Existência de soluções quase automórficas para equações diferenciais abstratas

Full text

(1)

Janaina Pedroso Zanchetta

Existˆ

encia de solu¸

oes quase autom´

orficas para

equa¸

oes diferenciais abstratas

(2)

Existˆencia de solu¸c˜oes quase autom´orficas para equa¸c˜oes diferenciais abstratas

Disserta¸c˜ao apresentada para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, ´area de Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, junto ao Programa de P´os Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual Paulista “J´ulio de Mesquita Filho”, Campus S˜ao Jos´e do Rio Preto.

Orientadora: Profa. Dra. Andr´ea Cristina Prokopczyk Arita

(3)

Fichi citilográfici eliboridi peli Biblioteci do IBILCE UNESP - Câmpus de São José do Rio Preto Zinchetti, Jiniini Pedroso.

Existêncii de soluções quise iutomórficis piri equições diferenciiis ibstritis / Jiniini Pedroso Zinchetti. -- São José do Rio Preto, 2015

91 f. : il.

Orientidor: Andréi Cristini Prokopczyk Ariti

Dissertição (mestrido) – Universidide Estiduil Piulisti “Júlio de Mesquiti Filho”, Instituto de Biociênciis, Letris e Ciênciis Exitis

1. Mitemátici. 2. Equições diferenciiis. 3. Funções quise periódicis. 4. Semigrupos. 5. Binich, Espiços de. I. Ariti, Andréi Cristini Prokopczyk. II. Universidide Estiduil Piulisti "Júlio de Mesquiti Filho". Instituto de Biociênciis, Letris e Ciênciis Exitis. III. Título.

(4)

Existˆencia de solu¸c˜oes quase autom´orficas para equa¸c˜oes diferenciais abstratas

Disserta¸c˜ao apresentada para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, ´area de Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, junto ao Programa de P´os Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual Paulista “J´ulio de Mesquita Filho”, Campus S˜ao Jos´e do Rio Preto.

BANCA EXAMINADORA

Profa. Dra. Andr´ea Cristina Prokopczyk Arita Professora Assistente Doutora

UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto Orientadora

Profa. Dra. Juliana Concei¸c˜ao Precioso Pereira Professora Assistente Doutora

UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto

Prof. Dr. Luis Antˆonio Fernandes de Oliveira Professor Assistente Doutor

UNESP - Ilha Solteira

(5)

`

(6)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus por ter me dado a for¸ca necess´aria para chegar at´e aqui.

Agrade¸co a toda minha fam´ılia pelo apoio e incentivo. Aos meus pais por todo amor e cuidado e aos meus irm˜aos por serem meus exemplos de garra e determina¸c˜ao.

Ao meu namorado Felipe Magalh˜aes de Aguiar, por estar sempre ao meu lado e por todo amor e carinho ao longo desta trajet´oria.

`

A Profa. Dra. Andr´ea Cristina Prokopczyk Arita, por aceitar me orientar neste trabalho, pela paciˆencia durante os semin´arios, por toda dedica¸c˜ao, ajuda e amizade ao longo deste percurso.

Aos meus professores de gradua¸c˜ao e p´os gradua¸c˜ao, pelos ensinamentos e experiˆencias compartilhadas. Em especial, ao Prof. Dr. Luis Antˆonio Fernandes de Oliveira, que me acompanha desde a inicia¸c˜ao cient´ıfica com tamanha sabedoria, confian¸ca e amizade.

Aos professores Juliana e Luis por aceitarem compor a banca examinadora.

Aos meus amigos de Ilha Solteira que, mesmo distantes, sempre me apoiaram e `as minhas queridas amigas, Janaina Buzo, Marceli e Nat´alia pelos anos de companheirismo. Ao carinho e amizade dos meus amigos de gradua¸c˜ao: Cristina, J´essica, Neuterlˆandio, Paulo, Sibeli, Silmara e Thays, que mesmo longe fizeram a diferen¸ca nesta jornada. Aos amigos que fiz e aos que reencontrei em S˜ao Jos´e do Rio Preto durante o mestrado, por tornarem esta trajet´oria mais leve. Em especial, aos meus amigos, Fernando, Fl´avio, Lu´ıs Carlos, Giane, Mariana e Robson, pelos ´otimos momentos juntos e por toda paciˆencia e ajuda durante este per´ıodo.

`

As minhas companheiras de rep´ublica Mariana e Mayra por tornarem a minha estadia fora de casa mais alegre, os momentos compartilhados foram incr´ıveis.

`

(7)

“O ´unico homem que est´a isento de erros, ´e aquele que n˜ao arrisca acertar.”

(8)

Resumo

Neste trabalho, estudaremos a existˆencia e a unicidade de solu¸c˜ao fraca quase autom´orfica para a equa¸c˜ao diferencial abstrata semi-linear dada por

x′(t) =Ax(t) +f(t, x(t)), t∈R,

onde A ´e o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo exponencialmente est´avel em um

espa¸co de Banach.

(9)

Abstract

In this work, we study the existence and uniqueness of an almost automorphic mild solution to the semilinear abstract differential equation given by

x′(t) =Ax(t) +f(t, x(t)), t∈R,

whereAis the infinitesimal generator of an exponentially stable C0-semigroup in a Banach space.

(10)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 10

1 Semigrupos de operadores lineares limitados 12

1.1 Semigrupos uniformemente cont´ınuos de operadores lineares limitados . . . 12 1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados . . . 22 1.3 O Teorema de Hille-Yosida . . . 33

2 Problema de Cauchy abstrato 48

2.1 Problema de valor inicial homogˆeneo . . . 48 2.2 Problema de valor inicial n˜ao homogˆeneo . . . 51 2.3 O Problema semi-linear . . . 58

3 Existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes fracas quase autom´orficas para equa¸c˜oes

diferenciais abstratas semi-lineares 62

3.1 Fun¸c˜oes quase autom´orficas . . . 62 3.2 Solu¸c˜oes fracas quase autom´orficas para equa¸c˜oes diferenciais abstratas semi-lineares . 74

A Resultados Auxiliares 88

(11)

Introdu¸c˜

ao

O comportamento de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais abstratas tem se mostrado um t´opico muito atrativo de pesquisa matem´atica, o que se nota pelo grande n´umero de trabalhos publicados sobre o assunto, como por exemplo [2], [5], [8], [10], [11] e [13]. Tal fato deve-se `a imensa aplicabilidade desses temas que, em geral, modelam situa¸c˜oes reais que aparecem na f´ısica, biologia e engenharia.

Neste trabalho, estudaremos a existˆencia e a unicidade de solu¸c˜ao fraca quase autom´orfica para a equa¸c˜ao diferencial semi-linear dada por

x′(t) =Ax(t) +f(t, x(t)), tR, (1)

onde A ´e o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo exponencialmente est´avel em um espa¸co de

Banach.

A ferramenta principal que utilizaremos para tal estudo ´e a teoria de semigrupos de operadores lineares limitados. Esta teoria teve in´ıcio na primeira metade do s´eculo XX, se destacando em 1948 com a generaliza¸c˜ao do Teorema de Hille-Yosida e tendo seu ´apice com a edi¸c˜ao do livro “Semigroups and Functional Analysys” por E. Hille e R.S Philips.

Al´em disso, utilizaremos tamb´em o estudo de algumas propriedades da classe das fun¸c˜oes quase autom´orficas. Esta classe de fun¸c˜oes foi introduzida na literatura por S. Bochner no in´ıcio dos anos 60. Segundo Bochner, as fun¸c˜oes quase autom´orficas apareceram de forma natural em seus trabalhos sobre geometria diferencial e, do ponto de vista estrutural, receberam aten¸c˜ao especial por serem uma generaliza¸c˜ao imediata das fun¸c˜oes quase peri´odicas, que foram definidas por H. Bohr no in´ıcio dos anos 20 para fun¸c˜oes a valores num´ericos e, mais tarde, estendidas por Bochner para fun¸c˜oes com valores em um espa¸co m´etrico.

Desta forma, esta disserta¸c˜ao est´a dividida em trˆes cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo, estudamos alguns resultados cl´assicos da teoria de semigrupos de operadores lineares limitados em espa¸cos de Banach. Mais especificamente, na se¸c˜ao 1.1 apresentamos os semigrupos uniformemente cont´ınuos, na

(12)

se¸c˜ao 1.2, os semigrupos fortemente cont´ınuos e na se¸c˜ao 1.3 nos dedicamos ao estudo do Teorema de Hille-Yosida para o caso de semigrupos de contra¸c˜oes. Este teorema ´e importante pois caracteriza quando um operador linear ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo.

No cap´ıtulo 2, estudamos o problema de Cauchy abstrato. Primeiramente, na se¸c˜ao 2.1, consideramos o problema de Cauchy homogˆeneo. Posteriormente, nas se¸c˜oes 2.2 e 2.3, consideramos o problema de Cauchy n˜ao homogˆeneo e o problema semi-linear, respectivamente.

No ´ultimo cap´ıtulo, baseados em [16], mostramos a existˆencia e a unicidade de solu¸c˜ao fraca quase autom´orfica para uma classe de equa¸c˜oes diferenciais abstratas. Para isso, na se¸c˜ao 3.1, apresentamos as fun¸c˜oes quase autom´orficas e estudamos suas propriedades b´asicas. J´a na se¸c˜ao 3.2, primeiramente provamos a existˆencia e a unicidade de solu¸c˜ao fraca quase autom´orfica para a equa¸c˜ao diferencial

x′(t) =Ax(t) +f(t), t∈R,

ondeA´e o gerador infinitesimal de umC0-semigrupo exponencialmente est´avel ef´e quase autom´orfica.

Em seguida, consideramos a equa¸c˜ao (1), onde A tem a mesma propriedade acima, e provamos, sob certas propriedades def, a existˆencia e a unicidade de uma solu¸c˜ao fraca quase autom´orfica para esta equa¸c˜ao.

(13)

Cap´ıtulo

1

Semigrupos de operadores lineares limitados

Neste cap´ıtulo estudaremos os principais resultados da Teoria de semigrupos de operadores lineares limitados. Para isso, fixemos um espa¸co de Banach X, munido da norma k.k.

Denotemos por L(X) o conjunto de todos os operadores lineares limitados de X emX.

1.1

Semigrupos uniformemente cont´ınuos de operadores lineares limitados

Defini¸c˜ao 1.1. Uma fam´ılia a um parˆametro (T(t))t0, de operadores lineares limitados em X, ´e um semigrupo se:

(i) T(0) =I, onde I denota o operador identidade em X;

(ii) T(t+s) =T(t)T(s), para todo t, s∈[0,+∞).

Defini¸c˜ao 1.2. Um semigrupo (T(t))t≥0 de operadores lineares limitados em X ´e uniformemente cont´ınuo se

lim

t0+kT(t)−Ik= 0.

Note que o limite acima nos diz que a fun¸c˜ao t7→T(t),de [0,+∞) emL(X),´e cont´ınua `a direita em t = 0. Al´em disso, quando (T(t))t0 ´e uniformemente cont´ınuo, obtemos a continuidade desta

fun¸c˜ao `a direita para todo t∈[0,+∞).

De fato, dados t[0,+) eh >0,temos lim

h→0+kT(t+h)−T(t)k = hlim0+kT(t)T(h)−T(t)k

= lim

h→0+kT(t)(T(h)−I)k

(14)

≤ lim

h→0+kT(t)kkT(h)−Ik

= kT(t)k lim

h→0+kT(h)−Ik= 0.

Mais adiante, veremos que a continuidade `a esquerda desta fun¸c˜ao tamb´em ´e v´alida.

Defini¸c˜ao 1.3. O operador A:D(A)X X definido por

Ax= lim

t0+

T(t)xx

t , quando x∈D(A) ={x∈X; limt0+

T(t)xx

t existe},

´e o gerador infinitesimal do semigrupo(T(t))t≥0.

Observa¸c˜oes:

(i) D(A)6= e D(A) ´e um subespa¸co vetorial de X.

De fato, 0D(A),pois 0Xe lim

t→0+

T(t)00

t = 0.Al´em disso, sejamxey pertencentes aD(A).

Assim (x+y)X e lim

t0+

T(t)(x+y)−(x+y)

t = tlim0+

T(t)x+T(t)y−x−y t

= lim

t0+

T(t)xx

t + limt0+

T(t)yy t .

Como os limites acima existem, segue que (x+y)∈D(A).Finalmente, dados x∈D(A) e α∈C,

temosαxX e lim

t→0+

T(t)(αx)αx

t = tlim→0+

αT(t)xαx t

= lim

t→0+

α(T(t)xx)

t =αt→lim0+

T(t)xx t .

Visto que o limite acima existe, segue queαxD(A).Logo,D(A) ´e um subespa¸co vetorial deX.

(ii) Se tomarmos f : [0,+∞)→X definida por f(t) =T(t)x, temos

Ax= lim

t0+

f(t)−f(0)

t =f

′ +(0) =

d+

dt(T(t))x

t=0, para x∈D(A),

ondef+′ (0) denota a derivada `a direita def no pontot= 0.

O pr´oximo resultado nos fornece uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que um operador linear

(15)

1.1 Semigrupos uniformemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 14

Teorema 1.4. Um operador linear A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente cont´ınuo se, e somente se, A ´e um operador linear limitado em X.

Demonstra¸c˜ao. Suponha inicialmente que A : X X ´e um operador linear limitado e considere a fam´ılia

T(t) =eAt=

X

n=0

tnAn

n! , t≥0.

Vamos mostrar que (T(t))t≥0 ´e um semigrupo uniformemente cont´ınuo com gerador infinitesimal

A. Antes, por´em, note que (T(t))t0 est´a bem definido pois,

∞ X n=0

tnAn

n! ≤ ∞ X n=0

tnAn

n! = ∞ X n=0

tnkAnk

n! ≤

X

n=0

tnkAkn

n! =e

tkAk <+

∞, t0.

Agora vamos mostrar que:

(1) T(t)∈ L(X), t0.

De fato, seja

sk = k

X

n=0

tnAn

n! , k∈N.

Observe quesk∈ L(X),para todok∈N. Al´em disso, para k, m∈N, comk < m, temos

ksm−skk=

m X n=0

tnAn

n! −

k

X

n=0

tnAn

n! = m X

n=k+1

tnAn

n! ≤ m X

n=k+1

tnkAnk

n! ≤

X

n=k+1

tnkAkn

n! .

Dessa forma, como

X

n=0

tnkAkn

n! = e

tkAk, dado ε > 0, existe n

0 ∈ N tal que ∞

X

n=n0+1

tnkAkn

n! < ε. Logo, se k, mn0,ent˜ao

ksm−skk ≤

X

n=k+1

tnkAkn

n! ≤

X

n=n0+1

tnkAkn

n! < ε,

o que implica que (sk)kN ´e uma sequˆencia de Cauchy em L(X) e assim, uma vez que X ´e um

espa¸co de Banach, L(X) tamb´em ´e um espa¸co de Banach e portanto, (sk)kN ´e convergente, com

lim

k→∞sk=s∈ L(X),onde

s=

X

n=0

tnAn

n =T(t).

Portanto, T(t)∈ L(X),para todot0.

(2) (T(t))t0 ´e um semigrupo.

(16)

(i) T(0) =I+

X

n=1

0nAn

n! =I+ 0A+ 02A2

2! +...=I.

(ii) Sejam t, s[0,+), T(t+s) =

X

n=0

(t+s)nAn

n!

= I+ (t+s)A+(t+s)

2A2

2! +

(t+s)3A3

3! +

(t+s)4A4

4! +... = I+tA+sA+t

2A2

2! + 2tsA2

2! +

s2A2

2! +

t3A3

3! +

3!t2sA3

2! 3! +

3! ts2A3

2! 3! +

s3A3

3! +... = I+tA

I+sA+s

2A2

2! +

s3A3

3! +...

+ t

2A2

2!

I+sA+s

2A2

2! +...

+t

3A3

3! (I+sA+...) +...+

sA+s

2A2

2! +

s3A3

3! +...

= I+tAT(s) +t

2A2T(s)

2! +

t3A3T(s)

3! +...+

sA+ s

2A2

2! +

s3A3

3! +...

= tAT(s) +t

2A2T(s)

2! +

t3A3T(s)

3! +...+T(s) =

I+tA+t

2A2

2! +

t3A3

3! +...

T(s) = T(t)T(s).

(3) (T(t))t≥0 ´e uniformemente cont´ınuo.

Para provarmos este fato, observe que

T(t)I =

X

n=0

tnAn

n! −I =

X

n=1

tnAn

n! =tA

X

n=1

tn−1An−1

n!

!

.

Assim,

kT(t)Ik=

tA ∞ X n=1

tn1An1

n!

!

≤tkAk

X

n=1

tn1kAkn1

n!

!

≤tkAk

X

n=0

tnkAkn

n!

!

=tkAketkAk

e ent˜ao,

lim

t→0+kT(t)−Ik ≤tlim0+tkAke

tkAk = 0.

Portanto, (T(t))t0 ´e uniformemente cont´ınuo. (4) A´e o gerador infinitesimal de (T(t))t≥0.

Note que,

T(t)I

t −A =

1

t

X

n=1

tnAn

n!

!

−A=A

X

n=1

tn−1An−1

n!

!

(17)

1.1 Semigrupos uniformemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 16

= A

X

n=0

tnAn

(n+ 1)!

!

−A=A

" X

n=0

tnAn

(n+ 1)!

! −I # . Assim,

T(t)−I t −A

≤ kAk ∞ X n=0

tnAn

(n+ 1)! −I

=kAk

∞ X n=1

tnAn

(n+ 1)!

≤ kAk

X

n=1

tnkAkn

(n+ 1)!

!

≤ kAk

X

n=1

tnkAkn

n!

!

=kAk(etkAk1).

Logo,

lim

t→0+

T(t)I t −A

≤tlim→0+kAk(e

tkAk

−1) = 0,

isto ´e,A= lim

t→0+

T(t)I

t e, uma vez que essa convergˆencia ´e em L(X),temos, em particular, que Ax= lim

t→0+

T(t)xx

t , para todox∈X.

Portanto, D(A) =X e A´e o gerador infinitesimal de (T(t))t0.

Consequentemente, segue de (1) - (4) que (T(t))t≥0 ´e um semigrupo uniformemente cont´ınuo com

gerador infinitesimal igual aA.

Reciprocamente, suponhamos que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de operadores lineares limitados uniformemente cont´ınuo (T(t))t0 e vamos mostrar que A´e limitado.

Pela continuidade uniforme de (T(t))t≥0, dadoε > 0, existe δ > 0 tal que kT(t)−Ik < ε, para

todo 0< t < δ.Assim,

1 t Z t 0

T(s)dsI

= 1 t Z t 0

T(s)ds1 t Z t 0 Ids = 1 t Z t 0

(T(s)−I)ds

≤ 1t

Z t

0 k

T(s)Ikds

≤ 1

t

Z t

0

ε ds=ε,

para 0< t < δ.

Dessa forma, tomando ε = 1

2, existe ρ > 0, com 0 < ρ < δ, tal que

1 ρ Z ρ 0

T(s)dsI

< 1 e

ent˜ao, tomandoG=1

ρ

Z ρ

0

T(s)ds+I no Teorema A.2, segue que IG= 1

ρ

Z ρ

0

(18)

limitada. Al´em disso, para 0< h < ρ,

T(h)I h

Z ρ

0

T(s)ds

= 1

h

Z ρ

0

(T(h)I)T(s)ds

= 1

h

Z ρ

0

T(h)T(s)ds−

Z ρ

0

T(s)ds

= 1

h

Z ρ

0

T(h+s)

Z ρ

0

T(s)ds

= 1

h

Z ρ+h

h

T(s)ds

Z ρ

0

T(s)ds

= 1

h

Z ρ

h

T(s)ds+

Z ρ+h

ρ

T(s)ds

Z h

0

T(s)ds+

Z ρ

h

T(s)ds

= 1

h

Z ρ+h

ρ

T(s)ds−

Z h

0

T(s)ds

.

Logo,

lim

h→0+

T(h)−I h

Z p

0

T(s)ds

= lim

h→0+

1

h

Z ρ+h

ρ

T(s)ds

Z h

0

T(s)ds

= lim

h0+

1

h

Z ρ+h

ρ

T(s)ds

| {z }

L1

− lim

h0+

1

h

Z h

0

T(s)ds

| {z }

L2

.

Observe que

L2 = lim

h→0+

1

h

Z h

0

T(s)ds

=I, pois 1 h Z h 0

T(s)ds−I

≤ 1 h Z h 0 k

T(s)−Ikds≤ 1

h

Z h

0

ε ds=ε,

visto que 0< h < δ,e

L1= lim

h→0+

1

h

Z ρ+h

ρ

T(s)ds = lim

h→0+

1

h

Z h

0

T(s+ρ)ds= lim

h→0+

T(ρ)1

h

Z h

0

T(s)ds

= T(ρ) lim

h0+

1

h

Z h

0

T(s)ds

=T(ρ).

Sendo assim,

lim

h0+

T(h)I h

Z ρ

0

T(s)ds

=T(ρ)−I,

isto ´e,

A

Z p

0

T(s)ds

= lim

h→0+

T(h)I h

Z ρ

0

T(s)ds

(19)

1.1 Semigrupos uniformemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 18

Portanto,

A= (T(ρ)−I)

Z ρ

0

T(s)ds

−1

e, como o lado direito da igualdade acima ´e limitado, segue queA´e limitado.

Proposi¸c˜ao 1.5. Se (T(t))t0 ´e um semigrupo de operadores lineares limitados uniformemente cont´ınuo, ent˜ao a fun¸c˜ao t7→T(t) ´e cont´ınua em[0,+).

Demonstra¸c˜ao. J´a vimos que essa fun¸c˜ao ´e cont´ınua `a direita de t parat0.Agora, vamos mostrar que ela tamb´em ´e cont´ınua `a esquerda para t >0.

Sejat >0. Primeiramente mostraremos que kT(s)k´e limitada em [0, t+ 1].

Pela continuidade uniforme de (T(t))t≥0,existe δ >0 tal que

kT(s)−Ik<1, ∀s∈[0, δ].

Logo,

kT(s)k ≤ kT(s)Ik+kIk<1 + 1 = 2, s[0, δ].

Seja n o primeiro n´umero natural tal que t+ 1 < nδ. Assim, se s [0, t+ 1], ent˜ao s =kδ+ξ,

ondek[0, n] e ξ[0, δ],e

kT(s)k=kT(kδ+ξ)k=kT(kδ)T(ξ)k ≤ kT(δ)...T(δ)

| {z }

Kvezes

kkT(ξ)k ≤ kT(δ)kkkT(ξ)k<2k2 = 2k+12n+1,

ou seja, temos kT(s)k ≤2n+1,s[0, t+ 1].

Agora, seja h >0 tal que h < t.Dessa forma, temos

0< tht < t+ 1.

Assim,

lim

h0+kT(t−h)−T(t)k= limh

→0+kT(t−h)−T(t−h+h)k = hlim

→0+kT(t−h)−T(t−h)T(h)k

≤ lim

h→0+kT(t−h)kkI−T(h)k

≤ lim

h→0+2

n+1kIT(h)k= 0,

pois, da continuidade uniforme de (T(t))t≥0, lim

h0+kT(h)−Ik = 0. Portanto, segue que t 7→ T(t) ´e

(20)

No teorema a seguir, garantiremos a unicidade de um semigrupo uniformemente cont´ınuo com rela¸c˜ao ao seu gerador infinitesimal.

Teorema 1.6. Sejam (T(t))t≥0 e(S(t))t≥0 semigrupos uniformemente cont´ınuos. Se

lim

t0+

T(t)−I

t =A= limt0+

S(t)−I t ,

ent˜ao T(t) =S(t), para todot0.

Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que, dadoT >0, S(t) =T(t),para 0tT.

Seja T > 0. Como (T(t))t≥0 e (S(t))t≥0 s˜ao semigrupos uniformemente cont´ınuos, as fun¸c˜oes

t 7→ T(t) e t 7→ S(t) s˜ao cont´ınuas em [0,+). Al´em disso, visto que a fun¸c˜ao t 7→ ktk tamb´em ´e cont´ınua, obtemos que as fun¸c˜oes t 7→ kT(t)k e t 7→ kS(t)k s˜ao cont´ınuas em [0,+). Assim, como [0, T] ´e compacto, existem constantes positivasK1 eK2 tais que

kT(t)k ≤K1, ∀t∈[0, T], e kS(t)k ≤K2, ∀t∈[0, T].

Dessa forma, se K =K1K2,temos

kT(t)kkS(s)k ≤K, t, s[0, T].

Mais ainda, da hip´otese do teorema, dado ε >0 qualquer, existemδ1, δ2>0 tais que

T(h)I h −A

ε

2T K, ∀0< t < δ1,

e

S(h)I h −A

ε

2T K, ∀ 0< t < δ2.

Logo, tomando δ=min{δ1, δ2}e 0< t < δ, segue que ambas as desigualdades acima s˜ao v´alidas.

Assim, se 0< t < δ,

T(t)

t − S(t)

t =

T(t)

t − I

t −A+ I

t +A− S(t)

t =

T(t)I t −A

S(t)I t −A

T(t)I t −A

+

S(t)I t −A

2T Kε + ε 2T K =

(21)

1.1 Semigrupos uniformemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 20

ou seja, kT(t)S(t)k ≤ ε

T Kt, se 0< t < δ.

Agora, dado t∈[0, T],tomemosn >0 tal que t

n < δ.Assim,

kT(t)S(t)k =

T nt n −S nt n = T nt n

S(0)T

(n1)t

n S t n +T

(n1)t

n S t n −T

(n2)t

n S 2t n +T

(n2)t

n S 2t n

−...T(0)S

nt n =

n1

X

k=0

T

(n−k)t

n S kt n −T

(n−1−k)t

n

S

(k+ 1)t

n

n1

X k=0 T

(nk)t

n S kt n −T

(n1k)t

n

S

(k+ 1)t

n

=

n−1

X k=0 T

(n−1−k)t

n T t n S kt n −S

(k+ 1)t

n

=

n1

X k=0 T

(n1k)t

n T t n −S kt n S kt n

n−1

X k=0 T

(n1k)t

n T t n −S t n S kt n

n1

X k=0 K1 ε T K t n K2

= nK ε

T K t n

≤ ε

TT =ε,

pois,

(i) t

n < δ;

(ii) para 0 k n1 < n, 0 n1k n1 < n, e ent˜ao (n−1−k)t

n < 1t = t ≤ T e kt

n <1t=t≤T.

Logo, temos

kT(t)S(t)k< ε, t[0, T],

para qualquer que sejaε >0.

Portanto, quando ε 0, conclu´ımos que T(t) = S(t), para todo t [0, T]. Al´em disso, fazendo

T → ∞,temos

(22)

Corol´ario 1.7. Seja (T(t))t0 um semigrupo uniformemente cont´ınuo. Ent˜ao: (i) Existe um ´unico operador linear A tal queT(t) =etA, ∀t≥0;

(ii) O operador A ´e o gerador infinitesimal de(T(t))t0; (iii) Existe uma constanteω ≥0 tal quekT(t)k ≤eωt, ∀t≥0;

(iv) t7→T(t) ´e diferenci´avel e

d

dtT(t) =AT(t) =T(t)A, ∀t≥0.

Demonstra¸c˜ao. (i) SejaAo gerador infinitesimal de (T(t))t≥0.Pelo Teorema 1.4 sabemos queA´e um

operador linear limitado. Mais ainda, sabemos que Atamb´em ´e o gerador infinitesimal do semigrupo

S(t) = etA, t 0. Assim, pelo teorema anterior, segue que S(t) = T(t), para todo t 0, ou seja,

T(t) =etA, t0,pois se dois semigrupos tem o mesmo gerador infinitesimal, eles s˜ao iguais.

A unicidade do operador A segue da unicidade do gerador infinitesimal.

(ii)A afirma¸c˜ao do item (ii) ´e consequˆencia direta dos resultados obtidos na demonstra¸c˜ao do Teorema 1.4.

(iii) Como A ´e um operador linear limitado, segue que existe M > 0 tal que kAk ≤ M. Seja ω ≥

0, ω =kAk.Assim, pelo item (i),

kT(t)k=ketAk=

∞ X n=0

(tA)n

n! ≤ ∞ X n=0

tnkAkn

n! =e

tkAk =eωt,

∀t0.

(iv) Sejam t≥0 e h >0,ent˜ao lim

h0+

T(t+hh)−T(t) −T(t)A

= hlim0+

T(t)T(hh)−T(t) −T(t)A

= lim

h→0+

T(t)

T(h)−I h

−A

≤ lim

h→0+kT(t)k

T(h)I h −A

≤ lim

h0+e

ωt

T(h)I h −A

= 0,

poisA ´e o gerador infinitesimal de (T(t))t≥0. Assim, a fun¸c˜ao t7→T(t) ´e diferenci´avel `a direita de t,

com d

+

dtT(t) =T(t)A.Sabemos tamb´em que t7→ T(t) ´e cont´ınua e dessa forma, como A ∈ L(X), a

fun¸c˜aot7→T(t)A´e cont´ınua. Logo, pelo Lema de Dini (Lema A.3), segue quet7→T(t) ´e diferenci´avel e d

dtT(t) = d+

(23)

1.1 Semigrupos uniformemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 22

De maneira an´aloga,

lim

h0+

T(t+h)T(t)

h −AT(t)

= hlim0+

T(h+t)T(t)

h −AT(t)

= lim

h0+

T(h)T(th)−T(t) −AT(t)

= lim

h→0+

T(h)−I h

−A

T(t)

≤ lim

h→0+

T(h)I h −A kT(t)k

≤ lim

h0+

T(h)I h −A

eωt= 0.

Logo, d

dtT(t) =AT(t) e portanto vale d

dtT(t) =T(t)A=AT(t).

1.2

Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados

Nesta se¸c˜ao iremos estudar os semigrupos fortemente cont´ınuos, que ser˜ao utilizados como ferramenta nos cap´ıtulos 2 e 3.

Defini¸c˜ao 1.8. Um semigrupo (T(t))t≥0 de operadores lineares limitados em X ´e um semigrupo fortemente cont´ınuo se

lim

t→0+T(t)x=x, para todo x∈X.

Note que neste caso a fun¸c˜ao t7→T(t)x ´e cont´ınua em t= 0,para todoxX.

Um semigrupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares limitados emXser´a chamadosemigrupo de classeC0 ou simplesmenteC0-semigrupo.

O pr´oximo resultado estabelece uma limita¸c˜ao para umC0-semigrupo. Essa limita¸c˜ao ´e de grande

utilidade na teoria de semigrupos e ser´a utilizada muitas vezes ao longo deste trabalho.

Teorema 1.9. Seja (T(t))t0 um C0-semigrupo. Ent˜ao existem constantes ω≥0 e M ≥1 tais que

kT(t)k ≤M eωt,t0.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente vamos mostrar que existeη >0 tal quekT(t)k´e limitado parat∈[0, η],

isto ´e,

∃ η >0 e M >0;kT(t)k ≤M,t[0, η].

(24)

M >0,existe tM,η ∈[0, η] tal que

kT(tM,η)k> M.

Em particular, tomando η= 1

n eM =n,com n∈N,existe tn∈[0,

1

n] de modo quekT(tn)k> n.

Assim, conforme variamosn emN,obtemos que (tn)nN ´e uma sequˆencia tal que

lim

n→∞tn= 0 e kT(tn)k> n,∀n∈

N.

Dessa forma, segue que sup

nN{k

T(tn)k}=∞ e consequentemente, pela contra-positiva do Princ´ıpio

da Limita¸c˜ao Uniforme (Teorema A.5), existex0 ∈X tal que sup

nN{k

T(tn)x0k}=∞.Logo, existe uma

subsequˆencia (tnk)k∈N de (tn)n∈N tal que (kT(tnk)x0k)k∈N´e ilimitada.

Por´em, uma vez que (tnk)k∈N ´e subsequˆencia de (tn)n∈N, temos lim

k→∞tnk = 0. Mais ainda, como

(T(t))t≥0 ´e um C0-semigrupo, temos tamb´em lim

k→∞T(tnk)x0 =x0,isto ´e, (kT(tnk)x0k)k∈N ´e limitada,

gerando uma contradi¸c˜ao. Portanto, existem η >0 e M >0 tais que

kT(t)k ≤M, t[0, η].

Em particular, para t= 0, temos kT(0)k=kIk= 1 e ent˜ao, M 1.

Agora, vamos mostrar que isso ´e v´alido para qualquer que seja t >0. Se t > η, pelo algoritmo da divis˜ao, existenN tal que t=+δ,comδ [0, η].Logo,

kT(t)k=kT(nη+δ)k=kT(η)T(η)...T(η)

| {z }

nvezes

T(δ)k ≤ kT(η)knkT(δ)k ≤MnM MηtM =M eωt,

ondeω= lnM

η >0,poisM ≥1.

Portanto, kT(t)k ≤M eωt,t0.

Uma consequˆencia direta deste ´ultimo teorema ´e a continuidade da fun¸c˜aot 7→T(t)x, para todo

x∈X fixo, como veremos a seguir.

Corol´ario 1.10. Se (T(t))t≥0 ´e um C0-semigrupo ent˜ao, para cada x ∈ X, a fun¸c˜ao t 7→ T(t)x ´e cont´ınua de [0,+) em X.

Demonstra¸c˜ao. Sejamt, h0,comt > h. Assim, lim

h→0+kT(t+h)x−T(t)xk = hlim0+kT(t)T(h)x−T(t)xk

≤ lim

(25)

1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 24

≤ lim

h→0+M e

ωt

kT(h)xxk

= M eωt lim

h→0+kT(h)x−xk

= 0,

pois (T(t))t≥0 ´e umC0-semigrupo. Logo,

lim

h0+kT(t+h)x−T(t)xk= 0,

ou seja, a fun¸c˜aot7→T(t)x ´e cont´ınua `a direita para todo t≥0.

Agora, por outro lado,

lim

h→0+kT(t−h)x−T(t)xk = hlim0+kT(t−h)x−T(t−h+h)xk

= lim

h→0+kT(t−h)x−T(t−h)T(h)xk

≤ lim

h→0+kT(t−h)kkT(h)x−xk

≤ lim

h→0+M e

ω(th)kT(h)xxk

≤ lim

h→0+M e

ωt

kT(h)xxk

= 0,

pois (T(t))t0 ´e umC0-semigrupo. Logo,

lim

h0+kT(t−h)x−T(t)xk= 0,

isto ´e, a fun¸c˜aot7→T(t)x´e cont´ınua `a esquerda para todot >0.

Portanto, t7→T(t)x ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua para todoxX.

O pr´oximo resultado nos fornece propriedades que ser˜ao frequentemente usadas nesta disserta¸c˜ao.

Teorema 1.11. Sejam (T(t))t0 um C0-semigrupo eA seu gerador infinitesimal. Ent˜ao:

(i) Para todoxX e todo t0, lim

h→0

1

h

Z t+h

t

T(s)xds=T(t)x.

(ii) Para todox∈X e todo t≥0,

Z t

0

T(s)xds∈D(A) e A

Z t

0

T(s)xds

=T(t)x−x.

(iii) Para todox∈D(A) e todo t≥0, T(t)x∈D(A) e d

(26)

(iv) Para todo x∈D(A) e t, s≥0, T(t)x−T(s)x=

Z t

s

T(ξ)Axdξ=

Z t

s

AT(ξ)xdξ.

Demonstra¸c˜ao. (i) Sejax∈Xe t≥0.Pelo corol´ario anterior, a fun¸c˜aot7→T(t)x´e cont´ınua e ent˜ao, ela ´e uniformemente cont´ınua em [0, a],com a >0 tal quet[0, a].Logo, dadoε >0,existe δ >0 tal que

kT(t)xT(s)xk< ε, se|ts|< δ, t, s[0, a].

Note que, se 0< h < δ et+h < a, ent˜ao

1 h

Z t+h

t

T(s)xdsT(t)x

= 1 h

Z t+h

t

T(s)xds 1 h

Z t+h

t

T(t)xds

= 1 h

Z t+h

t

T(s)x−T(t)xds

h1

Z t+h

t k

T(s)xT(t)xkds

≤ 1

h

Z t+h

t

εds=ε.

Assim, lim

h0

1 h

Z t+h

t

T(s)xds−T(t)x

= 0,ou seja, limh0

1

h

Z t+h

t

T(s)xds=T(t)x.

(ii) Sejam x ∈ X e t ≥ 0, mostraremos que

Z t

0

T(s)xds ∈ D(A), isto ´e, lim

h0+

T(h)−I h

Z t

0

T(s)xds

existe. Para isso, note que

lim

h0+

T(h)I h

Z t

0

T(s)xds

= lim

h0+

T(h)

h

Z t

0

T(s)xds 1 h

Z t

0

T(s)xds

= lim

h0+

1

h

Z t

0

T(h+s)xds−

Z t

0

T(s)xds

= lim

h→0+

1

h

Z t+h

h

T(s)xds

Z t

0

T(s)xds

= lim

h0+

1

h

Z t

h

T(s)xds+

Z t+h

t

T(s)xds

Z h

0

T(s)xds

Z t

h

T(s)xds

= lim

h→0+

1

h

Z t+h

t

T(s)xds 1 h

Z h

0

T(s)xds

.

Pelo item (i),segue que

lim

h0+

T(h)

h

Z t

0

T(s)xds− 1

h

Z t

0

T(s)xds

= lim

h0+

1

h

Z t+h

t

T(s)xds− lim

h0+

1

h

Z 0+h

0

(27)

1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 26

= T(t)xT(0)x

= T(t)xx.

Portanto,

Z t

0

T(s)xdsD(A) e

A

Z t

0

T(s)xds

= lim

h→0+

T(h)

h

Z t

0

T(s)xds 1 h

Z t

0

T(s)xds

=T(t)xx.

(iii) SejaxD(A),isto ´e, lim

h0+

T(h)xx

h =Ax. Dessa forma, para t≥0,temos T(h)(T(t)x)T(t)x

h =

T(h+t)xT(t)x

h ,

logo,

lim

h0+

T(h+t)x−T(t)x

h = hlim0+

T(t+h)x−T(t)x

h = limh0+

T(t)T(h)x−T(t)x h

= lim

h0+T(t)

T(h)x−x h

=T(t) lim

h→0

T(h)x−x h

=T(t)Ax.

Assim, segue que, T(t)x ∈ D(A) e AT(t)x = T(t)Ax. Al´em disso, d

+

dtT(t)x =

lim

h0+

T(t+h)x−T(t)x

h =T(t)Ax.

Agora, mostraremos que d−

dtT(t)x = d+

dtT(t)x. Para isso, considere h ∈ [0, t], o que implica que

0< t−h.Logo,

T(t)x−T(t−h)x

h −T(t)Ax

= −

T(t−h)x+T(t−h+h)x

h −T(t)Ax

=

T(t−h)

−x+T(h)x h

−T(t)Ax

≤ kT(th)k

T(h)xx h −Ax

+kT(t−h)Ax−T(t)Axk

≤ M eω(t−h)

T(h)xx h −Ax

+kT(t−h)Ax−T(t)Axk.

Portanto,

lim

h0+

T(t)x−T(t−h)x

h −T(t)Ax

= hlim0+M e

ω(t−h)

T(h)x−x h −Ax

+ lim

(28)

= M eωt0 + 0 = 0,

ou seja, d−

dtT(t)x=T(t)Ax= d+

dtT(t)x.Dessa forma, d

dtT(t)x=T(t)Ax=AT(t)x.

(iv) Dadox∈D(A),pelo item (iii),temos T(ξ)Ax=AT(ξ)x,∀ξ ≥0.Assim,

Z t

s

T(ξ)Axdξ =

Z t

s

AT(ξ)xdξ.

Al´em disso, sabemos que d

dξT(ξ)x=T(ξ)Ax.Logo, pelo Teorema Fundamental do C´alculo, segue

que,

Z t

s

T(ξ)Axdξ=

Z t

s

d

dξT(ξ)xdξ =T(t)x−T(s)x.

Corol´ario 1.12. SeA ´e o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo (T(t))t≥0,ent˜ao D(A) ´e denso em X e A:D(A)X ´e fechado.

Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar, primeiramente, que D(A) ´e denso em X, ou seja, D(A) = X. Para isso, dado xX, mostraremos que existe uma sequˆencia em D(A) que converge para x.

Pelo item (ii) do teorema anterior, sabemos que

Z t

0

T(s)xds∈D(A),∀t≥0.Assim, definindo

xt=

1

t

Z t

0

T(s)xds, t≥0, (1.1)

segue quext∈D(A),∀t≥0.De fato,

lim

h0+

T(h)xt−xt

h = hlim0+

T(h)

1

t

Z t

0

T(s)xds

− 1 t Z t 0

T(s)xds

h = 1 t    hlim→0+

T(h)

Z t

0

T(s)xds

Z t

0

T(s)xds

h     = 1 t A Z t 0

T(s)xds

= 1

(29)

1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 28

Al´em disso, pelo item (i) do teorema anterior, temos

lim

t0+xt= limt

→0+

1

t

Z t

0

T(s)xds

=T(0)x=x.

Logo, x∈D(A) e assim, X⊂D(A).Como a outra inclus˜ao ´e sempre v´alida, temosD(A) =X.

Agora, vamos mostrar que o operador linear A:D(A)X X ´e fechado. Assim, seja (xn)nN

uma sequˆencia emD(A) que converge para algumx∈X e tal que (Axn)nNtamb´em ´e uma sequˆencia

emX, que converge para algum yX. Mostraremos quexD(A) e Ax=y.

Pelo teorema anterior, item (iv), sabemos que, para cada n∈Ne t0,

T(t)xn−T(0)xn=

Z t

0

T(ξ)Axndξ. (1.2)

Al´em disso, uma vez que xn → x, quando n → ∞, e T(t) ∈ L(X), segue que T(t)xn → T(t)x,

quando n→ ∞.Mais ainda,

Z t

0

T(ξ)Axndξ−

Z t

0

T(ξ)ydξ

Z t

0 k

T(ξ)kkAxn−ykdξ

≤ M eωt

Z t

0 k

Axn−ykdξ.

Desse modo, como Axn→y,quando n→ ∞,segue que

lim

n→∞

Z t

0

T(ξ)Axndξ=

Z t

0

T(ξ)ydξ.

Logo, tomando o limite em (1.2), quando n→ ∞,obtemos

T(t)xx=

Z t

0

T(ξ)ydξ

e assim, usando o item (i) do Teorema 1.11, conclu´ımos que

lim

t0+

T(t)x−x

t = limt0+

1

t

Z t+0

0

T(ξ)ydξ =T(0)y=y,

ou seja, xD(A) e

Ax= lim

t0+

T(t)xx t =y.

Portanto, A ´e fechado.

(30)

uniformemente cont´ınuo (T(t))t0. O pr´oximo teorema ´e um resultado similar paraC0-semigrupos.

Teorema 1.13. Sejam (T(t))t0 e(S(t))t0 dois C0-semigrupos com geradores infinitesimais A eB, respectivamente. SeA=B, ent˜ao T(t) =S(t), para todot≥0.

Demonstra¸c˜ao. Suponha A=B, assim,D(A) =D(B).Dessa forma, dado x ∈D(A), x∈D(B) e as fun¸c˜oes t7→T(t)xe t7→S(t)x s˜ao diferenci´aveis, com

d

dtT(t)x=T(t)Ax=AT(t)x e d

dtS(t)x=S(t)Bx=BS(t)x.

Considere a aplica¸c˜aoψ: [0, t]X, com t >0,definida por

ψ(s) = (T(t−s)S(s))x, para 0≤s≤t.

Logo, a derivada deψ ´e dada por

d

dtT(t−s)S(s)x = T(t−s)

d dsS(s)x

+

d

dsT(t−s)

S(s)x

= T(t−s)BS(s)x−AT(t−s)S(s)x

= T(t−s)BS(s)x−T(t−s)AS(s)x= 0,

poisA=B.

Assim, comoψ′ ´e nula, segue que ψ(s) ´e constante para 0st. Ent˜ao, ψ(t) =ψ(0),isto ´e,

ψ(t) =T(t−t)S(t)x=S(t)x=ψ(0) =T(t−0)S(0)x=T(t)x.

Portanto, T(t)x=S(t)x, para todot≥0 e para todo x∈D(A).

Agora, sejaxX.ComoD(A) =X,existe uma sequˆencia (xn)nNemD(A) tal que lim

n→∞xn=x.

Al´em disso, pelo que acabamos de provar,

T(t)xn=S(t)xn, ∀t≥0 e∀n∈N.

Mais ainda, como T(t) eS(t) pertencem a L(X), para todot0,temos,

(31)

1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 30

Logo, pela unicidade do limite, segue que

T(t)x=S(t)x, t0.

Portanto, como T(t)x=S(t)x, ∀t≥0 e ∀x∈X, temosT(t) =S(t), ∀t≥0.

A seguir veremos um exemplo cl´assico da teoria de semigrupos, chamado de semigrupo de transla¸c˜oes.

Exemplo 1.14. Seja X = {f : [0,+) R;f´e limitada e uniformemente cont´ınua} munido da norma da convergˆencia uniforme, isto ´e,

kfk= sup{|f(x)|;x∈[0,+∞)}.

Para cada t≥0,defina o operador T(t) :X→X da seguinte forma

(T(t)f)(s) =T(t)f(s) =f(t+s), para todo s∈[0,+∞).

Vejamos a seguir algumas propriedades da fam´ılia (T(t))t0.

(1) Para todo t0, T(t) est´a bem definido, isto ´e, T(t)f X para toda f X.

De fato, T(t)f ´e limitada pois, para f X, temos

kT(t)fk= sup

s[0,+∞)k

T(t)f(s)k= sup

s[0,+∞)k

f(t+s)k ≤ sup

ς[0,+∞)k

f(ς)k=kfk.

Al´em disso, como f ´e uniformente cont´ınua, dados ε >0 es1, s2 ∈[0,+∞), existe δ >0 tal que

|f(s1)−f(s2)|< ε, sempre que |s1−s2|< δ. Assim, se s1, s2 ∈[0,+∞) e |s1−s2|< δ,ent˜ao

|(T(t)f)(s1)−(T(t)f)(s2)|=|f(t+s1)−f(t+s2)|< ε. Logo, T(t)f ´e uniformemente cont´ınua e ent˜ao,T(t)f ∈X.

(2) T(t)∈ L(X) para todot≥0.

Dados t0, f, g X, αRe s[0,+), temos

(32)

= (αf+g)(t+s) = αf(t+s) +g(t+s) = αT(t)f(s) +T(t)g(s) = α(T(t)f)(s) + (T(t)g)(s).

Portanto, T(t) ´e uma aplica¸c˜ao linear. Al´em disso, como visto no item (1),

kT(t)fk ≤ kfk, para todo f X,

o que implica que T(t) ´e limitada.

Consequentemente, T(t)∈ L(X) para todo t≥0.

(3) (T(t))t≥0 ´e umC0-semigrupo em X.

Para verificarmos essa propriedade, sejam f X, t, w0.Assim,

(i) (T(0)f)(s) =f(s), para todo s∈[0,+∞).

(ii) [(T(t + w)f)](s) = T(t + w)f(s) = f(t + w + s) = T(t)f(w + s) = T(t)T(w)f(s) = [T(t)T(w)f](s), para todo s[0,+), ou seja, T(t+w) =T(t)T(w), o que implica que (T(t))t≥0 ´e um semigrupo.

Agora, para a continuidade em t= 0, seja f X. Pela continuidade uniforme de f, dado ε >0,

existe δ >0 tal que

kf(t+s)f(s)k< ε, para todo s[0,+) e todo t0 com |t|< δ.

Logo, se |t|< δ,temos

kT(t)f fk= sup

s[0,+∞)k

T(t)f(s)f(s)k= sup

s[0,+∞)k

f(t+s)f(s)k ≤ sup

s[0,+∞)

ε=ε.

Portanto, (T(t))t0 ´eC0-semigrupo.

(4) kT(t)k ≤1, para todot0.

Pelo que j´a foi feito anteriormente, para t≥0, temos

kT(t)k= sup

kfk≤1k

T(t)fk ≤ sup

kfk≤1k

(33)

1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares limitados 32 Logo, como definiremos na pr´oxima se¸c˜ao,(T(t))t0 ´e umC0-semigrupo de contra¸c˜oes.

(5) D(A) ={f X;f′existe e fX} e (Af)(s) =f(s),para toda f D(A) es[0,+). Seja f ∈X tal quef′ existe e f′∈X, assim

f′(s) = lim

h0+

f(s+h)−f(s)

h = limh0+

(T(h)f)(s)−f(s)

h ,∀s∈[0,+∞).

Al´em disso, pela continuidade uniforme de f′, dado ε >0, existeδ >0, tal que

kf′(t+s)f′(s)k< ε, para todo s[0,+) e0t < δ.

Mais ainda, como f′ existe, temos

T(t)ff t −f

= s sup

∈[0,+∞)

T(t)f(s)f(s)

t −f

(s)

= sup

s[0,+∞)

1

t

Z s+t

s

f′(u)du−1

t

Z s+t

s

f′(s)du

= sup

s∈[0,+∞)

1

t

Z s+t

s |

f′(u)f′(s)|du

.

Logo, se 0< t < δ,ent˜ao |f′(u)f(s)|< ε, para todo s[0,+) eu[s, s+t],e dessa forma,

T(t)ff t −f

s sup

∈[0,+∞)

1

t

Z s+t

s

εdu

=ε.

Assim, quando t→0+,T(t)f −f t →f

e ent˜ao, f D(A). Portanto, segue que {f X;f′ existe e f′X} ⊂D(A).

Agora, seja f ∈D(A)⊂X. Ent˜ao, lim

t0+

T(t)ff

t existe. Sejag∈X este limite, assim, note que

(T(t)f)(s)−f(s)

t −g(s)

T(t)f−f t −g

,∀s∈[0,+∞) et≥0,

e al´em disso,

T(t)ff t −g

→0, quando t→0+,

o que implica que lim

t0+

(T(t)f)(s)f(s)

t = limt0+

f(t+s)f(s)

t =g(s), para todo s ∈[0,+∞).Por

outro lado, para s[0,+),

lim

t0+

f(t+s)f(s)

t =f

(34)

onde f′

+(s) representa a derivada `a direita de f em s. Consequentemente, pela unicidade do limite, temos

f+′ (s) =g(s),s[0,+).

Mais ainda, como gX, g ´e uniformemente cont´ınua e ent˜ao, pelo Lema de Dini (Lema A.3), f′

existe e f′=g,ou ainda, f′ ∈X.

Portanto, D(A)⊂ {f X;f′ existe e f′X},o que garante a igualdade entre esses conjuntos. Por fim, dado f D(A),temos

(Af)(s) = lim

t0+

(T(t)f)(s)−f(s)

t = limt0+

f(t+s)−f(s)

t =f

(s),

para todo s∈[0,+∞),ou seja, Af =f′.

A seguir apresentamos uma generaliza¸c˜ao do conceito de semigrupo.

Defini¸c˜ao 1.15. Uma fam´ılia a um parˆametro (T(t))tR, de operadores lineares limitados em X, ´e

um grupo fortemente cont´ınuo se

lim

t0T(t)x=x, para todo x∈X.

Um grupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares limitados em X ser´a chamado grupo de classe C0 ou simplesmenteC0-grupo.

1.3

O Teorema de Hille-Yosida

Nosso objetivo nesta se¸c˜ao ´e estudar o Teorema de Hille-Yosida, que ´e um dos principais resultados da teoria de semigrupos de operadores lineares limitados fortemente cont´ınuos. Este teorema caracteriza quando um operador linear ´e o gerador de umC0-semigrupo.

Por´em, para apresentarmos tal resultado, precisamos de algumas defini¸c˜oes e lemas preliminares. Primeiramente, como visto na se¸c˜ao anterior, se (T(t))t≥0 ´e um C0-semigrupo, ent˜ao kT(t)k ≤

M eωt,t 0, para certas constantes M 1 e ω > 0. Esta nota¸c˜ao ser´a usada ao longo de toda

esta se¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1.16. Um C0-semigrupo ´e chamado uniformemente limitado se a constante ω acima ´e nula, isto ´e, kT(t)k ≤M, para todot0.

(35)

1.3 O Teorema de Hille-Yosida 34

Defini¸c˜ao 1.18. Seja A : D(A) X X um operador linear, n˜ao necessariamente limitado. O conjunto resolvente de A ´e o conjunto de todos os n´umeros complexos λ para os quais o operador

(λIA)´e invers´ıvel e limitado, isto ´e,

ρ(A) ={λC; (λIA)−1∈ L(X)}.

O espectro do operador A ´e o complementar do conjunto resolvente, ou seja, σ(A) =ρ(A)c.

Defini¸c˜ao 1.19. A fam´ılia R(λ:A) = (λIA)−1, para λρ(A),de operadores lineares limitados ´e chamada de resolvente de A.

Lema 1.20. Seja A um operador linear fechado com D(A) = X. Suponha que (0,+) ρ(A) e

kR(λ:A)k ≤ 1

λ,para todo λ >0.Ent˜ao,

lim

λ→∞λR(λ:A)x=x, para todo x∈X.

Demonstra¸c˜ao. Sejax∈D(A).Assim,

kλR(λ:A)x−Ixk = kλR(λ:A)x−R(λ:A)R(λ:A)−1xk

= kR(λ:A)(λx−R(λ:A)−1x)k

= kR(λ:A)(λx−(λI−A)x)k ≤ kR(λ:A)kkAxk

≤ 1

λkAxk.

Logo,

lim

λ→∞kλR(λ:A)x−xk ≤λlim→∞

kAxk λ = 0.

Portanto,

lim

λ→∞λR(λ:A)x=x, para todox∈D(A).

Agora, sejamxXe (xn)nNuma sequˆencia emD(A) com lim

n→∞xn=x.Logo, paraλ∈(0,+∞),

kλR(λ:A)xxk = kλR(λ:A)xλR(λ:A)xn+λR(λ:A)xn−xn+xn−xk

≤ kλR(λ:A)(xxn)k+kλR(λ:A)xn−xnk+kxn−xk

≤ λkR(λ:A)kkxxnk+kλR(λ:A)xn−xnk+kxn−xk

≤ λ1

(36)

≤ 2kxn−xk+kλR(λ:A)xn−xnk,∀n∈N.

Al´em disso, como xn → x, quando n → ∞, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que kxn−xk <

ε

2, para todo nn0.Em particular, para m∈ Ntal que m > n0, temoskxm−xk<

ε

2 e, uma vez que

xm ∈D(A), lim

λ→∞kλR(λ:A)xm−xmk= 0.

Portanto, voltando a desigualdade anterior, obtemos

lim

λ→∞kλR(λ:A)x−xk ≤ λlim→∞(2kxm−xk+kλR(λ:A)xm−xmk)

≤ lim

λ→∞

2 +kλR(λ:A)xm−xmk

< ε.

Finalmente, fazendo ε→0,segue que lim

λ→∞λR(λ:A)x=x, para todox∈X.

Defini¸c˜ao 1.21. Suponha que (0,+∞) ⊂ρ(A).Dado λ >0, definimos a aproxima¸c˜ao de Yosida de A por

Aλ =λAR(λ:A) =λ2R(λ:A)−λI.

Lema 1.22. Seja A um operador linear fechado com D(A) = X. Suponha que (0,+∞) ⊂ ρ(A) e

kR(λ:A)k ≤ 1

λ,para todo λ >0.Se Aλ ´e a aproxima¸c˜ao de Yosida de A, ent˜ao

lim

λ→∞Aλx=Ax, para todo x∈D(A).

Demonstra¸c˜ao. Primeiro, observe queA e R(λ:A) comutam para todoλρ(A),pois

I = (λIA)R(λ:A)AR(λ:A) =λR(λ:A)I

e, por outro lado,

I =R(λ:A)(λI−A) = R(λ:A)(λI)−R(λ:A)A

= λR(λ:A)−R(λ:A)A,

o que implica que

R(λ:A)A=λR(λ:A)I.

Logo,

AR(λ:A) =R(λ:A)A.

Al´em disso, do lema anterior, sabemos que lim

(37)

1.3 O Teorema de Hille-Yosida 36

particular, tomandoy=Ax,com xD(A),temos lim

λ→∞Aλx= limλ→∞λAR(λ:A)x= limλ→∞λR(λ:A)Ax=Ax.

Lema 1.23. Seja A um operador linear fechado com D(A) = X. Suponha que (0,+) ρ(A) e

kR(λ : A)k ≤ 1

λ, para todo λ > 0. Se Aλ ´e a aproxima¸c˜ao de Yosida de A, ent˜ao Aλ ´e o gerador

infinitesimal do semigrupo de contra¸c˜ao uniformemente cont´ınuo(Tλ(t))t≥0,onde Tλ(t) =eAλt, t≥0.

Al´em disso, para todo xX e para todos λ, µ(0,+),temos

kTλ(t)x−Tµ(t)xk=keAλtx−eAµtxk ≤tkAλx−Aµxk.

Demonstra¸c˜ao. Note queAλ´e um operador linear limitado pois, para cadaλ∈(0,+∞), Aλ=λ2R(λ:

A)−λI.Assim, pelo Teorema 1.4, Aλ´e o gerador infinitesimal do semigrupo uniformemente cont´ınuo

(Tλ(t))t0 dado por

Tλ(t) =eAλt=

X

n=0

(tAλ)n

n! , para todot≥0. Al´em disso, esse semigrupo ´e de contra¸c˜ao. De fato, para t0,

kTλ(t)k=keAλtk = ke(λ

2R

(λ:A)−λI)t

k ≤ keλ2R(λ:A)tkke−λItk

≤ e(λ2t)kR(λ:A)ke(−λt)kIk

≤ eλ2t1λe−λt

= 1.

Agora, antes de prosseguirmos com a demonstra¸c˜ao da segunda parte do lema, provaremos algumas propriedades que ser˜ao utilizadas posteriormente.

(1) Os operadoresR(λ:A) e R(µ:A) comutam para todoλ, µρ(A).

Para provarmos esse fato, dados λ, µ∈ρ(A),note que

R(λ:A)R(µ:A)(µI−A)(λI−A) =I.

Assim,

(38)

Mais ainda, como R(λ:A) e R(µ:A) comutam comA e µI, temos (µIA)R(λ:A)R(µ:A) =

R(λ:A) e ent˜ao R(λ:A)R(µ:A) =R(µ:A)R(λ:A). (2) Os operadoresAλ e Aµ comutam para todoλ, µ∈ρ(A).

Neste caso, temos Aλ =λAR(λ:A) e Aµ =µAR(µ:A).Logo, como A comuta com o resolvente

e vale a proriedade de (1) acima, segue queAλ e Aµ comutam.

(3) Os operadoresAλ e etAλ tamb´em comutam para todot≥0 e λ∈ρ(A).

De fato, dados λρ(A) e t0,temos

AλetAλ = (λAR(λ:A))

X

n=0

(tλAR(λ:A))n

n!

!

=

X

n=0

tn(λAR(λ:A))n+1

n!

=

X

n=0

(tλAR(λ:A))n

n! (λAR(λ:A)) =e

tAλA

λ.

(4) Por ´ultimo, os operadores Aλ e etAµ comutam para todot≥0, λ, µ∈ρ(A).

Neste caso, usando os itens anteriores, temos

AλetAµ = λAR(λ:A)

X

n=0

(tµAR(µ:A))n

n!

!

= λAR(λ:A)

X

n=0

tnµnAnR(µ:A)n

n!

!

=

X

n=0

tnµnR(µ:A)n

n! λAR(λ:A)

=

X

n=0

(tµAR(µ:A))n

n!

!

(λAR(λ:A))

= etAµA

λ.

Finalmente, usando a comutatividade dos operadores acima, podemos mostrar que

kTλ(t)x−Tµ(t)xk=k(etAλ)x−(etAµ)xk ≤tkAλx−Aµxk,∀x∈X,∀t≥0 e∀λ, µ >0.

Sejam, λ, µ >0, t≥0 e x∈X. Dessa forma,

etAλxetAµx = (etsAλet(1−s)Aµx)

s

=1−(e

tsAλet(1−s)Aµx)

s

=0

=

Z 1

0

d ds(e

(39)

1.3 O Teorema de Hille-Yosida 38

=

Z 1

0

tAλestAλet(1−s)Aµx+etsAλ(−tAµ)et(1−s)Aµxds

=

Z 1

0

estAλtA

λet(1−s)Aµx+etsAλet(1−s)Aµ(−tAµ)xds

=

Z 1

0

estAλet(1−s)Aµ(tA

λx−tAµx)ds.

Portanto,

ketAλxetAµxk ≤

Z 1

0 k

etsAλkket(1−s)Aµkkt(A

λx−Aµx)kds

Z 1

0

tkAλx−Aµxkds

= tkAλx−Aµxk.

Vejamos a seguir o principal resultado desta se¸c˜ao.

Teorema 1.24 (Teorema de Hille-Yosida). Um operador linear A:D(A) ⊂X→ X ´e o gerador infinitesimal de um C0- semigrupo de contra¸c˜oes(T(t))t0 se, e somente se,

(i) A ´e fechado e D(A) =X,

(ii) (0,+)ρ(A) ekR(λ:A)k ≤ 1

λ,para todo λ >0.

Demonstra¸c˜ao. Suponha, primeiramente, que o operador A ´e o gerador infinitesimal de um C0

-semigrupo de contra¸c˜oes (T(t))t≥0 e mostremos que as propriedades (i) e (ii) s˜ao satisfeitas.

Note que a propriedade (i) j´a foi demonstrada no Corol´ario 1.12. Falta, ent˜ao, demonstrarmos a propriedade (ii).

Para isso, dado λ∈(0,+∞) e x∈X, defina

R(λ)x=

Z

0

e−tλT(t)xdt.

Analisemos algumas propriedades deR(λ):

(1) A integral que define R(λ)x existe.

De fato, como (T(t))t0 ´e um semigrupo de contra¸c˜oes, temos kT(t)xk ≤ kxk para todo t ≥ 0.

Al´em disso,

Z

0

e−λtT(t)xdt

Z

0

e−λtkT(t)kkxkdt≤

Z

0

e−λtkxkdt

= kxk lim

s→∞

Z s

0

e−λtdt=kxk lim

s→∞

e−λs

(−λ) −

e0

(−λ)

= kxk

(40)

Portanto,

Z

0

e−λtT(t)xdtexiste e assim, R(λ)xest´a bem definida.

(2) R(λ) :X X´e um operador linear.

Sejam x, yX eαK,onde K´e o corpo de X. Ent˜ao,

R(λ)(αx+y) =

Z

0

e−λtT(t)(αx+y)dt=α

Z

0

e−λtT(t)xdt+

Z

0

e−λtT(t)ydt=αR(λ)x+R(λ)y,

poisT(t)∈ L(X),∀t≥0.

(3) R(λ) ´e limitado.

Isso ocorre pois, como j´a estimado no item(1),

kR(λ)xk=

Z 0

e−λtT(t)xdt

1

λkxk,∀x∈X.

(4) R(λ)xD(A),para todoxX.

Dado x∈X, temos

T(h)−I h

R(λ)x = T(h)R(λ)x−R(λ)x

h

= 1

h

T(h)

Z

0

e−λtT(t)xdt

Z

0

e−λtT(t)xdt

= 1

h

Z

0

e−λtT(h+t)xdt

Z

0

e−λtT(t)xdt

= 1

h

Z

h

e−λ(s−h)T(s)xds

Z

0

e−λtT(t)xdt

= 1

h

Z 0

h

e−λseλhT(s)xds+

Z

0

e−λseλhT(s)xds

Z

0

e−λsT(s)xds

= −1

h

Z h

0

e−λseλhT(s)xds+

eλh1

h

Z ∞

0

e−λsT(s)xds

.

Assim,

lim

h0+

T(h)−I h

R(λ)x = lim

h0+

eλh1

h

Z

0

e−λtT(t)xdt

−e

λh

h

Z 0+h

0

e−λtT(t)xdt

= λR(λ)xe−λ0T(0)x

= λR(λ)xIx.

Logo, R(λ)x∈D(A) e, al´em disso,

AR(λ)x= lim

h0+

T(h)−I h

(41)

1.3 O Teorema de Hille-Yosida 40

Dessa forma, AR(λ) =λR(λ)I, isto ´e,

(λIA)R(λ) =I.

Portanto, R(λ) ´e uma inversa `a direita de (λI−A). Vamos mostrar que R(λ) tamb´em ´e a inversa `

a esquerda de (λIA).Neste caso, considerexD(A).Assim,

R(λ)(λIA)x = λR(λ)xR(λ)Ax=R(λ)λx

Z

0

e−λtT(t)Axdt

= R(λ)(λx)−A

Z ∞

0

e−λtT(t)xdt=λR(λ)x−AR(λ)x= (λI−A)R(λ)x=x,

ou seja, R(λ)(λI−A) =I, ondeI :D(A)→D(A).

Ent˜ao,R(λ) ∈ L(X) ´e a inversa de (λIA).Consequentemente, segue que, seλ >0, λρ(A) e

R(λ) =R(λ:A).Logo, (0,+∞)⊂ρ(A) e

kR(λ:A)k=kR(λ)k= sup

kxk≤1k

R(λ)xk ≤ sup

kxk≤1

kxk λ ≤

1

λ, para todoλ >0.

Agora, suponha que A´e fechado, D(A) =X,(0,+)ρ(A) ekR(λ:A)k ≤ 1

λ,para todoλ >0.

Mostremos que Agera um C0-semigrupo de contra¸c˜oes.

SejaAλ a aproxima¸c˜ao de Yosida deA e consideremos o semigrupo (Tλ(t))t0,ondeTλ(t) =eAλt,

para todo t≥ 0.Como j´a vimos, no Lema 1.23, (Tλ(t))t≥0 ´e uniformemente cont´ınuo e kTλ(t)k ≤ 1,

para todot0 e λ(0,+).Al´em disso, Aλ ´e seu gerador infinitesimal e, se x∈D(A) e t∈[0, a],

vale a estimativa

kTλ(t)x−Tµ(t)xk ≤ tkAλx−Aµxk

≤ akAλx−Axk+akAµx−Axk.

Mais ainda, pelo Lema 1.22, temos lim

λ→∞Aλx=Axe limµ→∞Aµx=Ax,para todox∈D(A),e assim,

existe k >0 tal que, se λ, µ > k, ent˜ao kAλx−Axk <

ε

2a e kAµx−Axk< ε

2a,quando t6= 0. Logo,

paraλ, µ > k e t6= 0,

kTλ(t)x−Tµ(t)xk< a

ε

2a+a ε

2a =ε.

Em particular, set= 0,note quekTλ(0)x−Tµ(0)xk=kx−xk= 0< ε.Assim, podemos dizer que

(Tλ(t)x)λ∈(0,∞)´e uma “sequˆencia de Cauchy” emX e dessa forma, lim

λ→∞Tλ(t)xexiste para todo t≥0

Figure

Updating...

References

Updating...

Download now (92 página)