

  = n − 1 + − − ≥ n − 1 −

  2

  4

  4 ou seja,

  2

  2

  2

  2

  2

  nH n H n H Ric(e k

  i i

  ) ≥ n − 1 + − − ≥ n − 1 −

  2

  4

  4 Assim, temos que a curvatura de Ricci de M ´e limitada inferiormente, uma vez que a mesma n˜ ao depende da base ortonormal escolhida.

  Apresentaremos, agora, uma demonstra¸c˜ao da f´ ormula de Simmons utilizando ferramentas do c´alculo tensorial. Essa f´ ormula j´ a foi usada em diversos artigos e ser´a fundamental para as demonstra¸c˜oes dos resultados principais deste trabalho. Vejamos, antes, algumas defini¸c˜oes e proposi¸c˜oes.

  n n+1 n+1 ¸˜ ao.

  1.1 Definic Sejam f : M uma hipersuperf´ıcie onde Q tem curvatura seccional → Q c c

  

constante c e A : T M → T M o tensor de Weingarten. Definimos a derivada covariante de A,

como sendo a aplica¸c˜ ao ∇A dada por

  ∇A : T M × T M → T M Y ) .

  X X

  ∇A(X, Y ) = ∇ AY − A (∇

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  1.2 Proposic ¸˜ ao. A aplica¸c˜

  ao ∇A ´e bilinear, isto ´e, para todo X, Y , Z ∈ T M e para todo

  (M ), f ∈ C

  (i) ∇A(X + f Y , Z) = ∇A(X, Z) + f∇A(Y , Z) (ii) ∇A(X, Y + f Z) = ∇A(X, Y ) + f∇A(X, Z).

  Prova. (i): Z)

  X+f Y X+f Y

  ∇A(X + f Y , Z) = ∇ AZ − A (∇ Z

  

X Y

  X Y

  = ∇ AZ + f ∇ AZ − A∇ Z − f A∇ = ∇A(X, Z) + f∇A(Y , Z)

  (ii): (Y + f Z))

  X X

  ∇A(X, Y + f Z) = ∇ A(Y + f Z) − A (∇ f Z)

  X X

  X X

  = ∇ AY + ∇ f AZ − A (∇ Y ) − A (∇

  

X

X

  = ∇A(X, Y ) + f∇ AZ + X(f )AZ − Af∇ Z − AX(f)Z Z)

  

X

X

  = ∇A(X, Y ) + f∇ AZ − A (f∇

  X X

  = ∇A(X, Y ) + f {∇ AZ − A (∇ Z)} = ∇A(X, Y ) + f∇A(X, Z)

  1.3 Proposic ¸˜ ao. A aplica¸c˜

  ao ∇A ´e sim´etrica, isto ´e, ∇A(X, Y ) = ∇A(Y , X), para todo X, Y ∈ T M. n+1

  Prova. Como Q tem curvatura seccional constante e f tem codimens˜ao 1, a equa¸c˜ao

  c

  de Codazzi de f se reduz a X) ,

  X Y

  X Y

  ∇ (AY ) − ∇ (AX) = A ([X, Y ]) = A (∇ Y ) − A (∇ Logo

  X,

  X X Y Y

  ∇ (AY ) − A∇ Y = ∇ AX − A∇ provando assim a proposi¸c˜ao.

  1.4 Definic ¸˜ ao. A segunda derivada covariante de A ´e definida como sendo a aplica¸c˜ ao

  2

  ∇ A : T M × T M × T M → T M

2 A(X, Y , Z) =

  Z)

  X X

  X

  ∇ ∇ (∇A(Y , Z)) − ∇A (∇ Y , Z) − ∇A (Y , ∇

  2

  2

  2

  1.5 Proposic ¸˜ ao. A aplica¸c˜

  ao ∇ A satisfaz ∇ A(X, Y , Z) = ∇ A(X, Z, Y ), para todo X, Y , Z ∈ T M .

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  Prova. Segue da proposi¸c˜ao 1.3.

  2

  

2

  2

  1.6 Proposic ¸˜ ao. A aplica¸c˜

  ao ∇ A satisfaz ∇ A(X, Y , Z) = ∇ A(Y , X, Z) + R(X, Y )(AZ) − A (R(X, Y )Z), para todo X, Y , Z ∈ T M.

  Prova. Temos que

2 Z)

  X X

  X

  ∇ A(X, Y , Z) = ∇ (∇A(Y , Z)) − ∇A (∇ Y , Z) − ∇A (Y , ∇

  X Y

  X Y Y Y Z) X X

  = ∇ ∇ AZ − ∇ A (∇ Z) − ∇ ∇ AZ + A (∇ ∇ Z)

  Y

  

X Y

  X

  −∇ A (∇ Z) + A (∇ ∇ e

  2 AZ Y

  X Y

  X X

  ∇ A(Y , X, Z) = ∇ ∇ AZ − ∇ A (∇ Z) − ∇ Y

  ∇ Y Z) .

  X X Y

  X Y

  • A (∇ ∇ Z) − ∇ A (∇ Z) + A (∇ ∇ Assim, usando a f´ ormula (1.1) do tensor curvatura de M conclui-se que

  2

  2

  ∇ A(X, Y , Z) − ∇ A(Y , X, Z) = R(X, Y )(AZ) − A (R(X, Y )Z) 1.7 Definic ¸˜ ao.

  Dado um tensor sim´etrico ϕ : T M × T M → T M, definimos o tra¸co de ϕ como sendo o campo tr ϕ dado por n

  tr ϕ = ϕ(E , E ),

  i i i=1

  , . . . , E

  i n onde {E } ´e um referencial ortonormal.

  1.8 Observa¸c˜ao. Da teoria da ´ Algebra Linear, podemos concluir que a defini¸c˜ ao anterior inde- pende do referencial ortonormal escolhido.

  ¸˜ ao.

1.9 Proposic Nas condi¸c˜ oes anteriores tr(∇A) = grad(tr A).

  , . . . , E = λ E .

  1 n i i i

  Prova. Escolha {E } referencial principal, isto ´e, A · E

  E

  i i Y i i i Y i

  (1) grad(tr A), Y = Y (tr A) = Y AE ∇ AE , ∇ , para

  • , E = AE , E

  i i i todo Y ∈ T M.

  (2) ∇A(X, Y ), Z n˜ao muda com as permuta¸c˜oes de X, Y e Z.

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  De fato, ∇A e , s˜ao sim´etricos e

  X X

  ∇A(X, Y ), Z = ∇ AY − A (∇ Y ) , Z

  X X

  = ∇ AY , Z − A (∇ Y ) , Z

  X X

  = X AY , Z − AY , ∇ Z − ∇ Y , AZ

  X X

  = X Y , AZ − Y , A (∇ Z) − ∇ Y , AZ

  X X

  = X Y , AZ − Y , A (∇ Z) − {X Y , AZ − Y , ∇ AZ }

  X X

  = Y , ∇ AZ − Y , A (∇ Z) = Y , ∇A(X, Z) = ∇A(X, Z), Y .

  (3) Como ∇A(X, Y ), Z n˜ao muda com as permuta¸c˜oes de X, Y e Z, temos para todo Y , que , E ), Y

  i i

  tr(∇A), Y = ∇A(E

  i

  = , E

  i i

  ∇A(E ), Y

  i

  = i ), E i ∇A(Y , E

  i

  = AE E ) , E

  Y i Y i i

  ∇ − A (∇

  i

  = AE , E E

  Y i i i Y i ∇ − AE , ∇ . i i

  (4) Temos ainda que

  1

i Y E i i E i Y E i i i Y E i i i , E i AE , ∇ = λ , ∇ = λ E , ∇ = λ · · Y E = 0.

  2 Logo de (1), (2), (3) e (4) segue que tr(∇A) = grad(tr A).

  1.10 Definic ¸˜ ao. como

  X Seja X ∈ T M. Definimos o tensor Γ

  Γ

  X

  : T M × T M → T M

  2 Γ (Y , Z) = A(X, Y , Z).

  X

  ∇ Pela proposi¸c˜ao 1.5 temos que Γ ´e sim´etrico.

  X

  1.11 Proposic ¸˜ ao. grad H, onde H ´e a curvatura m´edia de

  X X Para cada X ∈ T M, tr Γ = n∇ n n+1 f : M . c

  → Q

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  Prova. Escolha {E

  1

  , . . . , E

  n

  } um referencial geod´esico em p ∈ M, isto ´e, um referencial ortonormal que satisfaz (∇

  E i

  E

  j

  ) (p) = 0 com i, j = 1, . . . , n. Assim, tr Γ

2 A(X, E i , E i )

  ∇

  (p) = 0 e, portanto, ∇A (∇

  i

  (p) = 0, segue que ∇A ∇

  

E j

  E

  i

  , E

  i

  X E i

  E j

  , E

  i

  ) (p) =

  0. Logo, tr Γ

  X

  (p) = n (∇

  X grad H) (p). Como p ´e arbitr´ ario, temos o resultado desejado.

  1.12 Definic ¸˜ ao.

  E

  em p. Como ∇

  ∆A : T M → T M

  E j

  ∇A ∇

  E j

  E

  i

  , E

  i .

  Como ∇A ´e um tensor, temos que ∇A ∇

  E

  i

  i

  , E

  i

  (p) depende apenas dos valores de ∇

  E j

  E

  i

  e de E

  O Laplaciano de A ´e o 1-tensor dado por

  ∆A(X) = tr (Y , Z) → ∇

  x

  i

  ) + R(E

  i

  , X)AE

  i

  − AR(E

  i

  , X)E

  , para X ∈ T M. Como a curvatura m´edia H da imers˜ao ´e suposta constante, segue da proposi¸c˜ao 1.11 que

  , E

  i

  ∇

  2 A(X, E i

  , E

  i

  ) = n∇

  X grad H = 0.

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  i

  2 A(X, E i

  2 A(Y , Z, X) .

  , E

  Assim, se {E

  1

  , . . . , E

  n

  } ´e um referencial ortonormal, temos que ∆A(X) =

  i

  ∇

  2 A(E i

  i

  ∇

  , X) =

  i

  ∇

  2 A(E i

  , X, E

  i

  ) =

  i

  

j

  j

  =

  X E i

  , E

  i

  ) = ∇

  X

  (tr ∇A) − 2

  i

  ∇A (∇

  , E

  ∇A (∇

  i

  ) = ∇

  X

  (grad(tr A)) − 2

  i

  ∇A (∇

  X E i

  , E

  X E i

  i

  ) = n∇

  )) − 2

  i

  ∇

  X

  (∇A(E

  i

  , E

  

i

  i

  ) − 2

  ∇A (∇

  X E i

  , Ei) = ∇

  X i

  ∇A(E

  i

  , E

  

i

  i

  X

  =

  = ∇A

  j

  E

  j

  E

  i

  , E

  i

  j

  j

  x

  j

  ∇

  E j

  X = i

  i

  , E

  i

  x

  ) = ∇A ∇

  (grad H) − 2

  i ) = 0 em p.

  

i

  ∇A (∇

  X E i

  , E

  i ) .

  Vamos mostrar, agora, que ∇A (∇

  X E i

  , E

  Se X =

  i

  j

  x

  j

  E

  j

  , temos ∇A (∇

  X E i

  , E

  E Dessa forma, obtemos ∆A(X) = R(E , X)AE AR(E , X)E

  i i i i

  −

  i i

  = , AE , AE

  i i i i i i i i

  ( X, AE E − E X − AX, AE AE + AE AX) , E , E .

  i i i i i i i i

  −A ( X, E E − E X − AX, E AE + AE AX)

  i

  Uma vez que X = e , E

  i i i i

  X, E E AE = tr A = nH, conclu´ımos que

  i i

  3

  2

  3

  2 X + (tr A

  X ∆A(X) = AX − nHX − A )AX − AX + nAX + A X − nHA

  2

  2 X, (1.2)

  = nAX − nHX + (tr A )AX − nHA para cada X ∈ T M. Veremos, agora, alguns conceitos e resultados que s˜ao conseq¨ uˆencias imediatas da ´ Algebra Linear.

  n ¸˜ ao.

  1.13 Definic Seja M

  uma variedade riemanniana. Dados A : T M → T M e B : T M →

  T M 1-tensores em M , definimos o produto interno de 1-tensores como sendo a aplica¸c˜ ao

  A, B : M → R

  ∗

  ) ,

  A, B (p) = A(p), B(p) = tr (A(p) · B(p)

  ∗ onde B(p) denota o operador adjunto de B(p).

  Por simplicidade , escreveremos

  ∗ ) .

A, B = tr (A · B 1.14 Definic ¸˜ ao.

  Sejam C : T M × T M → T M e D : T M × T M → T M 2-tensores em M. Definimos o produto interno desses 2-tensores como sendo a aplica¸c˜ ao

  C, D : M → R , e ), D(p)(e , e

  i j i j

  C, D (p) = C(p), D(p) = C(p)(e ) ,

  i,j , . . . , e M . 1 n p onde {e } ´e base ortonormal de T

  ´ E f´ acil verificar que o produto interno acima est´ a bem definido, ou seja, independe da base ortonormal escolhida. As normas de 1-tensores e 2-tensores s˜ao as normas provenientes do produto interno que denotaremos sempre por | , |. Para simplificar a nota¸c˜ao, n˜ao faremos distin¸c˜ao dos s´ımbolos de laplaciano de tensor e de laplaciano de fun¸c˜oes reais.

  ¸˜ ao.

  1.15 Proposic

  Sejam A : T M → T M e B : T M → T M 1-tensores em M. Ent˜ao,

  ∆ A, B = ∆A, B + A, ∆B + 2 ∇A, ∇B , em que ∇A ´e a derivada covariante de A.

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  , . . . , E

  1 n

  Prova. Seja {E } um referencial geod´esico em p ∈ M. Temos que

  ∗ ∗

  A)(E ), E , BE

  j j j j

A, B = tr (B · A) = (B = AE

  j j

  Assim, (E E E E , BE (p)

  i i i i j j

  ∆ A, B (p) =

A, B ) (p) = AE

  i i j

  = E E , BE

  i i j j

  AE (p)

  i,j

  = E AE , BE BE

i E i j j j E i j

  ( ∇ + AE , ∇ ) (p)

  i,j

  = AE , BE AE BE

  E i E i j j E i j E i j

  { ∇ ∇ + ∇ , ∇

  i,j

  AE BE BE

  E i j E i j j E i E i j

  • ∇ , ∇ + AE , ∇ ∇ } (p) = AE , BE BE

  E i E i j j j E i E i j

  ∇ ∇ (p) + AE , ∇ ∇ (p)

  i,j i,j

  • 2 E i AE j E i BE j

  ∇ , ∇ (p)

  i,j

  Vamos mostrar, nesta ´ ultima express˜ao, que a primeira parcela ´e igual a ∆A, B , a segunda, a A, ∆B e a terceira a 2 ∇A, ∇B .

  Temos que ), BE

  j j

  ∆A, B = ∆A(E

  j

  2

  = A(E , E , E ), BE

  i i j j

  ∇

  j i

  = , E E , E E ) , BE

  E i i j E i i j i E i j j ∇ ∇A(E ) − ∇A (∇ ) − ∇A (E , ∇ . i,j E E i E E j se anulam em p (referencial geod´esico), conclu´ımos que i i

  Como ∇ e ∇ , E ), BE

  E i i j j ∆A, B (p) = ∇ ∇A(E (p). i,j

  Mas, , E AE E AE E ) .

  

E i i j E i E i j E i j E i E i j E i E i j

  ∇ ∇A(E ) = ∇ (∇ − A (∇ )) = ∇ ∇ − ∇ A (∇ Usando a equa¸c˜ao de Codazzi, obtemos

E i i , E j E i E i AE j E j AE i + A ([E i E i E j ]) .

  ∇ ∇A(E ) = ∇ ∇ − ∇ ∇ , ∇

  Ei

  Como o referencial utilizado ´e geod´esico, temos, finalmente, que , E AE ) (p).

  E i i j E i E i j

  (∇ ∇A(E )) (p) = (∇ ∇

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas Portanto, AE , BE

  E i E i j j

  ∆A, B (p) = ∇ ∇ (p).

  i,j

  De modo an´ alogo, BE

  j E i E i j A, ∆B (p) = AE , ∇ ∇ (p). i,j

  Agora, vamos calcular ∇A, ∇B . Lembrando a defini¸c˜ao 3.13, , E , E

  

i j i j

  ∇A, ∇B = ∇A(E ), ∇B(E )

  i,j

  = AE E BE E

  E i j E i j E i j E i j

  ∇ − A (∇ ) , ∇ − B (∇ )

  i,j

  = AE BE

  E i j E i j ∇ , ∇ . i,j Isto conclui a prova da proposi¸c˜ao.

  1

  2

  2

1.16 Corol´ ario. Se A ´e auto-adjunta ent˜ ao ∆ tr A = |∇A| + A, ∆A .

  2 Prova. Temos que

  2 ∗

  tr A = tr (AA) = tr (AA ) = A, A . Portanto,

  1

  1

  2

  ∆ tr A = ∆ A, A

  2

  2

  1 =

  ( ∆A, A + A, ∆A + 2 ∇A, ∇A )

  2

  1

  2

  =

2 A, ∆A + 2|∇A|

  2

  2 = |∇A| + A, ∆A .

  A partir da equa¸c˜ ao 1.2, obtemos

  2

  2 A, ∆A =

  A, nA − nHId + (tr A )A − nHA

  2

  2

  = n A, A − nH A, Id + tr A

  A, A − nH A, A

  2

  2

  2

  2

  2

  3

  • = n tr A H tr A − n − nH tr A e pelo Corol´ario 1.16, teremos a f´ ormula

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  3

  ∆ + tr A + n tr A H tr A , = |∇A| − n − nH tr A

  2 conhecida como a F´ormula de Simmons. Ao inv´es do tensor de Weingarten A usaremos o tensor sim´etrico φ = A − HI , onde H ´e

  i

  a curvatura m´edia de M . Dessa forma, teremos que trφ = 0. Al´em disso, a base {e } tamb´em diagonaliza φ, com autovalores µ = k

  i i

  − H e

  1

  2

  2

  2 = µ = (k i j ) .

  |φ| i − k 2n

  i i,j Ricardo Luiz Queiroz Freitas De fato,

  2

  2

  (k ) = ((k

  i j i j

  − k − H) − (k − H))

  i,j i,j

  2

  2

  = (k i (k i j (k j − H) − 2 − H)(k − H) + − H)

  i,j i,j i,j

  2

  

2

  2

  = n|φ| − 2 · 0 + n|φ| = 2n|φ|

  2 n ´e totalmente umb´ılica.

  Desta forma, |φ| ≡ 0 se, e somente se, M Portanto, a f´ ormula de Simmons com o tensor φ se escreve

  

2

  1

  2

  2

  2

  3

  2

  2 + ∆ tr φ tr φ + n tr φ .

  = |∇φ| − nH tr φ 1 − H

  2 Ricardo Luiz Queiroz Freitas Cap´ıtulo 2 O Modelo do Hiperbol´ oide n n

  • dimensional H para o Espa¸ co

  −1 r2 Hiperb´ olico n

  Neste cap´ıtulo descreveremos o Espa¸co Hiperb´ olico H −1 que ´e uma hipersuperf´ıcie do r2

  n+1 n+1

  Espa¸co de Lorentz L , ou seja, o espa¸co R munido da m´etrica pseudo-riemanniana, a qual definiremos a seguir.

  n+1

  2

  2 2 n+1

  Seja Q : R , . . . , x + x + . . . + x e L o espa¸co

  n

  → R a forma quadr´atica Q(x ) = −x

  1 n n+1

  R com a m´etrica pseudo-riemanniana induzida por Q, a qual denotaremos por (·, ·). Ent˜ao, teremos:

  1 (u, v) =

  (2.1) {Q(u + v) − Q(u) − Q(v)}.

  2 Esta m´etrica pseudo-riemanniana ´e chamada m´etrica de Lorentz. Conv´em observar que para n = 3 ela aparece na teoria de relatividade.

  n

  2 n r2 = {x = (x ); (x, x) = −r &gt; 0 e r &gt; 0}. Observe que, geometrica- 2 n

  ´e um hiperbol´ oide de duas folhas e H −1 ´e a folha contida no semi-espa¸co mente Q(x) = −r r2

  n n+1

  x &gt; 0. Claramente, H −1 ´e uma hipersuperf´ıcie de L , pois, ´e uma componente conexa da r2

  2 por Q.

  imagem inversa de −r x

  2.1 Proposic ¸˜ ao. Segundo a m´etrica de Lorentz, o vetor η = ´e ortogonal ao espa¸co tangente r

  n n

  H T x −1 −1 . r2 r2 , para todo x ∈ H

  n n

  H −1 . Ent˜ ao v = α (0), onde α ´e uma curva regular em H −1 com

  x

  Prova. Seja v ∈ T r2 r2 α(0) = x. Assim, α(t) = (x (t), . . . , x (t)), com x (t) &gt; 0. Logo,

  n

  2

  2

  2

  2

  2 (t) + x (t) + . . . + x (t) . 1 n

  Q(α(t)) = (α(t), α(t)) = −r ⇒ −x = −r

  ′ ′ ′ ′

  (t)x (t)+2x (t)x (t)+. . .+2x (t)x (t) = 0. Para t = 0, temos que (α(0), α (0)) =

  1 n

  Segue que, −2x

  1 n

  0, ou seja, (x, v) = 0. Assim x ⊥ v e portanto η ⊥ v.

  2.2 Proposic ¸˜ ao.

  (η, η) = −1. x x

  1

  1

  2 Prova. (η, η) = , = (x, x) = (−r ) = −1.

  2

  2

  r r r r ¸˜ ao.

  2.3 Proposic , . . . , b = η, (b , b ) = δ para i, j = 1, . . . n e (b , b ) = 0,

  n i j ij i

  β = {b }, com b

  n+1 n+1 n

para i = 1, . . . n, ´e uma base de L . Al´em disso, a m´etrica induzida por L em H −1 ´e

r2 riemanniana. n+1 n+1 n

  H Prova. Para ver que β ´e uma base de L , basta observar que L −1 , com

  x

  = [η] ⊕ T r2

  n

  H −1 .

  x

  [η] ⊥ T r2 Para a segunda parte usamos o fato de que o ´ındice de uma forma quadr´ atica independe

  n+1

  da base escolhida. Escolhendo a base canˆ , . . . , e n , vemos que o ´ındice de Q ´e onica {e } de L

  i

  igual a 1. Logo, como Q(η) = (η, η) = −1 &lt; 0, temos que Q(b ) &gt; 0, ∀ i = 1, . . . , n. Portanto, x ´e positiva definida. Assim, a m´etrica induzida por L em H −1 ´e riemanniana. n

  n+1 n T H

  Q| −1 r2 r2

  1

  n n+1 ¸˜ ao.

  2.4 Proposic A segunda forma fundamental de H −1 ´e dada por S Id. Al´em

  η r2 r ֒→ L = −

  1

  n disso, a curvatura seccional de H . −1 ´e constante e igual a K = − r2 r

  2

  x

  n n ⊥ −1 , . . . , b −1 e η = M ) . Considere- H 1 n x p

  Prova. Sejam x ∈ H , {b } uma base de T ∈ (T r2 r2 r p

  n

  mos o campo N normal a H −1 dado por N (p) = . Como N (x) = η e (N , N )

  p r2 r = −1 para todo n −1 temos que p ∈ H r2

  

T

(S (b ), b ) = N ) , b = N , b .

η i j b i j b i j

  −(∇ −∇

  n Calculemos N H −1 . v x

  ∇ (x), para um vetor qualquer v ∈ T De

  

n n

  1

  1 N (p) = p e = p e ,

  i i i i

  · r r

  

i=0 i=0

n+1

  temos que as coordenadas de N (p) na base canˆ , . . . , e s˜ao dadas por N (p) =

  n i

  onica {e } de L

  1 .

  i

  · p r

  n

  H −1 . Ent˜ ao

  x

  Seja v ∈ T r2

  ′ ′ ′

  v = α (0) = (α (0), . . . , α (0)) = (v , . . . , v n )

  n

  e α(0) = x, onde α(t) = (α (t), . . . , α n (t)). Portanto d d d

  1

  1

  ′ v(N )(x) = (N t=0 = N t=0 = (t) = (0). k k k k

  ◦ α)(t)| (α(t))| · α · α k dt dt dt r t=0 r

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  Usando a express˜ao da conex˜ ao e lembrando que Γ

  n −1 r2 .

  (n + 1) e x ∈ H

  n −1 r2

  , ent˜ ao (T x, T x) = (x, x) = −r

  2

  . Dessa forma, T x ∈ H

  n −1 r2

  ou T x ∈ ˜ H

  Seja p ∈ H

  Se T ∈ O

  n −1 r2

  tal que T (p) ∈ H

  n −1 r2

  . Suponha que ∃ q ∈ H

  n −1 r2

  , com T (q) / ∈ H

  n −1 r2

  1

  Prova.

  H

  , x &lt; 0 e r &gt; 0}.

  Para o que se segue denotaremos O

  1

  (n + 1) = {T ´e linear ; T preserva a m´etrica } e ˜ H

  n −1 r2

  = {x = (x

  , . . . , x n ); (x, x) = −r

  2

  1

  ), para todo x ∈ H n −1 r2 .

  (n + 1). Se para p ∈ H

  n −1 r2 temos T (p) ∈ H n −1 r2

  (resp. ˜

  H

  n −1 r2 ), ent˜ ao

  T (x) ∈ H

  n −1 r2 (resp. ˜ H n −1 r2

  , isto ´e, T (q) ∈ ˜

  n −1 r2

  1 r

  )), T (α(t

  ′

  ) / ∈ Q

  −1

  (−r

  2

  ), uma contradi¸c˜ao, pois, (T (α(t

  ′

  ′

  ′

  ))) = (α(t

  ′

  ), α(t

  ′

  )) = −r

  2 .

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  ) = 0 o que implicaria em T ◦α(t

  ∈ (0, 1) tal que y(t

  . Seja, ainda, α uma curva em H

  n −1 r2

  n

−1

r2

  que liga p a q. Ent˜ ao, T ◦ α ´e uma curva em Q

  −1

  (−r

  2 ) ligando T (p) a T (q).

  Sendo α(t) = (x (t), . . . , x n (t)), x &gt; 0 temos que T ◦ α(t) = (y (t), . . . , y n (t)) ´e cont´ınua.

  Como T (p) ∈ H

  , isto ´e, T (α(0)) ∈ H

  ′

  n −1 r2

  ent˜ ao y (0) &gt; 0 e uma vez que T (q) ∈ ˜

  H

  n −1 r2

  (i.e., T (α(1)) ∈ ˜

  H

  n −1 r2

  ) teremos y (1) &lt; 0. Pela continuidade de y , ∃ t

  2 .

  = −

  k ij

  k

  (x) e

  k

  =

  n k=0

  v(N

  k

  )(x)e

  =

  (x)Γ

  1 r

  n k=0

  α

  ′ k

  (0)e

  

k

  =

  k ij

  j

  n k=0

  v

  (L

  n+1

  ) = Γ

  k ij

  (R

  n+1

  ) = 0 teremos: ∇

  N (x) =

  N

  k

  v(N

  k

  )(x) +

  i,j

  v

  i

  1 r

  v

  2

  (R

  η r (X, Y ).

  Finalmente, usando a f´ ormula de Gauss e tomando {X, Y } ortonormal, K(X, Y ) − ¯ K(X, Y ) = (B(X, X), B(Y , Y )) − (B(X, Y ), B(X, Y )). Como Γ

  k ij

  (L

  n+1

  ) = Γ

  k ij

  n+1

  X, Y )η =

  ) = 0, temos que ¯ K(X, Y ) = 0. Logo, K(X, Y ) = −

  1 r

  2

  (X, X)(Y , Y ) −

  1 r

  2

  (X, Y )

  1 r (X, Y )η =

  η

  k

  i

  e

  k

  =

  1 r v.

  Segue, portanto, que S

  η

  (b

  ) = −∇

  Da´ı, B(X, Y ) = −(B(X, Y ), η)η = −(S

  b i

  N = −

  1 r b

  i

  ⇒ S

  η

  = −

  1 r Id.

2.5 Lema. Seja T ∈ O

  n n

  ¸˜ ao.

  H

  2.6 Proposic (n + 1) e det(T ) &gt; 0, ent˜ ao T −1 = H −1 .

  1 Se T ∈ O r2 r2 n n

  H Prova. −1 , . . . , b −1 . Considere, ainda,

  1 n x

  Seja x = (r, 0, . . . , 0) ∈ H e {b } base de T r2 r2 x e =

  ), T (e ), . . . , T (e

  1 n

  = (1, 0, . . . , 0). Como T preserva a m´etrica, temos que {T (e )} ´e base r

  n+1

  ortonormal de L e sendo Q uma forma quadr´ atica de ´ındice 1, teremos T (e ) paralelo a

  n n e . Logo, T (e . Como det(T ) &gt; 0, T e = e . Pelo lema anterior T H −1 = H −1 .

  ) = ±e r2 r2

  n

  ¸˜ ao. H 2.7 Proposic −1 ´e completa. r2 Antes de apresentarmos a prova da Proposi¸c˜ao 2.7 veremos o conceito de variedade ho- mogˆenea e, em seguida, mostraremos que toda variedade homogˆenea ´e completa.

  Dizemos que uma variedade riemanniana M ´e homogˆenea se dados p, q ∈ M existe uma isometria de M que leva p em q.

  2.8 Lema. Toda variedade homogˆenea ´e completa.

  Prova do Lema 2.8. Se, por absurdo, M n˜ ao ´e completa, existem p ∈ M e uma geod´esica normalizada γ : [0, t

  . Sejam ε &gt; 0 ] → M com γ(0) = p que n˜ao se estende al´em de t suficientemente pequeno tal que q = γ(t (p) e B (q) s˜ao bolas normais em p e q,

  ε ε

  − ε/2) e B

  p

  respectivamente. Sejam ϕ : M → M uma isometria com ϕ(p) = q e v ∈ T M , |v| = 1, tal que

  ′ ′

  dϕ v = γ (t (t

  p p

  − ε/2). Como γ ´e normalizada, ´e claro que |v| = |dϕ v| = |γ − ε/2)| = 1. Por (tv). Temos ent˜ao que outro lado, considere a geod´esica α : [0, ε) → M dada por α(t) = exp p

  (ϕ ◦ α)(0) = ϕ(p) = q = γ(t − ε/2) e

  ′ ′ ′

  (0) = dϕ α (0) = dϕ v = γ (t

  

p p

(ϕ ◦ α) − ε/2) .

  ′

  (t Conclui-se que ϕ ◦ α ´e uma geod´esica que parte de q = γ(t − ε/2) com velocidade γ − ε/2) na bola normal B , o que significa que podemos estender

  ε [t ]

  (q). Por unicidade, ϕ ◦ α = γ|

  −ε/2,t γ na bola normal B (q) e, portanto, al´em de t . Contradi¸c˜ao. ε n n

  Prova da Proposi¸ c˜ ao 2.7. −1 −1 e

  i

  Dados p, q ∈ H e bases ortonormais {v } ⊂ T pH r2 r2

  n −1 , i = 1, . . . , n, vamos mostrar que a restri¸c˜ao a H −1 da transforma¸c˜ao linear n i

  {w } ∈ T qH r2 r2 p q

  n+1 n+1 n

  T : L tal que T = e T (v ) = w , i = 1, . . . , n ´e isometria de H . Como

  i i −1

  → L r r r2 p p q q , = , , v ) = (w , w ) = δ e (p, v ) = (q, w ) = 0, ent˜ ao ´e claro que existe

  i j i j ij i i

  = −1, (v r r r r p

  n+1 n+1 n

  uma transforma¸c˜ao linear T : L −1 e T = → L que preserva a m´etrica. Como p, q ∈ H r2 r q

  n −1 H n n n

  . Ent˜ ao, pelo lema 2.5, T −1 = H −1 ´e isometria de

  H

  ⇔ T (p) = q ∈ H r2 . Segue que, T | −1 r r2 r2 r2

  n n H −1 . Portanto, H −1 ´e homogˆenea. Desta forma, conclu´ımos, pelo lema 2.8, que ela ´e completa. r2 r2 Ricardo Luiz Queiroz Freitas Cap´ıtulo 3 √ k n

  2 −k O Produto H ( 1 + r )

  −1 × S r2

  Neste cap´ıtulo, definiremos o cilindro hiperb´ olico que ´e uma hipersuperf´ıcie do espa¸co de De

  n+1

  Sitter S . Calcularemos as suas curvaturas principais, a curvatura m´edia e a segunda forma

  1

  fundamental. Faremos, inicialmente, algumas considera¸c˜oes sobre variedade produto e sobre produto de imers˜ oes. Sejam M , N , M e N variedades tais que N ´e riemanniana. Suponha que M ´e uma variedade diferenci´ avel com uma m´etrica pseudo-riemanniana (·, ·) induzida por uma forma quadr´ atica Q. Sejam as imers˜oes isom´etricas f : M → M e g : N → N, onde a m´etrica

  ⊥

  , (ou seja, o ´ındice de Q ´e igual induzida por f em M ´e riemanniana e Q(η, η) &lt; 0, ∀ η ∈ χ(M) a codimens˜ao de f ). Considerando em M × N e em M × N as m´etricas produtos, teremos que a imers˜ao f × g : M × N → M × N tamb´em ´e isom´etrica.

  M N N

  as conex˜oes riemannianas de M , N e N , respectivamente, Denotemos por ∇ , ∇ e ∇

  M

  a conex˜ao pseudo-riemmaniana de M . Assim a conex˜ e por ∇ ao riemanniana de M × N e a conex˜ ao pseudo-riemmaniana de M

  × N s˜ao tais que

  M N M ×N

  Y Y

  M N

  ∇

  X Y = ∇

  X M + ∇

  X N

  e

  M×N M N

  V V . ∇ U V = ∇ U + ∇ U M N M N

  Sendo X = (X , X ) e Y = (Y , Y

  M N M N

  ) campos de vetores tangentes a M × N, U = (U , U ) e V = (V , V

  , Y , Y

  M N M N M M N N

  ) campos de vetores tangentes a M × N, X ∈ χ(M), X ∈ χ(N ), U , V , V ∈ χ(M) e U ∈ χ(N ).

  M M N N ⊥

  Sejam B e B

  f g

  as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente. Para η ∈ χ(M)

  f g ⊥

  , consideremos os operadores de forma A e µ ∈ χ(N)

  η : T M → T M e A µ : T N → T N,

  associados a B e B , respectivamente. Para u e v tangentes a M e w, z tangentes a N , temos:

  f g f g f g A η u, v = B (u, v), η e A µ w, z = B (w, z), µ .

  • |µ|A
  • |µ|A
  • |µ|A

  k −1 r2 1

  2

  ) ֒→ R

  n−k+1

  ; g(q) = q Observe que f ´e isometria porque, pelo cap´ıtulo 2, a m´etrica induzida em H

  k −1 r2

  por L

  k+1

  ´e Riemmaniana. Consideremos o produto dessas imers˜oes f × g : H

  × S

  n−k

  

n−k

  (r

  2

  ) ֒→ L

  n+2 .

  Sejam p ∈ H

  k −1 r2 1

  e q ∈ S

  (r

  ; f (p) = p g : S

  (r

  ⊂ L

  ◦ π

  N

  · X, (3.1) onde π

  M

  ´e a proje¸c˜ao sobre M e π

  N ´e a proje¸c˜ao sobre N .

  Vejamos agora o caso em que f e g s˜ao as inclus˜oes canˆonicas H

  k −1 r2 1

  k+1

  k+1

  e S

  n−k

  (r

  2

  ) ⊂ R

  n−k+1

  , ou seja, f : H

  k −1 r2 1

  ֒→ L

  n−k

  2

  

M

  n+1 1 = {(p, q) ∈ L

n+2

; ((p, q), (p, q)) = 1}.

  2 .

  Neste caso os pontos (p, q) de H

  k −1 r2

  × S

  n−k

  ( √ 1 + r

  2

  ) estar˜ao no espa¸co de De Sitter S

  Consideremos, agora, a hipersuperf´ıcie ϕ = f × g : H

  2

  k −1 r2

  × S

  

n−k

  ( 1 + r

  2

  ) ֒→ S

  n+1

  1 .

  = √ 1 + r

  teremos r

  ), isto ´e, (p, p) = −r

  ) e ((p, q), (p, q)) = (p, p)+|q|

  2 1 e |q|

  2

  = r

  2 2 . Assim, (p, q) ∈ H k −1 r2 1

  × S

  n−k

  (r

  2

  2

  1

  = −r

  2

  1

  

2

2 . Se −r

  2

  1

  2

  2

  = 1 e r = r

  g µ |µ|

  ◦ π

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  , Y

  X, Y = A

  f ×g N

  (X

  

M

  , X

  N

  ), (Y

  M

  N

  associado a f × g. Sabemos que A

  ) = B f ×g

  ((X

  

M

  , X

  N

  ), (Y

  M

  , Y

  f ×g N

  f ×g N

  )), N = (B

  M

  A segunda forma da imers˜ ao produto f × g, denotada por B f ×g

  , ´e dada por B

  f ×g

  (X, Y ) = (B

  f

  (X

  

M

  , Y

  ), B

  , ρ &gt; 0. Vamos encontrar o operador de forma A

  g

  (X

  N

  , Y

  N )) .

  Seja N = (η, µ) em M × N normal a M × N, com η em M normal a M, µ em N normal a N , (η, η) + |µ|

  2

  = −1 e (η, η) = −ρ

  2

  N

  f

  f η ρ

  g µ |µ|

  X M , Y

  M

  g µ |µ|

  X N , Y

  N

  = ρA

  f η ρ

  X M

  X N , Y . Dessa forma, para a imers˜ ao produto f × g o operador de forma na dire¸c˜ao normal N ´e

  ), µ = ρ · A

  A

  f ×g N

  X = ρA

  f η ρ

  X M

  g µ |µ|

  X N =

  ρ · A

  f η ρ

  N

  (X

  N

  M

  , Y

  M

  ), B

  g

  (X

  N

  , Y

  )), (η, µ) = B

  , Y

  f

  (X

  M

  , Y

  M

  ), η + B

  g

  (X

  N

  • |µ|A
  • r
  • r

  Nosso objetivo, a partir de agora, ´e encontrar as curvaturas principais de ϕ, que denotaremos

  f g i

  √

  n+1 k k+1 n+2 n−k

  2 n−k+1

  por λ , . . . , λ . Para as inclus˜ oes H −1 , S ( 1 + r ) e S ,

  1 n r2

  ֒→ L ֒→ R

  1 ֒→ L

  1

  1

  f g i

  n´ os temos os operadores de forma associados A = Id, A = Id e A = Id, com √ Γ

  ˜ η µ ˜

  2

  r 1 + r −p −q

  n+1

  η(p) = ˜ , ˜ µ(q) = e Γ(p, q) = (p, q). Observe que Γ(p, q) = (p, q) ´e normal a S √

  1

  2

  r 1 + r √

  k n−k

  2

  e a H −1 ( 1 + r ). Precisamos de um campo N (p, q) = (ap, bq), unit´ ario, normal a r2 × S √

  k n+1 n−k

  2 H −1 ( 1 + r ) e tangente a S , ou seja, que cumpra as seguintes condi¸c˜oes: r2

  × S

  1

  2

  = 0; (i) ((ap, bq), (p, q)) = 0, isto ´e, a(p, p) + b|q|

  2

  2

  2

  (ii) a (p, p) + b |q| = −1. ! "

  2

  r

  2

  2

  • b(1 + r ) = 0, o que implica b = a.

  De (i), temos −ar

  2

  1 + r ! "

  2

  1 + r

  2

  2

  2

  2

  2 2 −1

  r + b (1 + r + b = . Assim, De (ii), temos −a ) = −1, isto ´e, −a

  2

  2

  r r

  2

  1 + r

  2 a = .

  2

  r Portanto, podemos escolher

  √

  2

  1 + r a = − r e r . b = − √

  2

  1 + r Logo, o vetor normal ´e dado por ! "

  √

  

2

  1 + r r N (p, q) = .

  √ − · p, − · q

  2

  r 1 + r √

  2

  1 + r r Considerando os valores de η = − · p e o de µ = − √ · q, obtemos

  2

  r # 1 + r 1 + r 1 + r

  2

  2

  2

  (η, η) = (p, p) = · (−r ) = −(1 + r ) = −ρ

  2

  

2

# r r r 2 = r.

  |µ| = √ · 1 + r

  2

  1 + r Aplicando-se em 3.1 os dois ´ ultimos resultados, temos

  f g

  2 A = 1 + r

N −p M −q N

  · A ◦ π + r · A ◦ π r1+ r2 Assim,

  √ #

  2

  √ 1 + r

  f

2 A N (X M , 0) = 1 + r −p

  X M =

  X M · A r # r r

  g

  A (0, X X =

  X N N −q N N ) = r · A √

  2 √ 1+ r2 1 + r Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  , 0), . . . , (e , 0), (0, h ), . . . , (0, h

  1 k k+1 n

  Tomando-se uma base ortonormal de vetores {(e )}, em que √

  f g

  2

  e considerando que senh (t) = r e cosh (t) = 1 + r ,

  i i

  {e } diagonaliza A η ˜ e {h } diagonaliza A µ ˜ √

  k

  2 n−k

  temos que as curvaturas principais do produto H ( 1 + r ) s˜ao −1 r2 × S √

  2

  1 + r λ = . . . = λ = = coth(t)

  1 k

  r e r λ = . . . = λ = = tgh t.

  k+1 n

  √

  2

  1 + r Portanto a curvatura m´edia H de ϕ ´e dada por $ %

  √

  2

  2

  1 1 + r r k + nr H = = .

  √ √ k · + (n − k) ·

  2

  2

  n r 1 + r nr 1 + r

  2

  em fun¸c˜ao da tgh (t) e da coth(t). Multiplicando-se ambos os membros da Escreveremos |A| igualdade

  √

  

2

  1 + r r √ n · H = k · + (n − k) ·

  2

  r 1 + r por coth(t), obtemos a equa¸c˜ao

  2

  k coth (t) − nH coth(t) + n − k = 0, cujas ra´ızes s˜ao

  2

  2 H

  nH ± n − 4k(n − k) coth(t) = , 2k

  2

  2

  desde que n H − 4k(n − k) &gt; 0.

  Portanto,

  n

  2

  2

  2

  2

  = λ (t) S = |A| i = k · coth (t) + (n − k) · tgh

  1

  2

  2

  2

  2 H

  4k (nH ± n − 4k(n − k)) .

  = (n − k) + k ·

  2

  2

  2

  2

  4k H

  (nH ± n − 4k(n − k)) Utilizando o operador φ = A − HI e os resultados anteriores, temos que

  2

  2 2 k(n − k)

  2 = .

  |φ| = |A| − nH (coth(t) − tgh (t)) n nH − k coth t

  Substituindo-se tgh (t) = na express˜ao anterior, obtemos n − k

  2

  k

  2

  2

  2 2 k(n − k) nH − k coth t = = .

  |φ| = |A| − nH coth(t) − [n(coth(t) − H)] n n − k n(n − k)

  2

2 H

  nH ± n − 4k(n − k) Uma vez que coth(t) = , teremos que &amp; ( 2k

  2

  2

  2 H

  k nH ± n − 4k(n − k)

  

2 ' )

  = n |φ|

  − H 2k n(n − k)

  • * +

  2

  n

  2

  2 = H .

  (n − 2k)H ± n − 4k(n − k) 4k(n − k)

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas Logo, |φ|

  2

  2 √ n − 1 , , ,

  2 ) ´e denominada Cilindro Hiperb´ olico.

  ( √ 1 + r

  n−1

  × S

  1 −1 r2

  − 4(n − 1) , , , e a hipersuperf´ıcie H

  2

  2 H

  (n − 2)H ± n

  = √ n

  = √ n

  2

  Quando k = 1, |φ|

  − 4k(n − k) , , , .

  2

  H

  2

  (n − 2k)H ± n

  √ n − k , , ,

  2 √ k

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas Cap´ıtulo 4 As Hipersuperf´ıcies Rotacionais n+1

  Neste cap´ıtulo, descreveremos uma fam´ılia de hipersuperf´ıcies completas em S com cur-

  1

  √

  2 n − 1

  • 2

  −

  e max 0, B , B vatura m´edia constante H ≥ sup |φ| = B, para cada B ∈

  H H

  n conforme o teorema 1.3. Tais hipersuperf´ıcies s˜ao chamadas de rotacionais e faremos, a seguir, uma breve discuss˜ao das mesmas baseando-se no artigo de M. do Carmo e M. Dajczer [5].

  n+2

  Sabemos que uma transforma¸c˜ao ortogonal em L ´e uma aplica¸c˜ao linear que preserva a

  n+1 m´etrica. Estas transforma¸c˜oes ortogonais induzem todas as isometrias de S .

  1 k n+2 k

  Seja P um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao k do L . P ´e dito lorentziano (resp. rieman-

  

k

  niano, degenerado) se a restri¸c˜ao da m´etrica a P ´e uma m´etrica lorentziana (resp. riemanniana,

  k n+2

  degenerada). Denotaremos por O(P ) o conjunto das transforma¸c˜oes ortogonais de L com

  k determinante positivo que deixam P fixado.

  2

  3

  2

  3 ¸˜ ao.

  4.1 Definic Escolha P , P tais que P e C uma curva regular tipo espa¸co em ⊂ P

  n+1

  3

  2

2 S ). A ´ orbita de C sob O(P ) ´e chamada a hipersuperf´ıcie rotacional esf´erica (resp.

  1 ∩(P −P n+1

  2

hiperb´ olica, parab´ olica) M em S gerada por C, quando P ´e Lorentziano (resp. Riemanniano,

  1 degenerado). n+2

  Neste trabalho, precisaremos apenas do caso esf´erico. Pela m´etrica de Lorentz em L , a base canˆonica e , . . . , e , e satisfaz

  n n+1

i , e j i δ ij ,

  e = ǫ

  2

  3

  onde ǫ = 1. Tome P o plano gerado por e e e e P gerado por e , e

  i

  1

  1

  = −1 e, do contr´ario, ǫ e e . Seja (y (s), y (s), y(s)) a parametriza¸c˜ao pelo comprimento de arco da curva C. A partir

  2

  1

  dessas escolhas, podemos tomar uma parametriza¸c˜ao de uma hipersuperf´ıcie rotacional M por f (s, u , . . . , u ) = (y (s), y (s), y(s)Φ(u , . . . , u )) ,

  1

  1

  1 n−1 n−1

  de acordo com M. do Carmo e M. Dajczer [5]. Aqui Φ(u , . . . , u ) = (Φ , . . . , Φ ) ´e uma

  1 1 n n−1

  parametriza¸c˜ao ortogonal da esfera unit´ aria no subespa¸co vetorial gerado por e , . . . , e . Uma

  2 n+1 n+1

  vez que a curva C pertence a S e o parˆ ametro s representa o seu comprimento do arco teremos

  1

  2

  2

  2

  (s) + y (s) + y (s) = 1 −y

  1

  e

  ′2 ′2 ′2

  (s) + y (s) + y (s) = 1 −y

  1

  e, portanto, as fun¸c˜oes y (s), y (s) podem ser calculadas em termos de y(s) atrav´es das rela¸c˜oes

  1

  2

  y = y − 1 cosh ϕ e

  2

  y = y

  1

  − 1 senh ϕ, para y &gt; 1. Derivando as express˜oes anteriores com rela¸c˜ao `a s, teremos

  ′

  yy

  ′ 2 ′

  y = cosh ϕ + y − 1 senh ϕϕ

  2

  y − 1 e

  ′

  yy

  ′ 2 ′

  y = senh ϕ + y

  

1 − 1 cosh ϕϕ

  2

  y − 1

  2 ′2

  y y

  2 ′2 ′2 ′2

  e, portanto, y + (y .

  1 − y = − − 1)ϕ

  2

  y − 1

  Assim, ϕ(s) fica determinada por

  2

  2 ′2 ′2

  y + y y y − 1

  2 ′2 ′2 ′2 ′2 ′2 ′

  (s) + y (s) + y + (y + y = , 1 = −y

  1 (s) = − − 1)ϕ ⇒ ϕ

  2

  2

  y y − 1 − 1 ou seja,

  2 s ′2

  y + y - − 1 ϕ(s) = ds.

  2

  y − 1 O caso 0 &lt; y &lt; 1 pode ser tratado de forma similar, mas n˜ ao o usaremos no nosso trabalho.

  Usamos a parametriza¸c˜ao acima para calcular as curvaturas principais de M as quais s˜ao dadas por

  2

′2

  y + y − 1 k =

  i

  y e

  

′′

  y + y k = ,

  n

  2

′2

  y + y − 1 com i = 1, . . . , n − 1.

  Desta forma, temos que a curvatura m´edia de M ´e dada por

  n

  2 ′2 ′′

  y + y y + y − 1 nH = k

  . (4.1) +

  i

  = (n − 1)

  2

  y ′2 y + y

  i=1

  − 1

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  4.2 Lema. Sendo H constante, uma integral primeira da equa¸c˜ ao diferencial de segunda ordem

  4.1 ´e dada por

  2

  a

  2 ′2

  • y + Hy , com a constante. (4.2) = 1 − y

  n−1

  y

  2 ′2

  Prova. Pondo v = y + y − 1 temos

  ′ ′′

  y (y + y )

  ′ ′ ′′ ′

  vv = y (y + y = . (4.3) ) ⇒ v v

  Da equa¸c˜ao 4.1, conclu´ımos que

  ′′

  y + y v = nH − (n − 1) v y e substituindo este resultado na equa¸c˜ao 4.3 obtemos

  ′

  y

  ′

  v = [nyH − (n − 1)v] . y

  ′ ′ ′

  = v . Como H ´e constante, o resultado acima implica Pondo f = v − Hy, temos que f − Hy que

  

′ ′ ′ ′ ′

  f y = v . y − Hyy = (n − 1)y (yH − v) = −(n − 1)f y

  Assim,

  ′ ′

  f y a

  ′ ′

  , = −(n − 1) ⇒ (ln f ) = −(n − 1)(ln y) ⇒ ln f = −(n − 1)ln y + ln a ⇒ f =

  n−1

  f y y

  2

  2

  2 ′2

  onde a ´e uma constante. Segue que v = (f + Hy) = y + y − 1 o que nos d´a a equa¸c˜ao 4.2.

  Escrevendo a integral primeira como

  ′ n−1

  2 ′2

  G(y, y ) = y ( y + y − 1 − Hy) = a ≥ 0 vemos que que as curvas de n´ıvel de G est˜ao associadas `as hipersuperf´ıcies rotacionais tipo espa¸co.

  

2

′ ′2 ′

  (y, y )/y &gt; 0, y + y .

  − 1 ≥ 0, G(y, y ) ≥ 0 Estudaremos a seguir os pontos cr´ıticos de G.

  ′ n−1

  2 ′2

  ) = y ( y + y

4.3 Lema. Seja H ≥ 0 e G(y, y − 1 − Hy). Ent˜ao:

  √

  2 n − 1

  , G n˜ ao tem pontos cr´ıticos.

  1. Se 0 ≤ H &lt;

  n √

  2 n − 1

  2. Se H = , G tem apenas um ponto cr´ıtico do tipo degenerado.

  n √

  2 n − 1

  3. Se &lt; H &lt; 1, G tem dois pontos cr´ıticos distintos.

  n

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

4. Se H ≥ 1, G tem apenas um ponto cr´ıtico.

  ′

  Prova. Os pontos cr´ıticos de G ao longo dos eixos y e y s˜ao tais que ∂G

  1 2y

  n−2 n−1

  2 ′2

  y + y + y = 0 = (n − 1)y − 1 − Hy · − H

  2

  ∂y 2 ′2 y + y

  − 1 e

  ′

  ∂G y

  n−1 = y = 0. ′

  2

  ∂y ′2 y + y − 1

  ′

  Da segunda equa¸c˜ao, temos que y = 0 e substituindo na primeira, temos que os pontos cr´ıticos de G satisfazem a equa¸c˜ao

  2

  2

  2

  y − nHy y − 1 + (n − 1)(y − 1) = 0.

  2 Fazendo a substitui¸c˜ao y = cosh (r) e dividindo a express˜ ao resultante por senh (r), obtemos

  2

  coth (r) − nH coth(r) + (n − 1) = 0. Resolvendo a equa¸c˜ao para coth(r), temos

  2

  2 H

  nH ± n − 4(n − 1) coth(r) = .

  2 coth(r) Como y = cosh (r) = podemos substituir a express˜ ao para coth(r) nesta ´ ultima

  2

  coth (r) − 1 equa¸c˜ao obtendo, finalmente, que

  

2

  2 H .

  nH ± n − 4(n − 1) y = .

  2

  2

2 H

  nH ± n − 4(n − 1) − 4 O lema segue, ent˜ao, diretamente dessa ´ ultima equa¸c˜ao. Observe que esses pontos cr´ıticos correspondem exatamente aos cilindros hiperb´olicos. Tomando y = cosh (r) vemos, facilmente, que as curvaturas principais desses cilindros s˜ao

  2

  y

  1

  2 − 1 k = = = ,

  i

  2

  2

  y coth r H para i = 1, . . . , n − 1, e

  2

  2 H

  y nH ± n − 4(n − 1) k = = coth(r) = .

  n

  2

  2 y − 1

  2

  ´e dada por Conforme resultados do cap´ıtulo 3, |φ| * +

  2

  n

  2

  2

  2 = H .

  |φ| (n − 2)H ± n − 4(n − 1) 4(n − 1)

  A natureza dos pontos cr´ıticos pode ser determinada por uma an´ alise da Hessiana de G. Um √

  2 n − 1 c´alculo direto, mostra que, se H = , o ´ unico ponto cr´ıtico de G ´e do tipo degenerado. n

  Um outro c´ alculo direto, por´em mais extenso e uma subseq¨ uente an´ alise da Hessiana mostra, tamb´em, que:

  Ricardo Luiz Queiroz Freitas

  1. Quando

  2 √ n − 1 n

  &lt; H &lt; 1, o ponto cr´ıtico com menor coordenada y ´e um ponto de sela, enquanto o outro ´e um centro. A express˜ao para y mostra que o centro tende para infinito quando H → 1

  − .

2. Se H ≥ 1, temos apenas um ponto cr´ıtico do tipo sela.

  A figura seguinte mostra as curvas de n´ıvel de G para H ≥

  2 √ n − 1 n com as indica¸c˜oes dos respectivos pontos cr´ıticos ao longo do eixo y.

  No cap´ıtulo seguinte usaremos alguns desses resultados sobre as hipersuperf´ıcies rotacionais tipo espa¸co para a prova do teorema 1.3.

  • -1 b
  • 1 Ricardo Luiz Queiroz Freitas
  • -1 c
  • 1<
  • -1 d
  • 1 a
    • -1
    • 1 Cap´ıtulo 5 Demonstra¸ c˜ oes dos Resultados

        Tendo visto os conceitos mais importantes necess´arios `as demonstra¸c˜oes dos resultados do nosso trabalho, estamos prontos para desenvolvˆe-las. Para a demonstra¸c˜ao do teorema 1.2, usaremos alguns resultados. O primeiro ´e um lema

        3

        cuja prova se deve a M. Okumura [13] e fornece uma estimativa para tr φ , onde φ = A − HI e A ´e o operador de forma associado `a segunda forma fundamental de M .

        2

        2

        5.1 Lema. Sejam µ , i = 1, 2, 3, . . . , n, n´ umeros reais tais que µ = 0 e µ = β

        i i i ≥ 0. i i

        Ent˜ ao,

        n − 2

        3 3 n − 2

        3

        β µ β − ≤ i ≤

        

      i

        n(n − 1) n(n − 1) β

        e a igualdade ´e v´ i s˜ ao iguais a e alida se, e somente se, (n − 1) dos n´umeros µ / / n(n − 1)

        β n − 1 n − 1

        µ s˜ e µ = β.

        1 i

        1

        = − β ou (n − 1) dos n´umeros µ ao iguais a − n n n(n − 1)

        2

        2 Prova. Se β = 0, n˜ ao temos o que provar. Suponha ent˜ ao β

        = 0. Usaremos o m´etodo

        n

        → R dada por

        3

        2

        2 g(µ , . . . , µ ) = µ , submetida ` as condi¸c˜oes µ = 0 e µ = β . 1 n i i i i i i

        2

        2 Sendo ϕ (µ , . . . , µ ) = µ = 0 e ϕ (µ , . . . , µ ) = µ = β temos,

        1 1 n i

        2 1 n i i i

        3 , +

        

      1

        2

        ∇g = 3α∇ϕ λ∇ϕ

        2 ou seja,

        2

        2 (3µ , . . . , 3µ ) = (3α, . . . , 3α) + (3λµ , . . . , 3λµ ) .

        1 n 1 n

        Segue que os pontos cr´ıticos de g s˜ao dados pelos valores de µ i que satisfazem ` a equa¸c˜ao quadr´ atica

        2

        µ (5.1)

        i

      i − λµ − α = 0; i = 1, . . . , n.

        2

        β

        2

        2

        Isto implica que 0 = µ λµ α = β

        i i − − − nα e portanto α = ≥ 0. Assim,

        n

        i i i

        2

        4β

        

      2

        2

      • os discriminantes das equa¸c˜oes em 5.1, δ = λ + 4α = λ , s˜ao positivos e as equa¸c˜oes n possuem duas ra´ızes distintas, sendo que uma delas ´e positiva e a outra negativa, uma vez que

        √

        2

        2

        λ + 4α 4β √

        λ ±

        2

        2

        µ + = e λ + 4α = λ

        i ≥ |λ| ≥ λ, ∀λ ∈ R.

        2 n Depois de reordenar, se necess´ario, os pontos cr´ıticos s˜ ao dados por:

        µ = µ . . . = µ = a &gt; 0

        1

      2 p

        µ = µ = . . . = µ

        p+1 p+2 n = −b &lt; 0.

        Desde que, nos pontos cr´ıticos temos

        2

        2

        2

        2

        β = µ = pa

        i + (n − p)b i

        0 = µ

        i

        = pa − (n − p)b

        i

        3

        3

        3

        g = µ = pa

        i − (n − p)b i

        p p (n − p)

        2 2 (n − p)

        2

        2

        2 Conclu´ımos que a = β , b = β e g = b β . Segue que

        a − pn n n (n − p)n g decresce quando p cresce. Portanto, g alcan¸ca um m´aximo quando p = 1 e o m´aximo de g ´e dado por:

        3

        3

        3

        3

        3

        2 2 n − 2

        3

        a b = β

        −(n−1)b = [(n−1)b] −(n−1)b = [(n−1) −(n−1)]b b = (n−2)n(n−1)b n(n − 1) Isto prova o lema, uma vez que g ´e sim´etrica. O caso da igualdade ´e obtido substituindo p por 1 , a por (n − 1)b e o valor m´aximo de g na express˜ao de g. Assim, teremos ! "

        2

        3 (n − 1)

        1 n − 2

        2

        2

        β = b β , − = b(n − 2)β n n n(n − 1) /

        β n − 1 de onde conclu´ımos que b = . Portanto, µ = a = β e µ = µ = . . . = µ =

        1

        2 3 n

        n n(n − 1) β

        . A outra parte do caso igualdade ´e obtida de forma an´ aloga, usando o valor −b = − n(n − 1) m´ınimo de g.

        O polinˆ omio P surge, analiticamente, no lema a seguir, cuja prova utiliza a f´ ormula de

        H Simmons. n+1 n

        5.2 Lema. Seja M uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa imersa em S

        1 , n ≥ 3, com curvatura m´edia H constante n˜ ao negativa. Ent˜ ao,

        1

        2

      2 H

        ∆|φ| ≥ |φ| · P (|φ|),

        2

        2 n(n − 2)H

        2 onde P

        H (|φ|) = |φ| − |φ|+n(1−H ). A igualdade ocorre se, e somente se, |∇φ| = 0.

        n(n − 1)

        Ricardo Luiz Queiroz Freitas

        Prova. Pela f´ ormula de Simmons,

        1

        2

        2

        2

        2

        3

        2

        2 ) .

        ∆|φ| = |∇φ| + (|φ| − nH tr φ + n(1 − H )|φ|

        2

        2

        2

        3

        3 Como tr φ = µ = 0, µ = µ . i i = |φ| ≥ 0 e tr φ i i i i

        3 Podemos aplicar o lema 5.1 a µ , obtendo i i

        1 n(n − 2)H

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        3

        ) ∆|φ| ≥ |∇φ| + (|φ| + n(1 − H )|φ| − |φ|

        2 &amp; n(n − 1) (

        2 2 ' 2 n(n − 2)H 2 )

        ) = |∇φ| + |φ| · |φ| − |φ| + n(1 − H n(n − 1)

      2 Usando o fato que |∇φ| ≥ 0, temos

        &amp; (

        1

        2 2 ' 2 n(n − 2)H 2 )

        2

        )

        H

        ∆|φ| ≥ |φ| · |φ| − |φ| + n(1 − H = |φ| · P (|φ|),

        2 n(n − 1) onde a igualdade ocorre se, e somente se, |∇φ| = 0.

        Veremos algumas propriedades das ra´ızes do polinˆ omio P , bastante relevantes para o nosso

        H estudo.

        O discriminante de P ´e

        H

        n

        2

        2

        [n H − 4(n − 1)], n − 1 de modo que existem trˆes possibilidades:

        2 4(n − 1)

        1. se H &lt; , ent˜ ao P

        H

        (x) &gt; 0, ∀ x ∈ R;

        2

        n √

        2 4(n − 1) n − 1 n(n − 2)

        2

        2. se H = , ent˜ ao H = e a ra´ız dupla de P ´e B = H =

        H H

        2

        n n 2 n(n − 1)

        

      2

        n − 2 n − 2 , de modo que P (x) =

        H

        √ x − √ ≥ 0, ∀ x ∈ R; n n 4(n − 1) +

        2 −

        3. se H &gt; , ent˜ ao P tem ra´ızes reais B e B dadas por:

        H H H

        2

        n

      • + * n

        ±

        2

        2 B = H . H (n − 2)H ± n − 4(n − 1)

        4(n − 1)

        2

        2 B ´e sempre positiva. Por outro lado, B H

        &gt; 0 se, e somente se, (n−2)H− n − 4(n − 1) &gt;

        H H

        4(n − 1)

        

      2

        0, o que ´e v´alido se, e somente se, &lt; 1. Similarmente, B = 0 se, e somente se, ≤ H

        H

        2

        n

        2

        2 −

        H = 1 e B &lt; 0 se, e somente se, H &gt; 1.

        H

        Para a prova do teorema 1.2, usaremos, tamb´em, o seguinte resultado devido a H. Omori [14] e S. T. Yau [17].

        Ricardo Luiz Queiroz Freitas n

        5.3 Teorema. Seja M uma variedade riemanniana completa de dimens˜ ao n, cuja curvatura de

        2 Ricci ´e limitada inferiormente. Seja f uma fun¸c˜ ao de classe C , limitada superiormente (resp. inferiormente) em M . Ent˜ ao, para cada ǫ &gt; 0, existe um ponto p

        ǫ

        ∈ M tal que sup f − ǫ &lt; f (p ) &lt; ǫ (resp. ∆f (p

        ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ ) ≤ sup f (resp. inf f + ǫ &gt; f(p ) ≥ inf f), |∇f(p )| &lt; ǫ, ∆f(p ) &gt; −ǫ).

        Al´em disso, usaremos o teorema abaixo devido a Ki, Kim e Nakagawa [8], o qual nos garante

        2 ´e limitada superiormente.

        que f = |φ|

        5.4 Teorema. Seja M uma hipersuperf´ıcie tipo espa¸co completa com curvatura m´edia H cons-

        n+1

        2

        2 tante imersa em S

        1 . Se n ≥ 3 e n ·H ≥ 4(n−1), ent˜ao |φ| ≤ K, onde φ = A−HI conforme definido no cap´ıtulo 1 e K ´e uma constante positiva.

        1 Prova. Seja a fun¸c˜ao f definida por f = a qual ´e limitada superiormente por 1

        2

      • 1 |φ|

        2

        2

        n H

        e, e inferiormente por zero. Vimos que, sendo M tipo espa¸co, temos Ric M ≥ (n − 1) − 4 ent˜ ao, podemos aplicar o teorema 5.3 `a fun¸c˜ao f . Dado ǫ &gt; 0, existe p

        ǫ

        ∈ M que satisfaz (5.2)

        ǫ ǫ ǫ |∇f(p )| &lt; ǫ, ∆f(p ) &gt; −ǫ e inf f + ǫ &gt; f(p ) ≥ inf f.

        Calculando ∇f obtemos

        2

        1 ∇|φ| 3 ,

        ∇f = − ·

        2

        2 2

      • 1) (|φ| e o Laplaciano ´e:

        

      2

        2

        2

        1 3 ) ∆|φ| (∇|φ| 3 + . 5

        ∆f = − · ·

        2 2

        2 2

        2

        4

      • 1) + 1) (|φ| (|φ|

        Assim, teremos

        2

        2

        2

        1 (p ) 3 (p ))

        ǫ ǫ

        ∆|φ| (∇|φ| 3 5 −ǫ &lt; ∆f(p) = − · ·

      • 2

        2

        2 2

        4 2 (p ǫ ) + 1) (p ǫ ) + 1)

        (|φ| (|φ|

        2

        2 1

        1 (p ) 1 (p )

        ǫ ǫ

        ∆|φ| ∇|φ| 3 3 ) (p ) + 1)

        2

        2 2 ǫ

        = − · + 3 · (− · · (|φ|

        2

        2

        2 2

        2 2 (p ) + 1) (p ) + 1)

        

      ǫ ǫ

        (|φ| (|φ|

        2 1

        1 (p ǫ ) ∆|φ|

        2

        2 2 (p ) + 1) .

        &lt; − · + 3 · ǫ · (|φ|

        2

        2 2 (p ) + 1)

        ǫ

        (|φ| Portanto,

        2 1

        2 1

        1 (p ) 1 (p )

        ǫ ǫ

        ∆|φ|

        2

      2 ∆|φ|

      2

        2

        2 2

        ǫ &gt; 3 (p ) + 1) 3 (p ) + 1)

        ǫ ǫ

        · − 3 · ǫ · (|φ| ⇒ · &lt; ǫ + 3 · ǫ · (|φ|

        2

        2

        2 2

        2 2 (p ) + 1) (p ) + 1)

        ǫ ǫ

        (|φ| (|φ|

        1 Multiplicando por , teremos 1

        2 2

        (p ) + 1)

        ǫ

        (|φ|

        2

        1 (p ) ǫ

        ǫ

        ∆|φ|

        2

        &lt; 1 + 3ǫ (5.3) ·

        2

        2

        2

        2 (p ) + 1) 2

        ǫ

        (|φ| (p ) + 1)

        ǫ

        (|φ| Assim, para toda seq¨ &gt; 0 e ǫ

        k k 1 k 2

        uˆencia convergente {ǫ } tal que ǫ → 0(k → ∞), existe uma

        1 seq¨

        k 1 k

        uˆencia de pontos {p } em M de modo que a seq¨uˆencia = {f(p )} satisfaz

        2 2

        (p ) + 1)

        k

        (|φ|

        Ricardo Luiz Queiroz Freitas

        5.2 e tomando uma subseq¨ uˆencia, se necess´ario, temos que a mesma converge para um ponto f ,

        k

        uma vez que {f(p )} ´e limitada. Pela defini¸c˜ao de ´ınfimo e do fato que inf f + ǫ &gt; f(p) ≥ inf f temos que f

        k = inf f e, portanto, |φ|(p ) → |φ| = sup |φ|, de acordo com a defini¸c˜ao de f.

        1 Tomando a seq¨ , segue de 5.3 que

        k

        uˆencia {ǫ } = k

        2

        1 (p )

        1

        1

        1

        4

        k

        ∆|φ|

        2 &lt; ) . 1

        · · + 3 · ( ≤

        2

        2

        

      2

        2 (p ) + 1) k 2 k k

        k

        (|φ| (p ) + 1)

        k

        (|φ| Usando o lema 5.2, temos

        1

        2

        2 (p (p ). k H k k

        |φ| ) · P (|φ|(p )) ≤ · ∆|φ|

        2

        1 Multiplicando ambos os membros por obtemos

        

      2

        2

        (p ) + 1)

        k

        (|φ|

        2

        2

        (p )) 1 (p )

        4

        k H k k

        |φ| ) · P (|φ|(p ∆|φ| &lt; .

        ≤ ·

        2

        2

        2

        2

        (p ) + 1) 2 (p ) + 1) k

        k k

        (|φ| (|φ| Substituindo a express˜ ao de P chegamos a &amp; ( H n(n − 2)H

        2 '

        2 2 )

        (p (p )

        k k k

        |φ| ) · |φ| ) − |φ|(p ) + n(1 − H n(n − 1)

        4 &lt;

        2

        2

        (p ) + 1) k

        k

        (|φ| que equivale ` a inequa¸c˜ao

        4

        8

        4

        4 n(n − 2)H

        3

        2

        2 (p (p ) + (p &lt; 0. k k k

        1 − |φ| ) − |φ| n(1 − H ) − |φ| ) − k k k n(n − 1)

        4

        ´e positivo e temos que Para K ≥ 5 o coeficiente de |φ|

        4

        8

        

      3

        2

        2

        4 n(n − 2)H

        4

        0 &gt; (p (p ) + (p

        k k k

        1 − |φ| ) − |φ| n(1 − H ) − |φ| ) − k k k n(n − 1)

        1

        8

        4

        4 n(n − 2)H

        3

        2

        2

        (p (p ) + (p ,

        

      k k k

        ≥ |φ| ) − |φ| n(1 − H ) − |φ| ) −

        5

        5

        5 o que nos leva a concluir que a seq¨

        

      k

        uˆencia |φ|(p ) ´e limitada e converge para |φ| = sup |φ| &lt; ∞, tomando uma subseq¨ uˆencia se necess´ario. Prova do teorema 1.2: A equa¸c˜ao de Gauss implica

        2

        2

        n H ,

        Ric M ≥ (n − 1) −

        4 √

        2 n − 1 de modo que H &lt; implica Ric M ≥ δ &gt; 0. Pelo teorema de Bonnet-Myers M ´e n compacta. Como H ´e constante, o teorema de Montiel [10] implica que M ´e totalmente umb´ılica

        2 e ent˜ao |φ| ≡ 0.

        Ricardo Luiz Queiroz Freitas

        √

        2 n − 1

        2

        , ent˜ ´e limitada

        Se H ≥ ao podemos usar o teorema 5.4, o qual implica que |φ| n superiormente. Como a curvatura de Ricci ´e ainda limitada inferiormente, podemos aplicar o

        2

        , obtendo uma seq¨

        K

        teorema 5.3 para esta fun¸c˜ao |φ| uˆencia {p } de pontos em M de modo que

        1

        1

        2

        2

        2

        2 lim (p (p (p ) &lt; . k k k

        |φ| ) = sup |φ| , |∇|φ| )| &lt; e ∆|φ|

        

      k→∞ k k

        1

        2

        2 Assim, pela desigualdade H

        · ∆|φ| ≥ |φ| · P (|φ|) do lema 5.2, obtemos

        2

        1

        1

        2

        2 &gt; (p (p ). k k H k

        · ∆|φ| ) ≥ |φ| ) · P (|φ|)(p 2k

      2 Tomando o limite quando k → ∞, segue que,

        2

        2

        ( sup (5.4)

        H

        sup |φ| · P |φ| ) ≤ 0,

        2

        2

        2

        pois, lim (p e lim P ) = P ( lim )) = P ). Como

        k H k H k H

        |φ| ) = sup |φ| (|φ|)(p |φ|(p ( sup |φ|

        k→∞ k→∞ k→∞

        √

        2 n − 1 , sabemos que P tem duas (n˜ ao necessariamente distintas) ra´ızes reais. Da de-

        H

        H ≥ n

      • 2 −

        2

        sigualdade acima temos que P H . Suponha

        ( sup |φ| ) ≤ 0 o que implica B H ≤ sup |φ| ≤ B H que esta ´ ultima conclus˜ ao n˜ ao ocorra, isto ´e, que

      • 2 −

        2 &lt; B ou &gt; B .

        sup |φ| H sup |φ| H

        2 2 n

        Ent˜ ao P ( sup ´e to-

        H

        |φ| ) ´e estritamente positivo, o que implica por 5.4 que |φ| ≡ 0. Assim M talmente umb´ılica e o teorema est´a provado.

        √

        2 n − 1 Prova do teorema 1.3: Se H = , temos apenas uma hipersuperf´ıcie rotacional n completa, denominada cilindro hiperb´ olico, conforme Montiel em [11]. Por outro lado, se

        √

        2 n − 1 &lt; H &lt; 1, existe uma fam´ılia de curvas fechadas circundando os pontos cr´ıticos do n tipo centro, conforme figura (b) do cap´ıtulo anterior. Esta fam´ılia representa uma classe de

        2

        hipersuperf´ıcies rotacionais tipo espa¸co completas. Vamos estudar o comportamento de |φ| nesta situa¸c˜ao.

        2

        para uma hipersuperf´ıcie Primeiramente, fixemos uma curva de n´ıvel de G e estudemos |φ| rotacional fixada, digamos

        ′ n−1

        2

      ′2

        G(y, y ) = y y + y − 1 − Hy ≡ K.

        Ricardo Luiz Queiroz Freitas Ent˜ ao

        1

        

      2

        2

        = (k m )

        l

        |φ| − k 2n

        l,m

        1

        2

        = ))

        

      1

        1

        · 2(n − 1) (k − (nH − (n − 1)k 2n n − 1

        2

        = (k ))

        1

        1

        − (nH − (n − 1)k n

        2

        2

      ′2

        y + y − 1

        = n(n − 1) − H y

        2

        2

      ′2

        y + y − 1 − Hy

        = n(n − 1) y

      2 K .

        = n(n − 1)

        n

        y

        2 Esta ´

        ´e uma fun¸c˜ao decrescente ultima igualdade mostra que, para uma dada curva de n´ıvel, |φ|

        2 ´e atingido em algum ponto mais ` a esquerda da curva escolhida.

        de y, de modo que sup |φ| Denotamos este ponto por (y , 0). Como estamos interessados na varia¸c˜ao de y apenas entre

        2

        as coordenadas y dos pontos cr´ıticos de G para a fam´ılia de curvas fechadas, vamos avaliar |φ| nesses pontos. Assim, temos que 3

        2

        2

        2

        y

        1

        2 − 1 − Hy

        (y . |φ| , 0) = n(n − 1) = n(n − 1) 1 − − H

        2

        y y

        2

        temos que a mesma atinge todos os valores entre seus extremos, isto Pela continuidade de |φ|

        √

        2 n − 1 +

        − −

      • ´e, B e B . Logo, para cada H tal que B , B existe

        ≤ H &lt; 1 e todo B ∈

        H H H H

        n uma hipersuperf´ıcie rotacional completa do tipo esf´erica, com curvatura m´edia H constante e √

        2 n − 1

        2

        = B, provando, assim, a primeira parte do teorema para sup |φ| ≤ H &lt; 1. n

        Para H ≥ 1 a an´alise ´e bastante similar, exceto pelo fato de que nesse caso analisamos uma fam´ılia de curvas abertas intersectando o eixo y `a direita dos pontos cr´ıticos, conforme figuras (c) e (d).

        √

        2 n − 1 Para a segunda parte do teorema, suporemos primeiro que &lt; H &lt; 1. Usaremos um n

        1

        o subconjunto de tal curva totalmente contido na regi˜ ao y &gt; y ( veja figura (b)). Provaremos

        1

        que este subconjunto representa a hipersuperf´ıcie completa que tentamos descobrir, mostrando que a correspondente fun¸c˜ao y = y(t) est´a definida para todo valor real do parˆ ametro t.

        ′

        Se K = G(y , 0), ent˜ ao nossa curva ´e dada por G(y, y ) = K, y &gt; y . Suponha primeiro que

        1 1 ′ ′ n−1

        2 ′2

        y &gt; 0. A equa¸c˜ao G(y, y ) = y y + y implica − 1 − Hy

        2 n 2 2n 2(n−1)

        K + 2KHy + (H + y − 1)y

        ′ y (t) = F (y(t)) = . n−1

        y Integrando de t a t, com t fixado, temos - -

        t ′ y

        y dy = dt = , t − t

        F (y(t)) F (y)

        t y Ricardo Luiz Queiroz Freitas em que y(t ) = y . Como F ´e cont´ınua e F (y ) = 0, a ´ ,

        1

        1

        ultima integral diverge quando y → y o que significa que t pode assumir qualquer valor positivo. Para provar que t pode assumir qualquer valor negativo, procedemos similarmente, analisando a parte da curva abaixo do eixo

        ′

        y, isto ´e, y &lt; 0. Obtemos, deste modo, uma hipersuperf´ıcie rotacional completa a qual satisfaz

      • 2

        = B . Como as curvaturas principais n˜ ao s˜ao constantes, esta hipersuperf´ıcie ´e sup |φ| H diferente do cilindro hiperb´ olico.

        Para H ≥ 1, usamos uma das duas componentes conexas do subconjunto da curva de n´ıvel totalmente contida na regi˜ ao y &gt; y (veja figuras (c) e (d)). Dessa forma, a an´ alise ´e inteiramente

        1 an´ aloga `a anterior e, assim, conclu´ımos a prova do teorema.

        Prova do teorema 1.4: Pelo lema 5.2,

        1

        2

        2 H · ∆|φ| ≥ |φ| · P (|φ|).

        2

        2 − −

        Como = B , temos B sup |φ| ≥ 0 e sendo |φ| ≥ 0 conclu´ımos que |φ| ≤ sup |φ| =

        H H 2 −

        = B . Uma vez

        H

        sup |φ| H . Assim cada valor de |φ| fica `a esquerda da menor raiz de P que o gr´ afico de P ´e uma par´ abola com a concavidade voltada para cima, temos P

        H H

        (|φ|) ≥ 0

        2

        2

        ´e para todo p ∈ M. Este fato e a desigualdade acima implicam que ∆|φ| ≥ 0, isto ´e, |φ|

        2

        sub-harmˆ onica. Por hip´ ´e atingido em algum ponto de M . Ent˜ ao podemos aplicar otese, sup |φ|

        2 −

        o princ´ıpio do m´ . aximo para mostrar que |φ| ´e constante e portanto |φ| ≡ B

        H

        Usando, novamente, o lema 5.2, obtemos

        1

        2

        2

        2 − −

        0 = ) (B ) = 0,

        H H

        · ∆|φ| ≥ |φ| · P (|φ|) = (B H · P H

        2 de modo que a igualdade acontece no lema 5.2 e tamb´em no lema 5.1 uma vez que sendo ∇φ = 0

        2

        = 0 teremos e ∆|φ|

        2

        2

        3

        2

        2

        2

        2

        2 2 n(n − 2)H

        3 ) ) .

        0 = (|φ| − nH tr φ + n(1 − H )|φ| = (|φ| + n(1 − H )|φ| − |φ| n(n − 1) = k

        i i

        Pelo caso da igualdade nesse lema, (n − 1) dos n´umeros µ − H s˜ao iguais a

        −

        B |φ| H

        = , n(n − 1) n(n − 1) ou iguais ao negativo desta ´ ultima express˜ao. Isto significa que a hipersuperf´ıcie M tem n − 1 4 curvaturas principais iguais e constantes. Como nH = k i e H ´e constante, a outra curvatura principal de M ´e constante de modo que M ´e isoparam´etrica. Neste caso ´e conhecido que M ´e

        1 n−1

        isom´etrica ao cilindro hiperb´ olico H ( cosh (r)).

        ( senh r)×S

        Ricardo Luiz Queiroz Freitas Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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        37

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        Ricardo Luiz Queiroz Freitas

        Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matem´atica/Depto. de Matem´ atica

        Campus de Ondina, Av. Adhemar de Barros s/n, CEP: 40170-110 www.im.ufba.br/hpinst/mestrado

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