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MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: UM ESTUDO DETALHADO DA INFLUÊNCIA DOS PESOS NO POSICIONAMENTO DA MÉDIA. PROPRIEDADES E APLICAÇÕES.

Documento informativo

1    UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO Departamento de Matemática Média Aritmética Ponderada: Um estudo detalhado da influência dos pesos no posicionamento da média. Propriedades e Aplicações. Por Diogo José Lopes Lôbo Leite Dissertação Apresentada Como Requisito Parcial Para a Obtenção do Grau de Mestre em Matemática Agosto de 2014   2    Média Aritmética Ponderada: Um estudo detalhado da influência dos pesos no posicionamento da média. Propriedades e Aplicações. Por Diogo José Lopes Lôbo Leite Dissertação Apresentada Como Requisito Para a Obtenção do Grau de Mestre em Matemática Agosto de 2014   3    UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO Departamento de Matemática Média Aritmética Ponderada: Um estudo detalhado da influência dos pesos no posicionamento da média. Propriedades e Aplicações. Por Diogo José Lopes Lôbo Leite Dissertação submetida à homologação do Colegiado de Matemática, apresentado como um requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Matemática. Orientador: ____________________________________________ Profa Dra Rodrigo Neves Gondim   4    À minha esposa Luciana Lôbo Aos meus filhos Beatriz e João Pedro.   5    AGRADECIMENTOS A minha mãe. O começo de tudo. A primeira a acreditar em mim. Aquela que sempre me apoiou em meus lançamentos incertos. Que sempre se propôs a correr os riscos comigo. Aquela que sempre se fez lugar seguro para uma possível volta. Aquela que não me fez intimidar diante das incertezas. Aquela que me fez inteligente ao me fazer conviver com as incertezas de forma leve e tranquila. Que me ensinou o verdadeiro sentido da fé. Que sempre esteve do lado certo, independente se era lá onde eu estava. Aquela que me fez acreditar que tudo vai dar certo. Ao meu Pai. Ao seu modo de demonstrar amor. A extrema certeza de seu amor para comigo. Por não gostar de vaidades. Por gostar das pessoas. Por todos poderem dizer em alto e bom tom: "É uma pessoa boa. Lucílio é ótimo". Por suas imperfeições. Por ser diferente. Por ligar sempre para gente, quando a gente só faz correr. Por nos ensinar a ser simples. Por ter sempre um música nova na agulha para encantar sua neta. Por ser compositor da vida. Da vida ao seu modo. Por não se preocupar com os problemas pequenos. À minha irmã. Por ter sido instrumento para reflexão. Por, mesmo sem querer, mostrar que tem coisas mais importantes que um título. Pelo modo peculiar de amar. Pela sabedoria da frase: "O bom é inimigo do ótimo". Pela presença não linear, porém determinante. À minha esposa. Luciana. Ao seu amor Luciana. A minha flor. Aos olhos que vivem sorrindo. Ao riso tão lindo. À canção de paz. A aquela que um dia me disse: "Admiração é um requisito essencial para se iniciar o amor". Saiba o quanto isso é verdade. Saiba o quanto te amo, ou seja, o quanto te admiro. Quando eu crescer, queria ser como você. Por me forçar a ser cada dia melhor. Por me fazer acreditar no meu espaço. Por me esperar em minhas ausências constantes. Por compreender minhas falhas. Por estar ao meu lado. Por apostar em mim. Por fazer o dobro, enquanto faço metade. Por ser diferente. Pela autenticidade. Por ser mil em uma. Por ser aquilo que não posso perder. Por ser referência. Conviver com você, torna tudo mais fácil. Pela leveza e sofisticação. Por preferir ser feliz. A todos que merecem um lugar aqui. Aqueles que se sentem um pedaço disso tudo.   6    "Um dia Posso até pagar por isso O impossível é meu mais antigo vício Ou então Um delírio do meu coração Que vê as coisas Onde as coisas não estão Tão certo Como flores no deserto" Hebert Viana   7    RESUMO O conceito de Média Aritmética é bastante simples e utilizado em diversas situações do cotidiano. Porém, a concepção que é fundamentalmente ensinada é a de Média Aritmética como uma divisão igualitária, com ênfase na utilização, pouco reflexiva, dos algoritmos que calculam este tipo de média. O presente trabalho amplia o conceito de Média Aritmética para a ideia de ponto de equilíbrio, estudando as potencialidades do tema e suas mais diversas aplicações na matemática e em outras áreas do conhecimento. Na ampliação desse conceito, apresenta-se uma proposta para o cálculo das médias a partir de sua interpretação geométrica. Tal interpretação se torna possível após estudo detalhado da influência dos pesos no posicionamento da média e nas propriedades decorrentes da ampliação do conceito. A aprendizagem da essência torna possível a descoberta de atalhos para a resolução de questões associadas ao tema. Ressalte-se que o cálculo mental e o pensamento proporcional são importantes meios para o exercício da cidadania, uma vez que elementos físicos ou eletrônicos para realizar tais procedimentos podem estar indisponíveis. Além disso, ao fim do Ensino Médio, os alunos que desejam ingressar na universidade precisam se submeter à prova do Novo Enem, exame em que o tempo de resolução das questões se torna parte da avaliação, dado o alto número de questões. O trabalho apresenta uma abordagem múltipla e efetiva, capaz de contribuir na formação de estudantes e professores através de uma aprendizagem significativa.   8    ABSTRACT   The concept of Arithmetic Mean is quite simple and used in various situations of everyday life. However, the concept that is fundamentally taught is Arithmetic Mean as an equal division, with little reflective usage of the algorithms that calculate such average. The present study extends the concept of Arithmetic Mean for the idea of equilibrium point, studying the potential of the topic and its various applications in mathematics and in other areas of knowledge. Expanding this concept, a proposal for calculating means from its geometric interpretation is presented. Such an interpretation becomes possible after detailed study of the influence of weights in mean position and resulting properties from the expansion of the concept. Learning the essence makes possible the discovery of shortcuts to the resolution of issues associated with the topic. It is emphasized that mental arithmetic and proportional thinking are important means for the exercise of citizenship, since physical or electronic elements to perform such procedures may be unavailable. Moreover, in the end of high school, students who wants to be admitted in university must be submited to Novo Enem proof, in which resolution time of the issues becomes part of the evaluation, given the high number of questions. The paper presents a multipronged and effective approache, able to contribute to students and teachers formation through a significant learning approach.           9    LISTA DE TABELAS Tabela 1. . 26 Tabela 2. . 28 Tabela 3. . 29 LISTA DE FIGURAS Figura 1. . 18 Figura 2. . 19 Figura 3. . 24 Figura 4. . 31 Figura 5. . 41 Figura 6. . 42 Figura 7. . 42 Figura 8. . 44 Figura 9. . 44 Figura 10. . 54 Figura 11. . 56 Figura 12. . 62 Figura 13. . 62 Figura 14. . 64 Figura 15. . 70 Figura 16. . 72 Figura 17. . 83 Figura 18. . 84 Figura 19. . 84 Figura 20. . 85 Figura 21. . 85   10    Sumário RESUMO . 6 ABSTRACT. 7 LISTA DE TABELAS . 8 LISTA DE FIGURAS . 8 INTRODUÇÃO . 11 1. O CONCEITO DE RAZÃO E DE PROPORCIONALIDADE . 13  1.1 Em algumas situações clássicas da Matemática . 15  1.2 Em situações contextuaizadas daMatemática e da Química . 21  1.3 Grandezas Diretamente e Invesamente Proporcionais . 25  2. MÉDIA ARITMÉTICA . 31  2.1 Definição de Média Aritmética . 32  2.2 A Média Aritmética Ponderada . 33  2.3 Posicionamento da Média Aritmética Ponderada entre dois Valores . 34  2.4 Extensão do Posicionamento para n Valores . 47  3. APLICAÇÕES DA MÉDIA PONDERADA . 52 3.1 Aplicações na Matemática . 53 3.2 Aplicações em outras Áreas . 58 4. QUESTÕES DE VESTIBULAR . 69 5. A GANGORRA INTERATIVA . 83  6. CONCLUSÃO . 87 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . 90       11    INTRODUÇÃO O presente trabalho se pauta na simplicidade dos conceitos matemáticos de Razão, Proporcionalidade e de Médias, mais especificamente, a Média Aritmética Ponderada. A preocupação inicial foi avaliar a relevância do tema, já que se trata de uma dissertação de Mestrado. Será que posso dissertar sobre algo tão simples? Será que é tão simples assim? Será que é preciso inserir uma Matemática Avançada para qualificar o projeto? Como o trabalho de Conclusão de Curso do PROFMAT tem como objetivo contribuir com a melhoria do Ensino Básico em Matemática, decidimos, eu e minha orientadora, comprar o desafio de falar sobre o trivial. Algo muito difícil, uma vez que todos, mesmo que minimamente, têm uma noção a respeito do tema. Por outro lado, a dificuldade que as pessoas, inclusive professores de matemática, têm em compreender o significado real dos principais conceitos matemáticos nos fez acreditar na relevância do tema. Tal dificuldade pode ser comprovada pelo excesso de “algebrismos” utilizados na resolução de problemas elementares. Coisas que podiam ser feitas “de cabeça”, são normalmente feitas com uma série de receitas prontas, que acabam por não contemplar um dos aspectos mais importante da Matemática, que é desenvolver o raciocínio. A aquisição, com a conclusão das disciplinas do Mestrado, de uma base matemática mais sólida proporcionou a coragem de escrever sobre algo que, após diversas pesquisas, nunca vi publicado. Outra dificuldade deixada em segundo plano para trazer a público algo que percebi, por mais elementar que seja, quando iniciava a profissão e que vem me ajudando a resolver problemas que podem ser modelados através de uma Média Ponderada, de uma forma rápida e eficiente. Minimizando processos e tempo. Valorizando, entre outros aspectos, o cálculo mental, tão importante para um melhor exercício da cidadania. Nem sempre é possível pegar um papel e uma caneta para fazer as contas. A meta é apresentar como os pesos associados aos valores de uma distribuição influenciam no posicionamento da média entre esses valores, além das boas e reais aplicações desse resultado na Matemática e em outras Áreas. É comum escutar: “Quanto maior o peso de um valor, mais a média se aproxima dele”. Mas, fica a pergunta: se aproxima como? Será que têm alguma lógica? Muitos já sabem como, mas poucos utilizam o resultado em seu favor, preferindo realizar os cálculos algébricos convencionais. A formalização deste estudo pode, portanto, contribuir para utilização consciente e eficaz dos resultados que serão apresentados, detalhadamente em 5 (cinco) capítulos.   12    No capítulo 1, discutiremos o conceito de Razão e de Proporcionalidade, ferramentas essenciais para um melhor entendimento dos resultados principais deste trabalho. A tentativa é de maximizar as aplicações do conceito, através de um entendimento adequado e que valorize não apenas as definições, mas sim as principais interpretações envolvidas, que proporcionam as mais diversas e relevantes aplicações. Um bom “pensamento proporcional” pode contribuir para uma menor “algebrização”, favorecendo um fortalecimento da capacidade aritmética e a otimização do tempo de resolução de problemas. Vale lembrar que o tempo é fator de extrema importância na principal avaliação nacional do Ensino Médio, a prova do Novo Enem. Quanto mais se entende, menos se escreve e mais se economiza tempo. No Capítulo 2, apresentaremos o conceito geral de Média e enfatizaremos a abordagem na Média Aritmética Ponderada. Toda a formalização matemática necessária será construída e destacada, a fim de dar a sustentação adequada ao tema principal do trabalho. Começaremos mostrando como a média entre dois valores reais se posiciona entre eles e discutindo alguns problemas bem simples, buscando o entendimento da influência dos pesos em tal posicionamento para posterior aplicação em situações relevantes da Matemática e de outras Áreas. Apesar das maiores aplicações serem para o caso de dois valores, estenderemos o estudo para o caso de n valores. Depois dos aspectos teóricos e formais desenvolvidos, nos demais capítulos, a partir do entendimento da influência dos pesos no posicionamento da média, será enfocado as aplicações da Média Ponderada na Matemática, nas outras Ciências e no Cotidiano. Abriremos espaço para discussão de diversas questões de vestibular que versam sobre essa média, na tentativa de otimizar o tempo de resolução. Faremos, ainda, uma ponte entre as ideia apresentadas e o jogo de equilibrar pesos do software Gangorra Interativa, uma boa alternativa à experimentação inicial tanto quanto a consolidação do tema apresentado. No mais, esperamos que o trabalho venha a contribuir trazendo significado a conceitos simples que nem sempre são bem desenvolvidos e enfatizados, sendo uma alternativa viável para resolução de problemas e entendimento de situações das mais diversas esferas.   13    1. O CONCEITO DE RAZÃO E DE PROPORCIONALIDADE Já no Ensino Fundamental, são discutidos os conceitos de grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Este tema de extrema importância não pode ser bem compreendido e assimilado sem o entendimento adequado de razões e proporções. A preocupação, nesse momento, não é a de definir razão. Mas sim, de trazer significados reais e clareza quanto às suas aplicações. Ao perguntar a vários alunos o que é razão entre dois números (ou grandezas) “a” e “b”, a maioria define de forma taxativa: A razão entre dois números(ou grandezas) “a” e “b” é dada pelo quociente a . b A questão é que a pergunta recorrente: E para que serve? Normalmente fica sem resposta ou são dadas respostas que não evidenciam a maior varied quite markedly with height, and that air masses aloft (∼200 m above the ground) could have an aerosol loading quite different to that measured on the ground (Rankin and Wolff, 2002). However, for the event described here, at least, it appears that the 4139 ACPD 7, 4127–4163, 2007 Multi-seasonal NOy budget in coastal Antarctica A. E. Jones et al. Title Page Abstract Introduction Conclusions References Tables Figures Back Close Full Screen / Esc Printer-friendly Version Interactive Discussion EGU source of surface snow nitrate was wet deposition and scrubbing, and the data are consistent with the nitrate source being p-NO−3 within the boundary layer. 4 Boundary layer trace gas versus snowpack sources of NOx A key question among polar atmospheric chemists concerns the role of polar snow5 packs as a source of trace gases to the overlying boundary layer. For those studying nitrogen chemistry, the interest lies in understanding the budget of NOx; we know that NOx is photochemically produced (Honrath et al., 1999; Jones et al, 2000) and then released (Jones et al., 2001; Wolff et al., 2002) from the snowpack, but the relative contribution compare to NOx production from trace gases in the background atmo10 sphere has not yet been assessed. The data gathered during CHABLIS allow us to constrain the dominant NOx production mechanisms, and by comparing these calculated production rates, to assess the relative importance of sources of boundary layer NOx, both in the air and from the snowpack. This approach also provides insight into which gas-phase species are dominating NOx production within the boundary layer. 15 4.1 Methodology We selected two 24-h periods, one in summer and one in spring, within which to calculate diurnally-averaged NOx (as either NO or NO2) production. The periods selected were 18 January 2005 and from noon of 28 September 2004 through to noon of 29 September 2004. The former period was the first day in the summer season when 20 high-resolution alkyl nitrate data were available to compliment the other high-resolution datasets. This was also a time when an NOy intensive was carried out, so that daily HNO3 measurements are available. During the latter period, an NOy measurement intensive was also conducted, giving, in addition, alkyl nitrate measurements every 6 h – the highest resolution alkyl nitrate data available for the spring period. 4140 ACPD 7, 4127–4163, 2007 Multi-seasonal NOy budget in coastal Antarctica A. E. Jones et al. Title Page Abstract Introduction Conclusions References Tables Figures Back Close Full Screen / Esc Printer-friendly Version Interactive Discussion EGU 4.1.1 Deriving gas-phase data NOx production rates were calculated every 3 h during these diurnal periods, giving 8 data points from which daily means could be calculated. Where possible (e.g. for HONO, PAN, summertime methyl and ethyl nitrates), input data were taken from an 5 hourly data merger carried out for all the CHABLIS data and the few missing data points were derived by linear interpolation. For the 6-hourly springtime methyl and ethyl nitrate mixing ratios, it was by default necessary to interpolate to achieve data at a 3-h frequency. These data were thus point-averages rather than hourly-averages, but as mixing ratios did not vary rapidly over the day, the uncertainty introduced by this 10 approach is limited. For HNO3, sampled over a longer timeframe, it was necessary to reconstruct higher resolution data. Summertime HNO3 was measured as a 24-hmean centred around 23:59 on both 17 January and 18 January. These two data points were averaged to derive a daily mean for 18 January. The diurnal variation was reconstructed by comparing with 6-hourly resolution HNO3 data measured previously 15 at Neumayer station (Jones et al., 1999). There, a diurnal cycle with amplitude 7.5 pptv was measured, centred around noon. This amplitude was applied to the 18 January mean to give a reasonable diurnal cycle. For the 28/29 September HNO3, the 6-hourlyresolution data were below the detection limit, so the daily mean for 27 September and 29 September were averaged to give a mean for the calculation period. This mean was 20 only 0.96 pptv, and, being so low, it was taken to be constant over the 24-h period of interest. Finally, several measured NOy species did not exceed 2 pptv throughout the year (e.g. NO3 and the higher alkyl nitrates), and they were ignored for this calculation. Similarly, output from the GEOS-Chem model suggested that HNO4 also remained well below this threshold throughout the year (M. Evans, personal communication) so 25 no account for HNO4 was taken here. 4141 ACPD 7, 4127–4163, 2007 Multi-seasonal NOy budget in coastal Antarctica A. E. Jones et al. Title Page Abstract Introduction Conclusions References Tables Figures Back Close Full Screen / Esc Printer-friendly Version Interactive Discussion EGU 4.1.2 Gas-phase kinetic data Gas-phase reaction rates were taken from Atkinson et al. (2004, 2006) and photolysis rates for each 3-h period were calculated using the on-line version of the radiative transfer model TUV (Madronich and Flocke, 1998). For these calculations, input parameters 5 included the total ozone column measured at Halley for these days, and an albedo of 0.9. Clear sky conditions were assumed, so photolysis rates will be overestimated, but the relative effect on all species will be comparable. In addition, OH concentrations were necessary for some kinetic calculations. On 18 January 2005, OH was measured by the FAGE (Fluorescence Assay by Gas Expansion) instrument (Bloss et al., 2007). 10 These data were included in the CHABLIS data merger, so that mean hourly OH concentrations were available for this period. No OH measurements were available for September, so OH was derived indirectly. Bloss et al. (2007) calculated a mid-month OH throughout the CHABLIS measurement period based on varying jO(1D) (from the TUV model). To derive a daily mean OH for 28/29 September, we averaged the mid15 month values for September and October, and found that (28/29 September)calculated = 0.561 (15 January)calculated. A diurnally-varying OH for 28/29 September was calculated from 0.561 * each 3-hourly measured January OH. Temperature data were taken from measured values. For PAN thermal decomposition, the upper limit was calculated according to –d[PAN]/dt = k[PAN]. 20 4.1.3 Calculating snowpack NOx emissions The rates with which NOx was emitted from the snowpack during the periods of interest were calculated in line with previous work by Wolff et al. (2002). In brief, spectral irradiance at 3-h intervals was calculated using the TUV model. These were converted to actinic flux as a function of depth according to output from a model designed to 25 simulate light propagation through snow (Grenfell, 1991). The actinic fluxes were then convoluted with the absorption cross-sections and the quantum yield to give J values. In this case, temperature-dependent quantum yields were used (Chu and Anastasio, 4142 ACPD 7, 4127–4163, 2007 Multi-seasonal NOy budget in coastal Antarctica A. E. Jones et al. Title Page Abstract Introduction Conclusions References Tables Figures Back Close Full Screen / Esc Printer-friendly Version Interactive Discussion EGU 2003) which were not available at the time of the Wolff et al., 2002 work. A temperature of –4 C was taken for 18 January, and of –20 C for 28/29 September. These were chosen by assuming that the top few cms of snow saw an average of the near surface (1 m) air temperature for the preceding 1–2 days. Finally, the nitrate concentration in snow 5 was derived using the average of the 0 cm, 5 cm and 10 cm snow nitrate concentration from the snowpit dug nearest to the date in question. This gave 73 ng/g for September and 157 ng/g for January. 4.2 Outcome The results for the gas-phase production rates are given in Table 3a. It is immedi10 ately evident that the contribution from HONO photolysis completely dominates NOx production for both periods, with rates of 6.20E+05 and 4.80E+04 molecs cm−3 s−1 for January and September respectively. This is no great surprise, given the very short lifetime of HONO to photolysis, and reflects a recycling of NOx through HONO (via NO + OH → HONO) rather than a pure source of NOx. Indeed, NOx, although generally 15 defined as NO + NO2, is sometimes expanded to include HONO as well. However, as discussed earlier, HONO also has a source from snowpack photochemistry (Zhou et al., 2001; Beine et al., 2002; Dibb et al., 2002) so as well as facilitating recycling, boundary layer HONO that has been released from the snowpack can act as a source of atmospheric NOx. With our data it is not possible to determine how much of the 20 NOx produced by HONO photolysis (or reaction with OH) is conduto radicular. O objetivo deste estudo foi investigar e estabelecer uma relação precisa da quantidade de luz transmitida através de pinos de fibra e seu efeito na KHN e na RA de um cimento resinoso de dupla polimerização. Nossos resultados mostram boas evidências de que a quantidade de luz tranamitida é baixa e não tem influência na retenção do pino ao conduto radicular ou na microdureza do cimento resinoso dual auto-adesivo utilizado. Em face aos nossos achados não recomendamos utilizar cimentos fotopolimerizáveis ou de dupla polimerização. Pelas razões discutidas nossa recomendação é de que até o surgimento de novas evidências científicas apenas materiais auto-polimerizáveis sejam utilizados. Importante salientar que não estamos contraindicando os pinos translucentes. Estes pinos tem características mecânicas semelhantes aos outros fibroresinosos. Só não recomendamos seu uso associado a cimentos que dependam da luz no seu processo de polimerização. A utilização de cimentos resinosos auto-adesivos de dupla polimerização deve ser discutida à parte. O uso desses cimentos traz vantagens baseadas na diminuição de passos clínicos, facilidade técnica, diminuição da possibilidade de erros e do tempo clínico gasto nos dos procedimentos de cimentação. Em recente estudo pode-se verificar que em algumas situações clínicas valores de resistência adesiva foram superiores para pinos cimentados com um cimento auto-adesivo comparativamente aos cimentados pela técnica adesiva convencional independente do tipo do cimento quanto à reação química (Mongruel et al., 2012), e a justificativa para tais achados é exatamente pelo fato da simplicidade da técnica. Sendo assim, o uso do cimento auto-adesivo utilizado em nosso trabalho parece ser eficiente na cimentação de pinos intrarradiculares desde que, assim como em qualquer cimentação, os conceitos que regem estes procedimentos sejam fielmente atendidos.     58   Não obstante a toda essa discussão técnico-científica, o fator preponderante na retenção de um pino continua a ser a retenção friccional. Uma boa adaptação do pino continua sendo primordial para o sucesso restaurador. A função do cimento é tão somente preencher os espaços entre o pino e o canal radicular favorecendo a retenção friccional. Lembrando por fim que nenhum cimento tem a capacidade de compensar preparos intrarradiculares em comprimento inadequado ou um pino mal adaptado (Summitt at al., 2001).   59 8 – ANEXOS   Referências   61   1. Akgungor G, Akkayan B. Influence of dentin bonding agents and polymerization modes on the bond strength between translucent fiber posts and three dentin regions within a post space. J Prosthet Dent 2006;95:368-78. 2. Albuquerque RC, Polleto LTA, Fontana RHBTS, Cimini Junior CA. Stress analysis of an upper central incisor restored with different posts. J Oral Rehabil 2003;30:936-43. 3. Anusavice KJ. Phillips, Materiais Dentários. Rio de Janeiro: Elservier, 2005. 4. Asmussen E, Peutzfeldt A, Heitmann T. Stiffness, elastic limit, and strength of newer types of endodontics posts. 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MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: UM ESTUDO DETALHADO DA INFLUÊNCIA DOS PESOS NO POSICIONAMENTO DA MÉDIA. PROPRIEDADES E APLICAÇÕES.
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