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(1)

Invariantes por Subgrupos a 1-Parˆ

ametro de Isometrias

Gil F. de Souza

1

Susana C. Fornari

2

1

Aluno de p´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica UFMG, e-mail: gil@mat.ufmg.br

2

(2)

Sum´

ario

1 Isometrias e Grupos a um parˆametro 4

1.1 Um pouco sobre transforma¸c˜oes lineares ortogonais. . . 4

1.2 Isometrias . . . 5

1.3 O Grupo de Isometrias deR3. . . 6

2 Curvas e Superf´ıcies 11 2.1 Curvas . . . 11

2.2 Superf´ıcies . . . 12

2.3 Superf´ıcies e Isometrias . . . 14

2.4 A Imagem da a¸c˜ao dos grupos Gα,β em pontos deR3. . . 15

3 Superf´ıcies Translacionais 17 4 Superf´ıcies Rotacionais 19 4.1 As Roulettes das cˆonicas. . . 19

4.1.1 A Roulette da Par´abola. . . 20

4.1.2 Roulettes em rela¸c˜ao a uma reta . . . 23

4.1.3 A Ondul´oide . . . 25

4.1.4 A Nod´aria . . . 28

4.2 As Curvaturas M´edias do Caten´oide, Ondul´oide e Nod´oide. . . 30

4.3 Superf´ıcies Rotacionais de Curvatura M´edia Constante. . . 31

5 Superf´ıcies Helicoidais 34 5.1 Parametriza¸c˜ao Natural e o Lema de Bour. . . 34

(3)

Agradecimentos

Agrade¸co `a minha orientadora Susana pela paciˆencia e tempo empreendido n˜ao somente no desenvolvimento deste trabalho como, tamb´em, durante a minha Inicia¸c˜ao cient´ıfica sempre me apresentando belos temas. Agrade¸co aos professores do Dmat-Icex e amigos dos demais cursos. Em especial `a Sˆonia pelas dicas valiosas que tanto me ajudaram na corre¸c˜ao deste trabalho e o enriqueceram. Agrade¸co ao professor Alberto Sarmiento pelas sugest˜oes e cr´ıticas, ao Michel pelas belas figuras em Cabri e ao meu amigo Agnaldo pela confec¸c˜ao da figura 5.1.

(4)

SUM ´ARIO 3

Introdu¸

ao

Neste trabalho estudamos as superf´ıcies em R3 de curvatura m´edia constante invariantes por subgrupos a 1-parˆametro de isometrias.

No cap´ıtulo 1, revisamos alguns conceitos de ´Algebra Linear e Teoria de Grupos. Identificamos ainda o grupo ISO(R3) das isometrias de R3 com o subgrupoG(4) de matrizes 4×4 da forma:

G(4) =

T a

0 1

, T ∈O(3), a∈M3×1(R),0∈M1×3(R)

e mostramos que subgrupos a 1-parˆametro deG(4) s˜ao, a menos de conjuga¸c˜ao, da forma

Gα,β =

  

  

 

cos(αt) sen(αt) 0 0

−sen(αt) cos(αt) 0 0

0 0 1 βt

0 0 0 1

 ;t∈R

  

  ,

sendoαeβ n´umeros reais.

No cap´ıtulo 2, revisamos alguns conceitos da Geometria das curvas e superf´ıcies. Al´em de estudarmos a a¸c˜ao dos gruposGα,β sob pontos deR3. Grande parte dos cap´ıtulos 1 e 2 foi baseada em [8].

Seα= 0, o grupoG0,β cont´em as transla¸c˜oes e ´e denominadogrupo de transla¸c˜ao; no caso em que β = 0,Gα,0

cont´em as rota¸c˜oes e ´e ditogrupo de rota¸c˜ao; seαeβ s˜ao ambos n˜ao nulos, Gα,β ´e chamadogrupo de movimentos

helicoidais. Uma superf´ıcieS tal queg(S) =Spara todog∈Gα,β´e ditaGα,β-invariante. As superf´ıcies invariantes

pelos gruposG0,β, Gα,0eGα,β s˜ao chamadas superf´ıcies translacionais, rotacionais e helicoidais, respectivamente.

No cap´ıtulo 3, estudamos as superf´ıcies translacionais, concluindo que as ´unicas superf´ıcies translacionais de curvatura m´edia constante s˜ao o cilindro circular e o plano.

No cap´ıtulo 4, estudamos as superf´ıcies rotacionais e mostramos um resultado devido a Ch, Delaunay: “Su-perf´ıcies rotacionais de curvatura m´edia constante s˜ao obtidas pela rota¸c˜ao das roulettes das cˆonicas.” Sendo roulette a trajet´oria descrita por um dos focos de uma cˆonica enquanto ela (a cˆonica) rola sobre uma reta sem deslizar. O conte´udo deste cap´ıtulo foi baseado no artigo [5] de J. Eells.

Seja:

ΣH={superf´ıcies helicoidais emR3 de curvatura m´ediaH =cte6= 0}

e S1 o c´ırculo unit´ario parametrizado por (cosθ,senθ) (θ [0,2π)). No cap´ıtulo 5, mostramos que existe uma

aplica¸c˜ao diferenci´avel, 2π-peri´odica e sobrejetiva

φ(θ, B0) : S1×[0,∞)→ΣH,

tal queφ(0,[0,∞)) s˜ao as superf´ıcies rotacionais em ΣH. Para a superf´ıcie rotacional S(B0) =φ(0, B0) (B0 fixo),

φ(θ, B0) (θ∈[0,2π)) ´e uma fam´ılia de superf´ıcies helicoidais associada a S(B0) (no sentido de que cada superf´ıcie

dessa fam´ılia ´e isom´etrica aS(B0)). O conte´udo deste cap´ıtulo foi baseado no trabalho de Manfredo P. do Carmo e

(5)

Isometrias e Grupos a um parˆ

ametro

Para dar in´ıcio ao estudo dassuperf´ıcies invariantes por subgrupos a 1-parˆametro de isometriasR3, faremos uma breve exposi¸c˜ao sobre isometrias, grupos de isometrias e subgrupos a um parˆametro de isometrias.

1.1

Um pouco sobre transforma¸

oes lineares ortogonais.

Defini¸c˜ao 1.1 Uma transforma¸c˜ao ortogonal, ´e uma transforma¸c˜ao linearC:R3→R3 tal que

hCv, Cwi=hv, wi,

para todo par de vetoresv e w∈R3.

Defini¸c˜ao 1.2 Para cada transforma¸c˜ao linearT :R3→R3, a adjunta de T ´e a transforma¸c˜ao T∗ :R3 R3 tal

que

hT u, vi=hu, T∗vi,

para todo paru, v∈R3.

Segue naturalmente de [7] que seC´e uma transforma¸c˜ao ortogonal, ent˜ao:

(a)CC∗=CC=I, ondeI ´e a identidade deR3.

(b)C∗´e uma transforma¸c˜ao ortogonal.

(c) detC=±1.

(d)C preserva a norma euclideana.

Defini¸c˜ao 1.3 O(3) ={C:R3→R3; CC∗=I}´e o conjunto das transforma¸c˜oes ortogonais deR3.

Proposi¸c˜ao 1.1 O conjuntoO(3), em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes (ou composi¸c˜ao de fun¸c˜oes), ´e um grupo.

Demonstra¸c˜ao:

(1) Vejamos queO(3) ´e fechado em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao. SejamC eC′O(3), ent˜ao

hCC′u, CC′vi=hC′u, C′vi=hu, vi. LogoCC′ O(3).

(2) Sabemos que a opera¸c˜ao ´e associativa.

(3) O elemento neutro ´e dado pela identidadeIdeR3.

(6)

CAP´ITULO 1. ISOMETRIAS E GRUPOS A UM PAR ˆAMETRO 5

(4) Pela defini¸c˜ao deO(3), o inverso deC∈O(3) ´eC∗ logoO(3) ´e um grupo.

Defini¸c˜ao 1.4 Um subespa¸co V ⊂R3 ´e dito invariante por uma transforma¸c˜ao linearT :R3→R3 se T(V) =V.

Proposi¸c˜ao 1.2 Sejam C ∈O(3) e V um subespa¸co invariante por C. Ent˜ao o complemento ortogonal, V⊥, de V

´e invariante por C.

Demonstra¸c˜ao:

C´e bijetora, pois detC=±16= 0. Sejam x∈V ey∈V⊥. ComoV ´e invariante porC,Cx∈V e logo

hCx, yi= 0. ComoC´e bijetora, existe y′ R3tal que y=Cy. Portanto

0 =hCx, yi=hCx, Cy′i=hx, yi

e logoy′V, ou seja,V´e invariante porC.

Proposi¸c˜ao 1.3 DadaC∈O(3), existe uma base ortonormal em que a representa¸c˜ao de C ´e

Cα=

cosα −senα 0 senα cosα 0

0 0 ±1

, α∈R.

Demonstra¸c˜ao:

O polinˆomio caracter´ıstico deC p(λ) =det(C−λI) ´e um polinˆomio de coeficientes reais e grau trˆes. Portanto p(λ) possui pelo menos uma raiz realλ0. Ent˜aoCv=λ0v. Desde queC´e transforma¸c˜ao ortogonal o valor deλ0´e 1

ou -1, poiskCvk=kvk=|λ0| kvk. Suponhamos queC possua apenas um autovalor real e que esse autovalor ´e 1.

Consideremos a base ortonormal{v1, v2, v3}tal quev3´e autovetor associado aλ0 = 1 e os vetoresv1 ev2 formam

uma base (ortonormal) de{v: Cv=v}⊥. ComoC ´e transforma¸c˜ao ortogonal ev

1⊥v2, resultaCv1⊥Cv2. Al´em

disso,Cv1 eCv2 s˜ao unit´arios e ,por hip´otese,{v: Cv=v}⊥ n˜ao possui nenhum subespa¸co de dimens˜ao 1 deixado

invariante por C. Portanto existeα∈Rtal que Cv1= cosαv1−senαv2 eCv2 = senαv1+ cosαv2 . Assim na base

{v1, v2, v3} a representa¸c˜ao deC´eCα.

No caso em que todas as ra´ızes dep(λ) s˜ao reais,R3pode ser escrito comoR3={v: Cv=v} ⊕ {v: Cv=−v}. Nesse ´ultimo caso, com a escolha de uma base ortonormal para esses dois subespa¸cos, a representa¸c˜ao matricial de C´eCα, comα= 0 ouα=π, o que conclui a proposi¸c˜ao.

1.2

Isometrias

Defini¸c˜ao 1.5 Uma fun¸c˜ao g : R3 →R3 tal que k g(u)−g(v) k=ku−v k para todo paru, v em R3 ´e dita uma isometria.

Exemplo 1.1 Um exemplo trivial de isometria ´e a transla¸c˜ao por um vetora∈R3,Ta(v) =a+v , pois

kTa(u)−Ta(v)k = ka+u−(a+v)k

= ku−vk.

Exemplo 1.2 Um outro exemplo de isometria ´e uma transforma¸c˜ao linear ortogonalC∈O(3), pois

kCv−Cwk2 = hCv, Cvi+hCw, Cwi −2hCv, Cwi

= hv, vi+hw, wi −2hv, wi

(7)

Exemplo 1.3 Uma fun¸c˜ao definida porg(v) =a+Cv,a∈R3eC∈O(3)´e uma isometria pelos exemplos anteriores. Na pr´oxima proposi¸c˜ao mostraremos que toda isometriag´e da formag(v) =a+Cv,a∈R3eC∈O(3). Proposi¸c˜ao 1.4 Seja g:R3→R3 uma isometria. Ent˜ao existema∈R3 eC∈O(3) tais que

g(v) =a+Cv,

para todov∈R3.

Demonstra¸c˜ao:

Come¸camos definindoa=g(0) eC(v) =g(v)−a. Mostraremos: (a)C preserva a norma,

(b)C preserva o produto interno,

(c)C ´e linear.

Prova de (a). kC(v)k=kg(v)−ak=kg(v)−g(0)k=kv−0k=kvk. LogoC preserva a norma. Prova de (b).

hC(v), C(w)i = kC(v)−C(w)k2− kC(v)k2− kC(w)k2

= kg(v)−g(w)k2− kC(v)k2− kC(w)k2

= kv−wk2− kvk2− kwk2

= hv, wi. PortantoC preserva o produto interno.

Prova de (c). Da defini¸c˜ao deC temosC(0) = 0. Al´em disso, dos itens (a) e (b) obtemos

kC(v+w)−C(v)−C(w)k2 = hC(v+w)C(v)C(w), C(v+w)C(v)C(w)i

= kC(v+w)k2+kC(v) +C(w)k22hC(v+w), C(v)i

−2hC(v+w), C(w)i

= kC(v+w)k2+kC(v)k2+kC(w)k2+2hC(v), C(w)i

−2hC(v+w), C(v)i −2hC(v+w), C(w)i

= kv+wk2+kvk2+kwk2+2hv, wi

−2hv+w, vi −2hv+w, wi

= kv+wk2+kv+wk22hv+w, v+wi

= 0.

Logo,C(v+w) =C(v) +C(w) para todo parv, w∈R3. Juntando ao fato de queC(0) = 0, obtemos queC´e linear. Como C ´e linear e preserva produto interno, resulta que C ´e uma transforma¸c˜ao ortogonal. O que conclui a proposi¸c˜ao.

1.3

O Grupo de Isometrias de

R

3

.

Proposi¸c˜ao 1.5 ISO(R3)={isometrias deR3} ´e um grupo com a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes.

Demonstra¸c˜ao:

Se g, hek ∈ ISO(R3), pela Proposi¸c˜ao 1.4 existem a, b, c ∈ R3 e T, S, R ∈ O(3) tais que, g(u) =a+T u, h(u) =b+Suek(u) =c+Ru. Temos ent˜ao que

(8)

CAP´ITULO 1. ISOMETRIAS E GRUPOS A UM PAR ˆAMETRO 7

• g(hk) = (gh)k, pois

g(hk)(u) =g((b+Sc) +SRu) = (a+T(b+Sc)) +T SRu= (a+T b+T Sc) +T SRu

e

(gh)k(u) = (a+T b) +T S(c+Ru) = (a+T b+T Sc) +T SRu;

• o elemento neutro deISO(R3) ´ee(u) =u,∀u∈R3;

• o inverso de g´e g−1(u) =T−1a+T−1u, poisgg−1(u) =a+T(T−1a+T−1u) =ueg−1g(u) =T−1a+

T−1(a+T u) =u.

PortantoISO(R3) ´e um grupo.

Defini¸c˜ao 1.6 Definimos por G(4), o subgrupo de matrizes 4×4 com a forma

G(4) =

T a

0 1

, T ∈O(3), a∈M3×1(R), 0 = (0,0,0)∈M1×3(R)

. (1.1)

Proposi¸c˜ao 1.6 ISO(R3)´e isomorfo aG(4).

Demonstra¸c˜ao:

Recordemos que dois gruposG1 eG2, s˜ao isomorfos quando existe uma fun¸c˜ao bijetora ψ : G1 → G2 tal que

ψ(g.g′) =ψ(g)(g), para todog egG

1. Seja

φ: ISO(R3) −→ G(4)

g(u) =a+T u 7→

T a

0 1

.

Parag(u) =a+T u, h(u) =b+Sutemosg.h= (a+T b) +T Su eφ(g) =

T a

0 1

eφ(h) =

S b

0 1

. Ent˜ao

φ(g).φ(h) = T a 0 1 . S b 0 1 =

T S T b+a

0 1

=φ(gh).

Agora devemos mostrar queφ´e um isomorfismo, i.e, uma aplica¸c˜ao bijetora. Oraφ´e injetora, pois seφ(g) =φ(h) ent˜aoT =S ea=b, portantog=h. Para mostrar a sobrejetividade, seja

T a

0 1

∈G(4),

ent˜ao

T a

0 1

=φ(g),

comg(u) =a+T u.

Defini¸c˜ao 1.7 Dizemos que um subgrupo H de G ´e subgrupo a 1-parˆametro se existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetoraψ: (R,+)→Gtal queψ(r+s) =ψ(r).ψ(s)para todo r e s ∈R.

Lema 1.0.1 SejamH ⊂G(4) um subgrupo a 1-parˆametro eh∈H. Ent˜ao deth= 1. Demonstra¸c˜ao:

Com efeito, sejah=

C a

0 1

∈G(4). O determinante deh´e dado por deth= detC=±1. ComoH ´e subgrupo a 1-parˆametro, existe um homomorfismo sobrejetivoψ : (R,+) →H tal que ψ(1) = h. Mas ψ(1) = ψ(1

2).ψ( 1 2) =

ψ(12)2. Assim

deth= detψ(1) = det ψ 1 2 2 = detψ 1 2 2

>0.

(9)

Defini¸c˜ao 1.8 g1 e g2∈Gs˜ao conjugados, se existeg∈Gtal queg2=gg1g−1, analogamente dois subgruposH1 e

H2 deGs˜ao conjugados, se existeg∈Gtal queH2=gH1g−1.

Exemplo 1.4 SeC∈O(3), da Proposi¸c˜ao 1.3, existe uma base ortonormalB={u1, u2, u3}tal que a representa¸c˜ao

deC ´eCα. Denotemos por Aa matriz de passagem da base ortonormal fixa para a base B. Ent˜ao Cα =A−1CA.

AssimC eCα s˜ao conjugadas.

Lema 1.0.2 Seja H ⊂G(4) um subgrupo a 1-parˆametro Ent˜ao todo

h= C a 0 1 ∈H

´e conjugado, por elemento deG(4), a uma matriz da forma

φα,β =

 

cosα senα 0 0

−senα cosα 0 0

0 0 1 β

0 0 0 1

  =    

C

α 0 0 β

0 0 0 1

  

ondeα, β∈R.

Demonstra¸c˜ao:

Sejah=

C a

0 1

∈H e suponhamos que exista g=

S b

0 1

∈G(4) tal queh=gφα,βg−1, i.e,hg=gφα,β, ou

seja C a 0 1 S b 0 1 = S b 0 1    

C

α 00 β

0 0 0 1

 

. (1.2)

O que faremos ´e determinarS, beβ satisfazendo a equa¸c˜ao (1.2). Por igualdade de matrizes em (1.2), obtemos

CS=SCα, (1.3)

Cb+a=S(0,0, β) +b. (1.4)

De (1.3) vemos que,S´e a matriz de passagem da base canˆonica para a base formada por vetores ortonormais tal que a matriz deC tem a representa¸c˜aoCα. Portanto S∈O(3). ConsideremosS = [v1v2 v3], sendov1,v2 ev3 vetores

coluna deS. Al´em disto, de (1.3) temos que v3´e base do subespa¸co de dimens˜ao 1 invariante porC. Temos ent˜ao

que

(C−I)b=βv3−a,

Assim, perguntamos: Para qualβ o vetorβv3−a∈Im(C−I)? Respondendo a esta pergunta encontraremosbeβ

e, finalmente, determinaremosg.

Pelo Lema 1.0.1, deth= 1, poish´e um elemento de um subgrupo a 1-parˆametro. Logo o n´umero de subespa¸cos de dimens˜ao 1 da forma{v: Cv=v} deixados invariantes porC ´e 1 ou 3. Al´em disso, o n´umero de subespa¸cos de dimens˜ao 1 da forma{v: Cv=−v} ´e 0 ou 2, pois sen˜ao ter´ıamos detC=−1. Assim dividimos a pergunta acima em dois casos:

1o Caso) dimIm(C I) = 2: Nesse caso dimN uc(C I) = 1 e v

3 ´e base de N uc(C−I), pois v3 ´e base de

{v: Cv=v}=N uc(C−I). Comov1,v2 ev3 formam uma base ortonormal deR3 temos que

Cv1= (cosα)v1+ (senα)v2

e

(10)

CAP´ITULO 1. ISOMETRIAS E GRUPOS A UM PAR ˆAMETRO 9

para algumα∈R. Temos ent˜ao que

(C−I)v1= (cosα−1)v1+ (senα)v2

e

(C−I)v2=−(senα)v1+ (cosα−1)v2.

Logoh(C−I)v1,(C−I)v2i= (cosα−1)senα−senα(cosα−1) = 0 e{(C−I)v1,(C−I)v2}´e um conjunto linearmente

independente que geraIm(C−I), ou seja, {(C−I)v1,(C−I)v2}´e base para Im(C−I). Desde que (C−I)v1 e

(C−I)v2 s˜ao escritos como combina¸c˜ao linear dev1ev2, ent˜ao podemos tomar{v1, v2} base paraIm(C−I). Al´em

dissoR3=Im(C−I)⊕N uc(C−I). Ent˜ao todo vetor dev∈R3 pode ser escrito na forma v= ˜v+ ˜βv3, com ˜v∈Im(C−I),v3∈N uc(C−I) e ˜β ∈R.

Assim, escrevemos

a=ha, v1iv1+ha, v2iv2

| {z }

∈Im(C−I)

+ ha, v3iv3

| {z }

∈N uc(C−I)

.

Tomamosβ =ha, v3ie escolhemos b na imagem inversa do vetorha, v1iv1+ha, v2iv2 por (C−I). O que conclui a

primeira parte.

2o Caso) dimIm(CI) = 0: Escolhemos uma nova base ortonormal de R3 tal que a matriz de passagem para

esta base seja dada porS = [v1 v2 v3], com o vetor v3 que forma a terceira coluna de S sendov3 = kaak (a6= 0),

β=kak eb= 0, o que conclui o Lema.

Teorema 1.1 Todo subgrupo a 1-parˆametro deG(4)´e conjugado (por elemento de G(4)) a um subgrupo da forma

Gα,β=

   

   

  

C

αt

0 0 βt

0 0 0 1

  ;t∈R

   

  

, α eβ∈Rfixos.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 1.1:

Sejam eH grupo a 1-parˆametro deG(4) eh∈H. Suponhamos quehtenha a representa¸c˜ao abaixo,

h=

 

cosα senα 0 0

−senα cosα 0 0

0 0 1 β

0 0 0 1

, (1.5)

comα, β∈R. Ent˜ao existe um homomorfismo cont´ınuoψ: (R,+)→H tal queψ(1) =h. Temos

ψ(n) =ψn(1) =hn=

 

cos(nα) sen(nα) 0 0

−sen(nα) cos(nα) 0 0

0 0 1 nβ

0 0 0 1

 .

Analogamenteψ(1) =ψm(1/m) sendo

ψ(1/m) = 

 

cos(α/m) sen(α/m) 0 0

−sen(α/m) cos(α/m) 0 0

0 0 1 β/m

0 0 0 1

(11)

comn, m6= 0∈Z. Ent˜ao

ψ(n/m) = 

 

cos(n

mα) sen( n

mα) 0 0

−sen(n

mα) cos( n

mα) 0 0

0 0 1 n

0 0 0 1

 .

Comoψ´e cont´ınua, parat∈Rresulta

ψ(t) = 

 

cos(αt) sen(αt) 0 0

−sen(αt) cos(αt) 0 0

0 0 1 βt

0 0 0 1

 ,

e esta ´e a express˜ao do homomorfismoψ.

Agora seja ˜H ⊂ G(4) um subgrupo a 1-parˆametro qualquer. Ent˜ao existe um homomorfismo cont´ınuo ˜ψ : (R,+)→H˜ tal que

˜ ψ(1) =

T a

0 1

=g

 

cosα senα 0 0

−senα cosα 0 0

0 0 1 β

0 0 0 1

 g

−1,

comg dado peloLema 1.0.2. Repetindo o racioc´ınio anterior

˜ ψ(t) =g

 

cos(αt) sen(αt) 0 0

−sen(αt) cos(αt) 0 0

0 0 1 βt

0 0 0 1

 g

−1,

portanto, um subgrupoH a 1-parˆametro deG(4) ´e conjugado a umGα,β.

O Teorema 1.1 afirma que podemos considerar apenas os grupos Gα,β como subgrupos a 1-parˆametro de G(4),

(12)

Cap´ıtulo 2

Curvas e Superf´ıcies

2.1

Curvas

Defini¸c˜ao 2.1 Uma curva parametrizada diferenci´avel de Rn ´e uma aplica¸c˜ao α, de classe C∞, de um intervalo

abertoI⊂Rem Rn. O conjunto dos pontos de Rn formado pelos pontosα(t),t ∈I, ´e o tra¸co de α. A curvaα´e regular se seu vetor tangente ´e n˜ao nulo para todot∈I, ou seja,α′(t)6= 0para todo tI.

Neste trabalho estamos interessados apenas nos casos em quen= 2 ou 3.

Exemplo 2.1 α(t) = (x0+at, y0+bt, z0+ct),t ∈R, ´e uma parametriza¸c˜ao da reta de R3 que passa pelo ponto

(x0, y0, z0) na dire¸c˜ao do vetor (a, b, c).

Exemplo 2.2 β(t) = (x0+rcost, y0+rsent, z0),t∈R, ´e uma parametriza¸c˜ao de um c´ırculo de centro (x0, y0, z0)

e raior >0.

Exemplo 2.3 γ(t) = (rcost, rsent, δt),t∈R, ´e uma parametriza¸c˜ao da h´elice circular de passoδe eixoz. Defini¸c˜ao 2.2 Uma curva α est´a parametrizada pelo comprimento de arco s se k α′(s) k= 1 para todo valor do

parˆametro s. Ou seja, se α: J ⊂→Rn, ent˜aoα´e parametrizada pelo comprimento de arco seα′(s)´e unit´ario para

todos∈J.

Exemplo 2.4 A curvaα(s) = (rcos rs, rsen sr) coms∈[0,2π) e r >0 ´e parametrizada pelo comprimento de arco, pois

kα′(s)k=k(sens

r

,coss r

)k= r

sen2s

r

+ cos2s

r

= 1.

Defini¸c˜ao 2.3 A curvatura k(t) de uma curvaα(t) = (x(t), y(t))deR2 ´e dada por

k(t) = x

(t)y”(t)y(t)x”(t)

(x′(t)2+y(t)2)3/2 (2.1)

ou

k(s) =x′(s)y”(s)−y′(s)x”(s) (2.2) seαest´a parametrizada pelo comprimento de arcos.

Exemplo 2.5 A curva α(t) = (acost, bsent), t ∈R´e a curva cujo tra¸co ´e a elipse de equa¸c˜ao xa22 +

y2

b2 = 1 e sua curvatura ´e

k(t) = ab

(a2sen2t+b2cos2t)3/2.

Observamos que a curvatura da elipse n˜ao se anula.

(13)

Exemplo 2.6 A curvaα(t) = (acosht, bsenht),t∈R´e a curva cujo tra¸co ´e a hip´erbole de equa¸c˜ao xa22 −

y2

b2 = 1 e sua curvatura ´e

k(t) = −ab

a2senh2t+b2cosh2t3/2.

Observamos que a curvatura da hip´erbole ´e n˜ao nula para todot∈R.

Defini¸c˜ao 2.4 Sejaαuma curva parametrizada pelo comprimento de arco emR2e sejan(s)o vetor normal unit´ario `

aαno pontoα(s). As F´ormulas de Frenet s˜ao:

α”(s) = k(s)n(s)

n′(s) = k(s)α(s) (2.3)

2.2

Superf´ıcies

Defini¸c˜ao 2.5 Uma superf´ıcie parametrizada regular ´e uma aplica¸c˜ao X : U ⊂R2 →R3, onde U ´e um aberto, tal que

(a)X´e diferenci´avel de classeC∞;

(b) para todo par(u, v)∈U, temos Xu(u, v)∧Xv(u, v)6= 0, onde Xu(u, v)∧Xv(u, v) denota o produto vetorial de

Xu(u, v)eXv(u, v).

O subconjunto S deR3 formado pelos pontos X(u, v)´e o tra¸co da aplica¸c˜ao X.

Exemplo 2.7 O tra¸co de X(u, v) = (rcosu, rsenu, v), com (u, v)∈R2er >0, ´e o cilindro de equa¸c˜aox2+y2=r2.

Exemplo 2.8 O tra¸co de X(u, v) = (cosusenv,senusenv,cosv), com (u, v)∈(0,2π)×(0, π) ´e a esferaS2de centro

na origem e raio 1 menos um meridiano.

Exemplo 2.9 Sejaα(u) = (f(u),0, g(u)),u∈I ⊂Ruma curva regular tal queg′(u)6= 0 para todoudo intervalo

I. Ent˜ao a superf´ıcie obtida pela rota¸c˜ao de α(u) em torno do eixo z ´e uma superf´ıcie regular parametrizada por X(u, v) = (f(u) cosv, f(u)senv, g(u)),v∈[0,2π].

Exemplo 2.10 O tra¸co deX(u, v) = (ucosv, usenv, v), com (u, v)∈R2, ´e chamado helic´oide.

(14)

CAP´ITULO 2. CURVAS E SUPERF´ICIES 13

Exemplo 2.11 Consideramos superf´ıcie obtida pela rota¸c˜ao de ˆangulo v em torno do eixo z seguida da eleva¸c˜ao de δv da curva (2 + cosu,0,senu). Uma parametriza¸c˜ao para tal superf´ıcie ´e X(u, v) = ((2 + cosu) cosv,(2 + cosu)senv,senu+δv), (u, v)∈R2, ondeδ ´e um n´umero real e seu caso particularδ= 0. Observamos que seδ= 0, a parametriza¸c˜aoX(u, v) descreve o toro obtido pela rota¸c˜ao do c´ırculo no planoxOz de raio 1 e centro(0,2,0).

Figura 2.2: O tra¸co das superf´ıcies do exemplo 2.11

Defini¸c˜ao 2.6 A aplica¸c˜ao de GaussN :U →S2 de uma superf´ıcieX : U R3 ´e definida por

N(u, v) = Xu(u, v)∧Xv(u, v)

kXu(u, v)∧Xv(u, v)k =

Xu∧Xv

kXu∧Xv k,

onde Xu=

∂X

∂u e Xv=

∂X ∂v.

Defini¸c˜ao 2.7 A curvatura m´edia H de uma superf´ıcie S, parametrizada por X(u, v) e a curvatura Gaussianna K s˜ao dadas respectivamente por

H= gE−2f F+eG

2 (EG−F2) (2.4)

e

K= eg−f

2

EG−F2, (2.5)

onde

 

E=hXs,Xsi

F =hXs,Xti

G=hXt,Xti

, (2.6)

s˜ao os coeficientes da Primeira Forma Fundamental e  

e=hXss, Ni

f =hXst, Ni

g=hXtt, Ni

, (2.7)

(15)

Exemplo 2.12 As curvaturas m´edia e gaussiana do cilindro circular reto do exemplo 2.7, com parametriza¸c˜ao dada

porX(u, v) = (rcosu, rsenu, v)s˜ao H=−21r e K= 0.

Exemplo 2.13 SejaS a superf´ıcie obtida pela rota¸c˜ao da curva (x(u), y(u),0),u∈I⊂R, em torno do eixo x. S ´e parametrizada por

X(u, v) = (x(u), y(u) cosv, y(u)senv), v∈R. Temos

     

    

Xu= (x′(u), y′(u) cosv, y′(u)senv) Xv= (0, y(u)senv, y(u) cosv)

N(u, v) =(x′(u)2+y1′(u)2)1/2(−y

(u), x(u) cosu, x(u)senv) X

uu= (x”(u), y”(u) cosv, y”(u)senv)

Xuv= (0,−y′(u)senv, y′(u) cosv) Xvv= (0,−y(u) cosv,−y(u)senv)

.

Assim  

E=x′(u)2+y(u)2 F = 0 G=y(u)2

e= x”(u)y

(u)

−x′(u)y”(u)

(x′(u)2+y(u)2)3/2 f = 0 g=−

y(u)x′(u) (x′(u)2+y(u)2)1/2

.

Portanto,

H =x”(u)y

(u)x(u)y”(u)

(x′(u)2+y(u)2)3/2 −

x′(u)

y(u)(x′(u)2+y(u)2)1/2. (2.8)

Observemos que a primeira parcela deH em (2.8) ´e a curvatura da curva (x(u), y(u),0) (dacurva geratrizdeS).

2.3

Superf´ıcies e Isometrias

Veremos que a curvatura m´ediaH de uma superf´ıcieS e a curvatura m´edia ˜H da superf´ıcieh(S), onde hpertence a um subgrupo a 1-parˆametro deISO(R3), s˜ao iguais (i.e,H = ˜H).

Proposi¸c˜ao 2.1 Sejamh∈G, G subgrupo a 1-parˆametro deISO(R3), S parametrizada porX(u, v)eh(S) parame-trizada porh(X(u, v)). Ent˜ao as curvaturas m´edias H e ˜H, respectivamente, s˜ao iguais.

Demonstra¸c˜ao: Mostraremos:

(a) Os coeficientesE,F eGdeS s˜ao iguais aos coeficientes ˜E, ˜F e ˜Gdeh(S) s˜ao iguais.

(b) Os coeficientese,f eg deS s˜ao iguais aos coeficientes ˜e, ˜f e ˜gdeh(S) s˜ao iguais.

Do cap´ıtulo 1, temos que seh∈ISO(R3), ent˜ao h(u) =a+T u, a∈R3, T ∈O(3). Logo: z(u, v) =h(X(u, v)) = a+T(X(u, v)). Portanto

zu = TXu

zv = TXv .

Ent˜ao

˜

E=hzu, zvi=hXu,Xvi=E.

Analogamente temos que ˜F=F e ˜G=G. Temos ainda;

 

zuu = TXuu

zuv = TXuv

zvv = TXvv

.

No vetor normal ˜N(u, v) = zu×zv

kzu×zv k

= TXu×TXv

kTXu×TXv k

, podemos escreverkTXu×TXvk=kXu×Xv k, pois

pelaidentidade de Lagrange

(16)

CAP´ITULO 2. CURVAS E SUPERF´ICIES 15

Assim

˜

N(u, v) = TXu×TXv

kXu×Xv k

.

Calculando o coeficiente ˜eda Segunda Forma Fundamental.

˜

e = hTXuu,N˜(u, v)i=

TXuu,

TXu×TXv

kXu×Xv k

=

det 

 TXuu

TXu

TXv

kXu×Xvk

= det(h)

kXu×Xv k

det   Xuu Xu Xv 

 = det(h)hXuu, N(u, v)i

= det(h).e.

SendoN(u, v) o vetor normal de X(u, v). Pelo Lema 1.0.1, det(h) = 1. Logoe= ˜e. Analogamente, ˜f =f e ˜g=g. Juntando (a) e (b) com a express˜ao (2.4), obtemosH = ˜H.

Defini¸c˜ao 2.8 Dizemos que uma superf´ıcie S ´e invariante por um subgrupo G⊂ISO(R3)(G-invariante) seh(S) =S

para todoh∈G.

Unindo a Proposi¸c˜ao 2.1 com o Teorema 1.1, vemos que para estudar as superf´ıcies em R3 de curvatura m´edia constante invariantes por subgrupos a 1-parˆametro de ISO(R3), basta estudar as superf´ıcies de curvatura m´edia constante invariantes pelos grupos Gα,β. A nossa pr´oxima se¸c˜ao se dedicar´a a descrever as formas que os grupos

Gα,β podem assumir e estudar a imagem da a¸c˜ao desses grupos.

2.4

A Imagem da a¸

ao dos grupos

G

α,β

em pontos de

R

3

No cap´ıtulo 1, vimos que o grupoISO(R3) ´e isomorfo ao grupoG(4). Al´em disso, todo subgrupo a 1-parˆametro de ISO(R3) ´e identificado, a menos de conjuga¸c˜ao, com um subgrupo de G(4) da forma

Gα,β =

       

cos(αt) sen(αt) 0 0

−sen(αt) cos(αt) 0 0

0 0 1 βt

0 0 0 1

        ,

ondeαeβ∈R.

Primeiramente, veremos comoGα,β age sobre pontos deR3. Recordemos que uma isometriahdeR3´e da forma

h(u) =a+T u, a∈R3 eT ∈O(3). Ap´os a identifica¸c˜ao com G(4), temos ˜h=

T a

0 1

. Observamos que ˜hage

sobre u 1 =     u1 u2 u3 1   

do mesmo modo quehage sobre o vetor u= (u1, u2, u3)∈R

3, pois

˜ h u 1 = T a 0 1 u 1 =

T u+a 1

.

Portanto, ˜h∈G(4) age sobre vetores (u1, u2, u3,1)∈R4 da mesma forma queh∈ISO(R3) age sobre (u1, u2, u3)∈

R3.

Agora, estudaremos as formas deGα,βe sua a¸c˜ao em vetores (u1, u2, u3) (estamos identificando (u1, u2, u3,1)∈R4

com o vetor (u1, u2, u3)∈R3).

(17)

(a)α= 0 eG0,β cont´em transla¸c˜oes na dire¸c˜ao do eixo z. A imagem da a¸c˜ao deG0,β sobre (x0, y0, z0) ´e uma reta

na dire¸c˜ao do eixoz, pois 

  

I

00 βt

0 0 0 1

        x0 y0 z0 1    =     x0 y0

z0+βt

1 

  .

(b)β= 0 eGα,0 cont´em as rota¸c˜oes em torno do eixoz. A imagem da a¸c˜ao deGα,0sobre (x0, y0, z0) ´e um c´ırculo

de centro (0,0, z0) e raio

p x2

0+y02.

 

cos(αt) sen(αt) 0 0

−sen(αt) cos(αt) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

       x0 y0 z0 1    =    

x0cos(αt)−y0sen(αt)

x0sen(αt) +y0cos(αt)

z0 1    .

(c) No casoα6= 0 eβ6= 0, temosGα,β=G1,δ, ondeδ=α/β, pois, seja

φ

αt,βt=

 

cos(αt) sen(αt) 0 0

−sen(αt) cos(αt) 0 0

0 0 1 βt

0 0 0 1

∈Gα,β.

Ent˜ao

φ

αt,βt

=

φ

1.αt,β.δt∈G1,δ. Reciprocamente, temos

φ

t,δt

=

φ

α.t α,β.

t

α∈Gα,β, logoGα,β=G1,δ.

Quanto `a a¸c˜ao deG1,δ sobre um ponto (x0, y0, z0), temos

 

cost sent 0 0

−sent cost 0 0

0 0 1 δt

0 0 0 1

       x0 y0 z0 1    =    

x0cost−y0sent

x0sent+y0cost

z0+δt

1

  ,

(18)

Cap´ıtulo 3

Superf´ıcies Translacionais

Superf´ıcies Translacionaiss˜ao aquelas invariantes por transla¸c˜oes em uma dada dire¸c˜ao deR3.

Exemplo 3.1 O cilindro α(t) +rw, sendo α(t) = (x(t), y(t),0), t definida no intervalo I⊂ R, r ∈ R e

w= (w1, w2, w3), ´e invariante pela transla¸c˜ao de qualquer m´ultiplo de w.

Figura 3.1: Um cilindro.

Proposi¸c˜ao 3.1 Seja S uma superf´ıcie translacional de curvatura m´edia constante, ent˜ao ou S ´e um plano, ou S ´e um cilindro.

Demonstra¸c˜ao:

Pelo Teorema 1.1, o subgrupo a 1-parˆametro das transla¸c˜oes em uma dada dire¸c˜ao ´e identificado, via mudan¸ca de coordenadas, com o subgrupo a um parˆametroG0,β. As superf´ıcies translacionais s˜ao ent˜ao superf´ıcies invariantes

porG0,β. Observamos que uma superf´ıcieG0,β-invariante possui um ponto da forma (x, y,0), pois se (x, y, z)∈S,

comoS´eG0,β-invariante e a transla¸c˜aogdada por (0,0,−z) pertence aG0,β, resultag(x, y, z) = (x, y,0)∈S.

SeS uma superf´ıcieG0,β-invariante parametrizada por X(u, v), (u, v)∈U ⊂R2. Como para todo p∈S existe

uma reta na dire¸c˜ao de (0,0,1), consideramos a parametriza¸c˜ao de uma destas retas dada por X(u(t), v(t)), t∈R, ent˜ao

dX dt = Xu

du dt + Xv

dv dt

(19)

´e um vetor na dire¸c˜ao de (0,0,1), portanto (0,0,1) pertence a todo plano tangente de S. Logo seu vetor normal em cada ponto ´e linearmente independente com o vetor (0,0,1) o que faz da intersec¸c˜ao de S com o planoxOy uma curva regular plana, denotemos esta curva porγ(s) = (x(s), y(s),0), j´a tomando-a com o parˆametro comprimento de arcos, ent˜ao uma parametriza¸c˜ao paraS ´e X(s, t) = (x(s), y(s), t).

Ent˜ao calculamos os vetores Xse Xt, tangentes aS.

Xs= (x′(s), y′(s),0), (3.1)

e

Xt= (0,0,1). (3.2)

Seu vetor normal ´e dado por,

Xs∧Xt=β(y′(s),−x′(s),0).

Ent˜ao a aplica¸c˜ao normal deS ´eN(s, t) = (y′(s),x(s),0), poiskX

s∧Xtk= 1.

Temos

     

    

xss = (x”(s), y”(s),0)

xst = (0,0,0)

xtt = (0,0,0)

,

e

     

    

e = x”(s)y′(s)x(s)y”(s)

f = 0

g = 0

,

a express˜ao da curvatura m´edia de S´e,

2H =x”(s)y′(s)x(s)y”(s). (3.3)

A express˜ao obtida em (3.3) ´e a express˜ao da curvatura deγa menos de sinal, portantoγ(s) ´e uma reta ou uma

circunferˆencia. Reciprocamente, seS ´e um cilindro circular reto de raioa >0, sua curvatura m´edia ´eH = 1 2a ([2], pg 147); se S ´e um plano ent˜aoH = 0 ([2], pg 147). Portanto se S ´e uma superf´ıcie G0,β-invariante de curvatura

(20)

Cap´ıtulo 4

Superf´ıcies Rotacionais

Superf´ıcies rotacionais s˜ao as superf´ıcies que s˜ao invariantes por rota¸c˜oes emR3, ou seja, por rota¸c˜oes em rela¸c˜ao a uma dada reta. Seu estudo se reduz ao estudo da curva geratriz, isto ´e, a curva descrita pela intersec¸c˜ao da superf´ıcie com um plano que contenha o eixo de rota¸c˜ao.

Figura 4.1: Uma superf´ıcie de rota¸c˜ao de eixoz.

Pelo Teorema 1.1, o subgrupo das rota¸c˜oes em rela¸c˜ao a um determinado eixo ´e identificado, via mudan¸ca de coordenadas, com o subgrupo a um parˆametroGα,0. As superf´ıcies rotacionais, s˜ao, ent˜ao, superf´ıcies invariantes

porGα,0.

Neste cap´ıtulo mostraremos os seguinte resultado provado por C. Delaunay em 1841 [4]:

Teorema 4.1 (Delaunay) Uma superf´ıcie rotacional de curvatura m´edia constante ´e obtida pela rota¸c˜ao da roulette de uma cˆonica.

A demonstra¸c˜ao apresentada se baseia no artigo de Eells [5] e segue as seguintes etapas: 1o) descreveremos as roulettes das cˆonicas;

2o) iremos calcular as curvaturas m´edias das superf´ıcies obtidas pela rota¸c˜ao destas curvas;

3o) via express˜ao da curvatura m´edia, demonstraremos que a curva geratriz de uma superf´ıcie de rota¸c˜ao de curvatura

m´edia constante n˜ao-nula satisfaz `as equa¸c˜oes das roulettes da elipse ou da hip´erbole.

4.1

As Roulettes das cˆ

onicas.

Descreveremos as roulettes das cˆonicas.

(21)

4.1.1

A Roulette da Par´

abola.

Como ilustra¸c˜ao, determinaremos , primeiro a roulette da par´abola. Uma par´abolade focoF e retadiretrizr´e o conjunto {K ∈R2 : dist(K, F) =dist(K, r)}. O ponto V da par´abola com a menor distˆancia a r´e denominado v´ertice da par´abola. V est´a na reta perpendicular arque cont´em o focoF da par´abola, pois a reta que ´e perpendicular are passa porF ´e a que d´a a menor distˆancia entreF e a diretriz, portanto a menor distˆancia entre a par´abola e a diretriz.

Figura 4.2: Par´abola com foco F=(0,c).

Tomando o sistema de coordenadas cartesianas (x, y) em queV=(0,0) e o eixo x´e paralelo `a reta diretriz, sejamF= (0, c) o foco ey=−c a reta diretriz. A equa¸c˜ao da par´abola ´e

y= x

2

4c. (4.1)

Defini¸c˜ao 4.1 A roulette do foco F em rela¸c˜ao a uma reta tangente `a par´abola ´e a trajet´oria que F descreve enquanto a par´abola rola sobre esta reta sem deslizar.

O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que esta roulette ´e uma caten´aria. Para tal vamos mostrar os seguintes lemas:

Lema 4.1.1 Sejam t a reta tangente `a par´abolay= x

2

4c em um pontoK= (x0, x2

0

4c)e P o ponto de intersec¸c˜ao de t

com o eixo x. Ent˜ao P =x0 2 ,0

.

Demonstra¸c˜ao:

A equa¸c˜ao det´ey= x0 2cx−+

x0

2cx− x2

0

4c. Logo, paray= 0 temos P = x0

2 ,0

. Para determinar

a coordenaday da roulette, encontraremos um pontoP′ det tal quePF seja perpendicular at. O pr´oximo lema

determinar´aP′.

Lema 4.1.2 Com a nota¸c˜ao do Lema 4.1.1, FP ´e perpendicular `a reta t.

Demonstra¸c˜ao:

Sejam m := coeficiente angular da reta F P e m′ := coeficiente angular de t. Basta mostrar quem.m=1.

Comom= −c x0/2

=−2c

x0

em′= x0

2c e portanto,m.m

=2c

x0

.x0

2c =−1. LogoF P ⊥t.

A figura 4.3 representa dois instantes diferentes em que a par´abola rola sem deslizar sobre o eixox, que ´e a reta tangente do v´ertice.

.

o primeiro instante (em linha cheia) representa o momento inicial do movimento em que a par´abola ´e tangente ao eixoxemV = (0,0) e o foco est´a emF = (0, c) e est´a representada tamb´em a reta tangentetemK;

(22)

CAP´ITULO 4. SUPERF´ICIES ROTACIONAIS 21

Figura 4.3: Par´abola rolando.

Lema 4.1.3 Uma parametriza¸c˜ao em coordenadas cartesianas da roulette da par´abola de equa¸c˜ao y= x

2

4c ´e

β(x) = Z x

0

r 1 + r

2

4c2dr−

x 2

r 1 + x

2

4c2 , c

r 1 + x

2

4c2

!

(4.2)

Demonstra¸c˜ao:

A par´abola de equa¸c˜aoy = x

2

4c pode ser parametrizada porα(x) =

x,x

2

4c

. Pelo Lema 4.1.1, P =x 2,0

e logo|P F|=

c2+x2

4 1/2

=c

1 + x

2

4c2

1/2

. Analisando o instante em que o pontoK =

x,x

2

4c

´e tangente ao

eixox, as coordenadas do foco (agora representado por F˜) s˜ao dadas por (|VP˜|,|P˜F˜|) = (|VP˜|,|P F|). Ora

|VP˜|=|VK˜| − |P ˜˜K|, onde|VK˜|´e o comprimento do arco da par´abola de 0 at´ex,ou seja

|VK˜|= Z x

0

1 + r

2

4c2

1/2

dr.

Por outro lado,

|P K|=x−x22+

x2

4c 1/2

= x 2

1 + x

2

4c2

1/2

.

Logo

|VP˜|= Z x

0

1 + r

2

4c2

1/2

dr−x2

1 + x

2

4c2

1/2

.

Lema 4.1.4 Seja α(s) = (x(s), y(s))a reparametriza¸c˜ao por comprimento de arco da roulette da par´abola dada por

β(x) = (x(x), y(x))do Lema 4.1.3. Ent˜ao

dx

ds =

c

(23)

Demonstra¸c˜ao: Ora

e

x(x) = Z x

0

1 + r

2

4c2

1/2

dr−x2

1 + x

2

4c2

1/2

y(x) = c

1 + x

2

4c2

1/2

. Calculando a derivada dex(x), temos

x′(x) =

1 + x

2

4c2

1/2

−12

1 + x

2

4c2

1/2

−x2(4(2cx2))

1 2

1 + x

2

4c2

−1/2

= 1 2

1 + u

2

4c2

1/2

.

Calculando a derivada dey(x), temos

y′(x) =c2x 4c2

1 2

1 + x

2

4c2

−1/2

= x 4c

1 + x

2

4c2

−1/2

.

Logo

x′(x)2+y′(x)2=1 4

1 + x

2

4c2

−1

+ x

2

16c2

1 + x

2

4c2

−1

=1 4.

Como o parˆametro comprimento de arco sdeβ ´e dado pors(x) =R0x|β′(r)|dr=Ru

0

p

x′(r)2+y(r)2dr, temos

ds

dx =

q

x′(x)2+y(x)2. Logo dx

ds =

1 p

x′(x(s))2+y(x(s))2 = 2. Assim, pela regra da cadeia,

dx ds = dx dx. dx ds = 1 2

1 + x(s)

2

4c2

1/2

.2 = c

y(x(s))= c y(s).

Proposi¸c˜ao 4.1 A roulette da par´abola de equa¸c˜ao y= x

2

4c ´e a caten´aria de equa¸c˜ao y=ccosh( x c)

Demonstra¸c˜ao:

Pela equa¸c˜ao (4.3) dx

ds =

c

y(s). Comoβ(x(s)) =β(s) ´e regular, temos que a roulette da par´abola ´e (localmente)

o gr´afico de uma fun¸c˜ao (x, y(x)). Al´em disso, ds

dx = 1 +

dy dx

2!1/2

6

= 0,portanto,

dx

ds = 1 +

dy dx

2!−1/2

.

Ent˜ao reescrevemos (4.3) como,

1 + dy

dx

2!−1/2

= c

y. (4.4)

Logo, 1 + dy dx 2 = y 2 c2 dy

dx = ±

y

c 2

−1 1/2

(24)

CAP´ITULO 4. SUPERF´ICIES ROTACIONAIS 23

Observando quez/c≥1 (c´e a menor distˆancia do foco a par´abola) e resolvendo a equa¸c˜ao diferencial acima por separa¸c˜ao de vari´aveis obtemos

y=y(x) =ccosh±xc +const.. Considerandoy(0) =c, resultaconst.= 0. Como cosh ´e uma fun¸c˜ao par, obtemos

y(x) =ccosh±xc=ccoshx c

.

Figura 4.4: A Caten´aria.

4.1.2

Roulettes em rela¸

ao a uma reta

A subse¸c˜ao anterior ´e a motiva¸c˜ao desta subse¸c˜ao. Determinaremos propriedades ´uteis das roulettes em rela¸c˜ao a uma reta.

Defini¸c˜ao 4.2 A roulette de um ponto F associado a curva C em rela¸c˜ao a uma reta tangente `a C ´e a trajet´oria descrita por F enquanto C rola sobre esta reta tangente sem deslizar.

Proposi¸c˜ao 4.2 SejamC uma curva regular com curvatura que n˜ao se anula eF um ponto que n˜ao pertence aC. Seja β a roulette de F associado a C em rela¸c˜ao a uma retra tangente `a C. Sejam F˜ um ponto de β e K˜ o ponto de contato de C com o eixo x (nesse instante). Ent˜ao a roulette de F em rela¸c˜ao `a reta tangente de C ´e uma curva regular, al´em disso a reta normal a roulette em ˜F passa por ˜K, ou seja o segmento ˜F ˜K ´e perpendicular `a reta tangente `

a roulette em ˜F.

Demonstra¸c˜ao:

Consideramos a roulette deF = (x0, y0) associada `a curvaC parametrizada porα(s), ondes´e o parˆametro

comprimento de arco da curvaC.

A figura 4.5 representa dois instantes diferentes:

• No primeiro instante, antes deCcome¸car a rolar, est˜ao indicados o pontoF = (x0, y0), a retat, tangente aC

emK=α(s), o pontoP ∈ttal queF P ⊥te os vetores tangente e normal `a C (α′(s) =αe n(s) = n);

• o segundo momento representa o instante em queC rolou sobre o eixox, sem deslizar, at´e o pontoK (agora representado por ˜K) ser tangente ao eixo x.

(25)

Figura 4.5: Uma roulette.

1. determinamos o vetor−−→F K;

2. determinamos uma parametriza¸c˜aoβ(s) para a roulette;

3. calculamosh−−→F˜K, α˜ ′(s)i, concluindo a proposi¸c˜ao.

SuponhamosCorientada de tal modo que o vetor normal unit´ario n(s) emK=α(s) aponte para “dentro”(fig. 4.5).

Temos−−→F K =h−−→F K, α′iα+h−−→F K,nin = (|PK|)α(|PF|)n.

No segundo instante,C rolou at´eKser tangente ao eixox(Kagora ´e representado por ˜K). Nesse instante os vetores (1,0) e (0,1) desempenham o papel de vetores tangente e normal, respectivamente, `aC em ˜K e

−−→˜

FK˜ = (h−−→F K, α′i, hF K,−−→ ni) = (|P K|,−|P F|).

As coordenadas de ˜F = (˜x,y˜) s˜ao dadas por

˜

x=|VK˜| − |P˜K˜|=|VK˜| − |P K|

˜

y=|P˜F˜|=|P F| . (4.5)

|VK˜|´e igual ao comprimento de arco deC entreV =α(0) eK=α(s). Logo|VK˜|=s, pois s´e o parˆametro comprimento de arco deC. Como|P K|=h−−→F K, α′ie|P F|=−h−−→F K,ni, uma parametriza¸c˜ao da roulette de

F ´e

β(s) = (s− h−−→F K, α′i, −h−−→F K,ni). (4.6)

O vetor−−→F K=−−→F K =α(s)−F e logo d ds

−−→

(26)

CAP´ITULO 4. SUPERF´ICIES ROTACIONAIS 25

β′(s) = (1 d

dsh

−−→

F K, α′i, d dsh

−−→

F K,ni) =

1−

d ds

−−→

F K, α′

+h−−→F K, α”i

,

d ds

−−→

F K,n′

+h−−→F K,n′i

= 1−hα′, α′i+h−−→F K, α”i , hα′,ni+h−−→F K,n′i

= −h−−→F K, α”i, h−−→F K,n′i

= k−h−−→F K,ni, −h−−→F K, α′i

= k(−|P F|,−|P K|),

pois pelas f´ormulas de Frenet,α” =kn e n′=, ondeka curvatura deC emα(s). Portanto

h−−→F˜K, F˜ ′(s)i=k(−|P K|.|P F|+ (−|P F|)(−|P K|)) = 0,

o que conclui a demonstra¸c˜ao. A afirma¸c˜ao de que a roulette ´e uma curva regular ´e resultado imediato da equa¸c˜aoβ′(s) =k(−|P F|,−|P K|), poisk6= 0.

Observa¸c˜ao 4.1 Na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 4.2, para a deduzir uma equa¸c˜ao para β(s) utilizamos a hip´otese de que a retat, tangente `aC, tem inclina¸c˜ao positiva (figura 4.5). No entanto, settivesse inclina¸c˜ao negativa, com a mesma escolha de orienta¸c˜ao em C, obter´ıamos a mesma parametriza¸c˜aoβ(s) para a roulette.

Observa¸c˜ao 4.2 A Proposi¸c˜ao 4.2 foi demonstrada sob a hip´otese de que a curvatura deC n˜ao se anula, o que garante que a trajet´oria deF ´e uma curva regular.

Corol´ario 4.2.1 Seja γ(s) = (x(s), y(s))a reparametriza¸c˜ao de β(s)pelo parˆametro comprimento de arco s. Ent˜ao, com a mesma nota¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 4.2,

|F˜K˜|=±|P˜F˜|

dx ds

−1

=±y(s)

dx ds

−1

, (4.7)

onde ˜K ´e o ponto de contato de C com o eixo x.

Demonstra¸c˜ao: Com efeito, como visto na proposi¸c˜ao anterior ,β′(s) =k(−|P F|,−|P K|) =k(|P F|,|P K|),

logo

kβ′(s)k=|k|p(|P F|)2+ (|P K|)2=|k|.|F K|.

Por hip´otesek6= 0, da´ı

β′(s)

kβ′(s)k

|P F| |F K| ,

|P K| |F K|

.

Comoγ(s) = (x(s), y(s)) ´e a reparametriza¸c˜ao pelo comprimento, ent˜ao

dx

ds =±

|P F| |F K| =±

y(s)

|F K|.

4.1.3

A Ondul´

oide

A elipse de focosF1= (−c,0) eF2= (c,0) ´e o conjunto dos pontosK∈R2 tais que a soma dos comprimentos

dos raios focais ´e constante, ou seja|F1K|+|F2K|= 2a >0, onde a > c´e o comprimento do semi-eixo maior

eb=√a2c2o comprimento do semi-eixo menor.

(27)

Figura 4.6: A Elipse.

Proposi¸c˜ao 4.3 A roulette de um dos focos de uma elipse(ondul´aria) em ela¸c˜ao a uma reta tangente ´e uma curva regular.

Analogamente ao caso da par´abola, faremos uso de propriedades da tangentet, para deduzir uma equa¸c˜ao para a ondul´oide.

Proposi¸c˜ao 4.4 Seja β(s) = (x(s), y(s))a parametriza¸c˜ao da ondul´aria pelo comprimento de arco. Ent˜ao a fun¸c˜ao coordenadax(s)satisfaz

dx

ds =±

y(s)2+b2

2ay(s) , (4.8)

sendo “a”o semi-eixo maior e “b”o semi-eixo menor da elipse.

Demonstra¸c˜ao:

Vamos considerar a elipse de centroO e semi-eixos maior e menor dados poraeb. Consideramos ainda o c´ırculo de centroO e raioa. Relativamente `a elipse e o c´ırculo, temos:

– O ˆangulo formado pelos raios focais e a tangentets˜ao iguais (figura 4.7).

– Os pontosP1eP2de intersec¸c˜ao detcom o c´ırculo de centroOe raioa, s˜ao tais queP1F1⊥teP2F2⊥t.

|P1F1|.|P2F2|=b2.

As duas ´ultimas propriedades s˜ao menos conhecidas. Para uma demonstra¸c˜ao das mesmas, ver [9], p´agina 111. Na figura 4.8, consideramos a trajet´oria do focoF2 da elipse enquanto ela rola sem deslizar sobre o eixox.

Os triˆangulos

F1P1KeF2P2Ks˜ao semelhantes. Logo

|P1F1|

|P2F2|

=|F1K|

|F2K|

. (4.9)

Manipulando (4.9),

|P1F1|

|P2F2|

= |P1F1|.|P2F2| (|P2F2|)2

= b

2

(|P2F2|)2

(28)

CAP´ITULO 4. SUPERF´ICIES ROTACIONAIS 27

Figura 4.7: Segmentos ortogonais na elipse.

Figura 4.8: Elipse rolando.

Al´em disso

|F1K|

|F2K|

= |F1K|+|F2K|

|F2K| −

|F2K|

|F2K|

= 2a

|F2K|−

1

e portanto

b2

(|P2F2|)2

= 2a

|F2K|−

1. (4.10)

Pela Proposi¸c˜ao 4.3 a roulette de uma elipse ´e uma curva regular e portanto admite parametriza¸c˜ao pelo comprimento de arco. O segmento |P2F2| ´e a coordenada y da roulette da elipse e pelo Corol´ario 4.2.1,

|F2K|=±y(s)

dx ds

−1

que ao ser substitu´ıda em (4.10) d´a

b2

y(s)2 =±

2a y(s)

dx

ds −1 (4.11)

sendoso parˆametro comprimento de arco da roulette. Ent˜ao

dx

ds =±

y(s)2+b2 2ay(s) ,

o que demonstra a Proposi¸c˜ao.

(29)

el´ıpticas ( ver [4]).

Observa¸c˜ao 4.3 Considera¸c˜oes sobre a equa¸c˜ao dx ds =±

y(s)2+b2

2ay(s) :

a) No caso em quea=b a elipse ´e um c´ırculo de raioade “focos”F1=F2 e a roulette se reduz a uma reta da

formay=a;

b) no caso limiteb= 0 (i.e,limb→0dxds) a elipse degenera-se em um segmento de reta de comprimento 2aeF2

em um dos extremos do segmento. Nesse caso, a roulette ´e constituida por semi-c´ırculos de raio 2a.

4.1.4

A Nod´

aria

AHip´erboledefocosF1 eF2´e o conjunto dos pontosK do plano tais que

|F1K| − |F2K|=±2a; (4.12)

em que a < c. Sendo o semi-eixo tranverso o valor a e b =√c2a2 o semi-eixo conjugado. Os segmentos

|F1K|e|F2K|s˜ao denominados porraios focais(fig. 3.12).

Figura 4.9: Hip´erbole.

Segue daProposi¸c˜ao 4.3 que

Proposi¸c˜ao 4.5 A roulette de um dos focos de uma hip´erbole (nod´aria) em rela¸c˜ao a uma reta tangente ´e uma curva regular.

Analogamente aos casos da par´abola e da elipse, faremos uso de propriedades da tangentet, para de deduzir uma equa¸c˜ao para a nod´aria.

Proposi¸c˜ao 4.6 Seja β(s) = (x(s), y(s))a parametriza¸c˜ao da nod´aria pelo comprimento de arco. Ent˜ao

dx

ds =±

y(s)2b2

2ay(s) , (4.13)

sendo a e b os semi-eixos transverso e conjugado da hip´erbole.

Demonstra¸c˜ao:

Relativamente `a hip´erbole de semi-eixosaeb, centroO e focosF1eF2. Temos;

(30)

CAP´ITULO 4. SUPERF´ICIES ROTACIONAIS 29

Figura 4.10: Segmentos ortogonais na hip´erbole

Figura 4.11: Hip´erbole rolando.

– tintercepta o c´ırculo de raioae centro O, em pontosP1 eP2 tais queP1F1⊥teP2F2⊥t.

item|P1F1|.|P2F2|=b2.

Na figura 4.11, consideramos a trajet´oria do focoF2 enquanto a hip´erbole rola sobre o eixox.

Como P2KPˆ 1 = P1KFˆ 2 e F1Pˆ1K = KPˆ2F2 =

π

2, observamos que os triˆangulos F1KP1 e F2KP2 s˜ao semelhantes (trˆes ˆangulos iguais), logo

|P1F1|

|P2F2|

= |F1K|

|F2K|

. (4.14)

Manipulando (4.14),

|P1F1|

|P2F2|

=|P1F1|.|P2F2| (|P2F2|)2

= b

2

(|P2F2|)2

,

al´em disso,

|F1K|

|F2K|

=|F1K| − |F2K|

|F2K|

+|F2K|

|F2K|

=± 2a |F2K|

+ 1,

portanto

b2

(|P2F2|)2

=± 2a |F2K|

+ 1. (4.15)

(31)

´e uma curva regular. Pelo Corol´ario 4.2.1 |F2K| = ±y(s)

dx

ds −1

que ao ser substitu´ıda em (4.15),

mostra que a equa¸c˜ao da roulette deF2 satisfaz

b2

y(s)2 =±

2a y(s)

dx

ds+ 1, (4.16)

sendoso parˆametro comprimento de arco da roulette, ent˜ao

dx

ds =±

y(s)2b2

2ay(s) ,

o que demonstra a Proposi¸c˜ao.

Novamente, a equa¸c˜ao anterior possui solu¸c˜ao em termos de fun¸c˜oes el´ıpticas (veja [4]).

Figura 4.12: A Nod´aria.

4.2

As Curvaturas M´

edias do Caten´

oide, Ondul´

oide e Nod´

oide.

Nesta se¸c˜ao realizaremos o c´alculo das curvaturas m´edias das superf´ıcies obtidas pela rota¸c˜ao das roulettes, acaten´aria, aondul´aria e anod´ariaque originam ocaten´oide, oondul´oidee onod´oide, respec-tivamente.

No Cap´ıtulo 2, observamos que uma superf´ıcie de rota¸c˜ao pode ser parametrizada por X(u, v) = (x(x), y(x) cosv, y(x)senv) e que a express˜ao de sua curvatura m´edia ´e dada por

H =x”(x)y

(x)x(x)y”(x)

(x′(x)2+y(x)2)3/2 −

x′(x)

y(x)(x′(x)2+y(x)2)1/2

ou

H =x”(s)y′(s)−x′(s)y”(s)−x

(s)

y(s) (4.17)

se a curva geratriz da superf´ıcie est´a parametrizada pelo parˆametro comprimento de arco.

Lema 4.1.5 Se a curva geratriz de uma superf´ıcie de rota¸c˜ao com eixo de rota¸c˜ao x est´a parametrizada ex′(s) =f(y(s)), ent˜ao

H=−12

f′(y) +f(y) y

(32)

CAP´ITULO 4. SUPERF´ICIES ROTACIONAIS 31

Demonstra¸c˜ao:

Sex′(s) ´e como acima, ent˜ao

y′(s) =±(1f2(y))1/2y” =(1f2(z))−1/2f fy=f(y)f(y),

enquanto

x” =f′(y)y′⇒x”y′ =f′(y)(y′)2=f′(y)(1−f2(y)). Ent˜ao pela equa¸c˜ao (4.17),

H =−1

2

f2(y)f(y) +f(y)(1f2(y)) +f(y)

y

=−1

2

f′(y) +f(y)

y

.

Pela equa¸c˜ao (4.3) dx

ds =

c

y, por (4.8) dx

ds = ±

y2+b2

2ay , de (4.13) dx

ds = ±

y2b2

2ay e por (4.18) calculamosH das superf´ıcies obtidas pela rota¸c˜ao das roulettes das cˆonicas:

∗ Caten´oide; f(y) = c y

H =−1

2

− c

y2 +

c y2

= 0.

Pelos c´alculos acima, a curvatura m´edia do caten´oide ´eH = 0, portanto o caten´oide ´e uma superf´ıcie m´ınima, a ´unica superf´ıcie m´ınima de revolu¸c˜ao (ver [2]).

∗ Ondul´oide, Cilindro e Esfera ; f(y) =±y

2+b2

2ay

H = −1

2

±4ay

2(y2+b2)2a

4a2y2 ±

y2+b2

2ay2

= ∓ 1

2a.

∗ Nod´oide;f(y) =±y

2b2

2ay

H = −1

2

±4ay

2(y2b2)2a

4a2y2 ±

y2b2

2ay2

= ∓ 1

2a.

4.3

Superf´ıcies Rotacionais de Curvatura M´

edia Constante.

Pelo que vimos anteriormente, se uma superf´ıcie rotacionalS com curva geratriz parametrizada pelo comprimento de arco (x(s), y(s),0) satisfaz

dx

ds =±

y(s)2±b2

2ay(s) ,

para constantesaeb, ent˜ao a curvatura m´edia deS ´e n˜ao nula.

Proposi¸c˜ao 4.7 Uma superf´ıcie rotacional S possui curvatura m´edia constante H6= 0 se, e s´o se, a curva geratriz de S satizfaz

y2±2aydx ds±b

2= 0, aebconstantes. (4.19)

Demonstra¸c˜ao:

ComoS ´e uma superf´ıcie parametrizada regular podemos supor que localmente a sua curva geratriz ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao, i.e, sua curva geratriz pode ser parametrizada por (x,y˜(x),0). Logo,

H =1

2

˜ y”(x) (1 + ˜y′(x)2)3/2 −

1 ˜

y(x)(1 + ˜y′(x)2)1/2

(33)

ComoS ´e de

curvartura m´edia constante, escrevemosH =21a >0. Logo y˜”(x)

(1 + ˜y′(x)2)3/2 −

1 ˜

y(x)(1 + ˜y′(x)2)1/2

=1

a

ay˜”(x)−(1 + ˜y

(x)2)

˜

y(x)(1 + ˜y′(x)2)3/2 = 1,

ay˜”(x)−(1 + ˜y

(x)2)

(1 + ˜y′(x)2)3/2 −y˜(x) = 0.

Multiplicando ambos os membros desta ´ultima express˜ao por 2˜y′(x), obtemos

2ay˜′(x)y˜”(x)−(1 + ˜y

(x)2)

(1 + ˜y′(x)2)3/2 −2˜y(x)˜y

(x) = 0. (4.21)

A express˜ao (4.21), pode ser integrada emx. E assim,

− 2ay˜(x)

(1 + ˜y′(x)2)1/2 −y˜(x) 2=

±b2, (4.22)

sendob2uma constante. Agora, reparametrizando pelo parˆametro comprimento de arcos=Rx 0

p

1 + ˜y′(t)2dt,

obtemos

−2ay(s)dx ds −y(s)

2=

±b2, (4.23)

pois dx

ds = (1 + ˜y

(x)2)−1/2. Isolando dx

ds em (4.23), resulta

dx

ds =

y(s)2±b2

2ay(s) .

Considerando tamb´em o casoa <0, obtemos

dx

ds =±

y(s)2±b2

2ay(s) .

Considerando, tamb´em, o caso em queH = 0 e j´a tomando da curva geratriz da superf´ıcie parame-trizada pelo comprimento de arco, obtemos

H =1

2

˜ y”(x) (1 + ˜y′(x)2)3/2 −

1 ˜

y(x)(1 + ˜y′(x)2)1/2

.

FazendoH = 0 em (2.8) obtemos

˜ y”(x) 1 + ˜y′(x)2 =

1 ˜ y(x).

Definindo u(x) = ˜y′(x), obtemos ˜y”(x) = du

dx =

du dy˜y˜

(x) = du

dy˜u. Substituindo este resultado na ´

ultima equa¸c˜ao, obtemos

du d˜yu

1 + ˜u2 =

1 ˜ y,

que possui y = c(1 +u2)como solu¸c˜ao, onde c 6= 0 ´e uma constante. Da´ı ˜y=

r y

c 2

−1, cuja solu¸c˜ao ´e y = ccoshx

c + ˜c

, ou seja, a caten´aria. Reciprocamente, se a curva geratriz de uma superf´ıcie rotacionalS satisfaz (4.19) ou ´e uma caten´aria, pelos c´alculos da se¸c˜ao anterior conclu´ımos queS possui curvatura m´edia constante.

Juntando as Proposi¸c˜oes 4.1, 4.4, 4.6 e 4.7 conclu´ımos oTeorema4.1de Delaunay.

(34)

CAP´ITULO 4. SUPERF´ICIES ROTACIONAIS 33

0

Figura 4.13: As roulettes de Delaunay.

(35)

Superf´ıcies Helicoidais

Superf´ıcies Helicoidais s˜ao aquelas invariantes por movimentos helicoidais em R3, ou seja, por movimentos helicoidais em rela¸c˜ao a uma dada reta. Pelo que vimos no cap´ıtulo 2, um exem-plo de superf´ıcie helicoidal ´e dado pela superf´ıcie parametrizada por X(u, v) = (x(u) cos(αv) + y(u)sen(αv),−x(u)sen(αv) +y(u) cos(αv), z(u) +βv).

Como vimos, pelo Teorema 1.1, o subgrupo a 1-parˆametro de movimentos helicoidais em rela¸c˜ao a um determinado eixo ´e identificado, via mudan¸ca de coordenadas, com o subgrupo a 1-parˆametro G1,δ. Assuperf´ıcies helicoidais de passo δs˜ao ent˜ao superf´ıcies invariantes porG1,δ.

Nos exemplos 2.10 e 2.11 s˜ao descritas duas superf´ıcies helicoidais.

O objetivo deste cap´ıtulo ´e encontrar uma representa¸c˜ao para as superf´ıcies helicoidais de Cur-vatura M´edia constante n˜ao nula. Esta representa¸c˜ao ´e uma generaliza¸c˜ao do resultado obtido por K. Kenmotsu no artigo [6]. O Lema de Bour e O Teorema de Lawson s˜ao pe¸cas chaves para a obten¸c˜ao dessa representa¸c˜ao.

5.1

Parametriza¸

ao Natural e o Lema de Bour.

Seja W ⊂ R2 um aberto e X: W → R3 uma parametriza¸c˜ao tal que X(W) ´e o tra¸co de uma superf´ıcie helicoidal de passoδ. Suponhamos que para um abertoV ⊂W, a intersec¸c˜ao de X(V) com um plano Π⊃ {eixoz}, seja localmente o gr´afico de uma fun¸c˜aoλ(ρ) comρ∈Π∩ {z= 0}.

Renomeando eixos podemos supor Π∩ {z= 0}= eixox. Ent˜ao uma parametriza¸c˜ao para X(V)∩Π ´e β(ρ) = (ρ,0, λ(ρ)). Rodando β(ρ) em torno do eixoz de um ˆangulo ϕ∈R simultaneamente com uma eleva¸c˜ao deδ0ϕ(δ0=cte) obtemos a seguinte parametriza¸c˜ao para X(V)

X(ρ, ϕ) = (ρcosϕ, ρsenϕ, λ(ρ) +δ0ϕ), ρ∈Π∩ {z= 0}, ϕ∈R. (5.1)

SejaImm(W,R3) ={parametriza¸c˜oes deW emR3}. Dado H ∈Rconsideremos

ΣH ={X∈Imm(W,R3) : X ´e superf´ıcie helicoidal de

curvatura m´edia constante H6= 0}.

Defini¸c˜ao 5.1 Seja X(s, t) : W → R3 ∈Imm(W,R3) uma superf´ıcie helicoidal parametrizada por parˆametros (s, t) tais que as s-curvas (t = cte) s˜ao parametrizadas pelo comprimento de arco e as

t-curvas (s=cte) s˜ao h´elices ortogonais `ass-curvas, ent˜ao os parˆametros(s, t)s˜ao ditos parˆametros naturais.

Observa¸c˜ao 5.1 Pela defini¸c˜ao, a Primeira Forma Fundamental de uma superf´ıcie helicoidal para-metrizada por parˆametros naturais (s, t) ´e dada por

dσ2=ds2+U2(s)dt2. (5.2)

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