Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada

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Full text

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Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de Pós-Graduação em Matemática

Pura e Aplicada

Ações de grupos e semigrupos

inversos sobre bicategorias de

C*-álgebras

Celso Carvalho Antunes Junior

Orientador: Prof. Dr. Alcides Buss

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Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de Pós-Graduação em Matemática

Pura e Aplicada

Ações de grupos e semigrupos inversos

sobre bicategorias de C*-álgebras

Dissertação apresentada ao Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Apli-cada, do Centro de Ciências Físicas e Matemáticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obtenção do grau de Mestre em Matemática, com Área de

Concentração em Análise.

Celso Carvalho Antunes Junior Florianópolis

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Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,

através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.

Antunes Junior, Celso Carvalho

Ações de grupos e semigrupos inversos em bicategorias de C*-álgebras / Celso Carvalho Antunes Junior ; orientador, Alcides Buss - SC, 2017.

129 p.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e

Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2017.

Inclui referências.

1. Matemática Pura e Aplicada. 2. C*-álgebras. 3. Bicategorias. 4. Ações torcidas. 5. Semigrupos inversos. I. Buss, Alcides. II. Universidade

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Ações de grupos e semigrupos inversos

sobre bicategorias de C*-álgebras

por

Celso Carvalho Antunes Junior1

Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do Título de “Mestre”, Área de Concentração em Análise, e aprovada em sua forma final pelo Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada.

Prof. Dr. Ruy Coimbra Charão Coordenador

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Alcides Buss (Orientador - UFSC)

Virgínia Silva Rodrigues

(Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC)

Gilles Gonçalves de Castro

(Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC)

Ralf Meyer

(Georg-August-Universität Göttingen)

Giuliano Boava

(Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC)

Florianópolis, Fevereiro de 2017.

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Resumo

O presente trabalho tem como objetivo fazer um estudo de ações de grupos e semigrupos inversos sobre bicategorias de C*-álgebras com diferentes formas de morfismos, como ∗-homomorfismos não degenera-dos, correspondências e bimódulos de Hilbert regulares ou não. Mostra-mos que ações de grupo através de∗-homomorfismos não degenerados dão origem a ações torcidas de grupo. Mostramos também que ações de grupo através de correspondências dão origem a fibrados de Fell saturados sobre o mesmo grupo. Além disto, mostramos que ações de semigrupo inverso através de bimódulos de Hilbert dão origem a fibra-dos de Fell saturafibra-dos sobre o mesmo semigrupo inverso. Finalmente, mostramos que ações de semigrupo inverso através de bimódulos de Hilbert regulares dão origem a fibrados de Fell regulares, os quais foram mostrados em Twisted Actions and Regular Fell Bundles over Inverse Semigroups de Alcides Buss e Ruy Exel serem isomorfos a fibrados de Fell construídos a partir de ações torcidas de semigrupo inverso.

As referências principais desta dissertação são A Higher Category Approach to Twisted Actions on C*-Algebras de Alcides Buss, Ralf Meyer e Chenchang Zhu, e Inverse Semigroup Actions on Groupoids de Alcides Buss e Ralf Meyer.

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Abstract

The present work aims to study group and inverse semigroup actions on bicategories of C*-algebras with different forms of morphisms, like non-degenerate ∗-homomorphisms, correspondences and regular and non-regular Hilbert bimodules. We prove that group actions through non-degenerate ∗-homomorphisms give rise to twisted group actions. We also show that group actions through correspondences yield satu-rated Fell bundles over the same group. Furthermore, we prove that inverse semigroup actions through Hilbert bimodules yield saturated Fell bundles over the same inverse semigroup. Finally, we show that inverse semigroup actions through regular Hilbert bimodules give rise to regular satured Fell Bundles, which was shown on Twisted Actions and Regular Fell Bundles over Inverse Semigroupsby Alcides Buss and Ruy Exel to be isomorphic Fell bundles built from twisted inverse semi-group actions.

The main references for this dissertation areA Higher Category Ap-proach to Twisted Actions on C*-Algebrasby Alcides Buss, Ralf Meyer and Chenchang Zhu, andInverse Semigroup Actions on Groupoids by Alcides Buss and Ralf Meyer.

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Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 6

1.1 Semigrupos Inversos . . . 6

1.2 C*-álgebras . . . 15

1.3 Categorias . . . 26

1.4 Fibrados de Fell . . . 36

2 Módulos de Hilbert 48 2.1 Definições . . . 48

2.2 Operadores adjuntáveis . . . 53

2.3 Representações e a álgebra dos multiplicadores . . . 69

2.4 Correspondências e produtos tensoriais . . . 73

3 Bicategorias 92 3.1 Definições . . . 92

3.2 A BicategoriaC∗(2) . . . 100

3.3 A BicategoriaCorr(2) . . . 103

3.4 Sub-bicategorias deCorr(2) . . . 104

4 Funtores fracos 106 4.1 Definições . . . 106

4.2 Ações fracas de grupos . . . 110

4.3 Ações fracas emC∗(2). . . 111

4.4 Ações fracas emCorr(2). . . 112

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Introdução

No contexto de C*-álgebras, a forma mais comum de morfismos são os ∗-homomorfismos, que preservam as propriedades algébricas de uma C*-álgebra. Esta noção dá origem a uma categoria de C*-álgebras que é usada quando tratamos de ações de grupo sobre C*-álgebras de maneira funtorial. Neste caso, vemos um grupo como uma categoria com apenas um objeto e a ação se torna um funtorαGC∗.

Foi mostrado em [11] que ações parciais de um grupoGsão

equiv-alentes a ações do semigrupo inverso associado ao grupo G, denotado

porS(G). Com isto, podemos estudar ações parciais de grupo através do estudo de ações de semigrupo inverso.

No caso de semigrupos inversos com unidade não podemos nos uti-lizar da mesma construção, pois mesmo aqui, os morfismos associados à ação são isomorfismos entre ideais da C*-álgebra, que não são codifica-dos através do ponto de vista categórico através de um funtor como no caso de grupos. Para isto precisamos de outras formas de morfismos.

Outra forma conhecida de morfismos entre C*-álgebrasA eB são

∗-representações. Uma∗-representação é um∗-homomorfismo não de-generado de Apara a álgebra dos multiplicadores deB, denotada por M(B). É conhecido que isto forma uma outra categoria de C*-álge-bras, em que a composição de morfismos neste caso se dá através da identificação dos ∗-homomorfismos não degenerados deA paraM(B)

com os ∗-homomorfismos estritamente contínuos e unitais de M(A)

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A álgebra de multiplicadores de B pode ser construída via o

es-tudo de representações em módulos de Hilbert. Vemos que a álgebra de multiplicadores deB é isomorfa à C*-álgebra dos operadores

adjun-táveis deB, denotada porL(B), considerandoBcomo umB-módulo de

Hilbert. Com isto, uma∗-representação deAparaBpode ser

interpre-tada como um∗-homomorfismo não degenerado deAparaL(B), o que faz com queB se torne umA-módulo à esquerda. No caso mais geral

em que assumimosHcomo sendo um B-módulo de Hilbert, podemos

ainda considerar ∗-homomorfismos não degenerados de A para L(H)

e isto dá origem a uma correspondência deA paraB. Quando temos

acesso as correspondências, podemos fazer produtos tensoriais interi-ores entre elas, obtendo uma nova correspondência como resultado e com isto podemos interpretar o produto tensorial como uma operação entre as correspondências. O problema é que esta operação não é as-sociativa e nem tem unidade, implicando que não existe uma categoria de C*-álgebras com morfismos sendo correspondências. Apesar disto, se enfraquecermos a noção de igualdade para isomorfismos, o produto tensorial interior é associativo através de um isomorfismo implemen-tado por um unitário. Além disto, existem correspondências que agem como identidade à esquerda e à direita, novamente a menos de um iso-morfismo implementado por um unitário. Isto nos inspira a usar uma noção enfraquecida de categorias, que nos dê uma noção de morfismos entre morfismos.

O estudo de bicategorias nos dá exatamente isto. Uma bicategoria, além dos objetos e morfismos de uma categoria usual, também tem 2-morfismos, os quais fazem o papel de morfismos entre morfismos como mencionamos acima. Quando tratamos de 2-morfismos inversíveis en-tre dois morfismosf eg, dizemos quef egsão isomorfos e isto implica que eles são muito parecidos e que mesmo sendo diferentes, acabam se comportando de maneira similar, bem como num isomorfismo entre objetos numa categoria usual. Com isto, construímos uma bicategoria, ou 2-categoria fraca, de C*-álgebras,Corr(2)com morfismos sendo as correspondências mencionadas acima e os 2-morfismos sendo unitários. Voltando à nossa analogia com∗-representações, quando nos restringi-mos ao caso de que a correspondência de A para B é dada sobre B

como umB-módulo de Hilbert, ainda temos os unitários deB, que são

na verdade implementados pelos unitários multiplicadores de M(B). Com isto, podemos também estender a categoria construída anterior-mente para uma 2-categoria, estrita neste caso, com 2-morfismos sendo unitários multiplicadores, denotada porC∗(2).

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enfraque-cida de categoria. Como no caso de categorias, um funtor age como um morfismo entre categorias, podemos pensar num análogo para bi-categorias. Estes são chamados de funtores fracos, ou homomorfismos na literatura, e agem como funtores enfraquecidos, no sentido de que eles não preservam a composição e a unidade através de igualdades e sim através de 2-isomorfismos.

Vemos um grupoGcomo uma bicategoria com um único objeto em

que os 2-morfismos são apenas as identidades e usamos funtores fracos de G para C∗(2) eCorr(2)para fazer um análogo às ações de grupo através de funtores. Estas são chamadas de ações fracas de grupos e nos dão resultados importantes. O primeiro resultado neste sentido deste trabalho estabelece que uma ação fraca de grupo sobre C∗(2) é equivalente a uma ação torcida de Gno sentido de Busby-Smith, veja [3].

O segundo resultado deste trabalho nesta direção estabelece que uma ação fraca de grupo sobre Corr(2)é equivalente a um fibrado de Fell saturado sobre o mesmo grupo, em que a fibra sobre a unidade é isomorfa à C*-álgebra de base da ação. Este resultado foi mostrado em [7]. Fibrados de Fell podem então ser entendidos como uma noção mais geral de ações de grupo sobre C*-álgebras.

Existe uma noção de equivalência entre C*-álgebras que age como um∗-isomorfismo enfraquecido. Esta equivalência é implementada por um bimódulo de imprimitividade entre as C*-álgebras e este preserva várias propriedades das C*-álgebras, como uma correspondência en-tre os ideais das mesmas que é dado pela famigerada correspondên-cia de Rieffel ([19]: Prop. 3.24). Na bicategoria Corr(2), os mor-fismos inversíveis, ou seja, as correspondências inversíveis são exata-mente os bimódulos de imprimitividade, como foi mostrado em [8]. Ainda neste estudo, vemos que bimódulos de Hilbert são bimódulos de imprimitividade entre ideais das C*-álgebras, sendo assim uma forma de ∗-isomorfismo enfraquecido entre os ideais. Além disto, o produto tensorial entre bimódulos de Hilbert é novamente um bimódulo de Hilbert, implicando que a restrição das correspondências aos bimódulos de Hilbert dá origem a uma nova bicategoria, com os mesmos objetos e 2-morfismos deCorr(2), chamadaBim(2).

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inverso, um resultado análogo ao conseguido no caso de grupos para a Corr(2) reforçando a ideia de que fibrados de Fell podem ser vistos como ações de semigrupo inverso, neste caso, sobre C*-álgebras.

No artigo [5] foi mostrado que fibrados de Fell saturados e reg-ulares sobre um semigrupo inverso são equivalentes a ações torcidas de semigrupo inverso sobre uma C*-álgebra. Com isto em mente, re-stringiremos novamente os morfismos da nossa bicategoriaBim(2)para bimódulos de Hilbert regulares (um bimódulo de Hilbert é dito regular se ele é isomorfo a umA-B-bimódulo de Hilbert dado por uma tripla

(I, J, ϕ), em que I é um ideal de A, J é um ideal de B e ϕ é um

∗-isomorfismo entre I eJ, tornando J umA-B-bimódulo de Hilbert).

Mostramos que o produto tensorial de dois bimódulos de Hilbert regu-lares é novamente regular, donde segue que esta restrição dá origem a uma nova bicategoria denotada porReg(2).

Por fim, mostramos que uma ação fraca de semigrupo inverso sobre Bim(2)é equivalente a um fibrado de Fell saturado sobre o semigrupo inverso, generalizando o resultado anterior de ações de grupo sobre Corr(2).

No primeiro capítulo fazemos um estudo preliminar que será necessá-rio para a leitura desta dissertação, começando com uma introdução a semigrupos inversos a qual indicamos [15] para um desenvolvimento maior do estudo, uma revisão rápida da teoria de C*-álgebras a qual indicamos [18] para um estudo mais aprofundado, definimos categorias e funtores, juntamente com alguns exemplos baseados em [1], e final-mente abordamos fibrados de Fell sobre grupos e semigrupos inversos o qual indicamos [12] e [10] para mais informações sobre o assunto.

No segundo capítulo abordamos outro pré-requisito para os resul-tados principais deste trabalho com o estudo de módulos de Hilbert. Também fazemos uma construção da álgebra de multiplicadores de uma C*-álgebra e demonstramos o teorema de Cohen-Hewitt. Como refer-ências para este capítulo usamos [14] e [19].

No terceiro capítulo começamos com a definição de bicategorias, junto com alguns exemplos de bicategorias de C*-álgebras e sub-bicate-gorias.

No último capítulo definimos a noção de funtores fracos e com isto a ideia de uma ação fraca de um grupo, ou um semigrupo inverso com unidade, em uma bicategoria de C*-álgebras, alcançando os resultados principais deste trabalho. Para este e o capítulo anterior, nos baseamos em [2] para as definições e teoria de bicategorias e funtores fracos. Outra referência para este estudo é [9].

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Capítulo 1

Preliminares

1.1

Semigrupos Inversos

Para um estudo mais aprofundado do conteúdo desta seção sugeri-mos [15].

SejaXum conjunto. Uma operação emXé uma funçãofX×X

X. Dizemos que esta função é associativa se o seguinte diagrama

X×X×Xf×id //

id×f

X×X f

X×X

f //X

comuta, em queiddenota a função identidade eg×hdenota a função

que levaX×X∋ (x, y) ↦ (g(x), h(y)) ∈X×X para funçõesg, hX

X.

Um conjunto com uma operação associativa é chamado um semi-grupo.

Em geral, denotaremos nossa operação por e escreveremos xy, ouxy, para denotar⋅(x, y). Por esta razão, nos referiremos a um semi-grupo apenas por seu conjunto subjacente ficando sua operação suben-tendida.

Exemplo 1.1.1. O conjunto dos naturaisNcom a adição como

oper-ação é um semigrupo.

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Exemplo 1.1.3. SejaX um conjunto. ConsidereF un(X)o conjunto

de todas as funções deX paraX. EntãoF un(X)é um semigrupo com

a operação de composição.

Sejam X, Y semigrupos. Uma função fXY é dita ser um

homomorfismo (de semigrupos) se f(xy)=f(x)f(y), para todo x, y

X.

Definição 1.1.4. Um semigrupo X é chamado regular se, para todo

xX, existeyX tal que

xyx=xeyxy=y.

Este elementoy é chamado um inverso de x.

É claro que sey é um inverso dex, entãoxé um inverso dey.

Exemplo 1.1.5. Seja X um conjunto. Considere P(X) o conjunto

das partes de X. Dados Y, Z ∈ P(X), considere o conjunto de

to-das as bijeções de Y para Z, denotado por Bij(Y, Z). A união de

todos os conjuntos Bij(Y, Z), em que Y, Z ∈ P(X) é denotado por

P Bij(X) e é chamado de bijeções parciais de X. Observe que não

podemos compor quaisquer duas funções deste conjunto, já que exis-tem funções claramente não componíveis no sentido usual. Entretanto, existe um outro sentido de composição, chamado de composição par-cial de funções. Este outro sentido nos permite compor quaisquer duas funções acima, desde que restrinjamos seus domínios e contradomínios de maneira conveniente.

Sejam fYZ e gVW duas funções em que V, W, Y, Z

são subconjuntos deX. Então podemos fazer a composição gf se o

contradomínio de f está contido ou igual ao domínio de g. Considere

então o conjunto f−1(VZ), em que f−1 denota a imagem inversa

do conjunto em questão. Sobre este conjunto, potencialmente vazio, podemos aplicar gf. De fato,

gf(f−1(VZ))⊂g(VZ)⊂W.

Podemos então definir novas funçõesf, g′, restrições de f e g,

re-spectivamente, de forma que f′∶f−1(VZ)→ VZ eg′∶ VZ

g(VZ). Estas funções são componíveis no sentido usual. Definiremos

a composição parcial deg comf como sendo a composição deg′ com f′. Note que esta composição pode resultar na função vazia.

No caso quef eg são bijetoras, segue que f′ eg′definidas acima

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Segue que o conjunto das bijeções parciais de X com a operação

de composição definida acima é um semigrupo regular, em que uma inversa para cadafYZP Bij(X)é da formaf−1∶

ZY, dada

pela função inversa def.

Mais ainda, note que sefYZé uma bijeção parcial deX, então f−1○f =idY eff−1=idZ. Com isto,

f=fidY =ff

1 ○f

e

f−1=f−1○idZ=f−1○ff−1.

LogoP Bij(X)é um semigrupo regular.

SejaX um semigrupo. Um elementoxX é chamado um idempo-tentesexx=x. O conjunto de todos os idempotentes de um semigrupo X é denotado por E(X).

Se X é um semigrupo regular e x, yX de forma que y seja um

inverso parax, entãoxy eyx são idempotentes. De fato,

xyxy=(xyx)y=xy

e similarmenteyxyx=yx.

Uma questão importante é quandoE(X)é um subsemigrupo deX,

ou seja, quando E(X) é fechado pela operação de X. Para que isto

aconteça, precisamos avaliar quando o produto de dois idempotentes é novamente um idempotente. Dadose, fE(X), temos que seecomuta

comf, então

ef ef =eef f=ef.

Vemos então que paraE(X)ser um subsemigrupo, uma condição

suficiente é queE(X)seja comutativo.

Definição 1.1.6. Um semigrupo regular S é chamado um semigrupo

inverso seE(S)é comutativo.

O próximo teorema nos dá uma equivalência para um semigrupo regular ser inverso.

Teorema 1.1.7. Seja S um semigrupo regular. EntãoS é inverso se, e somente se, existe um único inverso para cada elemento deS.

Demonstração: Suponha que S seja inverso e que u, vS sejam

inversos desS. Entãousevssão idempotentes, e logo

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Suponha agora que exista um único inverso para cada elemento de

S. Sejam e, fE(S). Temos que existe um único inverso de ef,

digamosxS. Note que

(f xe)2=f(xef x)e=f xe

e portanto, f xeE(S). Mais ainda,

ef(f xe)ef =ef xef=ef

e

(f xe)ef(f xe)=f(xef x)e=f xe.

Logo f xe = x, pela unicidade do inverso de ef. Isto mostra que

o inverso do produto de dois idempotentes é também idempotente. Porém, todo idempotente é inverso de si mesmo, e logo como ef é

inverso de x, segue que ef = x. Isto mostra que ef é idempotente.

Similarmente, f eé idempotente. O cálculo anterior então mostra que ef =x=f xe. Portanto,

ef=f xe=f ef e=f e.

Então em um semigrupo inverso, todo elemento tem um único in-verso. Por conta deste resultado, vamos denotar o inverso de um ele-mento sS pors−1.

SejamS, T semigrupos inversos. Um homomorfismo de semigrupos fST preserva inversos. De fato,

f(s−1)=f(s−1ss−1)=f(s−1)f(s)f(s−1)

e

f(s)=f(ss−1s)=f(s)f(s−1)f(s),

donde segue quef(s−1)é um inverso paraf(s). Logo,f(s−1)=f(s)−1.

Vamos mostrar agora que o semigrupo do Exemplo 1.1.5 também

é um semigrupo inverso. Já sabemos que ele é um semigrupo regular. SejaeYZBij(X)um idempotente. Temos que

e=e−1∶ZY

e

e=ee=idY

e por outro lado,

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o que implica que Z = Y e que e é a função identidade de algum

subconjunto deX. Por outro lado, seY ∈P(X)entãoidY é claramente

um idempotente, o que implica que todo idempotente de P Bij(X

da forma descrita acima. Sejam agoraY, Z∈P(X). Temos, usando as

noções de domínio de composição parcial definidas no outro exemplo, queidYidZZYZY, eidYidZ=idZY, donde segue que os

idempotentes comutam, e logoP Bij(X)é um semigrupo inverso.

Este é o exemplo mais importante da teoria, já que todo semigrupo inverso se imerge num da forma descrita acima, para algum conjunto

X específico. Note que neste exemplo, os idempotentesff−1ef−1○f

se comportam como identidades à esquerda e à direita def. É fácil ver

que este também é o caso para um semigrupo inverso qualquer. SeS é um semigrupo inverso esS, denotamos pord(s)=s−1

se

r(s)=ss−1, em que o primeiro é chamado de domínio de

se o segundo chamado de imagem des.

Iremos mostrar agora algumas propriedades de semigrupos inversos em geral. Algumas destas propriedades já foram mostradas durante o texto, mas serão relatadas novamente aqui para fins de referência.

Proposição 1.1.8. Seja S um semigrupo inverso. Então 1. Para todo sS,s−1s ess−1 são idempotentes. 2. (s−1)−1

=s.

3. Para todo sS e todo eE(S),s−1es é idempotente. 4. Se eE(S)entãoe−1

=e.

5. Para quaisquer s1, s2∈S,(s1s2)−1=s−21s− 1 1 . Demonstração:

1. (s−1s)(s−1s)=(s−1ss−1)s=s−1s,e similarmente parass−1.

2. Direto da definição.

3. s−1e(ss−1)es=(s−1ss−1)ees=s−1es.

4. Direto da definição. 5. (s1s2)s−21s

1

1 (s1s2)=(s1s−11s1)(s2s−21s2)=s1s2 e (s−1

2 s− 1

1 )s1s2(s−21s− 1 1 )=(s

1

2 s2s−21)(s− 1

1 s1s−11)=s− 1 2 s

1 1 .

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Lema 1.1.9. Seja S um semigrupo inverso. DadossS e eE(S), existem idempotentes f1 ef2 de forma quese=f1sees=sf2.

Demonstração: Parase consideref1=ses−1. A proposição anterior

nos diz quef1 é idempotente. Além disso, temos

f1s=ses−1s=ss−1se=se.

A outra parte é análoga usando o idempotentef2=s−1es.

Veremos agora a relação entre grupos e semigrupos inversos.

Proposição 1.1.10. Um semigrupo inverso S é um grupo se, e so-mente se, E(S)contém apenas um elemento.

Demonstração: Suponha que S seja um grupo. Sejame, fE(S).

Então

e=ee=ee−1=1=f f−1=f f=f.

Por outro lado, suponha queE(S) contenha apenas um elemento,

digamos e. Para quaisquersS, ss−1

, s−1

sE(S), e logo,ss−1

=e=

s−1

s. Note que para todo sS, se = ss−1

s = s e es = ss−1

s = s, e

portantoeage como a unidade deS, e logoS é um grupo.

Iremos agora descrever a ordem parcial natural em um semigrupo inverso. Voltemos ao exemplo de P Bij(X)(Exemplo 1.1.5). Lembre

qued(f)=f−1○

f e, a partir daqui, identificaremos a função identidade d(f)com seu domínio. Temos uma ordem natural em P Bij(X), em

que fg se, e somente se, d(f) ⊂ d(g) e f(x) = g(x), para todo xd(f). Afirmamos que esta condição é equivalente a igualdadef =

gf−1○

f. De fato, comof(x)=g(x)para todoxd(f), ed(f)=f−1○

f

temos, em particular, que f(x)=ff−1○f(x)=gf−1○f(x), para

todo xd(f). Como o domínio degf−1○f é igual ad(f), segue que

podemos descrever a igualdade comof =gf−1○f. Mais ainda, note que

este é o único idempotente que faria com que esta igualdade funcionasse. Por outro lado, sef =gf−1○f, temos que, em particular,d(f)⊂d(g),

pois caso contrário a composição restringiria o domínio de g para um

domínio menor que o de f. Além disso, segue que f(x)=g(x), para

todo xd(f). Com isso, podemos definir quefg se, e somente se,

f =gf−1○

f. Vamos usar esta ideia para uma relação de ordem num semigrupo inverso qualquer.

Seja S um semigrupo inverso. Dados s, tS, dizemos que st

se existe eE(S) tal que s= te. Isto define uma relação de ordem

parcial paraS, mas para mostrarmos isto, vamos primeiro ver algumas

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Proposição 1.1.11. SejamS um semigrupo inverso es, tS. Então são equivalentes:

1. st;

2. s=f tpara algumfE(S); 3. s−1

t−1;

4. s=ss−1

t;

5. s=ts−1

s.

Demonstração: (1) ⇒ (2) ∶Segue diretamente do Lema 1.1.9,

apli-cado àt.

(2) ⇒ (3) ∶ Usando a Proposição 1.1.8, temos que s−1 = t−1f−1 =

t−1f. Logo,s−1≤t−1.

(3) ⇒ (4) ∶ ExisteeE(S)tal ques−1

=t−1

e, entãos=et, e logo s=et=eet=es, o que implica ess−1

=ss−1. Daí,

s=ss−1

s=ss−1

et=

ess−1t=ss−1t.

(4) ⇒ (5) ∶Comos=ss−1

t, segue do Lema 1.1.9 que existeeE(S)

de forma ques=te. Disto,s=se, e logos−1

s=s−1

se. Daí,s=ss−1

s=

tes−1

s=ts−1

se=ts−1

s.

(5) ⇒ (1) ∶Direto da definição.

Observe que a inversão no semigrupo inverso preserva a ordem. Com estas equivalências podemos agora mostrar que a relação definida acima é uma ordem parcial.

Proposição 1.1.12. SejaS um semigrupo inverso. A relaçãoé uma ordem parcial.

Demonstração: Comos=ss−1s, para todosS, segue que a relação

é reflexiva.

Sestets, entãos=ts−1

set=st−1

t. Disto,

s=ts−1s=st−1ts−1s=st−1t=t,

donde segue a antissimetria.

Por fim, sestetu, entãos=ts−1

set=ut−1

t, logos=ut−1

ts−1

s,

donde segue a transitividade.

Esta ordem é chamada de ordem parcial natural do semigrupo in-verso.

Se S, T são semigrupos inversos e fST é um homomorfismo,

(27)

fato, se s, tS são tais quest, então, existe eE(S)de forma que s=te, temos

f(s)=f(te)=f(t)f(e),

donde segue quef(s)≤f(t), já quef(e)é idempotente.

Esta relação se comporta bem com o produto. De fato, sesteu

v, entãos=ss−1

t eu=vu−1

u, dondesu=ss−1

tvu−1

u. Usando o Lema

1.1.9, segue que existe eE(S) de forma que ss−1

tvu−1

u= tvu−1

ue,

provando quesutv.

Uma consequência disto é que se st, então d(s)≤d(t) er(s)≤

r(t).

Podemos também ver esta ordem parcial natural sobre o subsemi-grupo inversoE(S). Temos que see, fE(S), entãoefse, e somente

se, e=ef = f e, como consequência direta da Proposição 1.1.11, item

(4).

Definiremos agora uma estrutura que descreverá melhor as pro-priedades da ordem parcial natural do subsemigrupoE(S)de um semi-grupo inversoS.

Definição 1.1.13. Um semirreticulado inferior é um conjunto X com

uma ordem parcial ≤ tal que para quaisquerx, yX, existezX de

forma que zx, y e para todo wX, que satisfaz wx, y, tem-se

que wz. Este z é chamado de ínfimo dex, y e denotado porxy.

Similarmente, um semirreticulado superior é um conjunto X com uma

ordem parcial≤ de forma que para todox, yX, existe umzX que

satisfazx, yz e para todo outrowX de forma quex, yw, temos

quezw. Este zé chamado de supremo dex, y e denotado porxy.

Um reticulado é um semirreticulado inferior e superior.

Note que xy é único, pois caso existamw, zX satisfazendo o

enunciado, segue quewz ezw, dondez=w. Analogamente xy

é único. Além disso, é claro quexx=x.

Lembre que estudando os idempotentes do semigrupo inverso do Exemplo 1.1.5, vimos que eles são funções identidade em subconjuntos

de um conjunto X. Por isso, podemos identificá-los com o próprio

subconjunto. A operação do semigrupo inverso é identificada com a operação nos subconjuntos de X e a relação de ordem proveniente

é dada por continência. Note que P(X), com a operação ∩define um

semigrupo comutativo. Mais ainda, dadoY ∈P(X),YY =Y, e logo

todo elemento deP(X)é idempotente e logo(P(X),∩)é um semigrupo

inverso em que todos os seus elementos são idempotentes.

Por outro lado, note queP(X)com a relação de ordem parcial dada

(28)

segue que os idempotentes de P Bij(X) formam um semirreticulado

inferior.

Isto é algo que acontece num semigrupo inverso qualquer.

Proposição 1.1.14. SeS é um semigrupo inverso,E(S)com a ordem parcial natural é um semirreticulado inferior.

Demonstração: Dadose, fE(S), note que ef e=f ee=f e, donde

segue quef ee, e similarmente,f ef. Suponha agora quehE(S

tal quehe, f. Usando a estrutura de ordem parcial nos idempotentes

de um semigrupo inverso, temos quehe=hehf=h, donde segue que hef=he portantohef. Logo,ef =ef.

Por isso, geralmente nos referimos aE(S)como sendo o semirretic-ulado dos idempotentes deS.

Seja agora (P,≤) um semirreticulado inferior. Temos que (P,∧)

gera um semigrupo inverso em que todos os elementos são idempo-tentes. Vamos mostrar primeiro a associatividade. Sejam p, q, rP.

Note que (pq) ∧rp, q, r, donde segue que (pq) ∧rp, qr

e logo (pq) ∧rp∧ (qr). Similarmente, mostra-se a outra

de-sigualdade. Mostraremos agora que a operação é comutativa e que todos os elementos de P são idempotentes. Sejamp, qP, temos que qp=pqP, poisPé um semirreticulado inferior. Além distopp=p

e logopé idempotente, donde segue que(P,∧)é um semigrupo inverso

em que todos os elementos são idempotentes. Disto, temos uma relação biunívoca entre semigrupos inversos formados apenas por idempotentes e semirreticulados inferiores.

Observe que, pela proposição 1.1.10, um grupo é um semigrupo

inverso com apenas um idempotente. Disto, a relação de ordem parcial natural passa a ser uma igualdade, já quest se, e somente se,s=t, para s, tno grupo. Por outro lado, se a ordem parcial natural de um

semigrupo inverso S é dada pela igualdade, segue que se e, fE(S),

entãoefe, f, donde segue quee=f, e portantoS é um grupo.

Um semigrupo inversoS é ditounital se existe um elemento 1∈S

de forma que s1 = 1s = s para todo sS. Em particular, 1 é um

idempotente. CasoSseja um semigrupo inverso sem unidade, podemos

torná-lo unital adicionando um novo elemento 1 a S e formando o

conjuntoS∪ {1}, de forma ques1=1s=spara todosS∪ {1}.

A teoria continua seu desenvolvimento com o estudo de ideais em semigrupos inversos. Estes são de suma importância na teoria e nos permitem demonstrar o famigerado teorema de Wagner-Preston.

(29)

a ordem parcial natural.

Para ver a demonstração deste teorema, bem como um maior de-senvolvimento da teoria de semigrupos inversos, indicamos [15].

1.2

C*-álgebras

Para um estudo mais aprofundado do conteúdo desta seção re-comendamos ver [18].

SejaA um espaço vetorial sobreC. Dizemos queA é uma álgebra

se existe uma operação em A, a qual chamaremos de multiplicação, ou

produto, e denotaremos por(a, b) ↦abque é bilinear e associativa.

Uma álgebra A é chamada uma ∗-álgebra se existe uma função

∗ ∶AA, a qual chamaremos de involução e denotaremos poraa,

satisfazendo:

1. (a+λb)∗=a∗+λb∗;

2. (a∗)∗=a;

3. (ab)∗=ba

para quaisquer a, bAeλ∈C.

Um subconjuntoSAé chamado auto-adjunto seS∗∶={a∗∶aS}

é igual aS.

Uma-álgebraAé chamada normada se existe uma norma∥ ⋅ ∥em Ade forma que, paraa, bA, tenhamos

ab∥≤∥a∥∥b∥e∥a∗∥=∥a.

Similarmente uma álgebraAé chamada normada se∥ab∥≤∥a∥∥b∥,

para todoa, bA.

Lembre que a norma de um espaço vetorial é uma função do espaço para os elementos positivos deR que torna contínuas as operações de

soma e de multiplicação por escalar. No caso de uma norma em uma

∗-álgebra, estamos pedindo que a continuidade se mantenha para as duas novas operações que criamos, ou seja, o produto e a involução, sendo que a involução se torna isométrica.

Uma-álgebra normadaAé chamada uma∗-álgebra de Banach se Aé completo com relação à sua norma.

Definição 1.2.1. Uma -álgebra de Banach A é chamada uma

C*-álgebra se, para todoaA,

(30)

Esta igualdade é chamada C*-identidade.

Observe que, em particular, toda C*-álgebra é uma álgebra de Ba-nach.

Uma C*-álgebra A é dita unital se existe um elemento 1 ∈ A de

forma que para todoaA, 1a=a1=a.

Observe que como A é uma ∗-álgebra de Banach, segue que para

todo aA, ∥aa∥ ≤∥a∗∥∥a∥ = ∥a∥2 e, portanto, para verificar a

C*-identidade basta mostrar quea∥2≤∥aa∥para todoaA.

Uma -subálgebra de A é um subconjuntoBA em que as

oper-ações deA, quando restritas a B, tem como imagem um subconjunto

deB. Se, além disso, B for fechado emA, entãoB será também uma

C*-álgebra.

Exemplo 1.2.2. ConsidereC com a involução dada pela conjugação

e a norma é dada pelo módulo. Com esta norma e esta involução,Cé

uma C*-álgebra. Isto é direto da definição do módulo.

Exemplo 1.2.3. SejaX um conjunto. Considere as funçõesf deX

paraCque são limitadas, no sentido que existe umL>0 de forma que

f(x)∣ ≤L para todo xX. Denotaremos este conjunto por ∞(X).

Tornamos∞(X)numa∗-álgebra através das operações:

(f+g)(x)=f(x) +g(x),

(λf)(x)=λf(x),

(f g)(x)=f(x)g(x),

f∗(x)=f(x),

em quef, g∞(X)eλ∈C. Definimos a norma de ∞(X)por ∥f∥=sup

xXf(x)∣.

É fácil ver que∞(X)é completo com esta norma e portanto, esta

é uma -álgebra de Banach. Para a C*-identidade, seja f∞(X).

Note que

ff∥=sup

xX

f(x)f(x)∣=sup

xX

f(x)∣2=∥f∥2,

donde segue que∞(X)é uma C*-álgebra. Esta C*-álgebra é unital

(31)

Exemplo 1.2.4. SejaX um espaço topológico. Considere as funções

contínuas deX paraCque são limitadas, no mesmo sentido do exemplo

anterior. Denotaremos este conjunto porCb(X). Podemos verCb(X)

como uma -subálgebra de ∞(X). Mais ainda, note que Cb(X) é

fechado em∞(X)e logo também é uma C*-álgebra. Além disso, note

que a unidade de ∞(X) também está em Cb(X), donde segue que Cb(X)é unital.

Observe que seX é um espaço compacto, entãoCb(X)=C(X), em

queC(X)denota o conjunto das funções contínuas deX emC.

Exemplo 1.2.5. Seja X um espaço localmente compacto Hausdorff.

Considere as funções contínuas deX paraC. Dizemos que uma função

fX →Cse anula no infinito se, para todoε>0, o conjunto {xX

f(x)∣≥ε}é compacto. O conjunto de todas as funções contínuas deX

paraCque se anulam no infinito é denotado porC0(X). Podemos ver

C0(X)como uma∗-subálgebra deCb(X). Além disso, note queC0(X)

é fechado emCb(X), donde segue queC0(X)é uma C*-álgebra. Exemplo 1.2.6. Seja H um espaço de Hilbert sobre C. Considere

os operadores limitados de H, denotado por B(H). As operações de

soma e produto por escalar pontual, o produto sendo a composição e a involução sendo a adjunão de operador faz com que B(H)seja uma ∗-álgebra. Mais ainda, com a norma de operador

T∥= sup

xX/{0}

T(x)∥

x∥ =x,ysup∈X/{0}

∣⟨T(x), y⟩∣

x∥∥y

faz com queB(H)seja uma∗-álgebra de Banach. Para a C*-identidade,

considereT ∈B(H). Temos

sup

x,yX/{0}∣⟨

TT(x), y⟩∣ ≥ sup

xX/{0}∣⟨

TT(x), x⟩∣=

= sup

xX/{0}∣⟨

T(x), T(X)⟩∣= sup

xX/{0}∥

T(x)∥2,

donde segue queTT∥≥∥T∥2e pela observação feita após a definição

de C*-álgebras, segue que B(H) é uma C*-álgebra. Além disso, o

operador identidade é a unidade desta C*-álgebra.

Exemplo 1.2.7. SejaMn∶=Mn(C)as matrizes quadradas de ordem

n com valores em C. Dados i, j ∈ {1, . . . n}, definimos por (mij)i,j a

(32)

de uma matriz M =(mij)i,j sendo a transposta conjugada desta, ou

seja, a matrizM∗=(mij)j,i. A norma emMn é dada por:

M∥=sup{∥M x

x∥ ∶x∈C n/{0}}

,

em que Cn denota o espaço vetorial formado pela soma direta de n

cópias deCcom a norma 2, ou seja∥(x1, . . . , xn)∥=(

n

i=1∣

x1∣2)1/2. Mais

ainda, note queMn é completo, pois tem dimensão finita e logo,Mn é

uma-álgebra de Banach. Agora, lembre queCncom a norma definida

acima é um espaço de Hilbert, e que as matrizes, como descritas acima, podem ser identificados comB(Cn), donde segue, pelo exemplo

ante-rior, queMn é uma C*-álgebra.

Dada uma C*-álgebra unitalAe um elementoaA, dizemos quea

é invertível se existebAde forma queab=ba=1. Observe que, caso

exista, este elemento é único. Neste caso, diremos quebé o inverso dea

e o denotaremos pora−1. Denotamos o conjunto de todos os inversíveis

deApor Inv(A).

Agora vamos definir alguns elementos importantes em C*-álgebras. Um elementoaAé chamado:

1. autoadjunto sea∗=a,

2. normal seaa=aa∗,

3. projeçãosea2

=a=a∗,

4. isometria seaa=1,

5. unitário sea∗=a−1.

Observe que os dois últimos itens exigem que a C*-álgebra seja unital. É claro que todo unitário é uma isometria. Também, todo autoadjunto é normal. Denotamos o conjunto de todos os elementos auto-adjuntos porAsa. Todo elemento a de uma C*-álgebra pode ser

escrito de maneira única comob+ic, em queb, cAsa. De fato, tome b= 12(a+a∗)e c= 21i(aa∗). É claro que b, cAsa e que a=b+ic.

Suponha agora que a = d+ie, para d, eAsa. Então a∗ = die e b= 12(a+a∗)=d. Similarmentec=e, donde segue a unicidade.

SejaSAum subconjunto qualquer. Dizemos queSé autoadjunto

(33)

Definição 1.2.8. SejaAuma C*-álgebra unital. DadoaA, definimos

o espectro de aporσ(a) ∶={λ∉C∶λaInv(A)}1. O raio espectral

deaé definido porr(a) ∶=sup{∣λ∣ ∶λσ(a)}.

Exemplo 1.2.9. Vimos pelo exemplo 1.2.2 que Cé uma C*-álgebra.

Dado z ∈ C, temos σ(z)= {λ∈ C ∶λz ∉ Inv(C)}. Porém, o único

elemento não inversível deCé o 0 e portanto,σ(z)={z}.

Exemplo 1.2.10. No exemplo 1.2.3 vimos que ∞(X) é uma

C*-álgebra, em queX é um conjunto qualquer. Dadof∞(X), primeiro

note que, caso f seja inversível, sua inversa será a função f1 definida

por 1

f(x)=

1

f(x). Com isso, temos que os elementos da imagem de f,

a qual denotaremos por im(f), estão em σ(f). Além disso, note que se yim(f), então existe uma sequência {yn}nim(f) convergindo

para y, em que yn = f(xn), para algum xnX. Afirmamos que a

funçãoyf não é inversível em∞(X). De fato, pela observação feita

acima, se houvesse uma inversa para esta função, esta seria da forma

1

yf. Porém, esta função não é limitada, já que para todoL>0, existe

umN ∈Nde forma que para todonN, yf1(x

n)∣ >L, poisf(xn)→y, donde segue queyσ(f).

Por outro lado, considerey∈C/im(f). Comof é limitada, o fecho

de sua imagem é compacto em Ce logo a distância dey paraim(f

positiva, digamos d. Disso, a função y1f é limitada, por exemplo por

1

d, e é a inversa deyf, donde segue queyσ(f). Com isso, provamos

queσ(f)=im(f).

Note que este mesmo resultado vale para o exemplo 1.2.4. CasoX

seja um espaço compacto Hausdorff, então a imagem de uma função contínua já será fechada, donde segue que σ(f) = im(f), para f

C(X).

Exemplo 1.2.11. No exemplo 1.2.6 vimos queB(H)é uma C*-álgebra,

em queHé um espaço de Hilbert. Note que o espectro de um elemento corresponde exatamente ao espectro de um operador, como definido em ([16]: cap. 7).

Exemplo 1.2.12. Vimos no exemplo 1.2.7 que Mn(C) é uma

C*-álgebra, como um caso particular do exemplo 1.2.6. Neste caso, note

que um elemento λ∈ Cestá no espectro de uma matriz MMn(C)

se λM não for inversível. Porém, isto é o mesmo que dizer que o

determinante da matrizλM é igual a 0, donde segue queλdeve ser

1Aqui estamos denotando

(34)

um autovalor deM. Por outro lado, é claro que se λ é um autovalor

deM entãoλestá no espectro deM, e logo o espectro de uma matriz

corresponde aos seus autovalores.

Teorema 1.2.13. Seja Auma C*-álgebra unital. Dado aA,σ(a)é compacto e não vazio.

Para a demonstração do teorema acima, veja [18].

Um -homomorfismo entre duas C*-álgebrasA eB é uma função ϕAB que satisfaz:

1. ϕ(a+λb)=ϕ(a) +λϕ(b),

2. ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b),

3. ϕ(a∗)=ϕ(a)∗.

Se as C*-álgebras são unitais eϕ(1)=1, dizemos queϕéunital.

Observe que não exigimos, explicitamente, nenhum tipo de con-tinuidade para∗-homomorfismos entre C*-álgebras. A razão para isso

é que a estrutura algébrica das C*-álgebras codifica a continuidade, tor-nando todos os∗-homomorfismos contrativos, e portanto em particular

contínuos ([18] : pg. 40).

Pela estrutura algébrica ser tão rígida, também temos que existe no máximo uma norma em uma-álgebra de Banach que a torna uma C*-álgebra ([18]: pg. 37).

SeAé uma C*-álgebra, podemos criar uma álgebra unital fazendo a

soma direta, como espaço vetorial, comC, em queAé identificado com (a,0). Defina o produto por(a, λ)(b, µ) ∶=(ab+λb+µa, λµ)e a involução

por (a, λ)∗ ∶= (a, λ). A aplicação a↦ (a,0) é um ∗-homomorfismo

injetivo, assim A pode ser identificada como ∗-subálgebra de A⊕C.

Iremos mostrar a seguir que existe uma norma, necessariamente única, que torna esta∗-álgebra em uma C*-álgebra.

Defina∥(a, λ)∥∶=sup{∥ab+λb∥∶bA,b∥≤1}. É fácil ver que isto

é uma norma. Além disso,

(35)

e

∥(a, λ)∗∥ = ∥(a, λ)∥=

= sup{∥ab+λb∥ ∶bA,b∥≤1}=

= sup{∥(ab+λb)∗∥ ∶bA,b∥≤1}=

= sup{∥ba+λb∗∥ ∶bA,b∥≤1}=∥(a, λ)∥.

Finalmente, sebA, com∥b∥≤1, então ∥ab+λb∥2 = ∥(ab+λb)∗(ab+λb)∥=

= ∥b∗(aab+λab+λab+ ∣λ∣2b)∥≤

≤ ∥aab+λab+λab+ ∣λ∣2b.

Disto, temos ∥(a, λ)∥2 ≤∥(a, λ)∗(a, λ)∥= ∥(aa+λa+λa,λ∣2)∥, e

portanto esta norma satisfaz a C*-identidade e portanto ˜A ∶= A⊕C,

com este produto, involução e norma, é uma C*-álgebra.

Definição 1.2.14. Seja A uma C*-álgebra não unital. Dado aA, definimos o espectro deacomo sendo o espectro de(a,0)na unitização

˜

AdeA.

Observe que caso A não seja unital, o espectro de um elemento

sempre contém o 0. Além disso, temos que o espectro de qualquer elemento de uma C*-álgebra é compacto ([18]: pg. 8).

Definição 1.2.15. SejaAuma C*-álgebra comutativa. Um funcional

linear não nulofA→Cé chamado umcaracter se, para todoa, bA, f(a)f(b)=f(ab). O conjunto de todos os caracteres deA é denotado

por Ω(A).

Todo caracter em uma C*-álgebra automaticamente preserva a in-volução, ou seja, é um∗-homomorfismo não nulo e portanto é contínuo ([18]: pg.40).

Para cadaaA, defina ˆaA∗→Cporττ(a), em queA∗ denota

o dual deA. Lembre que a topologia fraca* está definida em qualquer

espaço dual de um espaço de Banach sendo a menor topologia que torna funções como acima contínuas, ou seja, a topologia inicial da família de funções {ˆa}aA. Observe que Ω(A)⊂A∗. Disso, definimos a topologia

em Ω(A)como sendo a topologia∗-fraca induzida deA∗.

Proposição 1.2.16. Seja A uma C*-álgebra comutativa. Temos 1. SeAnão é unital, então(A)é localmente compacto e Hausdorff

e para todoaA,

(36)

2. Se Aé unital, então Ω(A)é compacto e para todo aA,

{τ(a) ∶τ∈Ω(A)}=σ(a).

Para a demonstração do teorema acima, veja ([18]: pg.14-15).

Teorema 1.2.17. SejaA≠0uma C*-álgebra comutativa. Então existe um-isomorfismo isométrico ϕAC0(Ω(A)) definido por a ↦ ˆa,

em queaˆ é dado porˆa(τ)=τ(a).

Para a demonstração do teorema acima, veja ([18]: pg.46).

Seja A uma C*-álgebra. Dado SA qualquer, podemos definir a

C*-subálgebra de A gerada por S como sendo a intersecção de todas as C*-álgebras que contémS, denotada porC∗(S).

Em particular, se aA e S = {a}, denotamos a C*-subálgebra

gerada porS porC∗(a)e a chamaremos de C*-álgebra gerada pora.

CasoAseja unital, podemos gerar a C*-álgebraC∗({a,1}), a qual

será uma C*-álgebra unital. Observe que casoaseja um elemento

nor-mal, esta C*-álgebra será comutativa, e logo podemos usar o teorema 1.2.13 para encontrarmos um isomorfismo entreC∗({a,1}) e

C0(Ω(C∗({a,1}))). Usando a Proposição 1.2.16 acima, mostra-se que

a aplicaçãoττ(a)nos dá um homeomorfismo entre Ω(C∗ (a,1))e σ(a), donde se obtém o seguinte resultado.

Teorema 1.2.18. Seja A uma C*-álgebra unital eaA normal. Ex-iste um único-homomorfismo isométrico ϕC(σ(a)) → A tal que

ϕ(idσ(a))=a. Além disso, a imagem deϕé a C*-álgebra C∗({a,1}).

Para a demonstração do teorema acima, veja ([18]: pg.48).

O resultado acima é chamado do cálculo funcional contínuo de a.

Com isso, dado fC(σ(a)), denotaremos f(a) como sendo a

im-agem de f através do ∗-homomorfismo acima. Caso A não seja

uni-tal ainda temos um resultado análogo. Primeiro lembre que se A

não tem unidade, então para todo aA, 0 ∈ σ(a). Defina então I0∶={fC(σ(a))∣f(0)=0}. Este é uma C*-subálgebra deC(σ(a)). Teorema 1.2.19. Nas condições acima, existe um-isomorfismo isométrico

ϕI0→C∗(a).

Este resultado é chamado de cálculo funcional (não unital) de a.

Com isso, dado fI0, denotaremosf(a)como sendo a imagem de f

através do-isomorfismo acima.

(37)

Definição 1.2.20. SejaAuma C*-álgebra. DadoaAsa, dizemos que a é positivo e escrevemosa≥0, se σ(a)⊂R+. Denotamos o conjunto

de todos os elementos positivos deA porA+.

Definimos uma relação de ordem emAsaporabse, e somente se, ba≥0.

Listaremos agora algumas propriedades de elementos positivos de uma C*-álgebra.

Proposição 1.2.21. Seja A uma C*-álgebra. Então:

1. Dado aA+, existe um único cA+ de forma que c2

=a, deno-tado pora1/2

.

2. Sea, bA+ entãoa+bA+.

3. DadoaA,aaA+.

4. A+={aaaA}.

5. Sea, bAsa eab, então caccbc, para todo cA.

6. Dadosa, bA,0≤ab⇒ ∥a∥≤∥b.

7. Se A é unital e a, b são elementos positivos e inversíveis, então

ab⇒0≤b−1

a−1

.

8. Sea, bA+, entãoaba1/2≤b1/2.

Para a demonstração da proposição acima, veja ([18]: pg.45-48). Em geral 0≤abnão implicaa2

b2. Por exemplo, se

A=M2(C),

tome a = (1 0 0 0) e b =

1 2(

1 1

1 1). Então a, bA

+ e, além disto, temos

aa+b, porém(a+b)2−

a2não é positivo, pois a matriz

b2+

ab+ba=

1 2(

3 2

2 1)possui um autovalor negativo.

Definição 1.2.22. Seja A uma C*-álgebra. Uma net {}λ∈Λ ⊂ A+

é chamada uma unidade aproximada paraAse as seguintes condições são satisfeitas:

1. ∥≤1, para todoλ∈Λ,

2. {}λ é crescente,

3. lim

(38)

É conhecido que toda C*-álgebra Atem uma unidade aproximada

a saber(λ)λ∈Λem que Λ∶={aA+∶ ∥a∥<1}. Para uma demonstração,

veja ([18]: 3.1.1).

A importância de unidades aproximadas é que nem sempre é sufi-ciente tomar a unitização da C*-álgebra para resolver o problema em questão.

Dadas A, B C*-álgebras e ϕAB um ∗-homomorfismo, defina ker(ϕ) ∶=ϕ−1(0), chamado de núcleo ou kernel do-homomorfismo

ϕ.

Como conhecido da teoria de anéis, o núcleo de um homomorfismo é um ideal e todo ideal é núcleo de um homomorfismo. Estudaremos então propriedades do kernel de um-homomorfismo entre C*-álgebras para motivarmos a ideia de ideais em C*-álgebras.

Observe que o kernel de ϕ é claramente uma ∗-subálgebra de A.

Além disso, comoϕé contínuo segue que o kernel é fechado, implicando

que este é, por si só, uma C*-subálgebra de A. Além disso, caso n

ker(ϕ)eaA, então

ϕ(an)=ϕ(a)ϕ(n)=0

e similarmente,ϕ(na)=0, donde segue quean, na∈ker(ϕ). Isto mostra

que o kernel de um-homomorfismo tem a mesma propriedade de um ideal de um anel.

Definição 1.2.23. SejamAuma C*-álgebra eIum subespaço vetorial

deAde forma que, para todonI eaA,anI enaI. Então Ié

chamado umideal (bilateral) deA. SeI for fechado emA, então I é chamado umideal fechado deA.

Observe que não exigimos explicitamente que I seja autoadjunto.

Não é verdade que todo ideal é auto-adjunto, porém ideais fechados em C*-álgebras são sempre auto-adjuntos ([18]: pg. 79). Isto implica, em particular, que um ideal fechado de uma C*-álgebraA é uma

C*-subálgebra deA.

O seguinte resultado é especial para C*-álgebras; ele não vale para ideais em anéis gerais.

Proposição 1.2.24. Sejam A uma C*-álgebra e I, J ideais fechados deA. EntãoIJ=IJ, em queIJ∶=span{nmnI, mJ}.

Demonstração: É claro que senIJ, então nI e nJ, já que

ambos são ideais, e portantonIJ.

Por outro lado, IJ é uma C*-álgebra, e portanto pelo teorema

(39)

dadonIJ,

n=lim

i neiIJ.

Proposição 1.2.25. Sejam A, B C*-álgebras. Se ϕAB é um

-homomorfismo injetivo, entãoϕé isométrico.

Para a demonstração da proposição acima, veja ([18]: pg.80).

Proposição 1.2.26. Sejam A, B C*-álgebras. Se ϕAB é um

-homomorfismo, entãoϕ(A)é uma C*-subálgebra deB. Para a demonstração da proposição acima, veja ([18]: pg.81).

Definição 1.2.27. Sejam A uma C*-álgebra eI um ideal fechado de A. Dizemos queI é um ideal essencial deA se dadoaA, de forma quean=0, para todonI, então a=0.

Note queA é sempre essencial em si mesmo, já que se ab=0 para

todo bA, então em particular aa∗ = 0, donde segue que ∥a∥2 =0 e

assima=0.

Podemos então definir formalmente uma unitização de uma C*-álgebra.

Definição 1.2.28. SejaAuma C*-álgebra. Dada uma C*-álgebra

uni-talC, dizemos queCé uma unitização deAse existe um∗-homomorfismo

injetorϕACde forma queϕ(A)é um ideal essencial deC. Observe que seAé unital, então não existe uma C*-álgebra unital C contendoAcomo um ideal essencial próprio. De fato, se 1C denota

a unidade deC e 1A denota a unidade deA, então 1C−1AC. Além

disso,

(1C−1A)a=1Ca−1Aa=0.

Porém, 1C−1A ≠0, já que caso contrárioA=C, e portanto A não é

um ideal essencial deC.

Em particular, ˜Aque construímos anteriormente só é unitização no

sentido acima seAnão é unital. Isto também inspira o fato de que pode

haver outras unitizações para uma C*-álgebra não unital, diferentes de ˜

A. Isto de fato é verdade e iremos mostrar um exemplo a seguir. A

unitização ˜A é a menor unitização possível de A, no sentido de que o

quociente de ˜AporAé isomorfo aos complexos. Podemos nos perguntar

então se existe uma maior unitização de A. Tal unitização existe e é

(40)

existência desta C*-álgebra pode ser feita de diversas maneiras e será abordada neste trabalho mais adiante. O seguinte resultado formaliza mais precisamente de que formaM(A)é a "maior" unitização.

Proposição 1.2.29. Seja Auma C*-álgebra. Dada qualquer unitiza-ção C de A, existe um único-homomorfismo injetor ϕCM(A)

de forma que o diagrama

A //

o

M(A)

C ϕ

<

<

comuta.

Esta proposição será demonstrada adiante neste trabalho, quando fizermos a construção da álgebra de multiplicadores.

Por esta propriedade universal, segue que M(A)é única a menos

de isomorfismos. Vamos mostrar adiante que esta C*-álgebra sempre existe.

Definição 1.2.30. Sejam A,B C*-álgebras. Um ∗-homomorfismofABé chamadonão degeneradosespan{f(a)baAebB}é denso

emB.

É possível mostrar que um -homomorfismofAB é não

de-generado se, e somente se, dada uma unidade aproximada{ei}iI para A,{f(ei)}iI é uma unidade aproximada paraB.

Veremos mais a frente neste trabalho que os-homomorfismos não degenerados serão de particular interesse. Eles serão os morfismos para certas (bi)categorias de C*-álgebras.

1.3

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