Feedback

Geometria fractal na educação básica

Documento informativo

Graciele de Ca´ssia Oliveira Geometria Fractal na Educac¸˜ao B´asica Universidade Federal de Minas Gerais Mar¸co de 2014 Graciele de Ca´ssia Oliveira Geometria Fractal na Educa¸c˜ao B´asica Monografia apresentada ao programa de p´osgraduac¸a˜o em Matema´tica para Professores com Eˆnfase em Ca´lculo, Instituto de Ciˆencias Exatas-ICEx, Departartamento de Matem´atica da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial a` obtenc¸a˜o do t´ıtulo de Especialista em Matema´tica com Eˆnfase em Ca´lculo. Orientadora: Carmen Rosa Giraldo Vergara Universidade Federal de Minas Gerais 06 de Marc¸o de 2014 Agradecimentos Agrade¸co em primeiro lugar a Deus que iluminou o meu caminho durante esta caminhada me dando for¸ca, sau´de e sabedoria. A` minha filha amada, raz˜ao da minha existˆencia, por ter compreendido minha ausˆencia quando necessa´rio. De forma grata e grandiosa `a minha fam´ılia querida, ma˜e, pai e irm˜a, pelo amor incondicional, me apoiando nos momentos de dificuldades. Ao meu diretor Wellington e colegas de trabalho, que embora n˜ao tivessem conhecimento disto me incentivaram e ajudaram quando precisei. E n˜ao deixando de agradecer em especial a` minha orientadora, Carmen pelo carinho, paciˆencia e pelos conhecimentos adquiridos. ii Dedico este trabalho a` minha fam´ılia, por todo apoio, amor e compreens˜ao! Resumo Este trabalho teve como objetivo o estudo da Geometria Fractal na educa¸c˜ao ba´sica, citando a importaˆncia de trabalhar com conhecimentos atuais nas aulas de matema´tica de maneira inovadora. De modo geral, o ensino de Matema´tica segue sempre a mesma rotina. Com o intuito de mostrar que ´e poss´ıvel fugir do tradicionalismo, ´e importante que o professor apresente conteu´dos ligados ao contexto do aluno. A ideia de estudar essa geometria se deve ao fato dela ser mais precisa para descrever as formas presentes na natureza, numa couve-flor, samambaia, nuvem e etc, ja´ a Geometria Euclidiana apenas as formas geom´etricas, levando o aluno a perceber a sua rela¸c˜ao com os elementos do cotidiano, fazendo conexo˜es com a Matema´tica e o mundo da Natureza, explorando-a por caminhos na˜o-anal´ıticos. Diante disso foram propostas diversas atividades desenvolvidas em sala de aula, para que alguns desses conceitos sejam compreendidos. Palavras chave: Geometria Fractal, ensino da geometria, aprendizagem matema´tica. iv Abstract This work aimed to study the fractal geometry in basic education, citing the importance of working with current knowledge in mathematics lessons in innovative ways. Overall, the teaching of mathematics always follows the same routine. In order to show that it is possible to escape from traditionalism, it is important that the teacher presents content related to the context of the student. The idea of studying this geometry is due to the fact that it is more accurate to describe shapes found in nature, a cauliflower, fern, sky etc., now only the Euclidean geometric shapes, leading the student to realize his relationship with the elements of everyday life, making connections with mathematics and the world of Nature, by exploiting the non-analytic paths. Therefore proposals were many activities in the classroom, so that some of these concepts are understood. Keywords:Fractal Geometry mathematics, geometry teaching, mathematical learning. v Sum´ario Introdu¸c˜ao viii 1 Espa¸cos M´etricos 1 1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Contrac¸˜oes em espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Espac¸o de Hausdorff 21 2.1 Contrac¸˜oes no Espa¸co de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Sistema de fun¸c˜oes iteradas (SFI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 SFI com condensa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Geometria Fractal 42 3.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Aspectos da Geometria Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 Classifica¸c˜ao dos Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.2 Auto-similaridade ou Auto-semelhan¸ca Fractal . . . . . . . . . 46 3.2.3 Dimens˜ao Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Alguns fractais cl´assicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.1 O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.2 A Curva de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.3 O triaˆngulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Explorando fractais na sala de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4.1 Atividade 01: Geometria Euclidiana e sua associa¸c˜ao com ob- jetos conhecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.2 Atividade 02: V´ıdeo sobre Geometria Fractal . . . . . . . . . . 58 vi 3.4.3 Atividade 03: Construindo Fractais . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.4 Atividade 04: Construindo Fractais com o software GeoGebra 62 3.4.5 Atividade 05: Logaritmos e per´ımetros . . . . . . . . . . . . . 70 3.5 Resultados Obtidos com a aplica¸ca˜o das atividades . . . . . . . . . . 71 vii Introduc¸˜ao Durante s´eculos a geometria euclidiana foi considerada como a geometria que melhor descrevia o mundo em que vivemos. Euclides (325 - 265 a. C.) desenvolveu va´rios estudos sobre as formas de objetos planos, mas objetos complexos como uma samambaia, por exemplo, na˜o tinham defini¸ca˜o de forma e dimensa˜o. Isso abriu caminho para outras geometrias. Dentre essas geometrias, temos o surgimento da geometria fractal, ramo da matema´tica destinado a estudar as formas que se caracterizam por repeti¸co˜es de um determinado padra˜o com constantes varia¸co˜es. Essas formas s˜ao facilmente identificadas na natureza, em uma couve-flor, um relˆampago, uma ´arvore, pois apresentam sempre c´opias aproximadas de si mesmo em seu interior. Neste contexto, o estudo sobre os fractais tem como objetivo estimular e despertar o interesse dos alunos, pois em muitos momentos eles se deparam com uma forma irregular, portanto ´e importante conhecer as a´reas onde estas formas s˜ao estudadas e aplicadas. Deste modo, para inserir esse tema, relacionando-o com alguns conteu´dos de matema´tica, foi desenvolvido uma oficina com os alunos do 2o ano do ensino m´edio, na Escola Estadual Dr. Orests Diniz, em Betim - MG, abordando o conceito de fractais, sua origem e propriedades, mostrando como sa˜o constru´ıdos alguns deles, citando exemplos de aplica¸co˜es atrav´es de atividades exploradas com materiais manipul´aveis (instrumentos de medida e material concreto) em sala de aula e no laborato´rio de informa´tica usando o software GeoGebra, para que, assim, os alunos possam ter acesso a atividades diferentes, percebendo que a matema´tica na˜o ´e uma ciˆencia pronta e acabada, mas uma ciˆencia que evolui de acordo com as nossas necessidades e est´a sempre presente no dia-a-dia. viii ix Cap´ıtulo 1 Espac¸os M´etricos Espa¸cos m´etricos sa˜o conjuntos nos quais podemos “medir”a distˆancia entre dois elementos quaisquer. Nesta sec¸ca˜o formalizamos o conceito de distaˆncia e estudamos outros conceitos relacionados a Geometria Fractal, que estuda subconjuntos complexos desses conjuntos. 1.1 Preliminares Definic¸˜ao 1.1 Um espa¸co m´etrico (X,d) ´e um conjunto na˜o vazio X de elementos chamados pontos, dotado de uma fun¸ca˜o d : X × X −→ R (x, y) −→ d(x, y) Chamada distˆancia m´etrica, que satisfaz as seguintes propriedades: Para todo x, y, z ∈ X, temos que: i) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (distaˆncia na˜o negativa) ii) d(x, y) = d(y, x) (simetria) iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular). 1 Exemplo 1.2 A aplica¸c˜ao d : R × R −→ R dada por: d(x, y) :=| x − y | ´e uma m´etrica sobre R, onde || denota o valor absoluto. De fato, dados x, y, z ∈ R, temos que i) d(x, y) =| x − y |⇐⇒ d(x, y) ≥ 0. d(x, y) =| x − y | = 0 ⇐⇒ x − y = 0 ⇐⇒ x = y. ii) d(x, y) =| x − y |=| y − x |= d(y, x). iii) d(x, y) =| x − y | = | (x − z) + (z − y) | ≤ |x−z |+|z−y| = |x−z |+|y−z | = d(x, z) + (y, z). Exemplo 1.3 A aplicac¸˜ao d : R2 × R2 −→ R dada por: d((x1, x2), (y1, y2)) : = (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2, ´e uma m´etrica sobre R2. i) Para qualquer x = (x1, x2) e y = (y1, y2) teremos, d(x,y) ≥ 0 ⇐⇒ (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 ≥ 0 ⇐⇒ (y1 − x1)2 ≥ 0 e (y2 − x2)2 ≥ 0 ⇐⇒ d((x1, x2), (y1, y2)) ≥ 0 Para qualquer x = (x1, x2) e y = (y1, y2) teremos, d(x,y) = 0 ⇐⇒ (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 = 0 ⇐⇒ (y1 − x1)2 = 0 e (y2 − x2)2 = 0 ⇐⇒ y1 = x1 e y2 = x2 ⇐⇒ x = y. ii) d(x, y) =⇐⇒ (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 = d(y, x) 2 iii) Para provar a desigualdade triangular, vamos utilizar a desigualdade de CauchySchwarz: Sejam x = (x1, x2, ., xn) e y = (y1, y2, ., yn), em Rn, observe que (x1y1 + x2y2 + . + xnyn)2 ≤ (x21 + x22 + . + x2n)(y12 + y22 + . + yn2) No caso particular de R2, temos que para qualquer (a1, a2), (b1, b2) ∈ R2, (a1b1 + a2b2)2 ≤ (a21 + a22)(b12 + b22) Observe que da desigualdade acima temos que, a1b1 + a2b2 ≤| a1b1 + a2b2 |≤ a12 + a22 b12 + b22 Por outro lado temos que, (a1 + b1)2 + (a2 + b2)2 = (a21 + a22) + 2(a1b1 + a2b2) + (b21 + b22) ≤ (a12 + a22) + 2 = a12 + a22 + a12 + a22 b21 + b22 2 b21 + b22 . + (b12 + b22) Sejam x = (x1, x2), y = (y1, y2) e z = (z1, z2) em R2, fazendo a1 = z1 - x1, a2 = z2 - x2, b1 = y1 - z1 e b2 = y2 - z2, temos a1 + b1 = y1 - x1 e a2 + b2 = y2 - x2, portanto (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 ≤ 2 (z1 − x1)2 + (z2 − x2)2 + (y1 − z1)2 + (y2 − z2)2 , logo (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 ≤ (z1 − x1)2 + (z2 − x2)2 + (y1 − z1)2 + (y2 − z2)2, enta˜o d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), como quer´ıamos demonstrar. Exemplo 1.4 Sejam x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, definimos o produto interno entre os elementos x e y em R2 como x.y = x1y1 + x2y2, 3 definimos tamb´em a norma do elemento x = (x1, x2) em R2 como ||x|| = x21 + x22, e o ˆangulo θ (x,y) entre x e y como θ : R2 × R2 −→ R    0, se x = y = 0,   θ (x,y) = π 2 , se x = 0 ou y = 0, (1)     arc cos x.y ||x||.||y|| , se x = 0 e y = 0. Agora consideremos d∗: d∗ : R2 × R2 −→ R (x, y) −→ d∗(x, y) = ||x|| − ||y|| + θ(x, y). (2) Figura 1.1: A m´etrica d∗. d∗ ´e uma m´etrica em R2: i) d∗(x, y) = ||x|| − ||y|| + θ(x, y) ⇐⇒ ||x|| − ||y|| ≥ 0 e θ(x, y) ≥ 0 ⇐⇒ d∗(x, y) ≥ 0. Se x=y, de (2) temos que d∗(x,y)=0 Reciprocamente se d∗(x,y)=0, enta˜o ||x|| − ||y|| + θ(x, y) = 0, mas como cada termo da soma na˜o ´e negativo, ent˜ao cada termo ´e 0, portanto ||x|| = ||y|| e θ(x, y) = 0, enta˜o y = αx, para algum α > 0, portanto x = y. 4 ii) d∗(x, y) = ||x|| − ||y|| + θ(x, y) = ||y|| − ||x|| + θ(y, x) = d∗(y, x). iii) Agora vamos demonstrar que d∗(x, y) ≤ d∗(x, z) + d∗(y, z). (3) Considerando o produto interno definido em R2 e x, y, z ∈ R2, temos a seguinte desigualdade De (4) e (2) temos θ(x, y) ≤ θ(x, z) + θ(y, z). (4) d∗(x, y) = ||x|| − ||y|| + θ(x, y) ≤ ||x|| − ||z|| + θ(x, z) + ||y|| − ||z|| + θ(y, z) = d∗(x, z) + d∗(y, z). Satizfazendo a desigualdade (3). Portanto, d∗ ´e de fato uma m´etrica em R2. Definic¸˜ao 1.5 Seja (X,d) um espac¸o m´etrico . Dizemos que Y ´e um subespac¸o m´etrico de X se Y ⊂ X e adotarmos em Y a m´etrica d restrita a Y. Exemplo 1.6 Seja X = R2 com m´etrica usual du e S = [0, 1] × [0, 1]. (S, du) ´e um subespac¸o m´etrico de (R2, du). Figura 1.2: S = [0, 1] × [0, 1] 5 Definic¸˜ao 1.7 Seja X um espa¸co m´etrico, uma aplica¸c˜ao s definida por: s : N∗ −→ X n −→ s(n) = xn ´e chamada sequˆencia de elementos em X. Escrevemos (x1, x2, x3, ., xn.), ou (xn)n∈N∗, ou simplesmente (xn). Exemplo 1.8 (1,-1,1,-1,1,-1,.) ´e uma sequˆencia de elementos em R cujo conjunto de termos ´e {−1, 1}. Exemplo 1.9 Considere a sequˆencia definida por:   s1 = s2 = 1  sn = sn−2 + sn−1, ∀n ≥ 3 Assim, seus cinco primeiros termos sa˜o: 1, 1, 2, 3, 5. Esta´ sequˆencia ´e conhecida como sequˆencia de Fibbonaci. Definic¸˜ao 1.10 Uma sequˆencia xn dita limitada superiormente se existir um nu´mero real M tal que xn ≤ M, ∀n ≥ 1 A sequˆencia ´e limitada inferiormente se existir um nu´mero m tal que m ≤ xn, ∀n ≥ 1 Se ela for limitada superiormente e inferiormente, enta˜o xn ´e dita sequˆencia limitada. Exemplo 1.11 xn = n ´e limitada inferiormente (an > 0) mas n˜ao superiormente. xn = n n+1 ´e limitada, pois 0 < an < 1, para todo n. 6 Definic¸˜ao 1.12 Uma sequˆencia xn ´e crescente se xn ≤ xn+1, ∀n ∈ N Uma sequˆencia xn ´e decrescente se: xn ≥ xn+1, ∀n ∈ N Toda sequˆencia crescente ou decrescente ´e chamada de mono´tona. Exemplo 1.13 xn = 5 n+4 = 1, 5 6 , 5 7 . ´e decrescente. xn = n + 1 n = 2, 2 + 1 2 , 3 + 1 3 . ´e crescente. Logo as duas sequˆencias s˜ao mon´otonas. Dado um espa¸co m´etrico ´e fundamental conhecer a defini¸c˜ao de convergˆencia, e esse conceito sera´ essencial para o nosso estudo de fractais. Defini¸c˜ao 1.14 Seja (X,d) um espac¸o m´etrico e (xn) uma sequˆencia em X. Dizemos que a sequˆencia (xn) converge se existe um nu´mero real S ∈ X, tal que, os termos da sequˆencia (xn) se aproximam cada vez mais de S, de modo que a distaˆncia de (xn) a S pode ser t˜ao pequena quanto quiser. Ou seja, lim n→+∞ xn = S Uma sequˆencia que possui limite, diz-se convergente, caso contra´rio diz-se diver- gente. De maneira impl´ıcita, todos os limites de sequˆencias reais que estudaremos se fara˜o quando n −→ +∞. 7 Exemplo 1.15 A sequˆencia ( 1 n )n ´e convergente no espa¸co m´etrico R com m´etrica usual, pois ( 1 n )n −→ 0. Figura 1.3: A medida que avan¸camos nos termos de ( 1 n )n −→ 0 eles se aproximam cada vez mais de zero. Pela Propriedade Arquimediana temos que quaisquer x, y, z ∈ R com x > 0 existe N ∈ N tal que N x > y. Assim dado ε > 0, existe N ∈ N tal que N ε > 1, ou seja N > 1 ε . Portanto d 1 ,0 = 1 −0 =1≤ 1 < ε. n n nN E assim, conclu´ımos que ( 1 n )n −→ 0. O seguinte teorema nos mostra a unicidade do limite para sequˆencias. Teorema 1.16 Se uma sequˆencia (xn) converge, ent˜ao este limite ´e u´nico. Demonstrac¸˜ao Suponhamos por contradic¸˜ao que (xn) −→ L, (xn) −→ M com L = M , assim temos que d(L, M ) > 0. Seja ε = d(L,M 2 ) . Como (xn) −→ L, existe N1 ∈ N, ∀n ≥ N1, d(xn, L) < ε. Como (xn) −→ M , existe N2 ∈ N, ∀n ≥ N2, d(xn, M ) < ε. Seja N = ma´x { N1, N2 }. Para todo n ≥ N temos que: 8 0 ≤ d(L, M ) ≤ d(L, xn) + d(M, xn) < d(L,M ) 2 + d(L,M 2 ) . Logo, d(L, M ) < d(L, M ), que ´e uma contradi¸c˜ao. Definic¸˜ao 1.17 Seja xn uma sequˆencia em X e k : N −→ N uma fun¸c˜ao crescente (n1 ≤ n2 implica k(n1) ≤ k(n2)). A fun¸ca˜o composta x k : N −→ X se chama subsequˆencia de xn. Analisando esta definic¸˜ao, temos que N −→k N −x→ X n −→ kn −→ xkn Desta maneira x k ´e uma sequˆencia em X, cujos termos xkn sa˜o “extra´ıdos”da sequˆencia original xn, por´em esses termos n˜ao foram extra´ıdos de qualquer forma, obedecem a condic¸˜ao n ≤ m =⇒ kn ≤ km (k ´e crescente) significa que da sequˆencia (xn)n va˜o se formando os termos xk1, xk2, ., xkm, ., mas preservando a ordem. √ √√√ √ √ Exemplo 1.18 Dada a sequˆencia ( n)n temos que ( 2, 7, 10, 12, 14, .) ´e √√√√ √ √ uma subsequˆencia, enquanto (1, 2, 5, 3, 12, 10, 14, .) na˜o ´e. Proposi¸c˜ao 1.19 Seja (xn)n uma sequˆencia em um espac¸o m´etrico. Enta˜o (xn)n −→ L se e somente se toda subsequˆencia de (xn)n converge a L. Demonstrac¸˜ao Se toda sequˆencia xn converge a L, enta˜o xn −→ L, pois a sequˆencia completa ´e subsequˆencia de si mesma e o limite ´e u´nico. Reciprocamente, suponhamos que xn −→ L e seja (xkn)n uma subsequˆencia de xn. Seja ε > 0, existe N ∈ N tal que, n ≥ N implica d(xn, L) < ε. Em particular, para cada kn > N temos que d(xkn, L) < ε, isto ´e, a subsequˆencia (xkn) converge para L. 9 Proposic¸˜ao 1.20 Toda sequˆencia mon´otona limitada de nu´meros reais ´e convergente. Demonstra¸c˜ao Tomemos a sequˆencia limitada {x1 ≤ x2 ≤ . ≤ xn ≤ .}. Seja a = sup{xn : n = 1, 2, .}, n ∈ N, suponha que a = limxn. Ent˜ao, dado arbitrariamente ε > 0, o nu´mero a − ε, na˜o pode ser cota superior do conjunto dos valores xn, pois ´e menor que a. Logo existe n0 ∈ N tal que, a − ε < xn0 ≤ a. Enta˜o n > n0 ⇒ a − ε < xn0 ≤ xn ≤ a < a + ε ⇒ a − ε < xn < a + ε. Portanto, d(xx, a) < ε, ∀n > no. Definic¸˜ao 1.21 Uma sequˆencia xn em X ´e chamada sequˆencia de Cauchy se para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que: m, n ≥ N ⇒ d(xm, xn) < ε Observe que numa sequˆencia de Cauchy, a medida que a posic¸˜ao dos termos crescem, os termos se aproximam cada vez mais. Exemplo 1.22 A sequˆencia (xn) em R dada por xn = 1 n para todo n ∈ N ´e uma sequˆencia de Cauchy. Se ε > 0, pela Propriedade Arquimediana, podemos encontrar n0 tal que 1 n0 < ε, enta˜o se n, m ≥ n0, podemos supor que n ≥ m, assim teremos 0< 1≤ 1 ≤ 1 . n m n0 De onde conclu´ımos que 10 11 1 1 − ≤ −0 = 0, existe N, tal que, n ≥ N ⇒ d(xm, xn) < ε 2 Sejam n, m ≥ N , enta˜o pela desigualdade Acesso em: 17 jul. 2009) 65 O Marechal Castelo Branco assumiu a Presidência da República em 15.04.1964. 116 A denominação do bairro remete à figura de Francisco dos Santos, o Chico dos Santos, dono de um rancho às margens do rio Machado onde ele administrava um entreposto de mercadorias, uma venda e uma pousada para os viajantes que comercializavam produtos através da estação de Fama (1896) da Estrada de Ferro Muzambinho e do barco que ia de Fama até a Cachoeira (ainda existente no rio Machado e próxima ao bairro). Segundo um de seus descendentes, Sr. João Esmeraldo Reis, nascido em 1932, figura de destaque no bairro, quando da construção de Furnas, a expectativa dos moradores é que a energia elétrica chegasse ao bairro. Até então apenas os moradores mais abastados do bairro eram sócios de uma pequena usina elétrica, inaugurada em 12 de abril de 1951.66 Em seu depoimento à pesquisadora, em estudo prévio sobre a comunidade atendida pela Fundamar, em 1994, Sr. João Esmeraldo relembrou as várias pontes construídas sobre o rio Machado, interligando o bairro do Chico dos Santos ao bairro do Coroado no município vizinho de Alfenas. Antes da construção da primeira ponte a travessia era de barco e para o gado era na água. Segundo o depoente, quando a primeira ponte foi construída, em torno de 1920, só aqueles que contribuíram para a obra tinham livre acesso. Os demais tinham que pagar para atravessar ou se valerem dos préstimos do barqueiro, Chiquinho Cordeiro. Depois que o rio Machado foi represado por Furnas, no bairro Chico dos Santos (1965?) a terceira ponte foi construída pela comunidade com ajuda de ambas prefeituras – Paraguaçu e Alfenas. O Sr. João Esmeraldo 66 O jornal “O Paraguassu”, Paraguaçu (MG), n. 496 de 15 abr. 1951 traz a notícia: “Inauguração da Luz Eletrica no Bairro Chicos dos Santos”. Segundo Sr. João Esmeraldo, eram vinte e dois sócios envolvidos na construção da usina de energia elétrica, captando as águas do ribeirão que deságua no rio Machado, no bairro Chico dos Santos. O responsável pela usina era Geraldo de Abreu, de Alfenas. 117 participou da construção da ponte de madeira amarrada com cipó, a base era de pedra e sua extensão era de 22m. Foi construída entre 25 de julho e 25 de agosto de 1967. Edição de “A Voz da Cidade” de 1º de outubro de 1967 confirma a informação de nosso depoente. Furnas só viria construir a ponte sobre o rio Machado, em substituição à antiga, já interditada, em 1981. O jornal “A Voz da Cidade” de 28 de março de 1981 refere-se a um convênio entre a Prefeitura Municipal de Paraguaçu e Furnas – Centrais Elétricas S/A para construção de obras para evitar o ilhamento de alguns produtores rurais, cujas propriedades localizam-se nas margens do lago de Furnas. Refere-se ainda à construção da nova ponte do rio Machado, de interesse direto dos moradores do Bairro dos Santos (bairro Chico dos Santos, em Paraguaçu) e do Coroado, no município de Alfenas, a ser executada diretamente por Furnas. Raro exemplo de publicação de memórias sobre um bairro rural do município de Paraguaçu, o livro “Memórias do Chico dos Santos”, de autoria de Edson Vianei Alves (1949-2002), sobrinho materno do depoente João Esmeraldo, registra suas lembranças sobre o rio Machado, ao tempo de seu pai, Joaquim Felipe: “No rio Machado, ele [o pai] pescava dourado, curimba, tubarana, piapava, mandi, bagre e lambari.” (ALVES, 2000, p. 34) Sr. José Cavaleiro, mais conhecido por Tonico Cavaleiro (1933), também nascido e ainda morador no bairro Chico dos Santos, lembra-se também das boas pescarias no rio Machado. Mas afirma que o represamento do rio facilitou muito a vida, pela facilidade de captação d‟água para a lavoura, 118 principalmente do alho, principal atividade do bairro na década de 50 a 60.67 Sr. Hélio Meirante, nascido em 1935, também nascido e ainda residente nas mesmas terras que foram de seus pais, às margens do rio Machado, lembra-se que seu pai perdeu três alqueires de terra e foi indenizado pelo valor nominal das mesmas. Seu irmão, Ademir de Souza Meirante, nascido em 1953, calcula em dez alqueires as terras perdidas por seu pai para Furnas. A chegada dos técnicos de Furnas no bairro é rememorada pelos irmãos Meirante: Foi uma coisa. Da moda que a gente nem esperava. Que antes a gente via passar, fazer a marcação, e ficava abismado de ver aquelas condução no meio do pasto. Que era para fazer a marcação, onde a água ia atingir. [.] Eles não explicava nada. Eles entrava [sic] no meio do pasto, com aqueles jipes, com aqueles aparelhos, marcando tudinho. Eles nunca veio [sic] aqui. (Depoimento do Sr. Hélio Meirante, 2009) Foi enchendo e foi acabando tudo. Se não vendesse [para Furnas] já perdia tudo. Lá no retiro, pra baixo do Matão, o rapaz não quis vender a casa, o terreno, de jeito nenhum. Não vendeu. Eu vi a casa, o terreno foi subindo, sumiu tudo. Perdeu tudo. [.] Que nem eles falou [sic]: „aqui tando cheio é nossa, tando seco é seu‟. (Depoimento do Sr. Ademir Meirante, 2009) Sr. Tonico Cavaleiro, quando indagado sobre a reação da população do bairro à chegada de Furnas, disse: “o povo achou bão [sic] e é bão [sic] até hoje”.68 67 O almanaque “O Sul-Mineiro Ilustrado” em reportagem intitulada “O Desenvolvimento de Paraguassú e a Administração Cristiano Otoni do Prado”, datado de 1941, informa sobre a cultura de alho no município, cuja produção “figura em primeiro logar no Brasil”. 68 Os depoimentos desses moradores ribeirinhos foram filmados por um grupo de educadores da Fazenda-Escola Fundamar, em 2009. Fragmentos de seus depoimentos foram incorporados a uma apresentação em PowerPoint integrante do instrumento de capacitação dos educadores, objeto dessa dissertação. 119 6.9. CINQUENTENÁRIO DE FURNAS: DUAS VERSÕES DISTINTAS Em 2000, a denúncia sobre as péssimas condições sanitárias do lago de Furnas era objeto do jornal “A Voz da Cidade”, em 1º de setembro. À época a preocupação era com o baixo nível das águas do lago, que prejudicava o turismo, principal fonte de renda da população lindeira. O jornal faz um paralelo entre os prejuízos daquele momento e aqueles sofridos à época da constituição do lago. E especula sobre as causas do rebaixamento do nível das águas, entre elas, a rivalidade entre o então presidente Fernando Henrique Cardoso e o governador Itamar Franco69, sobre a privatização de Furnas. Segundo essa versão, frente às ameaças do governador contra a privatização, o Presidente teria pedido à direção da empresa para esvaziar o lago. O jornal ainda noticia uma reunião de representantes da Associação dos Municípios do Lago de Furnas (ALAGO) com a diretoria da empresa em 28.11.2000, para encontrar soluções para as agressões ambientais que a represa vinha sofrendo, bem como recuperar o passivo que a empresa tinha com os municípios lindeiros: Diariamente são despejados no local, dejetos sanitários, industriais e agrotóxicos. A falta de infra-estrutura e a de uma política de utilização do Lago vem comprometendo o desenvolvimento da região, que aposta no turismo como uma das ferramentas para reverter a estagnação econômica. (A VOZ DA CIDADE, 12 set. 2000, p. 1) Em 2007, ano do cinqüentenário de Furnas, o jornal Estado de Minas, de Belo Horizonte, trouxe dois artigos sobre o evento, que evidenciam opiniões distintas sobre os impactos gerados pelo empreendimento. 69 O governador Itamar Franco e o Presidente Fernando Henrique Cardoso assumiram seus respectivos cargos em 1999. O Presidente iniciava então seu segundo mandato. 120 Luiz Neves de Souza, mestre em turismo e meio ambiente, em artigo intitulado “Os 50 Anos do Lago de Furnas”, denuncia a ausência de políticas públicas que canalizassem esforços voltados à preservação ambiental e também de projetos consistentes e objetivos para o fomento e desenvolvimento do turismo na região. E reclama: Basta percorrer as 34 cidades do Lago de Furnas e observar, em todas elas, toneladas de rejeitos em esgoto e lixo, além de defensivos agrícolas que são despejados em diversas regiões que se dizem próprias para o turismo e para a prática de esportes náuticos, para não falar da situação caótica da rede viária local. (SOUZA, 2007) O senador Eliseu Resende, no artigo intitulado “A Epopéia de Furnas” em “homenagem evocativa ao cinqüentenário”, imagina que sem a energia elétrica e a Petrobrás, o Brasil estaria hoje nos mesmos níveis de muitos países da África. Durante esse tempo [desde 1957] construímos nossos portos e modernizamos outros; instalamos a indústria química de base; desenvolvemos a produção de veículos e de navios; e entramos, firmes, na aeronáutica. Para tudo isso contribuiu a energia de Furnas e a que ela transporta e distribui, pelo principal sistema de interligação das grandes geradoras nacionais (RESENDE, 2007, p. 9). Ambos pontos de vista refletem faces distintas de um mesmo fato histórico. A percepção do ganho pela geração de energia para o desenvolvimento industrial nacional versus os prejuízos conduto radicular. O objetivo deste estudo foi investigar e estabelecer uma relação precisa da quantidade de luz transmitida através de pinos de fibra e seu efeito na KHN e na RA de um cimento resinoso de dupla polimerização. Nossos resultados mostram boas evidências de que a quantidade de luz tranamitida é baixa e não tem influência na retenção do pino ao conduto radicular ou na microdureza do cimento resinoso dual auto-adesivo utilizado. Em face aos nossos achados não recomendamos utilizar cimentos fotopolimerizáveis ou de dupla polimerização. Pelas razões discutidas nossa recomendação é de que até o surgimento de novas evidências científicas apenas materiais auto-polimerizáveis sejam utilizados. Importante salientar que não estamos contraindicando os pinos translucentes. Estes pinos tem características mecânicas semelhantes aos outros fibroresinosos. Só não recomendamos seu uso associado a cimentos que dependam da luz no seu processo de polimerização. A utilização de cimentos resinosos auto-adesivos de dupla polimerização deve ser discutida à parte. O uso desses cimentos traz vantagens baseadas na diminuição de passos clínicos, facilidade técnica, diminuição da possibilidade de erros e do tempo clínico gasto nos dos procedimentos de cimentação. Em recente estudo pode-se verificar que em algumas situações clínicas valores de resistência adesiva foram superiores para pinos cimentados com um cimento auto-adesivo comparativamente aos cimentados pela técnica adesiva convencional independente do tipo do cimento quanto à reação química (Mongruel et al., 2012), e a justificativa para tais achados é exatamente pelo fato da simplicidade da técnica. Sendo assim, o uso do cimento auto-adesivo utilizado em nosso trabalho parece ser eficiente na cimentação de pinos intrarradiculares desde que, assim como em qualquer cimentação, os conceitos que regem estes procedimentos sejam fielmente atendidos.     58   Não obstante a toda essa discussão técnico-científica, o fator preponderante na retenção de um pino continua a ser a retenção friccional. Uma boa adaptação do pino continua sendo primordial para o sucesso restaurador. A função do cimento é tão somente preencher os espaços entre o pino e o canal radicular favorecendo a retenção friccional. Lembrando por fim que nenhum cimento tem a capacidade de compensar preparos intrarradiculares em comprimento inadequado ou um pino mal adaptado (Summitt at al., 2001).   59 8 – ANEXOS   Referências   61   1. Akgungor G, Akkayan B. Influence of dentin bonding agents and polymerization modes on the bond strength between translucent fiber posts and three dentin regions within a post space. J Prosthet Dent 2006;95:368-78. 2. Albuquerque RC, Polleto LTA, Fontana RHBTS, Cimini Junior CA. Stress analysis of an upper central incisor restored with different posts. J Oral Rehabil 2003;30:936-43. 3. Anusavice KJ. Phillips, Materiais Dentários. Rio de Janeiro: Elservier, 2005. 4. Asmussen E, Peutzfeldt A, Heitmann T. Stiffness, elastic limit, and strength of newer types of endodontics posts. J Dent 1999;27:275-8. 5. Braga RR, César PF, Gonzaga CC. Mechanical properties of resin cements with different activation modes. J Oral Rehabil 2002;29:257– 66. 6. Carrilho MRO, Tay FR, Pashley DH, Tjaderhane L, Carvalho RM. Mechanical stability of resin-dentin bond components. Dent Mater 2005;21:232-41. 7. Ceballos L, Garrido MA, Fuentes V, Rodrígues Jesús. Mechanical characterization of resin cements used for luting fiber post by nanoindentation. Dent Mater 2007;23:100-5. 20. Chersoni S, Acquaviva GL, Prati C, Ferrari M, Gardini, S; Pashley DH, Tay FR. In vivo fluid movement though dentin adhesives in endodontically treated teeth. J Dent Res 2005;84:223-7. 8. D’Arcangelo C, D’Amario M, Vadini M, Zazzeroni S, De Angelis F, Caputi S. an evaluation of luting agent application technique effect on fibre post retention. J Dent 2008;36:235-40. 9. Dewald JP, Ferracane JL. A comparison of four modes of evaluating depth of cure of lightactivated composites. J dent Res 1987;66:727-30. 25. ESPE M. Rely X Unicem self-adhesive universal resin cement. Germany: 3M ESPE; 2006. 10. Faria-e-Silva AL, Casselli DSM, Lima GS, Ogliari FA, Piva E, Martins LRM. Kinetics of conversion of two dual-cured adhesive systems. J Endod 2008;34:1115-8 11. Fennis WMM, Ray NJ, Creugers NHJ, Kreulen CM. Microhardness of resin composite materials light-cured through fiber reinforced composite. Dent Mater 2009; 25:947-51. 12. Ferrari M, Mannocci F, Vichi A, Cagidiaco MC, Mjor IA. Bonding to root canal: structural characteristics of the substrate. Am J Dent 2000;13:255-60. 13. Galhano GA, Melo RM, Barbosa SH, Zamboni SC, Bottino MA, Scotti R. Evaluation of light transmission through translucent and opaque posts. Oper Dent 2008;33:321-4.   62     14. Giachetti L, Grandini S, Calamai P, Fantini G, Russo DS. Translucent fiber post cementation using light- and dual-curing adhesive techniques and a self-adhesive material: push-out test. J Dent 2009:37:638-42. 15. Goracci C, Fabianelli A, Sadek FT, Papacchini F, Tay FR, Ferrari M. The contribution of friccion to the dislocation resistance of bonded fiber posts. J Endod 2005;31:608-12. 16. Ho Y, Lai Y, Chou I, Yang S, Lee S. Effects of light attenuation by fibre posts on polymerization of a dual-cured resin cement and microleakage of post-restored teeth. J Dent 2011;39:309-15. 18. Janke V, Von Neuhoff N, Schlegelberger B, Leyhausen G, Geurtsen W. TEGDMA causes apoptosis in primary human gingival fibroblasts. J Dent Res 2003;82:814-8. 19. Kalkan M, Usumez A, Ozturk N, Belli S, Eskitascioglu G. Bond strength between root dentin and three glass-fiber post system. J Prosthet Dent 2006;96:41-6. 20. Koulaouzidou EA, Papazisis KT, Yiannaki E, Palaghias G, Helvatjoglu-Antoniades M. Effects of dentin bonding agents on the cell cycle of fibroblasts. J Endod 2009;35:275–9. 21. Kong N, Jiang T, Zhou Z, Fu J. Cytotoxicity of polymerized resin cements on human dental pulp cells in vitro. Dent Mater 2009;25:1371–5. 22. Lui JL. Depth of composite polymerization within simulated root canals using lighttransmitting posts. Oper Dent 1994;19:165-8. 23. Mclean A. Criterial for the predictable restorable endodontically treated tooth. J Can Dent Assoc 1998;64:652-6. 24. Mallmann A, Jacques LB, Valandro LF, Muench A. Microtensile Bond strength of photoactivated and autopolymerized adhesive systems to root dentin using translucent and opaque fiber-reinforced composite posts. J Prosthet Dent;97:165-72. 25. Morgan LFSA , Albuquerque RC, Poletto LTA, Peixoto RTRC, Corrêa MFS, Pinotti MB. Light transmission through translucent fiber posts. J Endod 2008;34:299-302. 26. Naumann M, Sterzenbach G, Rosentritt M, Beuer F, Frankenberger R. Is adhesive cementation of endodontic posts necessary? J Endod 2008;34:1006-10. 27. Papa J, Cain C, Messer H. Moisture of vital vs. endodontically treated teeth. End Dent Traumat 1994;10:91-3. 28. Pedreira APRV, et al. Microhardness of resin cements in the intraradicular environment: Effects of water storage and softening treatment. Dent Mater 2009;25: 868-76.   63     29. Pirani C, Chersoni S, Foschi F, Piana G, Loushine RJ, Tay FR, Prati C. Does Hybridization of intraradicular dentin really improve fiber post retention in endodontically treated teeth? J Endod 2005;31:891-4. 30. Radovic I, Corciolani G, Magni E, Krstanovic G, Pavlovic V, Vulicevic ZR, Ferrari M. Light transmission through fiber post: The effect on adhesion, elastic modulus and hardness of dualcure resin cement. Dent Mater 2009;25:837-44. 31. Roberts HW, Leonard DL, Vandewalle KS, Cohen ME, Charlton DG. The effect of a translucent post on a resin composite depth of cure. Dent Mater 2004;20:617-22. 32. Silva ALF, Arias VG, Soares LES, Martin AA, Martins LRM. Influence of fiber-post translucency on the degree of conversion of a dual-cured resin cement. J Endod 2007;33:303-5. 33. Teixeira CS, Silva-Sousa YT, Sousa-Neto MD. Bond strenght of fiber posts to weakened roots after resin restoration with different light-curing times. J Endod 2009;35:1034-39. 34. Vichi A, Grandini S, Ferrari M. Comparison between two clinical procedures for bonding fiber post into a root canal: a microscopic investigation. J Endod 2002;28:355-60. 35. Wang VJJ, Chen YM, Yip KHK, Smales RJ, Meng QF, Chen L. Effect of two fiber post types and two luting cement systems on regional post retention using the push-out test. Dent Mater 2008;24:372-77. 36. Yoldas O, Alacam T. Microhardness of composite in simulate root canals cured with light transmitting posts and glass fiber reinforced composite posts. J Endod 2005;31:104-6. 37. Zicari F, Coutinho E, Munck JD, Poitevin A, Scotti R, Naert I, Meerbeek BV. Dent Mater 2008;24:967-77. 38.Mongruel 39. Summitt JB, Robbins JW, Schwartz RS. Fundamentals of operative dentistry. Quintessence, 2o.Ed., 2001;.546-66.
Geometria fractal na educação básica Geometria Fractal Na Educação Básica
RECENT ACTIVITIES

Autor

Documento similar

Geometria fractal na educação básica

Livre