ABORDAGEM FINANCEIRA NO ENSINO BÁSICO E SUA IMPORTÂNCIA NAS AVALIAÇÕES DO ENSINO E NA PERCEPÇÃO DE ERROS EM PUBLICAÇÕES

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Documento informativo

UFRRJ

  Célio Marques de Freitas, filho de Miguel Manoel de Freitas e Regina Augusta de Freitas,nasceu em 28 de abril de 1972, no município de Paracambi, no Estado do Rio de Janeiro, sendo o 12° filho de um total de 14, tendo seus pais e 5 irmãos nascidos no município de Muriaé, no Estado deMinas gerais. No início do ano de 1996 ingressou no curso de matemática da UFRRJ, concluindo em maio de 2001 os cursos de licenciatura e bacharelado, defendendo a monografia de título A Contagemcomo Princípio Fundamental sob a orientação da professora Eliza Helena de Souza Faria ecoorientação do professor Carlos Eduardo Mathias Motta, como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciado em Matemática.

a) R$400,00 b) R$405,00 c) R$425,00 d) R$450,00 e) R$500,00

  É natural na convivência com as pessoas perceber seus erros, da mesma forma, sendo o autor leitor regular da revista veja percebeualguns desses erros e, ao mostrá-los nesse trabalho, não teve a intenção de denegrir a imagem da revista e sim, de sugerir que seja reservado um maior espaço para a correção dos mesmos. No capítulo 3 será feita uma abordagem do sistema de juros compostos com ênfase no entendimento de que este sistema está associado a todos os exemplos de sistemas deamortizações que serão apresentados e que, em qualquer destes, os juros incidem apenas sobre os saldos devedores que restam imediatamente ao pagarmos cada prestação.

1.1 Caso 1

1 Figura 1 Capa da edição nº 1692 da revista veja de 21 de março de 2001

1 Disponível em: <http://veja.abril.com.br/acervo/home.aspx>. Acesso em 9 de julho de 205

  No corpo da reportagem, que começa na página 116, são explicados os detalhes da pesquisa, sendo relevante para esse estudo, o fato de esta ter sido aplicada a cerca de 3000homens e mulheres, sendo que 12% dos homens se queixaram da falta de desejo e 35% das mulheres declararam não sentir nenhuma vontade de ter relações. 2 Figura 2 Percentuais de entrevistados homens e mulheres que não se interessam por sexo de acordo com a pesquisa publicada na edição n° 1692 da revista veja de 21 de março de 2001Quando se faz um estudo estatístico pretende-se concluir algo a respeito da população baseando-se na amostra.

2 Disponível em: <http://veja.abril.com.br/acervo/home.aspx>. Acesso em 19 de julho de 015

  4 -; 4 <> 2@0 / A ( 9; @ -B 06 1, - -?+ ção a hipótese de que o número de homens que participou da pesquisa é aproximadamente igual ao número de mulheres , o que é equivalente a dizer que o número de homens na população é aproximadamente igual ao número de mulheres . Considerando que o número de homens na população seja igual ao de mulheres, a porcentagem aproximada de brasileiros que não sentem vontade de fazer sexo, de acordo com a reportagem, é(A) 12% (B) 24% (C) 29% (D) 35% (E) 50%.

1.2 Caso 2

  5 Figura 4 Revista veja edição nº1713 de 15 de agosto de 2001 página 31 O responsável pela redação desse texto da revista veja provavelmente raciocinou que o consumidor está perdendo 10m, o que corresponde a 25% de 40m, concluindo que o consumidor está pagando 25% a mais pelo produto . ^_``ab c def g dhi h g h jk i e d ki l k mnohp q o k e l e mg o rf s e i k g n á pagando a mais pelo produto ele deveria escolher 30m sendo a base de cálculo, ou seja, ele deveria calcular o percentual que10m corresponde de 30m, que nos fornece 33,333...%, ou seja, aproximadamente 33,33%.

6 CORREđấO : O consumidor está pagando 33,33% a mais pelo

  Não necessariamente, o elaborador da questão se inspirou no erro da revista, visto que na época dessesacontecimentos, os fabricantes de alguns produtos, impedidos de aumentarem os preços destes, utilizavam-se da técnica de diminuir a quantidade, o que é uma maneira disfarçada depraticar tais aumentos. Porém, subentende-se que o percentual a que o texto da revista se refere é o percentual relativo à nova situação, que é equivalente ao valor pagodepois da diminuição em relação ao valor pago antes da diminuição, por metro do produto, o que ficou bem claro na escrita da questão da UFMG.

1.3 Caso 3

9 Figura 6 Revista veja edição nº2237 de 5 de outubro de 2011 página 85 Apesar de não estar explícito no texto acima, subentende-se que ele se refere ao valor da nota no final do mês em relação ao início do mês, ou seja, o seu valor relativo, que tem aver com o seu poder de compra. O responsável pela redação desse texto da revista veja provavelmente raciocinou que

9 Disponível em: <http://veja.abril.com.br/acervo/home.aspx>. Acesso em 1 de julho de 2015

  Mais uma vez houve um engano na escolha da base de cálculo (100%), pois para saber quanto uma nota de 100 valia no final do mês de março em relação ao início desse mês, ele deveria calcular quanto vale 100 em relação a 100 + 82% de 100, ou seja, qualé o percentual que representa 100 em relação a 182, o que é aproximadamente 54,95%. Portanto, uma nota de 100 valia 54,95 unidades monetárias no final do mês de março em relação ao início desse mês, perdendo 45,05% do seu poder de compra nesse mês.

10 CORREđấO : em1989, no auge da hiperinflação, uma nota de

  O autor dessa dissertação, ao ler a matéria acima na semana de sua publicação, comentou-a nas diversas turmas que lecionava e fez a observação de que a conclusão corretaseria a de que uma nota de 100 valia 54,95 unidades monetárias no final do mês de março em relação ao início desse mês. Um esclarecimento: ambos os sites reproduziram em 3 de outubro de 2011 essa reportagem da revista em suas páginas, sendo que esta foi publicada com data de 5 de outubrodesse ano, o que pode parecer uma contradição, mas a revista já é disponibilizada para comercialização no final de semana que antecede a data de publicação impressa.

1.4 Caso 4

  (...) O valor do imposto de renda é calculado combase na renda da pessoa, quanto maior a renda, mais ela paga de imposto. Em 2013, as pessoas que ganhavam até R$1.710,78 por mês estavam isentas dopagamento de imposto de renda, isto é, não pagavam nada, desde que essa fosse a sua única fonte de renda.

13 Disponível para download em: <http://www.edufinanceiranaescola.gov.br/materiais/>. Acesso em 06 de

  Quadro 1ÃÄÅÆÇÄ (incluindo auxílio-alimentação e auxílio-transporte) Baseado nos quadros 1 e 2, é possível fazer os cálculos para comprovar que os impostos de renda pagos pelos servidores A e B estão corretos. Fonte: Valores reais extraídos dos comprovantes de rendimentos de dois servidores federais.

14 Disponível em: <http://www.portaltributario.com.br/guia/tabelairf.html>. Acesso em 19 de julho de 2015

  Ficaria melhor se o texto informasse que o imposto de rendaincide sobre a base de cálculo, sendo esta, a diferença entre o rendimento bruto e as deduções mencionadas e outras deduções de mesma natureza e que, após a aplicação da alíquotacorrespondente a essa base, ainda deveria subtrair a parcela a deduzir correspondente para se chegar ao valor do imposto de renda retido na fonte. Como o valor dessa base é R$ 4.938,00 eestá acima de R$ 4.664,68, deve-se aplicar a alíquota de 27,5% sobre esse valor e subtrair a parcela a deduzir de R$ 869,36.

1.4.3 Cálculo da parcela a deduzir do imposto de renda

ĩ ỉđựò ó ñ ô ñ ò õựĩ ñ ô ò ñ ÷ø ùúû üý ñ ôôö ïöò đô ñþ ÷öò ñ ý ï ñû ô Ữ đỏ óöò óöÿ ò đự ð öò óùóöò ïöÿï þ ÿö óù ò ñ ção 1.4, faz-se necessário uma explicação sobre a importância da parcela a deduzir do I.R..Essa parcela a deduzir tem por objetivo facilitar os cálculos do imposto de renda, pois se esta não fosse informada, deveria se proceder da seguinte forma para se calcular, porexemplo, o imposto do servidor B:(1°) 7,5% de (2.826,65 1.903,98) 69,20  (2°) 15% de (3.751,05 2.826,65) 138,66  (3°) 22,5% de (4.664,68 3.751,05) 205,57  (4°) 27,5% de (4.938,00 4.664,68) 75,16  A soma desses valores encontrados é o imposto de renda, retido na fonte, do servidorB, isto é, R$ 69,20 + R$ 138,66 + R$ 205,57 + R$ 75,16 = R$ 488,59. Sendo que com a parcela a deduzir basta fazer 27,5% de R$ 4.938,00 - R$ 869,36 =

R$ 488,59

  Portanto, há um erro em O valor do imposto de renda é calculado com base na renda da pessoa, quanto maior a renda, mais ela paga de imposto , pois pode acontecer de uma pessoa ter maior renda e pagar menos imposto de renda, bastando para isso que as deduções façam a base de cálculo do I. 938 , 00 Ao acreditar-se na veracidade da proposição a seguir (o que não é verdade, como já mostrado anteriormente): O valor do imposto de renda é calculado com base na renda da pessoa, quanto maior a renda, mais ela paga de imposto , E mesmo com a alteração a seguir (que a torna verdadeira): O valor do imposto de renda é calculado sobre a base de cálculo do I.

2.1 O Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (PISA)

  Eis um resumo do que está escrito: O Programme for International Student Assessment (Pisa) - Programa Internacional de Avaliação de Estudantes - é uma iniciativa de avaliação comparada, aplicada a estudantesna faixa dos 15 anos, idade em que se pressupõe o término da escolaridade básica obrigatória na maioria dos países. Já havia sido incluído como novidade no PISA 2012 o tópico Estudo sobre letramento 2 financeiro dos alunos, como pode ser conferido na internet .3 O objetivo do Pisa é produzir indicadores que contribuam para a discussão da qualidade da educação nos países participantes, de modo a subsidiar políticas de melhoria doensino básico.

EF

  O Brasil participa como convidado desde a primeira aplicação da avaliação e o número aproximado de estudantes brasileiros participantes da última avaliação,realizada em maio de 2015, foi de 33.000, escolhidos em 965 escolas das cerca de 60.000 existentes no país. Nessas duas últimas avaliações, em matemática, foram exigidos dos alunos: testes de raciocínio rápido, problemas ligados ao dia a dia e problemas matemáticos da vida real.

2.1.1 Desempenho dos estudantes brasileiros de 15 anos no PISA

  Se o leitor deparar-se com algum equívoco aparente, basta consultar o site oficial da 10 organizadora do exame, que se encontra na internet .11 Na internet tem uma tabela completa mostrando o desempenho, nas três áreas do conhecimento avaliadas, de todos os países que participaram das cinco etapas do PISArealizadas até o momento e que já saíram os resultados, com arredondamento na casa das unidades. Com o estudo dessesassuntos são criadas as condições necessárias para que os alunos entendam o sistema de juros compostos e possam aplicá-lo para resolver problemas que envolvam as noções básicas sobre financiamentos, que é conseqüência desse sistema de juros, como será mostrado no capítulo III.

2.2 O Programa de Educação Financeira nas Escolas

  Tal propósito tem os objetivos de promover e fomentar a cultura de educação financeira no país, ampliar a compreensão do cidadão, para que seja capaz de fazer escolhasconscientes quanto à administração de seus recursos e contribuir para a eficiência e a solidez dos mercados financeiro, de capitais, de seguros, de previdência e de capitalização. Entre as iniciativas consideradas, o COREMEC julgou estratégica a elaboração de um programa para a educação financeira de crianças e jovens, considerando a experiênciainternacional que aponta para a necessidade de inserir o tema ainda na escola, a fim de ajudar na formação de uma cultura de prevenção e de planejamento, investimento, poupança econsumo conscientes.

2.2.1 A matemática financeira no programa de educação financeira nas escolas

O livro já citado anteriormente: Educação Financeira nas Escolas - Ensino Médio é composto de três blocos e cada bloco possui um caderno de atividades. 

BLOCO 1:

  Ï Ð ÑÒÓ Ô Ð Ô Ò Õ Ð Ö× ØÙ Ú ÒÓ 13 íodo de 28/12/2009 a 28/01/2010 foi de 0,0294% e a rentabilidade da caderneta de poupança é de 0,5295%, pois a taxa TR é aplicada sobre o valorinicial já adicionado de 0,5%. Quando o livro conclui que, ao gastar os R$1.000,00 para comprar a câmera, sobrariam aindaR$440,12, ele baseou-se no fato que a câmera permaneceu com o mesmo preço depois de 12 meses, o que não é normal, mas está correto, pois ele disse que eram juros reais de 0,5% +TR ao mês.

BLOCO 2:

  é amortização, faz algumas recomendações e dá um exemplo de uma aplicação que paga juros de 0,5% por mês e afirma que: depositando-seR$300,00 por mês, mais os juros que vão se acumulando, ao fim de 25 meses a família terá reunido os R$8.000,00 necessários para dar a entrada num imóvel. Ainda nesta página afirma que Se uma pessoa poupar e investir R$2.000,00 por ano dos 20 aos 25 anos, colocando esse dinheiro num investimento que pague uma taxa de juroscompostos de 6% ao ano, (taxa da poupança, sem o percentual da TR), terá ao final um total de R$13.950,64 (sem considerar os juros sobre a última parcela de R$2.000,00).

BLOCO 3:

  Aqui o livro perde a oportunidade de mostrar a espantosa cifra de R$130,00 que custaria uma garrafinha de água com uma inflação mensal de 50% durante 12 meses 12 (R$1,00 x 1,5 R$130,00). Alémdisso, a quantidade de erros (nos três blocos do livro) apresentados aqui mostra a tolerância que se tem com esses erros, mesmo o programa tendo sido elaborado por diversas entidadespúblicas e da sociedade civil, como foi dito no início da seção 2.2.

LMNOP

  (SÁ, 2012, p.19) Por meio de investigação nas matrizes curriculares de cursos de Licenciatura emMatemática de Instituições de Ensino Superior (IES) públicas e privadas, de diversos estados brasileiros, investigou se a Matemática Financeira é uma das disciplinas dessas matrizes e, emcaso afirmativo, investigou como professores de Matemática estão sendo formados para ensinar esta disciplina. 2.4 Propostas da SBM para a Inclusão da Disciplina Matemática Financeira no Ensino Básico e nas Licenciaturas em Matemática Em sua reunião de 28 de novembro de 2014, o Conselho Diretor da SBM decidiu relançar os estudos com vista à elaboração de uma proposta curricular para os diferentessegmentos do ensino de Matemática.

17 Y

  A presente proposta é resultado de uma discussão ao longo de um pouco mais de três meses, com base na experiência em sala de aula, na análise de currículo em vigor no país e noexterior e no nosso ponto de vista sobre os conteúdos apresentados nos principais livros didáticos usados pelas escolas brasileiras. Esta é a primeira versão da tentativa de colaborar com a SBM para a construção de um documento à luz das necessidades de aprendizagem dos alunos brasileiros para esta etapa deensino.

18 Z

  63 21 Figura 9 Proposta da SBM para conteúdos da disciplina matemática financeira no ensino médioObserva-se nas recomendações que o conceito de juros simples é raramente utilizado em situações reais e, portanto, deve-se abolir a prática de propor aos alunos exemplos e exercícios artificiais de empréstimos a juros simples. A intenção é apresentar um estudo do sistema dejuros compostos com o objetivo de facilitar o entendimento dos cálculos de inflação acumulada, de taxas efetivas e reais, de perdas ou ganhos do poder de compra e também, oentendimento dos cálculos das taxas de juros, das prestações e do valor presente, nos sistemas de amortizações Francês e Constante, muito utilizados na prática.

3.1 O Sistema de Juros Compostos

  Como o juro do 2º ano foi de 10% e deve sercalculado sobre esse montante composto ela obtém, ao final desse ano, R$11,00 de juros e, se esses R$11,00 de juros se compõem aos R$110,00 que já se possuía no início do 2º ano,obtém-se o novo montante composto de R$121,00. Assim, t  1 aplicando-se M unidades de capital, tem-se o montante de M M ( 1 i ) , se i for   t  1t t  1 constante para todos os períodos, pois se 1,00 está para o montante (1+i), assim como o montante M está para o montante M , sendo todos os valores na mesma unidade monetária,t-1 t tem-se: 1 , 00 M t  1 M (1 i)      M .

35 Para calcular basta digitar os números e as teclas em sequência, como a seguir:

M  100  1 , 02 35Aparece no visor: Indicando que ao término do trigésimo quinto mês osaldo da caderneta é de aproximadamente:

R$200,00

  Assim tt t J  M  C  C .( 1  i )  C  C .[( 1  i )  1 ] , sendo t períodos a uma mesma taxa unitária i.t Sabe-se que o capital C está para 100% (pois C é a base de cálculo para J ) assim como J está para a taxa percentual acumulada r acrescida do símbolo %. [(1 i) ]ac Fórmula 2 Cálculo da taxa percentual acumulada de juros após t períodos a uma mesma taxa ções que o valor de um capital C perde um mesmo percentual do seu valor a cada período, a uma taxa unitária i, o percentual de diminuição será calculado pela fórmula t100 .[ 1 ( i ) ] , em %.

35 Para calcular 100 ( 1 , 02 1 ) basta digitar os números e as teclas em sequência, como a seguir:

    Aparece no visor: Indicando que a taxa de inflação acumulada é deaproximadamente: 100%. 3.1.3 Cálculo do número de períodos sendo a mesma taxa de juros em todos os períodos !

b. Em símbolos: log x  n . log x . Dependendo do problema, outra(s) propriedade(s) dos

   b b C Mt Aplicando-se a propriedade da potência, tem-se: .t log (1 i) log , que equivale a  b b C M t log b C t . log (1 i)  b Destacando a fórmula, tem-se: Mtlogb C t log (1 i) b Fórmula 3 Cálculo do número de períodos no sistema de juros compostos O valor de b pode ser qualquer número real positivo e diferente de 1. .(1 i )t 1 2 3 t Fórmula 4 Cálculo do montante no sistema de juros compostos após t períodos a taxas de juros não necessariamente iguais a cada período jk l mn op ções que o valor de um capital C perde seu valor a cada período a taxas unitárias iguais a i , i , i , ...

1 Disponível em: <http://www.portalbrasil.net/ipca.htm>. Acesso em 23 de julho de 205

  i ).(1 i ).(1 i (1 .[ 100 r 1 2 3 t ac      O problema aqui é que se têm t = 235 e os cálculos são muito trabalhosos, mesmo que se utilize uma calculadora científica. ).(1 0186 , 0,0684).(1 (1 .[ 100 r ac       Portanto, o percentual de inflação acumulada do Real de 01/07/1994 até 01/02/2014 foi de 347,51% (está correto o enunciado).

3.1.6 Taxas de juros proporcionais e equivalentes e taxas de juros nominal e efetiva

  Conforme, (Crespo, 1999, p.82) (Crespo, 1999, p.82) Exemplo: 10% ao mês é proporcional a 20% ao bimestre (tanto no sistema de juros simples quanto no sistema de juros compostos)Conforme, (Crespo, 1999, p.83) Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período,produzem o mesmo juro. (Crespo, 1999, p.83) Exemplo: no sistema de juros simples 10% ao mês é equivalente a 20% ao bimestre e no sistema de juros compostos 10% ao mês é equivalente a 21% ao bimestre.

35 M R $ 100 , 00 1 , 02 R $ 200 , 00 . A taxa efetiva dessa operação é a taxa anual

  Como duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a ummesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro , tem-se (sendo i a taxaa unitária anual e i a taxa unitária mensal): m1 ano 12 meses 12 C .( 1  i )  C .( 1  i )  i  1 , 02  1  i  , 2682  26 , 82 % .a m a a Portanto, o montante aproximado após 35 meses é de R$200,00 e a taxa efetiva dessa operação é de 26,82% ao ano, aproximadamente. 12t Utilizando-se a fórmula M ( t )  C .( 1  i ) , sendo i a taxa unitária nominal, o professor de matemática pode aplicar com os alunos do ensino médio um processo passo a passo para se i .

3.1.7 Taxa real de juros e taxa aparente de juros

  Resolução 2: Como precisa-se ter em mente que para saber o aumento do poder aquisitivo deve-se analisar o que se compra a mais de um produto após os aumentos do salário e dos preços, em relação ao valor composto pelo valor inicial do salário mais o aumento que ospreços tiveram., tem-se o regime de juros compostos. Sendo C o valor inicial do salário, if = 20% = 0,2 a taxa unitária de inflação (aumento do preço a cada unidade monetária),i a taxa unitária de aumento real e i = 26% = 0,26 a taxa unitária aparente, tem-se:r aÛÜ Û Û Ü Û Û Û 1  ß 1 , 26 .(  1  Þ ).( 1  Ý )  .( 1  ß )  Ý   1  Ý   1  , 05  5 %.

3.2 Empréstimos e Financiamentos

  Já, ao efetuar-se um empréstimo, é natural que a pessoa não pague nenhuma prestação de entrada, visto que se ela está tomando um empréstimo é porque ela já o faz com um valor de ! Para se iniciar o desenvolvimento deste assunto, antes mesmo de se apresentar os conceitos de saldo devedor, amortização e outros importantes conceitos, o exemplo a seguirmostra uma maneira disfarçada de cobrar 100% de juros (em apenas um mês) dos clientes poucos familiarizados com cálculos simples envolvendo financiamentos.

a) 20% b) 25% c) 50% d) 100% e) 150%

  Mas, como a primeira prestação é paga no ato da compra, se esse clientetivesse os R$75,00 para comprar à vista e optasse para pagar em duas vezes de R$50,00, após a entrada ficaria com R$75,00-R$50,00=R$25,00 para pagar daí a um mês a segunda parcelade R$50,00. Portanto, a loja está cobrando 100% de juros em apenas um mês, pois a dívida não quitada no ato da compra (R$25,00) dobrou após um mês (R$50,00).

3.2.1 Saldo devedor, amortização e juros

  De um modo geral, com ou sem entrada, ao pagar cada prestação, a partir da 2ª, tem-se um novo Saldo Devedor, que é a diferença entre o valor acumulado (saldo devedor do período anterior + o juro do período) até o dia do vencimento desta (antes de pagá-la) e o valor da prestação paga nesse dia. Com o intuito de generalizar, representar-se-ão por SD ( k ) e SD ( k ) a d respectivamente, os valores dos Saldos Devedores no dia do vencimento da prestação de número k (antes e depois do seu pagamento), em que k varia de 1 até n, sendo k o número daprestação correspondente e n o total de prestações.

3.2.2 Cálculo da taxa de juros de um empréstimo em duas prestações mensais e iguais

  Como no pagamento em duas vezes é dada uma entrada de R$100,00, tem-se um saldo devedor deR$180,00 R$100,00 = R$80,00 (base de cálculo) e como depois de 30 dias deve-se pagarR$100,00 da 2ª prestação, tem-se que o juros é R$100,00 R$80,00 = R$20,00, que é 25% de 80 100 R$80,00.  SD ( 1 )  R $ 900 , 00  R $ 500 , 00  R $ 400  SD ( 2 )  400  1 , 25  R $ 500 , 00  da  J  R $ 500 , 00  R $ 400 , 00  R $ 100 , 00  SD ( 2 )  R $ 500 , 00  R $ 500 , 00  R $ , 00  2d Observa-se que as amortizações são:A  R $ 500 , 00 e A  R $ 500 , 00  R $ 100 , 00  R $ 400 , 00 ( A  A  PV ) .

R$)

  2 21 100 121 3 11 110 121Total 32 331 363 Resolução 2: PMT PMT PMT PMT 2 2 2 2    PMT  331 ou 1 , 1  PMT  1 , 1   1 , 1   1 , 1  331 2 2 1 , 1 1 , 1 1 , 11 , 1 1 , 21  331 1 , 21   1 , 1    1 , 21  331    1 , 21  100  3 , 31 PMT  R $ 121 , 00 . Uma certa mercadoria, cujo preço à vista é P, será vendida a prazo de acordo com o seguinte plano de pagamento: R$100,00 de entrada, uma prestação de R$240,00 a ser paga em30 dias e outra de R$220,00 a ser paga em 60 dias.

3.3 Os sistemas de Amortizações de um Empréstimo ou Financiamento

  Chamam-se de Sistemas de Amortizações às diferentes formas de devolução do valor presente (principal) de um empréstimo. Os outros sistemas foram citados aqui, semdefini-los, para citar que existem diferentes formas de devolução do valor principal de um empréstimo e que, independente da forma, os juros incidem sempre sobre o saldo devedor período a período.

3.3.1 Sistema Francês de Amortização (SFA)

  Caso a entrada seja diferenteda prestação é só subtraí-la do valor do bem, sendo o restante considerado o valor presente para o cálculo das prestações iguais pela fórmula sem entrada. Neste sistema (muito utilizado no cotidiano das pessoas), será mostrada a importância de se saber a fórmula do termo geral e a fórmula da soma dos termos de uma progressãogeométrica, para se entenderem as fórmulas utilizadas.

3.3.1.1 Financiamentos com n prestações iguais e periódicas (sendo uma de entrada)

Para calcular o valor das prestações (PMT) de um financiamento de valor presente PV, feito em n prestações iguais (sendo uma de entrada), periódicas e de taxa unitária de juros (i), 4 utiliza-se a fórmula a seguir: n 1 -(1  i)  i PMT PV  n (1  i)  1Fórmula 7 Cálculo do valor das prestações de um empréstimo feito em n prestações iguais e periódicas, sendo uma de entrada

4 A demonstração dessa fórmula encontra-se no apêndice F

    3 1 , 1  1 Exemplo 24: Uma câmera digital é vendida por R$1.000,00 à vista. De quanto será o valor das prestações se esta máquina for comprada em 12 prestações mensais, iguais e com entrada?

3.3.1.2 Financiamentos com n prestações iguais, periódicas e sem entrada

  2 1 , 2  1 Exemplo 25: Uma câmera digital é vendida por R$1.000,00 à vista. De quanto será o valor das prestações se esta máquina for comprada em 12 prestações mensais, iguais e sem entrada?

3.3.1.3 A tabela Price

  Juntando-se o quadro da evolução do saldo devedor com o quadro das amortizações e juros embutidos nas prestações forma o quadro chamado de Tabela Price . a d a k Os saldos devedores antes do pagamento da prestação k, a partir da segunda, são obtidos multiplicando-se o saldo devedor depois do pagamento da prestação k - 1 por 1 + i, ouseja, SD (k) = SD (k-1) .

9 Exemplo 26: Construir um quadro com a tabela Price para o exemplo 25

  a (1) = R$1.054,80 R$115,90 = R$938,90. SD d Em seguida, é só repetir o processo, ou seja, multiplicar por 1,0548 e subtrairR$115,90, para encontrar os demais saldos devedores antes e depois dos pagamentos das prestações. 0,0548 = R$51,45 e A = R$115,90 R$51,45 = R$64,45. J 2 2 Em seguida, é só repetir o processo, ou seja, multiplicar por 0,0548 os saldos devedores depois dos pagamentos das prestações e subtrair de R$115,90, para encontrar osdemais juros e amortizações.

9 Um simulador da tabela Price para download encontra-se

  A taxa mensal de juros contratada foi de2,02% e foi financiado o IOF de R$57,31.a) Qual o valor de cada parcela?b) Qual é o CET mensal e o anual? É a taxa real de juros que está sendo cobrada num empréstimo ou financiamento quando são incluídos, no valor presente, o IOF e outros possíveis valores cobrados.

3.3.1.4 O custo efetivo total (CET)

27: Uma pessoa adquiriu um empréstimo de R$2.002,74 para pagar em 36

10 A resolução da letra (a) deste exemplo 27 utilizando-se HP12C pode ser feita como no ex. 25 do apêndice L

  Dessa n 36(1  i)  1 1,0202  1 forma, o valor de cada parcela é de R$81,08.b) Para calcular o CET mensal deve-se usar a mesma fórmula só que considerando PV =R$2.002,74 (verdadeiro valor que a pessoa levou para casa). Usando uma calculadora HP12C, encontra-se o valor de i e = 2,2%, que indica que o CET mensal é de aproximadamente 2,2%.

3.3.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)

  A cada prestação será pago o juros sobre o saldo devedor que resta ao pagar-se a prestação imediatamente anterior a esta, mais a parcela de amortização constante. Fonte: elaborada pelo próprio autorResolução:  Usando o mesmo raciocínio já utilizado na resolução do exemplo 21 e já multiplicando 2 por (  1 i ) , tem-se: (valores na data da 2ª prestação) 2 154 .( 1 i ) 132 220 .( 1 i )    2  Substituindo (1+i) por x, tem-se:  2  Simplificando por 22, tem-se: 10 .

11 A resolução deste exemplo 28 utilizando-se uma calculadora financeira HP12C encontra-se no apêndice K

  ÉÊ ËÌ Í Î Ì Í ÌÏ Ì Ð Ê ÑÒ ÌÓ Ô Ê , 20% é justa, pois: R$220,00+20% de R$220,00=R$264,00, pois não foi dada entrada; R$264,00-R$154,00 (1ª prestação) = R$110,00; R$110,00+20% deR$110,00=R$132,00; R$132,00-R$132,00 (2ª prestação) = R$0,00. Imediatamente após o pagamento da 2ª prestação o saldo devedor zerou.

DIA DO VENCIMENTO DA

R$220,00 ANTES DO PGT° DEPOIS DO PGT° PRESTAđấO K (SD k em R$) (PMT em R$) kNổ DA PRESTAđấO (k)DA PRESTAđấO DA PRESTAđấO 1 264 110 154 2 132 132 = R$44,00 (20% de R$220,00, pois não foi dada entrada) e J = R$22,00 (pois depois de  J 1 2 pagar a 1ª prestação, tem-se: SD (1) =R$264,00-R$154,00=R$110,00, sendo J = 20% de d 2 R$110,00=R$22,00. Quadro 16 Parcelas de juros e amortizações de um empréstimo de R$220,00, pago em duas prestações mensais diferentes e sem entrada 12 (k J k em R$) (em PMT k (em R$) A k R$) 1 44 154110 222 110 132 Total 66 220 286 3.4.2 Cálculo da taxa de juros de um financiamento pago em três prestações mensais diferentes e sem entrada, quadro da evolução do saldo devedor e quadro dasamortizações e juros

13 Exemplo 29: Uma bicicleta custa à vista R$300,00, mas pode ser paga em três prestações

  Se o racional , sendo p e q 0 números inteiros primos entre si, é raiz dessa equação, a   n q então p é divisor de e q é divisor de (IEZZI, 2004, p.298) a a . Como a 2 4 5 6 20 soma das prestações é R$330,0, tem-se que a taxa de juros deve ser maior do que 3,23% ao mês, pois seria de aproximadamente 3,23% se as três prestações tivessem sido pagas juntasnuma única prestação na data da terceira.

3.5 Valor Acumulado após n Depósitos Iguais, Periódicos e à mesma Taxa de Juros

  (Dado: 1 , 02 1 , 2936 ) Fonte: Elaborada pelo próprio autor e utilizada na lista das aulas de progressão geométricaResolução 1: O depósito de R$100,00 feito em 01/12/2008 equivale a um montante de 1 2 R$ 100 . 1 , 02 .( 1 1 , 02 ) 100 .( 1 , 02 1 , 02 ) 16   1 Aplicando-se na fórmula , tem-se    1  q 1  1 , 02 , 02 100 .( 1 , 2936  1 , 02 ) 1368 .

R$1.368,00

  n 12( 1  i )  1 1 , 02  1 Resolução 2: Utilizando-se a fórmula 9, tem-se:FV  . 100 .i , 02 Como deseja-se encontrar o total acumulado um mês após o último depósito, deve-se 131 , 02  1 , 02 1 , 2936  1 , 02 multiplicar por 1,02.

16 A demonstração dessa fórmula encontra-se no apêndice E

  3.5.1 Cálculo do saldo devedor no dia do vencimento de uma prestação de número k e após o seu pagamento (no SFA)1° caso: com entrada! $ % & $ ' ' $ k 1 ção n° k ( PV .( 1 i ) ) e k ( 1  i )  1 subtrair o valor acumulado por k depósitos de PMT, ou seja, subtrair .

1 SD ( 2 )  33 . ,  . 2  364 , 0  254 , 0  0 (ver quadro 3)

  d, 1 2° caso: sem entradak Basta transferir o valor presente PV para a data da prestação n° k ( PV .( 1  i ) ) e k  ( 1 i ) 1    subtrair o valor acumulado por k depósitos de PMT . PMT .

8 SD ( ) 1000 . 1 , 054 . 115 , 90 1532 , 36 1125 , 92 406 , 44 (ver quadro14)

    d , 0548

3.5.2 Cálculo da parcela de juros embutida numa determinada prestação (no SFA)

  O valor da parcela de juros embutida numa prestação de número k (J ) é calculado por k J  i . k d Assim, no exemplo 26, tem-se: 6  1,0548  1 6  J , 0548 .

3.6 Comentários Sobre a Matemática Financeira na Prática

  A esta pergunta, 68% destes participantes responderam sim, o que não significa que os outros 32% não tenham familiares próximos que tenham adquirido algum empréstimo, e sim,que apenas não tenham conhecimento de tal fato, o que mostra a relevância do assunto financeiro, não só para a pessoa que adquiriu o empréstimo, mas para todos os integrantes dafamília. Novamente aqui entra mais uma história envolvendo a curiosidade do autor desta dissertação: Ao fazer os cálculos necessários para a quitação de um empréstimo usando todo oconhecimento de matemática financeira adquirido até então, o saldo devedor não coincidia com o informado pelo banco.

3.7 Comentários sobre alguns Livros Didáticos aprovados pelo PNLD

  Numa consulta a livros do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2011 em diante, em busca de se saber em que série ensina-se o sistema de juros compostos, o autorencontrou seis livros que abordam esse conteúdo, sendo dois do nono ano do ensino fundamental, dois do primeiro ano do ensino médio e dois do segundo ano deste último nívelde ensino. Com questões dos vestibulares de Universidades do Estado do Rio de Janeiro, o autor dessa dissertação criou e aplicou as atividades a seguir em duas turmas (2AINFO1 e 2AELME1) no mês de novembro de 2008 e em uma turma (2AINFO1) no mês de junho de 2009 da unidade do CEFET/RJ já citada acima.

R$3.960,00

  Uma Exemplo 5:certa mercadoria, cujo preço à vista é P, será vendida a prazo de acordo com o seguinte plano de pagamento: R$100,00 de entrada, uma prestação de R$240,00 a ser paga em 30 dias e outra deR$220,00 a ser paga em 60 dias.a) Determine P.b) O quadro a seguir mostra a evolução do saldo devedor à medida que as prestações são pagas. Uma certamercadoria, cujo preço à vista é V, será vendida a prazo de acordo com o seguinte plano de pagamento : R$220,00 de entrada, uma prestação de R$412,00 a ser paga 1 mês após a entrada eoutra de R$312,00 a ser paga 2 meses após a entrada.

4) Preencha o quadro a seguir, utilizando a compra efetuada no exercício anterior, com a evolução do

saldo devedor (para o caso com entrada) à medida que as prestações forem sendo pagas.VALOR À VISTA : VALOR DAS PRESTAđấO (em R$) PRESTAđỏESANTES DO DEPOIS DOPRESTAđấO (em R$)PGT° DA PGT° DA N°PRESTAđấO PRESTAđấO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5) Cole abaixo um recorte de jornal, revista ou qualquer outro meio de propaganda, que tenha o valor

  Quando no recorte de jornal aparecia a taxa de juros cobrada, o professor pediu para que os alunos confirmassem a veracidade dessa taxa). ão serão apresentadas as resoluções das atividades acima aqui nesta seção, mas quatro questões da 1ª parte foram solucionadas na seção 3.2 e parte de uma das questões da2ª parte será solucionada na pesquisa do capítulo 4. 3.9 Questão do Exame Nacional do Ensino Médio de 2012 sobre Matemática Financeira Exemplo 30: Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento:  Opção 1: Pagar à vista, por R$55.000,00; Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$30.000,00, e mais uma prestação de R$26.000,00 para dali a 6 meses.

3.10 Duas questões de matemática do PISA de 2012

  ™ š›œ ž ão a seguir foi cobrada na prova de matemática do PISA 2012, porém não foi na parte de letramento financeiro . Apesar de não envolver dinheiro, ela é resolvidautilizando-se conceitos estudados em matemática financeira.

17 Exemplo 31:

  Para determinar essa evolução, ele levanta as seguintes hipóteses:  No início do primeiro ano, a colônia tem 10.000 pinguins (5.000 casais) e no início de cada ano, a colônia tem um número igual de machos e fêmeas que formam casais. Como esse aumento e essa diminuição ocorrerão sempre sobre o número de pinguins no início de cada ano, tem-se que após 77 anos o número total de pinguins é P = 10.000 x (1,5 x 0,8) (alternativa (b)).

18 Exemplo 32:

   Ela estará pagando 13% de juros ao invés de 15%. Ela tem um adicional de 2.600 zeds. Ela tem dinheiro extra para gastar. A taxa de juros é menor. Uma observação a ser feita aqui é que para após um ano, a senhora Jones ainda dever 7.400 zeds à financeira FirstZed , foi feito o cálculo: 8.000 x 1,15 12 x 150 = 7.400, o que não é uma situação encontrada na realidade, pois os reembolsos pagos não foram valorizados com o tempo, ou seja, os juros não foram calculados sobre os saldos devedoresapós pagar cada reembolso.

18 Questões e resoluções disponíveis em: <http://www.oecd.org/pisa/keyfindings/PISA-2012-results-volume-

  Como pode ser observado no quadro 20, 10 acertaram a questão, 18 a erraram e 1 a deixou em branco, ou seja, aproximadamente 36% (10 de 28) dos que tentaram resolver aquestão a acertaram, o que mostra que 64% dos participantes da pesquisa do ensino superior, têm dificuldade de identificar a base de cálculo, que de certa forma tem relação com adificuldade de perceber o fato de que os juros incidem sobre o saldo devedor. Como pode ser observado no quadro 20, 6 acertaram a questão, 17 a erraram e 6 a deixaram em branco, ou seja, aproximadamente 26% (6 de 23) dos que tentaram resolver aquestão a acertaram, o que mostra que 74% dos participantes da pesquisa do ensino superior, tiveram dificuldade de identificar, nessa questão, a base de cálculo, que de certa forma temrelação com a dificuldade de perceber o fato de que os juros incidem sobre o saldo devedor.

5) Os fabricantes de papel higiênico reduziram de 6) (Trecho extraído da Revista Veja de 5/10/2011 -

  Explicação do participante G9 APÊNDICE D: q a a q q a a q a aq a a q q a a q a a q a a 4 3 4 4  q a a Destacando a fórmula, tem-se:1 n 1 n        1          , um número de vezes igual a uma unidade a menos do que a posição do termo que se quer determinar. Assim, tem-se:1 - n n - 1 q a iguais fatores n 1 nq a a q q q a a Para determinar o valor de um termo qualquer, a partir do segundo, basta multiplicar o primeiro termo1 apela razãoq                       2 1 1 31 2 3 1 3 3 2 1 2    órmula do Termo Geral ( ( )   , a , a , , a , a , a .

PMT

  Em seguida, o professor pode supor que a taxa de juros foi informada no anúncio e, em vez de pedir para calculá-la, ele pode pedir para os alunos comprovarem, utilizando uma calculadoracientífica, que a taxa de 5% a.m. Þßà áâãäAPÊNDICE J: ões das quatro primeiras questões vistas na pesquisa do capítulo 4 da dissertação pelas fórmulas e com as calculadoras científicas e HP12C Observação: PV é a sigla de Present Value no idioma inglês, que no idioma português é o ValorPresente (valor à vista) e PMT são os valores das prestações.

PMT PMT 412 312

  Basta apertar as teclas na ordem indicada a seguir:  Resolução da questão 2 da pesquisa: (1°) Utilizando a fórmula para comprovar que a taxa é de 100% (i = 1) fornece duas prestações de R$50,00: n  1 2  1( 1  i ) . G e  J H KL M J Não será demonstrado aqui, com rigor matemático, que existe o limite   e queH   I J H   KL M J e e   = (em que é a base do sistema de logaritmos naturais), mas o que foi feito acima H  I     já é uma grande forma de conquistar o estudante do ensino médio para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral.

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