Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Exatas Programa de Pós Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado em Matemática

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Universidade Federal do Espírito Santo

Centro de Ciências Exatas

Programa de Pós Graduação em Matemática

Dissertação de Mestrado em Matemática

  

Classi…cação de Estruturas de Nambu

Lineares e p-formas Singulares

Carla Rodrigues Almeida

  

Julho/2012 Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Exatas Programa de Pós Graduação em Matemática

  Classi…cação de Estruturas de Nambu Lineares e p-formas Singulares Carla Rodrigues Almeida

  Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação em Matemática da Universidade Federal do Espírito Santo como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre em Matemática. Orientador: Leonardo Meireles Câmara Coorientador: Magno Branco Alves

  Julho/2012 Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)

  Almeida, Carla Rodrigues, 1987- A447c Classi…cação de estruturas de Nambu lineares e p-formas singulares / Carla Rodrigues Almeida. – 2012.

  102 f. : il. Orientador: Leonardo Meireles Câmara. Coorientador: Magno Branco Alves. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal do Espírito Santo, Centro de Ciências Exatas.

1. Geometria. 2. Poisson, Distribuição de. 3. Folheações

  (Matemática). 4. Topologia diferencial. I. Câmara, Leonardo Meireles. II. Alves, Magno Branco. III. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro de Ciências Exatas. IV. Título.

  CDU: 51 Aos meus pais.

Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente essa ciência (a matemática) acabam tomados por uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máx- imo de prazer não é o conhecimento em si, mas sim a aprendizagem. Não é a posse, mas a aquisição. Não é a presença, mas o ato de atingir a meta. Carl Friedrich Gauss A coisa mais bela que o homem pode experimentar é o mistério. É essa emoção fundamental que está na raiz de toda a ciência e toda arte. Albert Einstein

Agradecimentos

  Eu gostaria de fazer um breve agradecimento a todos aqueles que, de alguma forma, me ajudaram durante estes dois anos em que tive que sair da minha cidade natal para prosseguir com meus estudos. Naturalmente, tenho muito a agradecer ao meu orientador, Professor Leonardo Meireles Câmara, e ao meu coorientador, Professor Magno Branco Alves, que aceitaram o desa…o de me orientar numa área até então pouco explorada por eles, me ajudaram durante todo o processo de escrita e revisão e dividiram a tarefa de lecionar os pré-requisitos necessários para este trabalho.

  Ainda, preciso agradecer à equipe do Programa de Pós Graduação de Matemática (PPGMat), em especial aos Professores José Gilvan de Oliveira, atual coordenador do programa, Ricardo Soares, ex-coordenador e Fábio Júlio da Silva Valentim, atual vice- coordenador do programa, pelo suporte estrutural e técnico. Certamente, o sucesso deste trabalho é também devido aos Professores Henrique Burzstyn e Maurício Barros Corrêa Júnior, que pacientemente …zeram o trabalho de revisão e indicaram algumas correções adicionais para a versão …nal. Agradeço a ambos por terem aceito o convite de serem membros da banca examinadora e pelo tempo gasto em meu benefício. Também devo minha gratidão ao Professor Airton S. de Medeiros, por gentilmente ceder os manuscritos originais de seu artigo que foi utilizado neste trabalho.

  Lamento não ser possível nomear todos as pessoas que me ajudaram moralmente, mas, dentre todas, gostaria de agradecer à Maria Ismênia Santana, por nos abrigar no começo de nossa jornada. Ao Carlos Roberto Rodrigues dos Santos e à Samira Monteiro Carvalho dos Santos, por toda ajuda nas nossas outras moradias durante este tempo. Ao meu irmão, Carlos Alberto Afonso de Almeida Júnior, por me ajudar com as …guras e também, juntamente com meu irmão caçula, Alexandre Magno Rodrigues Almeida, por me visitarem em minha reclusão. Em especial, tenho que agradecer muito aos meus pais, Carlos Alberto Afonso de Almeida e Maria do Carmo Rodrigues Almeida, que sempre acreditaram e investiram em mim e que, mesmo de longe, estavam comigo todos os dias, sem me deixar desanimar pela saudade de casa. Sem eles nada disso seriam possível. Finalmente, eu quero agradecer a meu companheiro Diego Henrique Carvalho dos Santos, que me deu toda a força necessária para continuar, me ajudou a manter o foco e cuidou de mim em tempo integral. Ele foi o meu suporte todo esse tempo. A todos, muito obrigada!

  Resumo

  O objetivo deste trabalho é estudar as folheações que surgem a partir de estruturas de Nambu e apresentar a relação entre formas diferenciais e algumas destas estruturas. Mais precisamente, fazer um estudo da geometria de Poisson e de folheações singulares, enfa- tizando o caso da folheação simplética que surge da estrutura de Poisson e, em seguida, apresentar a geometria de Nambu, estudando o caso das folheações que surgem destas estruturas de ordem maiores ou iguais a três. Neste caso particular, vamos mostrar como tais estruturas de Nambu se relacionam com formas diferenciais e, por esta relação, classi- …car as estruturas de Nambu lineares através de um resultado de classi…cação de p-formas integráveis.

  Palavras Chave: geometria de Poisson, estruturas de Nambu, folheação simplética, folheações singulares, formas diferenciais integráveis.

  Abstract

  The aim of this work is to study the foliations that arise from Nambu structures and present the relationship between di¤erential forms and some of this structures. More speci…cally, to make a study of the Poisson geometry and of singular foliations, emphasiz- ing the case of the simplectic foliation that arises from the Poisson structure and then, to present the Nambu geometry, studying the case of the foliations that arise from the this structures of order grater than or equal to three. In this particular case, we shall show how this Nambu structures are related with di¤erential formas and, by this relationship, classify linear Nambu structure through a result of classi…cation of integrable di¤erential p-forms.

  Key Words: Poisson geometry, Nambu strucures, simplectic foliation, singular foli- ations, integrable de¤erential forms.

  Sumário

  Introdução

  1

1 Preliminares

  3 1.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.2 Variedades Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

  1.3 Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  1.4 A Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Introdução à Geometria de Poisson

  21

  2.1 Variedades de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  2.2 O Tensor de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  2.3 Estudo em Coordenadas Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  2.4 O Colchete de Schouten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Folheações Singulares e Estruturas de Nambu

  45

  3.1 Distribuição e Folheações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

  3.2 Mor…smos de Poisson e Folheações Simpléticas . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  3.3 O Colchete de Nambu e o Tensor de Nambu . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  3.4 Formas Diferenciais Integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

  3.5 Classi…cação das Estruturas de Nambu Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 72 Anexo A

  87 Conclusão

  89 Introdução

  Inicialmente, a geometria de Poisson foi desenvolvida como uma ferramenta para a dinâmica clássica e encontrou destaque na física, mais precisamente no formalismo hamiltoniano da mecânica clássica, de onde provém algumas das nomenclaturas utilizadas atualmente. Neste sentido a geometria simplética, um caso particular da geometria de Poisson, tornou- se essencial para o sucesso e o entendimento da mecânica hamiltoniana. Desde então, as geometrias de Poisson e simplética vêm ganhado destaque e se tornaram um ramo inde- pendente de estudo, que possui conexões com várias outras áreas de estudo na física e na matemática. Um caso de destaque para a matemática é o estudo das folheações simpléti- cas, que são folheações que surgem de uma estrutura de Poisson em que cada folha possui uma estrutura simplética natural associada.

  Em 1973, Yoichiro Nambu desenvolveu uma generalização para a mecânica de Hamil- ton ([14]), o que proporcionou uma generalização da geometria de Poisson, formalizada por Leon Takhtajan vinte anos mais tarde ([15]). Como a geometria de Poisson, a geome- tria de Nambu também se desenvolveu e se tornou um ramo independente e rico, com várias aplicações na matemática e na física. Seguindo o exemplo do caso de Poisson, o objetivo central deste traballho é estudar as diferentes folheações que surgem na geometria de Nambu, fazendo uma conexão com formas diferenciais e culminando numa classi…cação das estruturas de Nambu lineares através de um importante resultado de Medeiros ([13]).

  Para isto, iniciaremos um breve estudo das geometrias de Poisson, simplética e de Nambu, com o intuito de inserir o contexto necessário para nossos objetivos. O primeiro capítulo é destinado a exposição de alguns resultados importantes que são preliminares ao nosso estudo, por isso os mais clássicos são apenas referenciados. Em particular, a primeira seção do terceiro capítulo é onde desenvolvemos a teoria necessária para o estudo de folheações, sem muito aprofundamento. Finalmente, as seções posteriores são reservadas para o estudo das folheações geradas pelas estruturas de Nambu, incluindo o caso de Poisson, apresentando, ao …nal, como exemplo do diálogo entre formas diferenciais e estruturas de Nambu, uma classi…cação local para as estruturas de Nambu lineares e, consequentemente, para as folheações lineares.

  INTRODUđấO Capítulo 1 Preliminares

1.1 Tensores

  Este capítulo de preliminares tem como objetivo a exposição de alguns conceitos e re- sultados que são a base para nosso estudo posterior. Para este capítulo em particular, seguimos como principais referências [1] e [2], mas adotamos uma notação mais próxima de [8], que é a nossa referência principal.

  Sejam E

  1 ; ; E k ; E; F espaços vetoriais de dimensão …nita e L (E 1 ; ; E k ; F ) o es-

  paço vetorial das aplicações k-lineares ' : E E ! F . Em particular, denotamos

  1 k o espaço dos funcionais lineares L (E; R) por E . Este será chamado de espaço dual de E.

  1 n i

  Se fe

  1 ; ; e n g é uma base de E, então o conjunto fe ; ; e g E tal que e (e j ) = ij ,

  é uma base de E , onde é o delta de Kronecker usual, isto é = 1 se i = j e 0 caso

  ij ij

  ; ; e

  1 n

  g. Assim, para cada v 2 E e contrário. Esta será chamada de base dual de fe

2 E temos

  

n n

  X X

  i j

  v = v e e = a e ;

  i j

i=1 j=1

i i

  onde v = e (v) e a = (e ). Além disso, tomamos E = E através da aplicação

  j j

  v : E ! R dada por v ( ) = (v), 2 E ; v 2 E.

  E, o ortogonal do subespaço F é o conjunto Dado um subespaço vetorial F

  ?

  F = f' 2 E : '(v) = 0; 8v 2 F g : (1.1) De…nição 1.1 Dado um espaço vetorial E, de…nimos o conjunto

  r r+s

  T (E) = L E E E E : R :

  s r vezes s vezes

  Os elementos deste conjunto são chamados tensores contravariantes de ordem r e covari-

  r q

  antes de ordem s sobre E, ou tensores do tipo (r; s). Dados t

  1

  2 T (E) e t

  2

  2 T (E), CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

  4 de…nimos o produto t t ( ; ; ; ; ; ; v ; ; v ; w ; w )

  1

  2 1 r 1 q 1 s 1 p

  = t ( ; ; ; v ; ; v ) t ( ; ; ; w ; w ) ;

  1 1 r 1 s

  2 1 q 1 p

  onde ;

  2 E e v ; w

  2 E, 8i; j:

  i j i j

  Observe que o produto é associativo e bilinear, mas não é comutativo. Como casos

  1 especiais temos T (E) = E e T (E) = E .

  1 1 n

  Proposição 1.2 Seja fe ; ; e g uma base para o espaço vetorial E e fe ; ; e g sua

  1 n

  base dual. Então o conjunto

  j 1 j s

  e e e e : i ; : : : ; i ; j ; : : : ; j = 1; : : : ; n

  i 1 i r 1 r 1 s r r r+s

  é uma base para T (E). Assim dim T (E) = n .

  s s

  Demonstração. Os coe…cientes são de fato linearmente independentes, pois se temos

  X X

  i

1 :::i r j

1 j s

  t = t e e e e = 0

  i

1 i r

j 1 :::j s i 1 ;:::;i r j 1 ;:::;j s i

  1 :::i r

  para alguns coe…cientes t

2 R, então

  s j 1 :::j i

  1 i r i 1 :::i r

  t e ; ; e ; e ; ; e = t = 0;

  j

1 j s

j 1 :::j s

  para qualquer upla (i ; : : : ; i ; j ; : : : ; j ). Para mostrar que estes elementos geram todos

  1 r 1 s r

  os t de T (E), basta observar que t é escrito como

  s

  X X

  r s i 1 i j 1 j

  t = t e ; ; e ; e j ; ; e j s e i e i r e e ;

  1

  1 r s i 1 ;:::;i j 1 ;:::;j i

  1 :::i r

  isto é, seus coe…cientes t nesta base são tais que

  j 1 :::j s r i 1 :::i r i 1 i

  t e ; ; e ; e j

  1 ; ; e j s = t : s j 1 :::j

  Exemplo 1.3 Um dado produto interno h ; i num espaço vetorial E qualquer é um (0; 2)- tensor simétrico. De…nição 1.4 Um tensor do tipo (q; 0) sobre um espaço vetorial E é dito alternado ou antissimétrico, quando, dados ; ;

2 E , temos

  1 q

  ( (

  1 ; ; q )) = ( 1) ( 1 ; ; q ) ;

  1.1. TENSORES onde 2 S q é uma permutação e ( 1) é chamado sinal da permutação e é por de…nição

  q q

  ( 1) se a permutação for ímpar e 1 caso contrário. Denotamos T (E) por (E) e

  q

  chamamos um elemento de (E) de q-vetor. Analogamente, um tensor ! do tipo (0; p) sobre E é chamado alternado ou antissimétrico quando ! ( (v

  1 ; ; v p )) = ( 1) ! (v 1 ; ; v p ) ; p

  com

  2 S e v ; ; v

  2 E. O espaço T (E) é denotado por (E ) e seus elementos

  p 1 p p

  de p-formas vetoriais. Além disso, de…nimos os conjuntos [ [

  k k

  (E) = (E) e (E ) = (E ):

  

k2N k2N

  Estas de…nições serão centrais no nosso estudo, em especial sua versão para variedades diferenciáveis. As propriedades a seguir serão úteis.

  p q

  De…nição 1.5 (Produto Exterior) Dados 2 (E ) e 2 (E ) , E espaço veto- rial, então o produto exterior

  

p q p+q

  ^ : (E ) (E ) ! (E ) é de…nido por

  X

  1 ^ = ( 1) ( ) p!q!

  2S p+q

  onde S k é o conjunto das permutações de k elementos e ( 1) é o sinal da permutação

  p q

  como de…nido anteriormente. Analogamente, se 2 (E) e 2 (E), o produto exterior é de…nido por

  X

  1 ^ = ( 1) ( ) : p!q!

  2S p+q

1 Exemplo 1.6 Se ;

  2 (E ) com E um espaço vetorial, então ^ = ^ = 0 e ^ = .}

  Por comodidade, as proposições seguintes serão enunciadas apenas para o operador

  p q p+q p

  ^ : (E ) (E ) ! (E ). Mas os resultados são análogos para ^ : (E)

  q p+q (E) ! (E).

  Proposição 1.7 O operador ^ da De…nição 1.5 tem as seguintes propriedades: 1. ( ) ^ = ( ^ ) + e ^ ( + ^ ) = ( ^ ^ + ) + , para

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 p q

  ; 2 (E ) e ; 2 (E ) ; i = 1; 2.

  i i

  2. ^ ( ^ ) = ( ^ ) ^ , para quaisquer ; ; 2 (E ).

  CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

  6

  pq p q

  2 (E ) e 2 (E ) então ^ = ( 1) ^ .

3. Se Demonstração. Ver Proposição 7:1:5 de [2].

  1 n

  Proposição 1.8 Sejam E um espaço vetorial de dimensão n e fe ; ; e g uma base para E . Então o conjunto

  i 1 i p

  e ^ ^ e : 1 i < < i n

  1 p n p p é uma base para (E ). Neste caso temos dim (E ) = . p p

  Demonstração. Para mostrarmos que este conjunto gera todos os elemento de (E ), primeiro observe que

  X

  p p i 1 i i 1 i

  e ^ ^ e = ( 1) e e

  p

  2S p

  Assim, dado 2 (E ), pela Proposição 1.2, se escreve de forma única como = P

  i 1 i p

  e ; ; e e e

  i 1 i p . Então p i 1 ;:::;i

  X X

  X

  p i 1 i

  ( 1) = ( 1) e i

  1 ; ; e i p e e p i 1 ;:::;i p p

  2S

  2S

  X X

  i i p

  1

  = e ; ; e ( 1) e e

  i 1 i p i 1 ;:::;i p

  2S p

  X

  i 1 i p

  = e ; ; e e ^ ^ e :

  i 1 i p i 1 ;:::;i p

  P Mas, de acordo com a De…nição 1.4, temos que ( 1) = . Observe também

  2S p

  que se houverem índices repetidos, temos que os coe…cientes e ; ; e são nulos,

  i 1 i p

  por causa da antissimetria de . Então, para mostrar que os índices podem ser tomados na ordem crescente, basta observar que, tomando 1 i < < i n e

  2 S uma

  1 p p

  permutação dos p índices, temos (e ) ; ; e = ( 1) e ; ; e ;

  i 1 i p i 1 i p (i 1 ) (i p ) i 1 i p

  e ^ ^ e = ( 1) e ^ ^ e : Assim

  1 X

  p i 1 i

  @ A = e i

  1 ; ; e i p e ^ ^ e i ;:::;i p

1 X

  2 p i 1 i

  = [( 1) ] e ; ; e p e ^ ^ e

  i 1 i p i 1 ;:::;i

  X

  p i 1 i

  = e ; ; e e ^ ^ e :

  i

1 i p

i 1 <:::<i p

1.1. TENSORES

  Para mostrar que os elementos são linearmente independetes, observe que

  X

  i 1 i p

  a e ^ ^ e = 0 ()

  

i

1 :::i p i 1 <:::<i p

  1 X

  i 1 i p

  @ a p e ^ ^ e A e ; ; e p = 0 ()

  i 1 :::i j 1 j i 1 <:::<i p

  a j

  1 :::j p = 0

  para cada upla (j 1 ; ; j p ). Então segue o resultado.

  q

  Observação 1.9 A partir daqui, vamos utilizar sempre a notação I (n) para representar

  q

  os q-multiíndices I = (i ; : : : ; i ) com i ; : : : ; i = 1; : : : ; n. Também utilizaremos C (n)

  1 q

1 q

  para representar os q-multiíndices ordenados de forma crescente variando de 1 a n, isto i < < i n. Em particular, um elemento e ^ ^ e é, 1

  1 q i 1 i q será representado por e .

  I

  : 1 i < < i ng é uma base De acordo com a Proposição 1.8, o conjunto fe

  I 1 p p

  de (E). Sabemos da álgebra linear que para de…nir uma transformação linear T :

  p (E) ! R basta fazê-lo sobre uma base. Assim, a de…nição seguinte é pertinente.

  De…nição 1.10 Dados um espaço vetorial E com base fe ; ; e g e uma p-forma

  2

  1 n p p

  (E ), de…nimos ( ) : (E) ! R aplicação linear dada por ( ) e ^ ^ e = e ; ; e ;

  i 1 i p i 1 i p

  para todo e ^ ^ e 2 fe : 1 i < < i ng :

  i 1 i p

  I 1 p

  1

  3

  2

  2 Exemplo 1.11 Dados = e ^ e de (E ) e = 3e ^ e + 2e ^ e

  2 (E) de um

  1

  3

  2

  3

  espaço vetorial E de dimensão 3. Então ( ) ( ) = ( ) (3e ^ e + 2e ^ e )

  1

  3

  2

  3

  = 3 ( ) (e

  1 ^ e 3 ) + 2 ( ) (e 2 ^ e 3 )

  = 3 (e ; e ) + 2 (e ; e )

  1

  3

  2

  3

  1

  3

  3

  1

  1

  3

  3

  1

  = 3(e e e e ) (e ; e ) + 2(e e e e ) (e ; e )

  

1

  3

  2

  3

  = 3 sendo a penúltima passagem devido ao Exemplo 1.6.

  Proposição 1.12 A aplicação

  

p p p

  : (E ) ! ( (E)) = (E) 7 ! ( ) ( ) como na De…nição 1.10, é um isomor…smo linear.

  CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

8 Demonstração. A aplicação está bem de…nida e a linearidade segue diretamente da

  De…nição 1.10. Como, pela Proposição 1.8, temos n

  p p p

  dim( (E )) = dim( (E )) = dim( (E) ) = ; p

  p p

  então basta mostrarmos que é sobrejetiva. Tome, então, A 2 (E) e e , I 2 C (n),

  I P p

  I p

  um elemento da base de (E). Fazendo a = A(e ), temos que = a e é

  

I

I

  I I2C (n) J j 1 j p

  ( ) = A, lembrando que e = e ^ ^ e = e ^ ^ e tal que

  I i 1 i p e e . Logo é isomor…smo. p

  Observação 1.13 O isomor…smo acima nos permite identi…car uma p-forma 2 (E )

  p

  com um elemento ( ) 2 (E) da seguinte forma (e ^ ^ e ) = ( ) (e ^ ^ e )

  i 1 i p i 1 i p (1.2)

  = (e i ; ; e i p )

  1 p p

  (E) com (E ) através De maneira análoga, iremos identi…car de maneira natural

  p p p do isomor…smo : (E) = (E) ! (E ) .

  Esta observação nos fornece uma base para a seguinte De…nição 1.14 A aplicação

  p p

  R h ; i : (E ) (E) ! ( ; ) 7 ! ( ) = ( )

  1 é chamada de pareamento .

  1 n

  Proposição 1.15 Dada uma base fe ; ; e g de um espaço vetorial E, seja fe ; ; e g

  1 n p p

  2 (E ) e 2 (E), temos que a sua base dual. Então, para

  X X

  I I

  h ; i = a = a ;

  

I

I q

  I2C (n)

  I P P

  I I q q onde = a e e = e .

  I I

  I2C (n)

  I2C (n)

  I Demonstração. Segue direto da De…nição 1.10 e do fato de que a I = (e I ) e =

  I e .

  Para a nossa teoria, o seguinte resultado é útil.

1 Pairing na literatura inglesa.

1.2. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS

  Teorema 1.16 Seja uma 2-forma não-nula sobre um espaço vetorial E. Então existe uma base fu

  1 ; ; u r ; e 1 ; ; e s ; f 1 ; ; f s g de E tal que 2r + s = n = dim(E) e

  (u ; u ) = 0, para i; j = 1; : : : ; r;

  i j

  (e ; f ) = 1, para i = 1; : : : ; s;

  i i

  (e ; e ) = (f ; f ) = 0, para i; j = 1; : : : ; s;

  i j i j

  (e ; f ) = (e ; u ) = (f ; u ) = 0,

  i j i k i k a última igualdade valendo para i; j = 1; : : : ; s com i 6= j e k = 1; : : : ; r.

  Demonstração. Primeiramente escolha uma base fu ; :::; u g para o subespaço Nuc( ) =

  1 r

  fv 2 E : (v) = 0g. Neste caso, (u ; u ) = 0, para i; j = 1; :::; r. Seja W o subespaço tal

  i j

  1

  2 W , que E = W [ Nuc( ) e W \ Nuc( ) = f0g. Como é não-nula, W 6= f0g. Tome e

  e 6= 0. Se acontecesse W = he i, teríamos que, dado a 2 W , teríamos (e ; a) = 0,

  1

  1

  1

  pela linearidade de , o que é absurdo, pois e

  2 Nuc( ). Então existe f =

  2 W tal que

  1

  1 he i 6= he ; f i. Novamente pela linearidade, podemos tomar f (e ; f ) = 1.

  1

  1

  1 1 tal que

  1

  1 Seja W = he ; f i. Se W = W o resultado está provado. Caso contrário, considere

  1

  1

  1

  1 ? ?

  W = fx 2 W : (x; y) = 0; 8y 2 W

  g. Temos que W \ W = f0g. De fato, se

  1

  1

  1 1 ?

  ae + bf

2 W \ W

  1

  1 1 então

  1

  (ae

  1 + bf 1 ; e 1 ) = b = 0 e (ae + bf ; f ) = a = 0.

  1

  1

  

1

? ?

  Tome e

  2 W , e 6= 0. Então existe f

  2 W tal que he i 6= he ; f i, pois caso contrário

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  1

  

1

? ?

  e

  2 Nuc( ), o que contraria W 6= f0g. Seja W = he ; f i. Se W = W

  2

  2

  2

  2 2 o resultado

  1 1 segue, caso contrário continuamos o processo, que é …nito já que a dimensão de E é …nita.

1.2 Variedades Diferenciáveis

  O estudo de variedades diferenciáveis é de extrema importância para a nossa teoria, mas este é um ramo extenso da geometria, o que torna inviável refazê-lo em nosso trabalho. Assumimos, então, uma familiaridade com o conceito de variedades diferenciáveis por parte do leitor. No entanto, para …xar a notação e estabelecer a linguagem utilizada mais a frente, abordaremos alguns aspectos da teoria que, de fato, nos convém neste texto. De…nição 1.17 Dizemos que um conjunto M é uma variedade diferenciável de classe

  k

  C , se existir uma coleção A = f(U ; ' ) : 2 g, chamada atlas diferenciável, onde '

  m

  é um bijeção entre U e um aberto de R , tal que [

1. M = U ;

  CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

  10 2. ' (U \ U ) é um aberto, para todos e tais que U \ U 6= ?;

3. As aplicações de transição ' dadas por

  1

  ' := ' ' j

  ' U \U

  ( ) : ' (U \ U ) ! ' (U \ U ) ;

  k são difeomor…smos de classe C .

  Quando k = 1, diremos que M é uma variedade suave. O atlas diferenciável nos permite mapear localmente a variedade M através de abertos

  m

  de R . Este mapa nos fornece uma escrita local para M da seguinte forma: diremos que (x ; ; x ) é um sistema de coordenadas locais num aberto U M , se x ; ; x

  1 m 1 m m

  R são aplicações linearmente independentes em '(U) . Vejamos alguns exemplos de variedades diferenciáveis.

  m

  Exemplo 1.18 Para todo m 2 N, temos que R é uma variedade suave, tendo como atlas a aplicação identidade. Exemplo 1.19 O espaço de matrizes M (m; R) é uma variedade suave de…nida através

  2 m

  da aplicação : M (m; R) ! R dada por

  2

  3 a a

  11 1m

  6

  7 ; ; a ; ; a ; ; a ; ; a ; ; a )

  11 1m i1 im m1 mm

  4 ... ... ... 5 = (a a a

  m1 mm

  2 m de onde segue a bijeção com R .

  Exemplo 1.20 Todo espaço vetorial de dimensão …nita é naturalmente identi…cado com

  m algum R , logo possui uma estrutura de variedade suave.

  Outro aspecto importante para nossa teoria são as de…nições de espaço tangente e espaço cotangente de uma variedade. Dada uma variedade M de dimensão m, o espaço tangente T x M em cada ponto x é um espaço vetorial de dimensão m. Então, seja T M o

  x

  espaço dual de T M . O conjunto T M = fT M : x 2 M g é chamado de espaço tangente

  x x

  x

  M : x 2 M g é chamado de espaço cotangente da variedade M e o conjunto T M = fT

  da variedade M. De fato, tanto o espaço tangente quanto o espaço cotangente de uma variedade são também variedades e têm o dobro da dimensão da variedade base, isto é, se dim M = m então dim T M = dim T M = 2m. Isto se deve porque o espaço tangente

  m

  de uma variedade M num ponto é difeomorfo a R . O memso procede para o espaço cotangente num ponto. Portanto, se um ponto y 2 T M (ou y 2 T M), então existe um x 2 M tal que y 2 T M (ou y 2 T M ) e para mapeá-lo precisamos das coordenadas do

  x x

  ponto x e das coordenadas de y no espaço vetorial T x M (ouT M ).

  1.3. FORMAS DIFERENCIAIS ; ; x )

  Além disso, dada uma variedade M e um sistema de coordenadas locais (x

  1 m @ @

  num aberto U M , temos que o conjunto (x) ; ; (x) é um sistema de coorde-

  m

@x

1 @x @

  nadas locais de T U, onde (x) é o vetor derivada da função x i no ponto x, e o conjunto

  @x i 1 m i

  (dx (x) ; ; dx (x)) é um sistema de coordenadas locais de T U , sendo dx (x) 2 T U

  x @

  (x). Com estas considerações, podemos proseguir com o nosso estude o dual do vetor

  @x i de formas diferencais.

  1.3 Formas Diferenciais p p

  Para p 2 N, de…nimos o conjunto (T M ) = f (T M ) : x 2 M g das p-formas diferen-

  x p

  ciais sobre M. Mais precisamente, uma p-forma diferencial 2 (T M ) é uma aplicação

  p

  : M ! (T M ) ; x 7 ! (x) tal que (x) : T x M T x M ! R é uma p-forma vetorial para cada x 2 M . De

  p vezes

  acordo com a Proposição 1.8, temos que localmente (x) se escreve como

  X X

  i 1 i p

  I

  (x) = a p (x) dx ^ ^ dx = a (x) dx ;

  i 1 :::i

  I

p p

  I2C (n)

  I2C (n)

  onde as funções a I (x) são diferenciáveis.

  

1

Uma observação pertinente é a de que (T M ) = T M e (T M ) = Di (M ) são as funções diferenciáveis f : M ! R.

  Observação 1.21 Vamos relembrar o que signi…ca a escrita local de uma p-forma , quando escrevemos

  X

  i 1 i p

  (x) = a p (x) dx ^ ^ dx

  i 1 :::i p

  I2C (n)

  1 1 p p m

  estamos na verdade nos referindo a (' ) ( (x)), onde (' ) : (T M ) ! ((R ) ) é o operador pull-back. Vamos sempre evitar fazer esta distinção no texto para facilitar a notação e tornar a leitura mais ‡uida.

  Várias de…nições são muito importantes para o estudo das formas. No entanto, ap- resentaremos apenas aquelas das quais vamos utilizar nos capítulos posteriores, mas que agora podem parecer deslocadas.

  p

  De…nição 1.22 Sejam M uma variedade suave e 2 (T M ). Então o conjunto

1 E ( ) =

  2 (T M ) : (x) ^ (x) = 0; 8x 2 M será chamado de anulador de .

  CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

12 A seguir veremos duas operações que são essenciais para a nossa teoria, a derivação exterior e a contração.

  Teorema 1.23 Seja M uma variedade de dimensão m e U um aberto de M . Existe uma única família de aplicações

  k k k+1

  d (U ) : (T U ) ! (T U ) k = 0; 1; : : : ; m, que denotaremos apenas por d tal que,

  k

  • ) = d + d ; para ; 2 (U ) e

  2 R; 1. (Linearidade) d (

  1

  2

  1

  

2

  1

  2 p p k

  2. (Regra de Leibniz) d ( ^ ) = d ^ + ( 1) ^ d , para 2 (U ) e 2 (U );

  2 k+1 k

  3. (Regra de Cociclo) d = d d = 0;

4. Se f 2 (M ) então df coincide com a derivada de f ;

  ) = (d ) j 2 (M ) : 5. d ( j U U , para qualquer Demonstração. Ver Teorema 7:4:1 de [2].

  De…nição 1.24 O operador d como descrito acima é chamado derivada exterior.

  Da de…nição, observamos que o objetivo de de…nir tal operador é generalizar a derivada usual de funções (0-formas diferenciais) para k-formas diferenciais quaisquer. Isto …ca ainda mais evidente em termos de coordenadas locais. Proposição 1.25 Dadas uma variedade M de dimensão m e uma p-forma diferencial

  p

  2 (M ). Então, em coordenadas locais, temos

  X X

  i i p

  I

  1

  d (x) = da (x) ^ dx ^ ^ dx = da (x) ^ dx :

  i 1 :::i p

  I p p

  I2C (n)

  I2C (n)

  Demonstração. Claramente a expressão local acima possui as propriedades dadas pelo Teorema 1.23, logo o resultado segue da unicidade do operador d. Observação 1.26 Antes de continuarmos, vamos fazer uma pequena observação. Podemos fazer uma abordagem análoga à feita para formas para os p-vetores. Dada uma var-

  q q

  (T M ) = f (T M ) : x 2 M g e chamamos um ele- iedade M, tomamos o conjunto x

  q 1 mento (x) 2 (T M ) de um q-campo vetorial. Em particular temos (T M ) = X(M ).

  De…nição 1.27 Sejam M uma variedade e X 2 X(M ), de…nimos a aplicação i :

  X q q 1

  (M ) ! (M ) por i

  X (X 1 ; ; X q ) = (X; X 2 ; ; X q ) ; q

  2 (T M ). A aplicação i com

  X chama-se produto interior ou contração pelo campo X.

1.3. FORMAS DIFERENCIAIS

  q p

  Proposição 1.28 Dados X; Y 2 X(M ), 2 (T M ), 2 (T M ), f 2 (T M ) e

2 R, então

  1. i = i + i ;

X+Y

  X Y q

  2. i ( ^ ) = (i ) ^ + ( 1) ^ (i ) ;

  X X

  X

  3. i f X = f i

  X : Demonstração. Ver itens i: e ii: do Teorema 7:4:8 de [2].

  Outra de…nição muito importante para o estudo de formas diferenciais é a de núcleo de uma forma, que pode ser expressado através do produto interior. De…nição 1.29 O núcleo de uma forma diferencial é o conjunto

  Nuc ( ) = fX 2 X (M ) : i = 0g :

  X Chamamos de posto da forma num ponto x 2 M à codimensão de Nuc ( (x)), ou, ?

  equivalentemente, à dimensão de Nuc ( (x)) .

  Observe que se é uma 1-forma, então Nuc( ) = fX 2 X (M) : (X) = 0g. Exemplo 1.30 Se = ^ ^ é uma q-forma diferencial sobre uma variedade M,

  1 q

  1

  2 (T M ), então com i

  

p

  \ Nuc ( ) = Nuc ( ) :

  i

i=1

  Vamos mostrar o resultado por indução sobre o grau da forma. Para q = 1 é claramente válido, então suponha válido para q = p e mostremos o resultado para q = p + 1. Seja uma (q + 1)-forma e y 2 M, então i

  X (X 2 ; ; X q ) (y) = (X; X 2 ; ; X q+1 ) (y)

  = ^ ^ ^ (X; X ; ; X ) (y)

  1 q q+1 2 q+1

  = ! ^ (X; X ; ; X ) (y)

  q+1 2 q+1

  1 q . Tomando-se X

  1

  ^ ^ := X, segue da De…nição 1.5 que onde ! =

  ! ^ q+1 (X

  1 ; X 2 ; ; X q ) (y) =

  P

  1

  = ( 1) (! ) X ; X ; ; X (y)

  q+1 (1) (2) (q+1)

  2S q+1 q!

  P

  1

  = ( 1) ! X ; X ; ; X (y) X (y) :

  (1) (2) (q) q+1 (q+1)

  2S q+1 q!

  = 0 se, e somente se, X 2 Nuc ( ) \ Nuc (!). Por outro lado, o Segue que i

  X q+1

  resultado segue da hipótese de indução, uma vez que

  q

  Nuc ( q+1 ) \ Nuc (!) = Nuc ( q+1 ) \ (\ Nuc ( i ))

  i=1

q+1

  \ = Nuc ( i ) .

  

i=1

  CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

  14 = ^ ^

  Uma q-forma será dita decomponível se puder ser escrita na forma

  1 q ,

  1

  onde i 2 (T M ). Um raciocínio imediato mostra que uma q-forma é decomponível se, e somente se, tem posto q. A proposição a seguir nos diz que o posto de uma q-forma e a quantidade de 1-formas necessárias para expressá-la são equivalentes.

  q

  Proposição 1.31 Dada 2 (T M ) sobre a variedade M de dimensão m, temos que

  ?

  Nuc ( (x)) é o menor subespaço C de T M tal que

  x x

q q

  (x) 2 (C ) (T M ) : (1.3)

  x x

  Demonstração. Seja C M tal que (1.3) acontece e sejam

  x o menor subespaço de T x

  (x) ; ; (x) 2 T M , q k m, tais que C = h (x) ; ; (x)i. Considere o

  1 k x 1 k x

  conjunto

  ?

  C = fX 2 T M : (x) (X) = 0; i = 1; : : : ; kg :

  x i x ?

  Queremos mostrar que C = Nuc ( (x)). Temos que, neste caso, se escreve como

  x

  X = (x) (x) ^ ^ q (x) :

  I i 1 i 1 i 1 < <i q k

  ?

  Assim, dado X 2 C temos claramente que i (x) = 0 e assim X 2 Nuc ( (x)), logo

  X x ?

  C Nuc ( (x)). Por outro lado, dado Y 2 Nuc ( (x)), temos que

  x

  0 = i (x)

  Y

  1 X @ A

  = i Y

  I (x) i 1 (x) ^ ^ i q (x) q

  1 i 1 < <i k

  X =

  I (x)i Y i (x) ^ ^ i q (x)

  1 1 i 1 < <i q k q

  X X \

  = (x) i (x) ^ (x) ^ ^ (x) ^ ^ (x) ;

  I Y i j i 1 i j i q 1 i 1 < <i q k j=1

  onde o símbolo de chapéu indica a ausência do termo no produtório. Mas isso só é possível se i j (x) = 0, para todo j = 1; : : : ; q, ou seja, se i (x) = 0, para todo i = 1; : : : ; k.

  Y i Y i ? ?

  Portanto temos Y 2 C e assim Nuc ( (x)) = C , de onde segue o resultado.

  x x

1.4 A Derivada de Lie

  De…nição 1.32 Dada uma variedade M de dimensão …nita, para X 2 X (M ) e f 2

  k

  C (M ) ; k 1, de…na L

  X f : M ! R por (L X f ) (x) = df (x) X (x), x 2 M . Chamamos L f de derivada de Lie de f com respeito a X.

  X Proposição 1.33 Seja M uma variedade. A aplicação L : (T M ) ! (T M ) é

  X

  uma derivação, isto é, dadas f; g 2 (T M ) e

  2 R, temos

1.4. A DERIVADA DE LIE

  ( f + g) = L f + L g;

  a) (Linearidade) L

  X X

  X

  (f g) = (L f ) g + f (L

  g) :

  b) (Regra de Leibniz) L

  X X

  X Ainda, se c é uma função constante, então L c = 0.

  X Demonstração. Segue das propriedades da derivada exterior.

  Para de…nirmos o colchete de Lie (segundo [1]), vamos precisar do seguinte lema, que é na verdade um importante teorema.

  Lema 1.34 A coleção de todas as derivações R-lineares sobre (T M ) de uma variedade M é isomorfo ao espaço X (M ) = (T M ): Em particular, para cada derivação sobre

  (T M ) existe um único X 2 X (M ) tal que = L X . Demonstração. Seja D(M ) o conjunto das derivações R-lineares sobre (T M ) de uma variedade M. Considere a aplicação

  : X (M ) ! D(M ) X 7 ! X (f ) onde X (f) é uma derivação sobre (T M ) dada por X (f (x)) = df (x) X (x), para todo x 2 M . A aplicação é linear devido a linearidade da diferencial. Temos que é uma

  (T M ) se, aplicação injetiva, pois X (f (x)) = df (x) X (x) = 0 para todos x 2 M e f 2 e somente se, X = 0. Resta mostrarmos que é sobrejetiva. De fato, dada f 2 (T M ), pela decomposição de Taylor, temos numa vizinhança de um ponto a 2 M que

  m m m

  X X @f 1 @ f

  2 X

  2

  f (x) = f (a) + (x j a j ) (a) + (x j a j ) (a) + r (x) ; @x j 2 @x i @x j

  j=1 j=1 i=1

  onde lim x!a r(x) = 0. Seja @ 2 D (M ) uma derivação. A linearidade e a regra de Leibniz implicam que qualquer função constante é nula, já que @ (c) = @ (1 c) = c @ (1) e @ (1) = @ (1 1) = 1 @ (1) + @ (1) 1 = 2 @ (1) , @ (1) = 0:

  Então, derivando a expressão de Taylor da f, temos !

  m m

  X @f @ f

  2 X

  @f (x) = @ ( ) (x) (a) + (x a ) (a) + @r (x) ;

  j j j

  @x j @x i @x j

  j=1 i=1

  onde j é a projeção da j-ésima coordenada. Em particular, para x = a, temos

  m

  X @f

  @f (a) = @ (a) (a) :

  j

  @x

  j CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

  16

  @ @

  ; ; Isso nos mostra que D (M) é gerado pelos campos , assim como X (M). Então,

  @x 1 @x m

  P

  m @

  dado @ 2 D (M), tome X = @ j e temos que, num ponto a 2 M qualquer

  j=1 @x j m

  X @f

  @f (a) = @ (a) (a) = df (a) X (a) = X (a) f (a) ;

  j

  @x j

  j=1 como queríamos.

  Proposição 1.35 Sejam X; Y dois campos de vetores sobre uma variedade M . Então o operador [L ; L ] := L L L L é uma derivação R-linear sobre (T M ).

  X Y

  X Y Y

  X

  1 Demonstração. De fato, dadas f; g 2 (T M ) = C (M ) e

  2 R, temos que [L ; L ] ( f + g) = (L L L L ) ( f + g)

  X Y

  X Y Y

  X

  = L ( L f + L

g) L ( L f + L

  g)

  X Y Y Y

  X X

  = L (L f ) + L (L

  g) L (L f ) L (L

  g)

  X Y

  X Y Y

  X Y

  X

  = (L L L L ) (f ) (L L L L ) (g) :

  X Y Y

  X X Y Y

  X E também

  [L ; L ] (f g) = (L L L L ) (f g)

  X Y

  X Y Y

  X

  = L ((L f ) g + f (L

g)) L ((L f ) g + f (L

  g))

  X Y Y Y

  X X

  = [(L L ) (f )] g + f [(L L ) (g)]

  X Y

  X Y

  [(L L ) (f )] g f [(L L ) (g)]

  Y

  X Y

  X

  = [(L L L L ) (f )] g + f [(L L L L ) (g)] :

  X Y Y

  X X Y Y

  X O Lema 1.34 em conjunto com a proposição anterior motivam a seguinte de…nição: De…nição 1.36 O campo de vetores [X; Y ] = L Y é o único tal que L = [L ; L ].

  X [X;Y ]

  X Y

  Y de derivada de Lie de Y com respeito a X, ou o colchete de Lie entre Chamamos L

  X os campos Y e X.

  (T M ), temos Pela própria de…nição, observamos que dada f 2

  [L ; L ] (f ) = L L (f ) L L (f )

  X Y

  X Y Y

  X

  = X (Y (f )) Y (X (f )) = (XY Y X) (f ) = L :

  [X;Y ]

  Então, como f é arbitrária, encontramos uma forma de expressar o colchete entre X e Y apenas através de X e Y . Temos [X; Y ] = XY Y X: (1.4)

1.4. A DERIVADA DE LIE

  Proposição 1.37 O operador

  X X [ ; ] : X (M ) (M ) ! (M )

  (X; Y ) 7 ! L Y = [X; Y ]

  X

  obedece às seguintes propriedades: 1. é bilinear; 2. (antissimetria) [X; X] = 0; 3. (Identidade de Jacobi) [X; [Y; Z]] + [Y; [Z; X]] + [Z; [X; Y ]] = 0:

  Demonstração. Os itens 1: e 2: são imediatos da de…nição. Para o item 3., temos [X; [Y; Z]] = X(Y Z ZY ) (Y Z ZY )X

  = XY Z

  XZY Y ZX + ZY X: Analogamente encontramos

  [Y; [Z; X]] = Y ZX Y XZ ZXY + XZY ; [Z; [X; Y ]] = ZXY ZY X

  XY Z + Y XZ: Somando tudo encontramos o resultado. Com a mesma notação que estamos utilizando até agora, se localmente temos X =

  P P P

  i @ i @f j @

  X então L f = X . Ainda, se Y = Y então o colchete de Lie entre

  X i i j @x i @x i @x j

  X e Y em coordenadas locais é dado por ! !

  j j

  X X

  X X @Y @ @X @

  i i

  [X; Y ] =

  X Y : (1.5)

  @x i @x j @x i @x j

  i j i j

  De…nimos a derivada de Lie para 0-formas (funções diferenciais) e para campos de vetores. Para de…nirmos a derivada de Lie para uma p-forma diferencial, precisamos primeiro fazer uma breve digressão. Nosso objetivo é de…nir a derivada de Lie com as propriedades (a) e (b) apresentadas na Proposição 1.33 válidas para p-formas e campos (fazendo (X) = X como um produto, para quaisquer p-forma e campo X). Assim, analisemos primeiramente o caso de uma 1-forma diferencial. Dada

  2 T M e campos vetoriais X; Y 2 X(M), temos que (Y ) = i 2 (T M ). Já conhecemos L ( (Y )).

  

Y

  X Mas, seguindo a propriedade (b) da Proposição 1.33, supondo esta válida para 1-formas

  e campos, teríamos L ( Y ) = (L ) Y + (L Y ) :

  X X

  X

  ( Y ) e (L Y ), então faz sentido de…nir Nós conhecemos L

  X X

  (L

  X ) Y = L X ( Y ) (L

  X Y ) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

  18

  1

  X X

  ) 2 (M ) é tal que (L ) (Y ) = para qualquer Y 2 X(M). Em outras palavras (L

  L

  X ( (Y )) (L

  X Y ) ou i Y (L X ) = L X (i Y ) i L

  X Y . Podemos prosseguir indutiva-

  mente para de…nir a derivada de Lie para p-formas. Em geral temos para uma p-forma diferencial : (L )(Y ; ; Y ) = L ( (Y ; ; Y ))

  X 1 p

  X 1 p (1.6)

  (L

  X Y 1 ; Y 2 ; ; Y p ) (Y 1 ; Y 2 ; ; L

  X Y p ) p

  X = L ( (Y ; ; Y )) (Y ; ; L Y ; ; Y )

  X 1 p

  1 X i p i=1

  2 X(M ). As proposições a seguir, envolvendo derivada de Lie, derivada para quaisquer Y i exterior e contração, serão muito úteis mais a frente. Em particular, a fórmula mágica de Cartan nos fornece uma maneira mais fácil de calcular L .

  X q p

  Proposição 1.38 Dados X 2 X(M ), 2 (T M ); 2 (T M ) e f 2 (T M ), então df = L f ;

  1. i

  X X

2. L + ( ^ ) = L ^ ^ L ;

  X X

  X

  = i d + di : 3. (Fórmula Mágica de Cartan) L

  X X

  X

  4. dL = L d;

  X X

  Demonstração. O item 1. segue da de…nição. Para o item 2., dados Y

  1 ; ; Y p+q

  2 X (M ), temos pela linearidade e regra de Leibniz:

  L (( ^ ) (Y ; ; Y ))

  X 1 q+p

  1 X

  1 @

  A = L

  X ( 1) ( ) ( (Y 1 ) ; ; (Y q+p ))

  q!p!

  q+p

  2S

  X

  1 = ( 1) L (( ) ( (Y ) ; ; (Y )))

  X 1 q+p

  q!p!

  2S q+p

  X

  1 = ( 1) L ( ( (Y ) ; ; (Y )) ( (Y ) ; ; (Y )))

  X 1 q q+1 q+p

  q!p!

  2S q+p

1.4. A DERIVADA DE LIE

  • ( (Y
  • 1 q!p!

  q+p

  X ) ( (Y 1 ) ; ; (Y q+p ))

  X

  2S q+p

  ( 1) ( L

  X

  ) ( (Y

  

1

  ) ; ; (Y

  )) = (L

  2S q+p

  X

  ^ + ^ L

  X

  ) (Y

  1

  ; ; Y

  

q+p

  ) : Como os campos Y

  ( 1) (L

  X

  ; ; Y

  1

  p+q são arbitrários, segue o resultado.

  =

  1 q!p!

  X

  2S q+p

  ( 1) L

  X

  ( ( (Y

  ) ; ; (Y

  1 q!p!

  q

  ))) ( (Y

  q+1

  ) ; ; (Y

  q+p

  ))

  1 ) ; ; (Y q )) (L X ( ( (Y q+1 ) ; ; (Y q+p ))))

  =

  1

3. Vamos utilizar o argumento de indução. Se

  • i
  • i
  • di
  • di
  • i
  • i

  • di
  • i
  • ( 1)

  ^

  d

  i

  ^

  i

  i

  ^ i

  X i

  X i

  ^ d

  ^ i

  i

  X

  d

  i

  X i

  ^

  i

  i

  X i

  ^ d

  X

  i

  d

  i

  i

  ^

  i

  ) + i

  X

  (

  

i

  ^ d

  ) + d (i

  i

  X i

  ^

  i

  ) + d (

  i

  ^ i

  X i

  ) =

  X

  i

  ^ i

  i

  X

  X

  d! + di

  X ! e o resultado segue por indução.

  O item 4. decorre de 3. Para

  2

  q

  (T M ) qualquer, temos dL

  X

  = d (i

  d + di

  X

  X

  ) = di

  

X

  d = i

  X

  dd + di

  X

  d = L

  X d .

  ! = i

  : Logo L

  X

  i

  X i

  ^ di

  X i

  =

  X

  i

  i

  X

  d

  ^

  X i

  i

  ^ i

  

X

  d

  i

  X i

  ^

  i

  ^ di

  (d

  i

  é um função, isto é, uma 0-forma, então pelo item 1. temos que i

  ) ^

  X i

  =

  X

  i

  (i

  X

  d + di

  X

  

i

  i

  ^ (i

  X

  d

  i

  X i

  ) =

  X

  i

  i

  ^ L

  ^

  d

  i

  X d = i X d + di X = L X , já que i X d = d (d ) X = 0.

  Suponha o resultado válido para um q-forma. Então seja ! uma (q + 1)-forma. Logo ! é da forma P

  i i

  ^

  i , onde i e i são 1-formas e q-formas, respectivamente. Assim

  L

  X

  ! =

  X

  L

  X i

  X

  (

  i

  ^

  i

  ) =

  X

  i

  L

  X

  i

  i

  ^ d

  ! =

  X

  i

  i

  X

  (d

  i

  ^

  i

  i

  

X

X i i

  ) + d (i

  X i

  ^

  i

  i

  ^ i

  X i

  ) =

  X

  i

  !

  ^

  X i

  i

  X i

  ^

  i

  ^ i

  X

  d

  i

  ^ di

  Por outro lado, i

  i

  X

  d! + di

  X

  ! = i

  X

  d

  X

  i i

  ^

  • d
  • i
  • i
  • di
  • i
  • i
  • di
  • i
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

20 A proposição a seguir nos fornece uma maneira de calcularmos a derivada exterior de uma p-forma qualquer aplicada a p campos quaisquer.

  q

  Proposição 1.39 Seja X

  2 X(M ); i = 0; : : : ; q; e 2 (T M ). Então

  i q

  X

  k

  d (X ; ; X ) = ( 1) L X ; ; ^ X ; ; X (1.7)

  q X k k q k=0

  X

  i+j

  • ( 1) L (X ) ; X ; ; ^ X ; ; ^

  X ; ; X :

  X i j i j q 0 i<j q

  Demonstração. Vamos prosseguir por indução. Se q = 0, então a a…rmação é válida, de acordo com a de…nição. Suponha (1.7) válida para q e seja uma (q + 1)-forma. Assim, dados X ; ; X q+1

  2 X(M ), temos d (X ; ; X ) = (i d ) (X ; ; X )

  q+1

  X 1 q+1

  = (L di ) (X ; ; X )

  X X 1 q+1

  = (L ) (X ; ; X ) di (X ; ; X )

  X 1 q+1

  X 1 q+1

  Mas observe que i é uma q-forma, logo, pela hipótese de indução, temos

  X

  di (X ; ; X )

  X 1 q+1 q+1

  X

  k+1

  = ( 1) L

  X i

  X k ; ; X q

  k

  1 k=1

  X X ; ; c

  X

  i+j

  ( 1) + i L i (X ) ; X ; ; c X ; ; c X ; ; X

  X X j 1 i j q 1 i<j q+1 q+1

  X

  k+1

  = ( 1) L X ; X ; ; c X ; ; X

  X k 1 k q k=1

  X

  i+j

  ( 1) + L (X ) ; X ; X ; c X ; ; c X ; ; X :

  X i j 1 i j q 1 i<j q+1

  Agora, considerando (1.6), encontramos d (X ; X ; X )

  1 q+1 q+1

  X = L ( (X ; X ; ; Y )) (X ; ; L X ; ; X )

  X 1 p

  1 X i q+1 i=1 q+1

  X

  k+1

  ( 1) L X + ; X ; ; c X ; ; X

  X k 1 k q k=1

  X

  i+j

  • ( 1) L (X ) ; X ; X ; c X ; ; c

  X ; ; X :

  X i j 1 i j q 1 i<j q+1

  Fazendo um permutação dos índices, obtemos o nosso resultado.

  Capítulo 2 Introdução à Geometria de Poisson

  Neste capítulo faremos uma introdução à geometria de Poisson, ressaltando os pontos fundamentais para a teoria e, particularmente, construindo sistematicamente as noções básicas para que possamos ter uma ideia da importância do assunto. Para isto, utilizamos [8] e [16] como referências principais para a construção do capítulo.

2.1 Variedades de Poisson

  1 De…nição 2.1 Uma estrutura de Poisson C em uma variedade M de dimensão …nita

  é uma operação bilinear antissimétrica

  1

  

1

  1

  f ; g : C (M ) C (M ) ! C (M ) que satisfaz às seguintes propriedades: i) (Identidade de Jacobi) fff; gg; hg + ffg; hg; fg + ffh; fg; gg = 0; ii) (Regra de Leibniz) ff; ghg = ff; gg h + g ff; hg,

  1

  para todas f; g; h 2 C (M ). Tal operação é chamada de colchete de Poisson. Uma variedade munida desta estrutura é representada por (M; f ; g) e é chamada uma variedade de Poisson.

  k

  Analogamente, podemos de…nir uma estrutura de Poisson C , com k 2 N, em uma

  k k

  variedade fazendo o colchete agir apenas em pares de funções C , isto é, f ; g : C (M )

  k k

  1 C (M ) ! C (M ). Entretando neste texto trataremos apenas de estruturas C , embora

  2 para a teoria seja su…ciente estruturas C , na maioria das situações.

  1 Exemplo 2.2 A estrutura de…nida por ff; gg = 0, 8f; g 2 C (M ) numa variedade M é um colchete de Poisson. CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON

  1

  1 Exemplo 2.3 Se f 2 C (M ) é uma função constante, então ff; gg = 0, 8g 2 C (M ),

  pois pela linearidade temos ff; gg = f f1; gg e aplicando a Regra de Leibniz, encontramos f1; gg = f1 1; gg = 1 f1; gg + 1 f1; gg = 2 f1; gg =) f1; gg = 0:

  Exemplo 2.4 (Produto Direto) Sejam (M ; f ; g ) e (M ; f ; g ) duas variedades de

  1

  2

  1

  2 Poisson. Então, o produto cartesiano M

  1 M 2 munido do colchete f ; g dado por

  ff (x; y) ; g (x; y)g = ff (x) ; g (x)g + ff (y) ; g (y)g ;

  y y x x

  2

  1

  1

  (onde h (y) e h (x) são a função h 2 C (M M ) vista apenas como função de y e

  x y

  1

  2

  x, respectivamente) é também uma variedade de Poisson e o colchete f ; g é chamado de estrutra de Poisson produto. Observe que basta veri…carmos a Identidade de Jacobi, pois

  1

  as outras propriedades são imediatas. Então, dadas f; g; h 2 C (M M ), temos

  1

  2

  fff (x; y) ; g (x; y)g ; h (x; y)g n o = ff (x; y) ; g (x; y)g (x); h (x) + fff (x; y) ; g (x; y)g (y); h (y)g

  y x y x

  2

  

1

  n o

  = ff (x) ; g (x)g + ff (y) ; g (y)g (x); h (x)

  y y x x y

  1 2 y

  1

  • ff y (x) ; g y (x)g + ff x (y) ; g x (y)g (y); h x (y)

  1 2 x

  2

  n o n o

  • = ff y (x) ; g y (x)g (x); h y (x) (ff x (y) ; g x (y)g ) (x); h y (x)

  2 1 y y

  

1

  1

  • ff (x) ; g (x)g (y); h (y) + (ff (y) ; g (y)g

  ) (y); h (y)

  

y y x x x x

  2 x 1 x

  

2

  2

  mas note que (ff (y) ; g (y)g ) (x) e ff (x) ; g (x)g (y) são funções constantes, logo

  x x y y 2 y 1 x

  n o (ff (y) ; g (y)g ) (x); h (x) = ff (x) ; g (x)g (y); h (y) = 0:

  x x y y y x 2 y 1 x

  2

1 Assim

  fff (x; y) ; g (x; y)g ; h (x; y)g = ff (x) ; g (x)g ; h (x) + fff (y) ; g (y)g ; h (y)g :

  y y y x x x

  2

  1

  1

  2 Como os colchetes f ; g e f ; g são de Poisson segue que

  1

  2

  fff; gg ; hg + ffg; hg ; f g + ffh; f g ; gg = 0:

  1

  (M ), então a apli- Dadas uma variedade de Poisson (M; f ; g) e uma função f 2 C

  1

  1

  cação ff; g : C (M ) ! C (M ) é uma derivação, já que é linear e obedece à Regra de

  1 Leibniz. Sendo assim, pelo Lema 1.34, para cada função f 2 C (M ) existe um campo

  1

  2 T M tal que ff; gg = X (g), 8g 2 C (M ). Tal campo é chamado de campo vetorial X f f de vetores hamiltoniano da função f, ou apenas, campo hamiltoniano de f.

2.1. VARIEDADES DE POISSON

  De…nição 2.5 Uma integral primeira de um campo X é uma função g tal que X (g) = 0, isto é, g é constante com respeito a X.

  Assim, uma função g é uma integral primeira de um campo hamiltoniano X se, e

  f

  somente se, ff; gg = 0. Observe que toda função h é uma integral primeira de seu próprio campo hamiltoniano, já que, pela antissimetria, temos fh; hg = 0:

  2n

  Classicamente, Poisson de…niu seu colchete sobre funções sobre R com coordenadas (x ; ; x ; y ; ; y ) como

  1 n 1 n

  X X @f @g @g @f ff; gg = : (2.1)

  @x @y @x @y

  i i i i

i i

  Com esta de…nição ele descobriu uma forma de encontrar novas integrais primeiras a partir de duas já conhecidas. Este resultado é conhecido como Teorema de Poisson. Quase trinta anos mais tarde, Jacobi descobriu a identidade que hoje leva seu nome e que “justi…ca” mais claramente o resultado.

  1 Teorema 2.6 (Poisson) Sejam f; g; h funções de classe C

  sobre uma variedade de Poisson M. Se fg; fg = 0 e fh; fg = 0 então ffg; hg ; fg = 0: Demonstração. Segue direto da identidade de Jacobi.

  Outro resultado importante sobre campos hamiltonianos relaciona o colchete de Lie e o colchete de Poisson.

  1 Proposição 2.7 Dadas uma variedade de Poisson (M; f ; g) e funções f; g 2 C (M ),

  então [X ; X ] = X :

  

f g ff;gg

  

1

Demonstração. Para qualquer f; g; h 2 C (M ), temos por (1.4)

  [X ; X ] h = X (X

  h) X (X

  h) = ff; fg; hgg fg; fh; f gg

  f g f g g f

  = fff; gg ; hg = X

  h:

  

ff;gg

Como h é arbitrário, segue que [X ; X ] = X , como queríamos. f g ff;gg

  De…nição 2.8 Uma variedade simplética, representada por (M; !), é uma variedade M munida de uma 2-forma diferencial ! que é fechada e não degenerada, ou seja, d! = 0

  M , x 2 M , temos e se, dado X 2 T x ! (X; Y ) = 0; 8Y 2 T M

  x

  =) X = 0: A 2-forma ! é chamada forma simplética. CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON P n

  i i 2n

  Exemplo 2.9 A 2-forma diferencial ! = dx ^ dy de…nida sobre R com base

  i=1

  (x

  1 ; ; x n ; y 1 ; ; y n ) é simplética. Ela é chamada de forma simplética canônica de 2n

  R .

  Por causa da não degenerecência da forma simplética !, temos que em todo o ponto x de M , a 2-forma vetorial ! (x) tem posto máximo e este é par, pelo Teorema 1.16. Concluímos daí que toda variedade simplética tem dimensão par. A não degenerecência de ! também nos diz que o homomor…smo

  [

  ! : T M ! T M X 7 ! i !

  X

  é uma bijeção. Então, dada f : M ! R função diferenciável, existe um único campo vetorial X f

2 T M tal que i

  X f ! = df . A próxima proposição nos diz que toda variedade

  simplética é também uma variedade de Poisson e que o campo X como acima é o campo

  f hamiltoniano de f.

  Proposição 2.10 Seja (M; !) uma variedade simplética. Então o colchete f ; g de…nido por ff; gg := !(X ; X ) = df (X ) = X (f ) = X (g);

  f g g g f

  onde X f e X g são os campos tais que i

  X ! = df e i X g ! = dg, é uma estrutura de f

  Poisson em M. Assim, os campos X ; X

2 T M são os campos hamiltonianos de f e g,

  f g respectivamente.

  Demonstração. A bilinearidade e a antissimetria seguem direto das propriedades da 2-forma !. Para mostrarmos a Identidade de Jacobi vamos utilizar (1.7) e aplicá-la a !.

  1

  (M ) Desta forma, dados f; g; h 2 C 0 = d! (X f ; X g ; X h )

  = L (! (X ; X )) L g (! (X ; X )) + L (! (X ; X ))

  X f g h X f h X h f g

  ! ([X ; X ] ; X ) + ! ([X ; X ] ; X ) ! ([X ; X ] ; X )

  f g h f h g g h f

  = X f (! (X g ; X h )) + X g (! (X h ; X f )) + X h (! (X f ; X g )) [X ; X ] (h) [X ; X ] (g) [X ; X ] (f )

  f g h f g h

  = ff; fg; hgg + fg; fh; f gg + fh; ff; ggg (X (X (h)) X (X (h)))

  f g g f

  (X (X (g)) X (X (g))) (X (X (f )) X (X (f )))

  h f f h g h h g

  = ff; fg; hgg + fg; fh; f gg + fh; ff; ggg ff; fg; hgg fg; fh; f gg fh; ff; ggg ff; fg; hgg fg; fh; f gg fh; ff; ggg = (ff; fg; hgg + fg; fh; f gg + fh; ff; ggg) :

2.2. O TENSOR DE POISSON

  A Regra de Leibniz é direta, pois ff g; hg = !(X ; X ) = df g(X )

  f g h h

  = (gdf + f dg) (X h ) = gdf (X h ) f dg(X h ) = g ff; hg + f fg; hg :

  O colchete de…nido como na Proposição anterior é chamado de colchete associado à forma simplética !: Exemplo 2.11 Dada uma variedade M de dimensão par 2n e um sistema de coordenadas locais (x ; ; x ; y ; ; y ), a forma

  1 n 1 n n

  X

  i i

  ! = dx ^ dy (2.2)

  i=1

  é simplética. De fato, mostraremos mais adiante que toda forma simplética assume esse formato localmente, por isso ela é chamada de forma simplética canônica. Seja f ; g o colchete associado de !, vamos calcular fx i ; x j

  g, fy i ; y j g e fx i ; y j g, para i; j = 1; : : : ; n. Primeiramente observe que, sendo X e Y os campos hamiltonianos de x e y , respecti-

  i i i i

  vamente, temos @ @

  i i

i X i ! = dx ) X i = e i Y i ! = dy ) Y i = .

  @y @x

  i i

  Assim, utilizando a de…nição dada na proposição anterior, encontramos @ @ @ @ fx ; y g = !(X ; Y ) = ! ; = (x ) = (y )

  

i j i j i j

  @y i @x j @x j @y i =) fx ; y g = :

  i j ij

  onde é o delta de Kronecker usual. E também

  ij

  @ @ @ fx ; x g = ! ; = (x ) = 0; 8i; j

  i j i e

  @y i @y j @y j @ @ @ fy ; y g = ! ; = (y ) = 0; 8i; j:

  i j i

  @x @x @x

  i j j

2.2 O Tensor de Poisson

  Analogamente ao que …zemos com as formas diferenciais, dada uma variedade M de

  

q q

  (T M ) = f (T M ) : x 2 M g e chamamos um el- dimensão m, tomamos o conjunto x

  q

  emento (x) 2 (T M ) de um q-campo vetorial. Escrito em coordenadas locais numa

  CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON vizinhança de x, temos

  X @ @

  q i 1 :::i

  (x) = (x) ^ ^ @x @x q

  i 1 i p

  I2C (m)

  X 1 @ @

  i

1 :::i q

  = (x) ^ ^ q! @x @x q

  i 1 i p

  I2I (m)

  ou, como na notação introduzida na Observação 1.9,

  X 1 @

  I

  (x) = (x) ; I = (i ; : : : ; i ) . (2.3)

  1 q

  q! @x

  I p

  I2I (m)

  I As componentes (x) são funções chamadas coe…cientes de e são antissimétricas em

  relação aos índices, isto é, se houver uma permutação ímpar dos índices o coe…ciente é

  I

  multiplicado por ( 1). Se (x) são funções suaves então é dito um q-campo veto-

  q

  rial suave. Aqui trataremos apenas de campos suaves. Dada 2 (T M ), podemos generalizar a De…nição 1.14 para variedades, de…nindo a aplicação

  q q

  1

  h ; i : (T M ) (T M ) ! C (M ) ( (x) ; (x)) 7 ! h ; i (x) que também chamaremos de pareamento. Então, pela Proposição 1.15, temos em coorde- nadas locais que

  m

  X X

  1

  i 1 :::i q

  I

  h ; i = a q = a : (2.4)

  i 1 :::i

  I

  q!

  p q 1 i 1 < <i m

  I2I (m) q

  Em particular, dado 2 (T M ), …ca bem de…nida a aplicação

  1

  1

  1

  : C (M ) C (M ) ! C (M )

  q vezes

  dada da seguinte forma (f ; ; f ) = hdf ^ ^ df ; i : (2.5)

  1 q 1 q

  O próximo lema diz que esta aplicação dá ao q-campo de vetores uma interpretação de multiderivação.

  1

  1

  1 Lema 2.12 Seja : C (M ) C (M ) ! C (M ) uma aplicação multilinear. q vezes

  Então é da forma (f ; ; f ) = hdf ^ ^ df ; i, onde é um q-campo vetorial

  1 q 1 q

  suave se, e somente se, é uma aplicação antissimétrica satisfazendo a regra de Leibniz (f g; f ; ; f ) = f (g; f ; ; f ) + g (f; f ; ; f ) :

  2 q 2 q 2 q

2.2. O TENSOR DE POISSON

  Demonstração. Seja (f ; ; f ) = um q-campo vetorial suave. Então a aplicação

  1 q

  hdf 1 ^ ^ df q ; i é antissimétrica por causa da bilinearidade da aplicação pareamento. De fato,

  (f ; ; f ; f ; ; f ) = hdf ^ ^ df ^ df ^ ^ df ; i

  1 i+1 i q 1 i+1 i q

  = h (df ^ ^ df ^ df ^ ^ df ) ; i

  1 i i+1 q

  = (f

  1 ; ; f i ; f i+1 ; ; f q ) :

  Já a regra de Leibniz segue das propriedades da derivação exterior e também da bilineari- dade de h ; i. De fato, (f g; f ; ; f ) = hd (f g) ^ df ^ ^ df i

  2 q 2 q

  = h(gdf + f dg) ^ df ^ ^ df i

  2 q

  = g hdf ^ df ^ ^ df q i + f hdg ^ df ^ ^ df q i

  2

  2

  = f (g; f ; ; f ) + g (f; f ; ; f ) :

  2 q 2 q Agora suponha que a aplicação multilinear é antissimétrica e satisfaz a regra de Leibniz.

  Então, a partir do isomor…smo de…nido na Proposição 1.12, para construirmos um q-

  q

  campo 2 (T M ) satisfazendo as condições do enunciado, basta construirmos um

  q

  elemento de (T M ) , ao qual vamos denotar também por , tal que para cada x 2 M ; ; x ) numa vizinhança de x, e um sistema de coordenadas locais (x

  1 m q

  R : (T M ) !

  x

  P P

  J

  = a J (x) dx 7! ( ) = a J (x) (x j

  1 ; ; x j q ) (x) : q q J2C (m) J2C (m) q i 1 i

  Assim, temos que (dx ^ ^ dx ) = (x ; ; x q ). Basta agora veri…carmos que

  i 1 i

  1 m

  ; ; y ) tal aplicação não depende do sistema de coordenadas locais. Seja então (y

  um outro sistema de coordenadas locais numa vizinhança de x (tome uma vizinhança su…cientemente pequena para que (x ; ; x ) esteja de…nido). Desta forma, temos

  1 m

  P

  1 @f 1 j

  1

  y = f (x ; ; x ) dy = (x) dx

  1

  1 1 m j

  1 @x j1 ... =) ...

  P

  @f m m j m

  y = f (x ; ; x ) dy = (x) dx

  m m 1 m j m @x jm

  Portanto, temos

  m

  X @f @f q

  i 1 i

i i q j j q

  1

  1

  dy ^ ^ dy = dx ^ ^ dx @x j

  1 @x j q j 1 ;:::;j q =1 CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON Logo a aplicação no novo sistema de coordenadas é

  m

  X @f @f i q

  i

1 I

  dy = (x ; ; x )

  j 1 j q

  @x @x

  j 1 j q j 1 ;:::;j q =1

m m

  X X @f

  @f i q

  i

  1

  = ( x ; ; x q )

  

j

1 j

  @x @x

  j 1 j q q j

1 =1 j =1

  = df ; ; df

  i 1 i q

  = f i

  1 ; ; f i q onde a última igualdade vem do lema a seguir.

  1

  1

  1 Lema 2.13 Se : C (M ) C (M ) ! C (M ) é uma aplicação multilinear, q vezes

  antissimétrica que satisfaz a regra de Leibniz, então (f ; ; f ) (x) = (df ; ; df ) (x) :

  1 q 1 q

  Demonstração. Queremos mostrar que (f ; ; f ) (df ; ; df ) = 0, ou equiv-

  1 q 1 q

  1 q 1 q

  (df ; ; df ) = 0 temos (f ; ; f ) = 0. Para isto, basta mostrar alentemente, se

  que se num ponto x 2 M temos df

  

1 (x) = 0 então (f

1 ; ; f q ) (x) = 0. Neste caso, se

  P m df (x) = 0 então f = c + x g , onde c é uma constante e x e g são funções que se

  1

1 i i i i

i=1

  anulam no ponto x. Assim, pela linearidade e regra de Leibniz, temos (f

  1 ; ; f q ) (x)

  !

  m

  X = c + x g ; ; f (x)

  i i q i=1 m

  X = c (1; ; f ) (x) + x (x) (g ; ; f ) (x) + g (x) (x ; ; f ) (x)

  q i i q i i q i=1

  = c (1; ; f ) (x)

  q

  já que x (x) = g (x) = 0. Mas a regra de Leibniz também nos diz que

  i i

  (1; ; f ) = (1 1; ; f )

  q q

  = 1 (1; ; f ) + 1 (1; ; f )

  q q

  = 2 (1; ; f )

  q

  =) (1; ; f ) = 0:

  q

  (f ; ; f ) (x) = 0 se (df ; ; df ) = 0: Logo

  1 q 1 q

  O Lema 2.12 nos oferece uma nova interpretação para uma estrutura de Poisson. O colchete de Poisson f ; g é bilinear, antissimétrico e satisfaz a Regra de Leibniz, então existe um 2-campo vetorial suave tal que ff; gg = (f; g) = hdf ^ dg; i (2.6)

2.2. O TENSOR DE POISSON

  1

  para quaisquer funções C sobre a variedade em questão. Reciprocamente, um 2-campo de vetores tal que o colchete de…nido por ff; gg := (f; g) é de Poisson, isto é, satisfaz a identidade de Jacobi, é chamado um tensor de Poisson ou uma estrutura de Poisson. Em coordenadas locais, temos

  m m

  X X @ @ 1 @ @

  

ij ij

  = ^ = ^ (2.7) @x i @x j 2 @x i @x j

  i<j=1 i;j=1 ij i j

  onde = fx ; x g = hdx ^ dx ; i. Aplicando o colchete a um par de funções arbitrário,

  i j

  encontramos uma expressão local para o colchete de Poisson ff; gg = hdf ^ dg; i (2.8)

  m

  X X @f @g @ @

  

i j

  = dx ^ dx ; fx ; x g ^

  i j

  @x @x @x @x

  i j i j i;j i<j=1

  X @f @g

  = fx ; x g :

  i j

  @x @x

  i j i;j

  Exemplo 2.14 Dadas coordenadas locais de uma variedade de dimensão par, o tensor P P

  @ @ i i

  de Poisson correspondente à forma simplética canônica ! = dx ^ dy é ^ .

  i i @x i @y i

  De fato, calculamos no Exemplo 2.11 que numa variedade simplética temos fx i ; y j g = ij e fx ; x g = fy ; y g = 0; 8i; j. Assim

  i j i j

  X 1 @ @ @ @ @ @ = 2 fx ; y g ^ + fx ; x g ^ + fy ; y g ^

  i j i j i j

  2 @x @y @x @x @y @y

  i j i j i j i;j

  X X @ @ @ @

  = fx ; y g ^ = ^ :

  i i

  @x @y @x @y

  i i i i i i @ @ @

  3 Exemplo 2.15 O colchete associado ao 2-campo vetorial = ^ + x em R , @x @y @z

  1

  não satisfaz à identidade de Jacobi. De fato, dadas funções f; g; h de classe C sobre a variedade considerada, então ff; gg = hdf ^ dg; i

  @f @g @f @g @f @g

  xy yx xz

  • = @x @y @y @x @x @z

  @f @g @f @g @f @g

  zx yz zy

  • : @z @x @y @z @z @y

  xy xz yz

  Mas temos = 1; = x e = 0. Assim @f @g @f @g @f @g @f @g ff; gg = + x @x @y @y @x @x @z @z @x

  @f @g @f @g @f @g @f @g = + x + x :

  @x @y @x @z @y @x @z @x CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON Logo encontramos

  @ @f @g @f @g @f @g @f @g @h fff; gg ; hg = + x + x @x @x @y @x @z @y @x @z @x @y

  @ @f @g @f @g @f @g @f @g @h

  • x + x + x

  @x @x @y @x @z @y @x @z @x @z @ @f @g @f @g @h @ @f @g @f @g @h

  = + x + x + x @x @x @y @x @z @y @x @x @y @x @z @z

  @ @f @g @f @g @h @ @f @g @f @g @h

  • x + x + x @x @y @x @z @x @y @x @y @x @z @x @z

  2

  2

  2

  2 Mas tomando, por exemplo, as funções f(x; y; z) = x , g(x; y; z) = y +z e h(x; y; z) = y ,

  obtemos @

  2

  2

  fff; gg ; hg = 2x 2y + z + x (2x) y + 2z (2y) @x

  2

  2

  = 4xy + 2z + 4y + 8xz (2y)

  3

  2

  3

  = 8xy + 4yz + 8y + 16xyz Concluímos que, para estas funções, a expressão fff; gg; hg + ffg; hg; fg + ffh; fg; gg é a soma de termos positivos, logo é não identicamente nula. Então o 2-campo vetorial dado não é um tensor de Poisson.

  Agora podemos formular uma condição em coordenadas locais para um 2-campo veto- rial ser um tensor de Poisson, isto é, satisfazer a identidade de Jacobi. Sejam (x

  1 ; ; x m )

  um sistema local de coordenadas de uma variedade M e um 2-campo vetorial suave sobre

  1 M . Associamos a um colchete dado por ff; gg = (f; g) = hdf ^ dg; i, f; g 2 C (M ).

  P

  @g ij @f

  1 Nete caso, temos por (2.4) que ff; gg = . Dada h 2 C (M ), temos

i;j

@x i @x j

  !

  m m

  X X @ @f @g @h

  sk ij

  fff; gg ; hg = @x @x @x @x

  s i j k s;k=1 i;j=1 m ij

  2

  @ @f @g @h @ f @g @h @f @ g @h

  2 X

  sk sk ij sk ij

  • =

  : + @x @x @x @x @x @x @x @x @x @x @x @x

  s i j k s i j k i s j k s;k;i;j=1

  Analogamente encontramos ffg; hg ; f g =

  m ij

  2

  @ @g @h @f @ g @h @f @g @ h @f

  2 X

  sk sk ij sk ij

  • =

  ; + @x @x @x @x @x @x @x @x @x @x @x @x

  s i j k s i j k i s j k s;k;i;j=1

  ffh; f g ; gg =

  m ij

  2

  @ @h @f @g @ h @f @g @h @ f @g

  2 X

  sk sk ij sk ij

  = + : +

  @x @x @x @x @x @x @x @x @x @x @x @x

  s i j k s i j k i s j k s;k;i;j=1

2.2. O TENSOR DE POISSON

  Distribuindo a somatória, reorganizando os índices e utilizando a antissimetria dos coe…-

  ij

  cientes e a simetria das derivações parciais segundas apropriadamente, obtemos fff; gg; hg + ffg; hg; f g + ffh; f g; gg

  ij

  X @ @f @g @h @g @h @f @h @f @g

  sk

  • = + @x @x @x @x @x @x @x @x @x @x

  s i j k i j k i j k s;k;i;j

  2

  2

  @ f @g @h @ f @g @h

  sk ij sk ij

  • @x @x @x @x @x @x @x @x

  

s i j k s i k j

  2

  2

  @ g @h @f @ g @h @f

  sk ij sk ij

  • @x @x @x @x @x @x @x @x

  

s i j k s i k j

  2

  2

  @ h @f @g @ h @f @g

  sk ij sk ij

  • @x s @x i @x j @x k @x s @x i @x k @x j

  !

  ij jk ki

  X X @ @ @ @f @g @h

  sk si sj

  = : (2.9) + +

  @x @x @x @x @x @x

  s s s i j k k;i;j s

  Como consequência temos o seguinte resultado: P

  

@

ij @

  Proposição 2.16 Seja = ^ um 2-campo vetorial sobre uma variedade

  i<j @x i @x j

  M , escrito num dado sistema de coordenadas locais. Então é um tensor de Poisson se, e somente se, seus coe…cientes satisfazem à seguinte equação

  m ij jk ki

  X @ @ @

  sk si sj

  • = 0; (2.10) + @x @x @x

  s s s s=1

  para todos i; j; k = 1; : : : ; m. Demonstração. Para cada tripla (i; j; k), tomando f = x , g = x , h = x temos que se

  i j k

  a expressão (2.9) é nula então

  ij jk ki

  X @ @ @

  sk si sj

  • = 0: + @x @x @x

  s s s s

  Reciprocamente, se (2.10) é válida então (2.9) é nula e assim é um tensor de Poisson. Exemplo 2.17 Todo 2-campo vetorial em uma variedade bidimensional é um tensor de Poisson. De fato, em um sistema de coordenadas locais (x ; x ) um dado 2-campo se

  1

  2 12 @ @

  = ^ escreve como . Logo

  @x 1 @x

  2

  2 ij jk ki

  X @ @ @

  sk si sj

  • @x @x @x

  s s s s=1 ij jk ki ij jk ki

  @ @ @ @ @ @

  

1k 1i 1j 2k 2i 2j

  • =

  : + + @x @x @x @x @x @x

  1

  1

  1

  2

  2

  2 CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON Se i = j = k, a expressão se anula naturalmente devido à antissimetria dos coen…cientes do tensor. Basta-nos então considerar o caso em que i = j 6= k, pois todos os outros serão análogos pela simetria da equação. Desta forma, teremos

  ij jk ki ik ki

  @ @ @ @ @

  1k 1i 1j 1i 1i

  • = = 0 + @x @x @x @x @x

  1

  1

  

1

  1

  1 ij jk ki ik ki

  @ @ @ @ @

  1k 1i 1j 1i 1i

  • = = 0 + + @x @x @x @x @x

  2

  2

  

2

  2

  2 E segue da Proposição anterior que é um tensor de Poisson.

2.3 Estudo em Coordenadas Locais

1 Seja um tensor de Poisson sobre uma variedade M de dimensão m. Para cada (x) 2

  1

  (T M ), x 2 M , a aplicação

  x

1 R

  ( ) : (T M ) !

  x

  (x) 7 ! h ^ ; i (x)

  1

  é claramente linear e está bem de…nida. Assim, ( ) 2 (T M ) . Seja agora :

  1

  1

  (T M ) ! (T M ) o isomor…smo de…nido na Proposição 1.12 (ou, mais precisa-

  1

  1

  mente, na Observação 1.13) e : (T M ) ! (T M ) seu dual, então de…nimos

  1

  1

  

1

  # 2 (T M ) por # = ( ) 2 (T M ). Logo, de…nimos um homomor…smo natural # = # : T M ! T M

  1

  7 ! ( )

  1

  (x) 2 (T M ), x 2 M , associamos o vetor # (x) 2 Em outras palavras, para cada

  x

  T M satisfazendo

  x

  h ^ ; i (x) = h ; # i (x)

  2 M . Tal operação é chamada de aplicação âncora

  quaisquer que sejam x 2 M e (x) 2 T

  x

  de . Em coordenadas locais, temos ! !

  m m m

  X X

  X

  ij ij

  h ^ ; i (x) = a i b j (x) = b j a i (x)

  i;j=1 j=1 i=1

  • ! +

  m m

  X X @

  ij

  = ; a (x) ;

  i

  @x

  j j=1 i=1

  P m P m

  j j

  onde = a dx e = b dx . Segue que

  j j j=1 j=1

  !

  m m

  X X @

  ij

  # (x) = a (x) :

  i (2.11)

  @x

  j j=1 i=1

  1 Ou, mais geralmente, um 2-campo vetorial qualquer.

  2 Tradução literal da expressão utilizada em [8].

2.3. ESTUDO EM COORDENADAS LOCAIS

  P m

  j ij

  = ( a ) são os coe…cientes de # nesta base, então Observe que, se i

  i=1 j ij

  (x) = [a ] (x)

  i m 1 m 1 m m ij

  ] lembrando que [ é uma matriz antissimétrica.

  m m

  1 Exemplo 2.18 Dado um tensor de Poisson sobre uma variedade M e f 2 C (M ),

  1

  então para toda função g 2 C (M ), dg(X ) = X (g) = ff; gg = (f; g) = hdf ^ dg; i = hdg; # (df )i =) # (df ) = X

  f f f onde X f é o campo hamiltoniano de f.

  Lema 2.19 A imagem C = Im # da aplicação # é o menor subespaço de T M

  x (x) (x) x

  2

  2 (x) 2 (C ) (T M ).

  tal que x x Demonstração. Dado um sistema de coordenadas locais arbitrário (x

  1 ; ; x m ) em

  uma vizinhança aberta V de um ponto x 2 M também arbitrário, suponha, sem perda P q

  @ ij @ ij

  de generalidade, que = ^ , ou seja, = 0 para i > q (ou j >

  i;j=1 @x i @x j ij ji

  q, já que = ). Observe que o menor subespaço C x de T x M tal que (x) 2 D E D E

  @ @ @ @

  2 (C ) é ; ; . Por (2.11), é claro que ; ; Im # , 8x 2 V . x

  (x) @x 1 @x q @x 1 @x q

  2 (T M ), obtemos, novamente por (2.11), ! !

1 Reciprocamente, dada

  m m q q

  X X

  X X @ @

  ij ij

  # (x) = a (x) = a (x) :

  i i

  @x j @x j

  j=1 i=1 j=1 i=1

  D E D E

  @ @ @ @

  Logo # (x) 2 ; ; . Concluímos que Im # = ; ; , de onde

  (x) @x

1 @x q @x

1 @x q segue o resultado.

  O lema anterior juntamente com o Exemplo 1.3 motivam a seguinte de…nição. De…nição 2.20 Se (M; ) é uma variedade de Poisson e x um ponto de M , então a imagem C := Im # da aplicação # é chamada de espaço característico da estrutra

  x (x) (x)

  de Poisson no ponto x. A dimensão do espaço característico C x é chamada de posto de em x e max x2M dim C x é chamada posto de . Quando o posto de (x) é igual a dimensão de M, então dizemos que é não degenerada em x. Se o posto de é constante sobre M, então é dita uma estrutura de Poisson regular.

  Exemplo 2.21 Seja (M; ) uma variedade de Poisson. Observe que o posto de coin-

  ij

  cide com o posto da matriz [ ] dos coe…cientes de escrito em alguma coordenada

  m m local. Sabemos da álgebra linear que o posto de uma matriz antissimétrica é sempre par.

  Disto concluímos que o posto de em um ponto x 2 M é sempre par. Note também

  CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON que, se é uma estrutra de Poisson regular não degenerada, então a 2-forma ! tal que

  1

  ! (X f ; X g ) = (f; g) é não degenerada. De fato, se !(X f ; X g ) = 0; 8g 2 C (M ), então (f; g) = hdf ^ dg; i = hdg; #df i = hdg; X f i = 0

  =) X = 0:

  f

  Mais ainda, observe que ! é fechada por causa da identidade de Jacobi (ver prova da Proposição 2.10). Então ! é uma forma simplética associada a . Pelo Exemplo 2.14 e pela unicidade da escrita de uma forma em coordenadas locais, a forma simplética

  P

  @ @

  associada à estrutura de Poisson ^ canônica é a forma simplética canônica

  i @x i @y i

  P n

  i i

  dx ^ dy :

  i=1

  O espaço característico C x em um ponto x qualquer é gerado pelos campos hamilto- nianos no ponto.

  Proposição 2.22 Sendo (M; ) uma variedade de Poisson e C seu espaço característico

  x

  no ponto x 2 M, então

  1 C = fX (x) : f 2 C (M )g ; 8x 2 M: x f

  Demonstração. Sabemos que o espaço T M é gerado pelas 1-formas lineares df com f 2

1 C (M ). Então, temos que Im # é gerado pelos campos # (df ) e assim, pelo Exemplo

  2.18, segue que Im # é gerado pelos campos X e o resultado segue pela linearidade de

  f #.

  O seguinte resultado, devido a Alan Weinstein (ver [16]), nos fornece uma forma canônica local para um tensor de Poisson.

  Teorema 2.23 (Decomposição de Weinstein) Seja x um ponto de posto 2s de uma estrutura de Poisson sobre uma variedade M de dimensão m. Seja N uma subvariedade de M de dimensão (m 2s), escolhida arbitrariamente, mas que contém x e é transversal ao espaço característico C no ponto x, isto é, T M = T N C . Então existe um

  x x x x

  sistema de coordenadas (p

  1 ; ; p s ; q 1 ; ; q s ; z 1 ; ; z m 2s ) de M numa vizinhança de x

  que satisfaz as seguintes condições:

  a. p (y) = q (y) = 0; para todos i = 1; : : : ; m e y 2 N , onde N N é uma vizinhança

  i i x x

  su…cientemente pequena de x;

  b. fq i ; q j g = fp i ; p j g = 0; 8i; j;

  c. fp ; q g = ; 8i; j, onde é o delta de Kronecker usual e

  i j ij ij

  d. fz i ; p j g = fz i ; q j g = 0; 8i; j;

2.3. ESTUDO EM COORDENADAS LOCAIS

  ij ij ; z g = ' (x) = 0; 8i; j.

  e. fz i j tal que '

  ij

  A condição d: nos diz que as funções coordenadas ' só dependem das coordenadas z , i = 1; : : : ; (m 2s).

  i

  Demonstração. Inicialmente observe que se (x) = 0, então s = 0 e o resultado é M uma vizinhança de x e seja N = V \N . imediato. Então suponha (x) 6= 0. Seja V x

  1 Tome uma função p 1 de classe C em V tal que p 1 j N = 0 e dp 1 (x) 6= 0. A condição

  p j = 0 nos diz que dp j x = 0, mas como dp (x) 6= 0, existe um vetor X

  2 C tal que

1 N

  1 T N 1 g x

  dp (X ) 6= 0, ou seja, existe uma função g tal que #dg (x) = X

  1 g g (ver Exemplo 2.18) e

  dp (X ) = X (p ) = fg; p g = fp ; gg = X (g) 6= 0:

  1 g g

  1

  1 1 p

  1

  = #dp (x) 2 C Assim, X p

  1 1 x é um vetor não nulo. Como o posto de é 2s, existe v 2 C x

  tal que X e v são linearmente independentes. Podemos garantir a existência de uma

  p

  1

  1

  função q de classe C em V (diminuindo V , se necessário) tal que X (q ) = fp ; q g = 1

  1 p

  1

  1

  1

  1

1 N

  j = 0, utilizando o método de Cauchy para a solução desta EDP linear de primeira e q

  ordem.Utilizando a Proposição 2.7, temos que [X ; X ] = X = 0:

  p 1 q

1 fp

1 ;q 1 g

  Segue do Teorema de Frobenius (cf. Teorema 3.16) que existe um sistema de coordenadas ; ; y ) tal que locais (y

  1 m

  @ @ X q

  1 = ; X p 1 = :

  @y @y

  1

  2 Neste sistema de coordenadas, temos

  i) fp ; q g = 1;

  1

  1

  ii) fp ; y g = fq ; y g = 0; 8i 3;

  1 i 1 i ij

  1

  ; y g = '

  2 C (M ) ; 8i 3: iii) fy i j Como consequência do item ii) e do Teorema de Poisson (Teorema 2.6), segue que ffy i ; y j g ; p

  1 g = ffy i ; y j g ; q

1 g = 0, para i = 3; : : : ; m, ou seja,

  @ @ X (fy ; y

  g) = (fy ; y

  g) = 0 e X (fy ; y

  g) = (fy ; y

  g) = 0:

  p 1 i j i j q 1 i j i j

  @y @y

  2

  1 ij

  Concluímos daí que ' não depende das coordenadas y e y . Então o operador linear :

  1

  2

  (y ; ; y ) ! (p ; q ; y ; ; y ) é uma mudança linear de coordenadas cuja jacobiana

  1 m

  1

  1 3 m

  é a matriz m m

  2

  3 1 0

  6

  7 0 1

  4

  5 Id CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON ; q ; y ; ; y ), temos que que tem o determinante não nulo. Então, nas coordenadas (p

  1

  1 3 m

  se escreve como

  m

  X @ @ 1 @ @

  

ij

  = ' (y ; ; y + ^ ) ^ :

  3 m

  @p @q 2 @y @y

  1 1 i j i;j=3

  Isso nos diz que essa estrutura de Poisson é localmente o produto cartesiano entre uma variedade simplética bidimensional com a forma canônica (2.2) e uma variedade de Poisson de dimensão (m 2) (ver Exemplos 2.4 e 2.21) cujo tensor de Poisson

  m

  X 1 @ @

  ij

  = ' (y ; ; y ) ^

  1 3 m

  2 @y @y

  i j i;j=3

  tem posto 2s 2 no ponto x. O teorema agora segue por indução sobre o posto de .

  A conclusão do teorema é que toda variedade de Poisson é localmente o produto cartesiano entre uma variedade simplética e uma variedade de Poisson cujo tensor de Poisson é degenerado em pelo menos um ponto. Como consequência, recuperamos o clássico Teorema de Darboux para forma simpléticas.

  Corolário 2.24 (Teorema de Darboux) Seja (M; !) uma variedade simplética. En- tão, para todo x 2 M, existe um sistema de coordenadas (x ; ; x ; y ; ; y ) numa

  1 n 1 n

  vizinhança de x tal que

  n

  X

  i i

  ! = dx ^ dy :

  i=1 Demonstração. Pela Proposição 2.10, temos que toda variedade simplética é de Poisson.

  A não degenerecência da forma simplética nos garante que a estrutura de Poisson terá posto máximo em todos os pontos. Então basta aplicar o Teorema anterior e o Exemplo

  2.21. Um sistema de coordenadas tal qual descrito no Teorema 2.23 é chamado de sistema de coordenadas canônicas. Neste sistema de coordenadas, o colchete gerado por um tensor de Poisson é dado por

  X X @f @g @f @g @f @g ff; gg = + fz ; z g

  (2.12)

  i j

  @z @z @p @q @q @p

  i j k k k k i;j k

  X @f @g @f @g

  = : (2.13) @p @q @q @p

  k k k k k

  Observe que esta equação é idêntica à (2.1), que é expressão de…nida originalmente por Poisson.

  2.4. O COLCHETE DE SCHOUTEN

  2.4 O Colchete de Schouten

  Dados dois campos de vetores A e B podemos escrevê-los em um dado sistema de coor- P P

  i @ i @

  denadas locais (x ; ; x ) como A = a e B = b . Assim, recorde que o

  1 m i i @x i @x i

  colchete de Lie de A e B é dado por (1.5) ! !

  j j

  X X

  X X @b @ @a @

  i i

  [A; B] = a b : @x i @x j @x i @x j

  i j i j @

  Vamos denotar por @ i e considerar o par (x i ; @ i ) como sendo de coordenadas in-

  @x i

  dependentes, para todo i = 1; : : : ; m, chamadas coordenadas generalizadas. Observe que neste caso @ @ @ @

  @ i @ j = ^ = ^ = @ j @ i ; @x @x @x @x

  

i j j i

  ou seja, as coordenadas @ i anticomutam entre si. Então, nas coordeandas generalizadas P P

  i i

  (x

  1 ; ; x m ; @ 1 ; ; @ m ) escrevemos A = a @ i e B = b @ i . Vistos desta forma, i i

  campos de vetores se parecem muito com expressões polinomiais. Com isto em mente, vamos adotar a regra de derivação de forma análoga à de funções polinomiais @ @ @

  i 1 i p

  := @ @ :

  i 1 i p

  1

  @ @ p

  i

  Por causa da anticomutatividade, temos @ @ @

  i 1 i p p k

  c = ( 1) @ @ @

  i 1 i k i p (2.14)

  @ (@ i k ) onde o símbolo chapéu indica a ausência no produto. Portanto, podemos reescrever a expressão (1.5) da seguinte forma

  X X @A @B @B @A

  [A; B] = : (2.15)

  @ (@ i ) @x i @ (@ i ) @x i

  

i i

O colchete escrito desta forma guarda similaridade com colchete de Poisson (2.1).

  Sejam A um p-campo vetorial e B um q-campo vetorial. Em coordenadas locais ; ; x ; @ ; ; @ ) eles se escrevem como generalizadas (x

  1 m 1 m m

  X

  1

  i 1 ;:::;i p

  A = A @ @

  i 1 i p

  p!

  i 1 ; ;i p =1 m

  X

  1

  j 1 ;:::;j q

  B = B @ @ :

  j 1 j p

  q!

  j 1 ; ;j q =1

  Então podemos de…nir uma generalização da fórmula (2.15) da seguinte forma

  X X @A @B @B @A

  (p 1)(q 1)

  [A; B] = ( 1) : (2.16)

  @ (@ i ) @x i @ (@ i ) @x i

  

i i O colchete como de…nido acima é claramente um (p + q 1)-campo de vetores. CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON Teorema 2.25 (Schouten-Nijenhuis) O colchete de…nido em (2.16) satisfaz as seguintes propriedades:

a) Se A é um a-campo de vetores e B é um b-campo de vetores, então

  (a 1)(b 1)

  [A; B] = ( 1) [B; A] : (2.17)

  b) Se A; B e C são um a-campo, b-campo e c-campo de vetores, respectivamente, então

  (a 1)b

  [A; B ^ C] = [A; B] ^ C + ( 1) B ^ [A; C] ; (2.18)

  (c 1)b

  [A ^ B; C] = A ^ [B; C] + ( 1) [A; C] ^ B: (2.19)

  c) Se A; B e C são um a-campo, b-campo e c-campo de vetores, respectivamente, então

  ac ba cb

  [A; [B; C]] + [B; [C; A]] + [C; [A; B]] = 0; (2.20)

  (i 1)(j 1) ij

  onde = ( 1) ; i; j 2 fa; b; cg.

  d) Se A e B são dois campos de vetores, então este colchete coincide com o colchete de Lie usual. Se A = X é um campo de vetores e B = f é uma função suave (um

  3

  0-campo de vetores ), então [X; f ] = L f = X(f ): (2.21)

  X Demonstração. O item (a) segue diretamente da de…nição.

  ; ; x ; @ ; ; @ ), B ^ C =

b) Observe que, em coordenadas generalizadas (x

  1 m 1 m

  P P

  I J

  B @

  I C @ J é um polinômio, então a regra de derivação (2.14) nos fornece

  I J

  @ (B ^ C) @C @B

  c

  = B + ( 1)

  C: @ (@ i ) @ (@ i ) @ (@ i )

3 Observe que, segundo nossa de…nição, (T M ) = (T M ).

2.4. O COLCHETE DE SCHOUTEN

  • X @A
  • X ( 1)
  • ( 1)

c) Calculando explicitamente, encontramos

  i

  j

  @A @x

  i

  =

  ac

  X

  i;j

  @A @@

  i

  @

  @x

  j

  @@

  j

  @C @x

  j

  @@

  j

  @

  2 C

  @x

  i

  @x

  j bc ac

  X

  @B @x

  i

  @@

  bc

  j

  @B @x

  j

  !

  ac a(b+c 1)

  X

  i

  @ @@ i

  X

  j

  @B @@ j

  @C @x j

  X

  @A @@

  j

  @C @@ j

  @B @x j

  ! @A @x i

  !

  ( 1)

  b

  X

  i;j

  @

  2 C

  @@

  i;j

  @

  i

  i

  @C @x

  j

  @A @x

  i

  X

  i;j

  @C @@

  j

  @

  2 B

  @@

  @x

  @@

  j

  b

  @

  2 C

  @@

  i

  @@

  j

  @B @x

  j

  @A @x

  i

  j

  i

  j

  @x

  @x

  i

  @@

  j

  @B @x

  j

  @@

  j

  @

  2 B

  @x

  i

  j ac a(b+c 1)

  @@

  X

  i;j

  @B @@

  j

  @

  @@

  i

  @x

  j

  c

  @

  2 B

  @C @@

  X

  j bc

  i

  (a 1)(b+c 1)

  B @C

  @ (@

  i

  ) @A

  @x

  i

  = X @A

  @ (@

  i

  ) @B @x

  C ( 1)

  i

  (a 1)(b+c 1)+c+ac

  @B @ (@

  i

  ) @A @x

  i

  C

  (a 1)b

  B @A

  @ (@

  i

  ) @C

  @x

  ( 1)

  @C @x

  (a 1)(b+c 1)

  @ (B ^ C) @ (@

  Assim [A; B ^ C] =

  X

  i

  @A @ (@

  i

  ) @ (B ^ C)

  @x

  i

  ( 1)

  (a 1)(b+c 1)

  X

  i

  i

  ) B

  ) @A

  @x

  i

  = X @A

  @ (@ i ) @B @x i

  C ( 1)

  (a 1)(b+c 1)+c

  @B @ (@ i )

  C @A

  @x i

  @ (@

  i

  ( 1)

  i

  B @C

  i

  @ (@

  X

  i

  @A @@

  i

  @ [B; C] @x

  i

a(b+c 1)

  X

  i

  @ [B; C] @@

  i

  @A @x

  ! =

  ac

  ac

  X

  i

  @A @@

  i

  @ @x

  i

  X

  j

  @B @@

  j

  @C @x

  [A; [B; C]] =

  ac

  B ^ [A; C] : A fórmula (2.19) segue analogamente.

  @B @ (@

  i

  ) @A

  @x

  i

  = X @A

  @ (@

  i

  ) @B @x

  i

  (a 1)b

  (a 1)(b 1)

  ( 1)

  i

  ( 1)

  @x i = [A; B] ^ C + ( 1)

  @ (@ i ) @A

  ) @A

  (a 1)(c 1)

  B @C

  @ (@ i ) @C @x i

  B X @A

  (a 1)b

  C

  i

  @x

  • ac a(b+c 1) bc

2 B

  • @B

2 C

  • @C

2 C

  • ( 1)
  • ac a(b+c 1) bc
  • ( 1)
CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON

  2

  2

  X X @A @ B @C @A @B @ C @A @ C @B

  2 X

  ac ac bc ac

  = + @@ @x @@ @x @@ @@ @x @x @@ @x @@ @x

  i i j j i j i j i i j j i;j i;j i;j

  2

  X @A @C @ B @B @ C @A

  2 X

  bc ac ac a(b+c 1)

  @@ @@ @x @x @@ @@ @x @x

  

i j i j j i j i

i;j i;j

  2

  X @ B @C @A @C @ B @A

  c ac a(b+c 1) ac a(b+c 1) bc

  2 X

  ( 1) + @@ @@ @x @x @@ @@ @x @x

  i j j i j i j i i;j i;j

  Analogamente, encontramos

  ba

  [B; [C; A]]

  2

  2

  X X @A @ C @A @B @C @ A @B @ A @C

  2 X

  ba ba ca ba

  • = @@ @x @@ @x @@ @@ @x @x @@ @x @@ @x

  i i j j i j i j i i j j i;j i;j i;j

  2

  X @B @A @ C @C @ A @B

  2 X

  ca ba ba b(c+a 1)

  @@ @@ @x @x @@ @@ @x @x

  i j i j j i j i i;j i;j

  2

  X @ C @A @B @A @ C @B

  a ba b(c+a 1) ba b(c+a 1) ca

  2 X

  • ( 1) @@ @@ @x @x @@ @@ @x @x

  i j j i j i j i i;j i;j

  @ A @C @B

  c ba b(c+a 1) ca

2 X

  • ( 1)

  @@ @@ @x @x

  

i j j i

i;j

  e também

  cb

  [C; [A; B]]

  2

  2

  X X @C @ A @B @C @A @ B @C @ B @A

  2 X

  cb cb ab cb

  = + @@ @x @@ @x @@ @@ @x @x @@ @x @@ @x

  i i j j i j i j i i j j i;j i;j i;j

  2

  X @C @B @ A @A @ B @C

  2 X

  ab cb cb c(a+b 1)

  @@ @@ @x @x @@ @@ @x @x

  i j i j j i j i i;j i;j

  2

  X @ A @B @C @B @ A @C

  b cb c(a+b 1) cb c(a+b 1) ab

  2 X

  • ( 1) @@ @@ @x @x @@ @@ @x @x

  i j j i j i j i i;j i;j

  @ B @A @C

2 X

  cb c(a+b 1) ab a

  ( 1) : + @@ i @@ j @x j @x i

  i;j

  Cada termo da expressão (2.20) contém oito parcelas. Respectivamente à ordem encon- trada anteriormente, denominamos

  ac

  [A; [B; C]] = P + P ; +

  1

  8 ac 1 + S

  • [A; [B; C]] = S

  8 ; cb

  [C; [A; B]] = T + T +

  1 8:

  Neste caso, observe que P + T = 0, pois

  1

  5

  2

  X @A @ B @C @A @ B @C

  2 X

  ac cb c(a+b 1)

  P = ; T =

  1

  5

  @@ @x @@ @x @@ @@ @x @x

  i i j j j i j i

2.4. O COLCHETE DE SCHOUTEN

  (c 1)(b 1) (c 1)(a+b 2) (c 1)(b 1+a+b) (c 1)(a 1) cb c(a+b 1)

  = ( 1) ( 1) = ( 1) = ( 1) aonde .

  Com contas semelhantes e lembrando que

  2

  2

  @ A @ A = ;

  @@ i @@ j @@ j @@ i mostramos que P

  2 + S 4 = P 3 + S 7 = P 4 + T 2 = P 5 + S 1 = P 6 + T 8 = 0

  P + T = P + S = S + T = S + T = S + T = S + T = 0;

  7

  3

  8

  6

  2

  4

  

3

  7

  5

  1

  8

  6 de onde segue (2.20).

  P P

  i j

  a @ b @

d) Se A = i e B = j são dois campos vetoriais, então a fórmula (2.16)

  i j

  nos fornece ! !

  j j

  X X

  X X

  X X @A @B @B @A @b @a

  i i

  [A; B] = = a @ j b @ j @ (@ ) @x @ (@ ) @x @x @x

  i i i i i i

i i i j i j

  que coincide com a fórmula (1.5) da derivada de Lie em coordenadas locais. Se X = P

  

@f

i

  X @

2 X (M ) e f é uma função, então = 0 e então a fórmula (2.16) se reduz a

  i i

@(@ i )

  X @X @f @f

  i

  [X; f ] = = X = X(f ) = L f

  X

  @ (@ ) @x @x

  

i i i

i

  e isto encerra a demonstração.

  Note que, a princípio, o colchete dado pela fórmula (2.16) depende das coordenadas locais escolhidas, mas a Regra de Leibniz (item (b)) e o item (d) provados no Teorema anterior nos diz que o colchete pode ser todo expresso em termos da derivada de Lie de dois campos, que não depende da escolha de coordenadas. Assim, concluímos que o colchete de…nido em (2.16) não depende da escolha de coordenadas locais.

  a b

  De…nição 2.26 O colchete de dois campos vetoriais A 2 (T M ) e B 2 (T M ) de…nido em coordenadas locais como em (2.16) é um (a+b 1)-campo de vetores chamado o colchete de Schouten entre A e B. Observação 2.27 Outros autores podem apresentar de…nições diferentes para o colchete de Schouten. Estamos apresentando a versão abordada por [8].

  Como o colchete de Schouten é uma generalização natural do colchete de Lie, podemos também generalizar o conceito de derivada de Lie L A para um q-campo vetorial A através

  X do colchete de Schouten. q De…nição 2.28 Sejam X 2 X (M ) e A 2 (T M ) de…nidos sobre uma variedade M .

  Então a derivada de Lie do q-campo A pelo campo X é dada por L A = [X; A]

  X

  (2.22) onde [ ; ] é o colchete de Schouten. CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON A próxima proposição nos mostra que a De…nição 2.28 nos fornece uma fórmula similar à (1.6) da derivada de Lie para formas diferenciais.

  q Proposição 2.29 Sejam X 2 X (M ) e A 2 (T M ) de…nidos sobre uma variedade M .

  1

  ; ; f

2 C (M ), a seguinte expressão é verdadeira

  Então, dadas f

  1 q

  (L

  A) (f ; ; f ) = L (A (f ; ; f ))

  X 1 q

  X 1 q q

  X A (f ; ; f ; L f ; f ; ; f ) :

  1 k 1 X k k+1 q k=1

  Demonstração. A a…rmação é verdadeira para q = 1, já que neste caso (L

  A) (f ) = [X; A] (f ) = XA (f ) AX (f )

  X

  = L (A (f )) A (L f ) ;

  X X

  1

  para toda f 2 C (M ). Suponha a a…rmação verdadeira para q, vamos mostrar que ela

  q+1

  é também válida para q + 1. Então, seja A 2 (T M ). Sabemos que A é da forma P

  q

  B k ^ Y k , onde B k 2 (T M ) e Y k

2 X (M ) para todo k. Assim

  k

  X (L

  A) = [X; A] = [X; B ^ Y ]

  X k k k

  X = [X; B ] ^ Y + B ^ [X; Y ]

  k k k k k

  1 X

  X

  1 @ A

  = ( 1) ([X; B ] Y )

  k k

  q!

  k

  2S q+1

  1 X

  X

  1 @ A

  • ( 1) (B [X; Y ])

  k k

  q!

  k

  2S q+1

  2 C (M ) arbitrárias, encontramos

  1 Tomando f ; ; f

  1 q+1

  q! (L

  A) (f ; ; f )

  X 1 q+1

  X X = ( 1) ([X; B ] Y ) (f ; ; f )

  k k 1 q+1 k

  2S q+1

  X X ( 1) (B [X; Y ]) (f ; ; f ) +

  

k k

1 q+1 k

  2S q+1

2.4. O COLCHETE DE SCHOUTEN

  k

  ) ; ; (f

  1

  ( (f

  k

  ( 1) B

  ) ( (f

  X

  q+1

  ))

  q+1

  ( (f

  )) Y

  )) (L

  q

  ) ; ; (f

  1

  ) ( (f

  X B k

  ( 1) (L

  2S q+1

  X

  k

  X

  =

  )) =

  

q

  • X

  X Y k

  • X
  • X

  1

  ; f

  k

  ^ Y

  k

  ((f

  1

  ; ; f

  i 1

  ; L

  X

  f

  i

  i+1

  ) (f

  i=1

  ; ; f

  q+1

  )) = q!

  X

  k

  L

  X

  (B

  k

  ^ Y

  k

  B

  X

  q+1

  k

  ( (f

  1

  ) ; ; (f

  

q

  )) Y

  k

  (L

  X

  (f

  q+1

  )) = q!

  X

  ((L

  k q+1

  X B k

  ) ^ Y

  k

  k

  ^ (L

  

X

Y k

  )) (f

  1

  ; ; f

  q+1

  ) q!

  X

  ; ; f

  )

  ( 1) B

  ) ^ Y

  ; ; f

  k 1

  ; L

  X

  f

  k

  ; f

  k+1

  ; ; f

  q

  ) ! onde a igualdade (L

  X B k

  k

  A (f

  k

  ^ (L

  X Y

k

  ) = L

  X

  (B

  k

  ^ Y

  k

  ) é demonstrada de forma análoga ao item 2. da Proposição 1.38. Logo, o resultado segue pelo argumento de indução.

  O colchete de Schouten também nos fornece uma boa maneira de caracterizar um tensor de Poisson. Teorema 2.30 Um 2-campo vetorial

  é um tensor de Poisson se, e somente se, o colchete de Schouten de com ele mesmo se anula, isto é, [ ; ] = 0: (2.23)

  1

  k=1

  X

  

X

  k q+1

  X

  i=1

  B

  k

  ^ Y

  k

  ((f

  1

  ; ; f

  i 1

  ; L

  f

  X

  i

  ; f

  i+1

  ; ; f

  q+1

  )) = q! L

  X

  (A (f

  1

  ; ; f

  q

  ))

  q

  k

  2S q+1

  2S q+1

  ( 1) B

  (f

  

i

  ) ; ; ; (f

  q

  )) Y

  k

  ( (f

  q+1

  ))

  k

  X

  2S q+1

  k

  ) ; ; ; L

  ( (f

  1

  ) ; ; (f

  

q

  )) (L

  X

  (Y

  k

  ( (f

  q+1

  ))) Y

  k

  X

  1

  X

  q

  k

  X

  k

  X

  2S q+1

  ( 1) L

  X

  (B

  k

  ( (f

  1

  ) ; ; (f

  ))) Y

  ( (f

  k

  ( (f

  q+1

  ))

  X

  k

  X

  2S q+1 q

  X

  i=1

  B

  k

  (L

  X

  (f

  ( (f

  k

  ( (f

  q+1

  )))

  X

  k

  X

  2S q+1 q

  X

  i=1

  B

  k

  ) ; ; ; L

  q+1

  X

  (f

  

i

  ) ; ; ; (f

  q

  )) Y

  k

  ( (f

  q+1

  ))

  X

  k

  (Y

  X

  )) L

  

q

  ))) =

  X

  k

  X

  2S q+1

  ( 1) L

  X

  (B

  k

  ( (f

  1

  ) ; ; (f

  q

  ))) Y

  k

  ( (f

  q+1

  ))

  k

  X

  2S q+1

  ( 1) B

  k

  ( (f

  1

  ) ; ; (f

  1

  • B
  • B
  • X

  i

  ij

  s

  @x

  ij

  @

  s;k;i;j sk

  X

  @ k @ i @ j +

  s

  @x

  @

  =

  s;k;i;j sk

  X

  @ k @ i @ j +

  s

  @x

  ij

  @

  s;k;i;j sk

  2

  ! =

  @ k @ i @ j !

  2

  ij

  ij

  @

  i

  @

  k

  @

  j

  @

  @

  j

  @

  @

  @

  j

  @

  i

  @

  k

  @

  k

  ! =

  ij

  j

  @

  i

  j

  = 2

  @ @x s

  @ @ (@ s )

  s

  @ @x s

  @ @ (@ s )

  s

  X

  . A fómula (2.16) e a relação de derivada (2.14) nos fornece [ ; ] =

  @

  @

  i

  @

  i<j ij

  abitrário x 2 M, temos = P

  1 ; ; x m ) numa vizinhança de um ponto

  Demonstração. Dadas coordenadas locais (x

  = [ ; f ] : (2.24)

  f

  X

  CAPễTULO 2. INTRODUđấO ầ GEOMETRIA DE POISSON Neste caso, o campo de vetores hamiltoniano de uma função f suave é dado por

  X

  s

  2 X

  @

  k

  @

  s

  @x

  ij

  @

  s;k;i;j sk

  3

  2

  ! =

  j

  i

  k sk

  @x s @

  ij

  @

  i;j

  2 X

  1

  !

  k

  @

3 X

3 X

  @

  • X
  • X

  @x

  • si
  • sj
  • si
  • sj

  s

  s

  @x

  ) @

  s

  @f @ (@

  s

  X

  s

  @x

  ) @f

  s

  @ @ (@

  X

  X

  [ ; f ] =

  @x s = 0; para cada i; j; k = 1; : : : ; m. Então o resultado segue da Proposição 2.16. Observe também que

  ki

  @

  @x s

  jk

  @

  @x s

  

ij

  =

  s

  s sk

  s;k sk

  3 X

  s;k;i;j sk

  :

  f

  X

  =

  k

  @

  s

  @f @x

  @x s =

  @ @ (@

  ! @f

  k

  @

  

k

sk

  s

  X

  =

  s

  @x

  ) @f

  s

  @

  X

  s

  s

  s;k;i;j sj

  X

  @ k @ i @ j +

  s

  @x

  jk

  @

  s;k;i;j

si

  X

  @ k @ i @ j +

  @x

  [ ; ] = 0 ()

  ij

  @

  s;k;i;j sk

  3 X

  2

  @x

  s

  s;k;i;j

sk

  @x

  s

  s;k;i;j sk

  @

  ki

  @x

  @x s

  : Portanto concluímos que

  j

  @

  i

  @

  k

  @

  @x s !

  ki

  @

  jk

  s

  @

  @x s

  ij

  @

  s sk

  X

  k;i;j

  3 X

  2

  =

  @ k @ i @ j !

2 X

2 X

  Capítulo 3 Folheações Singulares e Estruturas de Nambu

  Neste capítulo, introduziremos os conceitos de distribuição e folheações e faremos um estudo sobre a geometria de Nambu, com o objetivo de estudarmos as folheações que surgem de estruturas de Nambu. Para a teoria clássica sobre folheações e distribuições, utilizamos como referência principal [10] e para o estudo de folheações singulares, nos focamos nas ideias de P. Stefan e de Hector J. Sussman, apresentadas em [8]. Também consultamos [8] na nossa apresentação sobre estruturas de Nambu e sobre as folheações que surgem delas. Ainda fazemos um estudo sobre formas diferenciais, baseando-nos em [13], e mostramos como elas se relacionam com tensores de Nambu.

3.1 Distribuição e Folheações

  O objetivo desta seção é apresentar da forma mais sucinta possível os conceitos e resul- tados que serão utilizados mais adiante no texto. Por isso, a maioria dos resultados aqui apresentados são amplamente conhecidos e divulgados, considerados clássicos. De…nição 3.1 Seja X 2 X (M ) um campo de vetores sobre uma variedade M de dimen-

  R são m. Uma curva integral de X é uma curva diferenciável ' : I ! M , I um intervalo, tal que para todo t 2 I temos ' (t) = X (' (t)).

  Em outras palavras, uma curva integral de um campo de vetores X sobre M é aquela que seu campo de vetores tangente coincide com o campo X. Recordemos do Teorema de Existência e Unicidade da Solução de uma Equações Diferenciais Ordinárias que garante a existência local de curvas integrais de um dado campo de vetores tangentes. Para uma demonstração, indicamos [7]. CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU Teorema 3.2 (Existência e Unicidade da Solução de uma EDO) Seja X 2 X (M ) um campo de vetores sobre uma variedade M. Para todo ponto x 2 M e todo t 2 R existem uma vizinhança aberta U de x, " > 0 número real e uma aplicação diferenciável

  : ]t "; t + "[ U ! M (3.1)

  (t; y) 7 ! (t; y) = ' (y)

  t

  para todo y 2 U, tais que: i) c(t) : t 7 ! ' t (x) é uma curva integral de X; ii) c(0) = ' (x) = x e iii) Quaisquer duas curvas como acima coincidem na interseção de seus domínios. Isto

  é, se U j ; " j ; j satisfazem (i) e (ii) para j = 1; 2, então e coincidem sobre

  1

  2

  ]t "; t + "[ (U \ U ) , onde " = min(" ; " ):

  1

  2

  1

  2 A aplicação como descrita acima em (3.1) é chamada de ‡uxo local do campo X.

  Mais precisamente temos a seguinte de…nição. De…nição 3.3 Um par (U; ) é dito um ‡uxo local gerado por um campo de vetores

  R M X 2 X (M ) com U sendo uma vizinhança de f0g M e : (t; x) 7 ! ' (x) tal

  t

  que i) para todo x 2 M o conjunto (R fxg) \ U é conexo; ii) a aplicação x 7 ! ' (x) é a identidade de M ;

  (y) é uma curva integral de X que passa pelo ponto y e iii) c(t) : t 7 ! ' t ; x) ; (t ; x) ; (t + t ; x) 2 (R fxg) \ U então ' (x) = ' ' (x). iv) se (t

  1

  2

  1

2 t

1 +t 2 t 1 t

  2 Podemos agora pensar numa abordagem dinâmica da derivada de Lie. r

  Teorema 3.4 Considere um campo vetorial X 2 X (M ) e um tensor T 2 T (M ) (ou

  1 T 2 T (M )) sobre uma variedade M , ambos de classe C . Seja ' o ‡uxo do campo X. t s

  Então, no domínio do ‡uxo, temos d ' T = ' L T;

  X t t

  dt sendo L a derivada de Lie usual.

  X Demonstração. Ver Teorema 6:4:1 de [2].

  Como consequência do teorema anterior, temos que um tensor T do tipo (r; 0) (ou do T = 0. Em tipo (0; s)) é invariante pelo ‡uxo de um campo vetorial X se e somente se L

  X

  outras palavras:

3.1. DISTRIBUIđấO E FOLHEAđỏES

  r

  Corolário 3.5 Dado um tensor T 2 T (M ) (ou T 2 T (M )), temos que T é invariante

  s

  pelo ‡uxo de um campo X, ou seja T = ' T , se, e somente se, L X T = 0.

  t

  Proposição 3.6 Seja X um campo de vetores tangentes sobre uma variedade M e seja x

2 M tal que X(x) 6= 0. Então existe um sistema de coordendas locais (x ; ; x ) sobre

  1 m @

  uma vizinhança aberta U de x em M tal que X = .

  @x

  1 Demonstração. Primeiramente observe que existe um sistema de coordenadas locais @

  (y ; ; y ) numa vizinhança U do ponto x tal que X (0) = . Suponha

  1 m @y

  1

  (t; y ; ; y ) = (h (t; y ; ; y ); ; h (t; y ; ; y ))

  1 m

  1 1 m m 1 m

  o ‡uxo local do campo X. Tome a aplicação diferenciável : U ! (U) tal que = (k (y ; ; y ) ; ; k (y ; ; y )), onde k (y ; ; y ) = h (0; y ; ; y ) ; 8i.

  1 1 m m 1 m i 1 m i 1 m

  Assim, (x) = (k (0; ; 0) ; ; k (0; ; 0))

  1 m

  = (h (0; 0; ; 0); ; h (0; 0; ; 0))

  1 m

  = (0; x) = x:

  Logo, temos que a aplicação jacobiana d no ponto x é a identidade, isto é, d (x) = Id: Então, diminuindo a vizinhança se necessário, a aplicação possui uma aplicação

  1

  1

  inversa = (x (y ; ; y ) ; ; x (y ; ; y )). Portanto d ( ) tem determinante

  1 1 m m 1 m

  1

  não nulo e então é uma mudança linear de coordenadas e, nas novas coordenadas

  @ (x ; ; x ), obtemos X = . 1 m @x

1 De…nição 3.7 Uma folheação singular F sobre uma variedade M é uma partição F =

  fF g de M em uma união disjunta de subvariedades conexas F imersas em M , chamadas folhas, tais que [

a) M = F , i.e., a união das folhas cobre toda a variedade;

  2M

  b) existe um sistema de coordenadas (y ; ; y ) numa vizinhança U de um ponto

  1 m

  = = y = 0g coincide arbitrário x de M tal que o disco d dimensional fy d+1 m com a componente conexa da interseção de U com F x , a folha que contém x, onde d é a dimensão da folha; c) cada disco d dimensional fy = c ; ; y = c g contido em U , onde c são

  d+1 d+1 m m i constantes, está completamente contido em alguma folha F .

  Se todas as folhas de uma folheação singular têm a mesma dimensão, então a folheação é dita regular. CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU

3 Exemplo 3.8 Considere a partição de R

  dada como na Figura 1 Figura 1.

  Folheação segundo Stefan-Sussman. isto é, em cilindros concêntricos fF g, um ponto isolado F no eixo dos cilindros e dois

  • 3

  3 segmentos de retas, F e F , completando o eixo. Temos que esta é uma folheação de R .

  De fato, R é uma união disjunta desses conjuntos. Para mostrar que cada folha obedece às propriedades b) e c) da de…nição acima, vamos analisar cada tipo separadamente. A folha F satisfaz imediatamente às propriedades. Para as folhas F e F , o sistema de

  • coordenadas cartesianas (x; y; z) centradas no ponto F e o eixo do cilindro com sendo o eixo x é tal que numa vizinhança su…cientemente pequena de U de um ponto arbitrário x de M \ F (ou M \ F ) o disco unidimensional fy = z = 0g coincide com a componente
  • ; z = c g contido conexa da interseção de U com F x e cada disco unidimensional fy = c

  1

  2

  p

  2

  2 em U, onde c i são constantes, está completamente contido no cilindro de raio c + c .

  1

  2 Já para as folhas F devemos considerar as coordenadas cilindricas (r; ; z) com o eixo

  do cilindro sendo o eixo z e a origem como sendo o ponto F . Desta forma, o disco bidimensional fr = const: 6= 0g satisfaz às propriedades, a menos de uma translação, para uma vizinhança su…cientemente pequena do ponto considerado.

1 De…nição 3.9 Uma distribuição singular sobre uma variedade M é um sub…brado D

  T M tal que para cada x 2 M , D é um subespaço de T M . A dimensão de D depende

  x x

  do ponto x. A distribuição é dita suave se para cada x 2 M e X

  2 D existir um

  x

  campo vetorial suave X de…nido numa vizinhança U x de x tal que X(y) 2 D y ; 8y 2 U x e X(x) = X . Se a dimensão de D não depender do ponto x, dizemos que a distribuição

  x é regular.

2 Exemplo 3.10 Considerando R como sendo o …brado tangente que descreve o movi-

  mento do pêndulo simples de raio l, massa m sem atrito (ver [7] para mais detalhes), parametrizado por ( ; !), onde é o ângulo de inclinação do pêndulo em relação à verti- cal e ! = , o campo

  @ g @ X = ! sen ;

  @ l @! onde g é o módulo da força da gravidade, é uma distribuição singular.

1 Segundo Stefan-Sussman.

3.1. DISTRIBUIđấO E FOLHEAđỏES De…nição 3.11 Seja D uma distribuição regular de dimensão p sobre uma variedade M .

  Uma variedade integral de D é um par (F; h) onde F é uma variedade de dimensão p e h uma imersão injetiva de F sobre M tal que, para todo ponto x 2 F , h(T (F )) = D .

  x h(x)

  Uma distribuição D sobre uma variedade M é integrável se para todo ponto x de M existe uma variedade integral de D de dimensão máxima cuja imagem contém x.

  @

  2 Exemplo 3.12 A distribuição gerada pelo campo X = em R n f0g com coordenadas @

  polares (r; ) é integrável. De fato, para qualquer ponto x, o círculo de raio jxj e centro na origem é uma variedade integral de D.

  Mais adiante veremos que toda distribuição regular é gerado por campos da forma

  @ @

  ; ; . Naturalmente, uma folheação singular F possui uma distribuição tangente

  @x 1 @x q

  (F) é o espaço associada D(F) de tal forma que para cada ponto x 2 M a distribuição D x tangente à folha F x que contém x.

  Exemplo 3.13 A folheação gerada pela pelo campo X do Exemplo 3.10 é singular. De fato, o retrato de fase do pêndulo simples Figura 2. Retrato de fase do pêndulo simples sem atrito. é uma folheação singular.

  Uma distribuição é dita invariante pelo ‡uxo dos campos de uma família de campos

  X X

  X

  t ' (x) t t

  (x) D = D vetoriais suaves C se para cada X 2 C temos ' x sempre que '

  X

  estiver bem de…nido, onde ' é o ‡uxo local gerado pelo campo X. As condições para

  t

  uma distribuição singular ser a distribuição tangente de uma folheação singular são mais delicadas e nos remetem ao estudo das distribuições integráveis.

  Teorema 3.14 (Stefan-Sussmann) Seja D uma distribuição singular sobre uma var- iedade M. Então as três a…rmações seguintes são equivalentes:

  1. D é integrável;

  2. D é gerado por uma família C de campos vetoriais suaves e é invariante por seus ‡uxos; 3. D é a distribuição tangente de D(F) de uma folheação singular F. CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU Demonstração. (1: ) 2:) Seja C a família de todos os campos suaves tangentes à distribuição D. Como D é também suave, temos que D é gerado por C. Para mostrar que D é invariante pelo ‡uxo de seus campos, considere um ponto arbitrário x de M. Seja F(x) a subvariedade maximal (de máxima dimensão) que contém x. Então, por de…nição, para todo ponto y 2 F(x) temos T y F(x) = D y . Portanto um campo vetorial X 2 D quando restrito a F(x) é tangente a este. Considere agora um tempo no qual

  X X

  (x) esteja de…nido. Como está obrigatoriamente con…nado em F(x), ' (x) o ‡uxo '

  X X de…ne um difeomor…smo entre abertos de F(x). Logo ' (x) (T x F(x)) = T F(x).

  ' (x) t t

  X X Segue que ' (x) D = D . x t ' (x) t

  (2: ) 3:) Suponha que D seja gerado por uma família C de campos vetoriais suaves e seja invariante com respeito a C. Tome um ponto arbitrário x 2 M e denote por d a dimensão de D . Escolhendo X ; ; X

2 C tais que os vetores X (x) ; ; X (x)

  x 1 d 1 d

  1 d 1 d

  = hX (x) ; ; X (x)i, a aplicação sejam linearmente independetes, ou seja, D x

  (t

  

1 ; ; t d ) 7 ! ;

t t 1 d i

  onde é o ‡uxo local do campo X , é um difeomor…smo entre o disco d-dimensional de

  i t d

  R com uma subvariedade de dimensão d que contém x. Como D é invariante por C então

  X X

  X X

  ' (x) D = D = X ' (x) ; ; X ' (x) ;

  x 1 d t ' (x) t t t

  X

  sendo ' o ‡uxo local de um campo X 2 C qualquer. Isto nos diz que esta subvariedade

  t

  é de dimensão máxima. Fazendo a união de todas as subvariedades que se intersectam, obtemos uma partição de M em numa união disjunta de subvaridades integrais de dimen- são máxima, chamadas folhas. Naturalmente das propriedades da subvariedade, para uma vizinhança U su…cientemente pequena de um ponto x em M, existe um sistema de coorde-

  1 m x que contém x

  ; ; x ) de origem em x tais que a folha d-dimensional F nadas locais (x

  é parametrizada pelas coordenadas (x

  1 ; ; x d ), ou seja, (podemos obter coordenadas nas

  quais) o disco (x = = x = 0) está inteiramente contido na folha F . Neste caso,

  d+1 m x @ @

  ; ; nos pontos da interseção entre U e F x a distribuição D é gerada pelos campos .

  @x 1 @x d

  @ @

  Por continuidade, existe uma vizinhança V U tal que os campos ; ; continuam

  @x 1 @x d

  sendo linearmente independentes, ou seja, estes campo ainda são alguns dos geradores da distribuição nesta vizinhança. Em outras palavras, o posto do conjunto gerador de Dj

  V é

  maior ou igual a d. Isto nos diz que as folhas su…cientemente próximas da folha F x têm dimensão mínima d e que os discos d-dimensionais (x = c ; ; x = c ), onde c

  d+1 d+1 m m i

  são constantes 8i, estão inteiramente contidos em alguma subvariedade integral. Portanto a distribuição D é a distribuição tangente de uma folheação singular F.

  (3: ) 1:) Agora, se D é a distribuição tangente de D(F) de uma folheação singular

  F, então as folhas F (x) são subvariedades integrais invariantes de dimensão máxima de D, logo D é integrável.

3.1. DISTRIBUIđấO E FOLHEAđỏES

  De…nição 3.15 Uma distribuição D é dita involutiva se, dados X; Y 2 D, o colchete de Lie [X; Y ] também pertence à D, isto é,

  X(x); Y (x) 2 D =) [X; Y ] (x) 2 D :

  x x Teorema 3.16 Seja D uma distribuição regular de dimensão p sobre uma variedade M .

  Se D é involutiva, então para todo ponto x 2 M existe um sistema de coordenadas locais

  @ @

  (x ; ; x ) sobre uma vizinhança aberta U de x tal que D ; ;

  1 m U é gerado por . p

  @x 1 @x

  Demonstração. Se p = 1, então o resultado segue da Proposição 3.6. Suponha p > 1 e ; ; X que a distribuição D seja gerada pelos campos X

  1 p . Novamente pela Proposição @

  3.6, existe um sistema local de coordenadas (y

  1 ; ; y m ) tal que X 1 = . De…na os @y 1 campos Y ; ; Y da seguinte forma, Y = X e Y = X (X (y )) X , para i = 2; ; m.

  1 m

  1 1 i i i

  1

  1 Assim, esses novos campos possuem as seguintes propriedades:

i. Y ; ; Y geram a distribuição D;

  1 m

  ii. [Y ; Y ] 2 D, para todos i; j e

  i j

iii. Y (y ) = 0; 8i 2.

  j

  1 Considere N = f(y 1 ; ; y m ) 2 M : y 1 = const:g subvariedade de M de dimensão

  m 1 que contém o ponto x. Pelas propriedades i:; ii: e iii:, os campos Y ; ; Y

  2 m N

  são tangentes à N e a distribuição regular D gerada por estes campos é involutiva de dimensão p

1. Segue da Proposição 3.6 que existe um sistema de coordenadas locais

  @

  ( ; ; ) de N numa vizinhança da inclusão do ponto x, tal que Y = . Tome

  2 m 2 @

  2

  z = y = (y ; ; y ) ; i = 2; : : : ; m. Então (z ; ; z ) é um novo sistema de

  1 1 e z i i 2 m 1 m

  coordenadas locais de M tal que @ @

  Y

  1 = ; Y 2 = :

  @z @z

  1

  2 Como p < 1, seguimos indutivamente o mesmo processo e encontramos ao …nal um sis-

  tema de coordenadas locais (x

  1 ; ; x m ) sobre uma vizinhança de x tal que D é localmente @ @

  gerado por ; ; , como queríamos.

  @x 1 @x p Teorema 3.17 (Frobenius) Seja D uma distribuição regular sobre uma variedade M .

  Para que D seja integrável é necessário e su…ciente que seja involutiva. Demonstração. Suponha D uma distribuição regular integrável de dimensão p. Então, pelo Teorema 3.14, D é invariante pelo ‡uxo de seus campos e pelo Corolário 3.5 L

  X Y =

  [X; Y ] = 0, para quaisquer X; Y 2 D. Como D é um sub…brado do …brado tangente, temos que 0 2 D e assim [X; Y ] 2 D, para quaisquer X; Y 2 D. Logo a distribuição D é involutiva. Reciprocamente, basta mostrarmos que [X; Y ] = 0, para quaisquer X; Y 2 D

  CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU e o resultado segue pelo Corolário 3.5 e pelo Teorema 3.14. De fato, o Teorema 3.16 nos diz que existe um sistema de coordenadas locais (x

  1 ; ; x m ) tal que D é gerado

  D E

  @ @ @ @ pelos campos ; ; . Então, para cada y 2 M, temos D = (y) ; ; (y) . y @x

  1 @x p @x 1 @x p

  Dados X; Y 2 D, temos que para cada z 2 M, [X; Y ] (z) = [X (z) ; Y (z)] :

  @

  Pela linearidade do colchete de Lie, basta calcularmos para os vetores X = (z) e

  @x i @

  Y = (z), i; j = 1; : : : ; p. Então, segue de (1.5) que [X; Y ] (z) = 0; 8z 2 M .

  @x j

3.2 Mor…smos de Poisson e Folheações Simpléticas

  Existem ainda alguns conceitos muito importantes para as geometrias de Poisson e sim- plética que são fundamentais neste trabalho e que poderiam muito bem ser expostos no capítulo anterior. No entanto, em nossa visão, o capítulo anterior não oferecia uma mo- tivação adequada à sua introdução. Escolhemos abordar os conceitos de mor…smo de Poisson e simplectomor…smo nesta seção, onde sua importância é mais evidenciada. De…nição 3.18 Sejam (M ; f; g ) e (M ; f; g ) duas variedades de Poisson. Uma apli-

  1

  2

  1

  2

  cação suave de M

  1 em M 2 é chamada de mor…smo de Poisson ou aplicação de Poisson

  se

  1

  f f; gg = ff; gg ; 8f; g 2 C (M ) : (3.2)

  2

  1

2 Analogamente, dadas (N ; ! ) e (N ; ! ) duas variedades simpléticas, então a aplicação

  1

  1

  2

  2

  ' : (N ; ! ) ! (N ; ! ) tal que

  1

  1

  2

  2

  ' ! = ! (3.3)

  

2

  1 é chamada simplectomor…smo.

  Em geral, simplectomor…smos não são mor…smos de Poisson. Por exemplo, tomando-

  2n 2n

  se M = fx

  g, x

2 R e M = R , ambas munidas da forma canônica em um dado

  1

  2 P n

  1 2 i i i=1

  = ! = dx ^ dy : Então a aplicação de inclusão sistema de coordenadas !

  { : (M ; ! ) ! (M ; ! )

  1

  1

  2

  2

  x ,! x é claramente um simplectomor…smo, mas se considerarmos os tensores de Poisson corre- spondentes (ver Exemplo 2.14)

  

n

  X @ @

  1 = 2 = ^ ;

  @x @y

  i i

3.2. MORFISMOS DE POISSON E FOLHEAđỏES SIMPLÉTICAS

  1 2n

  (R ), temos f{ f; { gg = ff (x ); g(x )g = 0 (Exemplo 2.3) enquanto dadas f; g 2 C que

  !

  n n

  X X @f @g @f @g

  { ff; gg = { ^ = ^ (x ) : @x @y @x @y

  i i i i i=1 i=1

  Assim, f{ f; { gg 6= { ff; gg em geral. Em outras palavras, a inclusão { : (M

  1 ; 1 ) ! (M 2 ; 2 )

  x ,! x não é um mor…smo de Poisson. Dada uma variedade de Poisson (M; ), recordemos da De…nição 2.20 e do Exemplo

  2.18 que o espaço característico de forma uma distribuição C , chamada distribuição característica. Mais ainda, recorde da Proposição 2.22 que, dado x 2 M

  1 C = Im # = fX (x) : f 2 C (M )g ; 8x 2 M: (3.4) x (x) f

  De acordo com o Corolário 3.5, o próximo lema nos mostra que esta é uma distribuição invariante pelo ‡uxo dos seus campos. Neste caso, esta distribuição gera uma folheação singular F , pelo Teorema 3.14. Lema 3.19 Seja (M; ) uma variedade de Poisson. Um campo hamiltoniano X preserva

  f

  a estrutura de Poisson , isto é L = 0:

  X f

  1 Demonstração. Pela Proposição 2.29, dadas g; h 2 C (M ) obtemos

  L

  X f (g; h) = L X f ( (g; h)) L X f g; h g; L X f h

  = X ( (g; h)) (X (g) ; h) (g; X (h))

  f f f

  = (f; (g; h)) ( (f; g) ; h) (g; (f; h)) = (f; (g; h)) + (h; (f; g)) + (g; (h; f )) = 0 pois é um tensor de Poisson e satisfaz a identidade de Jacobi. Como g e h são arbitrárias, concluímos que L = 0.

  X f

  Teorema 3.20 Com a mesma notação da seção anterior, cada folha F(x) de uma fol- heação F de uma variedade de Poisson (M; ) é uma subvariedade simplética imersa. A imersão é um mor…smo de Poisson e o tensor de Poisson …ca completamente deter- minado pelas estruturas simpléticas das folhas de F .

  Demonstração. Considere F(x) a folha que contém x e as coordenadas locais canônicas (p

  1 ; ; p s ; q

1 ; ; q s ; z 1 ; ; z m 2s ) CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU dadas conforme o Teorema 2.23 num dado ponto arbitrário x de M. Então a subvariedade fz

  1 = = z m 2s = 0g é um subconjunto aberto de F(x) e tem uma estrutura simplética

  canônica associada, segundo o Teorema 2.23. Observe que tal estrutura não depende = = z = 0g, ela coincide da escolha das coordenadas, isto é, para cada ponto fz

  1 m 2s

  com a forma simplética no espaço característico, pois estas coordenadas correspondem à parte degenerada do tensor de Poisson. Portanto, cada folha F(x) possui uma estrutra simplética associada, logo é uma subvariedade simplética imersa na variedade de Poisson. As condições b., d. e e. do Teorema 2.23, que são fq i ; q j g = fp i ; p j g = 0; 8i; j e fz i ; p j g = fz ; q g = 0 e fz ; z g (x) = 0; 8i; j, respectivamente, nos dizem que, sendo { : F(x) ,! M

  i j i j

  a aplicação de inclusão de F(x) em M, temos { ff; gg = { (f; g) = !(f; g) = ff; gg j F (x) : Logo a imersão é um mor…smo de Poisson.

  Motivados por este teorema, chamaremos a folheação F gerada pela distribuição característica C de folheação simplética.

3.3 O Colchete de Nambu e o Tensor de Nambu

  Veremos agora uma generalização de uma estrutura de Poisson introduzida por Nambu ([14]) e formalizada e generalizada por Takhtajan ([15]).

  De…nição 3.21 Sendo M uma variedade e q um número natural qualquer, então uma g : estrutura de Nambu de ordem q sobre M é um operador linear antissimétrico f

  1

  1

  1 C (M ) C (M ) ! C (M ), chamado colchete de Nambu, satisfazendo: q vezes

  i. (Regra de Leibniz) ff

  1 ; ; f q 1 ; g 1 g

2 g = ff

1 ; ; f q 1 ; g 1 g g 2 +g 1 ff 1 ; ; f q 1 ; g 2 g;

  ii. (Identidade fundamental)

  q

  X ff ; ; f ; fg ; ; g gg = fg ; ; g ; ff ; ; f ; g g ; g ; ; g g ;

  1 q 1 1 q 1 i 1 1 q 1 i i+1 q i=1

  1

  para quaisquer f ; g 2 C (M ).

  i i

  No caso q = 2 a identidade fundamental coincide com a identidade de Jacobi. De fato, ff; fg; hgg = fg; ff; hgg + fff; gg ; hg () ff; fg; hgg + fg; ff; hgg + fff; gg ; hg = 0 () fff; gg ; hg + ffg; hg ; f g + ffh; f g ; gg = 0:

3.3. O COLCHETE DE NAMBU E O TENSOR DE NAMBU

  Dessa forma, uma estrutura de Nambu de ordem 2 é na verdade uma estrutura de Pois- son. De maneira análoga ao caso da geometria de Poisson, podemos de…nir um campo hamiltoniano de uma (q 1)-upla de funções (f ; ; f ), observando que o operador

  1 q 1

  ff ; ; f ; g é uma derivação. De fato, o Lema 1.34 assegura que existe um único

  1 q 1

  campo X f

  1 ; ;f q

  1

2 X (M ) tal que X f

  1 ; ;f q 1 (g) = ff 1 ; ; f q 1 ; gg. Segue da antissime-

  tria de f g que ff ; ; f ; f g = 0 para i = 1; : : : ; q

  1. Portanto as funções f são

  1 q 1 i i

  integrais primeiras de X f

  1 ; ;f q 1 .

  Exemplo 3.22 Dado um colchete de Nambu de ordem q > 1 sobre uma variedade M

  1

  e uma função g 2 C (M ) podemos de…nir um colchete de Nambu de ordem q 1 da seguinte forma ff

  1 ; ; f q 1 g := ff 1 ; ; f q 1 ; gg ; g

  1

  para quaisquer f i

2 C (M ), i = 1; : : : ; q

  1. De fato, a regra de Leibniz é imediata da de…nição. Quanto à identidade fundamental temos n o f ; ; f ; fh ; ; h g = ff ; ; f ; fh ; ; h ; gg ; gg

  1 q 2 1 q 1 1 q 2 1 q 1 g g

  = ff ; ; f ; g; fh ; ; h ; ggg

  1 q 2 1 q 1 q 1

  X = fh ; ; ff ; ; f ; g; h g ; ; h ; gg

  1 1 q 2 i q 1 i=1

  ff ; ; f ; g; gg

  1 q 2 q 1

  X = fh ; ; ff ; ; f ; h ; gg ; ; h ; gg

  

1

1 q 2 i q 1 i=1 q 1

  n o

  X = h ; ; ff ; ; f ; h g ; ; h :

  

1

1 q 2 i q 1 g g i=1

  g 1 é de Nambu. Logo o colchete f de ordem q

  g

  A linearidade e a regra de Leibniz nos dizem que um colchete de Nambu é uma multiderivação. Assim, de acordo com o Lema 2.12, cada colchete de Nambu de ordem q pode ser caracterizado por um único q-campo vetorial , chamado tensor de Nambu, da seguinte forma: ff ; ; f g = (f ; ; f ) := hdf ^ ^ df ; i : (3.5)

  1 q 1 q 1 q

  Por analogia, diremos que um q-campo vetorial satisfaz a propriedade da identidade fundamental se, e somente se, o colchete induzido por (3.5) satis…zer tal propriedade. Neste caso, a identidade fundamental pode ser reinterpretada por meio da derivada de Lie como

  q

  X L (g ; ; g ) = (g ; ; g ; L (g ) ; g ; ; g ) ; (3.6)

  X 1 q 1 k 1 X k k+1 q k=1

  1

  onde X = X f

  1 f q 1 e g 1 ; ; g q 2 C (M ). CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU Lema 3.23 Seja um q-campo vetorial sobre uma variedade M. Então satisfaz a propriedade da identidade fundamental se, e somente se,

  L = 0;

  X

  (3.7)

  f1 fq 1

  onde X f

  1 f q 1 é um campo hamiltoniano de .

  Demonstração. Pela Proposição 2.29, temos que L (g ; ; g ) = 0, para

  X 1 q f1 fq 1

  1

  quaisquer g ; ; g

2 C (M ), se, e somente se,

  1 q q

  X L

  X (g 1 ; ; g q ) (g

1 ; ; g k 1 ; L

X (g k ) ; g k+1 ; ; g q ) = 0; k=1

  ou seja, se e somente se, (3.6) é válida, como queríamos.

  Um colchete de Nambu de ordem q = 1 é uma derivação, portanto, todo campo hamiltoniano é um 1-tensor de Nambu. Vimos que um 2-tensor Nambu coincide com um tensor de Poisson. Para q 3 o tensor é caracterizado como segue. Teorema 3.24 (Decomposição de Nambu) Um q-campo vetorial sobre uma var- iedade m-dimensional M, q 3, é um tensor de Nambu se, e somente se, para todo ponto x 2 M em que (x) 6= 0, existe um sistema de coordenadas locais (x ; ; x ) numa

  1 m

  vizinhança de x, tal que se escreve como @ @

  = ^ ^ : (3.8) @x @x

  1 q

  Neste sistema de coordenadas, o colchete de Nambu tem a seguinte forma

  q

  @f

  i

  ff ; ; f g = det :

  1 q

  (3.9) @x j

  i;j=1

  Demonstração. Suponha um tensor de Nambu de ordem q 3 e seja y 2 M tal que (y) 6= 0. Então existe um campo hamiltoniano X = X tal que X(y) 6= 0. Tome

  f 1 ;:::;f q

  1

  1

  f

2 C (M ) tal que X(f ) = 1. Sabemos que f

  

q q q existe, pois a equação é uma EDP linear

  de primeira ordem e sempre tem solução local. Para i = 1; : : : ; q, vamos chamar de X i o campo hamiltoniano da (q 1)-upla f ; ; b f ; : : : ; f , onde b f representa a ausência

  1 i q i

  deste termo. Neste caso, temos que os campos X i são linearmente independentes, pois X i (f i ) = 1 e X i (f j ) = 0 para i 6= j. Temos também que os campos hamiltonianos X i preservam df , para todos i; j = 1; : : : ; q e também preservam o tensor de Nambu . De

  j

  fato, temos que L df = dL f = d (X (f )) = 0;

  X i j X i j i j

  L = 0

  X i

  3.3. O COLCHETE DE NAMBU E O TENSOR DE NAMBU sendo a última igualdade devida ao Lema 3.23. Então cada X i também preserva qualquer

  1

  elemento criado a partir destes. Assim, para qualquer h 2 C (M ) [X i ; X j ] (h) = X i (X j (h)) X j (X i (h))

  1

  

q

  X B C = X (X (h)) X (X (f )) + X (X (h))

  i j i j k i j

  @ A

  k=1

k6=i

  = X (X (h)) X (X (h))

  i j i j

  = 0 onde a segunda igualdade segue da identidade fundamental. Como a igualdade é válida para qualquer h, encontramos [X i ; X j ] = 0, para todos i; j = 1; : : : ; q. Logo, pelo Teorema de Frobenius 3.17, obtemos uma folheação regular q-dimensional gerada por X ; ; X

  1 q

  e um sistema de coordenadas locais (x ; ; x ) := (f ; ; f ; y ; ; y )

  1 m 1 q q+1 m

  tal que as funções y ; ; y são integrais primeiras da folheação, isto é, X (y ) = 0,

  q+1 m i j

  i = 1; : : : ; q e j = q + 1; : : : ; m. Neste caso, temos X (x ) = 1; i = 1; : : : ; q, e concluímos

  i i

  fx ; ; x g = 1:

  1 q (3.10)

  (y ) = 0, obtemos Por outro lado, de X i j fx ; ; x ; x ; ; x ; y g = 0 (3.11)

  1 i 1 i+1 q j

  para todos i; j. Agora nos resta mostrar que para qualquer s > 0 temos x ; ; x ; y ; ; y = 0; (3.12)

  i 1 i q s j 1 j s

  pois neste caso teremos (3.8). Para demonstrar (3.12), a ideia é manipular esta equação utilizando as equações (3.10) e (3.11) em conjunto com a identidade fundamental e a Regra de Leibniz. No entanto, a longa manipulação pode tornar difícil o entendimento. Então, para facilitar as contas, vamos fazê-las no caso em que q = 3, tendo em vista que

  1

  2

  3

  ; x ; x g = 1, a manipulação nos outros casos é análoga. Neste caso, lembremos que fx

  fx i ; x j ; y k g = 0, para todos i; j = 1; 2; 3 e k = 4; : : : ; m. Assim, vamos nos ater ao caso

  • x
  • x
  • x
  • x
  • x
  • x
  • x
  • x
  • 2 fx
  • 2 fx
  • 2 fx

  g ; y

  k

  ; y

  j

  ; y

  i

  y

  1

  g = ffx

  k

  3

  2

  ; x

  2

  ; x

  j

  ; fy

  i

  y

  1

  = fx

  1 y i ; 0; y k g

  g ; x

  ; x

  k

  3

  ; x

  i

  y

  1

  ; fx

  2

  ; x

  j

  g + fy

  g ; x

  3

  k

  ; y

  2

  ; x

  

i

  y

  1

  ; fx

  j

  g + fy

  g = 0 para quaisquer i; j e k, observe que 0 = fx

  ; y

  ; y

  i

  g = 3 fx

  j

  ; y

  i

  ; y

  1

  g Encontramos que fx

  j

  ; y

  g ; y

  ; y

  3

  ; x

  2

  ; x

  1

  fx

  1

  gg = 6 fx

  j

  ; y

  1

  i

  j

  ; y

  ; y

  i

  g = 0. Agora, para mostrar que fy

  j

  ; y

  i

  ; y

  3

  g = 0 e fx

  j

  i

  ; y

  ; y

  2

  g = 0, como queríamos. Analogamente encontramos fx

  j

  ; y

  i

  ; y

  1

  g e isto é verdade se, e somente se, fx

  j

  3

  k

  ; x

  = fy

  ; ; f

  1

  Reciprocamente, se um q-campo de vetores , q 3, sobre uma variedade M se escreve como em (3.8), então pelo Lema 3.23 basta mostrarmos que dadas f

  g : Assim temos a primeira parte do resultado.

  k

  ; y

  j

  ; y

  i

  1 fy i ; y j ; fy k ; x 2 ; x 3 gg + fy i ; y j ; y k g 1

  2 C

  g

  k

  g ; y

  3

  ; x

  2

  ; x

  

j

  ; fy

  i

  q 1

  1

  1

  2

  @x (2) @g

  2

  @x (1) @f

  1

  ( 1) @f

  3

  2S

  X

  ^ ^dg; i =

  ^ df

  (M ) temos L

  1

  ; g) = hdf

  2

  ; f

  1

  . Neste caso X (g) = (f

  1

  

1

; ;f q

  = 0. Então, seja X = X f

  X f1:::fq 1

  fy

  g + x

  gg = fx

  3

  ; x

  i

  fy

  

1

  ; x

  2

  ; x

  j

  g + fy

  g ; x

  ; y

  k

  ; y

  2

  ; x

  1

  fx

  i

  ; y

  j

  1 fy i ; y j ; y k g ; x 2 ; x 3 g + fy i fx 1 ; y j ; y k g ; x 2 ; x 3 g + fy j ; x 1 fy i ; x 2 ; y k g ; x 3 g

  3

  k

  k

  gg = x

  ; y

  j

  g ; y

  3

  ; x

  2

  ; x

  i

  ffy

  1

  k

  gg + fy

  ; y

  3

  ; x

  1

  fx

  i

  ; y

  2

  ; x

  j

  2

  1

  @x (3)

  2

  j

  ; y

  i

  ; y

  3

  ; x

  2

  ; x

  1

  g = x

  

1

  j

  ; y

  i

  ; y

  3

  ; fx

  2

  ; x

  1

  2

  

2

  ; fy

  g ; x

  j

  2

  ; x

  1

  2

  g

  3

  ; x

  2

  ; x

  ; fy

  i

  i

  ; y

  1

  2

  j

  g ; y

  3

  ; x

  2

  ; x

  3

  j

  3

  ; x

  2

  g = x

  j

  ; y

  i

  g ; y

  3

  ; x

  2

  1

  ; x

  fx

  1

  g = 2 fx

  j

  ; y

  i

  ; y

  1

  2 fx

  CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU em que s = 2, primeiramente.

  1

  2

  ; y

  j

  i

  ; y

  2

  ; fx

  

1

  

2

  3

  ; x

  2

  ; x

  ; y

  ; x

  i

  ; y

  1

  2

  = x

  j

  ; y

  i

  ; y

  3

  ; x

  ; y

  fx

  g ; y

  1

  fx

  1

  ; x

  2

  g

  j

  ; y

  i

  3

  i

  ; x

  2

  ; x

  1

  fx

  1

  g + 2 fx

  j

  ; y

  i

  ; y

  ; x

  3

  j

  1

  ; x

  i

  ; y

  3

  1 fx 1 ; x 2 ; x 3 g ; y i ; y j g + 2 fx 3 ; x 1 fx 1 ; x 2 ; y i g ; y j g

  gg

  3

  ; x

  ; y

  3

  1

  fx

  1

  ; x

  i

  ; y

  2

  g + 2 fx

  j

  g ; y

  g ; y

  ; x

  i

  j

  ; x

  j

  ; y

  1

  2

  ; x

  i

  ; y

  2

  ; y

  2

  3

  ; x

  i

  ; y

  1

  2

  ; x

  

2

  j

  ; y

  3

  1

  2

  3

  ; x

  1

  fx

  1

  ; y j = 2 fx

  2

  ; x

  1

  2

  ; y i ; x

  ; y i ; y j + x

  ; x

  2

  ; x

  1

  2

  ; x

  

3

  ; y i ; y j + x

  3

  ; x

  2

  • fy
  • x

3.3. O COLCHETE DE NAMBU E O TENSOR DE NAMBU

  1

  ; ; g

2 C (M ) arbitrárias, temos

  Então, para g

  1 q

  (L ) (g ; ; g ) =

  X 1 q q

  X = L (g ; ; g ) (g ; ; g ; L (g ) ; g ; ; g )

  X 1 q 1 k 1 X k k+1 q k=1

  1 X

  X @f @f @ @g @g

  1 q 1 1 q

  @ A = ( 1) ( 1)

  @x @x @x @x @x

  

(1) (q 1) (q) (1) (q)

  2S q

  2S q

  1

  q

  X X

  X @g @ @f @f @g @g

  1 1 q 1 k q

  @ A ( 1) ( 1)

  @x @x @x @x @x @x

  (1) (k) (1) (q 1) (q) (q) k=1

  2S q

  2S q

  X @f

  1 @f q 1 @g 1 @ g i @g q

  2 X

  = ( 1) @x @x @x @x @x @x

  (1) (q 1) (1) (q) (i) (q) q

  ; 2S i

  !

  q 1

  X X @g @f @ f @f @g @g

  2 X

  1 1 i q 1 k q

  ( 1) @x @x @x @x @x @x @x

  (1) (1) (k) (i) (q 1) (q) (q) k ; 2S q i=1

  X @g

  1 @f 1 @f q 1 @ g k @g q

  2 X

  ( 1) @x @x @x @x @x @x

  (1) (1) (q 1) (k) (q) (q) q k ; 2S q 1

  X X @f @ f @f @g @g @g

  2 X

  

1 i q 1

1 k q

  = ( 1) @x @x @x @x @x @x @x

  (1) (k) (i) (q 1) (1) (q) (q) k ; 2S q i=1

  ) é da forma Isto nos diz que (L

  X

  X @f @ f @f @ @ @

  1 i q 1

2 X

  ( 1) ^ ^ ^ ^ :

  @x (1) @x (k) @x (i) @x (q 1) @x (1) @x (q) @x (q)

  k;i ; 2S q

  = 0 devemos então mostrar que a somatória Para mostrar que L

  X

  1

  X @f @ f @f

  1 i q 1

  2 X

  @ ( 1) A @x (1) @x (k) @x (i) @x (q 1)

  k;i ; 2S q

  sempre se anula. Para isto, vamos fazer algumas observações. Primeiro observe que, para cada k, se (k) 6= (q) então o coe…ciente se anula automaticamente, já que teríamos campos repetidos no produto exterior. Podemos fazer então os coe…cientes dependentes apenas da permutação , a menos do sinal, e independentes da somatória em k. Assim, para cada i e para cada tomamos um elemento ~ de S dado por ~(q) = (i) e ~(i) =

  q

  (q) e ~(k) = (k) para k 6= q e k 6= i. Logo as parcelas

  2

  @f @ f @f

  1 i q 1

  ( 1) ( 1) e @x @x @x @x

  (1) (k) (i) (q 1)

  2

  @f

  1 @ f i @f q 1 ~ ~

  ( 1) ( 1) @x @x @x @x

  ~(1) ~(k) ~(i) ~(q 1) CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU se anulam mutuamente se escolhermos as permutações e ~ apropriadamente. Como cada termo da somatória possui um termo oposto, a soma se anula e assim encontramos L = 0 e, portanto, é um tensor de Nambu.

  X Observação 3.25 Apesar das provas dos Teoremas de Decomposição de Weinstein (Teo-

  rema 2.23) e de Decomposição da Nambu (Teorema 3.24) serem similares, a ideia por trás de cada uma é diferente. Observe que no Teorema 2.23, a demonstração se baseia no posto do tensor de Poisson, enquanto que no caso do Teorema 3.24 partimos do grau do tensor Nambu, com o intuito de mostrar que este coincide com o posto do tensor. Esta diferença entre os tensores de Nambu de ordem 2 (tensores de Poisson) e os de ordem q 3 se deve ao fato de que os tensores de Poisson estão naturalmente conectados a uma álgebra linear

  e, a partir desta, deduzimos que o tensor de Poisson sempre tem posto par (ver Exemplo 2.21). Já no caso de tensores de Nambu de ordens superiores a três, a variedade dos multiíndices nos permite fugir desta ágebra linear e encontrar um sistema de coordenadas locais a partir de um único campo hamiltoniano. Durante a prova, a parte que evidencia este fato é justamente na demonstração da equação (3.12). O exemplo a seguir demonstra como as contas são inconclusivas no caso em que q = 2.

  Exemplo 3.26 Seja (M; ) uma variedade de Poisson e (x ; x ; y ; ; y ) um sis-

  1

  2 1 m

  tema de coordenadas locais numa vizinhança de um ponto x 2 M tais que (x) 6= 0, (x ; x ) = fx ; x g = 1 e fx ; y g = 0, para todos i = 1; 2 e j = 1; : : : ; m. Manipulando

  1

  2

  1 2 i j

  ; y g utilizando estas hipóteses, a identidade de Jacobi e a Regra de Leibniz a expressão fy i j como na demonstração do Teorema 3.24, encontramos fy ; y g = fy fx ; x g ; y g

  i j i

  1 2 j

  = ffy x ; x g ; y g fx fy ; x g ; y g

  i

  1 2 j 1 i 2 j

  = ffy x ; y g ; x g + ffx ; y g ; y x ; g f0; y g

  i 1 j

  2 2 j i 1 j

  = fy fx ; y g ; x g + fx fy ; y g ; x g + f0; y x ; g

  i 1 j

  2 1 i j 2 i

  1

  = f0; x g + x ffy ; y g ; x g + fy ; y g fx ; x g

  2 1 i j 2 i j

  1

  2

  = fy ; y g :

  i j

  Por outro lado, se partimos da segunda parte, obtemos 0 = fx y ; 0g = fx y ; fx ; y gg

  1 i 1 i 2 j

  = ffx y ; x g ; y g + fx ; fx y ; y gg

  1 i 2 j

  2 1 i j

  = fx fy ; x g ; y g + fy fx ; x g ; y g + fx ; x fy ; y gg + fx ; y fx ; y gg

  1 i 2 j i

  1 2 j

  2 1 i j 2 i 1 j

  = y ffx ; x g ; y g + fx ; x g fy ; y g + x fx ; fy ; y gg + fy ; y g fx ; x g

  i

  1 2 j

  1 2 i j

  1 2 i j i j

  2

  1

  = fx ; x g fy ; y g fx ; x g fy ; y g

  1 2 i j

  1 2 i j

  = 0:

3.3. O COLCHETE DE NAMBU E O TENSOR DE NAMBU

  Logo, apenas a partir das igualdades (3.10) e (3.11) no caso em que q = 2, não con- seguimos determinar se fy i ; y j g = 0 é verdadeira.

  Dada uma variedade de Nambu (M; ), chamamos de conjunto singular do q-tensor de Nambu ao conjunto S = fx 2 M : (x) = 0g. O complementar do conjunto singular S, isto é, M = M nS = fx 2 M : (x) 6= 0g, é chamado conjunto regular de

  . Um q-campo vetorial é dito decomponível se pode ser escrito como o produto exterior de q campos vetoriais, ou seja, = X ^ ^ X , com X

  2 X (M ). O Teorema 3.24 nos diz

  

1 q i

  que um q-tensor de Nambu é localmente decomponível fora de um conjunto singular para todo q

3. Seguindo a mesma ideia que introduzimos para tensores de Poisson, tendo em vista o

  Lema 2.19 e a De…nição 2.20, de…nimos espaço característico do tensor de Nambu no ponto x 2 M como sendo o menor subespaço C x de T x M tal que

  

q q

  (x) 2 (C ) (T M ) :

  x x

  À dimensão do espaço característico C chamamos posto de em x. Um raciocínio

  x imediato mostra que um q-campo vetorial é decomponível se, e somente se, tem posto q.

  Em outras palavras, o posto de um q-campo vetorial é minimal se, e somente se, ele é decomponível. Assim o Teorema 3.24 nos diz que um q-campo vetorial, q 3, é um q- tensor de Nambu se, e somente se, tem posto minimal em todo ponto. Isto não é verdade para q = 2. Por exemplo, uma variedade simplética de dimensão maior que 2 possui uma estrutura de Poisson cujo 2-tensor de Poisson tem posto igual à dimensão do espaço, ou seja, seu posto é não minimal.

  Exemplo 3.27 (Produto Direto) Se é um q -tensor de Nambu sobre uma variedade

  1

  1 M 1 e 2 é um q 2 -tensor de Nambu sobre uma variedade M 2 , com q i 3; i = 1; 2, então ^ é um (q + q )-tensor de Nambu sobre M M .

  1

  2

  1

  2

  1

  2 Exemplo 3.28 O q-campo vetorial

  @ @ @ @ ^ ^ ^ + ^

  @x

  1 @x q @y 1 @y q

  com q 3 numa variedade M = M

  1 M 2 com coordenadas locais (x 1 ; ; x m ; y 1 ; ; y n ),

  q < m e q < n, não é um tensor de Nambu, já que não é decomponível, logo não tem posto minimal. Então, a soma direta de dois tensores de Nambu não é, em geral, um tensor de Nambu. Ao contrário do que constatamos para o caso de Poisson no Exemplo 2.4.

  Corolário 3.29 Sejam um tensor de Nambu de ordem q 3 e g uma função de classe

1 C

  , então g é também um tensor de Nambu. Em particular, qualquer m-campo vetorial sobre uma variedade m-dimensional é um tensor de Nambu. CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU

  @

  Demonstração. De fato, para algum sistema de coordenadas locais temos = ^

  @x

  1 @

  ^ , logo

  q @x

  @ @ g = g ^ ^ : @x @x

  1 q @y

  1 i i @x

1 Tomando-se y tal que = g e y = x ; i = 2; : : : ; m, obtemos uma mudança de coorde-

  1

  1 m 1 m

  ; ; x ) ! (y ; ; y ) tal que, neste novo sistema decoordenadas locais, nadas (x

  @ @ g = ^ ^ : @y @y

  1 q

  Assim, se é um m-campo vetorial numa variedade m-dimensional, então é decomponível fora de seu conjunto singular. Logo é um tensor de Nambu.

  O Teorema 3.24 nos fornece uma forma de estudarmos uma variedade de Nambu (M; ) (cuja estrutura de Nambu é não trivial e tem ordem q 3) através de folheações singulares. De maneira análoga ao caso da geometria de Poisson, passaremos agora ao estudo de uma distribuição naturalmente induzida pelo tensor de Nambu.

  De…nição 3.30 Dada uma variedade de Nambu (M; ), de…nimos a distribuição carac- terística C induzida por como

  1 C (x) = X (x) : f ; ; f

  2 C (M ) ;

  f 1 f q

  1 1 q 1 para todo x 2 M.

  Observe que se é um tensor de Poisson, então a de…nição anterior coincide com a dada em (3.4). Proposição 3.31 Sejam um q-tensor de Nambu sobre uma variedade M, q 3, e C a distribuição característica induzida por . Então para todo x 2 M , o conjunto regular

  1 m @ @

  ; ; x ) numa vizinhança aberta de de M, existe um sistema de coordenadas locais (x

  x tal que C é gerado pelos campos ; ; .

  q @x 1 @x

  Demonstração. Pelo Teorema 3.24, para cada x 2 M , existe um sistema de coordenadas

  @ @

  locais (x ; ; x ) numa vizinhança aberta de x tal que = ^ ^ . Assim, dadas

  1 m @x 1 @x q

  1

  f ; ; f

2 C (M ) arbitrárias, temos que o campo hamiltoniano X

  1 q 1 f 1 f q 1 é da forma

  X @f @f @

  1 q 1

  X = ( 1)

  f 1 f q

  1

  @x @x @x

  (1) (q 1) (q)

  2S q

  1

  pois para uma g 2 C (M ) arbitrária, temos X (g) = (f ; ; f ; g)

  1 q 1

  = hdf ^ ^ df ^ dg; i

  1 q 1

  X @f

  1 @f q 1 @g

  = ( 1) ; @x @x @x

  (1) (q 1) (q) q

  2S Segue então o resultado.

3.3. O COLCHETE DE NAMBU E O TENSOR DE NAMBU

  Corolário 3.32 A distribuição característica induzida por um q-tensor de Nambu , q 3, sobre uma variedade M é integrável. Demonstração. Segue da Proposição 3.31 em conjunto com os Teoremas 3.16 e 3.17.

  O Corolário 3.32 e o Teorema 3.14 nos dizem que a distribuição característica C de um q-tensor de Nambu , q 3, é a distribuição tangente de uma folheação singular F sobre a variedade M. No entanto, se restringimos a folheação para o conjunto regular M de , temos que cada folha é uma subvariedade imersa de dimensão q, ou seja, F é uma folheação regular de dimensão q sobre M . Pela Proposição 3.31, temos que localmente, as folhas de F são geradas pelas equações fx q+1 = c q+1 ; ; x m = c m g, onde c i

  2 R são constantes 8i. Restrito às folhas F desta folheação, se torna um multicampo vetorial

  x

  que não se anula e tem dimensão máxima. Neste caso, como é não degenerado, então

  q

  existe 2 (T F x ) forma de volume tal que h ; i = 1: (3.13) De fato, não é único, mas podemos construí-la localmente. Como da forma

  @ @ 1 q

  ^ ^ , então = dx ^ ^ dx satisfaz a equação (3.13). Por isso chamamos

  @x 1 @x q

  de dual a . As formas locais deste tipo de fato se colam em forma global. Suponha duas vizinhanças U e U que se intersectam, com coordenadas (x

  1 ; ; x m ) e (y 1 ; ; y m ), @ @ @ @

  respectivamente, tais que = j = ^ ^ e = j = ^ ^ . Neste

  U U @x 1 @x q @y 1 @y q

  1 m 1 m

  ; ; x ) 7 ! (y ; ; y ), encontramos caso, fazendo a mudança de coordenadas ' : (x

  = ' ( ) @ @

  = ' ^ ^ ' @x @x

  

1 q

  1 !

  X X @y

  @y @ i q @

  i

  1

  @ A = ^ ^

  @x @y @x @y

  1 i 1 q i q i 1 i q

  1 X @y

  @y i q @ @

  i

  1

  @ A = ^ ^ :

  @x @x @y @y

  

1 q i

1 i q i 1 i q

  @y @y iq i1

  Com isto, chegamos à conclusão que é igual a 1 se i = 1; i = 2; ; i = q e

  1 2 q @x

1 @x q

  0 caso contrário. Portanto temos que y

  j é uma função apenas de x j , para j = 1; : : : ; q e,

  fazendo a aplicação inversa de forma análoga, concluímos também que, para i > q, y i é uma função apenas das (m q)-últimas coordenadas. Assim a jacobiana da mudança de coordenadas é da forma

  " # A 0 d' =

  B q cujo determinante é 1. Lembrando da teoria de onde A é uma matriz diagonal q variedades que a mudança de coordenadas no espaço cotangente é igual a matriz inversa CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU da transposta de d', observamos que

  2

  3

  2

  3

  1

  1

  dx dy

  6

  7

  6

  7

  1

  6

  7

  6

  7 T ... ...

  6

  7

  6

  7 = d' = 6 q

  7 6 q

  7 dx dy

  4

  5

  4

  5 isto é, as formas localmente duais a se colam numa forma global.

  Agora, reciprocamente, dada uma folheação regular de dimensão q e uma forma de volume em suas folhas, a não degenerecência de acarreta na existência de um q-campo vetorial tal que (3.13) é verdadeira. não é único, mas se em coordenadas locais temos

  1 q 1 @ @

  = gdx ^ ^ dx = ^ ^ , o q-campo vetorial dual é um tensor de Nambu,

  q g @x 1 @x pelo Corolário 3.29.

  Por outro lado, em cada x 2 S , o conjunto singular de , temos que a distribuição característica de é C = f0 2 T M g. Neste caso, a folha F tem dimensão zero, ou

  

(x) x x

  seja, são pontos isolados. Logo a folheação F é singular com dois tipos de folhas: folhas singulares de dimensão zero (i.e., pontos) e folhas regulares de dimensão q. A primeira impressão é que as folheações que surgem de estruturas de Nambu são muito pobres, já que possuem apenas dois tipos de folhas, mas essa é uma impressão errônea. Dizemos que duas folheações singulares F

  1 e F 2 sobre uma variedade M essencialmente coincidem se

  temos T F = T F em quase todo ponto, ou seja, a menos de um conjunto de medida

  x 1 x

  2

  nula. Assim, a proposição a seguir nos diz que, essencialmente, qualquer folheação singular pode ser gerada por uma estrutura de Nambu.

  Proposição 3.33 Seja F uma folheação singular suave de dimensão q (isto é, de T F

  x

  tem dimensão q para quase todo x) sobre uma variedade M. Então F pode ser essencial- mente gerada por um tensor de Nambu, ou seja, existe um tensor de Nambu sobre M de ordem q tal que F essencialmente coincide com F. Demonstração. Como T F tem dimensão q para quase todo x, podemos construir q-

  x

  campos vetorias X ; ; X sobre M tangentes a F que são linearmente independentes

  1 q

  1 q .

  = X ^ ^ X em quase todo ponto. Agora tomamos

3 Exemplo 3.34 A folheação em R

  com coordenadas cilindricas (r; ; z) gerada pelo 2- tensor de Nambu

  2 @ @

  (x) = r ^ ; se x não pertence ao eixo z

  @ @z

  (x) = 0; se x pertence ao eixo z é tal que as folhas são cilindros de raio r se r 6= 0 e pontos isolados no eixo z. Observe que esta folheação essencialmente coincide com a folheação do Exemplo 3.8.

  3.4. FORMAS DIFERENCIAIS INTEGRÁVEIS Observação 3.35 A princípio, a folheação F na proposição acima pode conter muito mais singularidades do que F. Existe um processo chamado saturação que remove algumas singularidades "desnecessárias". No entanto, não abordaremos o assunto e seguiremos normalmente utilizando a Proposição 3.33 sem nos preocuparmos com isso.

  3.4 Formas Diferenciais Integráveis

  Passaremos agoara à caracterização das estruturas de Nambu através de formas difer- enciais. Isto nos dará uma importante ferramenta no sentido de class…car estruturas de Nambu. Com este propósito, faremos algumas considerações sobre distribuições, formas diferenciais e integrabilidade.

  Proposição 3.36 Seja M uma variedade de dimensão m. Então são equivalentes: S

  1. D = D x é um distribuição de codimensão p;

  x2M

  2. Para todo x 2 M, existe um aberto U e uma coleção de 1-formas diferenciais locais

  1

  !

  1 ; ; ! p

  2 (U ) linearmente independentes e tais que

  

p

  \ D = Nuc(! )(x);

  x i

i=1

  3. Para todo x 2 M, existe um aberto U e uma p-forma diferencial decomponível

  p

  ! 2 (U ) tal que dim(Nuc(!)) = n p e D = Nuc(!)(x):

  x

  Demonstração. Vamos mostrar que 1) ) 2). Considere um sistema de coordenadas locais (x ; ; x ) numa vizinhança de um ponto y 2 M tal que D é gerado por

  1 m y @ @

  1 p

  (y) ; ; (y). Neste caso, tome ! = dx ; ; ! = dx

  1 p . Segue que p+1 m

  @x @x p

  \ D = Nuc(! )(y):

  y i i=1

  Passemos agora à veri…cação de que 2) ) 3). Seja ! = ! ^ ^ ! , então segue

  1 p p

  do Exemplo 1.30 que Nuc ! (x) = \ Nuc ! (x) para todo x 2 U . Finamente, vamos

  i i=1

  mostrar que 3) ) 1). Sejam !

  1 ; ; ! p linearmente independentes tais que ! = ! 1 ^ ^

  ! para todo x 2 U. Logo, podemos completar o conjunto f! ; ; ! g de forma que

  p 1 p

  1

  f! ; ; ! g seja um sistema de coordenadas locais de (T M ). Como cada ! é não

  1 m i

  degenerado, existe X i

2 X (M ) tal que ! i (X i ) = 1. Segue que

  p

  \ D x = Nuc(! i )(x) = hX p+1 (x) ; ; X m (x)i : CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU Portanto, D é um distribuição de codimensão p.

  O resultado acima mostra como uma distribuição regular pode ser descrita através de famílias locais de sistemas de 1-formas diferenciais ou, equivalentemente, por uma família local de p-formas diferenciais.

  Recorde que uma p-forma é dita localmente decomponível se puder ser localmente escrita como produto de p 1-formas diferenciais. O próximo resultado caracteriza este tipo de p-formas tanto do ponto de vista algébrico como geométrico. Para este resultado, presisaremos relembrar da de…nição de anulador de uma forma (De…nição 1.22).

  p

  Proposição 3.37 Sejam M uma variedade suave e ! 2 (T M ) não degenerada, isto é, tal que ! (x) 6= 0 para todo x 2 M. Então são equivalentes:

  1. ! é localmente decomponível; 2. !(x) tem posto p para todo x 2 M;

  ! ^ ! = 0 para todo X = (X ; ; X ), onde X ; ; X 2 X (M ). 3. i

  X I

  I 1 p 1 1 p 1 ? ?

  E (!(x)) para todo x 2 M , onde Nuc(!(x))

4. Nuc(!(x))

  é como em (1.1); S 5. D = D x é uma distribuição de codimensão p sobre M, onde D x = Nuc(! (x)).

  x2M Demonstração. O Exemplo 1.3 nos diz que as a…rmações 1. e 2. são equivalentes.

  (1: ) 3) Neste caso, suponha que ! é localmente decomponível, então existem ! ; ; !

  1 p

  1

  em (T M ) tais que, localmente, ! = ! ^ ^ ! . Como !(x) 6= 0; 8x, temos que

  1 p

  f! ; ; ! g é um conjunto linearmente independente e ! (x) 6= 0; 8x. Dados campos

  1 p i

  ; ; X

  1 p 1

  2 X (M ), temos saves X

  i ! ^ !

  X I

  = i

  X I (! 1 ^ ^ ! p ) ^ (! 1 ^ ^ ! p )

  = (! ^ ^ ! ) (X ; ; X ) ^ (! ^ ^ ! )

  1 p 1 p 1 1 p

  X = (!

  1 ^ ^ ! i ^ ^ ! p ) (X 1 ; ; X p 1 ) ! i ^ (! 1 ^ ^ ! p )

  b

  i

  X = f ! ^ (! ^ ^ ! )

  i i 1 p i

  = 0;

  1

  onde f = (! ^ ^ ! ^ ^ ! ) (X ; ; X ) 2 C (M ) e o símbolo ! indica que

  i 1 i p 1 p 1 i

  b b este termo está ausente. Assim 3. vale.

  (3: ) 4:) Suponha agora 3. verdadeira. A…rmamos que, para um ponto x …xado,

  ?

  Nuc(!(x)) = Im x (i

  X I !); (3.14)

  3.4. FORMAS DIFERENCIAIS INTEGRÁVEIS onde

1 Im (i !) = i ! (x) 2 (T M ) : X = (X ; ; X ) ; X ; ; X

  2 X (M ) :

  x

  X I

  X I

  I 1 p 1 1 p 1 ?

  Sabemos que Nuc(!(x)) = h! (x) ; ; ! (x)i e como, utilizando a notação anterior,

  1 p

  temos i (! ^ ^ ! ) (x)

  X I 1 p

  X = (! ^ ^ ! ^ ^ ! ) (x) (X ; ; X ) ! (x)

  1 i p 1 p 1 i

  b

  i

  X = f i (x) ! i (x) ;

  i ?

  segue que Nuc(!(x)) Im (i !). Como ! (x) 6= 0, podemos tomar X (x) tal que

  x

  X I i i ?

  ! (X )(x) = 1 e ! (X )(x) = 0. Assim temos Nuc(!(x)) Im (i !), de onde segue

  i i j i x

  X I ?

  a igualdade. Como pela hipótese de 3. temos i

  X I ! ^ ! = 0, segue que Nuc(!(x)) = Im (i !) E (! (x)). x

  X I ?

  (4: ) 1:) Supondo 4. verdadeira, temos, para um ponto x …xado, Nuc(!(x)) =

  1

  h!

  1 (x) ; ; ! k (x)i, para alguns ! 1 (x) ; ; ! k (x) 2 (T M ) e p k m. Assim

  X

  p i 1 :::i

  ! (x) = a (x) ! (x) ^ ^ ! (x)

  i 1 i p i 1 ;:::;i p

  com i 2 f1; : : : ; kg ; 8j: No entanto, observe que

  j

  ! (x) ^ ! (x) = 0

  j

  X

  

i

1 :::i p

  () ! (x) ^ a (x) ! (x) ^ ^ ! p (x) = 0

  j i 1 i p i 1 ;:::;i

  X

  p i 1 :::i

  () a (x) ! j (x) ^ ! i

  1 (x) ^ ^ ! i p (x) = 0 i 1 ;:::;i p

  () ! (x) ^ ! (x) ^ ^ ! p (x) = 0

  j i 1 i

  para todo j = 1; : : : ; k. Isto signi…ca que cada ! j (x) = ! i s (x) para algum s. Mas como p k m, isto só é possível se p = k e então ! é decomponível. A equivalência entre 1. e 5. segue da Proposição 3.36.

  Motivados por estas duas proposições, vamos introduzir o conceito de forma diferencial integrável e veremos a seguir como essa noção de integrabilidade de formas é caracterizada. De…nição 3.38 Diremos que uma p-forma diferencial ! sobre uma variedade suave M é localmente integrável fora de um conjunto singular se para todo ponto x de M, existem

  1

  uma vizinhança U de x e 1-formas ! ; ; ! 2 (T U ) linearmente independentes tais

  1 p

  que !(x) = ! (x) ^ ^ ! (x)

  1 p p

  e a distribuição D = [ x D x dada por D x = Nuc(! (x)) = \ Nuc(! i )(x) é integrável.

  CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU Proposição 3.39 Dada uma p-forma ! sobre uma variedade suave M , as seguintes a…r- mações são equivalentes:

  1. ! é integrável; 2. ! é localmente da forma ! ^ ^ ! e d! (X; Y ) (x) = 0, para todos i = 1; : : : ; p,

  1 p i

  X; Y 2 Nuc(d! (x)) e x 2 M ; 3. ! é localmente decomponível e i ! ^ d! = 0 para todo X = (X ; ; X ), onde

  X I

  I 1 p 1

  X ; ; X

2 X (M );

  1 p 1 D = Nuc(! (x)) é integrável.

4. A distribuição D = [ x x tal que D x Demonstração. A equivalência entre 1. e 4. segue diretamente da De…nição 3.38.

  (1: ) 2:) Supondo ! integrável, por de…nição ! é localmente decomponível. Logo

  

1

  1 p 1 p .

  ; ; ! 2 (T M ) tais que, localmente, ! = ! ^ ^! existem 1-formas diferenciais !

  Dados X; Y 2 Nuc(d! (x)); x 2 M, como ! é integrável, segue que [X; Y ] 2 Nuc(d! (x)). Assim, por (1.7), temos d! (x) (X; Y ) = L ! (x) (Y ) L ! (x) (X) ! (x) (L Y )

  i X i Y i i

  X

  = X(! (x) (Y )) Y (! (x) (X)) ! (x) ([X; Y ])

  i i i

  = 0; para todo i = 1; : : : ; p. (2: ) 3:) Tome a a…rmação 2. como verdadeira. Fixado um ponto x 2 M , temos que o conjunto f! (x) ; ; ! (x)g é linearmente independente. Então podemos completá-lo

  1 p

  1 m 1 m x x

  (x) ; ; ! (x)g seja uma base de T M . Seja fX ; ; X g T M a de forma que f!

  base dual da base f!

  1 (x) ; ; ! m (x)g. Portanto Nuc(d! (x)) = hX p+1 ; ; X m i. Para

  cada i = 1; : : : ; p, temos que a escrita de d! nesta base é

  

i

m

  X d! (x) = f (x)! (x) ^ ! (x);

  

i ik j k

j<k=1

  onde f jk (x) = d! i (x)(X j ; X k ), 8j; k: Logo, pela hipótese de 2., f jk = 0 para k > j > p. Assim

  p m

  X X d! (x) = f (x)! (x) ^ ! (x)

  

i ik j k

j=1 k=1

  e j < k sempre na somatória. Neste caso, temos que

  p m

  X X d! i (x) ^ ! (x) = f ik (x)! j (x) ^ ! k (x) ^ !

  1 (x) ^ ^ ! p (x) = 0: j=1 k=1

  Relembrando as propriedades da derivação exterior, obtemos

  X d! = ( ) !

  1 ^ ^ d! i ^ ^ ! p : (3.15)

3.4. FORMAS DIFERENCIAIS INTEGRÁVEIS

  ? ! (x) 2 Nuc(!(x)) = h! (x) ; ; ! (x)i, 8 X = (X ; ; X ).

  E por (3.14), i

  X I 1 p

  I 1 p 1

  Então basta veri…carmos a a…rmação 3. para i

  X I ! (x) = ! i (x), i = 1; : : : ; p. Neste caso

  i

  X I ! (x) ^ d! (x) = ! i (x) ^ d! (x)

  X = ! (x) ^ ( ) ! (x) ^ ^ d! (x) ^ ^ ! (x)

  i 1 k p k

  = ( ) ! (x) ^ ! (x) ^ ^ d! (x) ^ ^ ! (x)

  i 1 i p

  = ( ) d! (x) ^ ! (x) ^ ^ ! (x)

  i 1 p

  = ( ) d! (x) ^ ! (x)

  i

  = 0; como queríamos.

  1

  (3: ) 4:) Vamos supor 3. verdadeira, ou seja, existem ! ; ; ! 2 (T M ) tais que

  1 p

  1 p e i

  X I

  I 1 p 1

  ^ ^ ! ! ^ d! = 0 para todo X = (X ; ; X ), localmente temos ! = !

  X

  1 ; ; X p 1

2 X (M ). Queremos mostrar que D = [ x D x dada por D x = Nuc(! (x)) é in- tegrável. Para isso, devemos mostrar que, dados X; Y 2 Nuc(! (x)), [X; Y ] 2 Nuc(! (x)).

  Assim, de (3.15) obtemos

  X ! ^ d! = ! ^ ^ ! ^ ( ) ! ^ ^ d! ^ ^ !

  1 p 1 i p i

  X = ( ) ! ^ ^ ! ^ ! ^ ^ d! ^ ^ !

  1 p 1 i p i

  = 0: Então, para toda (p 1)-upla X = (X ; ; X ) tal que X ; ; X

  2 X (M ), temos

  I

1 p 1

1 p 1 p

  i (! ^ d!) = i ! ^ d! + ( 1) ! ^ i d!

  X I

  X I

  X I p

  = ( 1) ! ^ i d! = 0

  X I

  Mas lembrando de (3.14), temos

  ?

  Im (i !) = Nuc(d!(x)) = h! (x) ; :! (x) ; d! (x) ; ; d! (x)i ;

  x

  X I 1 p 1 p

  logo (! ^ d! ) (x) = 0; 8i () d! (x) 2 h! (x) ; :! (x)i ;

  i i 1 p

  já que ! é decomponível. Assim, dados X; Y 2 Nuc(! (x)), para todo i = 1; : : : ; p, temos por (1.7) 0 = d! (X; Y ) (x)

  i

  = L ! (Y ) (x) L ! (X) (x) ! (L Y ) (x)

  X i Y i i

  X

  = 0 ! ([X; Y ]) (x)

  i

  = ! i ([X; Y ]) (x) ; isto é [X; Y ] 2 Nuc(! (x)) e portanto D é integrável. CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU Observação 3.40 Observe que a condição i ! ^ d! = 0 se resume a

  X I

  ! ^ d! = 0 (3.16) se ! é uma 1-forma diferencial. Para 1- formas, esta equação é conhecida como Condição de Integrabilidade de Frobenius.

  Munidos destas caractrizações sobre formas diferenciais integráveis, vamos voltar ao estudo das folheações de Nambu. Antes vamos fazer apenas um consideração. Dados um q-campo vetorial e uma p-forma diferencial , p > q, sobre uma variedade suave M, que em coordenadas locais têm as formas

  X @ @

  i 1 :::i q

  = ^ ^ ; @x @x q

  i 1 i q i 1 < <i

  X

  p j 1 j

  = a j

  1 :::j p dx ^ ^ dx ; j 1 < <j p

  vamos de…nir a contração de pelo campo como sendo

  i 1 :::i q i 1 :::i q @ @ @ @ @

  i = i = i i i ( ) :

  ; ; @xi

  @xi @xiq @xiq 1 @xiq 1

  1 Pelas propriedades da contração usual por um campo vetorial, por considerações análogas a que …zemos na De…nição 1.10 e pela antissimetria de , a operação está bem de…nida.

  Seja uma forma de volume sobre uma variedade M de dimensão m. Então a apli-

  q m q

  cação ! i é um isomor…smo linear de (T M ) para (T M ), pela não de- generecência de . Com esta aplicação podemos caracterizar um tensor de Nambu de ordem maior ou igual a 3 através de p-formas diferenciais. Proposição 3.41 Sejam um q-campo vetorial, q 3, sobre uma variedade M de dimensão m e uma forma de volume. Então é um tensor de Nambu se, e somente

  (p = m q 0) satisfaz as seguintes condições: se, a p-forma ! = i i. i A ! ^ ! = 0, para todo (p 1)-campo vetorial A.

  ! ^ d! = 0, para todo (p 1)-campo vetorial A. ii. i A

  Demonstração. Suponha que é um tensor de Nambu. Se (y) = 0 então segue da multilinearidade de que ! (y) = 0 satisfaz as condições i. e ii. Por outro lado, suponha (y) 6= 0. Assim, pelo Teorema 3.24, existe um sistema de coordenadas locais tal que

  @ @ = ^ ^ :

  @x @x

  1 q @ @

  Isto nos diz que, no ponto y, os campos (y) ; ; (y) são linearmente independentes

  @x 1 @x q

  n o

  @ @ e então podemos completá-los de forma que (y) ; ; (y) seja uma base de T M . y @x

  1 @x m

3.4. FORMAS DIFERENCIAIS INTEGRÁVEIS

  1 m

  (y); ; dx (y)g T M a sua base dual. Observe que nesta base, ! (y) 2 Seja fdx

  y q+1 m @ @ hdx (y); ; dx (y)i e portanto, Nuc (! (y)) é gerado pelos vetores (y) ; ; (y). q

  @x 1 @x

  Logo a distribuição D = [ D dada por D = Nuc (! (y)) é integrável e o resultado

  y y y

  segue das Proposições 3.37 e 3.39. Reciprocamente, se !(y) = 0 então q = m e pelo Corolário 3.29, qualquer q-campo é de Nambu. Neste caso, suponha !(y) 6= 0. A condição i. nos diz que ! é localmente decomponível e assim a ii. é equivalente a

  1 p ,

  = ! ^ ^ ! dizer que ! é integrável. Então numa vizinhança U de y, seja !j U

  1

  onde !

  1 ; ; ! p

  2 (T U ) são formas linearmente independentes. Como a distribuição D = [ D tal que D = Nuc (! (y)) é integrável, pelo Teorema de Frobenius 3.17 em

  y y y

  1 m

@ @

  ; ; x ) para conjunto com o Teorema 3.16, existe um sistema de coordenadas locais (x

  M tal que D é gerado pelos campos ; ; . Ou seja, em cada ponto,

  m

@x p+1 @x

  @ @ Nuc (! (y)) = (y) ; ; (y) :

  @x @x

  p+1 m

  Neste sistema, temos que

  

p

  X

  i

  ! k = f i dx ;

  

i=1

  para todo k = 1; ; p e f 6= 0,8i. Isto nos diz que

  i 1 p

  ! = f dx ^ ^ dx

  1

  com f = f f 6= 0. Portanto, se neste sistema de coordenadas temos = gdx ^ ^

  1 p m

  dx , g 6= 0, desejamos determinar que q-campo , q = m p, satisfaz ! = i . Isto é

  1 p 1 m

  f dx ^ ^ dx = gdx ^ ^ dx ( ^ ) :

  @ @

  Um raciocínio imediato mostra que devemos ter = h ^ ^ . Em particular

  @x p+1 @x m

  @ @ f = ! ^ ^ @x @x

  1 p

  @ @ @ @

  1 m

  = gdx ^ ^ dx h ^ ^ ^ ^ ^ @x @x @x @x

  p+1 m 1 p

  @ @

  pq 1 m

  = ( 1) (gh) dx ^ ^ dx ^ ^ @x @x

  1 m pq

  = ( 1) (gh) : Concluímos que f @ @

  = ( ) ^ ^ : g @x @x

  p+1 m Pelo Teorema 3.24 e pelo Corolário 3.29 é um tensor de Nambu.

  Esta Proposição nos mostra que p-formas localmente decomponíveis são associadas a tensores de Nambu com muita naturalidade, e vice-versa. Portanto, cada p-forma CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU diferencial integrável (que é não trivial em quase todo ponto) de…ne uma folheação singular de codimensão p. Podemos extender a folheação para os pontos singulares simplesmente fazendo cada folha ser dimensão zero nestes pontos. Poderíamos também ter partido em sentido contrário e ter provado a Proposição 3.33 através das formas diferenciais.

3.5 Classi…cação das Estruturas de Nambu Lineares

  Este capítulo é destinado a classi…car folheações Nambu-lineares, que são as folheações geradas por estruturas de Nambu lineares, através de um resultado importante devido a Medeiros [13], que classi…ca as formas diferenciais lineares em dois tipos e que nos fornece um ideia sobre como se comportam localmente as folheações lineares.

  De…nição 3.42 Um tensor de Nambu sobre uma variedade M escrito em coordenadas P

  @ @ @ I @

  I q

  locais como = , com = ^ ^ , é dito linear se as funções

  I2C (m) @x I @x I @x @x iq i1

  P

  J q

  = a dx são lineares para cada q-upla I. Analogamente, uma p-forma J , onde

  J2C (m) J j 1 j p dx = dx ^ ^ dx , é dita linear se as funções a J são lineares para cada p-upla J.

  Nosso objetivo é estudar as folheações geradas pelas estruturas de Nambu lineares através da forma diferencial ! local dada pela relação ! = i , onde é uma forma de volume. Mais precisamente, dada uma estrutura de Nambu linear sobre uma variedade

  P

  I @ q

  M que em coordenadas locais se escreve como e considerando a forma de

  I2C (m) @x

  I 1 m

  = dx ^ ^ dx volume de…nida na mesma vizinhança que , a forma ! = i é também linear. De fato

  1 m P @

  I

  ! = i = i dx ^ ^ dx

  I @xI

  X

  1 m @

  I

  = i dx ^ ^ dx

  @xI

  I X

  I 1 m

  I

  = dx ^ ^ d dx ^ ^ dx

  I i 1 i q

  I

  dx ; ; dx onde o símbolo d indica a ausência dos termos dx do produtório. Portanto os coe…cientes de ! são funções lineares de onde segue que ! é uma forma linear. Dito isto, veremos como são classi…cadas as p-formas lineares a…m de compararmos com as estrutras lineares de Nambu mais adiante.

  Estudando a estabilidade estrutural de 1-formas diferenciais integráveis, Airton S. Medeiros introduz no seu trabalho Structural Stability of Integrable Di¤erential Forms, disponível em [6], o conceito de p-forma localmente decomponível fora do conjunto singular (LDS - sigla em inglês) e de p-forma integrável. Neste mesmo artigo são estabelecidas as relações entre a álgebra exterior de Cartan associada a p-formas e a geometria dos campos de planos induzidos pelos núcleos destas formas, inclusive com relação à integrabilidade,

  3.5. CLASSIFICAđấO DAS ESTRUTURAS DE NAMBU LINEARES como …zemos na seção anterior. Antes de passarmos ao teorema em questão, precisaremos de algumas considerações antes.

  p n I p

  Considere o espaço vetorial (T K ) com base dx : I 2 C (n) . Admitindo-se a ordenação (total) lexicográ…ca nos multiíndices I, existe um isomor…smo canônico lex :

  n p n m

  (T K ) ! K , onde m = , que respeita a ordenação total. Desta forma, dado

  p p 1 m

  K U , …ca associado de maneira única um isomor…smo : (U ) ! C (U; K ) =

  m

  1

  ff : U ! K ; f 2 C g da seguinte forma

  p 1 m

  : (U ) ! C (U; K ) P

  

I

p

  ! = a dx 7 ! f = (f ; ; f )

  I 1 m

  I2C (n)

  com f = a , onde j é a ordem total do multiíndice J. Então, dada uma p-forma ! e

  j J

  sendo f = (!), de…nimos a derivada de ! num ponto x

  2 U como sendo ! (x ) =

  1

  ! = (df (x )). Observe que, como a derivada de uma aplicação linear coincide com

  x p

  a própria, segue da de…nição que toda forma linear ! 2 (U ) satisfaz !(x) = ! (x ), 8x; x 2 U .

  2

  4

  4 Exemplo 3.43 Seja (T R ) o conjunto das 2-formas sobre R ; x ; x ; x g é

  . Se fx

  1

  2

  3

  4

  4 4 i j

  uma base para R , segue que o conjunto fdx ^ dx : 1 i < j 4g com = 6 elementos

  2

  2

  4

  2

  4

  6

  é uma base para (T R ). Tomando o isomor…smo lex : (T R ) ! R , encontramos

  1

  2

  

1

  3

  1

  4

  lex dx ^ dx = e

  1 ; lex dx ^ dx = e 2 ; lex dx ^ dx = e 3 ;

  2

  3

  

2

  4

  3

  4

  lex dx ^ dx = e ; lex dx ^ dx = e ; lex dx ^ dx = e ;

  4

  5

  6 P

  4 6 i j

  2

  4

  1 6 . Dada ! = ij i<j=1

  ; ; e g base canônica de R a dx ^ dx 2 (T R ), para fe

  então (!) = f (f

  1 ; ; f 6 ), onde f 1 = a

12 ; f

2 = a 13 ; f 3 = a 14 ; f 4 = a 23 ; f 5 = a 24 e

  4

6 R

  f = a . Observe que f : U ! R tem como jacobiana no ponto x

  2 U a matriz

  6

  34

  4

  6

  2

  3

  @f 1 @f

  1 @x 1 @x

  4

  6

  7 df (x ) = ... ... ...

  4 5 :

  @f 6 @f

  6 @x 1 @x

  4

  1

  4

  4 Ou seja, dado um vetor u = (u ; ; u ) de R ,

  !

  4

  4 X

  X @f @f

  1

  6

  df (x ) (u) = (x ) u ; ; (x ) u :

  j j

  @x j @x j

  

j=1 j=1

  P

  4 P 4 @a ij 1 i j

  Assim, ! (x ) = (df (x )) = b dx ^ dx , com b = (x ) u .

  ij ij k i<j=1 k=1 @x k

  Repetindo-se o argumento do exemplo anterior, obtemos o seguinte resultado: P

  I n p

  Proposição 3.44 Sendo ! = a

  I dx uma p-forma sobre K , então

  I2C (n)

  !

  

n

  X X @a

  I I

  ! (x ) = (x ) u dx ;

  k

  @x k

  p

k=1

  I2C (n) n

  para todo x 2 K .

  CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU Outro resultado interessante é o fato da derivada se distribuir pelo produto exterior.

  p

  1 Proposição 3.45 Seja ! 2 (T U ) dada por ! = ^ ^

  2 (T U ),

  1 p , onde i

  j = 1; : : : ; p. Então

  p

  X ! (x ) = (x ) ^ ^ ( ) (x ) ^ ^ (x ) :

  1 j p j=1 n

  para todo x 2 K . Demonstração. Suponha (x ; ; x ) um sistema de coordenadas em U e tome =

  1 n i

  P n P n

  j j 1 j p

  a dx . Então ! = ^ ^ = (a ) a dx ^ ^ dx =

  ij 1 p 1j 1 pj p p j=1 j 1 ;:::;j =1

  P P

  J p

  b J dx , ou seja, b J = ( 1) a (1)j

  1 a (p)j p . Assim, segue da Proposição J2C (n)

  2S p

  3.44 que !

  n

  X X @b

  J J

  ! (x ) = (x ) u dx

  k

  @x

  k p

  J2C k=1 (n) p n

  X X

  X X @a

  (i)j i J

  = ( 1) a (x ) (x ) u a p (x ) dx

  (1)j 1 k (p)j

  @x

  k p p

  J2C (n) k=1 i=1

  2S p n

  X X

  X @a

  ij i J

  = (a 1j

  1 ) (x ) (x ) u k a pj p (x ) dx

  @x k

  p i=1 k=1 J2I (n)

  1 ! !

  p n n n n

  X X

  X X

  X @a ij i

  p j 1 j i j

  @ = a dx (x ) (x ) u dx a p dx A (x )

  1j 1 k pj

  @x

  k i p i=1 j

1 =1 j =1 k=1 j =1

p

  X = (x ) ^ ^ ( ) (x ) ^ ^ (x ) ;

  1 i p i=1

  como queríamos.

  Agora estamos prontos para conferir o teorema principal desta seção. Teorema 3.46 Seja ! uma p-forma linear LDS (respec. integrável) sobre o espaço linear

  n

  K , sendo K um corpo. Então existe um sistema de coordenadas locais (x

  1 ; ; x n ) tal

  que ! se reduz a uma das duas posssibilidades:

  n

  1. ! = ^ dx ^ ^ dx para alguma 1-forma linear sobre K (respec. ! =

  1 p 1 1 n

  df ^ dx

  1 ^ ^ dx p 1 , para alguma função quadrática f 2 C (K )); ?

2. Nuc (!) é gerado pelas 1-formas dx ; ; dx (respec. ! se escreve com apenas

  1 p+1 (p + 1) variáveis).

  Demonstração. Vamos considerar primeiramente o caso em que ! é apenas LDS. Seja

  n n

  S = fx 2 K : ! (x) = 0g o conjunto singular de !. Tome x

  2 K nS. Como ! é LDS,

3.5. CLASSIFICAđấO DAS ESTRUTURAS DE NAMBU LINEARES

  1 p de…nidas numa vizinhança U do ponto x , tais que ! =

1 ^ ^ p . Como ! é linear, pelas considerações anteriores devemos ter ! = ! (x ),

  ; ; existem 1-formas

  onde ! (x ) é a derivada de ! no ponto x . Por outro lado, a Proposição 3.45 nos diz que

  p

  X ! = ! (x ) = (x ) ^ ^ ( ) (x ) ^ ^ (x ) :

  1 i p i=1 i 1

  Seja = ( 1) ( ) (x ), para i = 1; : : : ; p. Note que é linear para todo i, já

  i i i

  (x ) são formas constantes para todo j = 1; : : : ; p. Observe também que ! é linear e j que o conjunto f (x ) ; ; (x )g é linearmente independente em T U , então podemos

  1 p

  completá-lo de forma que o conjunto f (x ) ; ; (x )g seja uma base em T U . Então,

  1 n

  identi…cando T U com U, existe uma mudança linear de coordenadas ' : U ! U tal que ' (e ) = x ; 8i, onde fe ; ; e g é a base dual de f (x ) ; ; (x )g. Assim, neste

  i i 1 n 1 n

  P p

  1 p i

  sistema de coordenadas, temos ! = ^ dx ^ ^ c dx ^ ^ dx . Ainda, pela

  

i

i=1 i

  • = ` dx propriedade de antissimetria do produto exterior, podemos tomar i i i com

  P n

  j

  = dx , onde ` é uma função linear para todo i, já que se tivesse algum

  i i i j=p+1 k

  termo dx , com k = 1; : : : ; p e k 6= i, o produto exterior se anularia. Desta forma

  1 p

  • ! = ` dx ^ + ^ (` dx )

  1 1 p p

  X

  1 p 1 p i

  = ` dx ^ ^ dx + ( ^ ^ ) + ^ dx ^ ^ c dx ^ ^ dx

  

1 p i

i

  X

  1 p 1 p i

  = ` dx ^ ^ dx + ^ dx ^ ^ c dx ^ ^ dx

  i i @ @ @

  Em particular, fazendo X = ^ ^ c ^ ^ , j = 1; : : : ; p, temos que i ! =

  j X j @x

  

1 @x j @x p

j

  ` dx . Assim, a condição i ! ^ ! = 0 da Proposição 3.37 nos diz que

  j j X j

  0 = i

  X j ! ^ ! j 1 p

  = ` dx ^ ` dx ^ ^ dx

  j j

  X

  j 1 p i

  ` j dx j i ^ dx ^ ^ c dx ^ ^ dx +

  i

  X

  1 p i

  = ^ ^ dx ^ ^ c dx ^ ^ dx

  j i i i

  e, portanto, como as formas dx são constantes, ^ = 0; 8i; j. Se = 0 para todo

  j i i

  i, temos que ! é claramente decomponível. Então suponha, sem perda de generalidade,

  1 6= 0. A condição 1 ^ i = 0 e o Lema de divisão de 1-formas de de Rham, implicam

  em uma das duas condições abaixo:

  a) Existe uma 1-forma constante e funções lineares g i tais que i = g i ;

  n

  b) Existem constantes c i

2 K , tais que i = c i 1 . Claramente, c 1 = 1.

  CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU No primeiro caso,

  p

  X

  1 p 1 p i

  • ! = ` dx ^ ^ dx ^ dx ^ ^ c dx ^ ^ dx

  i i=1

  !

  X

  1 p 1 p i

  • = ` dx ^ ^ dx g ( ^ dx ^ ^ c dx ^ ^ dx ):

  i i p+1 n

  Como é uma forma constante escrita apenas com as coordenadas dx ; ; dx , segue que existe uma mudança de coordenadas tal que ! se escreve apenas com as (p + 1)

  1 p+1

  ; ; dx primeiras coordenadas dx . Finalmente, no caso b) ! se decompõe como

  p

  X

  1 p 1 p i

  • ! = ` dx ^ ^ dx c i 1 ^ dx ^ ^ c dx ^ ^ dx

  i=1 1 p

  = ` dx ^ ^ dx "

  #

  

p

  X

  2 p 1 p i

  ^ dx + ^ ^ dx c dx ^ ^ c + dx ^ ^ dx

  1 i

i=2

1 2 p

  • = ldx ^ dx ^ ^ dx

  1 p

  X

  1 1 p i

  • ldx ^ c dx ^ ^ c dx ^ ^ dx

  1 i i=2 p

  X

  1 1 p i

  = ldx ^ c dx ^ ^ c + dx ^ ^ dx :

  1 i i=1

  P p

  1 p i

  c ^ dx ^ ^ c dx ^ ^ dx 1)-forma no espaço de Mas observe que i é uma (p

  i=1 1 p

  dimensão p gerado pelas 1-formas dx ; ; dx , logo é decomponível (Proposição 3.52,

  1 Anexo A). E assim, fazendo uma mudança de coordenadas, obtemos ! = ^ dx ^ ^ p 1

  dx .

  Para o caso integrável, primeiro observe que, como ! é uma forma linear, então d! é uma forma constante. Assim, temos duas possibilidades: ou d! 6= 0 em todos os pontos, ou d! é identicamente nula. Para o caso em que d! 6= 0, a Proposição 3.53 (Anexo A), demonstrada a seguir, nos fornece uma mudança linear de coordenadas tais que ! se reduz a (p + 1) variáveis. Ou seja, existe um sistema de coordenadas locais em que ! é da forma

  p+1

  X

  1 p+1 i

  a (x ; ; x ) dx ^ ^ c dx ^ ^ dx :

  1 p+1 i=1

  P

  p+1 1 p+1 i

  Como d! = da ^ dx ^ ^ c dx ^ ^ dx é uma forma constante e as 1-formas

  i=1 i

  dx são também constantes para todo i, segue que da é uma 1-forma constante e então a (x ; ; x ) é uma função linear. Caso d! = 0, ou seja, ! é fechada, devemos lembrar

  1 p+1

  que a Proposição 3.39 nos garante que ! é LDS, então, pela primeira parte do teorema,

3.5. CLASSIFICAđấO DAS ESTRUTURAS DE NAMBU LINEARES

  ! é de um dos dois tipos

  p+1

  X

  1 p+1 i

  1) ! = a (x ; ; x ) dx ^ ^ c dx ^ ^ dx

  1 n i=1 1 p 1

  2) ! = ^ dx ^ ^ dx ; para algum sistema de coordenadas locais (x ; ; x ). Caso ! seja do tipo 1), para

  1 n @

  p + 1 < j n, tome X = . Assim, temos que L ! = d i ! + i d! = 0, isto é,

  j X j X j X j @x j

  P

  p+1

  1

  ! não depende das coordenadas (x p+2 ; ; x n ), ou seja, ! = a (x

  1 ; ; x p+1 ) dx ^ i=1 i p+1 1 p 1

  ^ c dx ^ ^ dx . Caso d! = d ^ dx ^ ^ dx = 0, então existem 1-formas P p 1

  

i

  constantes tais que d = ^ dx . Isso nos diz que d = d para alguma

  i i i=1 i

  forma gerada pelas 1-formas dx , com i = 1; : : : ; p 1, consequentemente, temos que = + df , onde f é uma função quadrática, já que é linear. Neste caso temos

  1 p 1 1 p 1 1 p 1

  ! = ^ dx ^ ^ dx = ( + df ) ^ dx ^ ^ dx = df ^ dx ^ ^ dx , como queríamos.

  Paralelamente ao trabalho de Medeiros, Jean-Paul Dufour e Nguyen Tyen Zung provam, em [8], o mesmo resultado para o caso de p-formas integráveis. Apesar do Teorema 3.46 ser mais geral, por envolver p-formas LDS, o resultado de Dufor-Zung é mais detalhado. Por isso, é nele que nos basearemos para obter o resultado desejado para estruturas de Nambu lineares. Segue o teorema:

  n

  Teorema 3.47 Seja ! uma p-forma linear sobre o espaço linear K , com K um corpo (R

  2

  1 m

  ; ; x ) ou C, mais precisamente) . Então existe um sistema de coordenadas locais (x

  tal que ! é de um dos dois tipos:

  1 p 1

  I: ! = dx ^ ^ dx ^ , onde é uma 1-forma do tipo !

  

p+r s

  X

  2 X x

  j

  = d ( ) x x + ;

  i p+r+i

  2

  

j=p i=1

r q = m p e 1 s min (p 1; q r).

  com 0 P

  P

  p+1 p+1 j j 1 p+1 i

  a dx ^ ^ c dx ^ ^ dx = a x

  II: ! = i com a i j , onde a são constantes

  i i i=1 j=1 e o símbolo de chapéu sobre um termo indica a ausência deste.

  A demonstração do teorema é longa e bastante técnica, o que pode fazer com que o leitor se perca do objetivo …nal com facilidade. Então vamos primeiro fazer um esboço da demonstração, dando um ideia do caminho em geral para manter a leitura mais ‡uida. O

  P m argumento principal é que, como ! é linear, ela se escreve localmente como x ! para

  j j j=1

  algum 0 < m n, com ! j p-formas constantes. O objetivo da demonstração é analisar

2 Se considerarmos K como sendo C, então assumiremos que a forma ! é holomorfa.

  CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU

  ?

  Nuc(! ) as diferentes possibilidades da dimensão do conjunto E = \ j j , mostrando que se

  ?

  dim E < p 1 o conjunto Nuc(!) tem dimensão p+1 e, para o caso em que dim E p 1, subdividimos-o em dois, o que nos leva, através de uma mudança linear de coordenadas, ao Tipo I, no primeiro caso, e ao Tipo II no segundo. Demonstração. Se p = 0, então ! é um função linear e pertence ao Tipo II. Suponha en- tão p > 0. Sem perde de generalidade, podemos supor que ! se escreve, num dado sistema

  P

  m

  x ! m n, onde ! de coordenadas, da forma j j , 1 j são p-formas constantes. As-

  j=1

  sim, nos pontos (x = 0; ; x = 0; x = ; x = 0; ; x = 0), onde

  2 R, temos

  1 j 1 j j+1 m

  ! = ! . Como ! é integrável então é localmente decomponível, então ! também é

  j j

  decomponível para todo j, já que é uma forma constante. Denote por E j o conjunto

  ?

  Nuc(! ) . Relembre, das Proposições 3.37 e 3.39, que

  j ?

  E j = Nuc(! j ) = Im(i

  X I ! j ) E (! j )

  = p, já que ! e que dim E j j é decomponível. A seguinte a…rmação nos será útil: A…rmação 3.48 Dados ! e ! com 1 i; j m, temos dim (E \ E ) p 1.

  i j i j

  Demonstração. De fato, nos pontos (x = 0; k 6= i; j), ! = x ! + x !

  k i i j j . Em partic-

  ular, tomando x i = x j = 1, como ! é ou decomponível, concluímos que (! i + ! j ) é também decomponível. Suponha então dim (E \ E ) = d < p. Então existe uma base

  i j

  fe ; ; e ; f ; ; f ; g ; ; g g de E + E

  1 d 1 p d 1 p d i j tal que

  ! = e ^ ^ e ^ f ^ ^ f ;

  i 1 d 1 p d

  ! = e ^ ^ e ^ g ^ ^ g :

  j 1 d 1 p d

  Neste caso, ! + ! = e ^ ^ e ^ (f ^ ^ f + g ^ ^ g ) :

  i j 1 d 1 p d 1 p d

  Assim, se p d 2, temos que (! i + ! j ) não é decomponível, uma vez que as compo- nentes f ; ; f ; g ; ; g são lineramente independentes e assim teríamos o posto

  1 p d 1 p d

  i j

  • ! ) não minimal. Contradição! Logo p d < 2 o que implica dim (E \ E ) de (! i j

  p 1.

  n

  De volta ao enunciado do teorema, para cada ponto de x 2 K , existe 1 h m tal 6= E que, reordenando os índices se necessário, temos E i j para todo i; j = 1; : : : ; h. Além disso, qualquer que seja j = h + 1; : : : ; m, teremos E = E para algum i 2 f1; : : : ; hg.

  j i

  Em particular, dim(E \ E ) = p 1 se i 6= j = 1; : : : ; h: (3.17)

  i j

  \ \ E 1 e dim E p

  1 h . Vamos analisar os casos dim E < p

  1 Considere E = E

  separadamente:

3.5. CLASSIFICAđấO DAS ESTRUTURAS DE NAMBU LINEARES

  Caso 1: dim E < p 1. Primeiramente, observe que, de acordo com a A…rmação 3.48, devemos ter h 3. Fixando-se E e E , teremos dim (E \ E \ E ) = p 1 ou dim (E \ E \ E ) < p 1,

  1

  2

  1

2 k

  1 2 k

  1

  2

  \ E ) = qualquer que seja k = 3; : : : ; h. No primeiro caso, segue de (3.17) que dim(E

  p 1 = dim(E

  1 \ E 2 \ E k ); como E 1 \ E 2 \ E k E 1 \ E 2 , então E 1 \ E 2 \ E k = E 1 \ E 2 .

  Se isto for verdade para todos os valores de k = 3; ; h teremos, por indução, uma \ E

  1

2 ; por conseguinte dim(E) = p

  1. Logo existe pelo menos contradição, pois E = E

  um k = 3; : : : ; h tal que dim (E

  1 \ E 2 \ E k ) < p

  1. Sem perda de generalidade, vamos assumir dim (E \ E \ E ) < p 1 e mostrar que

  1

  2

  3 m

  X E = E + E + E :

  i

  

1

  2

  3 i=1

  Caso h = 3, então nada há a fazer. Sendo assim, vamos supor que h > 3 e mostar que E i E

  1 + E 2 + E 3 para todo i = 4; : : : ; h. De fato, dado i = 3; : : : ; h, tome F 1 = E 1 \ E i ,

  F = E \ E e F = E \ E ; então

  2 2 i

  3 3 i

  dim (F \ F \ F ) = dim (E \ E \ E \ E ) < p 1.

  1

  2

  3

  1

  2 3 i

  Agora, recorde de (3.17) que dim F = p 1; j = 1; 2; 3. Segue que não podemos ter F =

  j

  1 F = F 6= F +F ) p. Por outro lado, F +F E

  2 3 . Suponhamos que F

  1 2 , então dim(F

  1

  2

  1 2 i

  e dim(E i ) = p, de onde segue que E i = F

  

1 + F

2 . Em particular, E i E 1 + E 2 + E 3 , como

  desejado. Agora observe que dim(E

  1 + E 2 + E 3 ) = dim(E 1 ) + dim(E 2 ) + dim(E 3 ) + dim (E 1 \ E 2 \ E 3 )

  dim(E \ E ) dim(E \ E ) dim(E \ E ):

  1

  2

  1

  3

  2

  3

  ) = dim(E ) = dim(E ) = p e que dim(E \ E ) = dim(E \ Já vimos que dim(E

  1

  2

  3

  1

  2

  1 E ) dim(E \ E ) = p

  1 (cf. (3.17)). Por outro lado, com um argumento análogo ao

  3

  2

  3

  utilizado na prova da A…rmação 3.48, encontramos dim (E \ E \ E ) = p

  2. Assim

  1

  2

  3

  dim(E

  1 + E 2 + E 3 ) = 3p + p

  2 3p + 3 = p + 1:

  n

  Logo dim (E + E ) = dim(E + E + E ) = p + 1. Portanto, para todo x 2 K +

  1 m

  1

  2

  3

  existe um sistema de coordenadas (x

  1 ; ; x m ) sobre uma vizinhança V de x tal que 1 p+1

  fdx ; ; dx g é uma base de (E + + E ), ou seja,

  1 m p+1

  X

  j 1 j 1 j+1 p+1

  ! = a dx ^ ^ dx ^ dx ^ ^ dx ;

  i i j=1 j

  onde a são constantes. Assim temos

  i p+1

  X

  1 p+1 i

  ! = a i dx ^ ^ c dx ^ ^ dx CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU P p+1

  j

  = a x com a i j .

  i j=1

  Caso 2: dim E p 1. Seja (x ; ; x ) E uma (p 1)-upla linearmente independente. Então, para

  1 p 1

  todo i = 1; : : : ; h temos

  1 p 1

  ! = dx ^ ^ dx ^

  

i i

1 p 1

  onde uma 1-forma constante que não depende de fdx ; ; dx

  g. Então

  i 1 p 1

  ! = dx ^ ^ dx ^ (3.18) P com = x . Para terminamos a demonstração do teorema, basta-nos mostrar que

  i i

  é da forma !

  p+r s

  X x

2 X

  j

  • d ( ) x x ;

  i p+r+i

  2

  j=p i=1

  o que nos leva ao Tipo I, ou que é uma forma que só depende das (p + 1) primeiras coordenadas e assim é do Tipo II. De fato, completando a (p 1)-upla (x

  1 ; ; x p 1 ) de

  forma a termos um sistema de coordenadas (x ; ; x ) para V , temos que se escreve

  1 m

  P m

  i

  = a dx ;onde a na forma i i são funções lineares, por conta da linearidade de !. Note

  i=1 1 p 1

  que podemos fazer a i = 0 para i = 1; : : : ; p 1, já que independe de dx ; ; dx , ou seja

  

m

  X

  i

  = a dx : (3.19)

  i

i=p

  Então

  m m

  X X

  

j i j

  = a x dx ; a

  2 K 8i; j:

  j

  (3.20)

  

i i

i=p j=1

  Como ! é integrável, segue que da Proposição 3.39

  1 p 1

  ( ) ^ dx ^ ^ dx ^ d = ^ d! = i ! ^ d! = 0;

  X (3.21)

  P m P m j P m j

  @ @ j i j i

  onde X = ^ ^ . Sendo d = a dx ^dx tome d = a dx ^dx ,

  1 i=p j=1 i i;j=p i @x 1 @x

  j j i

1 P p 1 P m

  1 . Observe que a equação (3.21) é equivalente i j=1 i=p

  a dx ^ dx + d segue que d =

  a dizer que ^ d

  1 = 0 e isto nos diz que, restrita à subvariedade linear W gerada pelas

  coordenadas (x ; ; x ), é integrável. Novamente vamos dividir nossa demonstração

  p m

  em dois subcasos:

  a) d 1 = 0. Neste caso, como d j = d segue do Lema de Poincaré (Anexo A) que j = df para

  1 W W

  1

  (W ). Como alguma f 2 C é linear, segue que f é uma função quadrática nas variáveis (x ; ; x ). Logo, segue de (3.20), que

  p m p 1

  X @f

  j

  • a = a x 8i:

  i j i

  @x

  i

3.5. CLASSIFICAđấO DAS ESTRUTURAS DE NAMBU LINEARES

  ; ; x ) se necessário, teremos f = Fazendo uma mudança linear nas coordenadas (x p m P

  p+r

  2

  ( ) x =2, para algum r

0. Desta forma, segue de (3.19) que

  i=p i m p+r m

  X X

  X

  i i i

  • = a dx = a dx a dx

  i i i i=p i=p i=p+r+1

  ! !

  p+r p 1 p 1 m

  X X

  X X @f @f

  

j j

i i

  • = + a x j dx a x j dx +

  

i i

  @x @x

  i i i=p j=1 i=p+r+1 j=1

  ! !

  p+r p 1 m p 1

  X X

  X X

  

j j

i i

  • = a x x dx a x dx

  j i j

i i

i=p j=1 i=p+r+1 j=1

  De acordo com o Lema 3.49, demonstrado a seguir, podemos normalizar o segundo termo da soma de forma a obter !

  p+r p 1 s

  X X

  X

  j i p+r+k

  = ( ) y + a + ~ y dy y dy ;

  i j k

i

i=p j=1 k=1

  onde 0 s min (p 1; m p r). Fazendo uma nova troca de coordenadas, colocando P

  p 1 j

  z + i = y i a ~ y j , para i = p; : : : ; p + r e z j = y j caso contrário, obtemos

  j=1 i

  !

  p+r p 1 s

  X X

  X

  j i j p+r+k

  = + ( ) z i dz a ~ dz z k dz

  i i=p j=1 k=1 p+r p+r p 1 s

  X X

  X X

  j i j p+r+k

  = ( ) z dz a ~ z dz z dz + :

  i i k i i=p i=p j=1 k=1

  Observe, no entanto, que as mudanças feitas nas coordenadas (x

  1 ; ; x p 1 ) só envolveram

  estas próprias coordenadas, isto é, a subvariedade N = f(x ; ; x ) : x

  2 Kg per-

  1 p 1 i 1 p 1

  1)-forma dx ^ ^ dx maneceu inalterada por estas mudanças. Logo, a (p é uma forma de volume na subvariedade N, portanto se decompõe nas coordenadas (z

  1 ; ; z p 1 )

  e assim a equação (3.18) se escreve nesse novo sistema de coordenadas como

  1 p 1

  ! = hdz ^ ^ dz ^ ;

  1 n

  para alguma função h 2 C (K ) não nula na vizinhança em questão. Assim

  1 p 1

  ! = hdz ^ ^ dz ^

  1 p 1

  = hdz ^ ^ dz ^ !

  p+r p+r p 1 s

  X X

  X X

  j i j p+r+k

  ^ ( ) z dz + a ~ z dz z dz

  

i i k

i i=p i=p j=1 k=1

  !

  p+r s

  X X

  1 p 1 i p+r+k

  • = hdz ^ ^ dz ^ ( ) z dz z dz :

  i k i=p k=1 CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU P s

  1 p 1 k

  ^ ^dz z dz Somando o resultado à expressão hdz

  • p+r+k que é nula, obtemos k=1 1 p 1

  ! = hdz ^ ^ dz ^ ~; com

  p+r s s

  X X

  X

  i k p+r+k

  ( ) z + ~ = i dz z p+r+k dz z k dz +

  i=p k=1 k=1

  !

  p+r s

  X

2 X z

  j

  • = d ( ) z i z p+r+i ;

  2

  j=p i=1

  onde 0 r q = m p e 1 s min (p 1; m p r). Podemos fazer ainda uma

  1 p 1

  ^ ^ dz última mudança de coordenadas para normalizar a forma hdz (de maneira similar a feita no Corolário 3.29) e então encontramos que ! é do Tipo I.

  b) d 6= 0.

1 Caso d 6= 0, como os coe…cientes de d são constantes, existe uma mudança linear

  1

  

1

  das coordenadas (x ; ; x ) tal que nas novas coordenadas teremos

  p m

  d +

  

1 = dx p ^ dx p+1 + dx p+2r ^ dx p+2r+1

  para algum r

0. No entando, se tivermos r 1, a equação ^ d = 0 nos diz que

  1 m m

  X X

  j i

  ^ d = a dx ^ dx ^ dx + dx ^ dx = 0; +

  

1 p p+1 p+2r p+2r+1

i i=1 j=p

  P m P m

  j j

  em outras palavras, a dx ^dx ^dx = 0; para i = p+2; : : : ; m, a dx ^

  i p p+1 p i p j=p j=p

  P m j dx ^ dx = 0 e a dx ^ dx ^ dx = 0. Ou seja, teríamos que todos

  p+2 p+3 p+1 p+2 p+3 j=p p+1

  os coe…cientes de seriam nulos, o que é um absurdo, por causa de (3.18). Logo temos d = dx ^ dx = a dx + a dx

  1 p p+1 e 1 p 2 p+1 , sendo a 1 e a 2 funções lineares que só dependem

  das coordenadas (x ; ; x ). Então temos

  1 p+1 1 p 1

  ! = dx ^ ^ dx ^

  1 p 1

  = dx ^ ^ dx ^ (a dx + a dx )

  1 p 2 p+1 1 p 1

  = a dx ^ ^ dx ^ dx

  1 p 1 p 1

  • a dx ^ ^ dx ^ dx

  2 p+1 p+1

  X

  1 p+1 i

  = a dx ^ ^ c dx ^ ^ dx

  i i=1

  1 e a 2 funções lineares que só dependem

  = 0 funções lineares para i = 1; : : : ; p 1 e a com a i

  das coordenadas (x 1 ; ; x p+1 ). Logo ! é do Tipo II.

3.5. CLASSIFICAđấO DAS ESTRUTURAS DE NAMBU LINEARES

  n

  Lema 3.49 Seja uma 1-forma diferencial sobre um corpo K tal que, em algum sistema de coordenadas locais (x

  1 ; ; x m ), se escreve como

  ! !

  p+r p 1 m p 1

  X X

  X X

  j i j i

  • x + a x dx a x dx ;

  i j j i i i=p j=1 i=p+r+1 j=1

  para algum r entre 0 e (m p). Então existe uma mudança linear de coordenadas ' : (x ; ; x ) 7! (y ; ; y ) onde temos, nas novas coordenadas,

  1 m 1 m

  !

  p+r p 1 s

  X X

  X

  

j

i p+r+k

  • = ( ) y i a ~ y y + j dy k dy ;

  

i

i=p j=1 k=1 j para 0 s min (p 1; m p r) e alguns coe…cientes ~ a . i

  Demonstração. Primeiramente, observe que a mudança de coordenadas em questão é dada por uma matriz do tipo

  2

  3 M

  6

  7 Id

  4

  5 N 1) (p 1), Id é a matriz identidade (r + 1) (r + 1) e N é onde M é uma matriz (p uma matriz (m p r) (m p r), então basta-nos entender a mudança no segundo termo da soma. Agora, considere o sistema de coordenadas genérico (y ; ; y ), de…nido

  1 m

  1 m

  ; ; x ), tal que na mesma vizinhaça que (x

8 P

  p 1 k

  x = b y ; i = 1; : : : ; p

  1

  i k

  > i

  k=1

  < x = y ; j = p; : : : :p + r

  j j

  > P m

  : l x = c y ; t = p + r + 1; ; m

  t l t l=p+r+1

  Assim temos ! !

  m p 1 m p 1 p 1 m

  X X

  X X

  X X

  j j i k l

  a x dx = a b y d c y

  j k l i i i t i=p+r+1 j=1 i=p+r+1 j=1 k=1 l=p+r+1

  !

  p 1 p 1 m m

  X X

  X X

  j k l

  = a b c y k dy l :

  i i t i=p+r+1 j=1 k=1 l=p+r+1

  Concluímos disto, que para conseguirmos o resultado, devemos encontrar matrizes in-

  T j k l l k

  vertíveis b e c tais que a matriz c a b seja diagonalizável. Mas isto segue

  i t t i i do Teorema 3.54, enunciado no Anexo A.

  Daqui em diante, vamos sempre considerar K como sendo R ou C. Considere um tensor de Nambu linear sobre um espaço linear V e uma forma de vol- ume . Então a forma ! = i é integrável e linear sobre V . Pelo teorema anterior, temos que ! é de um dos dois tipos descritos. Isso signi…ca que o tensor de Nambu também CAPễTULO 3. FOLHEAđỏES SINGULARES E ESTRUTURAS DE NAMBU P p+r P s

  1 p 1

  2

  possui dois tipos. Se ! = dx ^ ^dx ^ com = d ( ) x =2 + x x ,

  i p+r+i j j=p i=1

  então !

  p+r s

  X x

2 X

  

j

1 p 1

  • i = dx ^ ^ dx ^ d ( ) x i x p+r+i

  2

  j=p i=1 p+r s

  X X

  1

  1 p 1

  

2

1 p 1

  = ( ) + dx ^ ^ dx ^ d x dx ^ ^ dx ^ d (x i x p+r+i )

  

j

  2

  j=p i=1 p+r

  X

  1

  1 p 1 j

  = ( ) dx ^ ^ dx ^ 2x dx

  j

  2

  j=p s

  X

  1 p 1 i

  • dx ^ ^ dx ^ x dx + x dx

  p+r+i i p+r+i i=1 p+r s

  X X

  1 p 1 j 1 p 1

  = ( ) x + dx ^ ^ dx ^ dx x dx ^ ^ dx ^ dx :

  j i p+r+i j=p i=1 1 m

  Tomando = dx ^ ^ dx , encontramos

  p+r s

  \ X d

  X @ @ @ @ @ @

  ^ ^ ^ ^ + = ( ) x x ^ ^ ^ ^ :

  j i

  @x @x @x @x @x @x

  p j m p p+r+i m j=p i=1

  P p+1 P p+1 j

  1 p+1 i

  E se temos ! = a dx ^ ^ c dx ^ ^ dx com a = a x , então tomando

  i i j i=1 j=1 i 1 m

  = dx ^ ^ dx , encontramos

  p+1

  X @ @ @

  = ( ) a ^ ^ ^

  i

  @x @x @x

  p+2 m i i=1 p+1

  X @ @ @

  j = ^ ^ ^ ( ) a x . j i

  @x @x @x

  p+2 m i i;j=1

  Com uma mudança de coordenadas, obtemos o seguinte resultado: Teorema 3.50 Todo tensor de Nambu de ordem q 3, ou de ordem q = 2 com posto

  

n

  menor ou igual a 2, sobre o espaço linear K , sendo K um corpo, é de pelo menos um dos dois tipos: r q + 1 e 1 s min (p; q),

I: Sendo 1

  r+1

  X d @ @ @

  ( ) x + = ^ ^ ^ ^

  p+j 1

  @x

  1 @x j @x q+1 j=1 s

  \

  X @ @ @ x q+1+i ^ ^ ^ ^ :

  @x @x @x

  1 r+i+1 q+1 i=1

3.5. CLASSIFICAđấO DAS ESTRUTURAS DE NAMBU LINEARES

  P m

  j j @

  = b x

II: Para j , com b constantes,

  i i i;j=q @x i

  @ @ = ^ ^ ^ :

  @x @x

  1 q 1

  Observe que agora também incluimos na hipótese o caso em que é um tensor de Nambu de ordem q = 2 com posto menor ou igual a dois. Isso porque para fazermos a relação entre forma diferencial é crucial que tenhamos um q-campo decomponível, para que a distribuição gerada pelo núcleo da forma coincida com a distribuição característica dos campos hamiltonianos gerados pelo q- campo . No caso de q = 2, ou seja, no caso de Poisson, pelo Teorema 2.23 ele só será decomponível se, e somente se, seu posto for igual a 2. Neste caso a folheação gerada pela (m 2)-forma ! = i , sendo uma forma de volume, coincide com a folheação simplética descrita na Seção 3:2 e as folhas têm naturalmente uma estrutura simplética associada, pelo Teorema 3.20.

  Voltando ao caso linear, uma observação interessante é a da óbvia dualidade que há entre o Tipo I do Teorema 3.47, com o Tipo II do Teorema 3.50, e vice-versa. Também podemos analisar o formato dos Tipo I e Tipo II do Teorema 3.50 para imaginarmos como seria localmente a folheação gerada por um tensor de Nambu. No Tipo I o tensor de Nambu se escreve como uma combinação de q + 1 elementos do sistema de coordenadas q integrais primeiras, de acordo com o do espaço e a distribuição C possui p = m Teorema 3.47. Isso nos diz que as folhas de dimensão q se enrolam como num repolho (cabagge pile). Já no Tipo II temos uma distribuição linear, um produto cartesiano de q componentes, fazendo a folheação parecer um livro (a book).

  A classi…cação da folheação de um tensor de Nabu pode ser muito complicada e de- pende de alguns outros fatores, como o grau do tensor, seu posto e a linearidade ou não dele. Como já dissemos, o caso em que o tensor de Nambu tem grau 2 é muito singular e bem diferente dos outros casos. Para os caso em que q = 3 ou q = 2 em que o q-tensor tem posto menor ou igual a 2, a relação entre as distribuições geradas pelo tensor e pela forma dada pela contração do tensor com uma forma de volume é importante e nos fornece uma nova perspectiva e uma outra forma de estudar tais folheações, como no caso das folheações Nambu-Lineares.

  Anexo A

  Este anexo é destinado a apresentação de alguns importantes resultados que utilizamos durante o texto, mas que, apesar de serem de grande relevância, são assuntos demasiada- mente fora do contexto desta dissertação, por isso não apresentaremos suas demonstrações de alguns. O Lema de Poincaré foi utilizado durante as provas dos Teoremas 3.47 e 3.46.

  Lema 3.51 (Poincaré) Qualquer k-forma fechada, k > 0, sobre uma variedade suave contrátil é exata. Demonstração. Ver [2], Teorema 7:4:18.

  Os seguintes resultados foram utilizados na demonstração do Teorema 3.46. Proposição 3.52 Toda forma exterior não nula de grau (n 1) sobre um espaço E de dmensão n é decomponível.

  Demonstração. Ver Proposição 7:15 da Parte I de [10].

  Antes de vermos a próxima proposição vamos fazer algumas considerações. O item 3: da Proposição 3.39 nos garante que se ! é integrável e, para d! 6= 0, concluímos que d! é também decomponível, já que i

  X ! ^ d! = 0 ) ! i ^ d! = 0 (3.22)

  I

  1 p como na proposição citada. Assim, como

  ^ ^ ! para todo i = 1; : : : ; p tal que ! = !

  d! é uma (p + 1)-forma, existe 1-forma tal que d! = ^ ! ^ ^ ! p . Neste caso temos

  1

  que d! é também uma forma integrável. E então Nuc (d!) tem dimensão (n p + 1) N uc (!), em outras palavras, e é integrável. Ainda, por (3.22), segue que Nuc (d!)

  ? ?

  N uc (!) N uc (d!) . Vamos, então, reescrever a Proposição 3:2 da Parte VI de [10] para a linguagem utilizada nesta dissertação.

  m

  Proposição 3.53 Seja ! é uma p-forma integrável sobre uma variedade M . Para todo

  m

  ponto x de M existe um sistema (x ; ; x ) de coordenadas locais sobre uma vizinhança

  1 m

  aberta U de x tal que a expressão local de ! seja

  p+1

  X

  1 p+1 i

  a (x

  1 ; ; x p+1 ) dx ^ ^ c dx ^ ^ dx : i=1

  ANEXO A Demonstração. Primeiramente observe que N uc (d!) tem dimensão (m p + 1) e é integrável. Então, para todo ponto x de M

  m

  6

  6

  6

  6

  6

  6

  6

  2

  P AQ =

  . Logo a é função apenas das (p + 1) primeiras coordenadas e segue o resultado. O próximo teorema foi necessário para concluirmos o Lema 3.49 para o Teorema 3.47. Teorema 3.54 Seja A uma matriz n m sobre um ideal principal R; então existem matrizes invertíveis P e Q sobre R, de ordens n e m respectivamente, tais que

  ; ; x

  6

  p+2

  = 0 para j > p + 1. Ou seja, a não depende das variáveis x

  ) @x j

  @a(x 1 ; ;x m

  , temos que

  p+1

  ; ; dx

  1

  : Mas como d! é gerado pelas 1-formas dx

  p+1

  6

  6

  i

  7

  = = d

  1

  Note que no Lema 3.49 a matriz assume seus valores em K. Podemos, então, tomar d

  para todo i = 1; : : : ; r 1. Demonstração. Ver Teorema 4, Seção 10:5, de [5].

  i+1

  jd

  i

  5 e d

  7

  7

  7

  4 d

  7

  7

  7

  7

  7

  7

  3

  ... ... ...

  r ...

  d

  1 ... 0 ...

  ^ ^ dx

  ^ ^ c dx

  m

  1

  i=1

  X

  p+1

  , segue que, sobre U ! =

  ?

  N uc (d!)

  ?

  . Como Nuc (!)

  p+1

  ; ; dx

  é gerado pelas 1-formas dx

  1

  ?

  . Ou ainda, que N uc (d!)

  @ @x m

  ; ;

  @ @x p+2

  ) sobre uma vizin- hança U de x tal que Nuc (d!) é gerado pelos campos

  m

  ; ; x

  1

  , o Teorema de Frobenius (Teorema 3.17) garante a existência de um sistema de coordenadas locais (x

  a (x

  ; ; x

  1

  X

  ) ^ dx

  

j

  dx

  j

  ) @x

  m

  ; ; x

  1

  @a(x

  j=1

  m

  m

  (

  i=1

  X

  p+1

  e d! =

  p+1

  ^ ^ dx

  i

  ^ ^ c dx

  1

  ) dx

  r = 1, que é o caso desejado naquele lema.

  Conclusão

  Há uma grande diferença entre as estruturas de Nambu de grau 2, o caso de Poisson, e grau maior ou igual a 3, segundo os Teoremas de decomposição local de Weistein (Teorema 2.23) e de Nambu (Teorema 3.24). Localmente uma estrutura de Nambu de ordem maior ou igual a 3 é decomponível, enquanto que no caso de Poisson temos decomponibilidade apenas quando o posto da estrutura é 2. Essa diferença é essencial quando vamos tratar das folheações geradas pelo tensor.

  A decomponibilidade do tensor de Nambu nos permite estudar a distribuição carac- trística C como a distribuição formada pelo núcleo da forma diferencial ! = i , onde é uma dada forma de volume. Essa interpretação é extremamente útil, já que alguns re- sultados sobre as folheações geradas por p-formas diferenciais já são bastante conhecidas, embora ainda não totalmente exploradas. Um exemplo foi no caso linear, onde utilizamos o teorema de classi…cação de p-formas (Teorema 3.47) para classi…carmos os tensores de Nambu de ordem maior igual a 3 ou ordem 2 com posto 2. Neste caso, a folheação é localmente divida em dois tipos, o tipo livro (book) e o tipo repolho (cabagge pile), como expomos ao …nal do último capítulo.

  O caso de Poisson, embora em geral não possamos fazer uma conexão com formas diferenciais de maneira análoga aos outros casos, não é menos interessante. As folheações geradas pela distribuição característica possuem uma estrutura simplética natural, o que nos permite a utilização da geometria simplética no estudo das folhas. Além disso a imersão da folha na variedade total é um mor…smo de Poisson, que é uma ferramenta muito útil no estudo da geomtria de Poisson, embora não tenhamos discutido o assunto em toda sua profundidade. De qualquer forma, as folheações geradas pelas distribuições características dos tensores de Nambu são bem de…nidas. E, reciprocamente, vimos que praticamente qualquer folheação singular de dimensão constante pode ser gerada por um tensor de Nambu (Proposição 3.33), o que só nos mostra o quanto o estudo da geometria de Nambu é importante.

  CONCLUSÃO Referências Bibliográ…cas

  [1] R. Abraham and J.E. Marsden, Foundations of Mechanics. Addison-Wesley Publish- ing Company, Inc. 1980. [2] R. Abraham, J.E. Marsden and T. Ratiu, Manifolds, Tensor Analysis, and Applica- tions. Springer-Verlag, New York. 2002. [3] H. Brézis, Análisis Funcional, Teoría y Aplicaciones. Alianza Editorial, Madrid. 1984. [4] L.M. Câmara, Uma Breve Introdução à Topologia das Variedades, preprint. [5] P.M. Cohn, Algebra, Volume 1. John Wiley & Sons Ltd., Belfast. 1982. [6] Coletânia: Geometry and Topology. III Latin American School of Mathematics. Edi- tado por J. Palis e M.P. Carmo. Springer-Verlag, New York. 1977. [7] C.I. Doering & A.O. Lopes, Equações Diferenciais Ordinárias. IMPA, Rio de Janeiro.

  2005. [8] J.-P. Dufour and N.T. Zung, Poisson Structures and their Normal Forms. Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin. 2005.

  [9] T. Frankel, The Geometry of Physics, An Introduction. Cambridge University Press, Cambridge. 1997. [10] C. Godbilon, Géométrie Di¤érentielle et Mécanique Analytique. Hermann, Paris.

  1969. [11] K.E. Gustafson, Introduction to Di¤erential Equations and Hilbert Space Methods.

  Dover Publication, Mineola, New York. 1999. [12] J. M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. Springer; 1 edition, 2002. [13] A.S. de Medeiros, Singular Foliations and Di¤erential p-forms. Annales de la faculté des sciences de Toulouse 6

  a série, tome 9, n 3, 451-466. 2000.

  [14] Y. Nambu, Generalized Hamiltonian Dynamics. Phys. Rev. D7, 2405p-2412. 1973.

  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [15] L. Takhtajan, On Foundations of the Generalized Nambu Mechanics. Commun. Math Phys 160, 295-315. 1994.

  [16] A. Weinstein, The Local Structures of Poisson Manifolds. J. Di¤erential Geom. 18, no.3, 523-557. 1983.

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