Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para Transformac ¸˜ oes de Markov

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para Transformac ¸˜ oes de Markov

  Rolando Restany Gomes de Ara´ ujo

  Salvador — Bahia

  Marc ¸o de 2006

  

Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para

Transformac ¸˜ oes de Markov

Rolando Restany Gomes de Ara´ ujo

  Disserta¸ c˜ ao apresentada ao colegiado do curso de P´ os-Gradua¸ c˜ ao em Ma- tem´ atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸ c˜ ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´ atica.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador) Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves (Universidade do Porto – Portugal) Prof. Dr. Alberto Adrego Pinto (Universidade do Porto – Portugal) Ara´ ujo, R. R. G. “Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para Transforma¸ c˜ oes de Markov”. Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Pinheiro. Disserta¸c˜ ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-gradua¸c˜ ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, 38 p´aginas, Salvador-Ba, 2006. Palavras-Chave: Medidas Invariantes, Transforma¸c˜ oes de Markov, Operador de Perron-Fr¨ obenius.

  

Dedicado ` a Fausta Maria da

Concei¸c˜ ao (in memorian) e Francisca de Assis Gomes.

  

“Nenhum problema pode ser resolvido pelo mesmo estado de

consciˆencia que o criou. ´ E preciso ir mais longe. Eu penso

99 vezes e nada descubro. Deixo de pensar, mergulho num

grande silˆencio e a verdade me ´e revelada!”

  Albert Einstein Agradecimentos

  Agrade¸co `as duas pessoas diretamente respons´aveis por mais esta vit´oria, minha m˜ae, Francisca de Assis Gomes e minha av´ o materna, Fausta Maria da Concei¸c˜ ao; que n˜ao mediram esfor¸cos nem sacrificios, durante toda minha vida para oferecer o que de melhor estava ao seu alcance e sem sombra de d´ uvidas, n˜ao teria chegado `a conclus˜ao deste curso se n˜ao fosse pelo ajuda, carinho, aten¸c˜ ao exclusiva e o amor delas. Agrade¸co aos meus familiares pelo apoio e ajuda durante todo esse per´ıodo.

  Aos professores do Instituto de Matem´atica, pela aten¸c˜ ao e disponibilidade em atender, mesmo na resolu¸c˜ ao de pequenos problemas. Em especial, aos professores Jos´e Ferreira Alves (Faculdade de Ciˆencias do Porto), que sempre se mostrou prestativo e atencioso na resolu¸c˜ ao de d´ uvidas e o Prof. Vilton Jeovan pela orienta¸c˜ ao, paciˆencia e transmiss˜ao do conhecimento; que certamente ´e o bem mais precioso que pode ser dado `a outra pessoa. A estes serei eternamente grato.

  Aos amigos professores do munic´ıpio de Catu: Profa. Jeane Chiam, Profa. Anaci, Prof. Acimar, pelo incentivo e apoio, principalmente nos momentos de maior desˆanimo. N˜ao poderia deixar de mencionar a Profa. Julieta Bezerra, que com extrema compreens˜ao e carinho possibilitou minha dedica¸c˜ ao durante todo o per´ıodo do curso de mestrado, bem como a Profa. Giselda Fr´ oes pela compreens˜ao e apoio na reta final do curso.

  Aos amigos do curso: Ab´ılio Souza, Adriano Cattai, Elisˆangela Farias, Rosane Funato, Gilcl´ecio Dantas, Silvia Costa, Maur´ıcio Porto, Tailsom Jeffersom, os quais pelo objetivo comum que nos uniu, tem a sua parcela de contribui¸c˜ ao durante este per´ıodo de convivˆencia.

  Aos funcion´arios do Instituto de Matem´atica pela boa vontade e gentileza em atender. Aos demais amigos n˜ao citados. Resumo

  Neste trabalho estudaremos a dinˆamica das transforma¸c˜ oes de Markov. Mostraremos que tais transforma¸c˜ oes admitem medidas invariantes que s˜ao absolutamente cont´ınuas com respeito `a medida de Lebesgue. Verificaremos esse fato, via operador de Perron-Frob¨enius; pois seus pontos fixos s˜ao densidades de medidas invariantes. Veremos que sob a hip´otese de controle forte de dis- tor¸c˜ ao, tais transforma¸c˜ oes exibem medidas invariantes absolutamente cont´ınuas, com densidades limitadas no espa¸co das fun¸c˜ oes lipschitz cont´ınuas. Em particular, mostraremos que para uma

  2

  transforma¸c˜ ao markoviana expansora por partes, de classe C , definida numa variedade compacta M, existe um conjunto finito de tais medidas, que provaremos ser erg´odicas e que Lebesgue quase todo ponto pertence a bacia de uma dessas medidas.

  Abstract

  In this work we study the dynamics of the transformations of Markov. We show that such transformations admit invariant measures that are absolutely continuous with respect to the measure of Lebesgue. We verify that fact, through operator of Perron-Frob¨enius; because such measures are their fixed points. We see that under the hypothesis of strong distortion control, such transformations exhibit invariant measures absolutely continuous with limited densities in

  2

  the space of the functions continuous lipschitz. In particular, we show that for a C piecewise expanding markovian map, defined in a compact variety M, one exists finite set of such measures, that we prove to be ergodics and that Lebesgue almost whole point belongs the basin of one of those measured.

  Sum´ ario

  Resumo vii

  Abstract viii

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares

  3

  2 Dinˆ amica do Operador de Perron-Fr¨ obenius

  10 2.1 Existˆencia da probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  10 2.2 Transforma¸c˜ oes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  12 2.3 A¸c˜ ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜ oes Lipschitz cont´ınuas . . . . . . . . . . . . .

  16 2.4 Propriedades de Distor¸c˜ ao e Ergocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  22

  3 Teoremas A e B

  25 Apˆ endice

  32 Bibliografia

  36 ´

  Indice Remissivo

  37 Introdu¸ c˜ ao

  Os Sistemas Dinˆamicos munidos de medidas invariantes ´e o principal objeto de estudo da Teoria Erg´odica. Em termos simples um sistema dinˆamico ´e qualquer sistema cujo compor- tamento se modifica com o tempo; na verdade o mundo `a nossa volta pode ser visto como um sistema dinˆamico complexo. Mesmo os sistemas ditos simples, podem apresentar um comporta- mento a longo prazo que apenas podem ser descritos de maneira probabil´ıstica, esses sistemas s˜ao denominados ca´oticos.

  Nesse trabalho de disserta¸c˜ ao, provaremos a existˆencia de probabilidades invariantes fi- sicamente relevantes para a dinˆamica de uma transforma¸c˜ ao de Markov, a qual definiremos mais adiante.

  Se um dado sistema apresenta infinitos pontos peri´odicos, ele tamb´em apresentar´a infinitas medidas invariantes, no entanto, desejamos encontrar medidas invariantes que sejam relevantes em termos de medida de lebesgue. Queremos que a probabilidade de encontrar algum iterado da transforma¸c˜ ao que reje o sistema em um conjunto mensur´avel seja n˜ao nula apenas quando a medida de lebesgue nesse conjunto mensur´avel tamb´em seja n˜ao nula. Para tal ´e suficiente que essas medidas invariantes sejam absolutamente cont´ınuas em rela¸c˜ ao `a medida de lebesgue. Propriedades adicionais dessas medidas ser˜ao verificadas, como por exemplo ergodicidade, que nos diz num certo sentido que o sistema n˜ao pode ser decomposto em termos probabil´ısticos em mais de um sistema n˜ao trivial.

  Dividimos essa disserta¸c˜ ao em trˆes cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1, que chamamos de Prelimi- nares, apresentaremos algumas defini¸c˜ oes e resultados gerais da Teoria da Medida. Omitiremos as demosntra¸c˜ oes na maioria das vezes por se tratarem de resultados conhecidos, no entanto, citaremos a fonte utilizada e p´agina, para os leitores que desejarem uma consulta mais detalhada.

  No Cap´ıtulo 2, onde construiremos as condi¸c˜ oes necess´arias para chegarmos ao resultado principal do nosso trabalho, estudaremos a dinˆamica do Operador de Perron-Frobenius, tamb´em conhecido como operador de transferˆencia. Inicialmente, sem nos preocuparmos com o espa¸co de atua¸c˜ ao do operador, provaremos que os pontos fixos do operador s˜ao probabilidades invariantes absolutamente cont´ınuas `a medida de lebesgue. Definiremos transforma¸c˜ oes de Markov e mostra- remos que para essas transforma¸c˜ oes, existem probabilidades invariantes absolutamente cont´ınuas limitadas no espa¸co das fun¸c˜ oes integr´ aveis. Em seguida introduziremos o espa¸co das fun¸c˜ oes Lips- chitz cont´ınuas e estudaremos o comportamento do operador de Perron-Frobenius neste espa¸co. Um dos principais resultados desse cap´ıtulo ´e:

  P Lema(2.4) Seja (T, P) uma transforma¸c˜ ao de Markov tal que para todo ~ p ∈ e com inf {µ(T (~s)); ~s ∈ P} > 0; ent˜ ao existe uma probabilidade T -invariante q absolutamente cont´ınua ` a dq

  ∞

  ∈ L µ tal que (µ).

  Finalmente, no Cap´ıtulo 3, apresentaremos os resultados principais deste trabalho, no qual provaremos a existˆencia de um conjunto finito de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas e

  2

  erg´ odicas para uma C transforma¸c˜ ao markoviana expansora por partes definida numa variedade compacta M, e que s˜ao limitadas no espa¸co das fun¸c˜ oes lipschitz cont´ınuas. Este resultado ´e obtido a partir da prova do Teorema A, abaixo publicado por Jon Aaronson, em An Introduction to Infinite

Ergodic Theory. Mathematical Surveys and Monographs 50, American Math. Society, 1997, 168.

  Teorema A. Suponha que (T, P) uma transforma¸c˜ ao de Markov; tal que para todo cilindro P

  ~ p ∈ e tenham forte controle de distor¸c˜ ao. Se #T (P) < ∞; ent˜ ao existe uma densidade invariante dµ µ, absolutamente cont´ınua a medida de Lebesgue m, tal que log pertence ao espa¸co das fun¸c˜ oes dm

  Lipschitz cont´ınuas (L).

  Outro Teorema que demonstraremos ´e:

  

2

Teorema B. Se T : M → M ´e uma C aplica¸c˜ ao markoviana expansora por partes, com

um n´ umero limitado de imagens, ent˜ ao existe um conjunto finito de medidas invariantes absoluta-

mente cont´ınuas ` a Lebesgue e erg´ odicas tal que m − q.t.p. pertence a bacia de uma dessas medidas.

  

Ademais a densidade de cada uma dessas medidas com respeito a Lebesgue ´e uniformemente limi-

tada por alguma constante.

  Por ´ ultimo, no Apˆendice, faremos um breve estudo dos shifts, onde exibiremos um resul- tado de menor importˆancia, mas de alguma relevˆancia para a obten¸c˜ ao do resultado principal do nosso trabalho. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Nosso principal objetivo neste cap´ıtulo ´e estabelecer as nota¸c˜ oes necess´arias `a compreens˜ao dos cap´ıtulos subseq¨ uentes e apresentar defini¸c˜ oes e resultados que ser˜ao ´ uteis para o entendimento da teoria que ser´a desenvolvida no decorrer deste trabalho. Citaremos alguns teoremas de An´alise Funcional e da Teoria da Medida. Por se tratarem de resultados conhecidos na literatura vigente omitiremos ou simplificaremos suas demonstra¸c˜ oes.

  Admitimos que X ´e um espa¸co topol´ ogico e B denota a σ-´ algebra de Borel. Seja µ uma aplica¸c˜ ao com dom´ınio B, µ : B → [0, +∞], satisfazendo as seguintes propriedades:

  (i) µ(∅) = 0 ∞ ∞

  [

  X

  ′ (ii) µ( A ) = µ(A ), com A s disjuntos dois a dois e A ∈ B ∀ i. i i i i i=1 i=1

  Dizemos que a aplica¸c˜ ao µ acima ´e uma medida sobre os borelianos de X e chamamos a terna (X, B, µ) de espa¸co de medida. Quando µ(X)=1, dizemos que se trata de um espa¸co de

  probabilidades.

  −1

  Dizemos que T : X → X ´e uma transforma¸c˜ ao mensur´ avel se T (A) ∈ B ∀A ∈ B. No

  −1

  caso em que µ(T (A)) = µ(A) ∀A ∈ B, dizemos que T preserva medida ou simplesmente que µ ´e T -invariante. A transforma¸c˜ ao mensur´avel T : X → X no espa¸co (X, B, µ) ´e dita n˜ ao singular

  −1

  se µ(T (A)) = 0, ∀A ∈ B tal que µ(A) = 0. Note que toda transforma¸c˜ ao preservando medida ´e necessariamente n˜ao singular.

  Uma propriedade se diz satisfeita em quase todos os pontos (abreviadamente q.t.p.), se o conjunto dos pontos onde a propriedade n˜ao ´e satisfeita tem medida nula.

  A transforma¸c˜ ao n˜ao singular T : X → X ´e chamada q.t.p. invert´ıvel se T ´e invert´ıvel em algum Y ∈ B com µ(X \ Y ) = 0 e ´e dita q.t.p. localmente invert´ıvel se existem conjuntos [ mensur´ aveis disjuntos {A ; j ≥ 1} tal que µ(X \ A ) = 0 e T ´e invert´ıvel em cada A , com

  j j j j≥1

  A ∈ B, ∀ j.

  j −1 Um conjunto A ∈ B ´e dito T-invariante se temos T (A) = A.

  Um espa¸co de medida (X, B, µ) ´e chamado finito se µ(X) < ∞. No caso em que existe

  ∞

  [ uma seq¨ uencia {A } , A ∈ B, satisfazendo X = A e µ(A ) < ∞ ∀ k; ent˜ao (X, B, µ) ´e dito

  k k>1 k k k k=1

  σ-finito.

  ′ ′ ′

  Seja (X, B, µ) um espa¸co de medida, (X , B ) um espa¸co mensur´avel e T : X → X uma

  ′ ′

  aplica¸c˜ ao mensur´avel. A medida transportada de µ por T ´e a medida µ := T µ : B → [0, +∞]

  ∗

  definida por:

  

′ ′ −1 ′ ′ ′

  ∈ B µ (A ) := µ(T (A )), A . Enunciaremos alguns Teoremas, dos quais faremos uso no decorrer do nosso trabalho:

  ′ ′

1.1 Teorema (Mudan¸ ca de Vari´ aveis). Seja (X, B, µ) um espa¸co de medida, (X , B ) um espa¸co

  ′ −1

mensur´ avel e T : X → X uma aplica¸c˜ ao mensur´ avel. Considere ν = µT a medida transportada

  ′ de µ por T . Ent˜ ao g : X → R ´e ν-integr´ avel se e somente se g ◦ T : X → R ´e µ-integr´ avel e:

  Z Z g dν = g ◦ T dµ.

  X X Prova. Ver demonstra¸c˜ ao em [3], p´ag. 121.

  ¤ Sejam µ e ν duas medidas num espa¸co mensur´avel (X, B). Dizemos que ν ´e absolutamente

cont´ınua com respeito a µ se µ(A) = 0 implica ν(A) = 0, qualquer que seja A o conjunto mensur´avel.

Neste caso escrevemos ν ≪ µ. Caso tenhamos µ(A) = 0 se e somente se ν(A) = 0, dizemos que µ ´e equivalente a ν e escrevemos µ ∼ ν.

  Chamamos suporte da medida µ o conjunto dos pontos tais que toda vizinhan¸ca tem medida positiva para µ e este ´e denotado por supp(µ) = {x; ∀ aberto V  x, µ(V ) > 0}. Quando µ

  ´e invariante para T a bacia de µ a qual denotamos por B(µ) ´e o conjunto dos pontos tais que

  n−1

  Z

  X

  1

  

j

  lim ϕ(T (x)) = ϕ dµ

  n→∞

  n

  j=0 para toda fun¸c˜ ao cont´ınua ϕ : X → R. Note que a bacia sempre ´e um conjunto invariante.

  Uma probabilidade invariante µ diz-se erg´ odica se todo subconjunto invariante por T , tem medida ´e 0 ou 1. Se µ ´e erg´odica ent˜ao B(µ) tem µ-medida total.

1.2 Teorema (Radon-Nikodym). Seja (X, B, µ) um espa¸co de medida σ-finita. Seja ν : B → R

  

uma medida σ-finita absolutamente cont´ınua com respeito a µ. Ent˜ ao existe uma fun¸c˜ ao mensur´ avel

n˜ ao negativa f : X → R tal que:

  Z ν(A) = f dµ, ∀A ∈ β.

  A Prova. Ver demonstra¸c˜ ao em [9], p´ag. 238.

  ¤

1 A fun¸c˜ ao f ∈ L (µ) obtida no Teorema de Radon-Nikodym ´e chamada de derivada de

  dν Randon-Nikodym ou densidade da medida ν em rela¸c˜ ao a medida µ e denotada por f = . dµ

  ∞

  

1.3 Lema (Fatou). Seja {f } uma seq¨ uencia de fun¸c˜ oes mensur´ aveis n˜ ao negativas e f =

n n=1

  lim f q.t.p. sobre um conjunto mensur´ avel E, ent˜ ao:

  n n→∞

  Z Z f dµ ≤ lim inf f dµ.

  n

n→∞

E E Prova. Ver demonstra¸c˜ ao em [9], p´ag. 83.

  ¤

  ∞

  

1.4 Teorema (Convergˆ encia Dominada). Seja {f } uma seq¨ uencia de fun¸c˜ oes mensur´ aveis

n n=1

e | f |≤ g sobre um conjunto E, onde g ´e uma fun¸c˜ ao integr´ avel sobre E. Se f = lim f q.t.p.

n n em E ent˜ ao:

  Z Z f dµ ≤ lim f dµ.

  n

n→∞

E E Prova. Ver demonstra¸c˜ ao em [4], p´ag. 75.

  ¤

1.5 Teorema (Ascoli-Arzel´

a). Seja (X, d) um espa¸co m´etrico compacto. Seja F uma fam´ılia

  

equicont´ınua de fun¸c˜ oes ψ : X → R. Isto ´e, para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que se | x−y |< δ ent˜ ao

  | ψ(x) − ψ(y) |< ǫ para toda ψ ∈ F. Se F ´e uniformemente limitada; isto ´e, existe M > 0 tal que | ψ |< M para toda ψ ∈ F, ent˜ao toda seq¨ uencia {ψ } de elementos de F tem uma subseq¨ uˆencia

  n {ψ } uniformemente convergente em X. n k Prova. Ver demonstra¸c˜ ao em [7], p´ag. 244.

  ¤

  p p

  Denotamos L (X, B, µ); 1 ≤ p < ∞ ou simplesmente L (µ) o espa¸co das fun¸c˜ oes, tais que

  p p

  | f | ´e integr´ avel. Em L (µ) definimos a norma k · k como:

  p 1

  ¶ µZ p

  p

  k f k = | f | dµ

  p

  

X

  Definimos L (µ) o espa¸co das fun¸c˜ oes tais que existe M > 0 tal que | f (x) |≤ M para

  ∞ ∞

  q.t.p. x ∈ X, e escrevemos L (µ) = {f : X → R; ∃M > 0; µ({x; f (x) > M }) = 0. Em L (µ) definimos a norma k · k ∞ como: k f k = inf {M > 0; µ({x; f (x) > M }) = 0}.

  ∞

  Uma parti¸c˜ ao P de um espa¸co de probabilidades (X, B, µ), que chamaremos de uma parti¸c˜ ao com respeito a medida µ, ´e uma fam´ılia de subconjuntos de B de medida n˜ao nula; tais que:

  (i) A , A ∈ P, i 6= j ⇒ µ(A ∩ A ) = 0 i j i j

  [

  (ii) µ(X \ A ) = 0 i A i ∈ P

  1 Chamamos de densidade de probabilidade a uma fun¸c˜ ao ρ ∈ L (µ) tal que ρ ≥ 0 e k ρ k= 1,

  de fato observe que ρ induz uma medida de probabilidade ν dada por

  ρ

  Z 0 ≤ ν (A) := ρ dµ ≤ 1 ∀A ∈ B.

  ρ A

−1

Dizemos que ν ρ ´e T -invariante se ν ρ (T (A)) = ν ρ (A); ∀A ∈ B.

  Seja (X, B, µ) um espa¸co de medida. Se T : X → X ´e uma transforma¸c˜ ao n˜ao singular,

  1

  1

  definimos o operador P : L (µ) → L (µ) por Z Z

  Pf dµ = f dµ −1

  A T (A) Observe que o operador est´a bem definido, ou seja, se ν ´e a medida definida por ν :=

  f f

  R −1 f dµ, temos pela n˜ao singularidade de T que ν ≪ µ. Logo, pelo teorema de Randon-

  f T (A)

  R

  1 Nikodym existe uma ´ unica g ∈ L (µ), tal que ν (A) := g dµ, ∀A ∈ B. Assim Pf ´e, por f f f A defini¸c˜ ao nossa g dada pelo Teorema de Randon-Nikodym. f

  O operador P ´e chamado de Perron-Fr¨ obenius correspondente para T . A importˆancia deste operador para o estudo de medidas invariantes segue do fato que seus pontos fixos s˜ao densidades de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas. Para verificarmos esta afirma¸c˜ ao, suponha que

  R

  1

  h ∈ L (µ) seja um ponto fixo de P, ou seja, Ph = h. Assim, definindo ν por ν(A) = h dµ,

  A

  veremos que ν ≪ µ e, al´em disto Z Z Z

  −1 ν(T (A)) = h dµ = Ph dµ = h dµ = ν(A). −1

T (A) A A

Logo, ν ´e absolutamente cont´ınua e invariante.

  1

  1

1.6 Proposi¸ c˜ ao. Seja P : L (µ) → L (µ) o operador de Perron-Fr¨ obenius de uma transforma¸c˜ ao

  T como dita anteriormente. Ent˜ ao valem: P ´e um operador linear, 1.

  2. P ´e positivo: f ≥ 0 ⇒ Pf ≥ 0,

  Z Z P preserva a m´edia: Pf dµ =

  3. f dµ,

  X X

  4. P ´e uma contra¸c˜ao fraca: k Pf k ≤ k f k ,

  1

  1 n vezes

  z }| {

  n n

  

5. Se T = T ◦ ... ◦ T e P ´e o operador de Perron-Fr¨ obenius correspondente para T ent˜ ao P ´e o

n operador correspondente para T e

  Z Z

  n P f dµ = f dµ. −n

A T (A)

Prova.

  ∈

  1. Seja A ⊂ X um conjunto mensur´avel e sejam λ e λ constantes. Ent˜ao, se f , f

  1

  2

  1

  2

1 L (µ),

  Z Z P(λ f + λ f )dµ = (λ f + λ f ) dµ

  1

  1

  2

  2

−1

  1

  1

  2

  2 A T (A)

  Z Z = λ f dµ + λ f dµ

  1 −1 −1

  1

  2

  2 T (A) T (A)

  Z Z = λ Pf dµ + λ Pf dµ

  1

  1

  2

  2 A A

  Z = (λ Pf + λ Pf )dµ.

  1

  1

  2

  2 A

  Logo,

  1 P(λ f + λ f ) = λ Pf + λ Pf ∀ f , f ∈ L (µ) e λ , λ ∈ R.

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  

2

  1

  2

  1

  2

  2. Qualquer que seja A mensur´avel, tem-se Z Z Pf dµ = f dµ ≥ 0. −1

  A T (A) Logo, se f ≥ 0, ent˜ao Pf ≥ 0.

  3. O resultado decorre diretamente de Z Z Z

  Pf dµ = f dµ = f dµ −1

  X T (X)

  X 1 − − + +

  1

  4. Seja f ∈ L (µ). Sejam f = max(f, 0) e f = −min(0, f ). Ent˜ao, f e f ∈ L (µ),

  • − + −

  f = f − f e |f | = f + f . Como P ´e um operador linear, tem-se

  − + − + Pf = P(f − f ) = P(f ) − P(f ).

  Consequentemente,

  − − + +

  |Pf | ≤ |P(f )| + |P(f )| = P(f ) + P(f ) = P|f | e Z Z Z k Pf k = |Pf | dµ ≤ P|f | dµ = |f | dµ =k f k .

  1

  1 X

  X X

  5. A prova segue por indu¸c˜ ao em n. Para n = 1, ´obvio, admitindo que vale para n = k; para n = k + 1 obtemos Z Z Z Z Z

  k+1 k P f dµ = P (Pf ) dµ = Pf dµ = f dµ = f dµ. −k −1 −k −(k+1) A A T (A) T (T (A)) T (A)

  Logo, Z Z

  n P f dµ = f dµ. −n A T (A)

  ¤

1.7 Corol´ ario. P ´e cont´ınuo.

  Prova. Segue da contra¸c˜ ao fraca.

  ¤

1 Uma cole¸c˜ ao F ⊂ L (µ) ´e chamada uniformemente integr´ avel, se para todo ǫ > 0, existe

  M > 1 tal que, Z

  | f | dµ ≤ ǫ, ∀f ∈ F,

  {|f |≥M }

  em que {| f |≥ M } = {x ∈ X, | f (x) |≥ M }. Uma cole¸c˜ ao F ´e uniformemente integr´ avel, se e

  1

  somente se, ´e fracamente pr´e-compacta em L (µ), ou seja toda seq¨ uˆencia de fun¸c˜ oes em F possui

  1

  subseq¨ uˆencia {f } que convergente fracamente para alguma h ∈ L (µ). Escrevemos f ⇀ h,

  n k k≥1 n k

  significando Z Z f dµ −→ h dµ, ∀A ∈ B.

  n k A A

1 O pr´efixo pr´e ´e usado porque tomamos h ∈ L (µ), ao inv´es de h ∈ F.

  Cap´ıtulo 2 Dinˆ amica do Operador de Perron-Fr¨ obenius

  Neste cap´ıtulo, provaremos a existˆencia de pontos fixos para o Operador de Perron-Fr¨ obe- nius, quando T for uma Transforma¸c˜ ao de Markov. Ademais, analisaremos o comportamento do Operador de Perron-Fr¨ obenius no espa¸co das fun¸c˜ oes Lipschitz cont´ınuas e concluiremos que existe um ponto fixo para o mesmo, sendo este uma densidade de uma medida T -invariante.

  2.1 Existˆ encia da probabilidade n−1

  X

  1

  k

  1 Dada f ∈ L (µ), vamos definir A f por A f := P f e provaremos nesta se¸c˜ ao, a

n n

  • n

  k=0

  existˆencia de uma probabilidade T -invariante cuja densidade ´e o limite de uma subseq¨ uˆencia de A f .

  n

  

2.1 Proposi¸ c˜ ao. Seja T uma transforma¸c˜ ao n˜ ao singular de (X, B, µ). Se existe f pertencente a

1 L (µ) tal que {A f } ´e uma fam´ılia uniformemente integr´ avel, ent˜ ao existe uma probabilidade

  • n n≥1 T -invariante que ´e absolutamente cont´ınua a µ.

  Prova. Segue da integrabilidade uniforme, que existe subsequˆencia {A n k f } e uma h

  k≥1

  1

  pertencente a L (µ), tal que A f ⇀ h significando que

  n k

  Z Z A n k f dµ −→ h dµ := ν(A) ; ∀A ∈ B

  A A onde definimos ν desse modo; obviamente ν ´e medida e ν ≪ µ. Por hip´otese, temos que  

  n k −1

  X

  1

  j

   lim P f  = h,

  n k →∞

  n

  k j=0

  ent˜ao, devido a continuidade do operador vale  

  n k −1

  X

  1

  j

  Ph = lim P  P f  .

  n k →∞

  n

  k j=0

  Por outro lado,  

  n k −1 n k −1

  X X

  1

  1

  j j+1

   P P f  = P f n n

  k k j=0 j=0

n k −1

  X

  1

  1

  1

  j n

  = P f − P f + P f n n n

  k k k

j=0

  como as duas ´ ultimas parcelas s˜ao limitadas, v˜ao para zero quando n → ∞. Segue ent˜ao que,

  k

   

  n k −1 n k −1

  X X

  1

  1

  j j

   Ph = lim P P f  = lim P f = h

  n k →∞ n k →∞

  n n

  

k k

j=0 j=0

  e ent˜ao, Z Z Ph dµ = h dµ = ν(A); ∀A ∈ B.

  A A Como j´a foi observado ν, tendo a densidade como ponto fixo de P, ´e T -invariante.

  ¤

2.2 Proposi¸ c˜ ao. Seja T uma transforma¸c˜ ao n˜ ao singular de (X, B, µ). Se existe M > 0 e 1 ≤

  n

  ≤ M ∀ n, ent˜ p ≤ ∞ tal que k P f k p ao existe uma probabilidade T -invariante ν absolutamente

  p

  ∈ L cont´ınua ` a µ tal que h = (µ).

  n−1

  X

  1

  k p

  Prova. Segue da Proposi¸c˜ ao (2.1) que para qualquer f ∈ L (µ) temos A f := P f ∈

  • n

  n

  k=0 p

  L (µ), de fato,

  n−1

  X

  1

  k

  k A P f k = k f k

  

n p p

  n

  k=0 n−1

  X

  1

  k

  ≤ k P f k

  p

  n

  k=0 n−1

  X

  1 ≤ M n

  k=0 n a ´ ultima desigualdade decorre de k P f k ≤ M ∀ n. p

  Assim {A f } ´e uma fam´ılia uniformemente integr´ avel e isto j´a prova a existˆencia

  n n≥1

  da probabilidade T -invariante ν. Decorrente da integrabilidade uniforme, temos que existe uma subsequˆencia {A f } satisfazendo A f ⇀ h; ent˜ao:

  n k k≥1 n k

  Z

  p p

  k h k = | h | dµ

  p

  Z

  p

  = lim | A f | dµ

  n k

k→∞

  Z

  p

  ≤ | A lim inf n f | dµ k

  k→∞ p

  = lim inf k A f k

  n k p k→∞

  dν

  p e portanto, h = ∈ L (µ).

  dµ ¤

2.2 Transforma¸ c˜ oes de Markov

  Seja T uma transforma¸c˜ ao n˜ao singular localmente invert´ıvel e P uma parti¸c˜ ao enumer´avel de X. Nessas condi¸c˜ oes, dizemos que P ´e uma Parti¸c˜ ao de Markov para a transforma¸c˜ ao T se :

  (i) T (A) ´e a reuni˜ao de elementos de P, ∀A ∈ P (ii) T : A → T (A) ´e invert´ıvel, ∀A ∈ P

  W

  ∞

−k

  P

  (iii) gera B sob T , no sentido de que T (P) = B, em que: k=0

  ( )

  ∞ ∞

  _ \

  −k −k

  T (P) = T A , A ∈ P, ∀k

  k k k=0 k=0

  Dada uma transforma¸c˜ ao T n˜ao singular localmente invert´ıvel e P uma parti¸c˜ ao de Markov; chamamos o par (T, P) de Transforma¸c˜ ao de Markov.

  Chamamos Conjunto Cilindro e denotamos por ~ p, o conjunto

  n−1

  \

  −i

  ~ p = [p , ..., p ] = T p ,

  n−1 i i=0 n−1 em que os elementos p , ..., p ∈ P e ~p ∈ P ´e uma parti¸c˜ ao de X. n−1 Consideraremos que µ(~ p) > 0, ∀~ p ∈ P. Chamamos de g

  n

  ~ p

  µ

  k J

  x∈ T (p n−1 ))

  Z

  (x) dµ ≤

  ~ p

  J µ g

  x∈ T (p n−1 ))

  Z

  )) =

  n−1

  ◦ T (p

  ) e para µ − q.t.p. x ∈ ~ p: µ(~ p) = µ(g

  

~ p

  n−1

  (~ p) = T (p

  n

  )) . Prova. Temos que T

  n−1

  )) µ(T (p

  n−1

  · µ(~q ∩ T (p

  2

  ≤ C

  ∩ ~p) µ(~ p)

  ~ q

  µ(g

  g

  k

  P

  g

  (z)| µ(T (p

  ~ p

  g

  µ

  (z)| dµ = C · |J

  ~ p

  g

  µ

  (C + 1) · |J

  x∈ T (p n−1 ))

  Z

  (z)| + ǫ) dµ ∀ǫ, ∀z ≤

  ~ p

  µ

  ∞

  ((C + 1) · |J

  x∈ T (p n−1 ))

  Z

  )| + ǫ) dµ <

  ǫ

  (y

  

~ p

  g

  µ

  (|J

  x∈ T (p n−1 ))

  Z

  dµ <

  e suponhamos que (T, P) tem distor¸c˜ ao limitada em todo cilindro, ent˜ ao:

  n−1 um cilindro e ~q ∈ e

  o ramo inverso de T

  ~ p

  P

  n∈N

  := [

  Vamos denotar e P

  ~ p ).

  (~ p), por Dom(g

  n

  , que ´e T

  ~ p

  . Ademais; designaremos o dom´ınio de g

  −1

  )

  ¯ ¯

  . Como (T

  n

  = (T

  p

n−1

  := g p ◦ ... ◦ g

  ~ p

  restrito ao cilindro ~ p por g

  n

  (x) = x, ∀ x ∈ ~ p. A fim de simplificar nossa nota¸c˜ ao, denotaremos o ramo inverso de T

  n

  ◦ g

  n

  , satisfa- zendo T

  n

  n−1

  

n

  ] ∈ P

  n dµ.

  2.3 Lema (Lema da distor¸ c˜ ao). Sejam ~ p = [p , ..., p n−1

  ), ∀~ p ∈ e P

  ~ p

  ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C; ∀ x, y ∈ Dom(g

  (y) − 1

  ~ p

  (x) J µ g

  ~ p

  g

  µ

  J

  ¯ ¯ ¯ ¯

  Diremos que uma Transforma¸c˜ ao de Markov (T, P) tem distor¸c˜ ao limitada em todo cilindro (ou controle fraco de distor¸c˜ ao), se existe C > 0, tal que

  J µ T

  ¯ ¯

  ~ p

  (~ p)) := Z

  n

  , ou seja, µ(T

  

n

  T

  µ

  ) com respeito a µ por J

  ~ p

  ¯ ¯

  n

  ) ´e uma bije¸c˜ ao com sua imagem escreveremos o Jacobiano de (T

  ~ p

  n−1 )), ∀z. Por outro lado, procedendo da mesma forma temos: µ(g

  ~ q

  ~ p

  )) e ent˜ao, temos o resultado desejado.

  n−1

  )) µ(T (p

  n−1

  · µ(~ p) · µ(~q ∩ T (p

  2

  (x)| · µ(~q ∩ T (p n−1 )) < C

  

µ g

~ p

  (x) dµ ≤ C · |J

  g

  ∩ ~p) = Z

  µ

  J

  ~ q ∩ T (p n−1 )

  Z

  (x) dµ =

  ~ p

  g

  µ

  J

  ~ q ∩ T

n

(~ p)

  ¤

2.4 Lema. Seja (T, P) uma Transforma¸c˜ ao de Markov com distor¸c˜ ao limitada em todo cilindro e

  ∈ L

  X n µ(A ∩ T (p

  

~ r∈P

n

  µ(A ∩ T (p

  n−1

  )) µ(T (p

  n−1

  )) · µ(~p)

  ≤ C

  2

  ǫ ·

  n−1

  ·

  )) · µ(~ p) ≤

  C

  2

  ǫ ·

  X

  

~ r∈P

n

  µ(A) · µ(~ p) ≤

  C

  2

  ǫ · µ(A)

  X

  2

  ∞ (µ).

  inf {µ(T (~s)); ~s ∈ P} > 0; ent˜ ao existe uma probabilidade T -invariante ν absolutamente cont´ınua ` a µ tal que dν dµ

  Prova. Segue do Lema (2.3) que ∀n ≥ 1, ~ p = [p , ..., p

  n−1

  ] ∈ P

  n−1

  um cilindro e A um conjunto mensur´avel, A ∈ B vale: µ(T

  −n

  (A) ∩ ~ p) µ(~ p)

  ≤ C

  

2

  · µ((A) ∩ T (p

  )) µ(T (p

  · µ(~p) ≤ C

  n−1

  )) Seja Γ = {T (~s); ~s ∈ P} e suponhamos que µ(T (~s)) ≥ ǫ > 0; ∀ T (~s) ∈ Γ. Assim n´os temos,

  µ(T

  −n

  (A)) =

  X

  ~ r∈P n

  µ(T

  −n

  (A) ∩ ~ p) µ(~ p)

  n−1 Z

  1

1 Observamos que se g ∈ L (µ) e g dµ ≤ M, ∀A ∈ B, isto implica que k g k ≤ M .

  ∞ +

  µ(A)

  

A

  Tomando agora a densidade f ≡ 1 e A ∈ B temos, Z Z

  k

  P 1 dµ = 1 dµ −n

  A T (A)

  Z

  X = 1 dµ n x∈(~ r∩T (A)) −n

  ~ r∈ P

  Z

  X = 1 dµ n x∈g p ~ (A∩T (~ r)) −n

  ~ r∈ P

  Z

  X = J g (~r) dµ n A µ p ~ ~ r∈ P

  X

  n

  = µ(g (A ∩ T (~r)))

n

~ p ~ r∈ P

  X

  −n

  = µ(~r ∩ T (A)) n

  ~ r∈ P

−n

  = µ(T (A))

2 C

  ≤ · µ(A) ǫ portanto, encontramos

  2 C n

  k P 1 k ≤ ∀ n.

  ∞

  ǫ Assim, pela Proposi¸c˜ ao (2.2) existe uma probabilidade T -invariante ν ≪ µ em X e n →

  k

  dν

  ∞

  ∞ tal que ∈ L (µ) e dµ

  n k −1

  X 1 dν

  

j

  P 1 ⇀ n dµ

  k j=0 ∞

  em L (µ), significando

  n k −1

  Z Z

  X 1 dν

  j P 1 dµ −→ dµ ∀A ∈ B.

  n k dµ

  A A j=0

  ¤ inf {µ(T (~s)); ~s ∈ P} > 0; ent˜ ao existe uma probabilidade T -invariante ν absolutamente cont´ınua µ ¶ dν

  ` a µ tal que inf > 0.

  ~ q∈ T (~s) dµ

  Prova. Inicialmente, observemos que para ~ p e ~q ∈ P temos, µ ¶ −1 µ ¶

  2

  2

  µ(g (x)) C µ(~ p) C µ(~ p)

  

~ p

  · ≤ ≤ · , ǫ µ(~q) µ(g (y)) ǫ µ(~q)

  

~ p de fato, observemos que R

  J g dµ

  µ p ~

  µ(g (x))

  ~ p p ~ = R .

  µ(g (y)) J g dµ

  

p ~ µ q ~

~ q

  Do Lema anterior e da h´ıp´ otese de distor¸c˜ ao limitada, podemos escrever ¯ ¯ ¯ ¯

  J µ g J µ g (x)

  ~ p ~ p

  ¯ ¯ log ≤ − 1 ¯ ¯ ≤ C. J g J g (y)

  µ ~ q µ q ~

  Ademais, pelo Lema da Distor¸c˜ ao, encontramos R

  µ ~ p

2

J g dµ

  C J g (x)µ(~ p)

  p ~ µ ~ p

  ≤ · R

  J g dµ ǫ J g (y)µ(~q)

  µ ~ q µ ~ q ~ q

  Portanto, para A ∈ B µ ¶ −1 µ ¶

  2

  2 C C

−n

  · µ(A) ≤ µ(T (A)) ≤ · µ(A), ǫ ǫ assim;

  

n k −1

  µ ¶ −1 µ ¶

  2

  2 X

  C

  1 C

  j

  ≤ P 1 ≤ ǫ n ǫ

  k

j=0

n k −1

  X 1 dν

  j

  como P 1 ⇀ , temos ent˜ao n dµ

  k j=0

  µ ¶ −1 µ ¶

  2

  2 C dν C ≤ ≤ .

  ǫ dµ ǫ ¤

2.3 A¸ c˜ ao do Operador no espa¸ co das fun¸ c˜ oes Lipschitz cont´ınuas

  Nesta se¸c˜ ao analisaremos o comportamento do Operador de Perron-Fr¨ obenius no espa¸co das fun¸c˜ oes Lipschitz cont´ınuas, que definiremos adiante e para tal faremos uso de alguns lemas auxiliares, que fornecer˜ao subs´ıdios para podermos concluir que existe algum ponto fixo do Operador nesse mesmo espa¸co.

  Dada uma parti¸c˜ ao mensur´avel P de um espa¸co de medida (X, B, µ) e uma aplica¸c˜ ao mensur´ avel T : X → X definiremos uma m´etrica associada a P e T como segue. Seja 0 < β < 1

  s(x,y)

  fixado, introduziremos a m´etrica d em X dada por d = β , onde s(x, y) ´e o tempo de separa¸c˜ ao

  β β de x e y, definido a seguir. Se x e y est˜ao em elementos distintos de uma parti¸c˜ ao P de X ent˜ao s(x, y) = 0. Se x e y est˜ao num mesmo elemento da parti¸c˜ ao ent˜ao s(x, y) ´e o maior inteiro n ≥ 0

  k k tal que T x e T y est˜ao no mesmo elemento da parti¸c˜ ao para k = 0, ..., n.

  Aqui trabalharemos com o conceito de fun¸c˜ ao Lipschitz cont´ınua com respeito aos elemen- tos da parti¸c˜ ao P de X. Assim no nosso contexto, dizemos que uma fun¸c˜ ao f : X → R ´e Lipschitz

  cont´ınua em A ⊂ X se:

  | f (x) − f (y) | D f := sup < ∞

  A

  d (x, y)

  x6=y∈A β

  e Lipschitz cont´ınua em x ∈ X se ´e Lipschitz cont´ınua em alguma vizinhan¸ca de x. Uma fun¸c˜ ao ´e

  

localmente Lipschitz cont´ınua em A ⊂ X se ´e Lipschitz cont´ınua em cada ponto de A. Dada uma

  fun¸c˜ ao f : X → R, dizemos que f ´e P-Lipschitz cont´ınua por partes em X, se ´e Lipschitz cont´ınua em cada A ∈ P e D P f := sup D f < ∞. Note que qualquer fun¸c˜ ao limitada P-Lipschitz cont´ınua

  A A∈P ′ ′

  por partes ´e Lipschitz cont´ınua em X. Seja P uma parti¸c˜ ao definida como segue P := {X\T (X) ∪

  ′

  parti¸c˜ ao de T (X) gerada por T (P)}, a cole¸c˜ ao das fun¸c˜ oes P -Lipschitz cont´ınua por partes em X ´e denotada por L e equipada com a norma: k f k :=k f k +D f.

  L

  1 X Por simplicidade nos referiremos ao espa¸co L, como o espa¸co das fun¸c˜ oes Lipschitz cont´ınuas.

  No nosso contexto o Teorema (1.5) acima ser´a enunciado da seguinte forma:

  ∞

  } k f k

2.6 Teorema. Se {f n ´e uma sequˆencia de fun¸c˜ oes Lipschitz cont´ınuas e sup n < ∞,

  L n=1 n≥1 ∞

  }

  ent˜ ao existe uma subsequˆencia {f n k e uma fun¸c˜ ao g lipschitz cont´ınua tal que k=1

  f (x) → g(x), quando k → ∞ ∀x ∈ X,

  n k

  k g k ≤ lim k inf k f n

  L L

n→∞

e k f − g k → 0, quando k → ∞. n k

  1

  } Prova. Tomemos uma sequˆencia {f n em L (espa¸co das fun¸c˜ oes lipschitz cont´ınuas).

  

n=1

  Por hip´otese k f k ≤ K; n ≥ 1 e K &gt; 0. Podemos tomar | f (x) | ≤ 2K, x ∈ X, n ≥ 1 e sabemos

  n L n que | f (x) − f (y) | ≤ K · d (x, y); ∀x, y ∈ X; n ≥ 1. n n β Seja Γ ⊂ X um subconjunto enumer´avel denso; logo existe uma subsequˆencia {f } tal

  n k

  que (f n k (x)) ´e uma sequˆencia de Cauchy ∀x ∈ Γ. De fato (f n k (x)) ´e uma sequˆencia de

  k≥1 k≥1

  Cauchy ∀x ∈ X e ent˜ao existe g ∈ L, g : X → R tal que lim f (x) = g(x) ∀x ∈ X. E decorrente

  n k k→∞

  do Lema de Fatou, temos que k g k ≤ lim k

  

1 inf k f n k

1 . k→∞ ′

  ′

  Seja P uma parti¸c˜ ao definida como anteriormente; tomemos um elemento qualquer B ∈ P , ent˜ao para x, y ∈ B, com x 6= y | g(x) − g(y) | | f (x) − f (y) | n k n k

  D P g = ← ≤ D P f

  n k

  d (x, y) d (x, y) P P ′ ′ β β portanto D g ≤ lim inf D f e isto ´e suficiente para mostrar que g ∈ L.

  n k k→∞

  Por outro lado, P k g k = k g k +D g

  L

  1

  ≤ lim inf k f k + lim inf D P f

  

n k

1 n k

k→∞ k→∞

  e portanto, k g k ≤ lim inf k f k .

  L n k L k→∞

  Por ´ ultimo, como | f (x) | ≤ g(x); ∀x ∈ X, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada

  n k k g k ≤ lim k f k e ent˜ao temos k f − g k −→ 0, quando k → ∞. 1 n k 1 n k

  1 k→∞

  ¤ A fim de simplificar a nota¸c˜ ao escreveremos d(x, y) = d (x, y) para representar a m´etrica

  β s(x,y)

  d (x, y) = β , onde 0 &lt; β &lt; 1 fixado e s(x, y) ´e o tempo de separa¸c˜ ao de x e y. Considerare-

  β

  mos que as transforma¸c˜ oes de Markov trabalhadas nesta se¸c˜ ao satisfazem inf{µ(T (~ p)); ~ p ∈ P} &gt; 0, ∀ ~ p ∈ P.

2.7 Lema. Seja ~ p um cilindro e h : ~ p −→ R tal que h ´e uma fun¸c˜ ao Lipschitz cont´ınua e g ´e o

  ~ p

  ¯

  n

  ¯

  ramo inverso de (T ), ent˜ ao para 0 &lt; β &lt; 1 fixado e x, y ∈ Dom(g ) vale: ~ p ~ p

  Z

  1

  n

  |h(g |h(x)| dµ + β · D (x))| ≤ h

  ~ p ~ p

  µ(~ p)

  

~ p

  • .

  ~ p

  ~ p

  (y)h(g

  ~ p

  (y))| ≤ ≤ J

  µ

  g

  (x)|h(g

  µ

  ~ p

  (x))| ¯ ¯ ¯ ¯

  J

  µ

  g

  ~ p

  (x) J

  g

  (x)) − J

  g

  n

  (y))| ≤ M

  

′′

  · d(x, y) · µ

  M Z

  ~ p

  |h| dµ + (M + 1)µ(~p)β

  D

  ~ p

  ~ p

  h ¶

  Prova. Inicialmente, da desigualdade triangular obtemos |J

  µ

  g

  ~ p

  (x)h(g

  µ

  ~ p

  (y) · h(g

  J

  |h(x)| dµ + β

  n

  · D

  ~ p

  h; pelo Lema (2.7) (iii)

  ¯ ¯ ¯ ¯

  µ

  Z

  g

  ~ p

  (x) J µ g

  ~ p

  (y) − 1

  ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ M · d(x, y); pois por hip´otese ∀~p ∈ e

  P ; temos que ~ p ∈ Ω

  ~ p

  1 µ(~ p)

  (y) − 1

  (y))| = (I) + (II)

  ¯ ¯ ¯ ¯ +

  ~ p

  (y)|h(g

  ~ p

  (x)) − h(g

  ~ p

  Analisando os fatores da parcela (I), observamos que: (i) J

  (x))| ≤

  µ

  g

  ~ p

  (x) ≤ M

  ′′

  · µ(~p), ∀x ∈ ~p, decorre diretamente do Lema da Distor¸c˜ ao (ii) |h(g

  ~ p

  ~ p

  ~ p

  β

  Z

  ~ p

  (x)) − h(g

  ~ p

  (y)) ¯ ¯

  ≤

  1 µ(~ p)

  ~ p

  ~ p

  |h(x)| dµ + D

  ~ p

  h · d(g

  ~ p

  (x), g

  ~ p

  (y)) =

  |h(x)| dµ + ¯ ¯h(g

  Z

  Z

  ~ p

  Prova.

  |h(g

  ~ p

  (x))| ≤

  1 µ(~ p)

  Z

  |h(x)| dµ + ¯ ¯ ¯ ¯h(g

  1 µ(~ p)

  ~ p

  (x)) −

  1 µ(~ p)

  Z

  ~ p

  h(x) dµ ¯ ¯ ¯ ¯

  ≤

  1 µ(~ p)

  ~ p

  g

  Ent˜ ao para x, y ∈ ~ p ∈ Ω β temos:

  (x, y); ∀(x, y) ∈ ~ p ∈ Dom(g

  ~ p

  ) ¾ com C ∈ R

  2.8 Lema. Suponha h uma fun¸c˜ ao Lipschitz cont´ınua e ~ p = [p , ..., p n−1

  ] ∈ P

  n−1 um cilindro.

  |J

  ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Cd

  µ

  g

  ~ p

  (x) · h(g

  ~ p

  (x)) − J

  µ

  β

  (y) − 1

  |h(x)| dµ + D

  β

  ~ p

  h · β

  n

  ¤ Para o Lema e Proposi¸c˜ ao a seguir consideraremos o conjunto Ω

  β

  abaixo; o qual desem- penhar´a papel importante na pr´oxima se¸c˜ ao. Em que Ω

  := ½

  ~ p

  ~ p ∈ e P

  ; ¯ ¯ ¯ ¯

  J

  µ

  g

  ~ p

  (x) J µ g

  • J µ g
e, portanto, µ ¶

  Z

  1

  ′′ n

  (I) ≤ M · µ(~p) · M · d(x, y) · |h| dµ + D h · β

  ~ p

  µ(~ p)

  ~ p

  ¶ µZ

  n

  ≤ M · d(x, y) · |h| dµ + µ(~p) · D h · β

  ~ p ~ p

  Analisando a parcela (II), basta verificarmos que |h(g

  (x)) − h(g (y))| ≤ d(g (x), g (y)) · D h

  ~ p ~ p ~ p p ~ p ~ n

  ≤ d(x, y) · β · D h

  ~ p

  e, portanto,

  ′′ n

  (II) ≤ M · µ(~p) · d(x, y) · β · D h

  ~ p

  Assim, podemos concluir que ¶

  µZ

  ′′ n ′′ n

  (I) + (II) ≤ M · M · d(x, y) · |h| dµ + µ(~p) · D h · β + M · µ(~p) · d(x, y) · D h · β

  ~ p p ~ p ~

  µ Z ¶

  ′′ n

  ≤ M · d(x, y) · |h| dµ + (M + 1) · µ(~p) · D M h · β

  ~ p ~ p

  chegando ent˜ao ao resultado desejado.

  ¤ A pr´oxima Proposi¸c˜ ao estabelece um estimativa para o Operador de Perron-Fr¨ obenius no espa¸co das fun¸c˜ oes Lipschitz cont´ınuas.

2.9 Proposi¸ c˜ ao. Seja h uma fun¸c˜ ao Lipschitz cont´ınua e P o Operador de Perron-Fr¨ obenius para

  T , ent˜ ao vale:

  n ′′ n P

  k P h k ≤ M · (D h · β + k h k )

  1 Prova. Inicialmente, podemos deduzir uma representa¸c˜ ao do Operador de Perron-Fr¨ obe- nius que ser´a ´ util na demostra¸c˜ ao desta proposi¸c˜ ao. n−1 −1 n

  Sabemos que T ´e invert´ıvel em cada ~ p ∈ P , T : T (~ p) → ~ p e g ramo inverso de T ,

  ~ p n

  ◦ g restrito a ~ p; que estamos denotando por g , e que satisfaz T (x) = x ∀x ∈ ~ p, dessa forma

  ~ p ~ p

  podemos escrever [

  −n

  T (X) = ~ p n−1

  

~ p∈P

  [ = Im(g ) n−1 ~ p

~ p∈P agora, pela defini¸c˜ ao do operador Z Z

  n

  P h dµ = h dµ −n

  X T (X)

  Z = h dµ

  [ Im(g ) n−1 ~ p ~ p∈P

  Z

  X = h dµ n−1

Im(g p ~ )

p∈P ~

  Z

  X = J g · h ◦ g dµ

  µ ~ p p ~ n−1 Dom(g p ~ ) p∈P ~

  e, portanto, temos

  X

  n

  P · h ◦ g h = J µ g . n−1 ~ p p ~ p∈P ~ Segue ent˜ao que para x ∈ Dom(g )

  ~ p

  µ Z ¶

  X

  1

  n n ′′

  |P |h(x)| dµ + D · M · µ(~p) h(x)| ≤ h · β

  

p ~

  µ(~ p) n−1 ~ p ~ p∈P µ Z ¶

  X

  1

  ′′ P P ′ ′ n

  ≤ M · µ(~ p) · |h(x)| dµ + D h · β , pois D h ≤ D h

  ~ p

  µ(~ p) n−1 ~ p ~ p∈P

  ′′ n

  ≤ M · (k h k + D P h · β )

  1 ′

  Por ´ ultimo, para h uma fun¸c˜ ao Lipschitz cont´ınua e x, y ∈ ~q ∈ P , temos

  X

  n n

  |P |J h(x) − P h(y)| ≤ µ g (x) · h(g (x)) − J µ g (y) · h(g (y))| n−1 ~ q ~ q q ~ q ~ ~ q∈P µ Z ¶

  X

  ′′ n

  = M · d(x, y) · M |h| dµ + (M + 1) · µ(~q) · β · D h , pelo Lema(2 .8 )

  ~ q n−1

~ q

~ q∈P ′′ n

  ≤ M · d(x, y) · (M k h k + (M + 1) · D P h · β ) ;

  1

  ou seja,

  n n

  |P h(x) − P h(y)| ≤ M, d(x, y) em que basta tomarmos

  

′′ n

P ′ M = M · (M · k h k + (M + 1) · D h · β ) .

  1 n

  Dessa forma, segue por defini¸c˜ ao que D P P h &lt; M , sendo ent˜ao o pr´oprio Operador P Lipschitz cont´ınuo.

  ¤

  2.4 Propriedades de Distor¸ c˜ ao e Ergocidade

  Um subconjunto aberto mensur´avel W ⊂ X, tal que W (T ) = {x; ∀ aberto U ∋ x, ∃n &gt;

  n

  0 com T (U ) ∩ U 6= ∅} ´e chamado conjunto errante para T uma transforma¸c˜ ao n˜ao singular. Deno- tamos por W(T ) a cole¸c˜ ao dos conjuntos errantes. Dessa forma chamamos a parte Dissipativa da S transforma¸c˜ ao T e denotamos por D(T ) = (W(T )) a uni˜ao mensur´avel das cole¸c˜ oes de conjuntos errantes para T . Dessa forma, a transforma¸c˜ ao T ´e chamada totalmente dissipativa se D(T ) = X mod µ.

  O conjunto C(T ) := X\D(T ) ´e chamado parte Conservativa de T . A transforma¸c˜ ao n˜ao singular T ´e chamada Conservativa se C(T ) = X mod µ.

  Se podemos particionar o dom´ınio X da forma {C(T ), D(T )}, ent˜ao dizemos que T possui uma decomposi¸c˜ ao de Hopf. (Ver em [1], p´ag. 15) Seja o conjunto

  ¯ ¯ ½

  ¾

  n

  ¯ J T (x) ¯

  µ n n n−1

  P ¯ ¯

  Ω := p ∈ e ~ ; − 1 (T (x), T (y)); ∀(x, y) ∈ ~ p ∈ P

  β β n

  ¯ ¯ ≤ Cd J T (y)

  µ

  em que C ∈ R . N´os dizemos que uma transforma¸c˜ ao de Markov (T, P) possui controle forte de

  • P

  

distor¸c˜ ao se existe C &gt; 1 tal que para todo ~ p ∈ e , ~ p ∈ Ω . Observe que por quest˜ao de conveniˆencia

β estamos reescrevendo o conjunto Ω , definido anteriormente, mas s˜ao de fato os mesmos.

  β

  P Seja (T, P) uma Transforma¸c˜ ao de Markov e C &gt; 0. Uma cole¸c˜ ao Θ ⊂ e ´e chamada

  

Cole¸c˜ ao Schweiger para T se todos os elementos da cole¸c˜ ao possuem distor¸c˜ ao limitada para algum

  C &gt; 0, e [ B = X mod µ.

  B∈Θ

  Uma Transforma¸c˜ ao de Markov (T, P) possui controle fraco de distor¸c˜ ao se existe uma Cole¸c˜ ao Schweiger para T .

  

2.10 Lema. Suponha que (T, P) ´e uma Transforma¸c˜ ao de Markov com controle fraco de distor¸c˜ ao

e Θ ´e uma Cole¸c˜ ao Schweiger para T . Se A ∈ Θ; ent˜ ao

  ∞

  X

  −n

  µ(T (A)) = ∞ ⇒ A ⊂ C mod µ

  n=1 e

  ∞

  X

  −n

  µ(T (A)) &lt; ∞ ⇒ A ⊂ X\C mod µ

  n=1

  em particular C e D s˜ ao ambos uni˜ oes de conjuntos em Θ.

  Prova. Da segunda implica¸c˜ ao temos que dado um ponto x ∈ A, x volta a A finitas vezes, n˜ao retornando a partir de um certo n ≥ n fixado, ou seja, A ⊂ D = X\C. Para a primeira implica¸c˜ ao suponhamos que µ(A\C) &gt; 0 ent˜ao ∃B ∈ B ∩ A := {B ∈ B; B ⊂ A}, µ(B) &gt; 0 tal que

  ∞

  X

  −n

  µ(T (B)) &lt; ∞

  n=1

  portanto, pelo Lema (2.4)

  ∞

  X

  

−n

  µ(T (A)) &lt; ∞

  n=1

  ¤ Ao estudarmos a dinˆamica de certas transforma¸c˜ oes a longo prazo, desejamos saber onde os pontos do espa¸co s˜ao levados por iterados futuros da transforma¸c˜ ao que reje o sistema, assim definimos o ω − limite de um ponto x ∈ X, como sendo o conjunto dos pontos y ∈ X, tais que

  n para toda vizinhan¸ca V de y a rela¸c˜ ao T (x) ∈ V , n &gt; 0 ´e satisfeita para infinitos valores de n.

  Dizemos tamb´em que uma transforma¸c˜ ao cont´ınua T de um espa¸co topol´ogico X ´e tran-

  

sitiva se existe x ∈ X tal que ω (x) = X. A transforma¸c˜ ao T ´e dita topologicamente transitiva se

T n para todo par de conjuntos abertos, n˜ao vazios U, V ⊂ X existe n ≥ 1 tal que T (U ) ∩ V 6= ∅.

  −1

  Lembremos que T ´e dita erg´ odica, se para todo A ∈ B, invariante (T (A) = A mod µ),

  c

  implica µ(A) = 0 ou µ(A ) = 0

  

2.11 Lema. Seja T uma transforma¸c˜ ao n˜ ao singular localmente invert´ıvel e X um conjunto T -

invariante, se existe φ invert´ıvel tal que φ conjuga (T, X) e (σ, Σ), onde σ ´e shift e Σ ´e invariante

por σ; ent˜ ao (T, X) ´e topologicamente transitivo.

  Prova. Este Lema ´e um corol´ario da Proposi¸c˜ ao A.5. (Ver Apˆendice) ¤

  

2.12 Lema. Suponha que T ´e topologicamente transitivo com controle fraco de distor¸c˜ ao, ent˜ ao T

´e conservativo ou totalmente dissipativo. Se T ´e conservativo ent˜ ao T ´e erg´ odico.

  Prova. Assumamos que [

  B = Xmod µ;

  B∈Θ da´ı pelo Lema (2.10) temos C

  = [

  )) ≤ C

  Por conservatividade de T , se ~ p = [p

  o

  , ..., p

  n−1

  ] ∈ Θ ent˜ao para µ-q.t.p. x ∈ ~ p, T

  k

  x ∈ ~ p para infinitos k

  ′

  s, portanto, χ

  A

  (x) · µ(T (p

  n−1

  )) µ(A ∩ T (p

  n−1

  2 .

  (x) ∈ p

  E segue que, A =

  [

  B∈Θ, µ(A∩B)&gt;0 B mod µ.

  J´ a que µ(A) &gt; 0, ∃ B ∈ Θ tal que B ⊂ A; por irredutibilidade se B

  ′

  ∈ Θ, ent˜ao ∃k ≥ 0 tal que µ(B ∩ T

  −k

  B

  ′

  ) &gt; 0, portanto B

  ′

  ⊂ A. Assim A = Xmod µ, logo µ(A

  c

  ) = 0 e concluimos que T ´e ergodico.

  n−1 (x) ∈ P.

  n

  B⊂Θ∩C B mod µ.

  µ(~ p) ≤ C

  Assim, segue pela irredutibilidade que T ´e conservativo ou totalmente dissipativo. Supo- nha que T ´e conservativo. J´a que Θ gera B; segue pelo Lema de Distor¸c˜ ao que µ(T

  −n

  (A) ∩ ~ p) µ(~ p)

  ≤ C

  2

  · µ(A) ∩ T (p

  

n−1

  )) µ(T (p

  n−1

  )) ∀n ∈ N; ~p ∈ (P

  n−1 ∩ Θ); A ∈ B.

  Agora, suponha que T

  −1

  (A) = A e µ(A) &gt; 0, ent˜ao para A ∈ B, µ(A ∩ ~ p)

  2

  (x) ´e definido por T

  · µ(A) ∩ T (p

  

n−1

  )) µ(T (p

  n−1

  )) ∀n ∈ N; ~p ∈ (P

  n−1 ∩ Θ).

  Para µ-q.t.p. x ∈ X, temos que, µ(A ∩ ~ p)

  µ(~ p) =

  µ(A ∩ [p o (x), ..., p n−1 (x)]) µ(T (p

  n−1

  )) −→ χ

  A

  (x) quando n → ∞ em qur para n ≥ 1, p

  n−1

  ¤ Cap´ıtulo 3 Teoremas A e B

  Neste cap´ıtulo demonstraremos os dois Teoremas Principais deste trabalho, provaremos

  2

  que uma C –Transforma¸c˜ ao Markoviana Expansora por Partes possui uma medida invariante µ que ´e absolutamente cont´ınua com respeito `a medida de Lebesgue m, isto ´e µ = hm, onde h ´e densidade acotada longe do zero e portanto log h tamb´em ´e limitado. De fato, mostraremos que

  ′

  h pertence ao espa¸co das fun¸c˜ oes P -Lipischitz cont´ınuas por partes. Esta condi¸c˜ ao implica que a medida µ ´e equivalente `a de Lebesgue no sentido de que possuem os mesmos conjuntos de medida Lebesgue zero.

  n−1

  P Lembramos que dado um cilindro ~ p = [p , ..., p ] ∈ P ⊂ e , denotamos o ramo inverso

  n−1

  ¯

  n n −1

  ¯ de T restrito ao cilindro ~ p, por g := g ◦ ... ◦ g = (T ) . Ademais, n´os dizemos que uma

  ~ p p p n−1 ~ p

  transforma¸c˜ ao de Markov (T, P) possui controle forte de distor¸c˜ ao se existe C &gt; 1 tal que para P todo ~ p ∈ e , ~ p ∈ Ω . Onde

  β

  ¯ ¯ ½

  ¾

  n

  ¯ ¯ J µ T (x)

  n n n−1

  P ¯ ¯

  Ω := p ∈ e ~ ; − 1 (T (x), T (y)); ∀ (x, y) ∈ ~ p ∈ P

  β β n

  ¯ ¯ ≤ C · d J T (y)

  µ com C ∈ R .

  • P

  

Teorema A. Suponha que (T, P) uma transforma¸c˜ ao de Markov; tal que para todo cilindro ~ p ∈ e

tenham forte controle de distor¸c˜ ao. Se #T (P) &lt; ∞; ent˜ ao existe uma densidade invariante µ,

  dµ

  

absolutamente cont´ınua a medida de Lebesgue m, tal que log pertence ao espa¸co das fun¸c˜ oes

  dm Lipschitz cont´ınuas (L).

  • M k f k
  • M k f k
  • M k P
  • ... + 1)M k f k
  • ... + θ)M k f k
  • M k f k
  • ... + θ + 1)M k f k

  • M
  • D

  1 k

  L

  =k P

  k

  1 k

  1

  1. Pelo Lema(2.4), k P

  X P k

  k

  1 k

  1

  ≤ C

  2

  ǫ · µ(A); A ∈ B e pela Proposi¸c˜ao

  k

  k

  1 k L &lt; ∞; de fato lembremos que k P

  1 n

  k f k

  L

  ′

  k f k

  

1

&lt; ∞; ∀ f ∈ L; n ≥ 1 e 0 &lt; θ &lt; 1.

  Considere A n 1 :=

  n−1

  k P

  X

  k=0

  P

  k

  1. N´os mostramos que sup

  n≥1

  (2.9), para g uma fun¸c˜ ao Lipschitz cont´ınua vale D P

  P

  k

  X

  1 k

  k

  k P

  k=0

  X

  n−1

  1 n

  ≤

  L

  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

  1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

  

k

  P

  k=0

  n−1

  g &lt; M , assim D

  X

  X P k

  1 &lt; ∞. Considerando A

  n

  1 :=

  1 n

  n−1

  k=0

  1 n

  P 1 para k ≥ 1, temos k A

  n

  1 k

  L

  = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

  n

  L

  ≤ θ

  ≤ θ k f k

  q...q

  ≤ θ k P

  L

  f ) k

  q...q

  (P

  q

  = k P

  L

  f k

  qn

  Agora, iterando n´os temos k P

  1 ∀ f ∈ L e 0 &lt; θ &lt; 1.

  L

  1

  L

  k=0

  Prova. Sabemos que (T, X) e (σ, Σ) s˜ao conjugados, ent˜ao pelo Lema (2.11) nos podemos assumir que (T, P) ´e topologicamente transitivo. Pela Proposi¸c˜ ao (2.2) e Lema (2.4) existe h : X → R

  , tal que Ph = h. Pelo Lema (2.5) conclu´ımos que log h ∈ L

  ∞

  (µ); e isto ´e suficiente para mostrar que h ∈ L. Pela ergodicidade de T , nos temos que 1 n

  n−1

  X

  P

  

n

  k

  1 −→ h = dµ dm em L

  1 (µ) quando n → ∞.

  Pela Proposi¸c˜ ao (2.8); existe q ≥ 1, 0 &lt; β &lt; 1 e M &gt; 0 tal que k P

  q

  f k L ≤ M · D P f · β

  f k

  q...q

  f k

  =

  k f k

  L

  n−1

  1

  tomando M

  ′

  ∞

  = θ

  X

  n=0

  θ

  n

  · M , obtemos: k P

  qn

  n

  1

  f k

  1

  1

  ≤ θ(θ

  n−1

  k f k

  L

  

n−2

  ) + M k f k

  1

  1

  = θ

  n

  k f k

  L

  n−1

  L

  reescrevendo k = a · q + b, em que a ≥ 0 e 0 ≤ b &lt; q obtemos

  n−1

  X

  1

  aq+b

  k A 1 k ≤ k P 1 k

  n L L

  n

  k=0 n−1

  X

  1

  aq b

  ≤ k P (P 1) k

  L

  n

  k=0 a b ′ b

  ≤ θ k P 1 k +M k P 1 k &lt; ∞, conforme exposto acima.

  L

  1 Por ´ ultimo, reca´ımos nas hip´oteses dadas pelo Teorema de Ascoli-Arzel´a, (Teorema 2.6) e por-

  1 tanto, A n 1 possui subsequˆencia convergente em L (µ) cujo limite ´e h, fun¸c˜ ao lipschitz cont´ınua.

  Portanto, µ = hm ´e uma medida finita T -invariante absolutamente cont´ınua, com log h limitado.

  ¤ Seja T uma transforma¸c˜ ao definida num subconjunto X ⊂ M, em que M ´e uma variedade compacta e X possui medida Lebesgue total. Dizemos que T ´e uma Transforma¸c˜ ao Markoviana

  

Expansora por Partes se existir uma parti¸c˜ ao enumer´avel P, com respeito a medida de lebesgue, do

  dom´ınio X e conjuntos cilindros tais que:

  −1 −1 (i) k (DT (x)) k ≥ λ &gt; 1 ∀ x ∈ ~p ∈ P,

  ¯ ¯ ¯ ¯ det DT (x)

  P ¯ ¯

  (ii) log

  , ¯ ¯ ≤ C · d(x, y); ∀ x, y ∈ ~p, ∀ ~p ∈ det DT (y)

  ¯

  2

  2

  ¯ ∈ P; T (iii) Para cada p ´e um difeomorfismo C com uma extens˜ao ainda C a p .

  k k p k

  Dizemos que um conjunto A ⊂ M ´e positivamente invariante para T , se T (A) = A. Um

  −1 conjunto invariante (T (A) = A) ´e em particular um conjunto positivamente invariante.

  Para provar o pr´oximo Teorema, necessitaremos do seguinte Lema:

3.1 Lema. Se A ⊂ M ´e um conjunto positivamente invariante, ent˜ ao existe uma bola B de raio

  δ/4 tal que m(B\A) = 0. Em particular, sendo a medida de M finita, teremos somente um n´ umero finito de conjuntos invariantes distintos.

  Prova. ´ E suficiente mostrarmos que existe uma bola de raio δ/4, onde a medida relativa de A est´a pr´oxima de 1. Seja k &gt; 0 um n´ umero pequeno. Sejam A um compacto contido em A e

  c

  A uma vizinhan¸ca de A tal que m(A\A ) e m(A \A ) sejam ambos menores que k · m(A). Para

  v c c v c n

  x ∈ A seja V (x) a vizinhan¸ca de x; ademais V (x) ´e enviada com distor¸c˜ ao limitada por T na

  c n n

  n

  bola de raio δ em torno de T (x). Podemos escolher n sufiucientemente grande de a que para todo

  n n

  x ∈ A c se tenha V n (x) ⊂ A v . Seja U n (x) ⊂ V n (x) a pr´e imagem por T de B (T (x)). Sejam

  δ/4 x , ..., x ∈ A tais que U (x ), ..., U (x ) cubram A .

  1 N c n 1 n N c

  Podemos ainda se necess´ario for, reordenar os ´ındices, de forma tal que para m ≤ N termos uma subfam´ılia maximal U (x ), ..., U (x ), cujos elementos s˜ao disjuntos dois a dois. Notemos

  n 1 n m

  que V (x ), ..., V (x ) cobrem A , uma vez que a uni˜ao deste conjunto cont´em U (x ), para todo

  n 1 n N c n i

  1 ≤ i ≤ N. De fato, cada U (x ) deve intersectar algum U (x ) com k ≤ m e , deste modo, a

  n i n k n n

  sua imagem por T , uma bola de raio δ/4em torno de T (x ), intersecta a bola de raio δ/4 em

  i n

  torno de T (x ), estando assim contida na correspondente bola de raio δ. Em particular temos

  k U (x ) ⊂ V (x ). n i n k

  Pela distor¸c˜ ao limitada, existe uma constante uniforme C &gt; 0, independente de x e de n, tal que m(U (x)) ´e maior que C · m(V (x)). Assim sendo, a medida de lebesgue de U (x ) ∪

  n n n

  1

  ... ∪ U (x ) ´e maior que C · m(A ). Se θ &gt; 0 ´e tal que m(U (x ) \ A ) ≥ θ · m(U (x ) para todo

  n m c n i c n i

  1 ≤ i ≤ m, ent˜ao m(U (x ) ∪ ... ∪ U (x ) \ A ) ≥ θ · Cm(A ) ≥ θ · C(1 − k)m(A).

  n 1 n m c c

  Por outro lado, dado que U (x ) ⊂ A e A ⊂ A, esta medida tem que ser inferior a k · m(A)

  n i v c k · m(A) ≥ m(U (x ) ∪ ... ∪ U (x ) \ A ) ≥ θ · C(1 − k)m(A). n 1 n m c Podemos deste modo reduzir k &gt; 0, aumentando n, de forma tal que θ seja for¸cosamente pequeno.

  Desta forma podemos encontrar n e U (x ) tais que a medida de lebesgue relativa de U (x ) ∩ A

  n i n i c

  em U (x ) seja arbitrariamente pr´oxima de 1. Ent˜ao, pela distor¸c˜ ao limitada e pelo fato de A se

  n i n

  positivamente invariante a medida de lebesgue relativa de T (A ) ⊂ A na bola de raio δ/4 em torno

  c n

  de T (x ) tamb´em est´a arbitrariamente pr´oxima de 1.

  i

  ¤ Um conjunto compacto positivamente invariante A ´e chamado atrator se sua bacia de atra¸c˜ ao B(A) = {x ∈ M, w(x) ⊂ A} possui medida lebesgue positiva.

  2 Teorema B. Se T : M → M ´e uma C Transforma¸c˜ ao Markoviana expansora por partes, com um

n´ umero limitado de imagens, ent˜ ao existe um conjunto finito de medidas invariantes absolutamente

cont´ınuas com respeito ` a medida de Lebesgue e erg´ odicas tal que m − q.t.p. pertence a bacia de uma

dessas medidas. Ademais a densidade de cada uma dessas medidas com respeito a Lebesgue ´e

uniformemente limitada por alguma constante.

  Prova. Sejam x e y pertencentes ao cilindro ~ p = [p , ..., p ], com d (x, y) ≤ ǫ, ou seja,

  n n−1 β x e y est˜ao muito pr´oximos. s(x,y)

  Lembramos que d = d = β , onde s(x, y) ´e o tempo de separa¸c˜ ao de x e y. Se x e y

  β

  est˜ao em elementos distintos de uma parti¸c˜ ao P de X ent˜ao s(x, y) = 0. Se x e y est˜ao num mesmo

  k k

  elemento da parti¸c˜ ao ent˜ao s(x, y) ´e o maior inteiro n ≥ 0 tal que T x e T y est˜ao no mesmo elemento da parti¸c˜ ao para k = 0, ..., n. Ademais, por

  −1 −1 (i) k (DT (x)) k ≥ λ &gt; 1 ∀ x ∈ ~p ∈ P

  ¯ ¯ ¯ det DT (x) ¯

  P ¯ ¯

  (ii) log

  ¯ ¯ ≤ C · d(x, y); ∀ x, y ∈ ~p, ∀ ~p ∈ det DT (y) temos, n n n n n n

  

j j −(n+s(T (x),T (y))−j) n+s(T (x),T (y)) n+s(T (x),T (y))

  · d(T d(T (x), T (y)) ≤ λ (x), T (y)) n n

  −(n−j) −s(T (x),T (y))

  ≤ λ · λ · r, onde r = diam ~p

  −1

  e pondo β = λ e fazendo k = n − j obtemos, n n

  j j n−j s(T (x),T (y))

  d(T (x), T (y)) ≤ β · β Agora, tomando logaritmos encontramos

  ¯ ¯ n−1 ¯ ¯

  n k

  Y ¯ ¯ ¯ ¯ det DT (x) det DT (T (x)) ¯ ¯ ¯ ¯ log log

  n k

  ¯ ¯ = ¯ ¯ det DT (y) det DT (T (y))

  k=0 n−1

  X

  k k

  = (log | det DT (T (x))| − log | det DT (T (y))|)

  k=0 n

  X n n

  n−k s(T (x),T (y))

  ≤ C · β · r · β

  k=0 ′ n n

  = C · d (T (x), T (y))

  β n

  X

  ′ n−k

  em que C = C · β · r. Conv´em observar que como m ´e a medida de Lebesgue, temos que

  k=0 n n

  J m T = det DT . Agora, utilizando o fato de que para todo x &gt; 0 tem-se log x ≤ |x − 1|; obtemos, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

  n n n

  ¯ det DT (x) ¯ ¯ J T (x) ¯ ¯ J T (x) ¯

  m m n n

  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ log − 1 (T (x), T (y))

  β n n n

  ¯ ¯ = log ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ≤ Cd det DT (y) J T (y) J T (y)

  m m

  portanto, reca´ımos nas hip´oteses do Teorema A e ent˜ao, existe densidade invariante µ; absoluta- mente cont´ınua a Lebesgue e limitada no espa¸co das fun¸c˜ oes Lipschitz cont´ınuas.

  Para provar a existˆencia de um n´ umero finito dessas medidas, suponhamos A ⊂ X algum conjunto T -invariante com medida Lebesgue positiva, dado pelo Lema anterior, ent˜ao pelo exposto

  n−1

  X

  1

  k

1 P

  temos que χ A converge na norma L (m) para alguma h A que ´e limitada no espa¸co das n

  k=0

  fun¸c˜ oes Lipschitz cont´ınuas. Escrevendo µ A = h A m; temos µ A densidade T -invariante absoluta-

  c

  mente cont´ınua. Observe que escrevendo A = X\A temos

  n−1 n−1

  Z Z Z

  X X

  1

  1

  c k k c µ (A ) = h dm = lim P χ dm = lim χ ◦ T · χ dm = 0. A A A A A c n→∞ c n→∞

  n n

  A A

  X k=0 k=0

  Dessa forma, µ d´ a peso total ao conjunto A, ou seja µ = 1. Ent˜ao X pode ser decom-

  A A

  posto numa quantidade finita de conjuntos T -invariantes como acima e logo teremos necessaria- mente uma quantidade finita de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas e erg´odicas.

  Sabemos que µ(supp µ) = 1 ∀µ probabilidade, em particular µ (supp µ ) = 1, como

  j j

  µ ≪ m temos ent˜ao m(supp µ ) &gt; 0. Sabemos tamb´em que supp µ ´e um conjunto positivamente

  j j j

  invariante. Pelo que acabamos de comentar e pelo Lema(3.2), temos que existe uma bola contida no supp µ , ou seja int(supp µ ) 6= ∅ ∀j.

  j j

  Seja K = {x, w(x) ∩ (int(supp µ ) ∪ ... ∪ (int(supp µ ))} = ∅, observamos que K ´e

  1 j

  positivamente invariante. Logo se m(K) &gt; 0, temos pelo Teorema anterior que existe uma medida ν, absolutamente cont´ınua a lebesgue tal que ν(K) = 1.

  Observemos que K ∩ int(supp µ ) = ∅, dessa forma µ ≤ 1 − µ (int(supp µ )) &lt; 1 e assim

  j j j j

  ter´ıamos µ 6= ν ∀j. Absurdo pois µ , ..., µ , com 1 ≤ j ≤ n, s˜ao todas as medidas absolutamente

  j 1 n

  cont´ınuas `a lebesgue. Dessa forma, temos necessariamente m(K) = 0 Logo para m − q.t.p. x ∈ M teremos alguma µ tal que w(x) ∩ int(supp µ ) 6= ∅; mas isto

  j j n n

  implica que existe n tal que T (x) pertence ao int(supp µ j ) e logo T (x) pertence ao supp µ j ,

  n

  como supp µ ´e um conjunto positivamente invariante T (x) pertence ao supp µ para todo n ≥ n ,

  j j

  ent˜ao conclu´ımos que w(x) ⊂ supp µ . Ou seja, lebesgue quase todo ponto pertence a bacia de

  j uma dessas medidas.

  ¤

3.2 Corol´ ario. Se #T (P) = 1, ent˜ ao existe uma ´ unica medida µ absolutamente cont´ınua com respeito ` a medida de lebesgue.

  Prova. Como #T (P) = 1, ent˜ao existe um conjunto positivamente invariante A ⊂ X tal n−1

  X

  1

  k

  1

  que T (A) = X, assim pelo Teorema A temos que P χ converge na norma L (m) para a

  A

  n

  k=0

  densidade h que ´e limitada no espa¸co das fun¸c˜ oes Lipschitz cont´ınuas. Escrevendo µ = h m;

  A A A temos µ medida T -invariante absolutamente cont´ınua e erg´odica, com µ (T (A)) = µ(X) = 1.

  A A

  Suponhamos B ⊂ X conjunto positivamente invariante. Ent˜ao,

  c

  µ (A ∩ B) µ (A ∩ B)

  

A A

  µ

  1 (B) = e µ 2 (B) = c

  µ (A) µ (A )

  A A

  s˜ao duas medidas absolutamente cont´ınuas, com densidades h = dµ /m e h = dµ /m que s˜ao

  1

  1

  2

  2

c

  fun¸c˜ oes lipschitz cont´ınuas. Dessa forma, A e A tem interior n˜ao vazio, contradi¸c˜ ao.

  ¤ Apˆ endice Shift

  Os shifts s˜ao um importante objeto no estudo em Sistemas Dinˆamicos. Parte de sua importˆancia provˆem do fato de que certos difeomorfismos cont´em na sua dinˆamica transforma¸c˜ oes que se assemelham ao de uma transforma¸c˜ ao shift. Isto ´e, sob certas condi¸c˜ oes um difeomorfismo

  N

  f de uma variedade compacta M possui um conjunto X ⊂ M, tal que f (X) = X, para algum ¯

  N

  ¯ N e f ´e conjugado a um shift, ou seja, ´e dinˆamicamente equivalente a algum shift.

  X Seja S um conjunto enumer´avel e seja B a σ-´algebra pelos conjuntos cilindros da forma N

  [s , ..., s ] := {x ∈ S ; x = s , 1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1}; onde s , ..., s ∈ S. Chamamos de shift a

  1 n k k N N N 1 n

  −→ S aplica¸c˜ ao σ : S , dada por (σx) n = x n+1 ; onde S ´e um espa¸co m´etrico compacto quando N equipado com a topologia produto ( topologia gerada pelos conjuntos cilindros), B(S ) ´e a cole¸c˜ ao N N de Borel conjuntos e σ : S −→ S ´e cont´ınua.

  Shift de Markov

  Seja S um conjunto enumer´avel como anteriormente. Uma matriz estoc´ astica n × n ´e uma matriz P : S × S −→ [0, 1], cujos coeficientes p s,t satisfazem X p = 1, ∀s ∈ S.

  s,t t∈S

  Para q ∈ {conjunto das probabilidades em S} tal que q(s) &gt; 0; definimos a medida

  N

  m ∈ {conjunto das probabilidades em S } por:

  q n−1

  Y m ([s , ..., s ]) = q p .

  q 1 n s 1 s k ;s k +1 N N k=1 N N Seja σ : S −→ S um shift; ent˜ao σ ´e uma transforma¸c˜ ao mensur´avel do espa¸co de medida

  (S , B(S ), m ). E ´e denominado Shift de Markov de P com distribui¸c˜ ao inicial q. O shift de Markov

  q −1

  de P ´e chamado n˜ ao singular se m ◦ σ ∼ m para todo q ∈ {conjunto das probabilidades em S}

  q q tal que q(s) &gt; 0 ∀s. N Um subconjunto Σ ⊂ S ´e um subshift se ´e compacto e invariante por σ, isto ´e, σ(Σ) = Σ.

  Dizemos que um subshift Σ ´e transitivo ou topologicamente transitivo se σ|Σ ´e respectivamente, N transitivo ou topologicamente transitivo. O subshift Σ ⊂ S ´e do tipo finito se existe uma matriz P , cujos coeficientes p s˜ao 0 ou 1 e tal que x ∈ Σ, se e somente se, p = 1 para todo

  n×n s,t x(k),x(k+1) k ∈ Z. Neste caso, denotamos Σ = Σ .

  P

  Reciprocamente dada uma matriz P com coeficientes p que tomam s´o valores 0 ou

  n×n s,t

  1, podemos definir o conjunto N Σ := {x = (x , x , ...) ∈ S ; p = 1 ∀k ∈ Z.

  1

  2 x(k),x(k+1)

  N˜ ao ´e dif´ıcil ver que Σ ´e um conjunto compacto e σ(Σ) = Σ [8]. Se p = 1 para todo s e N

  s,t t, obtemos Σ = S .

  Conjuga¸ c˜ ao N

  Mostraremos (T, X) e (σ, Σ) s˜ao conjugados. Para isso seja φ : X −→ S definida por N

  n−1 −1

  T x ∈ p ∈ P e sua inversa φ : S −→ X, dada por n

  (φ(x)) n−1

  \

  −1 −k φ (s , ..., s ) = T p .

  1 n−1 s k k=1

  T

  n−1 −1 −k

  A fun¸c˜ ao φ est´a bem definida pois T p ´e uma interse¸c˜ ao n˜ao vazia de

  (φ(x)) k k=1 N

  \ T

  −n n−1 −k

  compactos encaixados e lim {diam[ T p ]} = 0; consequentemente T p n

  (φ(x)) (φ(x)) k k=1 N →∞ n=−N

  define um ´ unico ponto x em X.

  De fato, podemos ver que

  −1 −1

  φ ◦ φ(x) = φ (φ(x))

  n−1

  \

  −k

  = T p

  (φ(x)) k k=1 −1 −2 −(n−1)

  ∩ T ∩ ... ∩ T = T p p p

  (φ(x)) (φ(x)) (φ(x)) 1 2 n−1

  = x

  n−1

  Vejamos que a dinˆamica do sistema ´e preservada pela aplica¸c˜ ao φ. De fato, T x ∈

  n−1

  p se e somente se (φ(x)) n−1 = n, ou seja σ(φ(x)) n−2 = n. Por outro lado T x =

  (φ(x)) n n−2

  T (T (x)) ∈ p se e somente se (φ(T (x))) = n. Ent˜ao temos que φ ◦ T = σ ◦ φ e

  (φ(x)) n n−2

  portanto (T, X) e (σ, Σ) s˜ao conjugados. Agora provaremos que T ´e topologicamente transitivo atrav´es da aplica¸c˜ ao shift. Antes por´em, provaremos o seguinte Lema que ser´a utilizado.

  (m) (m) (m)

A.3 Lema. Para todo 1 ≤ s ≤ n; 1 ≤ t ≤ n e m ≥ 1 p = #S , onde S ´e o conjunto das

s,t s,t s,t fun¸c˜ oes ψ : {0, ..., m} → {1, ..., n}; tais que

  ψ(0) = s ψ(m) = t p = 1, k = 0, ..., m − 1.

  ψ(k),ψ(k+1) Prova. A igualdade vale se m = 1. Suponhamos que vale para um valor m ≤ 1.

  (m)

  Provaremos que tamb´em ´e verdade para m + 1. Seja S a uni˜ao disjunta dos conjuntos S com k

  s,k

  tal que p = 1. Ent˜ao

  k,t

  X X

  X

  (m) (m) (m) (m+1)

  #S = #S = p = p ; p = p

  k,t s,k s,k s,k s,t p k,t 6=0 p k,t 6=0 k (m+1)

  Por outro lado #S = #S ; porque a fun¸c˜ ao ϕ; S → {α : {0, ..., m + 1} → {1, ..., n}}

  s,t

  definida como ϕ ◦ ψ(i) = ψ(i) i = 0, ..., m.

  ϕ ◦ ψ(m + 1) = t

  (m+1) ´e uma bije¸c˜ ao entre S e S . s,t

  ¤

  N m

  

A.4 Proposi¸ c˜ ao. Seja Σ ⊂ S um subshift do tipo finito e sejam p os coeficientes de P , m ≥

P s,t

  0. Ent˜ ao σ : Σ → Σ ´e topologicamente transitivo(ou seja, quando U e V s˜ ao sobconjuntos n˜ ao

  P P k m

vazios de Σ , existe um N &gt; 0, tal que σ (U ) ∩ V 6= ∅ ∀k ≥ N ), se e somente se, P &gt; 0 (isto ´e

  P m

  p &gt; 0 ∀s, t) para algum m.

  s,t

  Prova. Sejam U, V 6= ∅ abertos em Σ . Queremos provar que existe n &gt; 0 tal que

  P n

  σ (U ) ∩ V 6= ∅. O aberto U cont´em um aberto n˜ao vazio da forma [s , ..., s ] ∩ Σ e V um aberto

  1 k P

  n˜ ao vazio da forma [u , ..., u ] ∩ Σ . Ent˜ao

  1 k P n n

  σ (U ) ∩ V ⊃ σ ([s , ..., s ] ∩ Σ ) ∩ [u , ..., u ] ∩ Σ = [s ] ∩ [u , ..., u ] ∩ Σ

  1 k P 1 k P k+n 1 k P

  ∈ [s ∈ [u Sejam x

  1 , ..., s ] ∩ Σ e x 1 , ..., u ] ∩ Σ . Tomemos n tal que k P k P

  1

  2 n−k

  k &lt; n e p &gt; 0

  u k ,s 1 A segunda condi¸c˜ ao implica pelo Lema anterior que existe α : {0, ..., n − k} → {1, ..., m}

  tal que α(0) = u

  

k

  α(n − k) = s

  

1

p = 0, 0 ≤ i ≤ n − k. α(i),α(i+1)

  Definimos agora x ∈ Σ como x(i) = x (i), i ≤ k

  2

  x(i) = x(i − k), k ≤ i ≤ n x(i) = x (i − n), i ≥ n.

  1

  ∈ Σ ∈ Σ Observamos ent˜ao que x ∈ Σ , pois x e pelas condi¸c˜ oes dadas na defini¸c˜ ao x , ademais

  P P P

  1 2 n

  x ∈ [s ] ∩ [u , ..., u ] o que implica que σ (U ) ∩ V 6= ∅.

  n+k 1 k

  Reciprocamente, se σ : Σ → Σ ´e transitivo, dados 1 ≤ s ≤ n e 1 ≤ t ≤ n, tomamos

  P P n m

  m &gt; 0 tal que σ [s ] ∩ [u ] 6= ∅. Seja x ∈ σ ([s ]) ∩ [u ] = [s ] ∩ [u ]. Ent˜ao x satisfaz x(0) = k x(m) = k + n p = 1, 1 ≤ i ≤ m.

  x(i),x(i+1) m

  Pelo Lema anterior, isto implica que p &gt; 1.

  s,t

  ¤

  Referˆ encias Bibliogr´ aficas

[1] Aaronson, J., An Introduction to Infinite Ergodic Theory. Mathematical Surveys and Mono-

graphs 50, American Math. Society, 1997.

  

[2] Alves, J. F. and Viana, M., Statistical stability for robust classes of maps with non-uniform

expansion. Ergod. Th. and Dynam. Sys.,22, 2002. [3] Castro, A. A., Teoria da medida. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2004.

  a.

  

[4] Fernandez, P. J., Medida e integra¸c˜ ao. Projeto Euclides, IMPA, 2 edi¸c˜ ao, Rio de Janeiro,

2002.

[5] Lasota, A. and Mackey, M. C., Chaos, Fractais, and Noise. Springer-Verlag, Second Edition,

New York, 1991. a.

  

[6] Lima, E. L., Curso de An´ alise vol.2. Projeto Euclides, IMPA, 5 edi¸c˜ ao, Rio de Janeiro, 1999.

  a.

  [7] Lima, E. L., Espa¸cos M´etricos. Projeto Euclides, IMPA, 2 edi¸c˜ ao, Rio de Janeiro, 2003.

[8] Ma˜ n´e, R., Introdu¸c˜ ao ` a Teoria Erg´ odica. Projeto Euclides, IMPA/CNPq, Rio de Janeiro, 1983.

[9] Royden, H. L., Real Analysis. Stanford University, The Macmillan Company, Second Edition,

New York, 1968.

  

[10] Viana, M., Introdu¸c˜ ao ` a Teoria Erg´ odica. Mini-curso proferido na Escola de Ver˜ ao de Recife,

DMAT-UFPe, 2003.

  Index

  Bacia da Medida, 5 Espa¸co das fun¸c˜ oes integr´ aveis, 6 de medida, 3 de probabilidades, 3

  Fun¸c˜ ao densidade de probabilidade, 6 uniformemente integr´ avel, 9

  Lema Fatou, 5

  Matriz Estoc´astica, 32 Medida, 3 absolutamente cont´ınua, 4 equivalente, 4 erg´ odica, 5 invariante, 3 transportada, 4

  Operador de Perron-Fr¨ obenius, 7 Parti¸c˜ ao, 6 Shift, 32 de Markov, 33 Subshift, 33 Suporte da Medida, 4 Teorema

  Ascoli-Arzel´a, 6 Convergˆencia Dominada, 5 Mudan¸ca de Vari´aveis, 4 Randon-Nikodym, 5

  Transforma¸c˜ ao invert´ıvel, 4 localmente invert´ıvel, 4 mensur´avel, 3 n˜ao singular, 3 Instituto de Matem´ atica/Depto. de P´ os–Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica Campus de Ondina, Av. Ademar de Barros s/n, CEP : 40170 – 110 www.alunospgmat.ufba.br/

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