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MATEMÁTICA CONTEXTUALIZADA: A HISTÓRIA HUMANIZANDO O ENSINO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Documento informativo

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO - UFES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA PROFMAT ALLAN DARLEY FIGUEIREDO DE SALES MATEMÁTICA CONTEXTUALIZADA: A HISTÓRIA HUMANIZANDO O ENSINO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU VITÓRIA 2013 ALLAN DARLEY FIGUEIREDO DE SALES MATEMÁTICA CONTEXTUALIZADA: A HISTÓRIA HUMANIZANDO O ENSINO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU Monografia apresentada ao Programa de Pós-Graduação PROFMAT do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito para obtenção do grau de Mestre em Matemática. Orientador: Profº Doutor Florêncio Ferreira Guimarães Filho VITÓRIA 2013 A minha tia Faride Figueiredo Serafim A minha esposa Pollyanna Soares de Novaes, A meus filhos, Allan, Lohana, Larissa, Luiza e Mateus, E a todos os outros familiares. Dedico este trabalho. AGRADECIMENTOS A DEUS, por me iluminar em todos os momentos de minha vida e permitir a realização deste sonho. Ao professor doutor Florêncio Ferreira Guimarães Filho, pela sua orientação competente, sugestões, comentários, estímulos positivos. Aos professores do Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional – PROFMAT de Vitória/ES por tudo que ensinaram e, em especial, ao professor Moacir pela grande paciência e dedicação. A todos os colegas da turma de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, pela oportunidade de estudarmos juntos e acolhimento que recebi, e em especial, a Fabrício e Gabriel, que me deram forças para prosseguir e atingir este objetivo, pois sem os mesmos, eu não teria atingido este meu sonho. A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a materialização do meu sonho. RESUMO O presente estudo foi desenvolvido com o objetivo de enfatizar a importância da História da Matemática como recurso didático capaz de internalizar alguns conceitos referentes ao ensino e aprendizagem da matemática, em especial as equações de 1º grau. Propõe-se que, por meio do conhecimento histórico, o ensino se torne mais atrativo e eficaz, e assim, facilita-se a contextualização de conteúdos matemáticos. No presente estudo, foi desenvolvido uma pesquisa experimental de caráter comparativo. Esta pesquisa foi baseada em alguns teóricos que defendem a utilização da História da Matemática no processo de ensino-aprendizagem. A partir dos resultados da pesquisa constatou-se que a História da Matemática enquanto recurso didático contribui para melhor compreensão do conceito desenvolvido, permitindo aos estudantes uma nova visão da matemática presente no seu cotidiano. Palavras-Chave: História da Matemática, Recurso Didático, Equação de 1º Grau. ABSTRACT This essay was developed with the aim of emphasizing the importance of the History of Mathematics as a teaching resourse, or methodology able to focus and internalize some of the concepts related to the teaching and learning math as a subject particulary in the equations of first degree. The purpose is that through historical know ledge, teaching math becomes more attractive and effective getting the interest of the students and helping them to get to mathmatics abstracted concepts of he contents. This study comparing different ways of teaching with the one related on this essay. This research was based on the ideas of some theorists who belive that the use of History of Mathmatics in the process of teaching and learning is truly effective. As a result of the survey was realized that the History of Math as a teaching resourse contributes to clearfy and to understand the math concept allowing the students to get a new vision of math, the one presented in their daily routine. Keey-Words: History of Mathmatics – Teaching Resourse – First degree equation. LISTA DE GRÁFICOS Gráfico 1: História da Matemática como recurso metodológico .39 Gráfico 2: A História da matemática como instrumento de motivação .39 Gráfico 3: História da Matemática como recurso metodológico .40 Gráfico 4: História da Matemática como recurso didático .41 Gráfico 5: Média da 1ª avaliação - 7º ano A.62 Gráfico 6: Média da 1ª avaliação - 7º ano B.62 Gráfico 7: Média da 2ª avaliação - 7º ano A.62 Gráfico 8: Média da 2ª avaliação - 7º ano B.62 Gráfico 9: Média da 3ª avaliação - 7º ano A.63 Gráfico 10: Média da 3ª avaliação - 7º ano B.63 Gráfico 11: Aproveitamento médio do 7º ano A nas três avaliações.63 Gráfico 12: Aproveitamento médio do 7º ano B nas três avaliações.63 SUMÁRIO INTRODUÇÃO .9 CAPÍTULO 1 .12 1.1. A História da Matemática como recurso didático .12 1.2. O Professor e a Utilização da História da Matemática em Sala de Aula .16 CAPÍTULO 2 .20 2.1. O Desenvolvimento dos Conceitos Algébricos.20 2.2. Uma nova Abordagem no Ensino das Equações de 1º grau .29 2.3. A Aplicação da História da Matemática nas Aulas de Equação de 1º grau.32 CAPÍTULO 3 .36 3.1. Procedimentos Metodológicos .36 3.2. Análise do questionário 1 .37 3.3. Análise do questionário 2 .39 3.4. Breve Relato das Atividades Desenvolvidas .42 3.5. Análise Comparativa das Turmas .60 CONSIDERAÇÕES FINAIS .64 REFERÊNCIAS.65 ANEXOS .69 INTRODUÇÃO 9 A matemática faz parte do patrimônio cultural da humanidade, seu desenvolvimento e a evolução humana estão entrelaçados. Os primeiros passos da matemática foram dados com o intuito de solucionar problemas de caráter prático, e a partir desse ideal os conceitos matemáticos aprimoraram-se em comunhão com o desenvolvimento das civilizações. O papel desses conceitos matemáticos era o de cooperar com o desenvolvimento do ser humano. Em meio a esses conceitos, estão às equações de 1º grau, que surgiram nas civilizações antigas como uma ferramenta eficaz na solução de questões diárias. O desenvolvimento histórico das equações de 1º grau contribuiu para uma formalização mais ampla da matemática, tornando-se importante para a sociedade antiga e atual. Este conteúdo matemático está unido ao cotidiano do ser humano desde as primícias, e, contribui de forma significativa na formação do estudante enquanto sujeito da sociedade. O ensino dos conteúdos matemáticos acarreta estudos minuciosos a respeito da metodologia e recursos utilizados pelos professores, entre os quais, a História da Matemática se faz presente. Segundo alguns estudiosos, entre eles D‟Ambrosio (1996), Baroni e Nobri (1999), Cavalcante (2002), Farago (2003), Miguel, Brito, Mendes e Carvalho (2009), a utilização da História da Matemática como recurso didático permite uma compreensão mais ampla do conteúdo abordado através do conhecimento de sua trajetória. No que diz respeito às equações de 1º grau, propõese que a História da Matemática pode auxiliar e muito na abordagem deste conceito, pois a mesma comporta os aspectos do desenvolvimento humano e permite o conhecimento da origem do conceito. Por meio dela é possível enxergar uma matemática humana, criada por pessoas, com o intuito de suprir as necessidades de cada época. Devido às contribuições oferecidas por este recurso, levantou-se a seguinte questão: a História da Matemática como recurso didático pode contribuir no processo de ensino e aprendizagem das equações de 1º grau? 10 Segundo Cavalcante (2002) a História da Matemática traz grandes contribuições no desenvolvimento do conceito, devido as suas relações com diversas áreas do conhecimento e da atividade do ser humano. O meu interesse referente à História da Matemática surgiu quando lecionei a disciplina Metodologia da Matemática, no curso de Pedagogia, da Universidade Estadual da Bahia/BA e, aumentou quanto tive a disciplina História da Matemática no mestrado. No desenvolver da disciplina os fatos históricos eram prazerosos e atraentes. Desde então, pensei na possibilidade de mostrar aos estudantes de nível fundamental, essa matemática humana, cheia de curiosidades e acontecimentos fascinantes. Por isso decidi buscar maneiras de levar a História da Matemática aos alunos, com o intuito de contribuir para a compreensão dos conceitos. Como a álgebra é considerada um ramo matemático, onde os alunos apresentam maior dificuldade, decidi buscar um conceito algébrico e desenvolvê-lo com um aporte histórico. Optei pelas equações de 1º grau por ser um conceito matemático que perpassa a vida do estudante, tanto no âmbito escolar quanto fora dele. Com essa finalidade nortearam-se os objetivos de: mostrar a importância da História da Matemática como recurso na abordagem das equações de 1º grau. Além de: verificar as potencialidades da História da Matemática como recurso no ensino das equações de 1º grau; discutir o uso da História da Matemática que pode servir como instrumento de motivação, investigação, interdisciplinaridade e contextualização no estudo das equações de 1º grau; mostrar através da História da Matemática a importância das equações de 1º grau para o cotidiano do educando. Abordar o estudo das equações de 1º grau com a utilização da História da Matemática nas aulas pode facilitar o ensino-aprendizagem através da apreciação do processo de articulação mental do ser humano. Esse recurso é um campo que permite ao professor relacionar conteúdos com a história da humanidade, e contribui para uma visão holística da matemática, desmistificando a matemática feita por gênios e para gênios. Pois, ao ser usada, como recuso, a História é capaz de contextualizar, motivar e ainda auxiliar na formalização de conceitos. Por meio dela é possível mostrar ao educando como a necessidade humana foi capaz de gerar teorias e práticas matemáticas. 11 Nesse sentido, o presente estudo dividiu-se em quatro capítulos, o primeiro capítulo mostra o uso da História como recurso didático nas aulas de matemática, onde esse aspecto é discorrido com base em estudiosos na área de educação matemática, e continua com a História da Matemática integrada à vivência do professor em sala de aula. No segundo capítulo, apresenta-se o contexto histórico referente à evolução algébrica e a contribuição das antigas civilizações para o desenvolvimento deste conceito matemático, após, é discutida a abordagem das equações de 1º grau e sua importância na vida do educando, e por fim, são apresentados meios de utilizar a História da Matemática como recurso para enriquecer ainda mais as aulas de equação de 1º grau. No terceiro capitulo são descritas as metodologias utilizadas no desenvolver da pesquisa, que ocorreu em Nanuque/MG, na Escola Estadual Joseph Stalim Romano, em duas turmas de 7º ano do turno vespertino, intituladas de 7º ano A e 7º ano B, onde se desenvolveu o conteúdo equações de 1º grau. No 7º ano A tal conceito teve como recurso a História da Matemática, e no 7º ano B o conceito foi desenvolvido sem o auxilio deste recurso. Os dados dos questionários aplicados aos alunos e aos professores também são apresentados, além de um relato breve das aulas desenvolvidas nas duas turmas selecionadas, e a análise comparativa realizada a partir dos dados fornecidos no decorrer desta pesquisa. E o quarto capítulo reservado para as conclusões feitas a partir de todo estudo desenvolvido. CAPÍTULO 1 12 1.1. A História da Matemática como recurso didático O ensino realizado nas escolas ainda foca os conceitos matemáticos propriamente ditos, com uma abordagem tradicionalista, que força o aluno a decorar as fórmulas e teoremas dos conteúdos, sem apresentar nenhuma aplicação prática. A matemática torna-se uma disciplina rigorosamente abstrata, situação essa, que contribui para o desinteresse de muitos estudantes em relação à aprendizagem da disciplina. Essa abstração contribui para que os educandos não visualizem a importância da matemática e sua utilização no dia-a-dia. Novas investigações referentes à educação matemática têm mostrado que a prática pedagógica, precisa tirar o foco dessa matemática fragmentada. Para que essa mudança ocorra, têm sido pesquisadas metodologias que propiciem melhoras na compreensão dos estudantes. Nestas pesquisas foram desenvolvidos vários suportes metodológicos para o aprimoramento das aulas de matemática, tais como, jogos, tecnologia, modelagem, História da Matemática, resolução de problemas entre outras. Esses estudos abriram caminho à História da Matemática como recurso para enriquecer o ensino. Responsável por abordar o contexto histórico da disciplina é um recurso visado por estudiosos e pesquisadores na área de Educação Matemática, e muitos deles afirmam que a História da Matemática seria como um recurso que contribui no aprimoramento e na valorização do aprendizado. É um meio que possibilita ao professor relacionar conceitos matemáticos ao desenvolvimento da humanidade, e dessa forma, uma ferramenta que pode ser útil no processo de ensino e aprendizagem da disciplina. A História da Matemática contribui no processo de ensino e aprendizagem por mostrar a evolução de seus conceitos e, com isso favorecer a construção do conhecimento matemático, contribuindo como: 13 [.] instrumento de desmistificação e desalienação do ensino, de formalização de conceitos, de promoção do pensamento independente e crítico, como unificador dos vários campos da matemática, de promotor de atitudes e valores, de conscientização epistemológica, promotor de aprendizagem significativa e de resgate da identidade cultural. (MIGUEL apud SILVA, 2007, p.9). O uso dessa ferramenta nas aulas de matemática traz contribuições valiosas para a formalização conceitual do aluno, e para o próprio educador. Deste modo, entendese que a história dos conceitos matemáticos é de fundamental importância no processo de ensino e aprendizagem sendo ela mediadora de uma visão mais ampla dos fatos que tornaram essa ciência indispensável para a sociedade. D‟Ambrósio (2007, p. 113) reforça essa constatação, quando diz: Somente através de um conhecimento aprofundado e global de nosso passado é que poderemos entender nossa situação no presente e, a partir daí, ativar nossa criatividade com propostas que ofereçam ao mundo todo, um futuro melhor. Nobre (1996) traz a História da Matemática como recurso no processo de ensino aprendizagem dos conceitos matemáticos. Este propõe que, todo conteúdo seja trabalhado partindo do seu desenvolvimento histórico. Segundo ele, assim, a educação segue um pensamento diferenciado. O ensino foca na fundamentação dos conteúdos ao invés da praticidade deles. Ao invés de se ensinar o para quê serve, ensina-se o porquê das coisas. No cotidiano escolar é comum ouvir dos alunos, o seguinte questionamento: “esse conteúdo vai me servir em que?” Neste momento, uma abordagem histórica de determinado conceito levaria o estudante a viajar no tempo, e entender a necessidade da criação desse conceito e a aplicabilidade do mesmo, encontrando ele próprio respostas a seu questionamento. Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar respostas a alguns „porquês‟ e, desse modo contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento. (BRASIL, 2001, p. 46). Essas respostas, encontradas na História da Matemática são descobertas que surgem quando, o “lado humano” da matemática é apresentado ao educando. A matemática é uma ciência puramente humana que advêm de diversas culturas em 14 diferentes períodos do tempo. Como nos traz os PCNs, a matemática revelada ao aluno através de sua história mostra toda cultura e necessidade humana por trás do conceito envolvido, oferecendo dessa forma contribuições favoráveis ao processo de ensino e aprendizagem. A história humaniza a matemática e é capaz de desmistificar a idealização feita pela maioria dos alunos de que a matemática é “coisa de outro mundo”. Permitindo ao aluno conhecer os anseios dos matemáticos, observando que, cada civilização tinha várias linhas de pensamento para resolver questões matemáticas, aplicadas sempre em sua prática cotidiana. Para ratificar, conforme Farago (2003, p.17) a História da Matemática: Permite compreender a origem das idéias que deram forma a nossa cultura e observar também os aspectos humanos de seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas idéias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Assim, essa história é um valioso instrumento para o ensino aprendizado da própria longitudes), e para cada instante ele traçou perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a velocidade. Desde a sua aparição na história, a função apresentou diversas definições, Porém, a que melhor nos atende é a relatada por Iezzi et al. (2004, p. 33), onde afirma que: “ Em Matemática, se x e y são duas variáveis tais que para cada valor atribuído a x existe, em correspondência, um único valor para y, dizemos que y é uma função de x.”. Constantemente em nossa pesquisa apresentaremos as seguintes representações para função: f(x), f(t), s(t), v(t),. etc. No ensino de função poderíamos estudar vários tipos de variações, sejam as lineares, quadráticas, modulares, exponenciais, logarítmica, e diversas 2 Ver: Boyer (1974), p. 297. 3 Ver: Boyer (1974), p. 191-195. 16 outras variações, Porém, em nossa pesquisa adentrará apenas nas lineares e quadráticas que melhor atendem a proposta de nosso trabalho. 3.2 Interpretação Gráfica da Função Polinomial de 1º grau Diz-se que uma função é do 1º grau ou afim, “quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b, para todo x .” (DANTE, 2005. p. 54). Por exemplo: a) f(x) = 2x +3 b) f(x) = 4 c) f(x) = -3x d) f(x) = x (a = 2, b = 3) (a = 0, b = 4) (a = -3, b = 0) (a = 1, b = 0) função afim completa função afim constante função linear função identidade A representação gráfica de uma função afim ou polinomial do 1º grau é uma reta4 não-vertical, isto é, não paralela ao eixo y, os gráficos abaixo se referem às funções citadas acima, veja: 4 Para uma demonstração sobre a característica retilínea da função polinomial do 1º grau (DANTE, 2005, p. 57) f(x) = 2x +3 f(x) = 4 17 f(x) = -3x f(x) = x Figura 1 Gráficos construídos por meio do software geogebra Já vimos que a representação gráfica de uma função polinomial de 1º grau é uma reta, notamos também que ao variarmos os valores de a e de b na função y = f(x) = ax + b, o gráfico passa a se comportar de maneira diferente. O coeficiente que acompanha a variável x, a é chamado de coeficiente angular da reta, ele é responsável pela inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas (Ox). E termo constante b é chamado de coeficiente linear da reta, ele indica o ponto em que a reta intersecta o eixo das ordenadas (Oy) (IEZZI et al., 2004, p. 73). 3.3 Interpretação gráfica da função polinomial do 2º Grau 18 Uma forma geométrica de analisar a equação de 2º grau ax2 bx c 0 é estudar a função y ax2 bx c , para isto necessita conhecer o esboço do gráfico desta função. Sabe-se que o gráfico da função y x 2 é uma parábola, simétrica em relação ao eixo das ordenadas x = 0. 1 - A função y x 2 ; , é uma função cujo gráfico é uma translação horizontal de y x 2 ; será uma translação à direita se 0 , e uma translação à esquerda se 0 . Observe a figura: 19 2 – A função y ax2 , é uma função cujo gráfico é uma homotetia do gráfico de y x 2 . Assim para a > 0, temos: E para a < 0, 20 3 – A função do tipo y x 2 , é uma translação vertical de y = x2, se y x 2 é uma translação vertical para cima, e se será uma translação vertical para baixo: Assim voltando a nossa função de 2º grau, y ax2 bx c a x 2 bx a c ax b 2 2a 4a Onde, = 4 . Notemos que o gráfico desta é uma combinação de uma translação horizontal y x b 2 , seguida de uma homotetia 2a y ax b 2 e por fim uma translação vertical com 2a 4a . Logo, o gráfico de y ax2 bx c não deixa de ser uma parábola. Assim as posições relativas do gráfico de y ax2 bx c , são: (I) - os possíveis gráficos são: 21 (II) vertical, logo os possíveis gráficos são: (III) - 0 para a > 0 e 0 para a < 0, logo o gráfico da parábola com concavidade para cima terá uma translação vertical para baixo, e o gráfico de parábola com concavidade para baixo terá uma translação vertical para cima, o que implica que em ambas as situações os gráficos 22 interceptam o eixo das abscissas em dois pontos, o que nos permite concluir que a função possui duas raízes reais e distintas; A solução de alguns exercícios de Cinemática se torna uma tarefa mais fácil quando utilizamos as coordenadas de um ponto especial da parábola: o vértice. Podemos dizer que o vértice de uma parábola é um ponto especial por alguns motivos: é o único ponto da parábola em que a ordenada correspondente possui somente uma abscissa, toda parábola é simétrica em relação à reta paralela ao eixo y que passa pelo seu vértice, o vértice de toda parábola a limita superiormente se esta for côncava para baixo ou inferiormente se côncava para cima. Como toda parábola é simétrica em relação à reta paralela ao eixo y que passa pelo vértice, podemos concluir que a abscissa do vértice também é a abscissa do ponto médio de qualquer segmento paralelo ao eixo x com os pontos A e B pertencentes à parábola. Assim, para determinar a abscissa do vértice de uma parábola basta calcular o ponto médio do segmento em que A e B são as raízes da função do 2º grau escrita da forma ( ) = = + + , com 0. Por Bhaskara sabemos que as raízes da função do 2º grau são dadas por: ´= + 2 4 ´´ = Assim a abscissa do vértice ( ), será: 4 2 = + 2 4+ 2 4 2 = 2 4 =2 A ordenada do vértice ( ) será dada por ( ): ( )= + +=4 + 2 + ( )=4 2 + = 2 +4 4 ( )= +4 4 = ( 4 4 ) ( )= = 4 . Assim as coordenadas do vértice da parábola são dadas por: =2 =4 23 4 CINEMÁTICA: O ESTUDO DOS MOVIMENTOS 24 A Cinemática é a parte da Física que estuda os movimentos dos corpos, sem levar em consideração as causas ou conseqüências deste movimento. Apresentaremos a seguir alguns dos conceitos básicos de física para a compreensão do estudo de Cinemática: Corpo, partícula e posição. Um corpo passa a ser considerado uma partícula ou um ponto material quando suas dimensões se tornam desprezíveis em dado fenômeno em comparação com as demais dimensões envolvidas. Por exemplo: Um motociclista em sua moto com 2,20 m de comprimento desloca-se sobre uma ponte com 6,0 m de comprimento, se desejássemos calcular o tempo em que ele gastaria para atravessar a ponte, ele não poderá ser considerado um ponto material, pois sua dimensão poderá influenciar na análise do fenômeno. (figura 2). Porém, se resolvêssemos calcular o tempo gasto por esse mesmo motociclista deslocar, digamos 30 km sobre uma trajetória qualquer, ele passará a ter suas dimensões tão pequenas que estas são desprezíveis quando comparadas com seu deslocamento, o que o tornará um ponto material dentro do fenômeno analisado. 2,20 m Ponte 6,0 m 8,0 m Figura 2 Corpo e partícula 25 Ao trafegarmos por uma rodovia deparamos com algumas placas que demarcam a posição a partir de uma determinada origem, essa placa e denominada de marco quilométrico. O marco quilométrico tem grande utilidade para o estudo físico dos movimentos, pois ele torna possível saber a posição que uma partícula se encontra em um determinado momento da trajetória. Porém, temos que ter em mente que o marco quilométrico não sugere o sentido que estamos nos movimentando numa determinada trajetória, o que por sua vez torna-se necessário estabelecer um marco zero para dar orientação para a posição que lhe será atribuída. Por meio do marco zero ou origem das posições é possível ter uma melhor orientação, para qual sentido estamos nos deslocando em uma determinada trajetória, observe (Figura 3), note que se um veículo parte do marco zero sentido ao ponto B, ele estará desenvolvendo um movimento positivo em relação à origem, Porém, se o mesmo veículo parte do marco zero sentido ao ponto A, estará desenvolvendo um movimento negativo em relação à origem, - 10 Km A Figura 3 Posição O (origem) B + 10 Km 4.1 Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) 26 Um corpo estará em Movimento Retilíneo Uniforme, quando descrever uma trajetória retilínea de modo que sua posição varia constantemente com o tempo; podemos citar como exemplo o movimento de carro que desloca em uma estrada retilínea com o módulo de sua velocidade constante. A seguir definiremos algumas características da velocidade, tais como sinal da velocidade, velocidade média e velocidade instantânea, além de discutirmos a função horária da posição por tempo. É importante saber que a velocidade é uma grandeza vetorial, portanto o sinal da velocidade indica o sentido ao qual o corpo se desloca. Ao saber a posição de um móvel sobre uma trajetória, vemos que um corpo pode movimentar tanto no sentido positivo (progressivo) quanto no sentido negativo (retrógado). Dizemos que um determinado móvel possui velocidade positiva quando sua posição varia no sentido positivo em relação à origem (movimento progressivo), e dizemos que um móvel possui velocidade negativa quando sua posição varia no sentido contrario ao da origem (movimento retrógado). Veja a (Figura 4) que 34 - Cálculo de A14 para Atividade 3 Figura 35 - Cálculo de A18 para Atividade 3 45 Figura 36 - Cálculo de A10 para Atividade 3 Figura 37 - Cálculo de A11 para Atividade 3 Figura 38 - Cálculo de A15 para Atividade 3 46 Figura 39 - Cálculo de A13 para Atividade 3 Vale ressaltar que esse último errou nos cálculos para conferência, porém manteve o 25 como resposta. Além desses, outros 2 discentes conseguiram resolver o problema de forma diferente. O aluno A1 não atribuiu o 5 como falsa posição. Parece que primeiro tentou o 20, verificou que não estava correto, então, em seguida, encontrou o 25. Figura 40 - Cálculo de A1 para Atividade 3 Figura 41 - Comentário de A1 para Atividade 3 47 Já o aluno A5 apresentou um cálculo bastante simples e, à primeira vista, incoerente. Entretanto, quando foi solicitado que explicasse como encontrou o resultado, ficou claro o entendimento do aluno sobre o problema. O argumento que usou foi o seguinte: “pensei no 25 e vi que 25 dividido por 5 dá 5, que multiplicado por 3 dá 15. Daí somei 15 mais o 25 que deu 40”. Perguntamos porque não colocou os cálculos no papel. Então respondeu que tinha feito as contas de cabeça. Figura 42 - Cálculo de A5 para Atividade 3 Enquanto terminávamos as discussões sobre a terceira atividade, alguns alunos disseram que só então entenderam o enunciado do problema. Outro não sabiam o que significava três quintos de uma quantidade. Enfim, eles foram expondo suas dúvidas que eram respondidas, muitas das vezes, pelos próprios colegas. Essa última atividade foi a que gerou a discussão mais calorosa entre eles. Porém a que menos precisamos intervir. Entre perguntas e respostas, eles chegaram à conclusão que método da falsa posição foi de fundamental importância para o êxito na atividade. Para concluir as atividades, perguntamos a eles o que acharam da experiência. Alguns poucos alunos mostraram descontentamento por não terem obtido sucesso nas atividades. Mas grande parte deles respondeu positivamente, declarando que acharam interessante essa forma de resolver de problema. Um deles disse que não imaginava que esse tipo de problema já era resolvido há tanto tempo. Outro perguntou porque não ensinam a resolver problemas dessa forma na escola. Outro se todos os problemas poderiam ser resolvidos dessa forma. Enfim, continuamos a conversa por alguns minutos, onde tentamos responder essas perguntas da melhor maneira possível. E assim, concluímos as atividades com a turma. 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS 48 Atuando como professor de ensino médio e fundamental há 12 anos, podemos verificar que o ensino sobre resolução de problemas é um dos grandes desafios que um professor de matemática enfrenta em sua rotina diária de trabalho. Esse fato nos impulsionou pela busca de novas estratégias para abordar o tema em sala de aula. Pesquisando especificamente sobre resoluções de problemas que envolvem equações do 1º grau, nos deparamos com o método da falsa posição, utilizado para resolução de alguns problemas do Papiro de Rhind. Esse método nos chamou a atenção, pois consideramos que ele seria uma versão mais apurada da forma como alguns alunos resolviam esses tipos de problemas. Não era raro percebermos alguns alunos atribuindo valores a incógnita na tentativa de encontrar o valor correto, porém, nem sempre logravam êxito nessas tentativas, pois os valores eram, muitas das vezes, atribuídos aletoriamente. Então, identificamos no método da falsa posição uma alternativa para o desenvolvimento de uma resolução baseada em tentativas e erros mais eficaz. Dessa forma surgiu nosso interesse pelo tema dessa pesquisa. Apesar de encontrarmos várias recomendações para que trabalhemos de forma a estimular os alunos a construírem procedimentos diversos para resolução de problemas envolvendo equações, na prática isso é pouco explorado. Em conversas com colegas de profissão, percebemos que a tendência é imposição da maneira ‘correta’ de desenvolver a equação. Pensamento que diverge com a recomendação dos PCN para essa etapa do ensino, como já vimos anteriormente. Dessa forma, acreditamos que as análises realizadas por esse trabalho podem servir como uma ferramenta para reflexão quanto a maneira como trabalhamos os problemas envolvendo equações do 1º grau com os alunos do 7º ano do ensino fundamental. Começando pela postura que adotaram quando solicitamos que resolvessem a atividade 1 da maneira que julgassem melhor. Dos 20 alunos, 90% sequer escreveu uma equação para tentar resolve-lo e os 10% que o fizeram, não obtiveram êxito. Apenas 15% dos alunos conseguiram chegar a solução do problema, todos utilizando estratégias não convencionais. Depois de discutidas as estratégias adotadas por eles para a atividade 1 e, expostas por nós, duas alternativas para o desenvolvimento da mesma: uma através de uma equação e outra através do método da falsa posição, o resultado da segunda atividade foi que 35% dos alunos 49 conseguiram chegar a solução do problema. Dos que acertaram, todos utilizaram o método da falsa posição. Fato esse que demonstra a identificação que eles adquiriram com o método. E para na atividade 3, 40% dos alunos conseguiram chegar a solução. Isso sem considerarmos os 2 alunos que haviam solucionado de forma correta as outras duas atividades, mas erram cálculos elementares na terceira atividade. Como podemos perceber nas análises. Outro fato curioso que podemos perceber no decorrer das atividades, foi que na atividade 1 nenhum dos alunos teve o trabalho de verificar se a resposta encontrada era compatível como problema. Já nas atividades seguintes, essa preocupação pode ser observada em alguns alunos. Considerando a dificuldade percebida em grande parte dos alunos para com a disciplina e conteúdo trabalhados, pois encontramos alunos com dificuldades com frações, com equações, com algoritmo da divisão e, ainda outros, com dificuldades na escrita e leitura e interpretação do enunciado. Considerando também o curto período de tempo designado para a atividade, apenas um encontro, pois acreditamos ser essa atividade uma experiência inicial, devendo, portanto, ser dada continuidade pelo professor titular da turma. Percebemos que o método da falsa posição foi bem aceito pelos alunos como uma alternativa para a resolução de problemas envolvendo equações do 1º grau. Na verdade, observamos uma identificação com o método, pois conseguiram dar significado ao valor desconhecido nos problemas. E mesmo antes de expostos a tal método, alguns deles já utilizavam estratégias próximas a ele. Sendo assim, concluímos esse trabalho considerando a importância de se trabalhar a resolução de problemas não como uma sequência de regras pré-estabelecidas a serem seguidas à risca para se obter a resposta correta, mas sim com a perspectiva da criatividade e diversidade de estratégias que esse tema nos proporciona. Esperamos que essa experiência proporcione em nós, professores de matemática, e em nossos alunos, o desejo pela busca de novas formas de resolução de problemas, sejam eles matemáticos ou do nosso cotidiano. Para que, dessa forma, possamos formar além de alunos mais criativos, cidadãos mais críticos em relação ao mundo que os cerca. 50 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOYER, C. B. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, Ed. da Universidade de São Paulo, 1974. BRASIL, PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL, Matemática. MEC/SEF, 1998. EVES, H. Introdução à história da matemática. 5.ed. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2011. LAGARTO, M. J. O Papiro matemático de Rhind, 2010. Disponível em: . Acessado em 13 de Junho de 2014 às 16:50. MEDEIROS, C. F.; MEDEIROS, A. O método da falsa posição na História e na Educação Matemática, 2004. Disponível em . Acessado em 12 de junho de 2014 às 20:40. POFFO, E. M. 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MATEMÁTICA CONTEXTUALIZADA: A HISTÓRIA HUMANIZANDO O ENSINO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU
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