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Involuções e elementos Cayley unitários em álgebras de grupos e anéis de matrizes

Documento informativo
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS Departamento de Matem´atica Involuc¸˜oes e elementos Cayley unit´arios em ´algebras de grupos e an´eis de matrizes Viviane Ribeiro Tomaz da Silva Orientadora: Ana Cristina Vieira Belo Horizonte - Dezembro de 2004 Resumo Seja ∗ a involu¸ca˜o canoˆnica da a´lgebra de grupo KG induzida pela aplica¸ca˜o x → x−1 para x ∈ G. No caso em que K ´e uma extensa˜o real de Q, consideramos elementos Cayley unita´rios constru´ıdos a partir de elementos anti-sim´etricos k = α(x − x−1) em KG tais que 1 + k ´e invert´ıvel em KG, para α ∈ K e x ∈ G. As constru¸c˜oes envolvem uma interessante sequ¨ˆencia nos coeficientes de (1 + k)−1, que ´e a sequ¨ˆencia de Fibonacci quando α = 1. Estudamos tamb´em involu¸c˜oes e elementos Cayley unita´rios no anel Mn(D) de matrizes n × n sobre um anel de divisa˜o D, baseados no artigo Unitary elements in simple artinian rings de C. Chuang e P. Lee. ii Abstract Let ∗ denote the canonical involution of the group algebra KG induced by the map x → x−1 for x ∈ G. In case K is a real extension of Q, we consider Cayley unitary elements built out of skew elements k = α(x−x−1) in KG such that 1+k is invertible in KG, for α ∈ K and x ∈ G. The constructions involve an interesting sequence in the coefficients of (1 + k)−1 which is the Fibonacci sequence when α = 1. We also study involutions and Cayley unitary elements in the ring Mn(D) of n × n matrices over a division ring D, based on the article Unitary elements in simple artinian rings of C. Chuang and P. Lee. iii Agradecimentos A` minha orientadora, professora Ana Cristina Vieira, pelos ensinamentos valiosos, acompanhamento cont´ınuo e sol´ıcito e por sua admir´avel dedicac¸˜ao. Ao professor Michel Spira, pela confianc¸a e incentivo, pelo interesse e aten¸ca˜o para com o trabalho desenvolvido e por todas as sugest˜oes. Ao professor Adilson Gon¸calves, pelas sugest˜oes e considera¸c˜oes feitas ao trabalho. Aos professores Antoˆnio Giambruno (Universidade de Palermo), Vitor de Oliveira Ferreira (USP) e Jairo Zacarias Gonc¸alves (USP), pelo cuidado e prontida˜o com que responderam aos nossos questionamentos. Aos professores e funcion´arios do Departamento de Matema´tica da UFMG, pelo est´ımulo, formac¸˜ao e conv´ıvio. Aos amigos, pelo carinho, companheirismo e torcida. Aos meus pais e irma˜s, pelo amor diariamente manifestado em pequenos-grandes gestos, pelo apoio e compreensa˜o. A Deus, meu eterno e grande Amigo, por nos querer cada vez mais plenos, pelo infinito amor, pela doce e terna presen¸ca!. iv Sum´ario Resumo ii Abstract iii Agradecimentos iv Introdu¸c˜ao 1 1 Conceitos e resultados essenciais 4 1.1 M´odulos e ´algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Involuc¸˜oes em um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Elementos unit´arios e Cayley unita´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Fun¸co˜es geradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Elementos Cayley unit´arios de ´algebras de grupos 21 2.1 Exemplos de elementos Cayley unit´arios . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Encontrando (1 + x − x−1)−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Encontrando (1 + α(x − x−1))−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Elementos Cayley unit´arios de KG obtidos a partir de α(x − x−1) . . 33 3 Involu¸co˜es em an´eis de matrizes 39 3.1 Isomorfismos de an´eis com involu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 v 3.2 Caracterizac¸a˜o de involu¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Produto de elementos Cayley unit´arios . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Considera¸co˜es Finais 56 Referˆencias Bibliogr´aficas 58 vi Introdu¸c˜ao Entendemos por involuc¸a˜o um anti-automorfismo de ordem 2 em um anel. Um dos exemplos mais elementares ´e a aplicac¸a˜o transposta no anel de matrizes sobre um corpo. A “´algebra-multiplica¸ca˜o de uma superf´ıcie de Riemann” ´e um exemplo de uma ´algebra sobre Q admitindo uma involu¸ca˜o e foi a motiva¸ca˜o para a investigac¸˜ao de an´eis com involuc¸a˜o iniciado por A. Albert [1] no in´ıcio dos anos 30. Em 1998, M. A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost e J. P. Tignol publicaram o livro The book of involutions [8], que trata de involu¸co˜es de uma maneira bem geral e apresenta resultados um tanto quanto sofisticados. Anterior a estes autores, em 1976, I. Herstein [6] tamb´em dedicou um livro a este assunto intitulado Rings with involution, onde tratou os resultados conhecidos at´e enta˜o em uma variedade de dire¸c˜oes. Nesta disserta¸ca˜o, concentrar-nos-emos principalmente em an´eis de grupos e an´eis de matrizes munidos de involuc¸˜oes espec´ıficas e desenvolveremos resultados a respeito de elementos Cayley unita´rios destes an´eis. Elementos unita´rios e Cayley unit´arios tˆem sido objetos de interesse no estudo de an´eis com involuc¸a˜o em recentes trabalhos de pesquisa. Em 1995, estes elementos foram particularmente estudados por C. Chuang e P. Lee [2] em an´eis de matrizes Mn(D), onde D ´e um anel de divisa˜o. Eles determinaram condic¸o˜es para que um elemento seja o produto de dois elementos Cayley unita´rios de Mn(D). Em 2001, J. Gon¸calves e D. Passman [5] mostraram que um par de elementos Cayley unita´rios em uma a´lgebra de grupo KG essencialmente gera um subgrupo livre do grupo dos elementos unita´rios de KG. Dividiremos este trabalho em trˆes cap´ıtulos. O primeiro, intitulado “Conceitos e resultados essenciais”, possui quatro sec¸o˜es, sendo que as trˆes primeiras tratam de “M´odulos e a´lgebras”, “Involu¸c˜oes em um anel” e “Elementos unit´arios e Cayley unit´arios” abordando estes conceitos, exemplos dos mesmos e alguns resultados a eles relacionados que ser˜ao importantes no decorrer deste texto. Ja´ a Se¸c˜ao 4, 1 intitulada “Func¸o˜es geradoras”, explica resumidamente como podemos utiliza´-las para tentar encontrar o termo geral de uma sequ¨ˆencia dada por uma relac¸a˜o de recorrˆencia e as utiliza na obten¸c˜ao de uma f´ormula para o termo geral da sequ¨ˆencia (Gi) recursivamente definida por G0 = 0, G1 = 1 e Gi = α2Gi−2 + Gi−1, i 2, onde α ´e um elemento de uma extensa˜o real de Q. Tal fo´rmula sera´ importante na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.3.1. O Cap´ıtulo 2 trata sobretudo de elementos Cayley unita´rios da a´lgebra de grupo KG sobre um corpo K, a pr´ıncipio de caracter´ıstica zero, munida da involu¸c˜ao canoˆnica induzida pela aplica¸ca˜o x → x−1, x ∈ G. Este cap´ıtulo se inicia com exemplos de elementos Cayley unit´arios obtidos a partir dos geradores do conjunto dos elementos anti-sim´etricos de KG para alguns grupos finitos. A partir da observa¸ca˜o dos exemplos constru´ıdos, elaboramos hipo´teses que sa˜o trabalhadas a partir de novos exemplos e de uma observa¸ca˜o cada vez mais minunciosa dos mesmos. Todo este processo culmina primeiramente na obten¸c˜ao do Teorema 2.2.1 que garante a existˆencia do inverso de 1 + x − x−1 em KG, quando x ∈ G, o(x) = n > 2 e K ´e um corpo com caracter´ıstica zero, e al´em disso nos fornece uma express˜ao expl´ıcita para tal inverso em func¸˜ao da sequ¨ˆencia de Fibonacci (Fi) definida recursivamente por F0 = 0, F1 = 1 e Fi = Fi−2 + Fi−1, para i 2. Em seguida, obtemos o Teorema 2.3.1 que consiste em uma generaliza¸ca˜o do Teorema 2.2.1, garantindo a existˆencia do inverso de 1+α(x−x−1) em KG, para α ∈ K, e fornecendo uma expressa˜o para este inverso. Neste resultado, exigimos como hipo´tese que K seja uma extensa˜o real de Q e vemos que a express˜ao obtida para o inverso de 1 + α(x − x−1) depende da sequ¨ˆencia (Gi) definida acima que, por sua vez, constitui uma generalizac¸a˜o da sequ¨ˆencia de Fibonacci (Fi). Finalmente, no Teorema 2.4.1, damos uma fo´rmula expl´ıcita para o elemento Cayley unit´ario de KG obtido a partir de α(x − x−1). E´ feita, ent˜ao, a caracterizac¸a˜o dos elementos Cayley unita´rios de QG para alguns grupos pequenos. O cap´ıtulo termina com duas proposi¸c˜oes e um exemplo que buscam responder as seguintes quest˜oes: “Que elementos de G s˜ao elementos Cayley unit´arios de KG?” “A partir de que elementos anti-sim´etricos de KG eles sa˜o obtidos?” “Se x ∈ G e o(x) ´e par, ent˜ao x ´e um produto de elementos Cayley unita´rios de KG?”. 2 O terceiro cap´ıtulo lida com involuc¸o˜es em um anel de matrizes Mn(D), onde D ´e um anel de divis˜ao. Este cap´ıtulo ´e baseado sobretudo no artigo Unitary elements in simple artinian rings de C. Chuang e P. Lee [2]. Os dois teoremas principais de tal artigo (nossos teoremas 3.3.2 e 3.3.8), junto com um corol´ario (nosso corola´rio 3.3.6), estabelecem a soluc¸a˜o do problema anteriormente mencionado de determinar condi¸c˜oes para que um elemento unita´rio seja um produto de dois elementos Cayley unita´rios de Mn(D), quando este anel esta´ munido de uma involuc¸˜ao e a caracter´ıstica de D ´e diferente de 2. Omitimos a demonstrac¸˜ao do Teorema 3.3.8, procurando esclarecˆe-lo atrav´es de um exemplo, mas a prova do Teorema 3.3.2 feita por Chuang e Lee ´e apresentada neste trabalho e utiliza o Teorema 3.2.1. Este, por sua vez, nos permite caracterizar involu¸c˜oes em Mn(D), a menos de isomorfismos de an´eis com involuc¸˜ao. A definic¸˜ao geral de isomorfismos de an´eis com involu¸c˜ao e alguns exemplos destes isomorfismos em an´eis de matrizes s˜ao dados na Se¸c˜ao 1, enquanto a Sec¸˜ao 2 trata da caracterizac¸a˜o de involuc¸o˜es em Mn(D). A dissertac¸˜ao termina com a se¸c˜ao “Considera¸c˜oes finais”. Primeiramente ´e elaborada uma hipo´tese sobre a existˆencia do inverso de 1 + α1(x − xp−1) + α3(x3 − xp−3) + · · · + αp−2(xp−2 − x2) em KCp e, consequentemente, a respeito da existˆencia do elemento Cayley unit´ario constru´ıdo a partir de k = α1(x − xp−1) + α3(x3 − xp−3) + · · · + αp−2(xp−2 − x2), quando K ´e uma extensa˜o real de Q, Cp = x , p ´e um primo ´ımpar e α1, α3, · · · , αp−2 pertencem a K. A seguir s˜ao feitas considera¸c˜oes sobre hipo´teses mais fracas para o corpo K nos Teoremas 2.3.1 e 2.4.1. Por fim, ´e feito um u´ltimo comenta´rio que diz respeito `a generalidade das involu¸c˜oes e dos isomorfismos de an´eis de matrizes com involu¸ca˜o considerados na Sec¸a˜o 1 do Cap´ıtulo 3. 3 Cap´ıtulo 1 Conceitos e resultados essenciais 1.1 M´odulos e ´algebras Nesta sec¸a˜o recordaremos alguns conceitos ba´sicos e fixaremos notac¸˜oes que sera˜o utilizadas no decorrer deste trabalho. Dado um grupo G, denotaremos por o(x) a ordem de um elemento x ∈ G. Os an´eis com os quais trabalharemos sera˜o an´eis com unidade. Sera˜o utilizadas as nota¸c˜oes U(R) para o grupo das unidades (elementos invert´ıveis) de um anel R e Int(u) para o automorfismo interno induzido pelo elemento u ∈ U(R), isto ´e, Int(u)(x) = uxu−1 para todo x ∈ R. Vale lembrar que se x ∈ U(R), enta˜o x na˜o ´e um divisor de zero. Recordemos ainda que um anel R ´e denominado um anel de divis˜ao se todos os seus elementos n˜ao nulos s˜ao invert´ıveis (isto ´e, se R\{0} = U(R)). Denotando por Z(R) o centro de um anel R, temos que Z(D) ´e um corpo se D ´e um anel de divis˜ao. Defini¸c˜ao 1.1.1 Seja R um anel. Um grupo abeliano M (aditivo) ´e chamado um R-m´odulo a` esquerda (ou um m´odulo `a esquerda sobre R) se, para cada elemento x ∈ R e m ∈ M , temos definido um produto xm ∈ M tal que: (i) (x + y)m = xm + ym, (ii) (x · y)m = x(ym), (iii) x(m1 + m2) = xm1 + xm2, (iv) 1m = m, para todo x, y ∈ R e m, m1, m2 ∈ M . 4 Analogamente podemos definir um R-m´odulo `a direita. Neste trabalho utilizaremos o termo R-mo´dulo como uma abrevia¸c˜ao para R-mo´dulo `a esquerda. Notemos que, se K ´e um corpo, o conceito de K-m´odulo coincide com a noc¸˜ao de espac¸o vetorial sobre K. Assim, constituem exemplos de K-m´odulos com as operac¸o˜es usuais: Kn, o conjunto dos vetores colunas com suas n coordenadas em K; Mn(K), o conjunto de matrizes n × n com entradas em K; K[t], o conjunto dos polinoˆmios na varia´vel t com coeficientes em K. Dado um homomorfismo ϕ de Mn(K), ent˜ao Kn ´e um Mn(K)-m´odulo com o produto Av definido por ϕ(A) · v, para toda matriz A ∈ Mn(K) e todo v ∈ Kn, onde · denota a muliplica¸c˜ao de matrizes. Neste caso, diremos que Kn ´e um Mn(K)- m´odulo com o produto induzido por ϕ. Em particular, se ϕ ´e a identidade, ent˜ao Kn ´e um Mn(K)-m´odulo com o produto Av coincidindo com a multiplica¸ca˜o de matrizes A · v. Se L ´e um ideal `a esquerda de um anel R, ent˜ao L ´e um R-mo´dulo. Em particular, um anel ´e sempre um m´odulo sobre si mesmo. Dado um anel R, um exemplo importante de R-mo´dulo que ser´a utilizado neste trabalho ´e o chamado anel de s´eries formais R[[t]] dado por com as operac¸˜oes i onde ci = ajbi−j. j=0 R[[t]] = ∞ aiti ; ai ∈ R i=0 ∞∞∞ aiti + biti = (ai + bi)ti, i=0 i=0 i=0 ∞∞ ∞ aiti · biti = citi, i=0 i=0 i=0 Definic¸˜ao 1.1.2 Sejam R um anel e M um R-m´odulo. Um subconjunto n˜ao vazio N ⊆ M ´e chamado um R-subm´odulo de M se as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas: (i) n1 + n2 ∈ N (ii) xn ∈ N , para todo n1, n2, n ∈ N e x ∈ R. 5 Se V ´e um espac¸o vetorial sobre um corpo K, enta˜o os K-submo´dulos de V sa˜o precisamente seus subespac¸os. Em geral, todo mo´dulo n˜ao nulo M cont´em pelos menos dois subm´odulos, M e {0}, os quais sa˜o chamados triviais. Definic¸˜ao 1.1.3 Seja R um anel. Um R-m´odulo M ´e chamado simples se M = {0} e seus u´nicos R-submo´dulos s˜ao os triviais. Vale ressaltar que Kn na˜o ´e um K-mo´dulo simples quando n > 1, ja´ que todo subespac¸o de Kn ´e um K-submo´dulo. No entanto, Kn ´e um Mn(K)-mo´dulo simples com o produto induzido por um automorfismo ϕ, conforme veremos no pr´oximo exemplo. Exemplo 1.1.4 Seja K um corpo e ϕ um automorfismo de Mn(K). Enta˜o Kn ´e um Mn(K)- m´odulo simples com o produto induzido por ϕ. De fato, seja N = {0} um Mn(K)-subm´odulo de Kn. Enta˜o N possui um elemento v = 0. Sejam vi uma coordenada n˜ao nula de v e α ∈ K. Como ϕ ´e um automorfismo de Mn(K), para cada j ∈ {1, · · · , n}, existe uma matriz Aj tal que ϕ(Aj ) = α vi Ej i , onde Eji ´e a matriz com 1 na (j, i)-´esima entrada e 0 nas demais. Assim, α Ajv = ϕ(Aj) · v = vi Eji · v = αej, onde ej ´e o vetor com 1 na j-´esima coordenada e 0 nas demais. Logo, como N ´e um Mn(K)-subm´odulo e α foi escolhido arbitrariamente, segue que αej ∈ N para todo α ∈ K e j ∈ {1, · · · , n}. Portanto, N = Kn. Exemplo 1.1.5 Sejam K um corpo e i ∈ {1, · · · , n}. O ideal (a` esquerda) de matrizes colunas   0 ··· 0 a1i 0 ··· 0    Li =   . . . . . . .    ; aji ∈ K, ∀ j ∈ {1, · · · , n}   0 · · · 0 ani 0 · · · 0   ´e um Mn(K)-mo´dulo simples com a operac¸a˜o usual. Definic¸˜ao 1.1.6 Sejam M e N dois mo´dulos sobre um anel R. Uma aplica¸c˜ao f : M → N ´e um isomorfismo de R-m´odulos, se f ´e um isomorfismo de grupos aditivos e f (xm) = xf (m), para todo x ∈ R e m ∈ M . Neste caso, dizemos que M e N sa˜o R-mo´dulos isomorfos. 6 Exemplo 1.1.7 Sejam K um corpo e Li e Lj dois ideais de matrizes colunas com i, j ∈ {1, · · · , n}. A aplicac¸a˜o f : Li → Lj definida por:  0 · · · 0 a1i 0 · · · 0    . . . . . . .   → 0 · · · 0 ani 0 · · · 0 → i-´esima coluna  0 · · · 0 a1i 0 · · · 0    . . . . . . .   0 · · · 0 ani 0 · · · 0 → j-´esima coluna ´e claramente um isomorfismo de Mn(K)-m´odulos. Assim, Li e Lj s˜ao Mn(K)-m´odulos simples e isomorfos para todo i, j ∈ {1, · · · , n}. Em geral temos o seguinte resultado. Proposic¸˜ao 1.1.8 Se K ´e um corpo, ent˜ao todos os Mn(K)-mo´dulos simples sa˜o isomorfos. Demonstra¸ca˜o: Seja N um R-mo´dulo simples, onde R = Mn(K). Segue do visto acima que basta provar que existe i ∈ {1, · · · , n} tal que N ´e isomorfo ao ideal de matrizes colunas Li. n Como N = 1N ⊆ RN ⊆ N , temos RN = N . Logo, como R = Li e N = {0}, i=1 existe i ∈ {1, · · · , n} tal que LiN = {0}. Portanto, existe n ∈ N tal que lin = 0 para algum li ∈ Li. Consideremos, ent˜ao, a aplica¸c˜ao f : Li → N li → lin. Temos que f ´e um homomorfismo de grupos aditivos com conjunto imagem f (Li) = {0} e satisfaz f (xli) = xf (li), para todo x ∈ R e li ∈ Li. Como f (Li) ´e um R-subm´odulo de N e N ´e um R-m´odulo simples, enta˜o f (Li) = N . Por outro lado, como o nu´cleo Ker(f ) ´e um R-subm´odulo de Li tal que Ker(f ) = Li e Li ´e um R-mo´dulo simples, enta˜o Ker(f ) = {0}. Logo, f ´e um isomorfismo de R-m´odulos. Definic¸˜ao 1.1.9 Seja R um anel comutativo. Um R-m´odulo A ´e chamado uma R-´algebra se existe uma multiplicac¸a˜o definida em A tal que, com a adic¸˜ao dada em A e esta muliplicac¸˜ao, A ´e um anel e valem as seguintes condi¸co˜es: x(ab) = (xa)b = a(xb), para todo x ∈ R e a, b ∈ A. 7 Se R ´e um anel comutativo, enta˜o Mn(R), R[t] e R[[t]] s˜ao exemplos de R-a´lgebras. Notemos tamb´em que se D ´e um anel de divisa˜o, ent˜ao Mn(D) ´e uma Z(D)-a´lgebra. Apresentaremos a seguir um exemplo de R-a´lgebra que ser´a importante no desen- volvimento de nosso trabalho. Sejam R um anel, G um grupo e RG o conjunto de todas as combinac¸o˜es formais α = αxx, com αx ∈ R e apenas um nu´mero finito de αx’s diferentes de zero. x∈G Definimos que αxx = βxx se, e somente se, αx = βx para todo x ∈ G. Em x∈G x∈G RG definimos, respectivamente, as operac¸˜oes soma e produto por: α + β = αxx + βxx = (αx + βx)x, x∈G x∈G x∈G α · β = αxx · βyy = (αxβy)(xy). x∈G y∈G x,y∈G Reordenando os termos do produto, obtemos α · β = αxx · βyy = γzz, x∈G y∈G z∈G onde γz = αxβy. xy=z Com estas operac¸˜oes ´e f´acil ver que RG ´e um anel com unidade 1 = uxx, x∈G onde o coeficiente de 1 ∈ G ´e a unidade 1 ∈ R e os Acesso em: 17 jul. 2009) 65 O Marechal Castelo Branco assumiu a Presidência da República em 15.04.1964. 116 A denominação do bairro remete à figura de Francisco dos Santos, o Chico dos Santos, dono de um rancho às margens do rio Machado onde ele administrava um entreposto de mercadorias, uma venda e uma pousada para os viajantes que comercializavam produtos através da estação de Fama (1896) da Estrada de Ferro Muzambinho e do barco que ia de Fama até a Cachoeira (ainda existente no rio Machado e próxima ao bairro). Segundo um de seus descendentes, Sr. João Esmeraldo Reis, nascido em 1932, figura de destaque no bairro, quando da construção de Furnas, a expectativa dos moradores é que a energia elétrica chegasse ao bairro. Até então apenas os moradores mais abastados do bairro eram sócios de uma pequena usina elétrica, inaugurada em 12 de abril de 1951.66 Em seu depoimento à pesquisadora, em estudo prévio sobre a comunidade atendida pela Fundamar, em 1994, Sr. João Esmeraldo relembrou as várias pontes construídas sobre o rio Machado, interligando o bairro do Chico dos Santos ao bairro do Coroado no município vizinho de Alfenas. Antes da construção da primeira ponte a travessia era de barco e para o gado era na água. Segundo o depoente, quando a primeira ponte foi construída, em torno de 1920, só aqueles que contribuíram para a obra tinham livre acesso. Os demais tinham que pagar para atravessar ou se valerem dos préstimos do barqueiro, Chiquinho Cordeiro. Depois que o rio Machado foi represado por Furnas, no bairro Chico dos Santos (1965?) a terceira ponte foi construída pela comunidade com ajuda de ambas prefeituras – Paraguaçu e Alfenas. O Sr. João Esmeraldo 66 O jornal “O Paraguassu”, Paraguaçu (MG), n. 496 de 15 abr. 1951 traz a notícia: “Inauguração da Luz Eletrica no Bairro Chicos dos Santos”. Segundo Sr. João Esmeraldo, eram vinte e dois sócios envolvidos na construção da usina de energia elétrica, captando as águas do ribeirão que deságua no rio Machado, no bairro Chico dos Santos. O responsável pela usina era Geraldo de Abreu, de Alfenas. 117 participou da construção da ponte de madeira amarrada com cipó, a base era de pedra e sua extensão era de 22m. Foi construída entre 25 de julho e 25 de agosto de 1967. Edição de “A Voz da Cidade” de 1º de outubro de 1967 confirma a informação de nosso depoente. Furnas só viria construir a ponte sobre o rio Machado, em substituição à antiga, já interditada, em 1981. O jornal “A Voz da Cidade” de 28 de março de 1981 refere-se a um convênio entre a Prefeitura Municipal de Paraguaçu e Furnas – Centrais Elétricas S/A para construção de obras para evitar o ilhamento de alguns produtores rurais, cujas propriedades localizam-se nas margens do lago de Furnas. Refere-se ainda à construção da nova ponte do rio Machado, de interesse direto dos moradores do Bairro dos Santos (bairro Chico dos Santos, em Paraguaçu) e do Coroado, no município de Alfenas, a ser executada diretamente por Furnas. Raro exemplo de publicação de memórias sobre um bairro rural do município de Paraguaçu, o livro “Memórias do Chico dos Santos”, de autoria de Edson Vianei Alves (1949-2002), sobrinho materno do depoente João Esmeraldo, registra suas lembranças sobre o rio Machado, ao tempo de seu pai, Joaquim Felipe: “No rio Machado, ele [o pai] pescava dourado, curimba, tubarana, piapava, mandi, bagre e lambari.” (ALVES, 2000, p. 34) Sr. José Cavaleiro, mais conhecido por Tonico Cavaleiro (1933), também nascido e ainda morador no bairro Chico dos Santos, lembra-se também das boas pescarias no rio Machado. Mas afirma que o represamento do rio facilitou muito a vida, pela facilidade de captação d‟água para a lavoura, 118 principalmente do alho, principal atividade do bairro na década de 50 a 60.67 Sr. Hélio Meirante, nascido em 1935, também nascido e ainda residente nas mesmas terras que foram de seus pais, às margens do rio Machado, lembra-se que seu pai perdeu três alqueires de terra e foi indenizado pelo valor nominal das mesmas. Seu irmão, Ademir de Souza Meirante, nascido em 1953, calcula em dez alqueires as terras perdidas por seu pai para Furnas. A chegada dos técnicos de Furnas no bairro é rememorada pelos irmãos Meirante: Foi uma coisa. Da moda que a gente nem esperava. Que antes a gente via passar, fazer a marcação, e ficava abismado de ver aquelas condução no meio do pasto. Que era para fazer a marcação, onde a água ia atingir. [.] Eles não explicava nada. Eles entrava [sic] no meio do pasto, com aqueles jipes, com aqueles aparelhos, marcando tudinho. Eles nunca veio [sic] aqui. (Depoimento do Sr. Hélio Meirante, 2009) Foi enchendo e foi acabando tudo. Se não vendesse [para Furnas] já perdia tudo. Lá no retiro, pra baixo do Matão, o rapaz não quis vender a casa, o terreno, de jeito nenhum. Não vendeu. Eu vi a casa, o terreno foi subindo, sumiu tudo. Perdeu tudo. [.] Que nem eles falou [sic]: „aqui tando cheio é nossa, tando seco é seu‟. (Depoimento do Sr. Ademir Meirante, 2009) Sr. Tonico Cavaleiro, quando indagado sobre a reação da população do bairro à chegada de Furnas, disse: “o povo achou bão [sic] e é bão [sic] até hoje”.68 67 O almanaque “O Sul-Mineiro Ilustrado” em reportagem intitulada “O Desenvolvimento de Paraguassú e a Administração Cristiano Otoni do Prado”, datado de 1941, informa sobre a cultura de alho no município, cuja produção “figura em primeiro logar no Brasil”. 68 Os depoimentos desses moradores ribeirinhos foram filmados por um grupo de educadores da Fazenda-Escola Fundamar, em 2009. Fragmentos de seus depoimentos foram incorporados a uma apresentação em PowerPoint integrante do instrumento de capacitação dos educadores, objeto dessa dissertação. 119 6.9. CINQUENTENÁRIO DE FURNAS: DUAS VERSÕES DISTINTAS Em 2000, a denúncia sobre as péssimas condições sanitárias do lago de Furnas era objeto do jornal “A Voz da Cidade”, em 1º de setembro. À época a preocupação era com o baixo nível das águas do lago, que prejudicava o turismo, principal fonte de renda da população lindeira. O jornal faz um paralelo entre os prejuízos daquele momento e aqueles sofridos à época da constituição do lago. E especula sobre as causas do rebaixamento do nível das águas, entre elas, a rivalidade entre o então presidente Fernando Henrique Cardoso e o governador Itamar Franco69, sobre a privatização de Furnas. Segundo essa versão, frente às ameaças do governador contra a privatização, o Presidente teria pedido à direção da empresa para esvaziar o lago. O jornal ainda noticia uma reunião de representantes da Associação dos Municípios do Lago de Furnas (ALAGO) com a diretoria da empresa em 28.11.2000, para encontrar soluções para as agressões ambientais que a represa vinha sofrendo, bem como recuperar o passivo que a empresa tinha com os municípios lindeiros: Diariamente são despejados no local, dejetos sanitários, industriais e agrotóxicos. A falta de infra-estrutura e a de uma política de utilização do Lago vem comprometendo o desenvolvimento da região, que aposta no turismo como uma das ferramentas para reverter a estagnação econômica. (A VOZ DA CIDADE, 12 set. 2000, p. 1) Em 2007, ano do cinqüentenário de Furnas, o jornal Estado de Minas, de Belo Horizonte, trouxe dois artigos sobre o evento, que evidenciam opiniões distintas sobre os impactos gerados pelo empreendimento. 69 O governador Itamar Franco e o Presidente Fernando Henrique Cardoso assumiram seus respectivos cargos em 1999. O Presidente iniciava então seu segundo mandato. 120 Luiz Neves de Souza, mestre em turismo e meio ambiente, em artigo intitulado “Os 50 Anos do Lago de Furnas”, denuncia a ausência de políticas públicas que canalizassem esforços voltados à preservação ambiental e também de projetos consistentes e objetivos para o fomento e desenvolvimento do turismo na região. E reclama: Basta percorrer as 34 cidades do Lago de Furnas e observar, em todas elas, toneladas de rejeitos em esgoto e lixo, além de defensivos agrícolas que são despejados em diversas regiões que se dizem próprias para o turismo e para a prática de esportes náuticos, para não falar da situação caótica da rede viária local. (SOUZA, 2007) O senador Eliseu Resende, no artigo intitulado “A Epopéia de Furnas” em “homenagem evocativa ao cinqüentenário”, imagina que sem a energia elétrica e a Petrobrás, o Brasil estaria hoje nos mesmos níveis de muitos países da África. Durante esse tempo [desde 1957] construímos nossos portos e modernizamos outros; instalamos a indústria química de base; desenvolvemos a produção de veículos e de navios; e entramos, firmes, na aeronáutica. Para tudo isso contribuiu a energia de Furnas e a que ela transporta e distribui, pelo principal sistema de interligação das grandes geradoras nacionais (RESENDE, 2007, p. 9). Ambos pontos de vista refletem faces distintas de um mesmo fato histórico. A percepção do ganho pela geração de energia para o desenvolvimento industrial nacional versus os prejuízos study has some limitations. The study sample consisted of a selected cohort of CML patients, as the enrollment was carried out in a single center. It is part of an observational study that was initially designed to evaluate imatinib-induced cardiotoxicity. Therefore, patients with cardiac disease, who have shown to be at increased risk for drug-induced nephrotoxicity [36], were excluded. The data were collected from the medical records, and the number of measurements differed among patients. Furthermore, only CML patients were enrolled. The effectiveness of imatinib has been demonstrated in several other diseases [3, 38, 39, 40] and it is also important to evaluate nephrotoxicity in these patients, as it is not known whether the propensity to develop imatinibinduced nephrotoxicity is related to the underlying malignancy. conclusions In conclusion, physicians should be aware that imatinib treatment may result in acute kidney injury and that the long- term treatment may cause a significant decrease in the estimated GFR and chronic renal failure. Therefore, it is important to monitor renal function of CML patients under imatinib therapy by measuring the creatinine levels and estimating GFR. Attention must be paid to concomitant administration of other potentially nephrotoxic agents, to avoid additive nephrotoxicity in these patients. acknowledgements We gratefully acknowledge the contributions of our patients, their families, and the hematologists (Cla´udia de Souza, Simone Magalha˜es, and Gustavo Magalha˜es). We also thank Heloisa Vianna for the constructive comments and suggestions, and Ka´tia Lage and Vera Chaves for the expert secretarial assistance. funding Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientı´fico e Tecnolo´ gico (478923/2007-4) to ALR; Fundaxca˜o de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais (PPM 328-08) to ALR; Coordenadoria de Aperfeixcoamento do Ensino Superior, Brazil (BEX 1199-09-9), to MSM. disclosure The authors declare no conflict of interest. references 1. Pappas P, Karavasilis V, Briasoulis E et al. Pharmacokinetics of imatinib mesylate in end stage renal disease. A case study. Cancer Chemother Pharmacol 2005; 56: 358–360. 2. 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