Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para Transformac ¸˜ oes de Markov

47 

Full text

(1)

Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´atica

Curso de P´os-graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para

Transformac

¸˜

oes de Markov

Rolando Restany Gomes de Ara´

ujo

Salvador — Bahia

(2)

Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para

Transformac

¸˜

oes de Markov

Rolando Restany Gomes de Ara´

ujo

Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Ma-tem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador)

Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves

(Universidade do Porto – Portugal)

Prof. Dr. Alberto Adrego Pinto

(3)

Ara´ujo, R. R. G. “Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para Transforma¸c˜oes de Markov”.

Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Pinheiro.

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica

da Universidade Federal da Bahia, 38 p´aginas, Salvador-Ba, 2006.

(4)

Dedicado `a Fausta Maria da

Concei¸c˜ao (in memorian) e

(5)

“Nenhum problema pode ser resolvido pelo mesmo estado de

consciˆencia que o criou. ´E preciso ir mais longe. Eu penso

99 vezes e nada descubro. Deixo de pensar, mergulho num

grande silˆencio e a verdade me ´e revelada!”

(6)

Agradecimentos

Agrade¸co `as duas pessoas diretamente respons´aveis por mais esta vit´oria, minha m˜ae,

Francisca de Assis Gomes e minha av´o materna, Fausta Maria da Concei¸c˜ao; que n˜ao mediram

esfor¸cos nem sacrificios, durante toda minha vida para oferecer o que de melhor estava ao seu

alcance e sem sombra de d´uvidas, n˜ao teria chegado `a conclus˜ao deste curso se n˜ao fosse pelo

ajuda, carinho, aten¸c˜ao exclusiva e o amor delas. Agrade¸co aos meus familiares pelo apoio e ajuda

durante todo esse per´ıodo.

Aos professores do Instituto de Matem´atica, pela aten¸c˜ao e disponibilidade em atender,

mesmo na resolu¸c˜ao de pequenos problemas. Em especial, aos professores Jos´e Ferreira Alves

(Faculdade de Ciˆencias do Porto), que sempre se mostrou prestativo e atencioso na resolu¸c˜ao de

d´uvidas e o Prof. Vilton Jeovan pela orienta¸c˜ao, paciˆencia e transmiss˜ao do conhecimento; que

certamente ´e o bem mais precioso que pode ser dado `a outra pessoa. A estes serei eternamente

grato.

Aos amigos professores do munic´ıpio de Catu: Profa. Jeane Chiam, Profa. Anaci, Prof.

Acimar, pelo incentivo e apoio, principalmente nos momentos de maior desˆanimo. N˜ao poderia

deixar de mencionar a Profa. Julieta Bezerra, que com extrema compreens˜ao e carinho possibilitou

minha dedica¸c˜ao durante todo o per´ıodo do curso de mestrado, bem como a Profa. Giselda Fr´oes

pela compreens˜ao e apoio na reta final do curso.

Aos amigos do curso: Ab´ılio Souza, Adriano Cattai, Elisˆangela Farias, Rosane Funato,

Gilcl´ecio Dantas, Silvia Costa, Maur´ıcio Porto, Tailsom Jeffersom, os quais pelo objetivo comum

que nos uniu, tem a sua parcela de contribui¸c˜ao durante este per´ıodo de convivˆencia.

Aos funcion´arios do Instituto de Matem´atica pela boa vontade e gentileza em atender.

Aos demais amigos n˜ao citados.

(7)

Resumo

Neste trabalho estudaremos a dinˆamica das transforma¸c˜oes de Markov. Mostraremos que

tais transforma¸c˜oes admitem medidas invariantes que s˜ao absolutamente cont´ınuas com respeito `a

medida de Lebesgue. Verificaremos esse fato, via operador de Perron-Frob¨enius; pois seus pontos

fixos s˜ao densidades de medidas invariantes. Veremos que sob a hip´otese de controle forte de

dis-tor¸c˜ao, tais transforma¸c˜oes exibem medidas invariantes absolutamente cont´ınuas, com densidades

limitadas no espa¸co das fun¸c˜oes lipschitz cont´ınuas. Em particular, mostraremos que para uma

transforma¸c˜ao markoviana expansora por partes, de classeC2, definida numa variedade compacta

(8)

Abstract

In this work we study the dynamics of the transformations of Markov. We show that

such transformations admit invariant measures that are absolutely continuous with respect to the

measure of Lebesgue. We verify that fact, through operator of Perron-Frob¨enius; because such

measures are their fixed points. We see that under the hypothesis of strong distortion control,

such transformations exhibit invariant measures absolutely continuous with limited densities in

the space of the functions continuous lipschitz. In particular, we show that for a C2 piecewise

expanding markovian map, defined in a compact varietyM, one exists finite set of such measures, that we prove to be ergodics and that Lebesgue almost whole point belongs the basin of one of

those measured.

(9)

Sum´

ario

Resumo vii

Abstract viii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

2 Dinˆamica do Operador de Perron-Fr¨obenius 10

2.1 Existˆencia da probabilidade . . . 10

2.2 Transforma¸c˜oes de Markov . . . 12

2.3 A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas . . . 16

2.4 Propriedades de Distor¸c˜ao e Ergocidade . . . 22

3 Teoremas A e B 25

Apˆendice 32

Bibliografia 36

(10)

Introdu¸

ao

Os Sistemas Dinˆamicos munidos de medidas invariantes ´e o principal objeto de estudo

da Teoria Erg´odica. Em termos simples um sistema dinˆamico ´e qualquer sistema cujo

compor-tamento se modifica com o tempo; na verdade o mundo `a nossa volta pode ser visto como um

sistema dinˆamico complexo. Mesmo os sistemas ditos simples, podem apresentar um

comporta-mento a longo prazo que apenas podem ser descritos de maneira probabil´ıstica, esses sistemas s˜ao

denominados ca´oticos.

Nesse trabalho de disserta¸c˜ao, provaremos a existˆencia de probabilidades invariantes

fi-sicamente relevantes para a dinˆamica de uma transforma¸c˜ao de Markov, a qual definiremos mais

adiante.

Se um dado sistema apresenta infinitos pontos peri´odicos, ele tamb´em apresentar´a infinitas

medidas invariantes, no entanto, desejamos encontrar medidas invariantes que sejam relevantes

em termos de medida de lebesgue. Queremos que a probabilidade de encontrar algum iterado

da transforma¸c˜ao que reje o sistema em um conjunto mensur´avel seja n˜ao nula apenas quando a

medida de lebesgue nesse conjunto mensur´avel tamb´em seja n˜ao nula. Para tal ´e suficiente que essas

medidas invariantes sejam absolutamente cont´ınuas em rela¸c˜ao `a medida de lebesgue. Propriedades

adicionais dessas medidas ser˜ao verificadas, como por exemplo ergodicidade, que nos diz num certo

sentido que o sistema n˜ao pode ser decomposto em termos probabil´ısticos em mais de um sistema

n˜ao trivial.

Dividimos essa disserta¸c˜ao em trˆes cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1, que chamamos de

Prelimi-nares, apresentaremos algumas defini¸c˜oes e resultados gerais da Teoria da Medida. Omitiremos as

demosntra¸c˜oes na maioria das vezes por se tratarem de resultados conhecidos, no entanto, citaremos

a fonte utilizada e p´agina, para os leitores que desejarem uma consulta mais detalhada.

No Cap´ıtulo 2, onde construiremos as condi¸c˜oes necess´arias para chegarmos ao resultado

(11)

principal do nosso trabalho, estudaremos a dinˆamica do Operador de Perron-Frobenius, tamb´em

conhecido como operador de transferˆencia. Inicialmente, sem nos preocuparmos com o espa¸co de

atua¸c˜ao do operador, provaremos que os pontos fixos do operador s˜ao probabilidades invariantes

absolutamente cont´ınuas `a medida de lebesgue. Definiremos transforma¸c˜oes de Markov e

mostra-remos que para essas transforma¸c˜oes, existem probabilidades invariantes absolutamente cont´ınuas

limitadas no espa¸co das fun¸c˜oes integr´aveis. Em seguida introduziremos o espa¸co das fun¸c˜oes

Lips-chitz cont´ınuas e estudaremos o comportamento do operador de Perron-Frobenius neste espa¸co.

Um dos principais resultados desse cap´ıtulo ´e:

Lema(2.4) Seja (T,P) uma transforma¸c˜ao de Markov tal que para todo ~p Pe com

inf{µ(T(~s));~s ∈P}>0; ent˜ao existe uma probabilidadeT-invariante q absolutamente cont´ınuaa`

µ tal que dq

dµ ∈L

(µ).

Finalmente, no Cap´ıtulo 3, apresentaremos os resultados principais deste trabalho, no qual

provaremos a existˆencia de um conjunto finito de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas e

erg´odicas para umaC2 transforma¸c˜ao markoviana expansora por partes definida numa variedade

compactaM, e que s˜ao limitadas no espa¸co das fun¸c˜oes lipschitz cont´ınuas. Este resultado ´e obtido a partir da prova doTeorema A, abaixo publicado porJon Aaronson, emAn Introduction to Infinite

Ergodic Theory. Mathematical Surveys and Monographs 50, American Math. Society, 1997, 168.

Teorema A.Suponha que(T,P)uma transforma¸c˜ao de Markov; tal que para todo cilindro

~

p∈Pe tenham forte controle de distor¸c˜ao. Se #T(P) <; ent˜ao existe uma densidade invariante

µ, absolutamente cont´ınua a medida de Lebesgue m, tal quelog dµ

dm pertence ao espa¸co das fun¸c˜oes

Lipschitz cont´ınuas (L).

Outro Teorema que demonstraremos ´e:

Teorema B.SeT :M → M´e umaC2 aplica¸c˜ao markoviana expansora por partes, com um n´umero limitado de imagens, ent˜ao existe um conjunto finito de medidas invariantes

absoluta-mente cont´ınuas `aLebesgue e erg´odicas tal que m−q.t.p.pertence a bacia de uma dessas medidas. Ademais a densidade de cada uma dessas medidas com respeito a Lebesgue ´e uniformemente

limi-tada por alguma constante.

Por ´ultimo, no Apˆendice, faremos um breve estudo dos shifts, onde exibiremos um

resul-tado de menor importˆancia, mas de alguma relevˆancia para a obten¸c˜ao do resultado principal do

(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nosso principal objetivo neste cap´ıtulo ´e estabelecer as nota¸c˜oes necess´arias `a compreens˜ao

dos cap´ıtulos subseq¨uentes e apresentar defini¸c˜oes e resultados que ser˜ao ´uteis para o entendimento

da teoria que ser´a desenvolvida no decorrer deste trabalho. Citaremos alguns teoremas de An´alise

Funcional e da Teoria da Medida. Por se tratarem de resultados conhecidos na literatura vigente

omitiremos ou simplificaremos suas demonstra¸c˜oes.

Admitimos que X ´e um espa¸co topol´ogico e B denota a σ-´algebra de Borel. Seja µ uma aplica¸c˜ao com dom´ınioB,µ:B →[0,+∞], satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) µ(∅) = 0

(ii) µ(

[

i=1

Ai) =

X

i=1

µ(Ai), com A′is disjuntos dois a dois eAi ∈ B ∀i.

Dizemos que a aplica¸c˜ao µ acima ´e uma medida sobre os borelianos de X e chamamos

a terna (X,B, µ) de espa¸co de medida. Quando µ(X)=1, dizemos que se trata de um espa¸co de probabilidades.

Dizemos que T :X → X ´e uma transforma¸c˜ao mensur´avel se T−1(A) ∈ B ∀A ∈ B. No

caso em que µ(T−1(A)) = µ(A) ∀A ∈ B, dizemos que T preserva medida ou simplesmente que µ

´e T-invariante. A transforma¸c˜ao mensur´avelT :X → X no espa¸co (X,B, µ) ´e dita n˜ao singular seµ(T−1(A)) = 0, ∀A∈ B tal queµ(A) = 0. Note que toda transforma¸c˜ao preservando medida ´e necessariamente n˜ao singular.

(13)

Preliminares

conjunto dos pontos onde a propriedade n˜ao ´e satisfeita tem medida nula.

A transforma¸c˜ao n˜ao singular T : X → X ´e chamada q.t.p. invert´ıvel se T ´e invert´ıvel em algum Y ∈ B com µ(X \Y) = 0 e ´e dita q.t.p. localmente invert´ıvel se existem conjuntos mensur´aveis disjuntos {Aj;j ≥ 1} tal que µ(X \

[

j≥1

Aj) = 0 e T ´e invert´ıvel em cada Aj, com

Aj ∈ B, ∀j.

Um conjuntoA∈ B ´e dito T-invariantese temos T−1(A) =A.

Um espa¸co de medida (X,B, µ) ´e chamado finito se µ(X) < ∞. No caso em que existe

uma seq¨uencia {Ak}k>1,Ak∈ B, satisfazendoX =

[

k=1

Ak eµ(Ak)<∞ ∀k; ent˜ao (X,B, µ) ´e dito

σ-finito.

Seja (X,B, µ) um espa¸co de medida, (X′,B′) um espa¸co mensur´avel e T :X → X′ uma aplica¸c˜ao mensur´avel. A medida transportada de µ por T ´e a medida µ′ := T∗µ : B′ → [0,+∞]

definida por:

µ′(A′) :=µ(T−1(A′)), A′ ∈ B′.

Enunciaremos alguns Teoremas, dos quais faremos uso no decorrer do nosso trabalho:

1.1 Teorema(Mudan¸ca de Vari´aveis). Seja(X,B, µ)um espa¸co de medida,(X′,B′)um espa¸co

mensur´avel e T :X→X′ uma aplica¸c˜ao mensur´avel. Considere ν =µT−1 a medida transportada

de µpor T. Ent˜ao g:X′→R ´eν-integr´avel se e somente se gT :X R´e µ-integr´avel e:

Z

X′

g dν=

Z

X

g◦T dµ.

Prova. Ver demonstra¸c˜ao em [3], p´ag. 121.

¤

Sejamµeν duas medidas num espa¸co mensur´avel (X,B). Dizemos queν´eabsolutamente cont´ınuacom respeito aµseµ(A) = 0 implicaν(A) = 0, qualquer que sejaAo conjunto mensur´avel.

Neste caso escrevemosν ≪ µ. Caso tenhamos µ(A) = 0 se e somente seν(A) = 0, dizemos queµ

´e equivalentea ν e escrevemos µ∼ν.

Chamamos suporte da medida µ o conjunto dos pontos tais que toda vizinhan¸ca tem

(14)

Preliminares

´e invariante para T a baciade µa qual denotamos porB(µ) ´e o conjunto dos pontos tais que

lim

n→∞

1

n

n−1

X

j=0

ϕ(Tj(x)) =

Z

ϕ dµ

para toda fun¸c˜ao cont´ınuaϕ:X→R. Note que a bacia sempre ´e um conjunto invariante.

Uma probabilidade invarianteµdiz-seerg´odicase todo subconjunto invariante porT, tem

medida ´e 0 ou 1. Seµ´e erg´odica ent˜ao B(µ) temµ-medida total.

1.2 Teorema (Radon-Nikodym). Seja (X,B, µ) um espa¸co de medida σ-finita. Seja ν:B →R

uma medidaσ-finita absolutamente cont´ınua com respeito aµ. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao mensur´avel

n˜ao negativa f :X→R tal que:

ν(A) =

Z

A

f dµ, ∀A∈β.

Prova. Ver demonstra¸c˜ao em [9], p´ag. 238.

¤

A fun¸c˜ao f ∈ L1(µ) obtida no Teorema de Radon-Nikodym ´e chamada de derivada de Randon-Nikodym ou densidade da medidaν em rela¸c˜ao a medida µe denotada por f = dν

dµ.

1.3 Lema (Fatou). Seja {fn}∞n=1 uma seq¨uencia de fun¸c˜oes mensur´aveis n˜ao negativas e f =

lim

n→∞fn q.t.p. sobre um conjunto mensur´avel E, ent˜ao:

Z

E

f dµ≤ lim

n→∞inf

Z

E

fn dµ.

Prova. Ver demonstra¸c˜ao em [9], p´ag. 83.

¤

1.4 Teorema(Convergˆencia Dominada). Seja{fn}∞n=1uma seq¨uencia de fun¸c˜oes mensur´aveis

e |fn |≤ g sobre um conjunto E, onde g ´e uma fun¸c˜ao integr´avel sobre E. Se f = lim

n→∞fn q.t.p.

em E ent˜ao: Z

E

f dµ≤ lim

n→∞

Z

E

fn dµ.

Prova. Ver demonstra¸c˜ao em [4], p´ag. 75.

¤

(15)

Preliminares

1.5 Teorema (Ascoli-Arzel´a). Seja (X, d) um espa¸co m´etrico compacto. Seja F uma fam´ılia equicont´ınua de fun¸c˜oesψ:X→R. Isto ´e, para todoǫ >0existeδ >0tal que se|xy|< δent˜ao

|ψ(x)−ψ(y)|< ǫ para toda ψ∈ F. Se F ´e uniformemente limitada; isto ´e, existe M >0 tal que |ψ |< M para toda ψ ∈ F, ent˜ao toda seq¨uencia {ψn} de elementos de F tem uma subseq¨uˆencia

{ψnk} uniformemente convergente emX.

Prova. Ver demonstra¸c˜ao em [7], p´ag. 244.

¤

DenotamosLp(X,B, µ); 1≤p <∞ ou simplesmenteLp(µ) o espa¸co das fun¸c˜oes, tais que |f |p ´e integr´avel. EmLp(µ) definimos a norma k · k

p como:

kf kp=

µZ

X

|f |p dµ

¶1

p

Definimos L∞(µ) o espa¸co das fun¸c˜oes tais que existe M > 0 tal que |f(x) |≤ M para q.t.p. x ∈ X, e escrevemos L∞(µ) = {f : X R;M > 0; µ({x;f(x) > M}) = 0. Em L(µ)

definimos a normak · k∞ como:

kf k∞= inf {M >0; µ({x;f(x)> M}) = 0}.

Uma parti¸c˜ao P de um espa¸co de probabilidades (X,B, µ), que chamaremos de uma parti¸c˜ao com respeito a medida µ, ´e uma fam´ılia de subconjuntos de B de medida n˜ao nula; tais que:

(i) Ai, Aj ∈P, i6=j ⇒µ(Ai∩Aj) = 0

(ii) µ(X\ [

Ai∈ P

Ai) = 0

Chamamos de densidade de probabilidade a uma fun¸c˜aoρ∈L1(µ) tal queρ0 ekρk= 1,

de fato observe que ρ induz uma medida de probabilidadeνρ dada por

0≤νρ(A) :=

Z

A

ρ dµ≤1 ∀A∈ B.

Dizemos que νρ´eT-invariante seνρ(T−1(A)) =νρ(A); ∀A∈ B.

Seja (X,B, µ) um espa¸co de medida. Se T :X →X ´e uma transforma¸c˜ao n˜ao singular, definimos o operadorP :L1(µ)L1(µ) por

Z

A

Pf dµ=

Z

(16)

Preliminares

Observe que o operador est´a bem definido, ou seja, se νf ´e a medida definida por νf :=

R

T−1(A)f dµ, temos pela n˜ao singularidade de T que νf ≪ µ. Logo, pelo teorema de

Randon-Nikodym existe uma ´unica gf ∈ L1(µ), tal que νf(A) :=

R

Agf dµ, ∀A ∈ B. Assim Pf ´e, por

defini¸c˜ao nossa gf dada pelo Teorema de Randon-Nikodym.

O operadorP´e chamado dePerron-Fr¨obeniuscorrespondente paraT. A importˆancia deste operador para o estudo de medidas invariantes segue do fato que seus pontos fixos s˜ao densidades

de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas. Para verificarmos esta afirma¸c˜ao, suponha que

h ∈ L1(µ) seja um ponto fixo de P, ou seja, Ph = h. Assim, definindo ν por ν(A) = RAh dµ, veremos queν ≪µe, al´em disto

ν(T−1(A)) =

Z

T−1(A)

h dµ=

Z

A

Ph dµ=

Z

A

h dµ=ν(A).

Logo, ν ´e absolutamente cont´ınua e invariante.

1.6 Proposi¸c˜ao. Seja P :L1(µ)L1(µ) o operador de Perron-Fr¨obenius de uma transforma¸c˜ao

T como dita anteriormente. Ent˜ao valem:

1. P ´e um operador linear,

2. P ´e positivo: f ≥0 ⇒ Pf ≥0,

3. P preserva a m´edia:

Z

X

Pf dµ=

Z

X

f dµ,

4. P ´e uma contra¸c˜ao fraca: k Pf k1 ≤ kf k1,

5. Se Tn =

n vezes

z }| {

T ◦...◦T e P ´e o operador de Perron-Fr¨obenius correspondente para T ent˜ao Pn ´e o

operador correspondente para Tn e

Z

A

Pnf dµ=

Z

T−n(A)

f dµ.

Prova.

1. Seja A ⊂X um conjunto mensur´avel e sejam λ1 e λ2 constantes. Ent˜ao, se f1, f2 ∈

(17)

Preliminares

L1(µ),

Z

A

P(λ1f1+λ2f2)dµ =

Z

T−1(A)(λ1f1+λ2f2) dµ

= λ1

Z

T−1(A)

f1 dµ+λ2

Z

T−1(A) f2 dµ

= λ1

Z

A

Pf1 dµ+λ2

Z

A

Pf2 dµ

=

Z

A

(λ1Pf1+λ2Pf2)dµ.

Logo,

P(λ1f1+λ2f2) =λ1Pf1+λ2Pf2 ∀ f1, f2 ∈L1(µ)e λ1, λ2 ∈R.

2. Qualquer que sejaA mensur´avel, tem-se

Z

A

Pf dµ=

Z

T−1(A)

f dµ≥0.

Logo, sef ≥0, ent˜ao Pf ≥0.

3. O resultado decorre diretamente de

Z

X

Pf dµ=

Z

T−1(X)

f dµ=

Z

X

f dµ

4. Sejaf ∈L1(µ). Sejamf+ =max(f,0) e f=min(0, f). Ent˜ao,f+ e fL1(µ),

f =f+−f− e |f|=f++f−. ComoP ´e um operador linear, tem-se

Pf =P(f+−f−) =P(f+)− P(f−).

Consequentemente,

|Pf| ≤ |P(f+)|+|P(f−)|=P(f+) +P(f−) =P|f|

e

k Pf k1=

Z

X

|Pf|dµ≤

Z

X

P|f|dµ=

Z

X

|f|dµ=kf k1.

5. A prova segue por indu¸c˜ao em n. Para n= 1, ´obvio, admitindo que vale paran=k;

paran=k+ 1 obtemos

Z

A

Pk+1f dµ=

Z

A

Pk(Pf) dµ=

Z

T−k(A)

Pf dµ=

Z

T−1(T−k(A))

f dµ=

Z

T−(k+1)(A)f dµ.

Logo,

Z

A

Pnf dµ=

Z

T−n(A)

f dµ.

(18)

Preliminares

1.7 Corol´ario. P ´e cont´ınuo.

Prova. Segue da contra¸c˜ao fraca.

¤

Uma cole¸c˜ao F ⊂L1(µ) ´e chamada uniformemente integr´avel, se para todoǫ > 0, existe

M >1 tal que,

Z

{|f|≥M}

|f |dµ≤ǫ, ∀f ∈ F,

em que {| f |≥ M} = {x ∈ X,| f(x) |≥ M}. Uma cole¸c˜ao F ´e uniformemente integr´avel, se e somente se, ´efracamente pr´e-compacta em L1(µ), ou seja toda seq¨uˆencia de fun¸c˜oes emF possui

subseq¨uˆencia {fnk}k≥1 que convergente fracamente para alguma h∈L

1(µ). Escrevemos f

nk ⇀ h,

significando

Z

A

fnkdµ−→

Z

A

h dµ, ∀A∈ B.

O pr´efixo pr´e ´e usado porque tomamosh∈L1(µ), ao inv´es deh∈ F.

(19)

Cap´ıtulo 2

Dinˆ

amica do Operador de

Perron-Fr¨

obenius

Neste cap´ıtulo, provaremos a existˆencia de pontos fixos para o Operador de Perron-Fr¨

obe-nius, quando T for uma Transforma¸c˜ao de Markov. Ademais, analisaremos o comportamento do

Operador de Perron-Fr¨obenius no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas e concluiremos que existe

um ponto fixo para o mesmo, sendo este uma densidade de uma medidaT-invariante.

2.1

Existˆ

encia da probabilidade

Dada f ∈L1+(µ), vamos definir Anf por Anf := 1

n

n−1

X

k=0

Pkf e provaremos nesta se¸c˜ao, a

existˆencia de uma probabilidade T-invariante cuja densidade ´e o limite de uma subseq¨uˆencia de

Anf.

2.1 Proposi¸c˜ao. Seja T uma transforma¸c˜ao n˜ao singular de (X,B, µ). Se existe f pertencente a

L1(µ)+ tal que {Anf}n≥1 ´e uma fam´ılia uniformemente integr´avel, ent˜ao existe uma probabilidade

T-invariante que ´e absolutamente cont´ınua a µ.

Prova. Segue da integrabilidade uniforme, que existe subsequˆencia{Ankf}k≥1 e uma h pertencente a L1(µ), tal que Ankf ⇀ hsignificando que

Z

A

Ankf dµ−→

Z

A

(20)

Existˆencia da probabilidade

Por hip´otese, temos que

lim

nk→∞

  1

nk nXk−1

j=0

Pjf

 =h,

ent˜ao, devido a continuidade do operador vale

Ph= lim

nk→∞ P

  1

nk nXk−1

j=0

Pjf

 .

Por outro lado,

P

  1

nk nXk−1

j=0

Pjf

 = 1

nk nXk−1

j=0

Pj+1f

= 1

nk nXk−1

j=0

Pjf− 1

nk

P0f + 1

nk

Pnf

como as duas ´ultimas parcelas s˜ao limitadas, v˜ao para zero quandonk→ ∞. Segue ent˜ao que,

Ph= lim

nk→∞ P

  1

nk nXk−1

j=0

Pjf

= lim

nk→∞ 1

nk nXk−1

j=0

Pjf =h

e ent˜ao,

Z

A

Ph dµ=

Z

A

h dµ=ν(A); ∀A∈ B.

Como j´a foi observado ν, tendo a densidade como ponto fixo deP, ´eT-invariante.

¤

2.2 Proposi¸c˜ao. Seja T uma transforma¸c˜ao n˜ao singular de (X,B, µ). Se existe M > 0 e 1 ≤

p ≤ ∞ tal que k Pnf kp≤ M ∀ n, ent˜ao existe uma probabilidade T-invariante ν absolutamente

cont´ınua `a µ tal que h= dν

dµ ∈L

p(µ).

Prova. Segue daProposi¸c˜ao (2.1)que para qualquerf ∈Lp(µ)+temosAnf :=

1

n

n−1

X

k=0

Pkf ∈

Lp(µ), de fato,

kAnf kp = k

1

n

n−1

X

k=0

Pkf kp

≤ 1

n

n−1

X

k=0

k Pkf kp

≤ 1 n n−1 X k=0 M

(21)

2.2. TRANSFORMAC¸ ˜OES DE MARKOV

a ´ultima desigualdade decorre dek Pnf kp ≤M ∀ n.

Assim {Anf}n≥1 ´e uma fam´ılia uniformemente integr´avel e isto j´a prova a existˆencia

da probabilidade T-invariante ν. Decorrente da integrabilidade uniforme, temos que existe uma

subsequˆencia {Ankf}k≥1 satisfazendoAnkf ⇀ h; ent˜ao:

khkpp =

Z

|h|pdµ

=

Z

lim

k→∞|Ankf |

p

≤ lim

k→∞inf

Z

|Ankf |

p

= lim

k→∞inf kAnkf k

p p

e portanto, h= dν

dµ ∈L

p(µ).

¤

2.2

Transforma¸

oes de Markov

SejaT uma transforma¸c˜ao n˜ao singular localmente invert´ıvel ePuma parti¸c˜ao enumer´avel de X. Nessas condi¸c˜oes, dizemos que P´e uma Parti¸c˜ao de Markov para a transforma¸c˜aoT se :

(i) T(A) ´e a reuni˜ao de elementos de P,AP

(ii) T :A→T(A) ´e invert´ıvel,∀A∈P

(iii) P geraB sobT, no sentido de queW∞

k=0T−k(P) =B, em que: ∞

_

k=0

T−k(P) =

( \

k=0

T−kAk, Ak ∈P, ∀k

)

Dada uma transforma¸c˜aoT n˜ao singular localmente invert´ıvel ePuma parti¸c˜ao de Markov; chamamos o par (T,P) deTransforma¸c˜ao de Markov.

ChamamosConjunto Cilindro e denotamos por~p, o conjunto

~

p= [p0, ..., pn−1] =

n\−1

i=0

T−ipi,

(22)

Transforma¸c˜oes de Markov

Consideraremos queµ(~p)>0, ∀~p ∈P. Chamamos de gn o ramo inverso de Tn, satisfa-zendoTngn(x) =x, xp~. A fim de simplificar nossa nota¸c˜ao, denotaremos o ramo inverso de

Tn restrito ao cilindro ~p por gp~ := gp0 ◦...◦gpn−1 = (T

¯ ~ p)

−1. Ademais; designaremos o dom´ınio

de g~p, que ´eTn(~p), porDom(g ~ p).

Vamos denotarPe := [

n∈N

Pn−1. Como (Tn¯¯

~

p) ´e uma bije¸c˜ao com sua imagem escreveremos

o Jacobiano de (Tn¯¯~p) com respeito a µpor JµTn, ou seja,

µ(Tn(~p)) :=

Z

~ p

JµTn dµ.

Diremos que uma Transforma¸c˜ao de Markov (T,P) tem distor¸c˜ao limitada em todo cilindro (ou controle fraco de distor¸c˜ao), se existe C >0, tal que

¯ ¯ ¯ ¯

Jµg~p(x)

Jµg~p(y)

−1

¯ ¯ ¯

¯≤C; ∀x, y∈Dom(g~p), ∀p~∈Pe

2.3 Lema (Lema da distor¸c˜ao). Sejam p~ = [p0, ..., pn−1] ∈ Pn−1 um cilindro e ~q ∈ Pe e

suponhamos que (T,P) tem distor¸c˜ao limitada em todo cilindro, ent˜ao:

µ(g~q∩~p)

µ(~p) ≤C

2·µ(~q∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

.

Prova. Temos que Tn(~p) =T(pn−1) e paraµ−q.t.p. x∈~p:

µ(~p) = µ(g~p◦T(pn−1))

=

Z

x∈ T(pn−1))

Jµ g~p(x) dµ

Z

x∈ T(pn−1))

kJµ g~p k∞ dµ

<

Z

x∈ T(pn−1))

(|Jµ g~p(yǫ)|+ǫ) dµ

<

Z

x∈ T(pn−1))

((C+ 1)· |Jµ gp~(z)|+ǫ) dµ ∀ǫ,∀z

Z

x∈ T(pn−1))

(C+ 1)· |Jµ g~p(z)|dµ

= C· |Jµ g~p(z)|µ(T(pn−1)), ∀z.

(23)

Transforma¸c˜oes de Markov

Por outro lado, procedendo da mesma forma temos:

µ(g~q∩~p) =

Z

~

q ∩ Tn(~p)

Jµ g~p(x) dµ

=

Z

~

q ∩ T(pn−1)

Jµg~p(x) dµ

≤ C· |Jµg~p(x)| ·µ(~q∩T(pn−1))

< C2·µ(~p)·µ(~q∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

e ent˜ao, temos o resultado desejado.

¤

2.4 Lema. Seja (T,P) uma Transforma¸c˜ao de Markov com distor¸c˜ao limitada em todo cilindro e

inf{µ(T(~s));~s ∈ P} >0; ent˜ao existe uma probabilidadeT-invariante ν absolutamente cont´ınua `

a µ tal que

dµ ∈L

(µ).

Prova. Segue do Lema (2.3) que∀n≥1, ~p = [p0, ..., pn−1] ∈Pn−1 um cilindro e A um

conjunto mensur´avel,A∈ B vale:

µ(T−n(A)∩~p)

µ(~p) ≤C

2·µ((A)∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

Seja Γ ={T(~s);~s∈P}e suponhamos queµ(T(~s))ǫ >0;T(~s)Γ. Assim n´os temos,

µ(T−n(A)) = X

~ r∈Pn

µ(T−n(A)∩~p)

µ(~p) ·µ(p~)

≤ C2· X

~ r∈Pn

µ(A∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

·µ(~p)

≤ C

2

ǫ ·

X

~ r∈Pn

µ(A∩T(pn−1))·µ(~p)

≤ C

2

ǫ ·

X

~ r∈Pn

µ(A)·µ(~p)

≤ C

2

(24)

Transforma¸c˜oes de Markov

Observamos que seg∈L1(µ)+e

1

µ(A)

Z

A

g dµ≤M, ∀A∈ B, isto implica quekgk∞≤M.

Tomando agora a densidadef ≡1e A∈ B temos,

Z

A

Pk1 dµ =

Z

T−n(A) 1 dµ

= X

~ r∈ Pn

Z

x∈(~r∩T−n(A)) 1 dµ

= X

~ r∈ Pn

Z

x∈g~p(A∩T−n(~r)) 1 dµ

= X

~ r∈ Pn

Z

A

Jµg~p(~r)dµ

= X

~ r∈ Pn

µ(g~p(A∩Tn(~r)))

= X

~ r∈ Pn

µ(~r∩T−n(A))

= µ(T−n(A))

≤ C

2

ǫ ·µ(A)

portanto, encontramos

k Pn1k∞≤

C2 ǫ ∀ n.

Assim, pelaProposi¸c˜ao (2.2)existe uma probabilidadeT-invariante ν≪µem X e nk →

∞ tal que dν

dµ ∈L

(µ) e

1

nk nXk−1

j=0

Pj1⇀ dν dµ

emL∞(µ), significando

Z

A

1

nk nXk−1

j=0

Pj1 dµ−→

Z

A

dµ dµ ∀A∈ B.

¤

2.5 Lema. Seja (T,P) uma Transforma¸c˜ao de Markov com distor¸c˜ao limitada em todo cilindro e

inf{µ(T(~s));~s ∈ P} >0; ent˜ao existe uma probabilidadeT-invariante ν absolutamente cont´ınua `

a µ tal que inf

~ q∈ T(~s)

µ

dν dµ

>0.

Prova. Inicialmente, observemos que para ~p e~q∈P temos,

µ

C2

ǫ

¶−1

·µ(~p)

µ(~q) ≤

µ(gp~(x))

µ(g~p(y)) ≤

µ

C2

ǫ

·µ(~p)

µ(~q),

(25)

2.3. AC¸ ˜AO DO OPERADOR NO ESPAC¸ O DAS FUNC¸ ˜OES LIPSCHITZ CONT´INUAS

de fato, observemos que

µ(g~p(x))

µ(g~p(y)) =

R

~

pJµg~p dµ

R

~

qJµg~q dµ

.

Do Lema anterior e da h´ıp´otese de distor¸c˜ao limitada, podemos escrever

logJµg~p

Jµg~q

¯ ¯ ¯ ¯

Jµg~p(x)

Jµg~q(y)

−1

¯ ¯ ¯ ¯≤C.

Ademais, pelo Lema da Distor¸c˜ao, encontramos

R

~

pJµg~p dµ

R

~

qJµg~q dµ

≤ C

2

ǫ ·

Jµg~p(x)µ(~p)

Jµg~q(y)µ(~q)

Portanto, paraA∈ B

µ

C2 ǫ

¶−1

·µ(A)≤µ(T−n(A))≤

µ

C2 ǫ

·µ(A),

assim; µ C2 ǫ ¶−1 ≤ 1 nk nXk−1

j=0

Pj1≤

µ C2 ǫ ¶ como 1 nk nXk−1

j=0

Pj1⇀ dν

dµ, temos ent˜ao

µ C2 ǫ ¶−1 ≤ dν dµ ≤ µ C2 ǫ ¶ . ¤

2.3

ao do Operador no espa¸

co das fun¸

oes Lipschitz cont´ınuas

Nesta se¸c˜ao analisaremos o comportamento do Operador de Perron-Fr¨obenius no espa¸co

das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas, que definiremos adiante e para tal faremos uso de alguns lemas

auxiliares, que fornecer˜ao subs´ıdios para podermos concluir que existe algum ponto fixo do Operador

nesse mesmo espa¸co.

(26)

A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas

de x e y, definido a seguir. Se x e y est˜ao em elementos distintos de uma parti¸c˜ao P de X ent˜ao

s(x, y) = 0. Se x e y est˜ao num mesmo elemento da parti¸c˜ao ent˜aos(x, y) ´e o maior inteiro n≥0 tal queTkx e Tky est˜ao no mesmo elemento da parti¸c˜ao parak= 0, ..., n.

Aqui trabalharemos com o conceito de fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua com respeito aos

elemen-tos da parti¸c˜ao Pde X. Assim no nosso contexto, dizemos que uma fun¸c˜ao f :X R´e Lipschitz

cont´ınuaem A⊂X se:

DAf := sup x6=y∈A

|f(x)−f(y)|

dβ(x, y)

<∞

e Lipschitz cont´ınua em x∈X se ´e Lipschitz cont´ınua em alguma vizinhan¸ca dex. Uma fun¸c˜ao ´e localmente Lipschitz cont´ınuaem A⊂X se ´e Lipschitz cont´ınua em cada ponto deA. Dada uma fun¸c˜ao f :X→R, dizemos quef ´eP-Lipschitz cont´ınua por partes emX, se ´e Lipschitz cont´ınua em cada A∈P e DPf := sup

A∈P

DAf <∞. Note que qualquer fun¸c˜ao limitada P-Lipschitz cont´ınua

por partes ´e Lipschitz cont´ınua emX. SejaP′ uma parti¸c˜ao definida como segueP′ :={X\T(X) parti¸c˜ao de T(X) gerada porT(P)}, a cole¸c˜ao das fun¸c˜oes P′-Lipschitz cont´ınua por partes emX ´e denotada por L e equipada com a norma:

kf kL:=kf k1+DXf.

Por simplicidade nos referiremos ao espa¸co L, como o espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas.

No nosso contexto oTeorema (1.5) acima ser´a enunciado da seguinte forma:

2.6 Teorema. Se {fn}∞n=1 ´e uma sequˆencia de fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas e sup

n≥1

k fn kL < ∞,

ent˜ao existe uma subsequˆencia {fnk}

k=1 e uma fun¸c˜aog lipschitz cont´ınua tal que

fnk(x)→g(x), quando k→ ∞ ∀x∈X,

kgkL ≤ lim

n→∞inf kfnkL

e

kfnk −gk1→0, quando k→ ∞.

Prova. Tomemos uma sequˆencia{fn}∞n=1 emL(espa¸co das fun¸c˜oes lipschitz cont´ınuas).

Por hip´otesekfnkL≤K;n≥1 eK >0. Podemos tomar|fn(x)| ≤2K,x∈X, n≥1 e sabemos

que|fn(x)−fn(y)| ≤K·dβ(x, y); ∀x, y∈X; n≥1.

(27)

A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas

Seja Γ ⊂ X um subconjunto enumer´avel denso; logo existe uma subsequˆencia {fnk} tal que (fnk(x))k≥1 ´e uma sequˆencia de Cauchy ∀x ∈ Γ. De fato (fnk(x))k≥1 ´e uma sequˆencia de

Cauchy ∀x∈X e ent˜ao existeg∈ L,g:X →Rtal que lim

k→∞fnk(x) =g(x) ∀x∈X. E decorrente

do Lema de Fatou, temos que

kgk1≤ lim

k→∞infkfnk k1 .

SejaP′uma parti¸c˜ao definida como anteriormente; tomemos um elemento qualquerB P′, ent˜ao parax, y∈B, comx6=y

DP′g=

|g(x)−g(y)|

dβ(x, y) ←

|fnk(x)−fnk(y)|

dβ(x, y) ≤

DP′fnk

portantoDP′g≤ lim

k→∞ infDP′fnk e isto ´e suficiente para mostrar que g∈ L.

Por outro lado,

kgkL = kgk1 +DP′g

≤ lim

k→∞infkfnk k1+ limk→∞ infDP′fnk

e portanto,

kgkL ≤ lim

k→∞infkfnk kL.

Por ´ultimo, como | fnk(x) | ≤ g(x); ∀x ∈ X, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada kgk1≤ lim

k→∞kfnk k1 e ent˜ao temos kfnk−gk1−→0, quando k→ ∞.

¤

A fim de simplificar a nota¸c˜ao escreveremos d(x, y) =dβ(x, y) para representar a m´etrica

dβ(x, y) =βs(x,y), onde 0< β < 1 fixado e s(x, y) ´e o tempo de separa¸c˜ao de x e y.

Considerare-mos que as transforma¸c˜oes de Markov trabalhadas nesta se¸c˜ao satisfazem inf{µ(T(~p));p~ ∈ P}> 0, ∀p~ ∈P.

2.7 Lema. Seja ~p um cilindro e h :~p −→ R tal que h ´e uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua e g~p ´e o

ramo inverso de (Tn¯¯ ~

p), ent˜ao para 0< β <1 fixado e x, y∈Dom(g~p) vale:

|h(gp~(x))| ≤

1

µ(~p)

Z

~ p

(28)

A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas

Prova.

|h(g~p(x))| ≤ 1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+

¯ ¯ ¯

¯h(g~p(x))−

1

µ(~p)

Z

~ p

h(x) dµ

¯ ¯ ¯ ¯

≤ 1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+¯¯h(g~p(x))−h(g~p(y))

¯ ¯

≤ 1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+D~ph·d(g~p(x), gp~(y))

= 1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+D~ph·βn

¤

Para o Lema e Proposi¸c˜ao a seguir consideraremos o conjunto Ωβ abaixo; o qual

desem-penhar´a papel importante na pr´oxima se¸c˜ao. Em que

Ωβ :=

½

~ p ∈Pe;

¯ ¯ ¯ ¯

Jµg~p(x)

Jµgp~(y)

−1

¯ ¯ ¯

¯≤Cdβ(x, y); ∀(x, y)∈~p∈Dom(g~p)

¾

comC ∈R+.

2.8 Lema. Suponha h uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua e ~p = [p0, ..., pn−1] ∈ Pn−1 um cilindro.

Ent˜ao parax, y∈~p∈Ωβ temos:

|Jµg~p(x)·h(gp~(x))−Jµg~p(y)·h(g~p(y))| ≤M′′·d(x, y)·

µ

M

Z

~ p

|h|dµ+ (M+ 1)µ(~p)βnD~ph

Prova. Inicialmente, da desigualdade triangular obtemos

|Jµg~p(x)h(gp~(x))−Jµg~p(y)h(gp~(y))| ≤

≤ Jµg~p(x)|h(g~p(x))|

¯ ¯ ¯ ¯

Jµgp~(x)

Jµg~p(y) −

1

¯ ¯ ¯ ¯+

+ Jµg~p(y)|h(gp~(x))−h(gp~(y))|

= (I) + (II)

Analisando os fatores da parcela (I), observamos que:

(i) Jµg~p(x)≤M′′·µ(~p), ∀x∈~p, decorre diretamente do Lema da Distor¸c˜ao

(ii)|h(g~p(x))| ≤

1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+βn·Dp~h; peloLema (2.7)

(iii)

¯ ¯ ¯ ¯

Jµgp~(x)

Jµg~p(y)

−1

¯ ¯ ¯

¯≤M·d(x, y); pois por hip´otese∀p~ ∈Pe; temos que ~p∈Ωβ

(29)

A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas

e, portanto,

(I) ≤ M′′·µ(~p)·M·d(x, y)·

µ

1

µ(~p)

Z

~ p

|h|dµ+Dp~h·βn

≤ M·d(x, y)·

µZ

~ p

|h|dµ+µ(~p)·D~ph·βn

Analisando a parcela (II), basta verificarmos que

|h(g~p(x))−h(g~p(y))| ≤ d(gp~(x), gp~(y))·D~ph

≤ d(x, y)·βn·D~ph

e, portanto,

(II)≤M′′·µ(p~)·d(x, y)·βn·D~ph

Assim, podemos concluir que

(I) + (II) ≤ M′′·M·d(x, y)·

µZ

~ p

|h|dµ+µ(~p)·D~ph·βn

+M′′·µ(~p)·d(x, y)·D~ph·βn

≤ M′′·d(x, y)·

µ

M

Z

~ p

|h|dµ+ (M+ 1)·µ(~p)·D~ph·βn

chegando ent˜ao ao resultado desejado.

¤

A pr´oxima Proposi¸c˜ao estabelece um estimativa para o Operador de Perron-Fr¨obenius no

espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas.

2.9 Proposi¸c˜ao. Sejah uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua eP o Operador de Perron-Fr¨obenius para

T, ent˜ao vale:

k Pn hk ≤M′′·(DP′h·βn +khk1)

Prova. Inicialmente, podemos deduzir uma representa¸c˜ao do Operador de Perron-Fr¨ obe-nius que ser´a ´util na demostra¸c˜ao desta proposi¸c˜ao.

Sabemos que T ´e invert´ıvel em cada~p ∈Pn−1, T−1 :T(~p)p~ e gp~ ramo inverso de Tn, restrito a p~; que estamos denotando por g~p, e que satisfaz Tn◦gp~(x) = x ∀x ∈ ~p, dessa forma

podemos escrever

T−n(X) = [

~ p∈Pn−1

~ p

= [

~ p∈Pn−1

(30)

A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas

agora, pela defini¸c˜ao do operador

Z

X

Pn h dµ =

Z

T−n(X)

h dµ

=

Z [

~ p∈Pn−1

Im(gp~)

h dµ

= X

~ p∈Pn−1

Z

Im(g~p)

h dµ

= X

~ p∈Pn−1

Z

Dom(gp~)

Jµg~p·h◦g~p dµ

e, portanto, temos

Pn h= X

~ p∈Pn−1

Jµg~p·h◦gp~.

Segue ent˜ao que parax∈Dom(g~p)

|Pnh(x)| ≤ X

~ p∈Pn−1

µ

1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+D~ph·βn

·M′′·µ(~p)

≤ M′′· X

~ p∈Pn−1

µ(~p)·

µ

1

µ(p~)

Z

~ p

|h(x)|dµ+DP′h·βn

, poisD~ph≤DP′h

≤ M′′·(khk1 +DP′h·βn)

Por ´ultimo, parah uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua e x, y ∈~q∈P′, temos

|Pnh(x)− Pnh(y)| ≤ X

~ q∈Pn−1

|Jµg~q(x)·h(g~q(x))−Jµg~q(y)·h(g~q(y))|

= M′′·d(x, y)· X

~ q∈Pn−1

µ

M

Z

~ q

|h|dµ+ (M+ 1)·µ(~q)·βn·D~qh

,peloLema(2.8)

≤ M′′·d(x, y)·(M khk1 + (M+ 1)·DP′h·βn) ;

ou seja,

|Pnh(x)− Pnh(y)|

d(x, y) ≤M, em que basta tomarmos

M =M′′·(M· khk1 + (M+ 1)·DP′h·βn).

Dessa forma, segue por defini¸c˜ao que DP′Pnh < M, sendo ent˜ao o pr´oprio Operador P Lipschitz

cont´ınuo.

¤

(31)

2.4. PROPRIEDADES DE DISTORC¸ ˜AO E ERGOCIDADE

2.4

Propriedades de Distor¸

ao e Ergocidade

Um subconjunto aberto mensur´avel W ⊂ X, tal que W(T) = {x;∀ aberto U ∋ x,∃n >

0 comTn(U)∩U 6=∅}´e chamadoconjunto erranteparaT uma transforma¸c˜ao n˜ao singular. Deno-tamos porW(T) a cole¸c˜ao dos conjuntos errantes. Dessa forma chamamos a parteDissipativa da transforma¸c˜aoT e denotamos porD(T) =S(W(T)) a uni˜ao mensur´avel das cole¸c˜oes de conjuntos errantes paraT. Dessa forma, a transforma¸c˜ao T ´e chamada totalmente dissipativa seD(T) =X mod µ.

O conjunto C(T) :=X\D(T) ´e chamado parteConservativa de T. A transforma¸c˜ao n˜ao singularT ´e chamada ConservativaseC(T) =X mod µ.

Se podemos particionar o dom´ınioX da forma{C(T),D(T)}, ent˜ao dizemos queT possui uma decomposi¸c˜ao deHopf. (Ver em [1], p´ag. 15)

Seja o conjunto

Ωβ :=

½

~ p ∈Pe;

¯ ¯ ¯ ¯

JµTn(x)

JµTn(y) −

1

¯ ¯ ¯

¯≤Cdβ(Tn(x), Tn(y)); ∀(x, y)∈~p∈Pn−1

¾

em que C ∈R+. N´os dizemos que uma transforma¸c˜ao de Markov (T,P) possui controle forte de distor¸c˜aose existeC >1 tal que para todo~p∈Pe,~p β. Observe que por quest˜ao de conveniˆencia estamos reescrevendo o conjunto Ωβ, definido anteriormente, mas s˜ao de fato os mesmos.

Seja (T,P) uma Transforma¸c˜ao de Markov e C > 0. Uma cole¸c˜ao Θ Pe ´e chamada Cole¸c˜ao SchweigerparaT se todos os elementos da cole¸c˜ao possuem distor¸c˜ao limitada para algum

C >0, e

[

B∈Θ

B =X modµ.

Uma Transforma¸c˜ao de Markov (T,P) possui controle fraco de distor¸c˜ao se existe uma Cole¸c˜ao Schweiger paraT.

2.10 Lema. Suponha que (T,P) ´e uma Transforma¸c˜ao de Markov com controle fraco de distor¸c˜ao eΘ´e uma Cole¸c˜ao Schweiger para T. Se A∈Θ; ent˜ao

X

n=1

µ(T−n(A)) =∞ ⇒ A⊂Cmod µ

e

X

n=1

(32)

Propriedades de Distor¸c˜ao e Ergocidade

em particular Ce Dao ambos uni˜oes de conjuntos emΘ.

Prova. Da segunda implica¸c˜ao temos que dado um ponto x ∈ A, x volta a A finitas vezes, n˜ao retornando a partir de um certon≥n0 fixado, ou seja,A⊂D=X\C. Para a primeira

implica¸c˜ao suponhamos que µ(A\C)>0 ent˜ao B ∈ B ∩A:={B∈ B;B A},µ(B)>0 tal que

X

n=1

µ(T−n(B))<∞

portanto, pelo Lema (2.4)

X

n=1

µ(T−n(A))<∞

¤

Ao estudarmos a dinˆamica de certas transforma¸c˜oes a longo prazo, desejamos saber onde

os pontos do espa¸co s˜ao levados por iterados futuros da transforma¸c˜ao que reje o sistema, assim

definimos o ω −limite de um ponto x ∈ X, como sendo o conjunto dos pontos y ∈ X, tais que para toda vizinhan¸caV de y a rela¸c˜ao Tn(x)∈V,n >0 ´e satisfeita para infinitos valores de n.

Dizemos tamb´em que uma transforma¸c˜ao cont´ınua T de um espa¸co topol´ogico X ´e

tran-sitiva se existe x∈X tal que ωT(x) =X. A transforma¸c˜ao T ´e dita topologicamente transitiva se

para todo par de conjuntos abertos, n˜ao vaziosU, V ⊂X existen≥1 tal que Tn(U)∩V 6=∅.

Lembremos queT ´e dita erg´odica, se para todoA ∈ B, invariante (T−1(A) =A mod µ),

implicaµ(A) = 0 ouµ(Ac) = 0

2.11 Lema. Seja T uma transforma¸c˜ao n˜ao singular localmente invert´ıvel e X um conjunto T -invariante, se existe φinvert´ıvel tal que φ conjuga(T, X) e(σ,Σ), onde σ ´e shift e Σ´e invariante

por σ; ent˜ao(T, X)´e topologicamente transitivo.

Prova. Este Lema ´e um corol´ario da Proposi¸c˜aoA.5. (Ver Apˆendice)

¤

2.12 Lema. Suponha que T ´e topologicamente transitivo com controle fraco de distor¸c˜ao, ent˜aoT

´e conservativo ou totalmente dissipativo. Se T ´e conservativo ent˜ao T ´e erg´odico.

Prova. Assumamos que

[

B∈Θ

B =Xmod µ;

(33)

Propriedades de Distor¸c˜ao e Ergocidade

da´ı peloLema (2.10) temos

C= [

B⊂Θ∩C

B mod µ.

Assim, segue pela irredutibilidade que T ´e conservativo ou totalmente dissipativo.

Supo-nha queT ´e conservativo. J´a que Θ geraB; segue pelo Lema de Distor¸c˜aoque

µ(T−n(A)∩~p)

µ(p~) ≤C

2·µ(A)∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

∀n∈N; ~p(Pn−1Θ); A∈ B.

Agora, suponha que T−1(A) =A e µ(A)>0, ent˜ao para A∈ B,

µ(A∩~p)

µ(~p) ≤C

2·µ(A)∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

∀n∈N; ~p(Pn−1Θ).

Para µ-q.t.p. x∈X, temos que,

µ(A∩~p)

µ(~p) =

µ(A∩[po(x), ..., pn−1(x)])

µ(T(pn−1)) −→

χA(x) quando n→ ∞

em qur paran≥1,pn−1(x) ´e definido porTn(x)∈pn−1(x)∈P.

Por conservatividade de T, se ~p = [po, ..., pn−1]∈ Θ ent˜ao para µ-q.t.p. x ∈ ~p, Tkx ∈ ~p

para infinitosk′s, portanto,

χA(x)· µ(T(pn−1))

µ(A∩T(pn−1))

≤C2.

E segue que,

A= [

B∈Θ, µ(A∩B)>0

B mod µ.

J´a que µ(A)> 0,∃ B ∈Θ tal que B ⊂A; por irredutibilidade seB′ ∈Θ, ent˜ao ∃k ≥0 tal que µ(B∩T−kB) >0, portanto B A. Assim A = Xmod µ, logo µ(Ac) = 0 e concluimos

queT ´e ergodico.

(34)

Cap´ıtulo 3

Teoremas A e B

Neste cap´ıtulo demonstraremos os dois Teoremas Principais deste trabalho, provaremos

que uma C2–Transforma¸c˜ao Markoviana Expansora por Partes possui uma medida invariante µ

que ´e absolutamente cont´ınua com respeito `a medida de Lebesgue m, isto ´e µ = hm, onde h ´e

densidade acotada longe do zero e portanto logh tamb´em ´e limitado. De fato, mostraremos que

h pertence ao espa¸co das fun¸c˜oes P′-Lipischitz cont´ınuas por partes. Esta condi¸c˜ao implica que a medidaµ´e equivalente `a de Lebesgue no sentido de que possuem os mesmos conjuntos de medida

Lebesgue zero.

Lembramos que dado um cilindro~p= [p0, ..., pn−1]∈Pn−1 ⊂Pe, denotamos o ramo inverso

de Tn restrito ao cilindro ~p, por g~p :=gp0 ◦...◦gpn−1 = (T

¯ ~ p)

−1. Ademais, n´os dizemos que uma

transforma¸c˜ao de Markov (T,P) possui controle forte de distor¸c˜ao se existe C > 1 tal que para todo ~p∈Pe,~p β. Onde

Ωβ :=

½

~ p ∈Pe;

¯ ¯ ¯ ¯

JµTn(x)

JµTn(y) −

1

¯ ¯ ¯

¯≤C·dβ(Tn(x), Tn(y)); ∀ (x, y)∈~p∈Pn−1

¾

comC ∈R+.

Teorema A. Suponha que(T,P) uma transforma¸c˜ao de Markov; tal que para todo cilindro ~pPe tenham forte controle de distor¸c˜ao. Se #T(P) < ; ent˜ao existe uma densidade invariante µ, absolutamente cont´ınua a medida de Lebesgue m, tal que log dµ

dm pertence ao espa¸co das fun¸c˜oes

(35)

Teoremas A e B

Prova. Sabemos que (T, X) e (σ,Σ) s˜ao conjugados, ent˜ao peloLema (2.11)nos podemos assumir que (T,P) ´e topologicamente transitivo. PelaProposi¸c˜ao (2.2)eLema (2.4)existeh:X

R, tal quePh=h. PeloLema (2.5)conclu´ımos que loghL(µ); e isto ´e suficiente para mostrar

queh∈ L. Pela ergodicidade de T, nos temos que

1

n

n−1

X

k=0

Pk1−→h= dµ

dm em L

1(µ) quando n→ ∞.

PelaProposi¸c˜ao (2.8); existeq ≥1, 0< β <1 eM >0 tal que

k Pqf kL ≤ M·DP′f·βn+M kf k1

≤ θkf kL+M kf k1 ∀ f ∈ Le0< θ <1.

Agora, iterando n´os temos

k Pqnf kL = k Pq(Pq...qf)kL

≤ θk Pq...qf kL+M k Pq...qf k1

≤ θ(θn−1 kf kL+(θn−2+...+ 1)M kf k1) +M kf k1

= θnkf kL+(θn−1+...+θ)M kf k1+M kf k1

= θnkf kL+(θn−1+...+θ+ 1)M kf k1

tomandoM′ =

X

n=0

θn·M, obtemos:

k Pqnf kL≤θnkf kL+M′kf k1<∞; ∀ f ∈ L; n≥1 e0< θ <1.

ConsidereAn1:=

1

n

n−1

X

k=0

Pk1. N´os mostramos que sup

n≥1

k Pk1kL <∞; de fato lembremos

quek Pk1k

L=k Pk1k1 +DXPk1. PeloLema(2.4),k Pk1k1 ≤

C2

ǫ ·µ(A);A∈ B e pelaProposi¸c˜ao

(2.9), parag uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua valeDP′Pkg < M, assim DXPk1<∞.

Considerando An1:=

1

n

n−1

X

k=0

Pk1 parak≥1, temos

kAn1kL=

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 n n−1 X k=0

Pk1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ L ≤ 1 n

nX−1

k=0

(36)

Teoremas A e B

reescrevendo k=a·q+b, em que a≥0 e 0≤b < q obtemos

kAn1kL ≤

1

n

n−1

X

k=0

k Paq+b1kL

≤ 1

n

n−1

X

k=0

k Paq(Pb1)kL

≤ θak Pb1kL+M′k Pb1k1<∞, conforme exposto acima.

Por ´ultimo, reca´ımos nas hip´oteses dadas pelo Teorema de Ascoli-Arzel´a, (Teorema 2.6) e

por-tanto, An1 possui subsequˆencia convergente em L1(µ) cujo limite ´e h, fun¸c˜ao lipschitz cont´ınua.

Portanto, µ=hm ´e uma medida finita T-invariante absolutamente cont´ınua, com logh limitado.

¤

SejaT uma transforma¸c˜ao definida num subconjuntoX ⊂ M, em queM´e uma variedade compacta e X possui medida Lebesgue total. Dizemos que T ´e uma Transforma¸c˜ao Markoviana

Expansora por Partesse existir uma parti¸c˜ao enumer´avelP, com respeito a medida de lebesgue, do dom´ınio X e conjuntos cilindros tais que:

(i) k(DT(x))−1 k−1≥λ >1∀ x∈~p∈P,

(ii) log

¯ ¯ ¯ ¯

det DT(x) detDT(y)

¯ ¯ ¯

¯≤C·d(x, y); ∀ x, y∈~p, ∀ ~p∈P,

(iii) Para cada pk∈P;T

¯ ¯

pk ´e um difeomorfismoC

2 com uma extens˜ao ainda C2 a p

k.

Dizemos que um conjuntoA⊂ M ´e positivamente invariantepara T, seT(A) =A. Um conjunto invariante (T−1(A) =A) ´e em particular um conjunto positivamente invariante.

Para provar o pr´oximo Teorema, necessitaremos do seguinte Lema:

3.1 Lema. Se A⊂ M ´e um conjunto positivamente invariante, ent˜ao existe uma bolaB de raio

δ/4tal quem(B\A) = 0.Em particular, sendo a medida deMfinita, teremos somente um n´umero finito de conjuntos invariantes distintos.

Prova. E suficiente mostrarmos que existe uma bola de raio´ δ/4, onde a medida relativa de A est´a pr´oxima de 1. Sejak >0 um n´umero pequeno. Sejam Ac um compacto contido emA e

Av uma vizinhan¸ca deActal que m(A\Ac) em(Av\Ac) sejam ambos menores que k·m(A). Para

x ∈Ac seja Vn(x) a vizinhan¸ca dex; ademais Vn(x) ´e enviada com distor¸c˜ao limitada porTn na

(37)

Teoremas A e B

bola de raioδ em torno deTn(x). Podemos escolhernsufiucientemente grande de a que para todo

x ∈ Ac se tenha Vn(x) ⊂ Av. Seja Un(x) ⊂Vn(x) a pr´e imagem por Tn de Bδ/4(Tn(x)). Sejam

x1, ..., xN ∈Ac tais queUn(x1), ..., Un(xN) cubramAc.

Podemos ainda se necess´ario for, reordenar os ´ındices, de forma tal que param≤N termos uma subfam´ılia maximal Un(x1), ..., Un(xm), cujos elementos s˜ao disjuntos dois a dois. Notemos

que Vn(x1), ..., Vn(xN) cobrem Ac, uma vez que a uni˜ao deste conjunto cont´emUn(xi), para todo

1 ≤ i ≤ N. De fato, cada Un(xi) deve intersectar algum Un(xk) com k ≤ m e , deste modo, a

sua imagem por Tn, uma bola de raio δ/4em torno de Tn(xi), intersecta a bola de raio δ/4 em

torno de Tn(xk), estando assim contida na correspondente bola de raio δ. Em particular temos

Un(xi)⊂Vn(xk).

Pela distor¸c˜ao limitada, existe uma constante uniforme C > 0, independente de x e de

n, tal que m(Un(x)) ´e maior que C·m(Vn(x)). Assim sendo, a medida de lebesgue de Un(x1)∪

...∪Un(xm) ´e maior queC·m(Ac). Se θ > 0 ´e tal quem(Un(xi)\Ac)≥ θ·m(Un(xi) para todo

1≤i≤m, ent˜ao

m(Un(x1)∪...∪Un(xm)\Ac)≥θ·Cm(Ac)≥θ·C(1−k)m(A).

Por outro lado, dado queUn(xi)⊂Av eAc⊂A, esta medida tem que ser inferior ak·m(A)

k·m(A)≥m(Un(x1)∪...∪Un(xm)\Ac)≥θ·C(1−k)m(A).

Podemos deste modo reduzirk >0, aumentandon, de forma tal que θseja for¸cosamente pequeno.

Desta forma podemos encontrar ne Un(xi) tais que a medida de lebesgue relativa de Un(xi)∩Ac

em Un(xi) seja arbitrariamente pr´oxima de 1. Ent˜ao, pela distor¸c˜ao limitada e pelo fato de A se

positivamente invariante a medida de lebesgue relativa deTn(Ac)⊂Ana bola de raioδ/4 em torno

de Tn(xi) tamb´em est´a arbitrariamente pr´oxima de 1.

¤

Um conjunto compacto positivamente invariante A ´e chamado atrator se sua bacia de

atra¸c˜ao B(A) ={x∈ M, w(x)A} possui medida lebesgue positiva.

TeoremaB. SeT :M → M´e umaC2 Transforma¸c˜ao Markoviana expansora por partes, com um

(38)

Teoremas A e B

Prova. Sejamxeypertencentes ao cilindrop~n= [p0, ..., pn−1], comdβ(x, y)≤ǫ, ou seja,

x ey est˜ao muito pr´oximos.

Lembramos que d=dβ =βs(x,y), ondes(x, y) ´e o tempo de separa¸c˜ao de x e y. Sex e y

est˜ao em elementos distintos de uma parti¸c˜aoPdeX ent˜aos(x, y) = 0. Sex eyest˜ao num mesmo elemento da parti¸c˜ao ent˜ao s(x, y) ´e o maior inteiro n ≥ 0 tal que Tkx e Tky est˜ao no mesmo elemento da parti¸c˜ao parak= 0, ..., n. Ademais, por

(i) k(DT(x))−1 k−1λ >1 x~pP

(ii) log

¯ ¯ ¯ ¯

det DT(x) detDT(y)

¯ ¯ ¯

¯≤C·d(x, y); ∀ x, y∈~p, ∀ ~p∈P

temos,

d(Tj(x), Tj(y)) ≤ λ−(n+s(Tn(x),Tn(y))−j)·d(Tn+s(Tn(x),Tn(y))(x), Tn+s(Tn(x),Tn(y))(y))

≤ λ−(n−j)·λ−s(Tn(x),Tn(y))·r, onde r = diam~p

e pondoβ =λ−1 e fazendok=nj obtemos,

d(Tj(x), Tj(y))≤βn−j·βs(Tn(x),Tn(y))

Agora, tomando logaritmos encontramos

log

¯ ¯ ¯ ¯

det DTn(x)

det DTn(y)

¯ ¯ ¯ ¯ =

nY−1

k=0 log ¯ ¯ ¯ ¯

detDT(Tk(x))

detDT(Tk(y))

¯ ¯ ¯ ¯ = n−1 X k=0

(log|detDT(Tk(x))| −log|detDT(Tk(y))|)

≤ C·

n

X

k=0

βn−k·r·βs(Tn(x),Tn(y))

= C′·dβ(Tn(x), Tn(y))

em que C′ = C·

n

X

k=0

βn−k·r. Conv´em observar que como m ´e a medida de Lebesgue, temos que

JmTn= detDTn.Agora, utilizando o fato de que para todo x >0 tem-se logx≤ |x−1|; obtemos,

log

¯ ¯ ¯ ¯

detDTn(x)

detDTn(y)

¯ ¯ ¯ ¯= log

¯ ¯ ¯ ¯

JmTn(x)

JmTn(y)

¯ ¯ ¯ ¯≤ ¯ ¯ ¯ ¯

JmTn(x)

JmTn(y) −

1

¯ ¯ ¯

¯ ≤Cdβ(Tn(x), Tn(y))

portanto, reca´ımos nas hip´oteses doTeorema A e ent˜ao, existe densidade invarianteµ;

absoluta-mente cont´ınua a Lebesgue e limitada no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas.

(39)

Teoremas A e B

Para provar a existˆencia de um n´umero finito dessas medidas, suponhamosA⊂X algum conjuntoT-invariante com medida Lebesgue positiva, dado pelo Lema anterior, ent˜ao pelo exposto

temos que 1

n

n−1

X

k=0

PkχA converge na norma L1(m) para alguma hA que ´e limitada no espa¸co das

fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas. Escrevendo µA = hAm; temos µA densidade T-invariante

absoluta-mente cont´ınua. Observe que escrevendo Ac=X\A temos

µA(Ac) =

Z

Ac

hAdm= lim n→∞

1

n

n−1

X

k=0

Z

AcP

kχ

A dm= lim n→∞

1

n

n−1

X

k=0

Z

X

χAc◦Tk·χAdm= 0.

Dessa forma, µAd´a peso total ao conjunto A, ou sejaµA= 1. Ent˜ao X pode ser

decom-posto numa quantidade finita de conjuntos T-invariantes como acima e logo teremos

necessaria-mente uma quantidade finita de medidas invariantes absolutanecessaria-mente cont´ınuas e erg´odicas.

Sabemos que µ(supp µ) = 1 ∀µ probabilidade, em particular µj(supp µj) = 1, como

µj ≪mtemos ent˜aom(supp µj)>0. Sabemos tamb´em quesupp µj ´e um conjunto positivamente

invariante. Pelo que acabamos de comentar e pelo Lema(3.2), temos que existe uma bola contida

no supp µj, ou sejaint(supp µj)6=∅ ∀j.

Seja K = {x, w(x) ∩(int(supp µ1)∪...∪(int(supp µj))} = ∅, observamos que K ´e

positivamente invariante. Logo sem(K)>0, temos pelo Teorema anterior que existe uma medida

ν, absolutamente cont´ınua a lebesgue tal queν(K) = 1.

Observemos queK∩int(supp µj) =∅, dessa formaµj ≤1−µj(int(supp µj))<1 e assim

ter´ıamos µj 6=ν ∀j. Absurdo poisµ1, ..., µn, com 1 ≤j≤n, s˜ao todas as medidas absolutamente

cont´ınuas `a lebesgue. Dessa forma, temos necessariamente m(K) = 0

Logo param−q.t.p. x∈ M teremos algumaµj tal quew(x)∩int(supp µj)6=∅; mas isto

implica que existe n0 tal que Tn0(x) pertence ao int(supp µj) e logo Tn0(x) pertence ao supp µj,

comosupp µj´e um conjunto positivamente invarianteTn(x) pertence aosupp µj para todon≥n0,

ent˜ao conclu´ımos que w(x) ⊂ supp µj. Ou seja, lebesgue quase todo ponto pertence a bacia de

uma dessas medidas.

¤

3.2 Corol´ario. Se #T(P) = 1, ent˜ao existe uma ´unica medida µ absolutamente cont´ınua com respeito `a medida de lebesgue.

(40)

Teoremas A e B

que T(A) = X, assim pelo Teorema Atemos que 1

n

n−1

X

k=0

PkχA converge na norma L1(m) para a

densidade hA que ´e limitada no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas. Escrevendo µA = hAm;

temosµA medidaT-invariante absolutamente cont´ınua e erg´odica, comµA(T(A)) =µ(X) = 1.

SuponhamosB ⊂X conjunto positivamente invariante. Ent˜ao,

µ1(B) =

µA(A∩B)

µA(A)

e µ2(B) =

µA(Ac∩B)

µA(Ac)

s˜ao duas medidas absolutamente cont´ınuas, com densidades h1 = dµ1/m e h2 = dµ2/m que s˜ao

fun¸c˜oes lipschitz cont´ınuas. Dessa forma, A eActem interior n˜ao vazio, contradi¸c˜ao.

¤

(41)

Apˆ

endice

Shift

Os shifts s˜ao um importante objeto no estudo em Sistemas Dinˆamicos. Parte de sua

importˆancia provˆem do fato de que certos difeomorfismos cont´em na sua dinˆamica transforma¸c˜oes

que se assemelham ao de uma transforma¸c˜ao shift. Isto ´e, sob certas condi¸c˜oes um difeomorfismo

f de uma variedade compactaM possui um conjunto X ⊂ M, tal que fN(X) =X, para algum

N e fN¯¯X ´e conjugado a um shift, ou seja, ´e dinˆamicamente equivalente a algum shift.

Seja S um conjunto enumer´avel e seja B a σ-´algebra pelos conjuntos cilindros da forma [s1, ..., sn] := {x ∈ SN;xk = sk,1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1}; onde s1, ..., sn ∈ S. Chamamos de shift a

aplica¸c˜ao σ :SN

−→SN

, dada por (σx)n =xn+1; onde SN´e um espa¸co m´etrico compacto quando

equipado com a topologia produto ( topologia gerada pelos conjuntos cilindros),B(SN

) ´e a cole¸c˜ao

de Borel conjuntos e σ:SN

−→SN

´e cont´ınua.

Shift de Markov

SejaS um conjunto enumer´avel como anteriormente. Uma matrizestoc´astican×n´e uma matriz P :S×S −→[0,1], cujos coeficientesps,t satisfazem

X

t∈S

ps,t= 1, ∀s∈S.

Figure

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