O método da média para equações diferenciais não autônomas

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(1)Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Mat´ematica Disserta¸ca˜o de Mestrado O M´etodo da M´edia para equa¸co˜es diferenciais n˜ao autoˆnomas Eduardo Carlos Cabrera Zu´n˜iga Orientadoras: Soˆnia Pinto de Carvalho e Sylvie Marie Oliffson Kamphorst Leal da Silva Belo Horizonte Fevereiro 2010

(2) O M´etodo da M´edia para equa¸co˜es diferenciais n˜ao autoˆnomas Este exemplar corresponde `a reda¸ca˜o final da dissertac¸˜ao defendida por Eduardo Carlos Cabrera Zu´n˜iga. Belo Horizonte, 23 de Fevereiro de 2010. Profs. Sˆonia Pinto de Carvalho e Sylvie Marie Oliffson Kamphorst Leal da Silva. Orientadoras Banca examinadora: Prof. Antoˆnio Augusto Gaspar Ruas. Prof. C´esar de Souza Eschenazi. Prof. Sˆonia Pinto de Carvalho. Prof. Sylvie Marie Oliffson Kamphorst Leal da Silva. Disserta¸ca˜o apresentada ao Instituto de Ciˆencias Exatas, ICEX, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de MESTRE EM MATEMA´ TICA.

(3) Ao Deus. A` minha fam´ılia, em especial a minha irm˜a Nora, e minhas ma˜es Olinda, Nora, Haydee e Rebeca.

(4) Agradecimentos A` s minhas orientadoras Soˆnia e Sylvie, por acreditar em mim e especialmente pelo apoio e orienta¸ca˜o nos momentos mais complicados e por compartilhar a alegria a cada avance. Aos prezados professores Alberto, Adrian, Aniura, Carlos, C´esar, Gaspar, Viktor, Loretta, Emilio e Sergio. Aos queridos funciona´rios Andr´ea e Valdney. Aos meus amigos das moradias I e II, em especial ao Juscelino, Gladston, Ezio, Jose, Mirlene, Morgana, Traquis, Alexandra, Vivian e Mariane. Aos colegas da po´s-gradua¸ca˜o, em especial ao Heleno e ao Reginaldo Braz. A` Narjara, por dar felicidade e amor ao meu cora¸ca˜o. A` Nora, minha irm˜a e melhor amiga, muito obrigado pelo carinho, apoio, compreensa˜o e por torcer incondicionalmente por mim.

(5) Conjetura: Se sempre plantarmos o melhor da vida, recolheremos ainda na dor, alegria, afeito e vida verdadeira. E. C. Z.

(6) Resumo Baseados nos trabalhos Geodesics on vibrating surfaces and curvature of the normal family, de Mark Levi e Qiran Ren, e Geometry and physics of averaging with applications, de Mark Levi, apresentamos o m´etodo da m´edia. Com este, ´e poss´ıvel estudar equa¸co˜es diferenciais ordina´rias na˜o-autoˆnomas e perio´dicas no tempo, via equa¸co˜es autonoˆmas a menos de um erro que pode ser controlado segundo uma precisˆao desejada. Seguindo as ideias de Mark Levi e Qiran Ren em Geodesics on vibrating surfaces and curvature of the normal family, usamos o m´etodo da m´edia para demonstrar que uma vibra¸ca˜o normal e perio´dica de uma superf´ıcie induz em uma massa pontual que se movimenta livremente sobre ela uma acelera¸ca˜o tangencial a` superf´ıcie que ´e proporcional `a curvatura da curva normal a esta. 5

(7) Abstract Based on the papers Geodesics on vibrating surfaces and curvature of the normal family, by Mark Levi and Qiran Ren, and Geometry and physics of averaging with applications, by Mark Levi, we present the averaging method. This allow to study time periodic nonautonomus ordinay differential equations using autonomous differential equations with errors that can be controled at given precision. Following the ideas of Mark Levi and Qiran Ren in Geodesics on vibrating surfaces and curvature of the normal family, we use the averaging method to prove that a normal and periodic vibration of a surface induces on a mass moving freely on it, a tangencial acceleration to the surface. This acceleration is proportional to the curvature of the normal curve.

(8) Sum´ario 1 O m´etodo da m´edia para EDO´S 10 1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Primeira mudan¸ca de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Segunda mudan¸ca de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Mudan¸cas sucessivas at´e ordem k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Aplicac¸˜ao do m´etodo em superf´ıcies vibrando com o tempo 21 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Superf´ıcies vibrando com o tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Bibliografia 33 7

(9) Introduc¸˜ao O enfoque central deste trabalho ´e o estudo de equac¸˜oes diferenciais ordina´rias na˜oautoˆnomas, perio´dicas no tempo. Seu conteu´do esta´ baseado nos trabalhos Geodesics on vibrating surfaces and curvature of the normal family, de Mark Levi e Qiran Rei, [5] e Geometry and physics of averaging with applications, de Mark Levi, [6]. No cap´ıtulo 1, expomos o m´etodo da m´edia. Ele nos fornece mudan¸cas de coordenadas que transformam equa¸c˜oes da forma Z = δF (Z, τ ) onde Z ∈ R6, τ ∈ R, δ ´e um paraˆmetro fixo, F : R6 × R → R6 ´e limitada, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas, peri´odica de per´ıodo T em τ e com m´edia F (z) = 1 T T 0 F (z, τ ) dτ em equa¸co˜es da forma zk = δF (zk) + δ2F1 (zk) + ... + δkFk−1 (zk) + O δk+1 . Essa transforma¸ca˜o nos permite estudar o sistema original como um sistema autoˆnomo mais um erro que pode ser controlado segundo uma precisa˜o desejada. Al´em disso, as solu¸co˜es da nova equa¸ca˜o e as soluc¸˜oes da mesma equa¸ca˜o desprezando-se os termos O δk+1 esta˜o pr´oximas num tempo finito, desde que as respectivas condic¸˜oes iniciais satisfa¸cam condi¸co˜es de proximidade que estabeleceremos no corpo do trabalho. Na se¸c˜ao 2.1, aplicamos o m´etodo do cap´ıtulo 1 ao sistema X = δY Y = δ [g (X, Y ) + A (τ ) f (X)] para transform´a-lo num sistema autˆonomo a menos de um erro. 8

(10) Na se¸ca˜o 2.2, abordamos o problema tratado no artigo Geodesics on Vibrating Surfaces and Curvature of the Normal Family, de Mark Levi e Qiran Ren, [5]. Consideramos uma superf´ıcie vibrando periodicamente e uma massa pontual livre na superf´ıcie. A vibra¸c˜ao da superf´ıcie gera uma acelera¸ca˜o na massa na dire¸ca˜o normal a` superf´ıcie. Nosso objetivo ´e entender porque essa acelerac¸˜ao normal pode produzir trajeto´rias na˜o normais. Obtemos a superf´ıcie vibrante considerando uma fun¸c˜ao ϕ : R3 → R com ∇ϕ = 0, tal que ϕ ´e limitada, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas e uma fun¸ca˜o real s que ´e C2, limitada, perio´dica de per´ıodo ε, de m´edia nula, tal que s (0) = 0 e cuja imagem esta´ contida no conjunto de valores regulares de ϕ. A equa¸ca˜o ϕ (x) = s (t) define a superf´ıcie vibrante tal que para cada t ∈ R ela ´e uma superf´ıcie diferencia´vel. Aplicamos os resultados da se¸ca˜o 2.1 `a equa¸ca˜o diferencial que descreve o movimento de uma massa pontual na superf´ıcie vibrante e a equa¸ca˜o obtida revela que de fato h´a uma acelerac¸˜ao tangente a` superf´ıcie, al´em da acelera¸ca˜o normal produzida pela geometria da superf´ıcie (no texto faremos uma compara¸ca˜o com o caso esta´tico onde as trajeto´rias sa˜o as geod´esicas). A interpreta¸ca˜o geom´etrica do problema ´e enriquecida observando-se que a vibra¸c˜ao produz uma fam´ılia de curvas normais a` fam´ılia de superf´ıcies e que a acelerac¸˜ao tangencial ´e proporcional `a curvatura, k, da curva nomal a` superf´ıcie no ponto considerado, apontando no sentido oposto a` concavidade da curva normal. 9

(11) Cap´ıtulo 1 O m´etodo da m´edia para EDO´S Consideremos o sistema Z = δF (Z (τ ) , τ ) (1.1) onde δ ´e um parˆametro fixado com 0 < δ < 1 e F : R6 × R → R6, com (Z, τ ) → F (Z, τ ) uma fun¸ca˜o de per´ıodo 1 em τ , limitada, C∞, com derivadas de todas as ordens limitadas. Estas condi¸c˜oes garantem, pelo teorema de Picard, solu¸co˜es u´nicas para cada condic¸˜ao inicial dada (veja [1]). Neste cap´ıtulo mostraremos que podemos aplicar sucessivas mudan¸cas de coordenadas no sistema (1.1) para obter um novo sistema m´edio. 1.1 Preliminares Nesta se¸ca˜o apresentaremos resultados ba´sicos que permitem transformar o sistema (1.1) num sistema chamado sistema m´edio. Definic¸˜ao 1.1. A m´edia em τ de uma aplica¸ca˜o F : (Ω ⊂ Rn) × R → Rn cont´ınua e perio´dica em τ , de per´ıodo T , ´e denotada por F (z) e ´e dada por 1T F (z) = F (z, τ ) dτ T0 Lema 1.1. Seja F : (Ω ⊂ Rn)×R → Rn, cont´ınua, limitada, perio´dica em τ , Lipschitz em z, com constante de Lipschitz igual a K, e F (z) = 1 T T 0 F (z, τ ) dτ sua m´edia temporal. Ent˜ao F tamb´em ´e Lipschitz em z, com a mesma constante K. 10

(12) Demonstrac¸˜ao. Se K ´e a constante de Lipschitz de F , em rela¸ca˜o `a varia´vel z, temos que |F (z1, σ) − F (z2, σ)| K |z1 − z2| e, portanto, F (z1) − F (z2) = 1 T T 0 F (z1, σ) dσ − 1 T T F (z2, σ) dσ 0 1 = T T [F (z1, σ) − F (z2, σ)] dσ 0 1 T T max |F (z1, σ) − F (z2, σ)| dσ 0 0σT 1 T T K |z1 − z2| dσ = K |z1 − z2| 0 Lema 1.2. Se F : (Ω ⊂ Rn) × R → Rn ´e limitada, peri´odica em τ , C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas, enta˜o F (z) ´e C∞ e tem derivadas de todas as ordens limitadas. Demonstrac¸a˜o. Como F ´e C∞, pela regra de Leibniz, temos que DnF (z) = 1 T T 0 ∂znF (z, τ) dτ , ou seja, F tem derivadas de todas as ordens. Al´em disso, como F tem derivadas limitadas, qualquer 1 T T 0 ∂znF (z, τ ) dτ tamb´em ´e limitada, o que prova que F (z) tem derivadas limitadas. Lema 1.3. Seja f : R → R uma func¸a˜o cont´ınua e perio´dica, com per´ıodo T , tal que f = 1 T T 0 f (σ) dσ = 0 (f tem m´edia nula) e seja G : Rn → Rn tal que a aplicac¸˜ao E : Rn × R → Rn definida por E (z, τ ) = f (τ ) G (z) satisfaz as hipo´teses do lema 1.2. Enta˜o, existe τ0 ∈ [0, T ] tal que ττ E (z, σ) dσ − E (z) = f (σ) dσ G (z) 0 τ0 onde τ τ0 f (σ) dσ tem m´edia, τ τ0 f (σ) dσ, nula. Demonstra¸ca˜o. E´ suficiente provar o lema para τ ∈ [0, T ] pois τ 0 f (σ) dσ ´e uma func¸˜ao peri´odica de per´ıodo T . Isto segue do seguinte fato: Se considerarmos τ +T τ f (σ) dσ, temos que d dτ τ +T τ f (σ) dσ = f (τ + T) . d(τ +T dτ ) − f (τ ) = 0, isto ´e, τ +T τ f (σ) dσ = T 0 f (σ) dσ = 0. Assim, τ +T 0 f (σ) dσ = τ 0 f (σ) dσ + τ +T τ f (σ) dσ = τ 0 f (σ) dσ + 0 = τ 0 f (σ) dσ. Como τ 0 f (σ) dσ ´e cont´ınua em [0, T ], pelo teorema do valor m´edio para integrais, existe τ0 ∈ [0, T ], tal que τ0 0 f (σ) dσ = τ 0 f (σ) dσ. 11

(13) Assim, τ 0 E (z, σ) dσ − E (z) = τ 0 f (σ) dσ G (z) − τ 0 f (σ) dσ G (z) = τ τ0 f (σ) dσ G (z). Resta mostrar que τ τ0 f (σ) dσ = 0. Notemos que τ τ0 f (σ) dσ = τ 0 f (σ) dσ− τ0 0 f (σ) dσ = τ 0 f (σ) dσ − τ 0 f (σ) dσ. Logo τ τ0 f (σ) dσ = τ 0 f (σ) dσ − τ 0 f (σ) dσ = 0. Lema 1.4. Sejam F : R6×R → R6, uma func¸˜ao limitada, de per´ıodo 1 na u´ltima vari´avel, C∞, com derivadas de todas as ordens limitadas e h1 definida por ττ h1 (z, τ ) = F (z, σ) − F (z) dσ − F (z, σ) − F (z) dσ 00 (1.2) Ent˜ao, a fun¸c˜ao h1 ´e peri´odica de per´ıodo 1 em τ , limitada, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas e h1 (z) = 0. Demonstrac¸a˜o. Se definirmos G (z, τ ) por G (z, τ ) = τ 0 F (z, σ) − F (z) dσ, enta˜o G (z, τ ) ´e peri´odica de per´ıodo 1 em τ , pois τ +1 G (z, τ + 1) = F (z, σ) − F (z) dσ 0 τ τ +1 = F (z, σ) − F (z) dσ + F (z, σ) − F (z) dσ 0τ 1 11 = G (z, τ ) + F (z, σ) − F (z) dσ = G (z, τ ) + F (z, σ) dσ − F (z) dσ 0 00 = G (z, τ ) + F (z) − F (z) = G (z, τ ) . Observamos que a m´edia de G, denotada por G (z) = 1 0 G (z, τ ) dτ ´e uma aplicac¸˜ao que so´ depende de z. Portanto, h1 (z, τ ) = G (z, τ ) − G (z) est´a bem definida e ´e perio´dica de per´ıodo 1 em τ. h1 tem m´edia nula, pois h1 (z) = 1 0 h1 (z, τ ) dτ = G (z) − G (z) = 0. Para mostrar que h1 ´e limitada, observamos primeiro que |G (z, τ )| G (z) |h1 (z, τ )| 1 max F (z, τ ) − F (z) dτ 0 0τ 1 max F (z, τ ) − F (z) 0τ 1 max F (z, τ ) − F (z) 0τ 1 |G (z, τ )| + G (z) 2 max F (z, τ ) − F (z) 0τ T 12

(14) Portanto, G (z, τ ), G (z) e h1 sa˜o limitadas, porque F e F sa˜o limitadas. Resta mostrar que h1 ´e C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas. Para mostrar que as derivadas de h1 sa˜o limitadas, observamos que para todo k ∈ N tem-se ∂zkF (z) = D(k)F (z) = 1 0 ∂zk F (z, σ) dσ = ∂zk F (z) ´e cont´ınua (Leibniz) e limitada. Enta˜o, ∂zkG (z, τ ) = τ 0 ∂zk F (z, σ) − F (z) dσ = τ 0 ∂zkF (z, σ) − ∂zkF (z) dσ ´e limitada e cont´ınua e ∂zkG (z) = D(k)G (z) = 1 0 ∂zk τ 0 F (z, σ) − F (z) dσdτ = ∂zkG (z) tamb´em ´e limitada e cont´ınua. ∂τkG (z) = 0. ∂τ G (z, τ ) = F (z, τ ) − F (z) ´e limitada, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas. Segue-se que ∂τkG (z, τ ) ´e limitada, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas. ∂τkh1 (z, τ ) = ∂τk−1 F (z, τ ) − F (z) ´e limitada e cont´ınua. ∂zkh1 (z, τ ) = τ 0 ∂zkF (z, σ) − ∂zkF (z) dσ − ∂zkG (z) ´e limitada e cont´ınua. Para k = 1, temos que ∂zh1 (z, τ ) e ∂τ h1 (z, τ ) sa˜o limitadas e cont´ınuas, logo h1 ´e C1. Al´em disso, |Dh1| |∂zh1| + |∂τ h1|, ou seja, Dh1 ´e limitada. Para k = 2, provar que h1 ´e C2, ´e o mesmo que provar que Dh1 ´e C1. Enta˜o, sabendo que ∂z2h1 (z, τ ), ∂τ2h1 (z, τ ) e ∂z∂τ h1 (z, τ ) = ∂τ ∂zh1 (z, τ ) = ∂z F (z, τ ) − F (z) sa˜o limitadas e cont´ınuas, derivando a igualdade Dh1 (z, τ ) . ( , ) = ∂zh1 (z, τ ) . ( ) + ∂τ h1 (z, τ ) . ( ), temos que as derivadas parciais de Dh1 sa˜o limitadas e cont´ınuas. Os mesmos argumentos usados para o caso k = 1, mostram que h1 ´e C2. D(2)h1 ´e limitada, pois as derivadas parciais de Dh1 sa˜o limitadas. Para demonstrar que para qualquer k ∈ N, D(k)h1 ´e limitada e cont´ınua, basta aplicar recursivamente o mesmo processo realizado nos dois casos anteriores, pois as derivadas parciais de D(k−1)h1 sa˜o limitadas e cont´ınuas. 13

(15) Lema 1.5. Sejam h1 como no lema 1.4 e H1 : R6 × R → R6 × R definida por (Z, τ ) = H1 (z, τ ) = (z + δh1 (z, τ ) , τ ) . (1.3) Se 0 < δ < ,1 sup |∂zh1| enta˜o H1 ´e uma mudanc¸a de coordenadas. Demonstrac¸a˜o. A derivada de H1  DH1 (z, τ ) = I6×6  + δ ∂z h1 01×6  δ∂τ h1  1 7×7 ´e invers´ıvel para todo (z, τ ) ∈ R6 × R, se o determinante da matriz I6×6 + δ∂zh1 (z, τ ) ´e na˜o nulo. Assim, se δ < ,1 sup|∂z h1 | existe [I6×6 + δ∂zh1 (z, τ )]−1 e, pelo Teorema da Fun¸ca˜o Inversa, H1 ´e um difeomorfismo local C∞. Para provar que H1 ´e um difeomorfismo global provaremos, inicialmente, que H1 ´e um homeomorfismo global. Pondo H1 = (z, τ ) + δ (h1 (z, τ ) , 0) s´o precisamos analisar os pontos do dom´ınio de H1 onde podemos perder a injetividade, ou seja, pontos do dom´ınio tais que H1 (za, τa) = H1 (zb, τb), isto ´e, τa = τb. Isso implica que s´o precisamos analisar nos pontos que tˆem z, a primeira vari´avel, diferente. Como o intervalo [0, 1] ´e compacto e h1 ´e perio´dica em τ , enta˜o para todo τ ∈ R, existe τM ∈ [0, 1], tal que |δ (h1 (zb, τ ) , 0) − δ (h1 (za, τ ) , 0)| |δh1 (zb, τM ) − δh1 (za, τM )| δ sup |∂zh1| |(za, τ ) − (zb, τ )| . Portanto, se 0 < δ sup |∂zh1| < 1, δ (h1 (z, τ ) , 0) sera´ contra¸ca˜o e, pelo Teorema da Perturbac¸˜ao da Identidade [3], H1 sera´ um homeomorfismo global. Assim, temos que se 0 < δ < ,1 sup|∂z h1 | enta˜o H1 ´e um difeomorfismo global, ou seja, uma mudan¸ca de coordenadas. Defini¸c˜ao 1.2. Dizemos que uma aplicac¸˜ao G (z, τ, δ) ´e da ordem δi, e denotamos G (z, τ, δ) = O (δi), δ > 0, i 0, se existem constantes δ∗ e M > 0 tais que, para todo (z, τ ) no dom´ınio da aplica¸c˜ao e para cada 0 < δ δ∗, |G (z, τ, δ)| M δi. 1.2 Primeira mudanc¸a de coordenadas Nesta se¸ca˜o e nas que se seguem aplicaremos os resultados da sec¸˜ao 1.1 a sistemas da forma Z = δF (Z (τ ) , τ ), onde Z = dZ dτ . 14

(16) Proposic¸˜ao 1.1. Sejam h1 : R6×R → R6 a func¸˜ao obtida no lema 1.4 e H1 : R6×R → R6 a mudanc¸a de coordenadas obtida no lema 1.5. Nessas coordenadas, o sistema Z = δF (Z, τ ) se transforma na equac¸a˜o z1 = δF (z1) + δ2F1 (z1, τ ) + O δ3 (1.4) onde F1 (z1, τ ) = ∂zF (z1, τ ) .h1 (z1, τ ) − ∂zh1 (z1, τ ) F (z1) ´e limitada, peri´odica em τ , C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas, e ´e Lipschitz. Demonstra¸c˜ao. Usando a mudan¸ca de coordenadas H1 na equa¸c˜ao diferencial Z = δF (Z, τ ), temos d dτ [z1 + δh1 (z1, τ )] = δF (z1 + δh1 (z1, τ ) , τ ) , de onde [I + δ∂zh1 (z1, τ )] z1 = δF (z1 + δh1 (z1, τ ) , τ ) − δ∂τ h1 (z1, τ ) z1 = [I + δ∂zh1 (z1, τ )]−1 [δF (z1 + δh1 (z1, τ ) , τ ) − δ∂τ h1 (z1, τ )] , onde [I + δ∂zh1 (z1, τ )]−1 = I − δ∂zh1 (z1, τ ) + (δ∂zh1 (z1, τ ))2 − (δ∂zh1 (z1, τ ))3 + ... . Usando o desenvolvimento de Taylor para F (z1 + δh1 (z1, τ ) , τ ), temos [δF (z1 + δh1 (z1, τ ) , τ ) − δ∂τ h1 (z1, τ )] = δF (z1) + δ2∂zF (z1, τ ) .h1 (z1, τ ) + ... . Portanto, z1 = δF (z1) + O δ2 . Mais especificamente, z1 = δF (z1) + δ2F1 (z1, τ ) + O δ3 , onde F1 (z1, τ ) = ∂zF (z1, τ ) .h1 (z1, τ ) − ∂zh1 (z1, τ ) F (z1) . (1.5) (1.6) Pelas condi¸co˜es de diferenciabilidade de F , F e h1, temos que F1 ´e limitada, peri´odica de per´ıodo 1 em τ , C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas. Como a desigualdade do valor m´edio se cumpre nos dom´ınios convexos e a derivada ´e limitada, teremos que F1 ´e Lipschitz em rela¸ca˜o a z1. 15

(17) 1.3 Segunda mudan¸ca de coordenadas Podemos repetir o procedimento da se¸ca˜o anterior para obter, atrav´es de uma nova mu- dan¸ca de coordenadas, outra equa¸ca˜o equivalente a` original em que F1 seja substitu´ıdo por F1. As fun¸c˜oes h2 e H2 definidas por ττ h2 (z, τ ) = F1 (z, σ) − F1 (z) dσ − F1 (z, σ) − F1 (z) dσ 00 (1.7) e H2 (z2, τ ) = z2 + δ2h2 (z2, τ ) , τ = (z1, τ ) , (1.8) tˆem as mesmas propriedades das fun¸c˜oes obtidas nos lemas 1.4 e 1.5, quando 0 < δ < min ; √1 sup|∂z h1 | 1 sup|∂z h2 | . Lema 1.6. Consideremos a mudanc¸a de coordenadas (z1, τ ) = H2 (z2, τ ). Nessas coordenadas, a equac¸a˜o z1 = δF (z1) + δ2F1 (z1, τ ) + O (δ3) se transforma na equac¸˜ao z2 = δF (z2) + δ2F1 (z2) + δ3F2 (z2, τ ) + O δ4 , (1.9) onde F2 (z2, τ ) = ∂z2F (z2, τ ) . [h1 (z2, τ ) , h1 (z2, τ )] − ∂zh1 (z2, τ ) ∂zF (z2, τ ) .h1 (z2, τ ) + (∂zh1 (z2, τ ))2 F (z2) + DF (z2) h2 (z2, τ ) − ∂zh2 (z2, τ ) F (z2) ´e limitada, peri´odica de per´ıodo 1 em τ , C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas, e ´e Lipschitz. Demonstrac¸a˜o. A prova de que F1 ´e C∞ com derivadas limitadas ´e an´aloga a` prova do lema 1.2. Aplicando a mudanc¸a de coordenadas H2 na equa¸ca˜o (1.4), temos que d dτ z2 + δ2h2 (z2, τ ) = δF z2 + δ2h2 (z2, τ ) + δ2F1 z2 + δ2h2 (z2, τ ) , τ +O δ3 z2 + δ2∂zh2 (z2, τ ) z2 = δF (z2) + δ2F1 (z2, τ ) − δ2∂τ h2 (z2, τ ) + O δ3 . Dessa maneira, z2 + δ2∂zh2 (z2, τ ) z2 = δF (z2) + δ2F1 (z2) + O δ3 . (1.10) Procedendo como na primeira mudan¸ca de coordenadas, invertemos a matriz 16

(18) [I + δ2∂zh2 (z2, τ )] para δ suficientemente pequeno, obtendo z2 = I − δ2∂zh2 (z2, τ ) + O δ4 δF (z2) + δ2F1 (z2) + O δ3 = δF (z2) + δ2F1 (z2) + O δ3 − δ3∂zh2 (z2, τ ) F (z2) − δ4∂zh2 (z2, τ ) F1 (z2) + O δ5 = δF (z2) + δ2F1 (z2) + δ3F2 (z2, τ ) + O δ4 (1.11) onde, se considerarmos as partes do processo em que aparecem somente termos δ3, temos que F2 (z2, τ ) = ∂z2F (z2, τ ) . [h1 (z2, τ ) , h1 (z2, τ )] − ∂zh1 (z2, τ ) ∂zF (z2, τ ) .h1 (z2, τ ) + (∂zh1 (z2, τ ))2 F (z2) + DF (z2) h2 (z2, τ ) − ∂zh2 (z2, τ ) F (z2) . Pelas condi¸co˜es de diferenciabilidade de F , F , h1 e h2, temos que F2 ´e limitada, perio´dica de per´ıodo 1 em τ , C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas, e ´e Lipschitz. 1.4 Mudanc¸as sucessivas at´e ordem k Fazendo sucessivas mudan¸cas de coordenadas, podemos mostrar que ´e poss´ıvel transformar a equac¸˜ao Z = δF (Z, τ ) em zk = δF (zk) + δ2F1 (zk) + ... + δkFk−1 (zk) + O δk+1 . (1.12) Para cada i, de i = 1 at´e k, a mudan¸ca de coordenadas ´e dada por Hi (zi, τ ) = (zi−1, τ ) = zi + δihi (zi, τ ) , τ , onde hi (zi, τ ) = τ 0 Fi−1 (zi, σ) − Fi−1 (zi) dσ − τ 0 Fi−1 (zi, σ) − Fi−1 (zi) dσ. Podemos mostrar, como o fizemos anteriormente, que: Cada Fi−1 (z) ´e C∞, tem derivadas limitadas e portanto ´e Lipschitz. Cada hi ´e limitada, tem per´ıodo 1 em τ , C∞ com derivadas limitadas e tem m´edia nula em τ . Se 0 < δ < δi = min 1≤j≤i √1 j sup|∂zhj | , ent˜ao Hi ´e uma mudan¸ca de coordenadas. 17

(19) Para cada i, encontramos um novo sistema equivalente ao inicial, e repetimos o processo at´e obtermos zk = δF (zk) + δ2F1 (zk) + ... + δkFk−1 (zk) + O δk+1 . As mudan¸cas ser˜ao compostas em uma u´nica mudan¸ca, considerando que 0 < δ < δ∗ onde δ∗ = min √ 1 . 1≤j≤k j sup|∂zhj | A partir de agora, denominaremos a equac¸˜ao (1.12) de sistema m´edio. Para facilitar os ca´lculos, usamos Lema 1.7. Seja zi = (xi, yi) ∈ R6 em cada mudan¸ca de coordenadas Hi, com zi−1 = zi + δihi (zi, τ ) , 1 i k, onde k ´e o nu´mero de mudanc¸as feitas. Enta˜o zi, xi e yi sa˜o da ordem δ. Demonstra¸ca˜o. Das hipo´teses consideradas e das equa¸co˜es equivalentes achadas nas proposi¸c˜oes 1.1 e 1.6, temos que z1 e z2 sa˜o da ordem δ. Recursivamente, se zi−1 ´e da ordem δ ao efetuar k mudanc¸as, enta˜o cada zi sera´ da ordem δ, pois zi−1 = zi + δi∂zhi (zi, τ ) zi + δi∂τ hi (zi, τ ) I + δi∂zhi (zi, τ ) zi = O (δ) − δi∂τ hi (zi, τ ) zi = I + δi∂zhi (zi, τ ) −1 O (δ) − δi∂τ hi (zi, τ ) . Levando em conta a restri¸ca˜o ja´ mencionada para inverter a matriz em cada mudan¸ca, temos que zi = I + O δi O (δ) − δi∂τ hi (zi, τ ) . Portanto, zi ´e da ordem δ e, em consequˆencia, xi e yi tamb´em s˜ao da ordem δ. Para comparar a diferen¸ca das solu¸c˜oes entre o sistema m´edio e seu correspondente sistema m´edio truncado, isto ´e, o sistema m´edio sem os termos O δk+1 , temos o seguinte resultado Teorema 1.1. Sejam zk e ξk, respectivamente, solu¸co˜es das equac¸o˜es zk = δF (zk) + δ2F1 (zk) + ... + δkFk−1 (zk) + O δk+1 ξk = δF (ξk) + δ2F1 (ξk) + ... + δkFk−1 (ξk) 18 (1.13) (1.14)

(20) tais que |zk (τ0) − ξk (τ0)| O δk , 0 < δ < δ∗ = min 1≤j≤k √1 j sup|∂zhj | , onde F e cada Fi, 1 i k, sa˜o Lipschitz. Enta˜o, existe Kk > 0 tal que |zk (τ ) − ξk (τ )| O δk para 0 τ − τ0 1 . δKk Demonstra¸ca˜o. Primeiro, j´a que F e cada Fi tˆem constantes de Lipschitz, podemos considerar F + δF1 + ... + δk−1Fk−1 como uma aplica¸c˜ao com constante de Lipschitz Kk = K0 + (δ∗) K1 + ... + (δ∗)k−1 Kk−1, pois F + δF1 + ... + δk−1Fk−1 (zk) − F + δF1 + ... + δk−1Fk−1 (ξk) F (zk) − F (ξk) + δ F1 (zk) − F1 (ξk) + ... + δk−1 |Fk−1 (zk) − Fk−1 (ξk)| = K0 |zk − ξk| + δK1 |zk − ξk| + ... + δk−1Kk−1 |zk − ξk| K0 + (δ∗) K1 + ... + (δ∗)k−1 Kk−1 |zk − ξk| . Assim, a existˆencia e unicidade de soluc¸˜oes da equa¸ca˜o m´edia truncada (1.14) est´a assegurada. Escrevemos o resto, que ´e da ordem δk+1, como δk+1Rk (zk, τ ; δ), onde |Rk| Mk zk−ξk = δ F + δF1 + ... + δk−1Fk−1 (zk) − F + δF1 + ... + δk−1Fk−1 (ξk) +δk+1Rk (zk, τ ; δ) . Integrando desde τ0 at´e τ , obtemos zk (τ ) − ξk (τ ) = zk (τ0) − ξk (τ0) τ + δ F + δF1 + ... + δk−1Fk−1 (zk) − F + δF1 + ... + δk−1Fk−1 (ξk) τ0 τ + δk+1Rk (zk, σ; δ) dσ τ0 dσ de onde |zk (τ ) − ξk (τ )| |zk (τ0) − ξk (τ0)| τ + δ F + δF1 + ... + δk−1Fk−1 (zk) − F + δF1 + ... + δk−1Fk−1 (ξk) τ0 τ + δk+1Rk (zk, σ; δ) dσ τ0 dσ e, ent˜ao, τ |zk (τ ) − ξk (τ )| |zk (τ0) − ξk (τ0)| + δ Kk |zk (σ) − ξk (σ)| dσ + δk+1Mk (τ − τ0) . τ0 19

(21) Aplicando o lema de Gronwall, temos: |zk (τ ) − ξk (τ )| δk+1Mk δKk + |zk (τ0) − ξk (τ0)| eδKk(τ −τ0) − δk+1Mk δKk e, portanto, |zk (τ ) − ξk (τ )| |zk (τ0) − ξk (τ0)| eδKk(τ−τ0) + δ k Mk Kk eδKk(τ −τ0) − 1 ou seja, desde que |zk (τ0) − ξk (τ0)| 0 τ − τ0 1 δKk . O δk , nossa aproxima¸ca˜o sera´ da ordem δk, para Observac¸o˜es 1. A constante de Lipschitz para F + δF1 + ... + δk−1Fk−1 estabelece o tempo de validade da aproxima¸ca˜o. Se Kk for muito grande, o tempo de validade pode ser pequeno. 2. Nem sempre poderemos aplicar o processo um nu´mero ilimitado de vezes para obter uma aproxima¸ca˜o t˜ao perto quanto quisermos da solu¸ca˜o do sistema equivalente, porque depois de aplicarmos o processo, δk Mk Kk ou eδKk(τ −τ0) − 1 podem tender a infinito. Dessa forma, na˜o poder´ıamos definir um m´aximo δ∗ para os δ, ou a diferenc¸a entre as solu¸co˜es dos sistemas m´edio e m´edio truncado na˜o estaria limitada. 3. Para realizar k mudanc¸as, em vez de F ser C∞, precisamos apenas que F seja Ck. 20

(22) Cap´ıtulo 2 Aplica¸c˜ao do m´etodo em superf´ıcies vibrando com o tempo 2.1 Preliminares Nesta se¸c˜ao aplicaremos o m´etodo da m´edia a sistemas do tipo X = δY Y = δ [g (X, Y ) + A (τ ) f (X)] (2.1) com X, Y ∈ R3, A : R → R fun¸ca˜o C∞, peri´odica de per´ıodo 1, f : R3 → R3 e g : R3 × R3 → R3 aplica¸co˜es limitadas, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas e δ > 0 um paraˆmetro fixo suficientemente pequeno. Lembramos que, no sistema 2.1, X = X (τ ) e Y = Y (τ ). Teorema 2.1. Nas condi¸c˜oes acima, o sistema (2.1) ´e equivalente ao sistema x = δy + O δ5 y = δg (x, y) + δAf (x) + 1δ3V 2 2∂y2g (x, y) [f (x) , f (x)] − δ3V 2Df (x) f (x) + O δ4 , onde A = 1 0 A (τ ) dτ e V2 = 1 0 V 2 (τ ) dτ , com V (τ ) = τ τ01 A (σ) − A dσ e τ01 ´e tal que V = 0. Demonstra¸ca˜o. Definimos F : R3 × R3 × R → R6  F (X, Y, τ ) =  Y  g (X, Y ) + A (τ ) f (X) (2.2) 21

(23)   XX e, se considerarmos Z =   e Z =   em R6, temos que o sistema (2.1) pode ser YY escrito como Z = δF (X, Y, τ ) . (2.3) Notamos que F ´e perio´dica de per´ıodo 1 em τ , limitada, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas. Dessa forma, podemos aplicar o m´etodo da m´edia ao sistema (2.3). Assim, do sistema (2.1) e sabendo que F (z) = 1 0 F (z, σ) dσ ´e a m´edia do campo F com per´ıodo 1 em τ , temos (usaremos momentaneamente z, x e y no lugar de z1, x1, y1)  τ0 F (z, σ) − F (z) dσ =  . 0 τ 0 A (τ ) − A dσ f (x) Se definirmos    00 h1 (z, τ ) =  τ 0 − , A (τ ) − A dσ f (x) τ 0 A (τ ) − A dσ f (x) pelo lema (1.3), existe real τ0A tal que  0τ h1 (z, τ ) =   , onde V (τ ) = A (τ ) − A dσ e V = 0. V (τ ) f (x) τ0A (2.4) Para fazer a primeira mudanc¸a de varia´veis, usamos o difeomorfismo (Z, τ ) = (z + δh1 (z, τ ) , τ ).  x Se considerarmos z =  , nas novas coordenadas, Z se escreve como y  x Z = . y + δV (τ ) f (x) (2.5) Assim, o sistema 2.1 se transforma no sistema   X = x = δY = δ (y + δV (τ ) f (x))  Y = y + δV (τ ) f (x) + δV (τ ) (Df (x) .x ) = δg (x, y + δV (τ ) f (x)) + δA (τ ) f (x) . (2.6) Usando a expansa˜o de Taylor para g, g (x, y + δV (τ ) f (x)) = g (x, y) + ∂yg (x, y) (δV (τ ) f (x)) + 1 2 ∂y2 g (x, y) [δV (τ ) f (x) , δV (τ ) f (x)] +O δ3 , 22

(24) e como V = A (τ ) − A e x = δy + δ2V (τ ) f (x), na segunda equa¸ca˜o de 2.6, temos que, apo´s a primeira mudan¸ca de coordenadas, o sistema 2.1 se transforma no sistema    x1 = δy1 + δ2V (τ ) f (x1)    y1 = δg (x1, y1) + δAf (x1) + δ2V (τ ) ∂yg (x1, y1) (f (x1)) − δ2V (τ ) Df (x1) y1      +1δ3V 2 2 (τ ) ∂y2g (x1, y1) [f (x1) , f (x1)] − δ3V 2 (τ ) Df (x1) f (x1) + O δ4 , (2.7) onde voltamos a usar x1, y1, z1 no lugar de x, y, z. Comparando a equa¸ca˜o de nossa primeira mudan¸ca z1 = δF (z1) + δ2F1 (z1, τ ) + O (δ3) com a equac¸˜ao (2.7), podemos reconhecer que:    F (z1) =  y1  e F1 (z1, τ ) =  V (τ ) f (x1) . g (x1, y1) + Af (x1) V (τ ) [∂yg (x1, y1) (f (x1)) − Df (x1) y1] Pelo lema 1.5, a mudan¸ca de varia´veis somente ´e v´alida se 0 < δ < ,1 sup |∂zh1| onde  ∂zh1 (z, τ ) =  0 0 . V (τ ) Df (x) 0 Para referˆencias futuras, denominaremos a desigualdade 0 < δ < 1 sup |∂zh1| de condi¸ca˜o 1. A m´edia de F1 (z, τ ), denotada por F1, ´e zero, pois a m´edia de V ´e zero. Para fazer a segunda mudan¸ca de coordenadas H2 (z2, τ ) = (z2 + δ2h2 (z2, τ ) , τ ) no sistema (2.7), momentaneamente renomeamos z2, x2 e y2 por z, x e y, e temos que z1 = z + δ2h2 (z, τ ) . (2.8) Pelo lema 1.3, existe τ0S real, tal que a equa¸ca˜o (1.7) fica  f (x) h2 (z, τ ) = S (τ )  , ∂yg (x, y) (f (x)) − Df (x) y (2.9) com S (τ ) = τ τ0S V (σ) − V dσ = Vτ τ0S (σ) dσ , pois V =0 e, al´em disso, S = 0. Mais detalhadamente, (2.8) ´e:   x1 = x + δ2S (τ ) f (x)  y1 = y + δ2S (τ ) [∂yg (x, y) (f (x)) − Df (x) y] . (2.10) 23

(25) Assim, por um lado, derivando (2.10): x1 = x + δ2V (τ ) f (x) + δ2S (τ ) Df (x) x y1 = y + δ2V (τ ) ∂yg (x, y) (f (x)) + δ2S (τ ) ∂xyg (x, y) [x , f (x)] +δ2S (τ ) ∂y2g (x, y) [y , f (x)] + δ2S (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) (x )) − δ2V (τ ) Df (x) y −δ2S (τ ) D2f (x) [x , y] − δ2S (τ ) Df (x) y . Por outro lado, com 2.7 e 2.10, temos: x1 = δ y + δ2S (τ ) [∂yg (x, y) (f (x)) − Df (x) y] + δ2V (τ ) f x + δ2S (τ ) f (x) = δy + δ3S (τ ) ∂yg (x, y) (f (x)) − δ3S (τ ) Df (x) y +δ2V (τ ) f (x) + Df (x) δ2S (τ ) f (x) + O δ3 y1 = δg x + δ2S (τ ) f (x) , y + δ2S (τ ) [∂yg (x, y) (f (x)) − Df (x) y] +δAf x + δ2S (τ ) f (x) + δ2V (τ ) ∂yg x + δ2S (τ ) f (x) , y + δ2S (τ ) [∂yg (x, y) (f (x)) − Df (x) y] f x + δ2S (τ ) f (x) −δ2V (τ ) Df x + δ2S (τ ) f (x) y + δ2S (τ ) [∂yg (x, y) (f (x)) − Df (x) y] + 1 2 δ3V 2 (τ ) ∂y2g x + δ2S (τ ) f (x) , y + δ2S (τ ) [∂yg (x, y) (f (x)) − Df (x) y] f x + δ2S (τ ) f (x) , f x + δ2S (τ ) f (x) −δ3V 2 (τ ) Df x + δ2S (τ ) f (x) f x + δ2S (τ ) f (x) + O δ4 = δg (x, y) + δgx (x, y) δ2S (τ ) f (x) +δ∂yg (x, y) δ2S (τ ) [∂yg (x, y) (f (x)) − Df (x) y] + O δ5 +δA f (x) + Df (x) δ2S (τ ) f (x) + O δ3 + δ2V (τ ) ∂yg (x, y) (f (x)) −δ2V (τ ) Df (x) (y) + 1δ3V 2 2 (τ ) ∂y2g (x, y) [f (x) , f (x)] − δ3V 2 (τ ) Df (x) f (x) + O δ4 . 24

(26) Juntando as igualdades correspondentes a x1 e y1, obtemos: x = δy − δ2S (τ ) Df (x) x + δ3S (τ ) ∂yg (x, y) (f (x)) − δ3S (τ ) Df (x) y +δ4V (τ ) S (τ ) Df (x) (f (x)) + O δ5 e y = δg (x, y) + δAf (x) − δ2S (τ ) ∂xyg (x, y) [x , f (x)] − δ2S (τ ) ∂y2g (x, y) [y , f (x)] −δ2S (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) (x )) + δ2S (τ ) D2f (x) [x , y] + δ2S (τ ) Df (x) y +δ3S (τ ) gx (x, y) (f (x)) + δ3S (τ ) ∂yg (x, y) ∂yg (x, y) (f (x)) −δ3S (τ ) ∂y g (x, y) (Df (x) y) + 1δ3V 2 2 (τ ) ∂y2g (x, y) [f (x) , f (x)] +δ3S (τ ) ADf (x) (f (x)) − δ3V 2 (τ ) Df (x) f (x) + O δ4 . Da express˜ao de x acima, I + δ2S (τ ) Df (x) x = δy + δ3S (τ ) ∂yg (x, y) (f (x)) − δ3S (τ ) Df (x) y +δ4V (τ ) S (τ ) Df (x) (f (x)) + O δ5 . Como [I + δ2S (τ ) Df (x)]−1 = I − δ2S (τ ) Df (x) + O (δ4), x = I − δ2S (τ ) Df (x) + O δ4 . δy + δ3S (τ ) ∂yg (x, y) (f (x)) − δ3S (τ ) Df (x) y + δ4V (τ ) S (τ ) Df (x) (f (x)) + O δ5 = δy − 2δ3S (τ ) Df (x) y + δ3S (τ ) ∂yg (x, y) (f (x)) + δ4V (τ ) S (τ ) Df (x) (f (x)) + O δ5 , de onde x = δy+O (δ3). Al´em disso, considerando o lema 1.7, temos x = O (δ), y = O (δ) e −δ2S (τ ) ∂xyg (x, y) [x , f (x)] = O δ3 −δ2S (τ ) ∂y2g (x, y) [y , f (x)] = O δ3 −δ2S (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) (x )) = O δ3 δ2S (τ ) D2f (x) [x , y] = O δ3 δ2S (τ ) Df (x) y = O δ3 . Portanto, y = δg (x, y) + δAf (x) + O δ3 . 25

(27) Agora podemos substituir adequadamente, na equa¸ca˜o de y , as aproxima¸co˜es de x e y , obtendo (e escrevendo o resultado na mudan¸ca correspondente) x2 = δy2 − 2δ3S (τ ) Df (x2) (y2) + δ3S (τ ) ∂yg (x2, y2) (f (x2)) +δ4V (τ ) S (τ ) Df (x2) (f (x2)) + O δ5 e y2 = δg (x2, y2) + δAf (x2) − δ3S (τ ) ∂xyg (x2, y2) [y2, f (x2)] −δ3S (τ ) ∂y2g (x2, y2) g (x2, y2) + Af (x2) , f (x2) −δ3S (τ ) ∂yg (x2, y2) (Df (x2) (y2)) + δ3S (τ ) D2f (x2) [y2, y2] +δ3S (τ ) Df (x2) g (x2, y2) + Af (x2) +δ3S (τ ) gx (x2, y2) (f (x2)) + δ3S (τ ) ∂yg (x2, y2) ∂yg (x2, y2) (f (x2)) −δ3S (τ ) ∂y g (x2, y2) (Df (x2) y2) + 1δ3V 2 2 (τ ) ∂y2g (x2, y2) [f (x2) , f (x2)] +δ3S (τ ) ADf (x2) (f (x2)) − δ3V 2 (τ ) Df (x2) f (x2) + O δ4 . Al´em da condi¸ca˜o 1, δ deve satisfazer a desigualdade 0 < δ < √ 1 , onde sup|∂z h2 |  Df (x) 0 ∂zh2 (z, τ ) = S (τ )  . ∂xyg (x, y) f (x) + ∂yg (x, y) Df (x) − D2f (x) y ∂y2g (x, y) f (x) − Df (x) Assim, tomamos 0 < δ < min{ 1 sup|∂z h1 | , √ 1 }. sup|∂z h2 | Fazemos a terceira mudanc¸a de coordenadas, usando o difeomorfismo H3 = (z3 + δ3h3 (z3, τ ) , τ ), para obter uma nova equa¸ca˜o equivalente. Momentaneamente escrevemos z, x e y no lugar de z3, x3 e y3 e, assim, z2 = z + δ3h3 (z, τ ) e, para achar h3, temos que  −2S (τ ) Df (x) (y) + S (τ ) ∂yg (x, y) (f (x))     −S (τ ) ∂xyg (x, y) [y, f (x)] − S (τ ) ∂y2g (x, y) g (x, y) + Af (x) , f (x)     F2 (z, τ ) =     −S (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) (y)) + S (τ ) D2f (x) [y, y] +S (τ ) Df (x) g (x, y) + Af (x) + S (τ ) ∂xg (x, y) (f (x))    ,      +S (τ ) ∂yg (x, y) ∂yg (x, y) (f (x)) − S (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) y)      + 1 2 V 2 (τ ) ∂y2g (x, y) [f (x) , f (x)] + S (τ ) ADf (x) (f (x))    −V 2 (τ ) Df (x) f (x)  0 F2 (z) =   1 2 V 2 ∂y2g (x, y) [f (x) , f (x)] − V 2 Df (x) f (x) 26

(28) e, ja´ que h3 (z, τ ) = τ 0 F2 (z, σ) − F2 (z) dσ − τ 0 F2 (z, σ) − F2 (z) dσ e aplicando nos ca´lculos o lema 1.3, pelo qual existem τ0S e τ0W tais que podemos definir ττ U (τ ) = S (σ) dσ e W (τ ) = V 2 (σ) − V 2 dσ τ0S τ0W onde U e W tˆem m´edia nula, temos que z2 = z + δ3h3 (z, τ ) ´e  −2U (τ ) Df (x) (y) + U (τ ) ∂yg (x, y) (f (x))     −U (τ ) ∂xyg (x, y) [y, f (x)] − U (τ ) ∂y2g (x, y) g (x, y) + Af (x) , f (x)       x2  = x+δ3    −U (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) (y)) + U (τ ) D2f (x) [y, y]     . y2 y   +U (τ ) Df (x) g (x, y) + Af (x) + U (τ ) gx (x, y) (f (x))      +U (τ ) ∂yg (x, y) ∂yg (x, y) (f (x)) − U (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) y)      + 1 2 W (τ ) ∂y2g (x, y) [f (x) , f (x)] + U (τ ) ADf (x) (f (x))    −W (τ ) Df (x) f (x) (2.11) Derivando a igualdade de x2: x2 = x − 2δ3S (τ ) Df (x) (y) + δ3S (τ ) ∂yg (x, y) (f (x)) − 2δ3U (τ ) D2f (x) [x , y] +δ3U (τ ) ∂xyg (x, y) [x , f (x)] + δ3U (τ ) ∂y2g (x, y) [y , f (x)] −2δ3U (τ ) Df (x) (y ) + δ3U (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) x ) . Derivando a igualdade de y2: y2 = y − δ3S (τ ) ∂xyg (x, y) [y, f (x)] − δ3S (τ ) ∂y2g (x, y) g (x, y) + Af (x) , f (x) −δ3S (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) (y)) + δ3S (τ ) D2f (x) [y, y] +δ3S (τ ) Df (x) g (x, y) + Af (x) + δ3S (τ ) gx (x, y) (f (x)) +δ3S (τ ) ∂yg (x, y) ∂yg (x, y) (f (x)) − δ3S (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) y) +1δ3 2 V2−V2 (τ ) ∂y2g (x, y) [f (x) , f (x)] + δ3S (τ ) ADf (x) (f (x)) −δ3 V 2 − V 2 (τ ) Df (x) f (x) + O δ4 . A expressa˜o O (δ4) ´e consequˆencia de y = O (δ) e, portanto, as expresso˜es com x ou y sa˜o da ordem δ4. Paralelamente `a mudan¸ca, temos x2 = x + O (δ3) e y2 = y + O (δ3). Ent˜ao, a expansa˜o 27

(29) de Taylor na equa¸ca˜o de y2, na mudan¸ca anterior, se expressa nas novas varia´veis como y2 = δg (x, y) + δAf (x) − δ3S (τ ) ∂xyg (x, y) [y, f (x)] −δ3S (τ ) ∂y2g (x, y) g (x, y) + Af (x) , f (x) −δ3S (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) (y)) + δ3S (τ ) D2f (x) [y, y] +δ3S (τ ) Df (x) g (x, y) + Af (x) +δ3S (τ ) gx (x, y) (f (x)) + δ3S (τ ) ∂yg (x, y) ∂yg (x, y) (f (x)) −δ3S (τ ) ∂y g (x, y) (Df (x) y) + 1δ3V 2 2 (τ ) ∂y2g (x, y) [f (x) , f (x)] +δ3S (τ ) ADf (x) (f (x)) − δ3V 2 (τ ) Df (x) f (x) + O δ4 e a equac¸˜ao de x2 fica (deixando um y2 sem substituir): x2 = δy2 − 2δ3S (τ ) Df (x) (y) + δ3S (τ ) ∂yg (x, y) (f (x)) +δ4V (τ ) S (τ ) Df (x) (f (x)) + O δ5 . Igualando as equac¸˜oes de y2, temos que: y = δg (x, y) + δAf (x) + 1δ3V 2 2∂y2g (x, y) [f (x) , f (x)] − δ3V 2Df (x) f (x) + O δ4 e para x2, obtemos: x = δ (y2) + 2δ3U (τ ) D2f (x) [x , y] − δ3U (τ ) ∂xyg (x, y) [x , f (x)] −δ3U (τ ) ∂y2g (x, y) [y , f (x)] + 2δ3U (τ ) Df (x) (y ) − δ3U (τ ) ∂yg (x, y) (Df (x) x ) +δ4V (τ ) S (τ ) Df (x) (f (x)) + O δ5 . A f´ormula de x ´e muito longa, mas s´o precisamos usar que x = δy + O (δ3) e que y = δg (x, y) + δAf (x) + O (δ3): x = δ (y2) + 2δ3U (τ ) D2f (x) δ (y) + O δ3 , y − δ3U (τ ) ∂xyg (x, y) δ (y) + O δ3 , f (x) −δ3U (τ ) ∂y2g (x, y) δg (x, y) + δAf (x) + O δ3 , f (x) +2δ3U (τ ) Df (x) δg (x, y) + δAf (x) + O δ3 −δ3U (τ ) ∂yg (x, y) Df (x) δ (y) + O δ3 + δ4V (τ ) S (τ ) Df (x) (f (x)) + O δ5 . Se substituirmos y2 pela sua express˜ao (ver equa¸ca˜o 2.11), considerando que x3 ≡ x e y3 ≡ y, temos que x3 = δy3 + Θ (x3, y3, τ, δ) + O δ5 y3 = δg (x3, y3) + δAf (x3) + 1δ3V 2 2 (τ ) ∂y2g (x3, y3) [f (x3) , f (x3)] −δ3V 2 (τ ) Df (x3) f (x3) + O δ4 , 28

(30) onde Θ (x3, y3, τ, δ) ´e tal que Θ (x3, y3, τ, δ) = 0 , pois S = 0 e U = 0, W = 0 e V S = 0, ja´ que VS = τ0+1 (V S) (σ) dσ = τ0+1 S (σ) S (σ) dσ = τ0+1 dS2 (σ) dσ = S2 (τ0 + 1) − S2 (τ0) = 0. τ0 τ0 τ0 2dσ 2 Portanto, com a mudan¸ca H4, obtemos finalmente x4 = δ (y4) + O δ5 y4 = δg (x4, y4) + δAf (x4) + 1δ3V 2 2 (τ ) ∂y2g (x4, y4) [f (x4) , f (x4)] −δ3V 2 (τ ) Df (x4) f (x4) + O δ4 . Lembramos que devemos considerar a restric¸˜ao para δ mencionada na se¸ca˜o 1.4 e tomar o menor valor das condi¸co˜es para δ em cada mudan¸ca. 2.2 Superf´ıcies vibrando com o tempo Sejam ϕ : R3 → R uma fun¸ca˜o limitada, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas, com ∇ϕ = 0 e s : R → R uma fun¸c˜ao C2, limitada, perio´dica de per´ıodo ε, de m´edia nula, tal que s (0) = 0, cuja imagem est´a contida no conjunto de valores regulares de ϕ. Enta˜o, para cada t ∈ R, a equac¸˜ao ϕ (x) = s (t) define uma superf´ıcie. Queremos descrever o movimento de uma massa pontual em uma superf´ıcie que esta´ vibrando periodicamente com o tempo, com a condi¸ca˜o de que na˜o existe atrito e na˜o at- uam for¸cas externas al´em da deforma¸ca˜o da superf´ıcie em cada instante t, isto ´e, a u´nica for¸ca que atua na massa esta´ na dire¸ca˜o da normal `a superf´ıcie. Assim, se X (t) ∈ R3 ´e a posi¸ca˜o da massa, temos que X¨ = λ∇X ϕ Como a massa esta´ sempre na superf´ıcie, temos que ϕ (X) = s (t) e, portanto, s˙ (t) = Dϕ (X) .X˙ = ∇ ϕ, X˙ e Hess ϕ X˙ , X˙ + ∇ ϕ, X¨ = s¨(t) , (2.12) XX X onde HessX ϕ ´e a matriz hessiana da fun¸ca˜o ϕ em rela¸ca˜o a` varia´vel X. Logo HessX ϕ X˙ , X˙ − s¨ (t) λ=− |∇ X ϕ|2 . 29

(31) Obtemos assim a equa¸ca˜o de movimento X¨ = − HessX ϕ X˙ , X˙ ∇ X ϕ |∇ X ϕ|2 + s¨ (t) ∇ X ϕ |∇ X ϕ|2 . Observamos que se s (t) = s0 ´e constante, a equa¸ca˜o acima se reduz a X¨ = − HessX ϕ X˙ , X˙ ∇ X ϕ |∇ X ϕ|2 que ´e a equa¸c˜ao de uma geod´esica na superf´ıcie ϕ (X) = s0. (2.13) Para w ∈ R3, denotamos w⊥ = w − pro j ∇x ϕ w. Teorema 2.2. Seja s1 : R → R uma func¸˜ao C2, peri´odica de per´ıodo 1, de m´edia nula, tal que s (t) = εs1 t ε e seja X a trajeto´ria da massa pontual. Existe uma transforma¸c˜ao que decompo˜e o movimento da massa em X = x + ∆, onde ∆ = O ε1/2 e x satisfaz x¨ = − Hessxϕ (x˙ ) , x˙ ∇x ϕ |∇x ϕ|2 − v2 onde v = s˙(t) |∇x ϕ| . Hessx ϕ ∇x ϕ |∇x ϕ|2 ⊥ + O ε1/2 , (2.14) Demonstra¸c˜ao. Para facilitar os c´alculos, faremos uma mudan¸ca de escala no tempo, τ = t ε , X˙ = X e X¨ = d X ε dt ε 1 dX dτ X =. ε dτ . dt = ε2 , onde X indica derivada com respeito a τ . A equa¸c˜ao (2.13) se escreve como (2.15) X = − HessX ϕ (X ) , X ∇ X ϕ |∇ X ϕ|2 + εs1 (τ ) ∇ X ϕ |∇ X ϕ|2 . Definindo X = ε1/2Y , obtemos o sistema    X = ε1/2 Y    Y = ε1/2  − HessX ϕ (Y ) , Y ∇ X ϕ |∇ X ϕ|2 + s1 (τ ) ∇ X ϕ |∇ X ϕ|2 . (2.16) Observamos que, tomando-se δ = ε1/2, g (X, Y ) = − HessX ϕ (Y ) , Y ∇X ϕ |∇X ϕ|2 , A (τ ) = s1 (τ ), f (X ) = ∇X ϕ |∇X ϕ|2 , o sistema 2.16 satisfaz as hipo´teses do teorema 2.1. Como 1 2 ∂y2g (x, y) . [f (x) , f (x)] = − Hessx ϕ ∇x ϕ |∇x ϕ|2 , ∇x ϕ |∇x ϕ|2 ∇x ϕ |∇x ϕ|2 , A = 0, pois s1 (τ ) = εs¨(t) = 0 e, como V 2 = (s1 (τ ))2 = (s˙ (t))2, 30

(32) obtemos o sistema equivalente x = ε1/2y + O ε5/2 y = −ε1/2 Hessxϕ (y) , y ∇x ϕ |∇x ϕ|2 −ε3/2 s |∇x 2 ϕ|2 Hessx ϕ ∇x ϕ |∇x ϕ|2 , ∇x ϕ |∇x ϕ|2 ∇x ϕ −ε3/2 s |∇x 2 ϕ|2 D ∇x ϕ |∇x ϕ|2 (∇xϕ) + O ε2 , de onde y = ε−1/2x + O (ε2), x = ε1/2y + O ε5/2 , e x = −ε Hessxϕ ε−1/2x + O ε2 , ε−1/2x + O ε2 −ε2 s |∇x 2 ϕ|2 Hessx ϕ ∇x ϕ |∇x ϕ|2 , ∇x ϕ |∇x ϕ|2 ∇x ϕ −ε2 s |∇x 2 ϕ|2 D ∇x ϕ |∇x ϕ|2 (∇xϕ) + O ε5/2 . Usando (2.15) para restabelecer a escala de tempo original, temos ∇x ϕ |∇x ϕ|2 x¨ = − Hessxϕ (x˙ ) , x˙ ∇x ϕ |∇x ϕ|2 −v2 Hessx ϕ ∇x ϕ |∇x ϕ|2 , ∇x ϕ |∇x ϕ|2 ∇xϕ + D ∇x ϕ |∇x ϕ|2 (2.17) (∇xϕ) + O ε1/2 . Por outro lado, D |∇xϕ|2 (u) = D ( ∇xϕ, ∇xϕ ) (u) = 2 Hessxϕ (u) , ∇xϕ , D ∇x ϕ |∇x ϕ|2 (u) = |∇xϕ|2 Hessxϕ (u) − D |∇xϕ|2 (u) ∇xϕ |∇x ϕ|4 e D ∇x ϕ |∇x ϕ|2 (∇xϕ) = Hessxϕ (∇xϕ) |∇x ϕ|2 − 2 Hessxϕ (∇xϕ) , ∇xϕ |∇x ϕ|4 ∇xϕ . Portanto, (2.17) se transforma em x¨ = − Hessxϕ (x˙ ) , (x˙ ) ∇x ϕ |∇x ϕ|2 −v2 Hessxϕ (∇xϕ) |∇x ϕ|2 − Hessxϕ (∇xϕ) , ∇xϕ ∇xϕ |∇x ϕ|4 + O ε1/2 . (2.18) 31

(33) Definic¸˜ao 2.1. Seja r (t) uma curva regular em R3. Diremos que r (t) ´e uma curva normal `a fam´ılia de superf´ıcies St = {x ∈ R3, ϕ (x) = s (t)}, se ϕ (r (t)) = s (t) e dr dt ´e paralelo ao ∇ ϕ, r(t) para todo t em R. Lema 2.1. Sejam x solu¸ca˜o de (2.14), t0 tal que s˙ (t0) = 0 e x0 = x (t0), ent˜ao Hessx0 ϕ ∇x0 ϕ ∇x0 ϕ 2 ⊥ = kN, onde k e N s˜ao, respectivamente, a curvatura e o vetor normal unit´ario a` curva normal em x0. ( N ´e tangente `a superf´ıcie) Demonstra¸c˜ao. Se parametrizarmos a curva normal pelo comprimento de arco σ, ou seja, d dσ r = ,∇r ϕ |∇r ϕ| enta˜o, por defini¸ca˜o, d2r d kN = = dσ2 dσ ∇r ϕ |∇r ϕ| 1 = |∇r ϕ|2 dd dσ (∇r ϕ) |∇r ϕ| − ∇r ϕ dσ (|∇r ϕ|) . Como d|∇ϕ| dσ = d dσ ∇r ϕ, ∇r ϕ 1/2 = ( )Hessr ϕ dr dσ ,∇r ϕ |∇r ϕ| = Hessr ϕ(∇r ϕ),∇r ϕ |∇r ϕ|2 , ent˜ao kN = Hessr ϕ (∇r ϕ) |∇r ϕ|2 − Hessr ϕ (∇r ϕ) , ∇r ϕ |∇r ϕ|4 ∇r ϕ . Portanto, quando s˙ (t) = 0, podemos escrever a equa¸ca˜o (2.14) como x¨ = − Hessxϕ (x˙ ) , x˙ ∇x ϕ |∇x ϕ|2 − kv2N + O ε1/2 , (2.19) ou seja, nas novas coordenadas, fica em evidˆencia que a acelera¸ca˜o instantaˆnea da massa pontual ´e resultado de uma acelera¸ca˜o produzida pela geometria da superf´ıcie por onde ela esta´ passando (acelera¸ca˜o geod´esica) e de uma acelera¸ca˜o tangente `a superf´ıcie igual a −kv2N , a menos de um erro da ordem ε1/2. 32

(34) Referˆencias Bibliogr´aficas [1] Jorge Sotomayor. Lic¸˜oes de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 1979. [2] Elon Lages Lima. Curso de An´alise, Volume 2. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 1981. [3] Elon Lages Lima. An´alise no Espa¸co Rn. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 2004. [4] Manfredo Perdiga˜o do Carmo. Geometria Diferencial de Curvas e Superf´ıcies. IMPA, Rio de Janeiro, [5] Mark Levi and Qiran Ren. Geodesics on vibrating surfaces and curvature of the normal family. The Pennsylvania State University, University Park, USA, 2005. [6] Mark Levi. Geometry and physics of averaging with applications. Department of Mathematics, Penn State University, University Park, USA, 1999. [7] N. N. Bogoliubov, Y. A. Mitropolsky. Asymptotic methods in the theory of non-linear oscillations. Hindustan Publishing corpn. India, 1961 33

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