Conexões afins e a teoria de Cartan-Einstein

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Roberta Meschese Xavier

Conexões aĄns e a teoria de Cartan-Einstein

  

Vitória - Espírito Santo, Brasil

Julho de 2016

  Roberta Meschese Xavier Conexões aĄns e a teoria de Cartan-Einstein

  Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática da Univer- sidade Federal do Espírito Santo PPG- MAT/UFES, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestra em Matemá- tica. Orientador: Prof. Leonardo Meireles Câmara.

  Universidade Federal do Espírito Santo Ű UFES Departamento de Matemática

  Programa de Pós-Graduação em Matemática

  Orientador: Leonardo Meireles Câmara Vitória - Espírito Santo, Brasil Julho de 2016

  

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)

(Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)

Xavier, Roberta Meschese, 1979- X3c Conexões afins e a teoria de Cartan-Einstein / Roberta Meschese Xavier. – 2016.

  79 f. Orientador: Leonardo Meireles Câmara. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal do Espírito Santo, Centro de Ciências Exatas.

1. Cartan, Elie, 1869-1951. 2. Mecânica. 3. Relatividade. 4.

  Gravitação. 5. Conexões (Matemática). 6. Geometria. 7. Espaço e tempo. I. Câmara, Leonardo Meireles. II. Universidade Federal

do Espírito Santo. Centro de Ciências Exatas. III. Título.

  CDU: 51

  Ao meu marido, à nossa Ąlha e ao nosso Ąlho que está sendo gerado no coração.

  

Agradecimentos

  Agradeço e dedico este trabalho ao meu marido, companheiro e amigo Junior. Sem seu apoio, compreensão e afeto eu não teria percorrido nem o início deste caminho. Agradeço a minha Ąlha, meu tesouro, pela paciência em suportar minhas ausências e pelo seu amor. Agradeço a todos que me ajudaram nos cuidados com minha Ąlha nos momentos em que não pude estar presente, desde a graduação. Agradeço a minha mãe Katia, meus irmãos Luna, Riwa e Lucas, meu padrasto San- doval e minha tia Suzana por me estenderem as mãos todas as vezes que precisei. Agradeço a Franciane que começou essa jornada comigo como parceira de estudos e hoje, de tão amiga, se tornou minha irmã e comadre. Agradeço aos amigos Filipe, Alexandre, Emanuela, Weverthon e Solon por toda ajuda, amizade e conselhos. Agradeço ao meu orientador, Professor Leonardo, pela conĄança e generosidade. Agradeço a todos professores que tive, na Estácio de Sá, no IFRJ, no IFES e na UFES. A contribuição de cada um foi fundamental para minha formação.

  Agradeço ao PPGMAT pela excelente formação. Agradeço a CAPES pelo apoio Ąnanceiro.

  "Opte por aquilo que faz o seu coração vibrar, apesar de todas as consequências."

Osho.

  

Resumo

  A Teoria de Cartan-Einstein da gravitação é uma modiĄcação da Teoria Geral da Re- latividade. Enquanto a teoria de Einstein foi desenvolvida segundo a hipótese de que o espaço-tempo da relatividade possui torção nula, Cartan permite a existência de torção e a relaciona ao momento angular da matéria anos antes da descoberta do spin do elétron. Os artigos de Cartan, em especial, Sur les variétés à connexion affine et la théorie de

  

la relativité généralisée, que é base deste trabalho, contém novas ideias matemáticas im-

  portantes que inĆuenciaram o desenvolvimento de geometria diferencial e, em particular, conduziu à teoria geral de conexões aĄns. Essencialmente, estes são objetos geométricos sobre uma variedade diferenciável que conectam espaços tangentes próximos. Nesta dis- sertação estudaremos a invariância das leis das mecânicas clássica e relativística em meios contínuos e a geometria do espaço-tempo, a partir do ponto de vista das conexões aĄns.

  Palavras-chaves

  : Mecânica clássica, relatividade, gravitação, conexões aĄns, geometria do espaço-tempo.

  

Abstract

  The Cartan-Einstein theory of gravitation is a modiĄed version of the General Theory of Relativity. While EinsteinŠs theory was developed according to the hypothesis that the relativity of space-time has zero torsion, Cartan allows torsion and relate it to the angular momentum of the matter several years before the discovery of the spin of the electron. CartanŠs articles, in particular Sur les variétés the affine connexion et la théorie de la

  

Généralisée relativité, which is the basis of this work, contains important new mathemati-

  cal ideas that have inĆuenced the development of differential geometry and, in particular, led to the general theory of affine connections. Essentially these are geometrical objects on a differentiable manifolds that connect nearby tangent spaces. In this dissertation we study the invariance of the laws of classical and relativistic mechanics in continuous media and the geometry of space-time from the standpoint of affine connections.

  Key-words

  : Classical mechanics, relativity, gravitation, affine connections, geometry of space-time.

  

Sumário

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

  

. . . . . . 42

  

  . . . . . . 44

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  

. . . . . . . . . . 48

  

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

  

  . . . . . . . . . . . . . . . 53

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

  . . . . . . . 38

  . . . . . . . 37

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  . . . . . . . . . . . . . . 25

  

  

  . . . . . . . . . . 27

  

  . 28

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  

  . . . . . . . . . . . . . 35

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  . . . . . . . . . . . 62

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  . . . . . 66

7 ELETROMAGNETISMO E A CONEXÃO AFIM DO ESPAÇO-TEMPO 71

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

  

  . . 73

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

   . . . . . . . . 74

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1 Introdução

  Este trabalho trata da abordagem da física relativística do ponto de vista da geome- tria diferencial através do conceito de conexão, introduzido por Élie Cartan. Ele se baseia, eminantemente, nos artigos de Cartan intitulados Sur les variétés à connexion affine et la

  

théorie de la relativité généralisée (1922 e 1923), mais tarde recompilados no livro

  Nestes artigos, Cartan introduz as bases da geometria diferencial moderna e desenvolve conceitos introduzidos por H. Weyl, a saber, variedades diferenciáveis, espaços Ąbrados (vetoriais e de referenciais), formas assumindo valores em Ąbrados vetoriais e seus produtos tensoriais e exteriores.

  Toda idéia é concebida a partir do conceito de referencial móvel, sendo fortemente inĆuenciado pelo conceito de referenciais inerciais ou galileanos. Na prática, a nova geo- metria surge a partir da necessidade de uma nova maneira de retratar a variação inĄni- tesimal destes referenciais móveis e mesmo da posição do ponto base destes referenciais. Em linguagem moderna

  ∏︁ ′

  

Ü Ü Û

⋁︁ ⨄︁

  =

  

Û

,

  ′

  ⋁︁ Ü ⋃︁

  = Ü

  

Û Û

Û

  4 onde é um espaço-tempo 4-dimensional e = ( ) : ⊗⊃ (R ). Na linguagem de

  Ü

  Cartan, que manteremos nesta dissertação, tal variação se dá pela expressão:

  ∏︁

  1

  2

  3

  ⋁︁ ⨄︁

  = æ + æ 1 + æ 2 + æ

  3

  ⋁︁

  1

  2

  3

  ⋃︁

  = æ + æ + æ + æ

  1

  2

  3 .

  Note-se que, por tratar-se de uma relação de equivalência, as distintas escolhas das relações entre equivalências de referenciais levam, a princípio, a diferentes escolhas de grupos de transformações que levam bases equivalentes em bases equivalentes. Obtemos, assim, subgrupos (ou matrizes) do grupo de matrizes inversíveis ( (R )). A matriz de conexão (æ ) pertence, então, à algebra de Lie deste grupo.

  A ideia fundamental de Cartan é seguir o princípio da relatividade de Poincaré que nos diz que as leis físicas que regem um dado sistema físico são as mesmas em re- ferenciais equivalentes. Em outras palavras, as equações de um dado sistema físico são as mesmas, independentemente do referencial, desde que ele pertença ao sistema de re- ferenciais equivalentes. Isso nos leva a uma série de obstruções às possíveis conexões em formato de equações diferenciais Neste trabalho, iremos nos referir às conexões que atendem a estas obstruções como conexões adaptadas ao sistema físico.

  Para chegar à unicidade da conexão, Cartan revisita a mecânica newtoniana no espaço-

  Capítulo 1. Introdução

  página 90; (ou quantidade de movimento-energia).

  A exigência do anulamento da torção leva à conexão única dada por

  1

  2

  3

  

æ = , æ = , æ = , æ =

  1

  2

  3

æ = ⊗ , æ = ⊗ , æ = ⊗ , æ = 0.

  Cartan caracteriza, então, o sistema físico, em Newton, através de três propriedades desta conexão Ω = Ω = Ω = 0 (I)

  23

  31

  12

  1

  2

  3

  æ

  1 ∧ Ω + æ 2 ∧ Ω + æ 3 ∧ Ω = 0 (II)

  2

  3

  1

  3

  1

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  

ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω = 4Þ ææææ (III)

  Em analogia ao caso newtoniano e ainda considerando a torção nula, Cartan sugere adaptações para o caso eisnteniano, chegando às equações

  1

  2

  3

  

æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω = 0 (IŠ)

  1

  2

  3

  

ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω

  2

  3

  01

  3

  1

  02

  1

  2

  03

  1

  23

  2

  31

  3

  12 ⊗ 4Þ

  1

  2

  3 = ææææ (IIŠ)

  2

  1

  2

  3

  

· Π + · Π + · Π + · Π

  1

  2

  3

  2

  ∑︀

  = ⊗ (æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω ) (IIIŠ)

   , , ,

  8Þ onde a última equação contém informações sobre a geometria do espaço-tempo da gravi- tação de Einstein: a curvatura vetorial de um elemento 3-dimensional neste espaço-tempo. Ou seja, o momento-massa é a manifestação física de um vetor com origem geométrica.

  Ao Ąnal do artigo, Cartan esboça um programa da uniĄcação entre gravidade e ele- tromagnetismo, ao deĄnir o tensor momento massa da forma

  G = m + Π ∧ Π ,

   + onde Π = e a torção não é necessariamente nula.

2 Preliminares

  Como a geometrização dos espaços-tempo newtoniano e einsteniano é um dos objeti- vos deste trabalho, precisaremos fazer um resumo de deĄnições e resultados no âmbito da topologia. Para este capítulo seguimos como referências

2.1 Variedades diferenciáveis

  A concepção de uma variedade diferenciável, de dimensão n, nada mais é que uma colagem de espaços euclideanos n-dimensionais. Um espaço-tempo, como veremos a frente, consiste em uma variedade diferenciável. Passemos à formalização deste conceito.

  Definição 2.1. Seja M um conjunto, então diremos que o par ¶( ,

  )♢ é uma carta

  

local de M se é uma bijeçãoo entre U e um aberto de R . Diremos que uma coleção de

cartas locais de M, digamos = ¶( , ) : , onde I é um certo conjunto de índices,

é um atlas diferenciável (respect. de classe ) para M, se:

  ⎷ (i) = ¶ / ii) ( ) é um aberto, para todos i, j tais que = ∅; ̸ (iii)As aplicações de transição

  ⊗

  1 ∩

  := j ( i j ) : ( ) ⊗⊃ ( )

  são difeomorĄsmo de classe Quando = ∞, diremos que é um atlas suave.

  

Definição 2.2. Seja S um conjunto. Uma relação de equivalência em S é uma relação

binária tal que para todo , , , (i) ,

  (ii) se e, somente se, , e (iii) e implica .

  Capítulo 2. Preliminares A classe de equivalência de u, denotada por [u], é deĄnida por

  [ ] = ¶ / Definição 2.3.

  Sendo = ¶( , ) : e = ¶( , ) : dois atlas distin-

tos para M, então eles serão ditos compatíveis quando a sua união for ainda um atlas

  ⊗

  1

  

diferenciável, i.e, será um difeomorĄsmo para todo e todo . A compati-

bilidade entre atlas deĄne uma relação de equivalência entre atlas de uma dada variedade,

diremos que a classe de equivalência de um atlas é a estrutura diferenciável gerada

por , que será denotada por . A união de todos os atlas compatíveis com :

  ⎷

  := ¶ / ∈ ♢

  

será chamado de atlas maximal de . Cada carta local ¶( , )♢ ∈ será chamada

de uma carta local admissível. O par ( , ), onde M é um conjunto e é uma

estrutura diferenciável, será chamado de variedade diferenciável.

  

Exemplo 2.1. O espaço R é uma variedade, tendo como atlas a aplicação identidade.

Exemplo 2.2. O espaço ( , R) de matrizes reais × é uma variedade com atlas dado

2 pela aplicação ã : ( , R) ⊗⊃ R com a regra

  ∏︀ ⎞

  ≤ ≤ ≤

  11

  1

  ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ↦⊗⊃ (

  ∐︁ ̂︀

  11 , ≤ ≤ ≤ , 1, , 1 , ≤ ≤ ≤ , , 1 , ≤ ≤ ≤ , , ) ... ... ...

  ≤ ≤ ≤

  1 2 Teremos, então uma bijeção de ( , R) com R , de onde vem a estrutura de variedade.

2.2 Fibrados Vetoriais

  Um Ąbrado vetorial, grosso modo, é uma variedade com um espaço vetorial anexo a cada ponto. Um tipo de Ąbrado vetorial de suma importância neste trabalho é o Ąbrado tangente.

  Definição 2.4.

  Sejam E e F espaços vetoriais reais de dimensão Ąnita e U um aberto

de E. O produto cartesiano × será chamado de um fibrado vetorial local. U será

chamado espaço base e pode ser identiĄcado com × ¶0♢, a seção nula. Para ,

  ¶ ♢ × será chamada fibra sobre u que pode ser dotada com a estrutura de espaço

  

vetorial de F. A aplicação Þ : × ⊗⊃ dada por Þ( , ) = é chamada de projeção

  2.3. Álgebra de Grassman

  1 Definição 2.5. Seja M uma variedade e . Uma curva em m é uma aplicação

  

da forma : ⊗⊃ , onde é um intervalo aberto, e c(0)=m. Se e

  1

  2

  

são curvas em m e ( , ) uma carta admissível com . Então dizemos que , são

  1

  2

  tangentes em m em relação à se, e somente se,

  ′ ′ ( ) (0) = ( ) (0)

  1

2 Proposição 2.1.

  O conceito de tangência entre curvas não depende da carta local ad- missível escolhida.

  Lema 2.1.

  A noção de tangência entre curvas deĄne uma relação de equivalência.

  Definição 2.6.

  Seja I um intervalo aberto da reta. A classe de equivalência das curvas

tangentes à curva : ⊗⊃ em p = c(0) será denotada por [ ] . O conjunto de tais

classes de equivalência será denotado por . O conjunto

  ⎷

  =

  será chamado de espaço tangente e a aplicação á : ⊗⊃ , dada por [ ] ↦⊗⊃ , será chamada de projeção canônica do espaço tangente.

  

Definição 2.7. Seja Þ : ⊗⊃ um Ąbrado vetorial. Uma seção de Þ é uma

aplicação Ý : ⊗⊃ de classe tal que para cada Þ(Ý( )) = . Denotaremos por

  Γ (Þ) ao conjunto de todas as seções de Þ. DeĄnimos um referencial móvel para E

  1

  

como um conjunto de seções locais sobre B que forma uma base para = Þ ( ), para

todo .

  2.3 Álgebra de Grassman

2.3.1 Tensores

  

Definição 2.8. Seja K um corpo e E um K-espaço vetorial. Então o conjunto dos funci-

onais lineares ( ; K) será chamado de espaço dual de E e será denotado por E*

  • Proposição 2.2.

  Se Ñ = ¶ , .., é uma base do K-espaço vetorial E e Ñ = ¶ , ..,

  1

  1

  • elementos de E* tais que ( ) = Ó , onde Ó = 1 se i=j e Ó = 0 se ̸= , então Ñ

  é uma base de E*, chamada base dual de Ñ.

  Definição 2.9.

  Dados os espaços vetoriais E,F, uma aplicação : × ... × ⊗⊃ ,

deĄnida no produto cartesiano de r fatores iguais a E, diz-se r-linear quando seus valo-

  Capítulo 2. Preliminares devemos ter

  • ( , .... , ..., ) = ( , ..., , ..., ) + ( , ..., , ..., )

  1

  1

  1 ( , ..., Ú , ..., ) = Ú ( , ..., , ..., )

  1

  1 O conjunto das aplicações r-lineares, deĄnidas acima, será denotado por ( ; ).

  Definição 2.10.

  Dado um espaço vetorial E, deĄnimos o conjunto

  • * *

  ( ) = ( , ... , , ..., ; ) (r copias de E* e s copias de E).

  cujos elementos são chamados tensores contravariantes de ordem r e covariantes 1 1 2 2

  • +

  de ordem s ou, simplesmente, do tipo (r,s). Dados 1 2 1 1 ∈ e 2 2 ∈ , o produto

  • + +

  tensorial de por é o tensor · deĄnido por

  1

  2

  1

  2 · (Ð , ..., Ð 1 , Ñ , ..., Ñ 2 , , ..., 1 , , ..., 2 ) = (Ð , ..., Ð 1 , , ..., 1 ) (Ñ , ..., Ñ 2 , , ..., 2 )

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  1

  • onde Ð , Ñ e , , para todo i.

   ,

  := ¶( 1 , ..., ) ∈ Z / 1 ⊘ 1 , ...,

  • Proposição 2.3.

  Se = , então ( ) possui a estrutura de um espaço vetorial

  • de dimensão . Se , ..., é uma base ordenada de E e , ..., sua base dual

  1

  1

  então 1 · ... · r · 1 · ... · : , = 1, ..., é uma base para ( ).

  Definição 2.11. Seja M uma variedade e á : ⊗⊃ seu Ąbrado tangente. Chama- temos ( ) = ( ) o fibrado vetorial de tensores contravariantes de ordem r e covariantes de ordem s, ou do tipo (r,s). ( ) também é chamado de Ąbrado cotangente

  1

  de M e é denotado por á : ⊗⊃ .

  ∞

  Definição 2.12. Um campo tensorial do tipo (r,s) em uma variedade é uma seção

  ∞

  de ( ). Denotaremos por ( ) o conjunto Γ ( ( )). Um campo vetorial em M

  1

  é um elemento de ( ) = X( ). Um campo covetorial, ou 1-forma diferencial

  • é um elemento de ( ) = X ( )

  1 Definição 2.13. Seja E um espaço vetorial real de dimensão Ąnita. DeĄnimos Λ ( ) :=

  1

  • R

  , Λ ( ) := e Λ ( ) o espaço das aplicações Õ tais que Õ( , ..., ) = ( Þ)Õ( Þ , ..., Þ ),

  1 (1) ( )

  onde Þ é uma permutação em . O sinal de Þ será igual a 1 se a permutação for par e -1 se a permutação for ímpar. Chamaremos os elementos de Λ de k-formas em E.

  Definição 2.14.

  

O operador alternância : ( ) ⊗⊃ ( ) é deĄnido por

  2.3. Álgebra de Grassman

  1 ∑︀

  Þ Þ Õ ( 1 , ..., ) = (⊗1) Õ ( Þ , ..., Þ ), onde (⊗1) = ( Þ).

  (1) ( )

  Þ

  ! k

  A soma é sobre todos os k! elementos de Proposição 2.4.

  Se Õ ( ) então (Õ) ∈ Λ ( ).

  Definição 2.15. Se Õ

  ( ) e Ý ( ), então a (p+q)-forma ( + )!

  Õ Ý := (Õ · Ý)

  ! ! será chamada de produto exterior entre Õ e Ý.

  1 Exemplo 2.3. Se Ð, Ñ ∈ Λ ( ), então ÐÑ = зÑÑ·Ð. Em particular, ÐÑ = ⊗ÑÐ

  e Ð Ð = 0 Proposição 2.5. Para Ð ( ), Ñ ( ) e Õ ( ), temos:

  (i) é bilinear; (ii) Ð Ñ = (⊗1) Ñ Ð; (iii) Ð ∧ (Ñ Õ) = (Ð Ñ) ∧ Õ.

  Definição 2.16.

  A soma direta dos espaços Λ ( ) (k=0,1,2...) com sua estrutura de

espaço vetorial real e multiplicação induzida por é chamada álgebra de Grassmann

ou álgebra exterior.

  

Observação 2.1. A deĄnição de produto exterior também pode ser extendida a vetores

ou campos de vetores. O produto exterior de dois vetores pode ser interpretada geomé-

tricamente, no caso bidimensional, por exemplo, como segmentos de planos orientados.

  

O produto exterior de vetores gozará das propriedades de bilinearidade, antissimetria e

distributividade em relação à soma. Uma discussão mais profunda pode ser encontrada

em Definição 2.17.

  Seja n=dim E. Então para > , Λ ( ) = ¶0♢. No entanto, se (︁ )︁

  0 < , Λ ( ) possui dimensão igual à . A álgebra exterior sobre E possui di-

  mensão igual a 2 . Se , ..., é uma base de E e Ð , ..., Ðé sua base dual,

  1

  1 ¶Ð 1 ∧ ... Ð : 1 ⊘ 1 < ... < é uma base de Λ ( )

  k Definição 2.18.

  Para todo r, a aplicação linear : ⊗⊃ determina uma nova apli-

  • cação linear : Λ ( ) ⊗⊃ Λ ( ), deĄnida por

  Capítulo 2. Preliminares

  • 1

  ( æ )( , ..., ) = æ( ( ), ..., ( )),

  1

  • para quaisquer æ ∈ Λ ( ) e , ..., . A r-forma linear æ chama-se o pull-back

  1 de æ para o espaço E relativo a T.

  

Teorema 2.1. Seja M uma variedade. Então existe uma única família de aplicações

  • 1

  ( ) : Λ ( ) ⊗⊃ Λ ( ) (k=0, 1,...,n e U é um abreto de M), que denotaremos sim-

  plesmente por d, chamada a derivada exterior em M, tal que: (i)Para Ð ∈ Λ ( ) e Ñ ∈ Λ ( ), d (Ð + Ñ) = dÐ + dÑ e d (Ð Ñ) = dÐ Ñ + (⊗1) Ð dÑ;

  ∞

  (ii) Se é uma função real, então df=df, ou seja, a derivada exterior coincide com a derivada usual.

  (iii)d d = 0

Definição 2.19. Seja ∈ X um campo de vetores numa variedade M. Então a aplicação

  

  1

  i : Λ ( ) ⊗⊃ Λ ( ) dada por ∏︁ ⋁︁ ⨄︁

  æ ( , , ..., ), se > 0,

  2

  i æ ( , ..., ) =

  2

  ⋁︁ ⋃︁

  0, se = 0.

  será chamada produto interior de æ por X.

  

Proposição 2.6. Seja X um campo de vetores em M, æ ∈ Λ ( ) e Ö ∈ Λ ( ). Então

i (æ Ö) = (i æ ) ∧ Ö + (⊗1) æ ∧ (i Ö ) Definição 2.20.

  Chamamos æ ∈ Λ ( ) de forma fechada se dæ = 0 e forma exata

  1

  se existe Ð ∈ Λ ( ) tal que æ = dÐ Lema 2.2. (Lema de Poincaré)

  (i) Toda forma exata é fechada; (ii)Se æ é fechada então para cada , existe uma vizinhança U de m para a qual æé exata.

  3 Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâ- mica dos meios contínuos

3.1 Princípio da inércia e gravidade newtoniana

  No desenvolvimento de teorias físicas, a escolha de um referencial é fundamental para que se possa realizar medições e análises. Porém, as conclusões chegadas a partir das análises em um dado referencial devem independer de sua escolha.

  A lei da inércia de Galileu-Newton diz o seguinte

  Na mecânica, um corpo suĄcientemente afastado de outros corpos permanece em es- tado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme.

  Chamaremos um sistema de coordenadas na qual se veriĄca a lei acima, de referencial

  galileano

  . É imediato que se for um sistema de coordenadas galileano, então qualquer outro sistema de coordenadas T que executa, em relação a , um movimento de translação uniforme também será um sistema de coordenadas galileano. Assim, em relação a T, as leis da mecânica serão tão válidas quanto em relação a . Chamaremos e T, com essas condições, de referenciais equivalentes.

  Durante muito tempo todos estavam convencidos que os fenômenos da natureza po- diam ser representados com o auxílio da mecânica clássica. Mas, com o desenvolvimento da eletrodinâmica e da óptica, foi se tornando cada vez mais claro que a mecânica clássica era uma base insuĄciente para a descrição de todos os fenômenos físicos. Nesse sentido, Poincaré dá um passo em direção à generalização da lei da inércia de Galileu-Newton, enunciando o princípio da inércia da seguinte forma

  As equações que determinam as leis físicas devem permanecer invariantes quando de-

terminadas em referenciais Ąxos ou em referenciais que realizam movimentos de translação

uniforme.

  Referenciais cuja lei da inércia de Poincaré são válidas, são chamados de referenciais

  inerciais

  . A segunda lei da inércia apresentada acima, incorpora a primeira, mas também introduz a possibilidade de considerarmos referenciais acelerados. Pois se, por exemplo, considerarmos um corpo em queda livre e um refencial cuja origem é dada por esse corpo, o movimento do corpo em relação a este refencial será uniforme.

  Vamos buscar uma modiĄcação na nossa deĄnição de referenciais equivalentes, para

  Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos gravitacional.

  Vamos considerar um ponto de massa se movendo e, anexo a ele, em cada instante de tempo, um referencial inercial que tem este ponto como sua origem. Se este ponto de massa não está sujeito a interações com outros corpos, podemos estabelecer o princípio da inércia da seguinte maneira:

  Se um segundo referencial inercial equivalente é anexo a este ponto de massa em movi-

mento, então, em cada instante de tempo, a velocidade do ponto de massa, no referencial

galileano correspondente a este instante de tempo, é constante.

  Daqui em diante, toda vez que nos referimos ao princípio da inércia, estaremos nos referindo ao princípio acima. Ele nos propiciará, mais a frente, utilizar o conceito de referenciais móveis, desenvolvida por Cartan.

  Estaremos considerando, por enquanto, a noção de tempo absoluto. Fixe um referencial galileano num ponto de massa em movimento, denote por sua tríade de coordenadas espaciais e introduza um campo de aceleração, análogo ao campo gravitacional,digamos (X,Y,Z). Então se a velocidade de um ponto de massa em relação à no tempo t for (u,v,w), tem-se que no tempo t+dt, a velocidade será igual à (u + Xdt, v+ Ydt, w + Zdt).

  Agora, vamos anexar ao ponto de massa, nos tempos t e t + dt, as tríade 1 e 2 , respectivamente, que são equivalentes a segundo princípio da inércia. Estas tríade deĄnirão referenciais galileanos se eles estiverem num movimento retilínio uniforme em relação a .

  Sejam (a,b,c) e (aŠ,bŠ,cŠ) as velocidades de translação de 1 e 2 , respectivamente, em relação a . Teremos, que a velocidade do ponto de massa relativa ao referencial galileano anexado a ele no tempo t será igual a

  (u - a, v - b, w - c) Analogamente, temos que a velocidade do ponto de massa no referencial galileano anexado no tempo t + dt será (u + Xdt - aŠ, v + Ydt + bŠ, w + Zdt - c). Além disso temos que velocidade de em relação a é igual a

  2

  1 (aŠ - a, bŠ - b, cŠ - c).

  Assim, para que a noção de equivalência acima seja válido, precisamos que (u - a,v - b,w - c)=(u + Xdt - aŠ, v + Ydt + bŠ, w + Zdt - c),

  3.2. Relações entre espaço-tempo, geometria e matéria

  ou seja, (aŠ - a, bŠ - b , cŠ - c)=(Xdt, Ydt, Zdt).

  Concluimos que, a deĄnição de referenciais equivalentes dada anteriormente pode ser dada da seguinte maneira: dois referenciais serão chamados equivalentes se eles movem-se

  entre si, com velocidade dada pelas coordenadas do campos de forças.

  3.2 Relações entre espaço-tempo, geometria e matéria

  Se admitirmos que as condições determinando a equivalência de 2 referenciais iner- ciais, com origens inĄnitamente próximos, deĄnem propriedades físicas e geométricas do espaço-tempo, então os fenômenos gravitacionais podem ser deslocados do domínio da física para o domínio da geometria. Essa hipótese é bastante admissível, uma vez que as relações

  ⊗ = 0, ⊗ = 0, ⊗ = 0, = ⊗4Þ + + produzem uma formulação completa das leis de gravitação newtoniana.

  A primeira equação, em coordenadas ortogonais, mantém as propriedades da estrutura geométrica de espaço-tempo. A segunda, mostra que a densidade de matéria, em um meio contínuo, é a manifestação física de uma propriedade geométrica de espaço-tempo. Note que essa formulação, de certa forma, restaura algumas características da teoria da gravidade de Einstein dentro do quadro da mecânica clássica, uma vez que, segundo Einstein, a gravidade é devida a uma curvatura do espaço-tempo provocada pela presença de matéria.

  Dessa forma, as componentes do campo gravitacional (X,Y,Z) capturam a estrutura geométrica básica de espaço-tempo. Um questionamento natural que segue das observações acima é: A redução da gra- vitação à geometria ocorre somente para uma deĄnição epecíĄca de equivalência de 2 referenciais inerciais inĄnitamente próximos? Na seção 2.6, veremos que até que a di- nâmica de um ponto de massa seja afetada, existe um número inĄnito de deĄnições de

  Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos

  3.3 O espaço tempo 4-dimensional e a dinâmica dos meios contí- nuos

3.3.1 O espaço-tempo 4-dimensional Definição 3.1.

  Seja M um conjunto não-vazio cujos elementos são chamados de eventos, V um espaço vetorial e : × ⊗⊃ sobrejetora deĄnida por f(c,a) = a - c. O conjunto M será chamado espaço afim associado ao espaço vetorial V se:

  a) Dado e , existe um único ponto tal que v = a - c; b)Se v = b - a e w = c - b, então v+w=c-a Definição 3.2. Seja M um espaço aĄm e V o espaço vetorial associado. Um subconjunto não-vazio N de M será chamada variedade afim se para algum ponto a de M, o conjunto de vetores = ¶ ; for um subespaço vetorial de V.

  Trataremos espaço-tempo como uma variedade 4-dimensional aĄm, na mecânica clás- sica. Em relação à um referencial galileano, um vetor do espaço-tempo pode ser escrito como (tŠ - t, xŠ - x, yŠ - y, zŠ - z), onde (t, x, y, z) e (tŠ, xŠ, yŠ, zŠ) são dois eventos e representam a origem e extremidade deste vetor, respectivamente.

  Cabe observar que como estamos considerando o tempo absoluto, o componente tem- poral de um vetor do espaço-tempo independe da escolha do referencial. O mesmo não ocorre para as componentes espaciais, cujas componentes, juntamente com a tríade T, deĄnem um dado referencial galileano. Além disso, vimos anteriormente, que o vetor es- pacial (xŠ - x, yŠ - y, zŠ-z) depende também da velocidade de sua tríade em relação ao espaço absoluto.

  Vamos, a partir de agora, construir um vetor que será de suma importância neste trabalho e que nos dará relevantes resultados ao longo deste capítulo: O vetor momento-

  massa .

  Considere um ponto de massa movendo-se em relação à um referencial galileano. Neste referencial, o vetor espaço-tempo, com origem no tempo t e extremidade no tempo t + dt é dado por (dt, dx, dy, dz).

  (︃ )︃ (︃ )︃

  Sendo m igual a massa de uma partícula, os vetores 1, , , e , , , independem da escolha do referencial inercial. Isso se deve ao fato de a massa, o intervalo de tempo e a velocidade serem independentes da escolha do referencial, onde a última aĄrmação segue da lei da inércia. Ao último vetor, damos o nome de vetor momento-

  massa

  . É fácil veriĄcar que a derivada temporal do vetor momento-massa é igual ao vetor espacial força, ou seja, valem o princípio da conservação de massa e a lei que relaciona a

3.3. O espaço tempo 4-dimensional e a dinâmica dos meios contínuos

3.3.2 Dinâmica clássica dos meios contínuos

  As considerações desta subseção serão acerca de um meio contínuo equipado com um referencial galileano. Nosso objetivo será chegar em um vetor momento-massa neste meio, usando uma estratégia análoga à que utilizamos para meios não contínuos, além, de obser- var suas propriedades. Para isto, vamos Ąxar um volume 3-dimensional no espaço tempo. Por temos que a massa total contida neste volume é dado pela integral

  ∫︁∫︁∫︁

  onde e u, v, w denotam, respectivamente, a densidade e as componentes da veloci- dade de cada elemento de matéria. Assumindo que a matéria é livre de pressão e tensão, o componente x do momento do mesmo volume será dado por

  ∫︁∫︁∫︁

  2

  

  Da mesma forma, as componentes y e z do momento serão dados por

  ∫︁∫︁∫︁

  2

   ∫︁∫︁∫︁

  2

   respectivamente.

  Vamos denotar os integrandos destas integrais por Π, Π , Π e Π e deĄní-las como as quatro componentes do vetor momento massa de um elemento de matéria do

  meio . Teorema 3.1.

  A derivada exterior do campo momento-massa é igual à Fdt, onde F é o campo de forças.

  Demonstração 3.1.

  Primeiramente, note que d Π = ( ) ( ) ( ) ( )

  (︃ )︃

  • = + +

  [︃(︃ )︃⟨

  ( ) ( ) ( ) ( )

   [︃(︃

  )︃⟨

  ( ) ( ) ( ) ( )

  

  Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos [︃(︃

  )︃⟨

  ( ) ( ) ( ) ( )

   [︃ ⟨

  ( ) ( ) ( )

  • = +

  De onde temos [︃ ⟨

  ( ) ( ) ( ) = 0 + + + pelo princípio de conservação da massa.

  Além disso, [︃ ⟨

  2 ( ) ( ) ( )

  d

  Π = + + +

  Mas [︃ ⟨

  2 ( ) ( ) ( )

  • = +
  • + + + = +

  (︃ )︃ (︃ )︃

  ( ) ( ) ( )

  • + + + + + + =

  (︃ )︃

  • + + = = = =

  1

   onde

  1 é o componente x da força por unidade de volume.

  Cálculos análogos nos darão que (︃ )︃

  = + + +

  2

  (︃ )︃

  • + + =

3 De onde segue o resultado.

  O caso geral pode ser reduzido ao anterior deĄnindo o momento generalizado de

  um elemento de matéria

  que é obtido acrescentando as componentes Π , Π e Π do vetor momento-massa, respectivamente, as componentes ⊗

3.3. O espaço tempo 4-dimensional e a dinâmica dos meios contínuos

  ⊗ que nos dará as equações abaixo:

  (︃ )︃

  ( ) ( ) ( ) = 0 + + +

  (︃ )︃

  = + + + + + +

  (︃ )︃

  • = + + + + +

  (︃ )︃

  = + + + + + + onde X, Y, Z são as componentes da aceleração devida à gravidade.

  Estas três últimas equações são as conhecidas equações de Euler e são umas das equações fundamentais da dinâmica de Ćuidos. Outro aspecto importante da dinâmica de um corpo é conhecido como momento

  angular

  . Sabemos que o momento angular de um elemento de matéria de um meio con- ⊃ ⊗ ⊃ ⊗ ⊃ ⊗

  ⊃ ⊃ tínuo é dado por = ⊗ × , onde é o vetor velocidade e ⊗ é o vetor posição de cada elemento de matéria, respectivamente. Assim, considerando a ausência de pressão, as componentes do momento angular, no bordo 3-dimensional de um volume arbitrário do espaço-tempo são dados por

  ∫︁ ∫︁

  ( Π ⊗ Π ) = ( 3 ⊗ 2 )

  ∫︁ ∫︁

  ( Π ⊗ Π ) = ( )

  1

  3

  ∫︁ ∫︁

  ( Π ⊗ Π ) = ( 2 ⊗ 1 ) A igualdade segue do teorema de Stokes e das igualdades abaixo que, na ausência de pressão, são imediatamente satisfeitas:

   ∧ Π ⊗ ∧ Π = 0 ∧ Π ⊗ ∧ Π = 0 ∧ Π ⊗ ∧ Π = 0

  Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos

  No caso geral, essas equações se mantêm considerando-se ⊗ = 0

  ⊗ = 0 ⊗ = 0

  Os resultados obtidos, até agora, neste capítulo, podem ser expressados usando uma notação vetorial: Sejam = (1, 0, 0, 0), = (0, 1, 0, 0), = (0, 0, 1, 0), = (0, 0, 0, 1). Nesta notação,

  1

  2

  3 o vetor momento-massa de uma partícula de massa m, é dado por

  (︃ )︃

  1

  2

3 Seja m = (t, x, y, z) um ponto do espaço-tempo, então a derivada deste ponto em

  (︃ )︃

  relação ao tempo é o vetor 1, , , do espaço- tempo. Logo, o momento-massa

   m de uma partícula é dado por .

  5 Agora vamos mergulhar o espaço-tempo em R , considerando m = + + +

  1

  2

  e tomar um segundo ponto m’ = . Assim, o vetor + + + +

  • ′ ′ ′ ′

  3

  4

  1

  2

  3

  4

  m

  ∧m’ , chamado por Cartan de vetor deslizante, cuja origem e extremidade encontram-se, respectivamente, nos pontos m e m’ do espaço-tempo, é escrito da forma: ′ ′ ′ ′ ′

  mm e e e e

  = ( e + e + e + + e + + 1 + e

  2

  3 4 ) ∧ (

  1

  2 3 + e 4 ) ′ ′ ′ ′ ′ ′

  ⊗ e e e = ( )e 1 + ( )e 2 + ( )e

  3 ′ ′ ′ ′ ′ ′

  • ( )ee + ( )ee + ( )ee

  1

  2

  1

  3

  2

  3 ′ ′ ′ ′ + ( )ee + ( )ee + ( )ee + ( )ee .

  4

  1

  4

  2

  4

  3

  4

  

(︃ )︃

dm

  

Proposição 3.1. O vetor deslizante m , cuja origem se encontra no ponto m

do espaço-tempo, carrega consigo o momento-massa de uma partícula.

3.3. O espaço tempo 4-dimensional e a dinâmica dos meios contínuos

  ′

  e

  (︂ m m

  )︂

  = ( e + e

  e

  e

  • e
  • e
  • ( ⊗ 1)e
  • ( ⊗ )e
  • ( ⊗ )e
  • ( ⊗ )e
  • ( )ee
  • ( )ee
  • ( ⊗ )e
  • ( ⊗ )e
  • ( ⊗ )e
  • e
  • e
  • e
  • ( )ee
  • ( )ee
  • ( ⊗ )e
  • ( ⊗ )e
  • ( ⊗ )e

  3 ) ∧ (e +

  • e
  • e
  • e

  • e
  • e
  • e
  • e
  • e
  • e
  • e
  • e
  • ( )ee
  • ( )ee
  • ( )e
  • ( )e
  • ( )e
  • e
  • e
  • e

  3 ⊗ (0ee

  (︂

  =

  (︂ )︂

  = 0

  Os teoremas de conservação de massa e momento angular e o princípio fundamental da di- nâmica, expressos nas equações abaixo, nos dão o resultado desejado:

  4 )

  3 ∧ e

  4

  2 ∧ e

  4

  1 ∧ e

  4

  3

  2 ∧ e

  )︂

  1 ∧ e

  2

  1 ∧ e

  3

  2

  1

  = ( )ee

  3,4 )

  2,4

  1,4

  0,4

  ⊗

  =

  3 )

  =

  =

  )︂

  ⊗

  (︂

  =

  )︂

  ⊗

  (︂

  =

  )︂

  ⊗

  (︂

  (︂ )︂

  (︂

  =

  (︂ )︂

  =

  )︂

  ⊗

  (︂

  =

  )︂

  ⊗

  (︂

  =

  )︂

  ⊗

  ⊗ (0e

  1

  2

  1 ∧ e

  )︂ .

  4

  3 ∧ e

  4

  2 ∧ e

  4

  1 ∧ e

  4

  (︂ ee

  3 ⊗

  2 ∧ e

  3

  2

  A derivada temporal do vetor móvel (︁ m

  1 ∧ e

  3

  2

  1

  3,4 = ( )ee

  2,4

  1,4

  0,4

  3 )+

  2

  1

  1

  Teorema 3.2.

  ∧

  2

  (︂ ee

  4 ) ∧ (0e + e

  3

  2

  Por outro lado, m F = ( e + e

  )︂ .

  4

  3 ∧ e

  4

  2 ∧ e

  4

  1 ∧ e

  4

  3 ⊗

   m )︁

  2 ∧ e

  3

  1 ∧ e

  2

  1 ∧ e

  3

  2

  1

  = ( )ee

   m )︂

  ∧

  Pelo que acabamos de mostrar, (︂ m

  é igual ao vetor móvel m F, onde F = (0, , , ) Demonstração 3.2.

  1

  Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos

  O teorema acima nos mostra que a equação

  (︁ )︁ m m

  ∧ = m F contém, de uma só vez, o princípio fundamental da dinâmica e o teorema do momento an- gular.

  A partir de agora, retornaremos à mecânica dos meios contínuos.

  Teorema 3.3.

  Sejam

  = Π · e + Π · e + Π · e + Π · e ,

  1

  2

  3 = ( ) · e + ( ) · e ) + ( ) · e ,

  1

  2

  3 G = m F = m .

  Então dG = F, onde d é derivada exterior.

  Demonstração 3.3.

  De fato, sendo , então

  = + + +

  1

  2

  3

  dG = d Π + d Π + d Π + d Π

  1

  2

  3

  • + +
  • +( )Π + (

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  3

  1

  • + +
  • +( )Π + (

  2

  1

  2

  3

  2

  3

  1

  3

  2

  3 = d Π + d Π + d Π + d Π

  1

  2

  3 ( ∧ Π + ∧ Π) + ( ∧ Π ⊗ ∧ Π)

  1

  2 ( ∧ Π + ∧ Π) + ( ∧ Π ⊗ ∧ Π )

  3

  2

  3

  • ∧ ∧

  3 1 ( ∧ Π Π ) +

  1 2 ( ∧ Π Π )

  Um cálculo simples mostra que as componentes de , para todo i, j=0,1,2 3, na equação acima, são identicamente nulos. Agora basta lembrar que d Π = 0 d ,

  Π = 1 =

  d Π = = ,

  2

  d Π = = ,

3 De onde segue o resultado imediatamente.

  O importante resultado acima, nos mostra que numa só equação está encapsulada toda a

  3.4. Conexão aĄm e equivalência entre referenciais mesmo resultado com referenciais móveis.

  3.4 Conexão aĄm e equivalência entre referenciais

  Nesta seção, veremos que o conceito de conexão aparece como um arcabouço geométrico adaptado ao sistema de equações que rege o sistema físico, sendo , portanto, associado ao grupo que preserva este último invariante. As principais referências utilizadas nesta seção são

  ′ ♢ ♢

  Pensar em transformar um referencial arbitrário ¶ em, digamos, ¶ equivalente ao pri- meiro, sendo estes bases do espaço aĄm associado a um espaço-tempo num ponto m, nos im- pulsiona, imediatamente, a pensar no estudo de matrizes de mudança de base, mas ao mesmo tempo, na necessidade de mantermos propriedades invariantes de Ąguras geométricas (equiva- lentemente a invariância de leis físicas). Nesse sentido, o estudo dos grupos de Lie associados às variedades nos fornece um excelente meio para alcançarmos estes objetivos.

  Peço licença ao leitor para fazer uma brevíssima explanação de alguns conceitos básicos referente à grupos de Lie e álgebra de Lie. Um estudo rigoroso desses conceitos implicaria na necessidade de utilizar uma vasta bibliograĄa. Porém, nosso intuito é não desviar a atenção do nosso objetivo: estabelecer relações entre referenciais equivalentes e conexão aĄm.

  Um grupo de Lie é deĄnido como sendo uma variedade diferenciável munida de uma estrutura de grupo compatível com a estrutura de variedade diferenciável, no sentido de que o produto e a aplicação que leva um elemento no seu inverso são diferenciáveis. Estas características nos permite realizar estudos inĄnitesimais e aplicar regras fundamentais do cálculo, entre elas a derivação.

  Uma álgebra g pode ser associada a cada grupo de Lie. A esta álgebra damos o nome de álgebra de Lie. Todo grupo de Lie é completamente determinado por sua álgebra de Lie (aĄrma um teorema fundamental de Lie). O estudo dos aspectos geométricos de um grupo de Lie é marcado pelas características algébricas de sua álgebra de Lie, já que a mesma se caracteriza como sendo o espaço vetorial dos campos de vetores invariantes à direita ou à esquerda e pode ser identiĄcada com o espaço tangente na identidade do grupo.

  Dessa forma, as relações de equivalência vão fazer os referenciais viverem num grupo de matrizes quadradas. Já as derivações indicam em certa forma a álgebra de Lie de matrizes, que é onde vivem os diferenciais entre referenciais equivalentes inĄnitamente próximos, em particular, as matrizes de formas de conexão que construiremos abaixo. Vejamos como isso se dá:

  No espaço-tempo da mecânica newtoniana, o espaço 3-dimensional é um espaço euclideano. Como queremos estudar equivalência de referenciais em pontos inĄnitamente próximos, a de- rivada usual é, neste espaço 3-dimensional, uma ferramenta útil. Vamos então considerar um ponto m num aberto U do espaço-tempo newtoniano e considerar , , campos diferenciáveis

  1

  2

  3 ♢ de vetores em U, com origem em m. A partir do referencial ¶ podemos deĄnir formas dife-

  ♢ renciais lineares pela condição æ ( ) = Ó ; em outras palavras, no ponto m , a base ¶æ é a base dual da base ¶ ♢ . O conjunto das formas diferenciais ¶æ ♢ é chamado o coreferencial associado ao referencial ¶ ♢ .

  Vamos deĄnir

  1

  2

  3

   m = æ + æ + æ

  1

  2

3 Teremos que m é a identidade do grupo de Lie associado ao espaço 3-demensional euclide-

  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • 2

  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ

  3

  1

  2

  3

  2

  3

  3

  3 e deĄnindo, agora,

   m

  = æ + æ

  1

  1

  2

  2

  3

  1

  3 = æ

  3

  2

  1

  2

  3

  1

  3 ∇

  2 = æ

  1

  3 ∇

  2

  1

  2

  2

  2

  3

  2

  3 que é, da mesma forma, a identidade do grupo de Lie assocoiado a um espaço-tempo, teremos uma matriz de formas de conexão (æ ) que vive na álgebra de Lie associada ao grupo de Lie que representa um espaço-tempo 4-dimensional.

  Cientes que em espaços não-euclideanos as derivações tratam-se de conexões aĄm, sem risco de confusão, manteremos a notação de Cartan:

  ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁ m

  2

  3

  2 = æ

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  2

  3

  2

  3

  1

  2

  1

  2

  = æ + æ

  2

  1 1 + æ 2 2 + æ

  3

  3 = æ + æ

  1

  1

  2

  3

  1

  3

  1 = æ

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  1

  1

  2

  3

  1

  3

  2 = æ

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  3

  2

  2

  1

  3 = æ

  3 , em m, é uma aplicação linear. Portanto para todo ∈ R

  Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos

  Agora, cada campo , pode ser pensado como uma aplicação diferenciável : ⊆ R

  3 ⊗⊃

  R

  3 . A diferencial : R

  3 ⊗⊃ R

  3 , podemos escrever ( ).( ) =

  1

  3

  ∑︀

  =1

  æ

  ( ) , ou simplesmente

  ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁

  1 = æ

  3

  1

  1

  1

  1

  ,

  2 ∈ Γ( ). A aplicação é conhecida como conexão afim em TM.

  Finalmente, teremos as equações

  ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁

  ∇ = æ + æ

  1

  (ii) ∇( . ) = · + .∇( ) para todo

  2

  2

  3

  3 ∇

  1 = æ

  1

  ∞ ( ) e

  2 );

  3

  3 Como é um campo diferenciável, æ é uma 1-forma diferencial linear. A matriz (æ ) é chamada matriz das formas de conexão e, assim construída, vive na álgebra de Lie associada ao grupo de Lie que representa o espaço 3-dimensional do espaço tempo. Note, que como estamos tratando de um espaço euclideano, o espaço tangente à esta variedade é o próprio espaço eucli- deano, logo a derivada usual de cada campo é levada no próprio espaço. Isso é conĄrmado, ao escrevermos como combinação linear dos campos .

  1

  2

  3

  2

  3

  3

  Até agora, tratamos do espaço 3-dimensional do espaço-tempo de Newton, que é eucli- deano. A pergunta que se segue é: Como generalizar as ideias acima para um espaço-tempo 4-dimensional não euclideano? Aqui surge a necessidade de utilizarmos novas geometrias.

  1 ) + ∇(

  Definição 3.3. Sendo E um Ąbrado vetorial, Þ

  : ⊗⊃ a projeção ortogonal em TM,

  então a aplicação ∇ : Γ( ) ⊗⊃ Λ

  1 ( ; ) dada por ∇( ) = Þ ◇ ∇ ( ) satisfaz as seguintes

  propriedades: (i) ∇(

  1

  ) = ∇(

  3

  3.5. Dinâmica clássica de meios contínuos via conexão aĄm

  Dessa forma, estudarmos sistemas físicos através de referenciais inerciais associados a um grupo G é equivalente a estudar certas conexões aĄm com formas de conexão em g.

  3.5 Dinâmica clássica de meios contínuos via conexão aĄm

  Iremos agora estudar algumas das consequências da invariância das leis da mecânica com relação a referenciais inerciais e a uma conexão aĄm. Na mecânica clássica, o tempo é considerado ser absoluto. A nossa conexão aĄm será escrita da forma:

  ∏︁

  1

  2

  3

  ⋁︁ m = æ + æ + æ + æ

  ⋁︁

  1

  2

  3

  ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁

  1

  2

  3

  ⋁︁ ⋁︁

  = æ 1 + æ 2 + æ

  3

  ⋁︁ ⨄︁

  1

  2

  3 = æ + æ + æ

  1

  1

  2

  3

  1

  1

  1

  ⋁︁ ⋁︁

  1

  2

  3

  ⋁︁ ⋁︁

  = æ + æ + æ

  2

  1

  2

  3

  ⋁︁

  2

  2

  2

  ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁

  1

  2

  3

  ⋃︁

  = æ + æ + æ

  3

  1

  2

  3

  3

  3

  3

  , , ,

  As componentes das equações acima são iguais a zero, pois se é um referen-

  1

  2

  3 cial qualquer num ponto (ou evento) do espaço-tempo, cada um destes vetores é deĄnido pela diferença entre dois eventos no espaço-tempo. Como estamos considerando o tempo absoluto, a diferencial da função tempo será sempre igual a 1, logo a diferença será zero.

  Nosso æ será tão somente o intervalo de tempo inĄnitesimal entre dois pontos m e mŠ. Vamos fazer uma pequena mudança na notação aĄm de obter simetria. Considere

  1

  2

  3

  2

  3

  3

  2

  1

  2

  Π := Π = ρω

  1

  2

  3

  ∧ ωωρu ωωωρu ωωωρu ωωω

  1

  2

  3

  2

  2

  3

  3

  1

  1

  2

  Π := Π

  1 = ρu 1 ωωωρu 1 ωωωρu 1 u 2 ωωωρu 1 u 3 ωωω

  x

  1

  2

  3

  2

  3

  2

  3

  1

  1

  2

  Π := Π

  2 = ρu 2 ωωωρu 2 u 1 ωωωρu ωωωρu 2 u 3 ωωω

  y

  2

  1

  2

  3

  2

  3

  3

  1

  2

  1

  2

  Π := Π

  3 = ρu 3 ∧ ωωρu

  3 1 ∧ ωωρu

  3 2 ∧ ωωρuωω

  ω u ω u ω

  3 ω

  z

  respectivamente, as componentes do vetor momento-massa de um elemento de matéria num

  , ,

  meio contínuo, onde são as velocidade neste novo sistema de coordenadas espaciais

  1

  2

  3 ¶ , , , ♢ .

  1

  2

  3 ·e ·e ·e ·e

  Assim, o tensor momento-massa será escrito da forma = Π +Π +Π +Π

  1

  1

  2

  2

  3

  3 e o tensor momento-massa generalizado será dado por

  G

  = m = (m e ) · Π + (m e ) · Π + (m e ) · Π + (m e ) · Π

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  1 Analogamente, a forma força é dada por = æææ · e + æææ · e + æ

  1

  2

  2

  3

  ææ · e

  e a força generalizada é dada por

  3

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  • (m e
  • (m e
  • ( m e ) · Π + ( m e
  • (m e
  • ( m e
  • (m e ) · Π + (m e 1 ) · Π
  • (m e
  • (m e
  • ([æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • ([æ
  • æ
  • æ
  • ([æ
  • æ
  • æ
  • (m ∧ (æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • (m ∧ (æ
  • æ
  • æ
  • (m ∧ (æ
  • æ
  • æ

  • (m e
  • æ
  • æ
  • æ
  • (m e
  • æ
  • æ
  • æ
  • (ee
  • (ee
  • (e
  • æ
  • æ
  • æ
  • (m e
  • æ
  • æ
  • æ
  • (m e 3 ) · [ Π
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ

  2 ∧ æ

  1 ∧ æ

  ææ

  1

  Π =

  1 ∧

  Π

  1 ⊗ æ

  æ

  Note que

  2 ]

  Π

  3 ∧

  3 ⊗ æ

  3 ⊗

  (⊗

  1

  æ

  1 ∧ æ

  2 ∧ æ

  3 ∧ æ

  ) = 0 Da mesma forma,

  æ ∧ Π ⊗ æ ∧ Π = 0

  Assim

  dG

  = (m e ) · Π + (m e

  1 ) · [ Π

  1

  1 · Π + æ

  1

  1 · Π

  Π

  3 ) · [æ

  2 ∧

  3 ) · [æ ∧ Π

  1 · Π

  1

  3

  2 · Π

  2

  3

  3 · Π

  3 ]

  1 ) · [æ ∧ Π

  1 ⊗ æ

  1 ∧ Π ] + (ee

  2 ) · [æ ∧ Π

  2 ⊗ æ

  2 ∧ Π ]

  3 ⊗ æ

  2 ∧ e

  3 ) · [æ

  1 ] + (e

  Π

  3 ∧

  3 ⊗ æ

  Π

  1 ∧

  1 ∧ e

  3 ∧ Π ] + (e

  1 ]

  2 ∧ Π

  2 ⊗ æ

  1 ∧ Π

  2 ) · [æ

  1 ∧ e

  1

  2 · Π

  1

  2

  1

  1

  2 · Π

  2

  1

  3 · Π

  3 = 0 (3.1)

  æ

  2 · Π + æ

  2

  1 · Π

  1

  2

  2 · Π

  2

  1

  2 · Π

  Vamos, agora, trabalhar com a hipótese de que uma deĄnição arbitrária de equivalência entre vetores espaço-tempo, com origens inĄnitesimalmente próximas (i.e.,numa vizinhança), é dada. Teremos que as equações que deĄnem a conexão linear no espaço-tempo, dada na seção

  Em outras palavras, aĄrmar que uma conexão aĄm satisfaz a equação dG = F é equivalentemente a dizer que ela satisfaz as equações (2.1), (2.2) e (2.3). Uma conexão com esta característica será chamada conexão adaptada.

  3 = 0 (3.3)

  3 · Π

  3

  2

  3

  3 · Π

  1

  1 · Π

  3

  3 · Π + æ

  æ

  3 = 0 (3.2)

  1 · Π

  1 · Π + æ

  2

  2

  1

  3 · Π

  3 ]

  2 ) · [ Π

  2

  2 ·

  Π + æ

  2

  1 ·

  Π

  1

  2

  2 ·

  Π

  2

  æ

  Π 1 + æ

  Π 3 ] Como as leis da mecânica não se alteram sob mudança de referenciais inerciais equivalentes, conforme o teorema 2.3, devemos ter: dG =æF = F e

  3 ·

  3

  Π 2 + æ

  2 ·

  3

  1 ·

  3 ·

  3

  Π + æ

  3 ·

  3 + æ

  3 ]

  Π

  3

  3 · Π + æ

  3

  1

  e

  3 ] ∧ e ) · Π + ([æ

  e

  2

  e

  2

  3

  e

  3 ] ∧ e

  1 ) · Π

  1

  e

  1

  e

  3

  2

  e

  3 ] ∧ e

  2 ) · Π

  2

  e

  1

  e

  1

  2

  e

  2 ] ∧ e

  3 ) · Π

  3

  1

  3

  e

  1

  1 ) · Π

  Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos

  Como não estamos mais considerando ¶e , e

  1

  

, e

  2

  , e

  3 ♢ constantes, então

   G = (m e ) · Π + (m e

  1 ) · Π

  1

  2 ) · Π

  2

  3 ) · Π

  3

  1

  2

  2 ) · Π

  1

  e

  1

  3

  3 ) · Π

  2

  1

  2 ) · Π

  1 ) · Π

  3 = (m e ) · Π + (m e

  1 + (m e 2 ) · Π 2 + (m e 3 ) · Π

  3

  3 ) · Π

  2

  e

  2

  3 ) · [ Π

  2 ·

  3

  e

  2

  3

  3

  e

  3 )) · Π

  3 = (m e ) · Π + (m e 1 ) · [ Π 1 + æ

  1 ·

  Π + æ

  1

  1 ·

  Π 1 + æ

  1

  Π 2 + æ

  1

  1

  3 ]

  3 · Π

  2

  2

  2 · Π

  2

  1 · Π

  1

  2

  2 · Π + æ

  2

  2 ) · [ Π

  Π 3 ]

  3 ·

  2

  e

  e

  e

  2

  3

  e

  3 )) · Π + (m ∧ (æ

  1

  1

  e

  1

  2

  1

  e

  2

  3

  1

  3 )) · Π

  3

  2

  1

  2

  3 )) · Π

  e

  2

  3

  e

  1

  2

  2

  1

  e

  2

  1

3.6 A conexão aĄm do espaço-tempo e a mecânica clássica

3.6. A conexão aĄm do espaço-tempo e a mecânica clássica Exemplo 3.1.

  Se anexássemos a cada ponto do universo um outro sistema galileano dado por

  = = = =

  • , , , , a equação que deĄne seria modiĄcada. Teríamos:

  1

  1

  1

  2

  2

  3

  3 = + +

  1

  1

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  æ = æ + æ + æ + æ + æ )

  • æ + æ + (æ +

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  1

  1

  2

  3

  1

  1

  1 De onde,

  1

  1

  1

  æ

  = æ + + æ

  1

  2

  2

  2

  æ = æ + æ

  1

  3

  3

  3

  æ = æ + æ

1 Vamos assumir, agora, que a única força presente é a força devida à gravidade. Se a deĄni-

  ção de equivalência de dois sistemas galileanos inĄnitamente próximos, ou equivalentemente, a deĄnição de equivalência de dois 4-vetores cujas origens são inĄnitamente próximas, é escolhida de modo a cancelar as forças gravitacionais, as equações da dinâmica reduziriam-se à dG = 0.

  , , ,

  Fixando um referencial galileano e escolhendo para vetores que permanecem iguais

  1

  2

  3 aos vetores unitários deste sistema, tomaremos

  1

  2

  3

  

æ = ⊗ , æ = ⊗ , æ = ⊗

æ = 0 para todo i,j=1,2,3

  Então, fazendo estas substituições acima na expressão

  1

  1

  1

  1

  dG

  · · · · = (m e ) · Π + (m e 1 ) · [ Π 1 + æ Π + æ Π 1 + æ Π 2 + æ Π 3 ]

  1

  2

  3

  2

  2

  2

  2

  • (m e ) · [ Π + æ · Π + æ · Π + æ · Π + æ · Π ]

  2

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  3

  3

  3

  3

  • (m e ) · [ Π + æ · Π + æ · Π + æ · Π + æ · Π ] = 0

  3

  3

  1

  2

  3

  1

  2

  3 obtemos

  d Π = 0 d

  Π ⊗ ∧ Π = 0

  1

  d

  Π Π = 0

  2

  d Π ⊗ ∧ Π = 0

  3 ou equivalentemente

  d

  Π = 0

  d Π =

  1

  • dy, z + dz) devem ser considerados como equivalentes se as tríades correspondentes T e TŠ são equivalentes no senso usual e TŠ sofre uma translação retilínea e uniforme de velocidade (Xdt, Ydt, Zdt) em relação à T (ver seção 2.1).
  • æ
  • æ
  • æ
  • (æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • (æ
  • æ
  • (æ
  • æ

  1

  3 ] · (m e

  1 )

  [æ

  2 · Π + æ

  2

  1 · Π

  2

  3 ·

  2 · Π

  2

  2

  3 · Π

  3 ] · (m e

  2 )

  Π

  1

  3 · Π + æ

  Π + æ

  3

  3

  3

  3 )

  3 e terá como consequência a adição dos termos abaixo, na expessão de dG: [æ

  1 ·

  1

  2

  1 ·

  Π

  1

  1

  2 ·

  Π

  [æ

  3

  3 )

  pequena modiĄcação em m, ,

  de equivalência entre referenciais e ¶ ˜ m, ˜ , ˜

  1

  , ˜

  2

  , ˜

  3 ♢ uma conexão aĄm gerada por uma

  1

  ,

  ,

  2

  ,

  3 ♢. Então

  ∑︀

  3 =0

  3 ♢ uma conexão aĄm originada por uma deĄnição

  2

  1 · Π

  3 ] · (m e

  1

  3

  2 · Π

  2

  3

  3 · Π

  3 ) onde æ

  ,

  , æ

  são os acréscimos nas componentes æ

  , æ

  da conexão aĄm, devida a uma dada alteração desta conexão. Logo, para que uma conexão aĄm modiĄcada satisfaça a equação

  

dG =0, ou equivalentemente, seja uma conexão adaptada, as possíveis modiĄcações são as que

fazem os três termos, entre parênteses, acima serem iguais a zero. Proposição 3.2. Seja m, ,

  1

  2

  2

  æ ∧ Π = 0 se, e somente se,

  1 )

  1

  2

  2

  3

  3 = (æ

  1

  1

  ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁ m = æ + æ

  2

  2 )

  2

  3

  3 )

  3 1 = (æ

  1

  Se o sistema inteiro consiste de uma massa pequena, a correspondente conexão aĄm não dependerá do estado desta massa. Qualquer pequena modiĄcação na conexão aĄm poderá ser escrita na forma:

  1

  Estas são as equações de dinâmica clássica de um meio contínuo que está sujeito à força por unidade de volume proporcional à massa. Para geometrizar a gravidade é suĄciente escolher X, Y, Z como as componentes da aceleração devida à gravidade. O resultado obtido é análogo ao que levou para a dinâmica de uma partícula. De fato, as fórmulas

  Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos d

  Π

  2 =

  d

  Π

  3 =

  = ⊗

  Vamos admitir que uma dada deĄnição de equivalência entre referenciais galileanos com origens inĄnitamente próximas dá origem à uma conexão aĄm no espaço-tempo. Teríamos que o fenômeno gravitacional seria compatível com várias conexões aĄns no espaço-tempo.

  1 ⊗

  2 ⊗

  3

  1 =

  2 =

  3 = 0 implicam que dois sistemas galileanos com origens em (t, x, y, z) e em (t + dt, x + dx, y

  1

  1

  3

  3

  2 )

  2

  3

  2

  3

  2 )

  3 = (æ

  2

  1

  3

  1

  3 )

  1

  2

  2

  2

  1 ) 1 + (æ

  3

  2

  1

  2

  1 ) 2 + (æ

  3

  1

  1 )

  1

  3

  2 = (æ

  1

  2

  1

  2 )

  • æ
  • (æ
  • æ
  • (æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ
  • æ

3.6. A conexão aĄm do espaço-tempo e a mecânica clássica para todo i = 1, 2, 3.

  Antes de demonstrarmos a proposição acima, vamos fazer uma deĄnição:

4 Definição 3.4.

  Diremos que : ⊗⊃ é uma forma quadrática se existir um 2-tensor

  4

  4

  á : × ⊗⊃ tal que ( ) = á ( , )

  4

  4

  4

  4

  4 × × /

  De outra forma, sendo ( ) = ( ) = ¶( , ) ∈ = ♢, então toda

  2

  4

  4

  4 restrição de á ∈ Γ ( ) à ( × ) é uma forma quadrática.

  ∑︀

  3 Demonstração 2.2.

  Note que æ = Ò deve satisfazer as equações

  

  =0

  3

  ∑︁ æ ∧ Π = 0

  =0 onde

  1,2,3 2,3,0 3,1,0 1,2,0 Π = ,

  1

  2

  3 1,2,3 2 2,3,0 1 1 ) ⊗ ( 1 2 ) ⊗ ( 3,1,0 1,2,0

  • 1
  • Π + = ⊗ (
  • 1 3 ) ,

      1

      1

      1

      2

      2

      1

      3 1,2,3 2,3,0 2 3,1,0 1,2,0

      Π + + + = ⊗ ( 2 1 ) ⊗ ( 2 2 ) ⊗ ( 2 3 ) ,

      2

      2

      2

      1

      2

      3

      2

      2 1,2,0 Π = ⊗ ( 3 1 ) ⊗ ( 3 2 ) + ⊗ ( 3 3 ) .

    • 3,1,0
    • 1,2,3 2,3,0

      3

      3

      3

      1

      3

      2

      3 Portanto 1,2,3 1 2,3,0 2 3,1,0 3 1,2,0

      æ ∧ ∧ Ò Ò Ò

      Π = Ò

      1

      2

      3

      00

      01

      02

      03

      1

      2

      3

      Ò Ò Ò

      = ( Ò ) + + +

      1

      2

      3

      00

      01

      02

      03 além disso,

      1,2,3 1 2,3,0

      2 3,1,0

      æ ∧ Π = Ò ⊗ ( 1 )Ò ⊗ (

    • + 2 )Ò

      1 j 2 j

      1

      2 3 1,2,0

    • ⊗ ( 3 )Ò

      3 j

      3

      1

      2 = ( +

      Ò + ( 1 )Ò + (

    • + 2 )Ò + ( 3 )Ò )

      1 j 2 j 3 j

      1

      2

      3 para = 1, 2, 3. Logo,

      3

      ∑︁

    • æ ∧ Π = Ò (Ò + Ò ) + (Ò + Ò ) + (Ò + Ò )

      1

      2

      3 00 0,1 1,0 0,2 2,0 0,3 3,0 =0

      2

      2

      2

      11

      22

      33

      1 + ) 1 1 )Ò + ( ( 2 ) 2 2 )Ò + ( ( 3 ) + + + ( ( 3 3 )Ò

    • + + (
    • 1 2 )(Ò + Ò ) + ( 1 3 )(Ò + Ò )

        1

        2

        1

        3 1,2 2,1 1,3 3,1

      • + (
      • 2 3 )(Ò + Ò ).

          2

          3 2,3 3,2

          ∑︀

          3 como æ ∧ Π é igual a zero independentemente de , e , então devemos ter

          i j

          =0

          Ò + Ò = 0, Ò + Ò = 0 ,

          0, ,ℓ ℓ, para todo = 1, 2, 3 para todo , = 0, 1, 2, 3.

          Mas as igualdades acima são verdadeiras se, e somente se, as formas quadráticas

          æ · + æ · + æ · + æ · = 0 para todo i = 1, 2, 3

          1

          2

          3

          Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos

          De fato, temos que

          æ · + æ · + æ · + æ · = (Ò + Ò + Ò + Ò ) ·

          1

          2

          3

          00

          01

          02

          03

        • (Ò + Ò + Ò + Ò ) ·

          10

          11

          12

          13

        • (Ò + Ò + Ò + Ò ) ·

          20

          21

          22

          23

        • (Ò + Ò + Ò + Ò ) ·

          30

          31

          32

          33 = (Ò + Ò ) · + (Ò + Ò ) ·

          01

          10

          02

          20

        • (Ò + Ò ) · + (Ò + Ò ) ·

          03

          30

          12

          21

        • (Ò + Ò ) · + (Ò + Ò ) ·

          13

          31

          23

          32 = 0 ⇔

          Ò

        • Ò = 0 Ò + Ò = 0.

        3.7 Espaço-tempo da relatividade especial e sua conexão aĄm

          Na relatividade especial, assim como na mecânica clássica, são admitidos os sistemas de referenciais inerciais ou galileanos. Porém, como na relatividade especial o tempo depende do referencial escolhido, as leis que transformam as coordenadas de um evento em um referencial S em coordenadas de um outro referencial inercial SŠ serão modiĄcadas. Ao invés das transfor- mações de Galileu são utilizadas as transformações de Lorentz.

          O espaço-tempo relativístico ainda é um espaço aĄm e este é tratado, por Cartan, como uma derivação do conceito de equivalência, ou invariância, entre vetores do espaço-tempo. Neste ′ ′ ′ ′

          2

          2

          2 caso, o elemento de comprimento invariante é = ( ) ⊗ ( )⊗( )⊗( ), onde c é a velocidade da luz no vácuo. Consequência imediata da invariância da distância entre dois vetores dados pela pseudo-métrica acima, é que o produto escalar entre dois vetores é também

          , , ,

          invariante. Vamos considerar , vetores unitários anexos ao referencial galileano com

          1

          2

          3 as seguinte propriedade:

          2

          2

          2

          2

          2 ( ) = , ( ) = ( ) = ( ) = ⊗1, . = 0, . = 0 para ̸= (I)

          1

          2

          3

          1 Considerando um referencial móvel, nossa conexão linear aqui será dada por

          ∏︁

          1

          2

          3

          ⋁︁

          = æ + æ + æ + æ

          ⋁︁

          1

          2

          3

          ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁

          1

          2

          3

          ⨄︁

          = æ + æ + æ + æ

          1

          1

          2

          3

          1

          1

          1

          1

          1

          2

          3

          ⋁︁

          = æ + æ + æ + æ

          ⋁︁

          2

          1

          2

          3

          2

          2

          2

          2

          ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁

          1

          2

          3

          ⋃︁

          3 = æ + æ 1 + æ 2 + æ

          3

          3

          3

          3

          3 onde cada 1-forma æ é combinação linear dos diferenciais das funções que classiĄcam pontos do espaço-tempo, sujeita às restrições

          2

          æ = 0, æ = æ æ + æ = 0, com i, j = 1, 2, 3. (II)

          1

          2

          3

          , æ , æ

          dadas pela derivação das equações (I) desta seção. Aqui, também, os coeĄcientes æ representam a velocidade de translação dos eixos de um segundo referencial galileano SŠ em relação à um primeiro S. No limite, quando c tende ao inĄnito, as equações (II) reduzem-se às

        3.7. Espaço-tempo da relatividade especial e sua conexão aĄm

          Na relatividade especial, a noção de vetor momento-massa continua a ser a base da dinâmica de partículas pontuais e ainda poderá ser dado por

          (︁ )︁

        • + +

          1

          2

          3 após fazermos algumas deĄnições. Isto será necessário pois, utilizando a mesma deĄnição de momento linear da mecânica newtoniana, ao mudarmos de um referencial S para um referencial SŠ, via transformações de Lorentz, o momento linear não será conservado no caso de ausência de forças externas, devido as modiĄcações nas velocidades impostas pelas transformações de Lorentz. A forma encontrada, por Einstein, para resolver esse impasse foi alterar o conceito clássico de momento-linear.

          

        Definição 3.5. A massa de repouso de uma partícula, denotada por Û, é deĄnida pela

        raíz quadrada do produto escalar do vetor momento-massa por ele mesmo, ou seja,

          √︁ 2 2

          2

          2

          2

          Û = 1 ⊗ , onde = ( ) + ( ) + ( ) A massa de repouso é um valor correpondente à cada partícula pontual assim como a massa usual em mecânica clássica.

          Agora, através das transformações de Lorentz é possível relacionar um intervalo de tempo dt mensurado por um referencial S ao observar o seu sistema de relógios estáticos e o intervalo de tempo á que será por ele inferido via valores registrados através de um relógio móvel atre- lado à origem de um referencial SŠ que dele afaste-se com uma velocidade da qual V dependa. Chamaremos de o tempo próprio da partícula, e teremos a seguinte relação que nos dará a dilatação do tempo na relatividade especial:

          √︁ √︁ 2 2 2 2 Û

        • +

          2 2 2

           á ⊗ = 1 ⊗ =

          = Assim, a expressão do vetor momento-massa ganhará a forma generalizada abaixo, onde agora é válida a lei de conservação do momento linear.

          (︁ )︁

        • Û , onde Û e á, por deĄnição, independem da escolha do refe-

          1

          2

          3

           á á á á rencial.

          Do mesmo modo como Ązemos na mecânica clássica, poderemos estabelecer o princípio fundamental da mecânica relativística através da derivação do vetor momento-massa em relação

        • a á. Esta derivada será igual ao chamado hiperforça + +

          1

          2 3 que, conforme devíamos esperar, independe da escolha do referencial:

          Proposição 3.3. O vetor hiperforça independe da escolha do referencial Demonstração 2.3. Basta observarmos que √︃ (︂ )︂ (︂ )︂

          2

           á

          = = 1 ⊗

          2

           á √︃ (︂ )︂ (︂ )︂

          2

           á

          = = 1 ⊗

          2

           á √︃ (︂ )︂ (︂ )︂

          2

           á

          = = 1 ⊗

          2

           á

          Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos √︃

          2

           á

          = = 1 ⊗

          2

           á

          Por outro lado, o fato da massa de repouso ser constante, implica em restrições entre R, X, Y e Z: Temos que

          (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂

          2 ⊗ = 0 ( )

          Ou seja, o produto escalar entre o vetor hiperforça e o vetor momento-energia relativístico é igual a zero. Isso se deve à invariâcia do produto interno de um vetor por ele mesmo. Demais basta notar que a derivada do produto interno do vetor momento-massa por ele mesmo em relação ao tempo apropriado será igual a zero.

          Substituindo os termos dados na proposição 2.3 na equação acima, teremos:

          2 = + + (IV)

          Essa relação expressa o fato que o trabalho inĄnitesimal feito pela força é igual à vari-

          1

          2

          2 ação em = ÛÒ , onde Ò = √︁ . De fato, note que a expressão (IV) implica que 2 2 1 ⊗

          2 ( ÒÛ ) = Ò, mas Ò = , onde W é o trabalho realizado pelas forças aplicadas. Desde

           á á

          2 que a variação de energia é dada pela variação do trabalho executado, tem-se que = ÒÛ .

          Cabe observar que 1

          (︁ )︁

          1 2 2 +

          2

          2 2

          2

          2 = Û 1 ⊗ ♠ Û Û

          2 se v for muito pequena comparada à c (basta fazermos o desenvolvimento em série binomial).

        3.8 A dinâmica dos meios contínuos e a relatividade especial

          Vamos supor que todas as forças por unidade de volume são ausentes. Vimos nas seções an- teriores, na dinâmica clássica e na dinâmica de meios contínuos, as equações são essencialmente as mesmas: Basta introduzirmos o vetor momento-massa de um elemento de matéria na forma

          = ( )Π + ( )Π + ( )Π + (

          1

          2

          3 e deĄnirmos sua derivada exterior como sendo identicamente nula.

          Se equiparmos o meio contínuo com um referencial galileano Ąxo, as componentes Π, Π , Π , Π podem ser expressos como: Π = Π = Π ⊗ Π = Π ⊗

          

          Π = Π ⊗ A densidade de matéria , em seu referencial de repouso, será dada por:

        3.8. A dinâmica dos meios contínuos e a relatividade especial

          (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂

          1

          1

          1

           ∧ ⊗ ∧ ⊗

          = ∧ Π ⊗ Π Π Π ,

          2

          2

          2 onde o lado direito invariante, uma vez que é o produto escalar dos vetores (dt,dx,dy,dz) e (Π, Π , Π , Π ). Note que se Ązermos c tender ao inĄnito, as duas densidades serão iguais.

          A equação acima também pode ser escrita da forma:

          (︃ )︃

          2

          2

          2

        • +

          1 = + 1 ⊗ + ⊗ ( ),

          2

          2

          

        , ,

          Para veriĄcar isso, basta substituirmos Π, Π Π Π pelas suas correspondentes expressões e levar em conta as relações (II) da seção anterior.

          Assim, se considerarmos a ausência de forças externas e um referencial inercial variável em cada ponto do espaço-tempo teremos que as equações da dinâmica de meios contínuos serão idênticas as da mecânica clássica:

           G = (m e ) · Π + (m e ) · Π + (m e ) · Π + (m e ) · Π

          1

          2

          3

        • ( m e ) · Π + ( m e ) · Π + ( m e ) · Π + ( m e ) · Π

          1

          2

          3

        • (m e ) · Π + (m e ) · Π + (m e ) · Π + (m e ) · Π

          1

          2

          3 = (m e ) · Π + (m e ) · Π + (m e ) · Π + (m e ) · Π

          1

          2

          3

          1

          2

          3

          2

          3

          e e e e e e

        • ([æ + æ + æ ] ∧ e ) · Π + ([æ + æ + æ ] ∧ e ) · Π

          1

          2

          3

          2

          3

          1

          1

          3

          1

          2

          e e e e e e

        • ([æ + æ + æ ] ∧ e ) · Π + ([æ + æ + æ ] ∧ e ) · Π

          1

          3

          2

          1

          2

          3

          1

          2

          3

          2

          3

          e e e e e e

        • (m ∧ (æ + æ + æ )) · Π + (m ∧ (æ + æ + æ )) · Π

          1

          2

          3

          2

          3

          1

          1

          1

          1

          3

          1

          2

        • (m ∧ (æ + æ e + æ e )) · Π + (m ∧ (æ + æ e + æ e )) · Π

          1

          3

          1

          2

          2

          2

          2

          3

          3

          3 = (m e ) · [ Π + æ · Π + æ · Π + æ · Π ]

          1

          2

          3

          1

          1

          1

        • (m e ) · [ Π + æ · Π + æ · Π + æ · Π ]

          1

          2

          3

          2

          2

          2

        • (m e ) · [ Π + æ · Π + æ · Π + æ · Π ]

          2

          1

          3

          3

          3

          3 · · ·

        • (m e ) · [ Π + æ Π + æ Π + æ Π ]

          3

          1

          2

          1

          2 ∧ e ∧ ⊗ æ ∧ ∧ e ∧ ⊗ æ

        • (e 1 ) · [æ Π Π] + (e

          2 ) · [æ Π Π]

          3

          1

          2

        • (ee ) · [æ ∧ Π ⊗ æ ∧ Π] + (ee ) · [æ ∧ Π ⊗ æ ∧ Π ]

          3

          1

          2

          1

          3

          2

          3

        • (ee ) · [æ ∧ Π ⊗ æ ∧ Π ] + (ee ) · [æ ∧ Π ⊗ æ ∧ Π ]

          1

          3

          2

          3 Na relatividade também deĄniremos uma conexão adaptada a um sistema físico como sendo uma conexão que satisfaça a equação dG = 0 e assim como Ązemos na mecânica clássica, podemos veriĄcar se distintas conexões aĄns podem ser compatíveis com experimentos. Para isso, da mesma maneira, na passagem de uma conexão para outra, as componentes æ e æ

          Capítulo 3. Conexão aĄm do espaço tempo e a dinâmica dos meios contínuos æ =

          é descrito utilizando um referencial inercial Ąxo, encontramos as formas quadráticas

          æ

          3 ∧ Π + æ

          3

          1 ∧ Π + æ

          3

          2 ∧ Π = 0 independente de qual seja o estado do elemento de matéria considerado. Se o meio material

          æ · + æ

          2

          1 · + æ

          2 · + æ

          3 · = 0 (i=0,1,2,3)

          Assim, Ąnalmente, teríamos ampliado nossa noção de meio contínuo:

          

        Teorema 3.4. Uma conexão é adaptada ao sistema físico dG = 0 se, e somente se, preserva

        as formas quadráticas æ · + æ

          1 · + æ

          2 · + æ

          3 ∧ Π = 0

          1 ∧ Π + æ

          2 æ e æ + æ = 0.

          Π + æ

          Teremos que estas variações serão tais que

          æ

          1 ∧ Π + æ

          2 ∧ Π + æ

          3 ∧ Π = 0

          æ

          1 ∧

          1

          2

          2 ∧

          Π + æ

          1

          3 ∧

          Π = 0

          æ

          2 ∧ Π + æ

          3 · = 0.

          4 Principais propriedades de uma variedade com conexão aĄm

        4.1 O espaço aĄm

          A estrutura de um espaço aĄm 3-dimensional, o qual chameremos de M, é dado aqui em termos de referencial móvel, isto é, um campo suave de referenciais. Cartan sugere a possibilidade de associar a cada ponto uma inĄnidade de referenciais. Um ponto, segundo ele, no espaço desses referenciais, depende de 12 parâmetros. Ou seja, aqui aparece intuitivamente a ideia de Ąbrado de referenciais de uma variedade. Esses 12 parâmetros mencionados são coordenadas locais do Ąbrado, que neste caso, possui dimensão igual 12.

          Vamos analisar a passagem de um ponto m para um ponto inĄnitamente próximo m + dm: Fixando uma origem 0 e 3 vetores linearmente independentes , , , originando em 0,

          1

          2

          3

          1

          2

          3

        • 2
        • teremos que qualquer vetor poderá ser escrito da forma e qualquer ponto m

          1

          3

          1

          2

          2

        • + 3 pode ser escrito como 0 + .

          1

          3

          1

          2

          3

          , ,

          Considere que um referencial cartesiano é ligado = ( ) do espaço, sendo m sua origem. Agora, sejam , , os 3 vetores que junto com m deĄnem este referencial. Poderemos

          1

          2

          3 associar a cada ponto m um número inĄnito de referenciais. Caracterizamos cada referencial por 12 parâmetros , no espaço dos referenciais, e fazemos mudanças inĄnitesimais nestes parâme- tros. Como consequência dessas mudanças inĄnitesimais em , tanto m como , , sofrerão

          1

          2

          3 mudanças inĄnitesimais que poderão ser expressas como combinações lineares de , , , se

          1

          2

          3 olharmos para suas derivadas usuais:

          ∏︁

          1

          2

          3

          ⋁︁

          = æ + æ + æ

          ⋁︁

          1

          2

          3

          ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁

          1

          2

          3

          ⨄︁

          1 = æ 1 + æ 2 + æ

          3

          1

          1

          1

          1

          2

          3

          ⋁︁

          = æ + æ + æ (3.1.1)

          ⋁︁

          2

          1

          2

          3

          2

          2

          2

          ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁

          1

          2

          3

          ⋃︁

          = æ + æ + æ

          3

          1

          2

          3

          3

          3

          3 Aqui, os coeĄcientes æ e æ são combinações lineares dos diferenciais . Essas 12 formas permitirão, assim, Ąxar o referencial em + em termos do referencial em m, deĄnindo assim um deslocamento inĄnitesimal relativamente aos dois referenciais.

          

        Teorema 4.1. (Equação estrutural de um espaço afim) Seja M um espaço aĄm com

        deslocamentos inĄnitesimais deĄnidos conforme sistema de equações (3.1.1). Então:

          3

          

        ∑︀

        dæ = ææ

          =1

          3

          

        ∑︀

        dæ = ææ ,

          =1 onde i,j=1,2,3; e d é derivada exterior.

          Prova : Seja Ò um caminho fechado em M. Abusando da notação, tomaremos = (Ò( )).

          ∫︀ ∫︀

          Note que = (Ò( )) Ò( ) = ( ) ⊗ ( ) = 0, onde a penúltima igualdade segue do

          Ò Teorema Fundamental do Cálculo.

          ∫︀ ∫︀

          Da mesma forma, = (Ò( )) Ò( ) = ( ) ⊗ ( ) = 0

          Ò

        • ∫︁∫︁
        • ∫︁∫︁

        • dæ
        • dæ
        • æ
        • æ
        • 3
        • ∫︁∫︁
        • 3
        • ∫︁∫︁
        • 3

          2 )

          

        ææ

          =1

          ∑︁

          2

          2 (dæ

          1 )

          

        ææ

          =1

          1

          ∑︁

          1 (dæ

          ∫︁∫︁

          3 =

          3

          2

          2

          1

          1

          3 ⊗ æ

          3 (dæ

          3

          ∑︁

          ∑︀

          De acordo com a deĄnição acima, a escolha de uma lei que relacione espaços aĄns associados é bastante arbitrária. Basta, tomando dois pontos m e mŠ em uma variedade, que alguma lei nos permita relacionar um ponto qualquem do espaço aĄm em m a um ponto do espaço aĄm em mŠ e nos dizer que um vetor no espaço em m é paralelo ou igual a um vetor no espaço mŠ.

          Uma variedade se diz equipada com uma conexão afim se é especiĄcada

        uma lei que relacione espaços aĄns associados com quaisquer dois pontos inĄnitamente próximos

        desta variedade.

          Definição 4.1.

          O objetivo desta seção é generalizar a discussão que Ązemos na seção anterior, ou seja, encontrar uma equação estrutural para uma variedade arbitrária, assim como encontramos para um espaço aĄm.

          Se M é um espaço aĄm então,para todo i = 1,...,n, dm e são formas exatas.

          = 0, i,j=1,2,3 Corolário 4.1.

          ææ

          =1

          3

          =1

          d æ

          = 0, i= 1,2,3

          ææ

          =1

          ∑︀

          3

          d æ

          3 ) onde, d é derivada exterior. Daí,

          

        ææ

          3

          2

          2

          2

          ∑︁

          3

          1 ⊗

          1 (dæ

          ∫︁∫︁

          3 =

          3

          2 ⊗ æ

          1 ⊗ æ

          

        ææ

          1

          3 ⊗ æ

          3

          1 1 + dæ 2 2 + dæ

          ∫︁∫︁ d æ

          =

          ∫︁∫︁ d ( )

          =

          Capítulo 4. Principais propriedades de uma variedade com conexão aĄm ∫︁

          =1

          1 )

          1

          =1

          1

          ∫︁∫︁ d æ

          ( ) =

          ∫︁∫︁ d

          =

          ∫︁

          3 )

          

        ææ

          ∑︁

          2 (dæ

          3

          3 ⊗

          3 (dæ

          2 )

          

        ææ

          =1

          ∑︁

          3

          2 ⊗

        4.2 A noção de uma variedade com uma conexão aĄm

        4.2. A noção de uma variedade com uma conexão aĄm

          A partir de agora, trabalharemos em busca do nosso objetivo: encontrar uma equação estru- tural para uma variedade com uma conexão aĄm.

          1

          2

          3

          

        , ,

          Vamos associar a cada ponto = ( ) da variedade, 3 vetores linearmente inde- pendente , , no espaço aĄm tangente à m. Teremos que a conexão aĄm da variedade

          1

          2

          3 pode ser descrita, formalmente, assim como as equações (3.1.1), onde æ depende somente

          1

          2

          3 dos diferenciais , , . Isto pode ser interpretado da seguinte maneira: Dado qualquer ponto mŠ, inĄnitamente próximo de m, da variedade podemos identiĄcar mŠ com o ponto

          1

          2

          3

        • = + æ + æ + æ no espaço aĄm tangente à m. De maneira análoga, os

          1

          2

          3 ′

          1

          2

          3 vetores são equivalentes aos vetores + æ + æ + æ

          1

          2

          3 Dito isso, se tomarmos a derivada exterior de dm e , respectivamente, teremos:

          3

          ∑︁

          1

          1

          d

          ( ) = (dæææ )

          1 =1

          3

          ∑︁

          2

          2 (dæ + ææ )

          2 =1

          3

          ∑︁

          3

          3

        • ææ

          (dæ )

          3 =1 e

          3

          ∑︁

          1

          1

          ( ) = (dæ )

        • d ææ

          1 =1

          3

          ∑︁

          2

          2

          ææ

          (dæ ) + +

          2 =1

          3

          ∑︁

          3

          3

          ææ

        • (dæ + )

          3 =1 exatamente como o lado esquerdo das equações obtidas no teorema anterior.

          Porém, neste caso, não poderemos garantir que a integral ao longo de um caminho fechado inĄnitamente pequeno originando e teminando em m, na variedade, seja igual a zero, uma vez que a variedade não é necessariamente um espaço aĄm.

          Vamos deĄnir

          3

          ∑︀ ∑︀

          Ω = æææ = ææ (3.2.1),

           <

          =1 com j,k=1, 2, 3 para todo i=1,2,3.

          1

          2

          2

          3

          1

          3

          2 A última igualdade segue do fato de ¶ææ , ææ , ææ ♢ ser uma base de Λ ( ), logo

          2 podemos escrever Ω ∈ Λ ( ) como combinação linear dos elementos desta base, para todo i= 1,2,3.

          O vetor

          1

          2

          3

          

        d ( ) = Ω + Ω + Ω (3.2.2)

          1

          2

          3 deĄnirá uma 2-forma chamada torção de uma variedade com uma conexão afim.

          3

          ∑︀

          ⊗ ææ De modo análogo, não temos necessariamente æ = 0, e assim também

          =1 estabeleceremos

          3

          3

          ∑︀ ∑︀

          Ω = æææ = ææ (3.2.3)

          Capítulo 4. Principais propriedades de uma variedade com conexão aĄm

          As formas Ω deĄnem a chamada forma de curvatura da variedade com uma conexão aĄm dada. Resumindo, associado a todo caminho fechado originando e terminando em m , existe um deslocamento inĄnitesimal no referencial anexado em m. Os componente destes deslocamentos serão dados por Ω e Ω , que deĄnem, respectivamente, uma translação e uma rotação em m. A translação revelará a presença de torção e a rotação nos garantirá a presença de curvatura, em uma dada variedade com conexão aĄm.

          A partir das igualdades acima, onde deĄnimos as componentes de curvatura e torção, pode- mos chegar, facilmente, nas igualdades abaixo, a partir de uma simples derivação exterior:

          3

          3

          ∑︀ ∑︀

        d Ω Ω + ∧ ææ ∧ Ω = 0

          =1 =1 (3.2.4)

          3

          3

          ∑︀ ∑︀

          Ω Ω + dææ ∧ Ω = 0 =1 =1 Todas as equações deste capítulo serão muito utilizadas ao longo deste trabalho.

        5.1 Variedades com uma conexão métrica

          3

          Vamos considerar um espaço euclideano e escolher um referencial ortonormal e uma unidade de comprimento em cada ponto deste espaço. Quando passamos de um ponto m para um ponto inĄnitamente próximo m + dm, obtemos as fórmulas

          ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁

          = æ

          1

          5 Variedades com uma conexão métrica e in- variantes integrais de uma variedade com uma conexão euclideana

          2

        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ

          2

          1

          Uma variedade com uma conexão métrica é uma variedade com uma

        conexão aĄm tal que o espaço tangente aĄm em cada ponto m é também um espaço euclideano.

          3 = 0 e æ + æ = 0 para ̸= Definição 5.1.

          3

          2 = æ

          2

          1 = æ

          æ

          translação

          A derivada das relações acima nos dá

          2 = 0

          3 .

          3 =

          1 .

          2 =

          A diferença entre os espaços euclideanos que são tangentes em dois pontos inĄnitamente próximos são capturadas (para i, j = 1, 2,..., n) nas formas æ , æ , æ , onde æ é a componente da

          , uma vez que expressa o componente da velocidade na direção , o æ é componente de dilatação, pois representa o deslocamento inĄnitesimal do vetor na direção e, Ąnalmente, o æ é componente de rotação, já que nos dá o deslocamento inĄnitesimal do vetor na direção

          3 = 1 e

          11 = ♣

          /

          2

          22 = ...

          

        /

          2

          2 ♣

          /

          .

          2

          1 ♣

          Sendo ♣

          2 = e = 0, para todo i̸=j onde são constantes e dependem apenas de m.

          Considere um ponto m e um referencial { } em m. Vamos estudar o caso em que a unidade de comprimento é escolhida em cada ponto m, tal que: ♣

          Vamos, agora, generalizar as observações acima para uma variedade de dimensão arbitrária, referenciais não necessariamente ortonormais e comprimento de vetores Šs não necessariamente iguais.

          1 .

          3 .

          3

          3

          1

          2

          1

          2 = æ

          3

          1

          2

          2

          1

          2

          1

          1

          1

          1 = æ

          2

          2

          2 =

          2

          2 .

          1 =

          1 .

          1

          3

          3

          3

          3

          2

          1

          3

          1

          3 = æ

          3

          2

          3 Se deĄnimos um produto escalar entre dois vetores, utilizando a unidade de comprimento particular que é considerada absoluta, obtemos:

          

        Capítulo 5. Variedades com uma conexão métrica e invariantes integrais de uma variedade com uma

          52 conexão euclideana

          ( ) = ( )

          æ æ

          2 = 2

          æ

          = æ ( ) = 0

          = 0 +

          

        æ + æ = 0

          Feito isso, vamos considerar um vetor (Ý ) originando em m. Temos que o comprimento deste

          2 vetor é igual a (Ý ) , que varia de acordo com a unidade de comprimento escolhida em m. O

          Ý Ö mesmo ocorre para o produto escalar dos vetores (Ý ) e (Ö ).

          

        Definição 5.2. Seja (Ö) um vetor com componentes Ö . Chamaremos de componentes cova-

        riantes de Ö, e denotaremos por Ö , o produto escalar Ö.

          Note que com a notação acima, o quadrado do comprimento de um vetor (Ý ) é igual a Ý Ý

          2 e o (quadrado da distância entre dois pontos inĄnitamente próximos é igual à æ æ . Da mesma forma, deĄniremos Ω , æ e Ω como componentes covariantes dos vetores (Ω ), ▽ e Ω , respectivamente.

          Vamos deĄnir, também:

          1 Ω = Ω

          ii

          Com as relações acima estabelecidas, temos que:

          

        æ + æ = 0

          e, naturalmente Ω + Ω = 0

          Logo, podemos expressar as equações estruturais de uma variedade com uma conexão aĄm sua derivada, respectivamente, em termos de componentes covariantes:

          ∏︁ ⋁︁ æææ

          = æ + æ + Ω

          ⋁︁ ⨄︁ æ = Ω

          ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁

           æ = ææ + Ω = ææ + Ω ∏︁ ⋁︁

          Ω ⊗ æ ∧ Ω + æ ∧ Ω = 0

          ⋁︁ ⨄︁

          Ω = 0

          ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁

          Ω ⊗ æ ∧ Ω ⊗ æ ∧ Ω = 0 Definição 5.3.

          Uma conexão aĄm é dita euclideana se Ąxa-se uma unidade de comprimento única, válida para todos os espaços euclideanos que são tangentes à uma variedade.

          É importante notar que, numa conexão euclideana, as componentes æ de dilatação serão

          5.2. Conexão aĄm e mudança de coordenadas

          5.2 Conexão aĄm e mudança de coordenadas Iremos agora considerar o comportamento da conexão aĄm por mudança de coordenadas.

          ∑︀

          Sendo d Ð = Ð = [ Ð ] · [ Ð ] a forma que representa a parte que mensura a translação =1 de uma conexão aĄm, então recorde da álgebra linear que os referenciais se relacionam na forma

          ∑︀

          [ ] = [ ] [ ]

          

        Ñ ÐÑ Ð

          =1

          e, além disso, podemos relacionar as componentes dos vetores e da seguinte maneira:

          Ð Ñ ∑︀

          [ Ð ] = [ ÐÑ ] [ Ñ ] =1 onde ÑÐ são os isomorĄsmo lineares nas Ąbras induzidos pelas aplicações de transição ã ÑÐ ( , ) = ( , ÑÐ ( ) ≤ ).

          

        Proposição 5.1. Sendo e as formas que representam nos referenciais [ e [ ,

        Ð Ñ

          Ð ] Ñ ] respectivamente, então .

          

        Ð = Ñ

        Demonstração 5.1. Basta notarmos que

          ∑︁ Ñ = [ Ñ ] · [ Ñ ]

          =1

          ∑︁ ∑︁

          = [ ] · [ ] [ ]

          Ñ ÐÑ Ð

          =1 =1

          ∑︁ ∑︁

          = [ ÐÑ ] [ Ñ ] · [ Ð ] =1 =1

          ∑︁

          · = [ Ð ] [ Ð ]

          =1 = Ð de onde segue o resultado desejado.

          Passemos agora à parte linear da conexão

          

        Proposição 5.2. Sendo æ a matriz de formas que representa a parte linear de uma conexão

        Ð

          1

          1

          

        aĄm com relação ao referencial ¶[ ] , ..., [ ] ♢, então æ = æ , onde æ é a

        Ð

        • ⊗ ⊗

          1 Ð Ñ ÑÐ ÑÐ Ð Ñ

          ÑÐ ÑÐ

        54 Capítulo 5. Variedades com uma conexão métrica e invariantes integrais de uma variedade com uma

          ] + [ ÑÐ ] [æ Ð ] [

          ⊗

          Ð

          ] [

          Ð

          ] ) =

          ∑︁ , , =1

          ( [ ÐÑ ] + [ ÐÑ ] [æ Ð ] )[

          1

          ÑÐ

          ] [ Ñ ] =

          ∑︁ , ,

          =1 ([ ÑÐ ] [

          1

          ∑︁

          ÑÐ

          1

          ÑÐ

          ] )[ Ñ ]

          Por outro lado,

          [ Ñ ] =

          ∑︁

          =1 [æ Ñ ] [ Ñ ]

          De onde segue que β Ð

          ⊗

          1

          =1 [æ

          ]

          ⊗

          ÐÑ

          conexão euclideana Demonstração 5.2.

          Basta notarmos que

          [ Ñ ] =

          ∑︁

          =1 [ ÐÑ ] [ Ð ]

          =

          ∑︁

          =1 ([ ÐÑ ] [ Ð ] )

          =

          ∑︁

          =1 ( [

          ] [

          ÐÑ

          Ð

          ] + [

          ÐÑ

          ] [

          Ð

          ] ) =

          ∑︁

          =1 ( [

          ÐÑ

          ] [

          Ð

          ] + [

          1

        • ÑÐ

          æ Ð

          ÑÐ

          ÑÐ

          = æ

          Ñ .

        5.3 A forma de torção

          ∑︀

          =

          · = + æ .

          ⋂︀ ⋀︀

          =1 (æ )

          ⎡ ⨄︀

          =1

          ∑︁

          ( æ ) · =

          ∑︁ , =1

          =1 ·

          ∑︁

          ∧ æ ) ·

          =1 · a 1-forma vetorial local que descreve , então temos

          =1 (

          ∑︁ ,

          Sendo =

          ∑︁

          =

          =1 · ∧ ∇

          ∑︁

          =

          =1 ∇ ( · )

          ∑︁

          ∇ =

          =1 ·

        • ∑︁

          5.4. A forma de curvatura Proposição 5.3.

          Sendo Θ Ð a vetor de torção com relação ao referencial [ Ð ] , então temos Θ = Θ .

          Ñ ÑÐ Ð Demonstração 5.3.

          Segue imediatamente da deĄnição que

          ∧ Θ Ñ = Ñ + æ Ñ Ñ

          1

          1 = ( ) + ( æ ) ∧

        • ⊗ ⊗

          ÑÐ Ð Ð ÐÑ ÐÑ ÑÐ Ð ÐÑ ÐÑ

          ⊗ ⊗ ⊗

          1

          1

          1 = + + ÑÐ Ð ÑÐ Ð + ( æ Ð ÐÑ ) ∧ ÑÐ Ð

          ÐÑ ÐÑ ÑÐ

          ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

          1

          1

          1 = ÑÐ Ð ÑÐ Ð + ( æ Ð ÐÑ ÑÐ ) ∧ ÑÐ Ð

        • 1

          ÐÑ ÐÑ ÑÐ ÑÐ

          ⊗

          1 ∧ æ

          = ÑÐ Ð ÑÐ Ð Ð Ð ÑÐ Ð + +

          ÐÑ

          = ÑÐ ( Ð + æ Ð Ð ) . = ÑÐ Θ Ð

          ∑︀ Proposição 5.4. A forma [Θ ] · [ ] é um invariante diferencial global.

          Ð Ð

          =1

          Demonstração 5.4. De fato temos, ∑︁ ∑︁

          · · [Θ Ñ ] [ Ñ ] = [Θ Ñ ] [ ÐÑ ] [ Ð ]

           ,

          =1 =1

          ∑︁

          = [ ] [Θ ] · [ ]

          ÐÑ Ñ Ð ,

          =1

          ∑︁ = [Θ Ð ] · [ Ð ] .

          =1

          5.4 A forma de curvatura Teorema 5.1.

          Se Ω Ð é uma matriz de formas de curvatura associda à conexão aĄm com relação

          ⊗

          1

          

        ao referencial ¶[ , ...,,então Ω , onde Ω é uma matriz de formas de

        Ð ] [ Ð ] Ñ = ÑÐ Ω Ð Ñ

          1 ÑÐ curvatura associada à conexão aĄm com relação ao referencial ¶[ , ...,.

          Ñ ]

          1 [ Ñ ] Demonstração 5.5.

          Por deĄnição, temos

          ⊗ ææ Ω Ñ = dæ Ñ Ñ Ñ

          Pela proposição 4.2, + æ Ñ ÑÐ = ÑÐ ÑÐ æ Ð .

          Tomando a derivada exterior nos dois lados da igualdade acima:

        • dææ = æ dæ , ou seja,

          Ñ ÑÐ Ñ ÑÐ ÑÐ Ð ÑÐ Ð + + dæ Ñ ÑÐ = æ Ñ ÑÐ ÑÐæ Ð ÑÐ dæ Ð .

          ⊗ ⊗

          1

          1

          Ñ ÑÐ ÑÐ Ð ÑÐ ÑÐ

        • Substituido æ por æ , o lado direito da equação acima será igual a

          ⊗ ⊗

          1

          1 ( æ ) ∧ æ dæ . + + +

          ÑÐ ÑÐ Ð ÑÐ ÑÐ Ð ÑÐ Ð ÑÐ ÑÐ

        56 Capítulo 5. Variedades com uma conexão métrica e invariantes integrais de uma variedade com uma

          ⊗

          1

          ⊗

          1

          1

          ⊗

          ⏞ ⏟ ÑÐ æ Ð

          1

          ⏞ ⏟ ÑÐæ Ð

          ∧ ÑÐ

          1

          1

          ⊗

          ⏞ ⏟ ÑÐ

          1

          conexão euclideana Desta forma, dæ Ñ =

          ⊗

        • 2
        • 3
        • ÑÐ dæ Ð

          ÑÐ

        • ÑÐ
        • ÑÐ

        • 3
        • 2
        • ÑÐ æ Ðæ Ð

          Ñ

          ] [

          ÐÑ

          ] [

          

        Ð

          ] ∧ [

          ÐÑ

          ∑︀ , , ,

          ] [

          Ð

          ] =

          ∑︀ , , ,

          =1 [

          ÐÑ

          =1 [Ω

          Ñ

          ] =

          ∧ [ Ñ ] é um invariante diferencial global.

          Ð

          ⊗

          1

          ÑÐ Proposição 5.5. A forma

          ∑︀ ,

          =1 [Ω Ñ ] [ Ñ ]

          Demonstração 5.6. De fato, temos ∑︀

          Ñ

           ,

          =1 [Ω

          Ñ

          ] [

          Ñ

          ] ∧ [

          ] [Ω

          ] [

          ÑÐ

          ÐÑ

          =1 [Ω Ð ] [ Ð ] ∧ [ Ð ] ,

          onde a terceira igualdade segue do fato de ÐÑ

          ∈ ( ), que implica

          ÐÑ

          =

          1

          = ÑÐ .

          ] =

          

        5.5 Formas invariantes de uma variedade equipada com uma co-

        nexão métrica

          Nesta seção construiremos novos invariantes diferenciais a partir do vetor torção e do bivetor curvatura, que, como vimos nas seções anterioresĎ são invariantes diferenciais globais. Vamos considerar uma variedade com uma conexão euclideana, e suas componentes Ω e Ω , de torção e curvatura, respectivamente. Conforme vimos nas últimas duas seções,

          ∑︀

          · Ω

          ∑︀ ,

          ∧ · Ω são duas formas invariantes. A partir desses invariantes, podemos construir outros invariantes. Vamos considerar, respec- tivamente, o produto escalar e o produto exterior

          ∑︀ ,

          Ð

          ÐÑ

          =1 [

          ] [

          Ð

          ] ∧ [

          Ð

          ] =

          ∑︀ , , ,

          ÐÑ

          ] ∧ [

          ] [Ω

          Ñ

          ] [

          ÑÐ

          ] [

          Ð

          Ω

          ÑÐ

          =

          ÑÐ

          ÑÐ

          =

          1

          ⏞ ⏟ ÑÐ

          ⊗

          1

          ∧ ÑÐ

          )

          1

          ÑÐ

          ⏞ ⏟ ÑÐæ Ð

          ⊗

          1

          ÑÐ

          1

          æ Ð

          ⊗

          Ñ

          ÑÐ

          ÑÐ

          ÑÐ

          ÑÐ .

          Por outro lado, æ Ñ

          ∧ æ

          = (

          ÑÐ

          ÑÐ

          æ Ð

          )

          1

          ÑÐ

          ∧ (

          ⏞ ⏟ ÑÐ æ Ð

          1

          ÑÐ

        ÑÐ

          (dæ

          ∧ æ

          Ð

          ⊗

          1

          ÑÐ

          =

          

        Ð

          ÑÐ æ

          ⊗ æ

          Ð

          ∧ æ

          Ð

          )

          1

          Ð

          ⊗

          ÑÐ ÑÐ

          Ñ

        dada no início desta proposição:

          ⊗

          1

          ÑÐ

          ⊗

          1

          ÑÐ Logo, pela deĄnição de Ω

          Ω

          ÑÐ

          Ñ

          =

          ÑÐ dæ

          Ð

          ⊗

          1

          ÑÐ

        5.5. Formas invariantes de uma variedade equipada com uma conexão métrica

          ∑︀ Ý Ω

          =0

          ∑︀

          ∧ (Ý Ω ⊗ Ý Ω )

           , =1 dos vetores Ý + ... + Ý e Ω + ... + Ω .

          Agora considere um volume 3-dimensional incluso numa superfície inĄnitesimal fechada e um ponto a Ąxo, neste volume. Vamos decompor a superfície fechada em inĄnitos elementos e tomar um ponto m em um destes elementos.

          Analogamente a construção acima, vamos considerar as formas

          ∑︀

        æ

          Ω =0

          ∑︀ ∧ · (æ ∧ Ω ⊗ æ ∧ Ω ).

           ,

          =1 Podemos interpretar a primeira como a soma do produto escalar do vetor m-a, com a translação associada com o elemento de superfície em torno de m e a segunda como a soma geométrica do produto exterior destes vetores.

          De maneira similar, podemos considerar o deslocamento que um vetor arbitrário Ý + ... +

          Ý

          sofre como resultado da rotação Ω e a soma dos produtos exteriores deste deslocamento com as diferentes 2-formas que representam a rotação Ω , dadas, respectivamente, abaixo:

          

        Ý Ω e ∧ (Ý Ω + Ý Ω + Ý Ω )

          Finalmente, consideramos um volume 3-dimensional, como Ązemos anteriormente, as duas formas abaixo, elementos de integrais triplas

          

        æ ∧ Ω e ∧ (æ Ω + æ Ω + æ Ω )

          representam, nesta ordem, a soma geométrica dos deslocamentos sofridos pelo vetor m-a como um resultado da rotação associada com o elemento de superfície que contém m e a soma geo- métrica dos trivetores obtidos ao tomarmos o produto exterior do vetor m-a com o sistema de bivetores representando esta rotação.

          Estes procedimentos podem ser repetidos para obtermos invariantes integrais 4-dimensionais.

          Ý Ý

          Para cada vetor + ... + , podemos associar: (i)Seu produto escalar com æ ∧ Ω : Ý (æ ∧ Ω ); (ii)Seu deslocamento sob a rotação representada pela forma bivetorial

          ∧ (æ ∧ Ω ⊗ æ ∧ Ω ): Ý (æ ∧ Ω ⊗ æ ∧ Ω ); ∧ ∧ ⊗ æÝ

          (iii) Seu produto exterior com o sistema de bivetores (æ Ω Ω ): (ææ ∧ ∧ ∧ ⊗ æ ∧ ∧ ⊗ æ ∧ ∧ ⊗ æ

          Ω Ω ): [Ý (æ Ω Ω ) + Ý (æ Ω Ω ) + Ý (æ Ω Ω )]; (iv)Seu produto escalar com o vetor (æ ∧ Ω ) :Ý (æ ∧ Ω ); (v) Seu produto exterior com o vetor (æ ∧ Ω ): (Ýæ ∧ Ω ⊗ Ýæ ∧ Ω e

          ∧ (vi)Seu produto exterior com o sistema de trivetores (æ Ω + æ Ω + æ Ω ):

          ∧ [Ý (æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω ) ⊗ Ý (æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω ) + Ý (æ

          conexão euclideana

        58 Capítulo 5. Variedades com uma conexão métrica e invariantes integrais de uma variedade com uma

          Das expressões acima, surgem novos invariantes integrais: (æ

          ∧ æ ∧ Ω );

          ∧ (ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω ;

          ææ ∧ Ω ;

          ∧ (æ

          ∧ æ ∧ Ω

          ⊗ ææ ∧ Ω ;

          ∧ [ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω ] A interpretação geométrica destas formas é similar aquelas que foram expostas anterior- mente. Pode-se continuar, desta meneira, a obter formas invariantes com maior número de dimensões.

        6.1 Leis de gravitação newtoniana

          æ

          = + æ

          Uma conexão aĄm é dita galileana se ela é da forma ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁

          Definição 6.1.

          3 = ⊗ , æ = 0 para todo i, j = 1, 2, 3, onde X, Y e Z são as componentes da aceleração devido à gravidade em um sistema galileano Ąxo. Vale notar que as equações acima nos diz que um universo newtoniano, cujo campo gravitacional é constante em cada instante de tempo, possui curvatura nula.

          2 = ⊗ , æ

          1 = ⊗ , æ

          3 =

          2

          2 = , æ

          1 = , æ

          æ = , æ

          Conforme visto no capítulo 1, se admitirmos que uma deĄnição de equivalência entre re- ferenciais galileanos, cujas origens são inĄnitamente próximas, dê origem à uma conexão aĄm no espaço-tempo, teremos que as leis gravitacionais de Newton serão compatíveis com inĄnitas conexões aĄns. Porém, veremos a seguir que entre elas existe somente uma que será livre de torção, a saber, a conexão aĄm dada pelas equações :

          6 O espaço tempo em teorias de gravitação newtoniana e einsteniana

          3

          1

        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ

          1

        • æ
        • æ
        • æ
        • æ

        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • (æ
        • æ
        • (æ
        • æ
        • æ
        • (æ
        • æ
        • (æ
        • æ
        • æ
        • (æ
        • æ
        • (æ
        • æ
        • æ
        • (æ
        • æ
        • (æ
        • æ

          3

          3 )

          3 ˜

          1 = (æ

          1

          1

          1 )

          1

          2 )

          1

          2

          1

          2

          1 )

          2

          2

          1

          2

          1

          2

          3

          3

          3

          

        com æ = . Sejam Ω (l=1,2,3) as componentes da torção desta conexão e ˜ Ω as componentes

        da torção de qualquer outra conexão aĄm equivalente a conexão dada, digamos ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁

          = æ + æ

          1

          1

          2

          2

          3

          3 ˜ = (æ

          1

          1 )

          3

          3

          2

          2

          3

          1

          3 )

          1

          2

          3

          3 )

          3 = (æ

          2

          3

          3

          3

          3 )

          3

          1

          3 ˜

          1 )

          1

          3 ˜

          2 = (æ

          1

          2

          1

          2 )

          2

          2 )

          2

          2

          2 )

          2

          3

          2

          3

          3

          3

          1

          3 = æ

          2

          2

          2

          3

          2

          3

          1

          2

          3

          1

          2

          3

          2

          3

          1

          1

          3 Proposição 6.1.

          3 1 = æ

          3 = æ

          1

          1

          2

          2

          3

          1

          2 = æ

          1 1 + æ

          2

          1 2 + æ

          3

          1

          3

          3

          Dentre todas as conexões galileanas mecanicamente equivalentes, existe uma, e somente uma, que é livre de torção.

          2

          2 1 + æ

          2

          1

          2

          3

          1

          3 2 = æ

          2

          1

          2 2 + æ

          3

          2

          3

          3 = æ

          1

          1

          1

          Demonstração 6.1.

          2

          Seja dada uma conexão galileana adaptada qualquer num espaço-tempo.

          ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁

          = æ + æ

          1

          1

          2

          3

          1 = æ

          3 = æ

          1

          1

          2

          2

          3

          3

          1

          Capítulo 6. O espaço tempo em teorias de gravitação newtoniana e einsteniana Sendo

          1

          2

          3 = æ + æ + æ + æ

          1

          2

          3

          então

          1

          1

          2

          2

          3

          3

          dæ æ æ æ

          ( ) = æ ˜ + æ ˜ + æ ˜ + æ ˜

          1

          2

          2

          3

          3

          1

          2

          3

          1

          2

          3 ˜

          Ω + ˜ Ω + ˜ Ω = æ + æ + æ + æ

          1

          2

          3

          1

          2

          3

          1

          1

          2

          2

          3

          3 ⊗ æ [(æ + æ ) + (æ + æ ) + (æ + æ ) ]

          1

          2

          3

          1

          1

          1

          2

          2

          3

          3 ⊗ æ [(æ + æ ) + (æ + æ ) + (æ + æ ) ]

          1

          2

          3

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          2

          1

          1

          2

          2

          3

          3 ⊗ æ [(æ + æ ) + (æ + æ ) + (æ + æ ) ]

          1

          2

          3

          2

          2

          2

          2

          2

          2

          3

          1

          1

          2

          2

          3

          3 ⊗ æ [(æ + æ ) + (æ + æ ) + (æ + æ ) ]

          1

          2

          3

          3

          3

          3

          3

          3

          3

          ou, seja,

          3

          3

          

        ∑︁ ∑︁

          ˜ Ω = æææææ

          =0 =0

          3

          ∑︁ ææ ,

          = Ω + = 1, 2, 3 =0

          3

          

        ∑︀

        A última igualdade segue da deĄnição Ω = æææ .

          =0

          Vamos, agora, veriĄcar se a equação

          3

          ∑︀

        ææ possui solução, ou seja, se a conexão aĄm logo acima pode ser livre de

          = ⊗Ω =0 torção.

          Para isso, lembremos que também podemos deĄnir ∑︀

          Ω = ææ com i,j varrendo 0,1,2,3

           < Daí temos que

          3

          1

          1

          ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ ææ ææ ææææ

          = ⊗ = ⊗

          2

          2 =0 < < <

          Cujas únicas soluções em æ são

          1

          1

          2

          3

          æ = [⊗ æ æ æ ]

          01

          02

          03

          2

          1

          2

          3

          æ = [ æ æ æ ]

          1

          01

          12

          13

          2

          1

          1

          3

          = [ ]

        • æ æ æ æ

          2

          02

          12

          23

          2

          1

          1

          2

          æ [ æ æ æ ]

          = + +

          3

          03

          13

          23

          2

          que também são soluções de

          3

          ∑︀ æ · æ = 0

          =0

        6.1. Leis de gravitação newtoniana

          

        lembrando que esta última equação é equivalente a aĄrmação que uma conexão é mecanica-

        mente equivalente, ou seja, satistaz a equação dG = 0. Logo, são as únicas soluções do sistema

        de equações

          3

          ∑︀ æ · æ = 0

          =0

          e

          3

          ∑︀ ææ

          = ⊗Ω =0

          1 De outro modo, podemos escrever æ = ⊗ i Ω , com i = 0,1,2,3 e j = 1,2,3, onde i Ω é

          i i

          2

          o produto interior de Ω por .

          Definição 6.2.

          Uma conexão aĄm é dita newtoniana se é uma conexão galileana e, além disso, tem-se æ + æ = 0, para i, j = 1,2,3

        Proposição 6.2. Dado um espaço tempo com uma conexão newtoniana então entre todas as

        conexões aĄns mecanicamente equivalentes existe uma, e somente uma, tal que

          1

          2

          3

          

        æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω = 0

          1

          2

          3 Demonstração 6.2.

          Primeiramente, observe que se tomarmos dm numa conexão mecanica- mente equivalente a uma conexão newtoniana dada, então

          1

          2

          3

           .d ( ) = æ ∧ ˜ Ω + æ ∧ ˜ Ω + æ ∧ ˜ Ω

          1

          2

        3 Na proposição anterior, vimos que

          3

          ∑︀ ææ + Ω = ˜ Ω

          =0

          1

          2

          3

          logo, supondo æ ∧ ˜ Ω + æ ∧ ˜ Ω + æ ∧ ˜ Ω = 0, então, substituindo ˜ Ω , teremos

          1

          2

          3

          3

          3

          3

          ∑︀ ∑︀ ∑︀

          1

          2

          2

          3

          3

          æææææææ

          (Ω ) + æ (Ω ) + æ (Ω ) = 0 + +

        • 1

          1

          2

          3 =0 =0 =0

          ou seja,

          3

          3

          3

          ∑︀ ∑︀ ∑︀

          1

          2

          3

          1

          2

          3

          

        æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω = ⊗æææææææææ

          1

          2

          3

          1

          2

          3 =0 =0 =0

          

        Como æ + æ = 0, então o lado direito da igualdade acima pode ser escrito da forma

          1

          2

          3

          1

          2

          3

          1

          2

          3

          

        æææææææææææææ

          01 + æ 02 + æ 03 + 2æ 12 + 2æ 31 + 2æ

          23 Assim, para chegar no resultado que queremos, devemos resolver a equação acima e também

          as equações

          3

          ∑︀ æ · æ = 0, i = 1,2,3

          =0

          1

          2

          3 Escrevendo æ como combinação linear de æ , æ , æ e æ conforme deĄnição dada na seção

          2.6, e considerando que Ò = ⊗Ò , Ò = 0, æ = 0 (Ò = 0) e Ò = ⊗Ò , temos que

          00

          Capítulo 6. O espaço tempo em teorias de gravitação newtoniana e einsteniana

          1

          1

          2

          1

          3

          2

          2

          1

          2

          3

          3

          3

          1

          3

          2

          æ = Ò æ + Ò æ , æ = Ò æ + Ò æ , æ = Ò æ + Ò æ

          02

          03

          01

          03

          01

          02

          2

          2

          3

          3

          1

          3

          1

          1

          2

          æ = Ò æ + Ò æ , æ = Ò æ + Ò æ , æ = Ò æ + Ò æ

          12

          23

          31

          10

          13

          21

          20

          30

          32

          1

          1

          2

          3 Agora fazendo Ò = , Ò = , Ò = e Ò = ℎ e substituindo estas equações em (i)

          02

          30

          03

          21

          temos que

          1

          2

          3

          1

          2

          3

          1

          æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω = 4 æææ + 4 æææ (ii)

          1

          2

          3

          2

          3

          1

          2

          3

        • 4 æææ + 6ℎæææ

          Por outro lado,

          2

          3

          1

          1

          2

          2

          3

          3

        • æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω = æ Ω æ Ω æ Ω
        • 1

          1

          2

          3

          11

          22

          33

          1

          1

          2

          3

          1

          1

          2

          1

          1

          3 = æ ææ æ ææ æ ææ + +

          11

          11

          11

          23

          02

          03

          2

          2

          3

          1

          2

          2

          1

          2

          2

          3

        • + +

          æ ææ æ ææ æ ææ

          22

          22

          22

          31

          01

          03

          3

          3

          1

          2

          3

          3

          1

          3

          3

          2

          æ ææ æ ææ æ ææ

        • + +

          33

          33

          33

          12

          01

          02 Fazendo e comparando com a equação (ii), temos que =

          6= + + 123 231 312

          ⊗ 4 = 302 203

          ⊗ 4 = 103 301

          4 = 201 102 de onde segue o resultado.

          Como a conexão dada no início desta seção é galileana, de uma variedade 4-dimensional livre de torção e satisfaz as leis da gravitação newtoniana, a proposição 5.1 acima nos diz que ela é única.

        6.1.1 Propriedades invariantes do espaço-tempo newtoniano

          Para a teoria newtoniana, a estrutura do espaço-tempo é dada pelo produto cartesiano de um espaço tridimensional e do tempo, representados como espaços euclidianos. Como na gra- vitação newtoniana o tempo é absoluto, as seções do espaço-tempo com t constante também possuem um signiĄcado absoluto.

          A conexão aĄm livre de torção desta teoria é dada pelas equações

          1

          2

          3

          æ æ æ æ

          = , = , = , =

          1

          2

          3

          

        æ = ⊗ , æ = ⊗ , æ = ⊗ , æ = 0

          Se tomarmos a derivada exterior das equações acima, obtemos:

        6.1. Leis de gravitação newtoniana

          1

          2

          3 Ω = ⊗ , Ω = ⊗ , Ω = ⊗

          Ω = Ω = Ω = 0 (I)

          23

          31

          12 As relações (I) nos diz que o espaço tridimensional newtoniano é euclideano em qualquer ins- tante de tempo. Elas possuem claramente um signiĄcado invariante, uma vez que, por deĄnição, são componentes da derivada exterior de

          1 = 2 = 3 = 0.

          Definição 6.3.

          Seja : ⊗⊃ o campo de forças de um sistema. Se F é um campo

        gradiente, ou seja, se existe uma função : ⊗⊃ tal que ( ) = ⊗∇ ( ), diremos que F

        é conservativo. A função V é chamada de potencial gravitacional.

          3

          1 Proposição 6.3.

          Seja : ⊗⊃ um campo de vetores de classe no aberto simplesmente

          3 conexo . Então F é um campo gradiente em A se, e somente se, em A.

          =

          

        Demonstração 6.3. A demostração dessa proposição pode ser encontrada em

        Proposição 6.4.

          A lei que garante a existência do potencial gravitacional pode ser expressa pela equação

          1

          2

          3

          

        æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω = 0 (II)

          1

          2

          3 Demonstração 6.4.

          Basta observar que

          1

          æ ∧ Ω = ⊗æ

          1

          1

          (︂ )︂

        • = ⊗

          

          = ⊗

          Cálculos análogos nos dá que

          2

          æ

          Ω =

          2

          3

          æ ∧ Ω = ∧ + +

          3

          ou, seja,

          ⊗ = ⊗ = ⊗ = 0, de onde segue o resultado.

          

        Proposição 6.5. A equação dada na proposição anterior independe da escolha do referencial.

          3

          ∑︀ Demonstração 6.5.

          Primeiramente, vamos mostrar que o vetor Ω independe da escolha

          =1

          

        do referencial. Para isto, basta notarmos que como, para cada i=1,2,3, independe da escolha

        do referencial. Logo, lembrando a discussão feita no capítulo 4 teremos [ , pois a

        Ñ ] = [ Ð ]

        matriz será igual a identidade. Daí, pelo teorema 4.1, teremos Ω = Ω de onde segue

          ÐÑ Ñ Ð imediatamente o resultado.

        • æ
        • æ
        • æ
        • æ

        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • 2
        • 3
        • æ
        • æ

          1

          1 Ω

          (

          

          2

          1

          Demonstração 6.7. Basta observarmos que

          3 ∧ æ independe da escolha do referencial.

          2 ∧ æ

          1 ∧ æ

          3 = 4Þ æ

          Ω

          2 ∧

          1 ∧ æ

          2

          Ω

          1 ∧

          3 ∧ æ

          1

          Ω

          3 ∧

          2 ∧ æ

          Proposição 6.7. A equação æ

          Ω

          Ω

          2

          1 ∧ æ

          

        6.1.2 Caracterização do espaço-tempo da gravitação newtoniana via propri-

        edades invariantes

          Concluímos, então, que em uma variedade com uma conexão newtoniana livre de torção, as equações (I), (II) e (III) possuem um signiĄcado invariante.

          =1 Ω são invariantes.

          ∑︀

          3

          Ω = 0 e, as componentes espaciais de dm e o vetor

          uma vez que æ

          3 ),

          Ω

          2 ∧

          2

          3 ) =

          Ω

          1 ∧

          3 ∧ æ

          1

          Ω

          3 ∧

          2 ∧ æ

          3 ) ∧ (æ

          2 ∧

          1 ∧

          = (

          = 4Þ

          (︂

          )︂

          1

          Ω = 0, para todo i=1,2,3.

          mostramos é invariante), uma vez que æ

          =1 Ω (que conforme

          ∑︀

          3

          

        segue do fato do lado esquerdo desta equação ser o produto interno do vetor dm (cujas compo-

        nentes espaciais são independentes da escolha do referencial) pelo vetor

          3 = 0

          3 ∧ Ω

          2

          2 ∧ Ω

          1 ∧ Ω

          As equações de Poisson podem ser escritas da forma æ

          Finalmente, a invariância da equação æ

          Como pela equação (I), Ω = 0, para k=1,2,3, obtemos æ ∧ Ω = 0.

          =0 æ ∧ Ω = 0.

          ∑︀

          3

          ææ Logo tomando a derivada exterior de ambos os lados da equação acima, teremos

          =0

          ∑︀

          3

          =

          Capítulo 6. O espaço tempo em teorias de gravitação newtoniana e einsteniana dæ

          Proposição 6.6.

          2 ∧ æ

          =

          3 ∧

          3 =

          Ω

          2 ∧

          1 ∧ æ

          2

          Ω

          1 ∧

          3 ∧ æ

          1

          Ω

          2 ∧ æ

          3 ∧ Ω

          Demonstração 6.6. Basta observar que æ

          3 ∧ æ (III)

          2 ∧ æ

          1 ∧ æ

          3 = 4Þ æ

          2 ∧ Ω

          1 ∧ æ

          2

          1 ∧ Ω

          3 ∧ æ

          1

          Na subseção anterior, mostramos que as equações (I), (II) e (III) são invariantes em vari- edades com uma conexão newtoniana livre de torção. Nosso trabalho aqui será geometrizar o espaço-tempo da gravitação newtoniana a partir destas equações e, além disso, derivar delas a

        6.1. Leis de gravitação newtoniana

          Conforme é sabido da mecânica clássica, as equações = , para i = 1, 2,3 juntamente

          3

          ∑︀

          com a equação = ⊗4Þ , chamada equação de Poisson, produzem uma formulação =1 completa das leis de gravitação newtoniana.

          As observações acima e a proposição anterior nos dizem que o campo gravitacional é um campo conservativo. Feitas essas observações, vamos em busca do nosso objetivo: A partir das equações (I), (II) e (III) encontrar a conexão aĄm livre de torção da teoria gravitacional de Newton e, além disso, as equações acima.

          Como já foi dito na subseção anterior, se considerarmos um espaço-tempo com uma conexão newtoniana livre de torção, as equações (I) implicam que o espaço do espaço-tempo é euclideano. Assim, se escolhermos uma tríade espacial em um ponto do espaço-tempo, poderemos estendê-la para todos os outros pontos, via transporte paralelo, independentemente do caminho. Assim, podemos assumir que as equações

          3

          1

          2 æ = æ = æ = 0 se mantém em toda parte.

          2

          3

        1 Agora, note que as equações

          3

          ∑︀

        • æ = æ ææ implicam que, sendo t constante, as formas æ são diferenciais

          =1

          1 fechadas, e como são de classe , são exatas. Assim, pode-se deĄnir

          1

          2

          3

          æ = , æ = , æ =

          e escolhendo adequadamente o vetor temporal , pode-se deĄnir os coeĄcientes a, b, c iguais a zero. Daí, tem-se

          1

          2

          3

          æ

          = , æ = , æ = , æ = Agora, sendo a torção igual a zero, tem-se

           æ = æ de onde

          1

          2

          3

          æ = ⊗ , æ = ⊗ , æ = ⊗ ,

          Ou seja, as equações (I) nos fornece a conexão aĄm livre de torção da teoria gravitacional de Newton, dada no início deste capítulo. Além disso, as equações (II) podem ser escritas como ( + + ) ∧ = 0 e isto implica que, para t constante, + + é um diferencial exato, digamos dV.

          Portanto, tem-se = , = , =

          Finalmente, , as equações (III) rendem

          2

          2

          2 = ⊗4Þ , + +

          2

          2

          2

          Capítulo 6. O espaço tempo em teorias de gravitação newtoniana e einsteniana

          Ou seja, temos recuperadas todas as leis de gravitação newtoniana, onde V é o potencial gravitacional e (X,Y,Z) é o campo gravitacional.

        6.2 A formulação invariante das leis de gravitação Einsteniana

          O espaço-tempo da gravitação einsteiniana é uma variedade 4-dimensional com uma conexão newtoniana, com a métrica estabelecida pelas equações

          2

          

        æ = æ , æ + æ = 0

          onde c é a velocidade da luz no vácuo. A distância entre dois pontos inĄnitamente próximos será dada por

          2

          2

          1

          2

          2

          2

          3

          2 ⊗ ⊗ ⊗

          (æ ) (æ ) (æ ) (æ ) Devemos, aqui, recuperar a variedade com uma conexão newtoniana se Ązermos a velocidade da luz tender ao inĄnito. Conforme Ązemos na teoria de gravitação newtoniana, também teríamos que mostrar que entre todas as conexões einstenianas mecanicamente equivalentes num espaço- tempo, existe uma e somente uma, tal que a forma escalar æ ∧ Ω seja igual a zero. Será natural para dizer que esta é a que vai ser a conexão aĄm do universo.

          Teoricamente, a torção do espaço tempo não precisa ser nula. Porém, por enquanto vamos considerar que seja, conforme a teoria de gravitação de Einstein. A questão fundamental aqui é que as leis de gravitação de Newton dependem da escolha do referencial. Conforme vimos, para que tais leis sejam válidas, precisamos de um referencial galileano, ou outro, que esteja em movimento de translação uniforme em relação ao um referencial galileano Ąxo. Mas com a teoria da relatividade geral e a inserção de referenciais não-inerciais, as leis de gravitação de Newton não são mais invariantes. O problema então é modiĄcar estas leis procurando manter o máximo de suas estruturas gerais quanto possível.

          Primeiro passo, será desconsiderar as relações Ω = Ω = Ω = 0, pois estas nos limita a

          22

          31

          12 referenciais cujas tríades espaciais são paralelas, normalmente utilizadas na relatividade especial, uma noção que somente será válida na ausência de gravitação.

          O mesmo não ocorre com a relação

          1

          2

          3

          

        æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω = 0

          1

          2

          3 Isso se deve ao fato de

          3

          3

          ∑︀ ∑︀

          0 = d(Ω ) = ⊗ Ω Ω =0 =0 e estarmos considerando nulos as componentes da torção.

        • ææ

          2 O resultado, então, segue do fato de termos Ω = Ω Finalmente, embora a equação

          2

          3

          1

          3

          1

          2

          1

          2

          3

          1

          2

          3

          

        ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω + ææ ∧ Ω = 4Þ ææææ , ( )

        aqui, não seja invariante, tentaremos recuperar esta característica.

          Segundo a Teoria da Relatividade Geral, as propriedades geométricas do espaço-tempo são

        6.2. A formulação invariante das leis de gravitação Einsteniana

          ∧ æ

          æ

          ∧ æ

          ∧ æ

          Ω

        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • æ
        • ææ
        • ææ
        • ææ
        • æ
        • æ
        • ææ
        • ææ
        • ææ

          3 ∧ æ

          3

          3

          ∑︀

          =0 [

          ÐÑ

          ] [

          Ð

          ] ) =

          ∑︀ , , ,

          Ð

          =0 [ ÐÑ ] [ ÐÑ ] [ ÐÑ ] [ ÐÑ ] [æ Ð ]

          ∧ [æ Ð ] [ Ð ]

          ∧ [ Ð ]

          Como

          ⊗

          1

          ÐÑ

          ] ) ∧ (

          ] [

          ÐÑ , segue que a expressão acima é igual a

          ∑︀

          ∑︀

          =0 [(

          ÐÑ

          ] [æ

          Ð

          ] ) ∧

          3

          =0 ([

          ÐÑ

          ÐÑ

          ] [æ

          Ð

          ] )][(

          3

          

        ∑︀

          =0 [([

          =

          3

          =0 [

          1 ∧ æ

          2 ∧ Π

          2 ⊗

          1

          2

          æ

          3 ∧ Π

          3 ou ⊗ ææ

          2 ∧ æ

          2

          3 = æ ∧ Π + æ

          1 ∧ Π

          1

          2 ∧ Π

          2

          3 ∧ Π

          3

          æ

          1

          ∑︀ ,

          3 é o vetor momento-massa, temos que

          =0 [æ Ð ] ∧ [æ Ð ] [ Ð ] ∧ [ Ð ]

        , de onde segue o resultado.

          Quando analisamos a relatividade em meios contínuos, vimos que sendo Π+

          1 Π

          1

          Π

          2

          Π

          ææ

          1 ⊗

          1 ∧ æ

          2 ∧ æ

          3 = æ ∧ Π ⊗

          1

          2

          æ

          1 ∧ Π

          3

          ∑︀ ,

          1 ∧

          02

          3 . Assim podemos reescrever a equação (i) da forma:

          æ

          2 ∧ æ

          3 ∧ Ω

          01

          3 ∧ æ

          1 ∧ Ω

          1 ∧ æ

          1 ∧ æ

          2 ∧ Ω

          03

          1 ∧ Ω

          23

          2 ∧ Ω

          31

          3 ∧ Ω

          2 ∧ æ

          12 com a densidade de matéria presente da seguinte maneira: Vimos que a densidade matéria em seu referencial de repouso é dada por ææ

          ææ

          1 ∧

          Ω

          02

          1 ∧ æ

          2 ∧

          Ω

          03

          01

          Ω

          Ω

          23

          3 ∧

          2 ∧

          Ω

          31

          2 ∧ æ

          3 ∧

          12 = Ú

          1 ∧ æ

          3

          , ...,

          Na seção 4.5, mostramos que Ω é invariante. Logo, basta veriĄcarmos que

          1

          2

          d d também é invariante e o resultado que desejamos será natural.

          Vamos escrever d Ñ = [æ Ñ ] [ Ñ ] com relação ao referencial ¶[

          Ñ ]

          1

          [ Ñ ]

          2 ∧ æ

          3 ♢.

          Então,

          1

          2

          d Ñd Ñ =

          ∑︀ , =0

          [æ Ñ ] ∧ [æ Ñ ] [ Ñ ] ∧ [ Ñ ] =

          2 d d e Ω .

          1

          

        Proposição 6.9. Primeiramente, vamos notar que a forma dada no enunciado é igual ao pro-

        duto exterior de

          12 é uma forma invariante.

          3 ( ) onde Ú é o valor que iremos encontrar adiante.

          Proposição 6.8. A expressão æ

          2 ∧ æ

          3 ∧ Ω

          01

          3 ∧ æ

          1 ∧ Ω

          02

          1 ∧ æ

          2 ∧ Ω

          03

          1 ∧ Ω

          23

          2 ∧ Ω

          31

          3 ∧ Ω

          3

        • 2
        • 3
        • æ
        • æ

          Capítulo 6. O espaço tempo em teorias de gravitação newtoniana e einsteniana

          Daí, podemos escrever (ii) da forma

          ææ ∧ ∧ æ ∧ ∧ æ ∧ ∧ æ ∧ ∧ æ ∧ ∧ æ

          Ω + æ Ω + æ Ω + æ Ω + æ Ω + æ Ω

          2

          3

          01

          3

          1

          02

          1

          2

          03

          1

          23

          2

          31

          3

          12

          1

          2

          3 = ⊗Ú (æ ∧ Π + æ ∧ Π + æ ∧ Π + æ ∧ Π ) ( )

          1

          2

        3 Agora, se notarmos que o lado esquerdo da última equação é igual à

          1

          1

          1

          1

          ææææææææ

          Ω Ω Ω Ω + + +

          2

          3

          01

          2

          3

          01

          3

          1

          02

          3

          1

          02

          2

          2

          2

          2

          1

          1

          1

          1

        • ææ ∧ Ω ææ ∧ Ω ææ ∧ Ω ææ ∧ Ω

          1

          2

          03

          1

          2

          03

          1

          23

          1

          23

          2

          2

          2

          2

          1

          1

          1

          1

        • ææ ∧ Ω ææ ∧ Ω ææ ∧ Ω ææ ∧ Ω

          2

          31

          2

          31

          3

          12

          3

          12

          2

          2

          2

          2 encontraremos as sequintes equações:

          æ ∧ ∧ ∧

          Ω + æ Ω + æ Ω = ⊗2ÚΠ

          1

          23

          2

          31

          3

          12

          1 ⊗æ ∧ ∧ ⊗ æ

          Ω + æ Ω Ω = ⊗2ÚΠ

          23

          2

          03

          3

          02

          2 ⊗æ ∧ Ω + æ ∧ Ω ⊗ æ ∧ Ω = ⊗2ÚΠ

          31

          3

          01

          1

          03

          3 ⊗æ ∧ Ω + æ ∧ Ω ⊗ æ ∧ Ω = ⊗2ÚΠ

          12

          1

          02

          2

        01 Que, também, são invariantes. De fato, podemos veriĄcar que os lados esquerdos das equa-

          ções acima são iguais aos produtos interiores do lado esquerdo da equação (iii) em relação à , , , respectivamente.

          1

          2

        3 Para determinarmos o valor de Ú, vamos considerar um campo gravitacional para o qual

          as leis newtonianas se mantenham numa primeira aproximação. Então, vamos considerar um campo gravitacional fraco para que, no limite, as leis newtonianas sejam válidas. Como, no espaço-tempo estritamente newtoniano, o lado esquerdo da primeira equação acima se anula, precisamos que Ú tenda à zero.

          Assim, no limite, a segunda equação nos dá:

          æ ∧ Ω = æ ∧ Ω ⊗ æ ∧ Ω

          23

          2

          03

          3

        02 Conforme vimos no início da subseção 4.1.1, podemos escrever

          3

          2 Ω = ⊗ , Ω = ⊗ , onde Y e Z são, respectivamente, a segundo e terceiro componente da aceleração devida à gravidade. Além disso, na subseção 4.1.2 vimos que = e = , one V é o potencial gravitacional.

          23

        2 Se escrevermos æ ∧ Ω = ∧ Ω e considerarmos o que foi recordado logo acima, teremos

          23 que:

          æ ∧ Ω = æ ∧ Ω ⊗ æ ∧ Ω

          23

          2

          03

          3

          02

        6.2. A formulação invariante das leis de gravitação Einsteniana

          implica

          2

           ∧ ∧ ⊗ æ

          Ω = æ Ω Ω = ∧ ⊗ ∧ ⊗

          23

          2

          03

          3

          02 = ⊗ + Assim,

          [︂ ⎢

          1 Ω =

          23

        2 A equação acima nos mostra que, na primeira aproximação, sabe-se a curvatura do espaço, em cada instante de tempo, devido ao potencial gravitacional.

          Cálculos análogos resultarão em:

          

        [︂ ⎢ [︂ ⎢

          1

          1 Ω = ⊗ + , Ω = ⊗ +

          31

          12

          2

          2 Agora, se substituirmos esses valores na equação

          æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω = ⊗2ÚΠ

          1

          23

          2

          31

          3

        12 Obteremos

          [︂ (︂ )︂⎢ [︂ (︂ )︂⎢

          1

          1

           + ∧ ⊗ +

          2

          2

          [︂ (︂ )︂⎢

          1

        • ∧ ⊗ + = ⊗2ÚΠ

          2 que por sua vez implica em

          [︂ ⎢ [︂ ⎢ [︂ ⎢

          1

          1

          1

          2

          2

          2 = ⊗2Ú Usando a deĄnição de diferencial de uma função, teremos que

          (︃ )︃

          2

          2

          2

          2

        • = ⊗2Ú

          2

          2

          2

        2 Ou seja,

          ⊗ 4Þ

          Ú = .

        2 O valor encontrado para Ú sugere que, numa primeira aproximação, a curvatura total do

          8Þ espaço é não-negativa e igual à , onde é a densidade de matéria. Para veriĄcar este fato,

          2 basta substituir o valor de Ú na equação

          æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω = ⊗2ÚΠ

          1

          23

          2

          31

          3

        12 Finalmente, a densidade do momento-massa é a manifestação física de um vetor com origem

          geométrica:

          Capítulo 6. O espaço tempo em teorias de gravitação newtoniana e einsteniana

          1

          2

          3

           · Π + · Π + · Π + · Π =

          1

          2

          3

          2

          ∑︀

          ⊗ (æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ ∧ Ω ) 8Þ , , ,

          De fato, nós vimos na seção 4.2 que o lado direito desta igualdade é uma forma invariante associada à variedade, a curvatura vetorial de um elemento 3-dimensional num espaço-tempo. A lei de conservação de momento-massa, obtida analiticamente das equações de dinâmica de meio contínuo, é imediatamente consequência do fato deste invariante possuir derivada exterior igual a zero (basta veriĄcarmos que d(m æ ∧ Ω ) = Ω ∧ Ω e lembrarmos que estamos considerando um espaço-tempo livre de torção).

          A discussão acima mostra que embora esteja mais intimamente relacionado à mecânica newtoniana do que se poderia esperar, a teoria de Einstein possui um conteúdo físico muito mais rico. As leis de gravitação de Newton são, de certa maneira, remanescentes das leis de gravitação de Einstein, basta fazermos c tender ao inĄnito.

          7 Eletromagnetismo e a conexão aĄm do espaço-tempo

          Nas suas observações sobre eletromagnetismo e relatividade especial, Cartan, diferentemente de Einstein, não postula a constância da velocidade da luz. Ele alicerça suas ideias levando em conta o princípio da relatividade segundo Poincaré, que aĄrma que nenhum experimento eletromagnético ou mecânico pode detectar a diferença entre estados de movimento uniforme. Neste capítulo, veremos que as equações de Maxwell podem ser deduzidas a partir de 2-formas diferenciais cujos coeĄcientes são campos eletromagnéticos.

        7.1 Equações de Maxwell

          No estudo da teoria da gravitação de Newton e Einstein, vimos que, entre todas as conexões mecanicamente equivalentes, existe uma que se distingue de todas as outras pela seguinte pro- priedade:

          3

          ∑︀ æ ∧ Ω = 0

          =0 Porém, nada se aĄrma sobre a necessidade da torção ser identicamente nula, conforme a teoria de gravitação segundo Einstein. Faremos algo semelhante na teoria de eletromagnetismo.

          No nosso estudo da teoria da relatividade especial, as equações de Maxwell serão formuladas da seguinte maneira: Vamos Ąxar um referencial galileano e deĄnir as formas Ω = + + + + +

          

        • Ω = + + + + = onde , , são as componentes da indução magnética; , , os da indução

          elétrica

          ; , , os do campo elétrico, , , os do campo magnético, , , os da densidade de corrente e, Ąnalmente, é a densidade de carga. Chamaremos tais formas de forma de campo eletromagnético, forma de indução

          

        eletromagnética e forma de carga-corrente, respectivamente. Note que S representa a

          quantidade elementar de eletricidade assim como Π representou, no capítulo 1, a quantidade elementar de matéria.

          Proposição 7.1.

          As equações de Maxwell homogêneas B

          ∇.B = 0 + ∇ × E = 0

          são equivalentes à equação d Ω = 0,

          Capítulo 7. Eletromagnetismo e a conexão aĄm do espaço-tempo onde Ω é a forma de campo eletromagnético e d é a derivada exterior.

          Demonstração 7.1.

          Sendo

        • + + + + Ω = então

          d

          Ω = + +

        • + +

          

          = + +

          (︂ )︂ (︂ )︂

          =

          (︂ )︂ (︂ )︂

        • = 0

          se e somente se,

          = 0 + +

        • ⊗ = 0
        • ⊗ = 0

          = 0 Proposição 7.2.

          As equações de Maxwell não-homogêneas

          ∇. = 4Þ + ∇ × = 4Þ

          são equivalentes à equação d Ω = 4Þ Demonstração 7.2.

          Sendo

        • + + + Ω =
        • então

          d

          Ω = d + d + d

        • d + d + d

          7.2. Teoria do elétron de Lorentz, conexão aĄm e eletromagnetismo

          = + + +

        • = 4Þ

          se e somente se,

          = 4Þ + +

          = 4Þ

          = 4Þ

        • ⊗ = 4Þ A proposição acima implica que dS=0, que expressa a lei de conservação de carga, ou seja:
        • . = 0

          

        7.2 Teoria do elétron de Lorentz, conexão aĄm e eletromagnetismo

          Uma pergunta natural aqui é: Como modiĄcar as equações de Maxwell para trabalharmos com uma conexão aĄm arbitrária no espaço-tempo da relatividade especial? A resposta depende de como a conexão que relaciona com as características essenciais das equações de Maxwell. Podemos começar a pensar da seguinte forma: Uma vez que as equações de

          Maxwell são equações diferenciais parciais de primeira ordem, elas envolvem valores numéricos de quantidades físicas em dois pontos inĄnitamente próximos do espaço-tempo. Estes valores numéricos são obtidos Ąxando um referencial inercial. Portanto, para comparar esses valores obtidos em dois pontos inĄnitamente próximos, devemos ser capazes de alinhar um referencial em relação ao outro. Assim, podemos dizer que para escrever as equações de Maxwell, ou qualquer outra lei física, precisa-se saber a conexão aĄm do espaço-tempo.

          Contudo, a primeira equação de Maxwell ∇. = 0 resume um grande número de experimen- tos que mostram que o Ćuxo de indução magnética total é sempre zero. Portanto, a formulação analítica correta não é a que envolve derivadas parciais, que podem até mesmo não existir. Ela é antes a declaração que a integral

          ∫︁∫︁

        • + tomada sobre uma superfície fechada é zero. Deste ponto de vista, o signiĄcado físico das leis de maxwell é melhor conduzido pelas equações

          ∫︁∫︁

          Ω = 0 e

          ∫︁∫︁ ∫︁∫︁∫︁

          Ω = 4Þ

          Capítulo 7. Eletromagnetismo e a conexão aĄm do espaço-tempo

          do espaço-tempo (e representa a carga elétrica contida nele) e a integral do lado esquerdo estende- se sobre o bordo bidimensional deste volume. Nesta formulação, as equações de Maxwell se mantém sob as hipóteses relativas a conexão aĄm do espaço-tempo.

          7.2.1 A teoria do elétron de Lorentz

          Nesta subseção, faremos um brevíssimo comentário sobre a teoria do elétron de Lorentz, uma vez que o restante desta seção será desenvolvida se apoiando em hipóteses desta teoria. A teoria do elétron de Lorentz surgiu de um esforço cientíĄco de sístese entre a teoria eletromagnética de Maxwell e a concepção atômica da matéria. O resultado deste esforço foi a concretização de uma nova visão de mundo, diferente da mecanicista.

          O modelo de Lorentz, iniciado em 1892, recebeu sua forma completa em 1904, baseando-se nas seguintes hipóteses: (i) O elétron esférico em movimento se deforma como qualquer corpo; (ii) Todas as forças não elétricas são inĆuenciadas pelo movimento da mesma maneira que as forças eletrostáticas entre elétrons; (iii)A massa do elétron é totalmente de origem eletromagnética e o único momento linear existente é o momento eletromagnético; (iv)A inĆuência do movimento sobre dimensões dos corpos é somente na direção do movi- mento; (v)As massas de todas as partículas variam da mesma maneira que a massa do elétron. Ao longo desta seção, iremos utilizar, principalmente, as hipótese (ii),(iii) e (v). No seu trabalho de 1895, Lorentz introduz o princípio dos estados correspondentes que assegura a invariância das equações básicas de Maxwell de maneira que o movimento em relação ao éter não altera os fenômenos eletromagnéticos observados.

          7.2.2 Conexão afim e eletromagnetismo à luz da teoria de Lorentz

          Vamos assumir o príncípio dos estados correspondentes de Lorentz e identiĄcar, no vácuo, a indução magnética com o campo magnético e a indução elétrica com o campo elétrico. Se escolhermos um referencial inercial, ou outro referencial que desempenha o mesmo papel, em cada ponto do espaço-tempo, podemos deĄnir

          ∑︀

          Ω = ææ

           , ∑︀

          ææ

          Ω =

           , , , ∑︀

          = æææ

           , , ,

          de forma que as equações dΩ = 0 e dΩ continuam invariantes. Consequência disto é que, se representarmos por æ , teremos as seguintes relações expressando tais equações, respectivamente:

        7.2. Teoria do elétron de Lorentz, conexão aĄm e eletromagnetismo

          

        ♣ = 4Þ

        onde temos = e = ⊗ .

          Porém a invariância das equações de Maxwell não têm como consequência a conexão aĄm do espaço-tempo pois tais equações não fornecem todas as leis do eletromagnetismo. Na teoria de Lorentz, existe também a equação que dá a hiperforça exercida pelo campo eletromagnético no elétron.

          Nos apropriando das hipóteses (ii), (iii) e (v) da teoria de Lorentz, aqui, da mesma forma que Ązemos na mecânica clássica e na relatividade, podemos aĄrmar que a hiperforça é dada pela derivada exterior do momento-massa eletromagnético, que será representado pelo vetor deslizante

          1

          G

          = ⊗(m ) æ à (m ) æ

        • à

          2 onde

          

        æ = æææ æ = ⊗æææ

          1

          2

          3

          1

          2

          3

          

        æ = ⊗æææ æ = ⊗æææ

          2

          3

          1

          3

          1

          2 Vamos assumir que a torção é igual a zero. Então, tratando m, e æ como se fossem constantes, e tomarmos a derivada exterior de G, teremos:

          dG

          = 4Þm ææææ

          1

          2

          3 Assim temos a expressão da hiperforça em termos das componentes do campo eletromagné- tico e da hipercorrente, análogo à mecânica clásssica e à relatividade especial.

          Agora, se supormos que a torção é não-nula, temos que pensar em quais condições a conexão aĄm do espaço-tempo deve satisfazer para que a equação dada logo acima se mantenha. Vamos

          2 supor que o do espaço-tempo é Ąxo. Como as relações dadas nas proposições 6.1 e 6.2 são invariantes, ou seja, independem da escolha da conexão aĄm do espaço-tempo, as componentes do campo eletromagnético e da hipercorrente serão completamente determinadas. Logo, se existir uma conexão que satisfaça a equação acima, ela será mecanicamente equivalente àquela conexão livre de torção.

        8 Considerações Ąnais

          Neste capítulo, falaremos sobre como Cartan concebeu as ideias que originaram na conhecida teoria de Cartan-Einstein, que é uma modiĄcação da Teoria Geral da Relatividade e permite o espaço-tempo possuir conexão aĄm cujo tensor torção não se anula.

          Para isso, representaremos a densidade de momento-massa na mecânica de meios contínuo por

          G

          = m + Π ∧ Π , onde Π = . + Se admitirmos a possibilidade da torção ser não-nula e exigirmos, como na teoria de Einstein, que a densidade do momento-massa seja um invariante de característica puramente geométrica, para encontrarmos o invariante apropriado, vamos retornar à interpretação geométrica de G discutida na seção 5.2.

          Nesta interpretação, foi atribuída à G somente a rotação associada ao elemento de superfí- cie. Agora, vamos lembrar que se substituirmos esta rotação pelo deslocamento total (rotação e

          translação) associado com um elemento (ver seção 4.5), obteremos a forma geométrica: ∑︀

          ¶m (æ ∧ Ω + æ ∧ Ω + æ Ω ) ⊗ (æ ∧ Ω ⊗ æ ∧ Ω )♢

           , , ,

          Se esta forma representar, a menos de uma constante multiplicativa, a densidade de momento- massa, sua derivada exterior deve ser nula. Por outro lado, como esta forma é invariante, é facil veriĄcar que sua derivada exterior é igual a

          ∑︀

        ∧ ∧ ∧

          [Ω Ω + Ω Ω + Ω Ω ]

           , , ,

          que não é identicamente nula. Logo, para mantermos a interpretação, deveremos fazer uma hipótese restritiva não somente sobre a torção, mas também sobre a curvatura do espaço-tempo. A mais simples, seria assumir relações entre as componentes de torção e curvatura que façam desaparecer os coeĄcientes de , para todo i = 0,1,2,3, na derivada exterior. Isto renderia numa generalização da teoria de Einstein compatível com todas as leis do eletromagnetismo. Nesta teoria, a torção desaparece numa região onde a densidade do momento-massa pode ser representada por um vetor simples, como Ązemos na discussão da teoria de Einstein.

          

        Referências

          ABRAHAM, R.; MARSDEN, J. E.; MARSDEN, J. E. Foundations of mechanics. [S.l.]: Benjamin/Cummings Publishing Company Reading, Massachusetts, 1978. ARNOLŠD, V. I. Mathematical methods of classical mechanics. [S.l.]: Springer Science & Business Media, 2013. v. 60. CÂMARA, L. M. Uma Breve Introdução à Topologia das Variedades. Notas de Aula, Departamento de Matemática CCE/UFES. CÂMARA, L. M. Geometria Diferencial. O cálculo de darboux e o método do referencial móvel aplicados a curvas e superfícies. Departamento de Matemática CCE/UFES, preprint, Versão preliminar de 26 de dezembro de 2013. CARMO, M. P. do. O método do referencial móvel. [S.l.]: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1976. CARTAN, E. Leçons sur les invariants intégraux. Hermann, Paris, 1922. CARTAN, É. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie). In: SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE. Annales ScientiĄques de lŠEcole Normale Supérieure. [S.l.], 1923. v. 40, p. 325Ű412. CARTAN, E. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)(suite). In: Annales ScientiĄques de lŠEcole Normale Supérieure. [S.l.: s.n.], 1924. v. 41, p. 1Ű25. CARTAN, É. On manifolds with an affine connection and the theory of general relativity. [S.l.]: Humanities Press, 1986. v. 1. DORAN, C.; LASENBY, A. Geometric algebra for physicists. [S.l.]: Cambridge University Press, 2003. EINSTEIN, A.; PEREIRA, C. A. A teoria da relatividade especial e geral. [S.l.]: Contraponto Editora, 2003. GODBILLON, C. Geometrie differentielle et mecanique analytique. Hermann, Collier-Macmillan Ltd., 1969. LOGUNOV, A. A. Henri poincaré and relativity theory. arXiv preprint physics/0408077, 2004. LOPES, A. O. Introdução à mecânica clássica. [S.l.]: Edusp, 2006. SEARS, E. Z.-Y. E. F. Física IŰVolume 1ŰMecânicaŰEditora Pearson Education do Brasil.Ű10 a. [S.l.]: Edição, 2003. TRAUTMAN, A. Einstein-cartan theory. arXiv preprint gr-qc/0606062, 2006.

          VILLANI, A. A visão eletromagnética e a relatividade: I-a gênese das teorias de lorentz e einstein. Instituto de Física USP, 1985.

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