Emulujący wywiad… z Rickiem Grushem

 0  4  13  2017-02-01 13:47:24 Report infringing document
Emulujący wywiad z Rickiem Grushem Przemysław Nowakowski Przełożyli: Jakub Matyja i Piotr Momot Przemysław Czy Nowakowski: mógłby Pan opisać krótko swoją koncepcję emulacji? Czy sądzi Pan, że może stać się podstawą nie tylko dla teorii percepcji, lecz także – na przykład – dla teorii pojęć lub wnioskowania? Rick Grush: Moja koncepcja emulacji jest stosunkowo prosta: emulacja to reprezentowanie czegoś przy użyciu modeli, które to coś zastępują. Ma to miejsce cały czas: używamy symulatorów lotów jako modeli zastępujących samoloty; używamy szachownicy by wypróbować możliwe posunięcia, zanim wykonamy ostateczny ruch pionkiem. Wspomniane przykłady mają jedną cechę wspólną: lub emulatorem aktywny w z reprezentowanymi ten agent sam przez wchodzi sposób, nie w obiektami. w interakcję z modelem jaki wchodzi w interakcję Wchodzimy w interakcję z symulatorem lotów w ten sam sposób, w jaki wchodzimy w interakcję z realnym samolotem; wchodzimy w interakcję z „nieoficjalną” szachownicą (tą, na której sprawdzamy posunięcie), w taki sam sposób, w jaki działamy na „oficjalnej” szachownicy. Moja główna myśl jest taka, że opisany przed chwilą fenomen dotyczy również samego mózgu: mózg konstruuje modele ciała lub otoczenia, z którymi może następnie wchodzić w interakcje, aby reprezentować ciało lub otoczenie. AVANT 01/2010 | www.avant.umk.pl OPEN ACCESS 200 Emulujący wywiad z Rickiem Grushem Z tym prostym pomysłem wiąże się oczywiście wiele skomplikowanych problemów, np. co jest modelowane, jak modele są zbudowane, co to właściwie znaczy używać czegoś „w ten sam sposób”, jak czegoś innego. Co do drugiej części pytania, odpowiedź brzmi: tak, myślę, że emulacja ma zastosowanie w pojęciach i wnioskowaniu. Niewątpliwie jedną z dziedzin, w której stosuje się modele, jest właśnie wnioskowanie – powodem, dla którego wypróbowuję możliwe ruchy na „modelowej” szachownicy, jest przeprowadzenie wnioskowania dotyczącego tego, które ruchy byłyby dobre, a które złe, gdybym wypróbował je w rzeczywistości. Oczywiście sam model nie wystarcza do wnioskowania – muszę wiedzieć w jaki sposób odpowiednio użyć modelu i muszę odpowiednio interpretować wyniki – nie mogę uznać rezultatów wypróbowywanego przeze mnie możliwego ruchu za zapamiętany stan przeszły szachownicy, za percepcję jej obecnego stanu, czy też za przypuszczenie, co do stanu innej możliwej szachownicy. Muszę w jakimś sensie wiedzieć, że w tej sytuacji stan modelu reprezentuje hipotetyczny stan rzeczy – sam model nie czyni tego oczywistym. Co do pojęć: nie wiem. Zajęcie się tym tematem pochłonęłoby dużo czasu. Niech mi będzie wolno tylko powiedzieć, że uważam za pożyteczne uznanie artykułowanych1 emulatorów za pojęciowe, w takim sensie, że artykulanty mają wiele cech pojęć. Nie będę jednak kontynuował tych rozważań. Problem tego, czym są pojęcia, jest skomplikowany i jeżeli mam być szczery – nie leży w centrum moich zainteresowań. Wydaje się koncepcję Pan stosunkowo poznania. Jak często w krytykować kontekście enaktywistyczną ucieleśnionych, enaktywistycznych, usytuowanych teorii lokuje Pan swoją własną? To, co łączy te koncepcje z moją, to odejście od pewnego sposobu myślenia o poznaniu i reprezentacjach mentalnych. Nie postrzegamy ich jako 1 Artykułowanie polega tu na tym, że emulator naśladuje, czyli – trzymając się terminologii Grusha – artykułuje zmiany w tym, co emulowane. Zmianie w tym, co emulowane, towarzyszy wyartykułowanie zmiany w emulatorze [P.N.] Emulujący wywiad z Rickiem Grushem 201 problemów natury przede wszystkim logicznej lub językowej, jako ciągi symboli; uznajemy, że poznanie wiąże się z i bazuje na ucieleśnionym zaangażowaniu motorycznym. Główna różnica leży w tym, że poglądy te mają często charakter antyreprezentacjonalistyczny i nierzadko zakładają, że poznanie nie zachodzi w głowie. Według mnie, odpowiednie zrozumienie tego, czym są reprezentacje umysłowe – mianowicie: nie zdaniami (sentences), a modelami – doskonale uzmysławia nam sens idei reprezentowania mózgowego oraz fakt, że proponowane tu pojęcie reprezentacji jest tak samo, jeśli nie bardziej niż w tamtych koncepcjach, związane z zachowaniem motorycznym. Pokazuje też, jak reprezentacje mentalne i poznanie mogą zachodzić całkowicie w mózgu. Nie twierdzę jednak, że tak jest zawsze: możemy używać zewnętrznych modeli i często faktycznie to robimy. Moje stanowisko jest jednak słabsze od wspomnianych – reprezentacje i poznanie mają wobec mózgu przeważnie charakter wewnętrzny. Czy w swojej teorii widzi Pan miejsce dla jakiejś specjalnej koncepcji świadomości ciała? Odpowiedź jest prosta: tak, oczywiście. Jednym z głównych obszarów aplikacji teorii emulacji są emulatory ciała; faktycznie uważam, że emulatory są zaangażowane w ciała. W jaki sposób emulatory ciała są zaangażowane w świadomość ciała? Pracując nad rolą ciała w poznaniu odkryłem, że ten sam emulator ciała jest zaangażowany w poznanie i percepcję rzeczy, innych osób i świadomość ciała. Co Pan myśli o takim rozwiązaniu? Zajmuje się Pan tym zagadnieniem? Może Pan opowiedzieć o tym wszystkim bardziej szczegółowo? 202 Emulujący wywiad z Rickiem Grushem Emulatory motoryczne przyczyniają się do świadomości ciała w ten sam sposób, w jaki każdy inny emulator przyczynia się do świadomości – tak samo jak emulator środowiska przyczynia się do świadomości środowiska. Skoro percepcja stanowi proces kontrolowanej halucynacji, to nie ma percepcji bez halucynacji, nie ma percepcyjnej świadomości bez halucynacji. Emulatory są tym, z czego halucynacja jest skonstruowana. Emulator jest nieprzerwanie aktywny i to jego jesteśmy świadomi. Jeżeli halucynacja jest kontrolowana przez dane zmysłowe, to mamy do czynienia z percepcją (przeciwstawianą wyobraźni). Jeżeli nie, to mamy do czynienia z wyobraźnią lub czymkolwiek innym, niż percepcja. Analogicznie jest w każdej innej sferze – ciała, środowiska, czy czegoś jeszcze innego. Dla amerykańskiego filozofa i kognitywisty zainteresowanie pismami Husserla nie jest czymś typowym. Warto zaznaczyć, że odnosi się Pan bezpośrednio do fenomenologów dorobku ojca amerykańskich, fenomenologii, takich jak nie np. zaś do Dorion prac Cairns. Czy mógłby Pan powiedzieć nam coś więcej o swoich inspiracjach Husserlem? Kilka lat temu zainteresowałem się tematem reprezentacji czasowych. Zacząłem dostrzegać, w jaki sposób mógłbym zająć się tym typem reprezentacji, bazując na moim schemacie emulatorów. Wymagało to oczywiście znacznego udoskonalenia i rozszerzenia mojej teorii. To był cel, teoretycznej. jaki postawiłem Oczywiście sobie chciałem na też, gruncie żeby neurokognitywistyki moje stanowisko było filozoficznie odpowiedzialne, a prace Husserla nad świadomością czasu są prawdopodobnie najważniejszymi dociekaniami na ten temat w historii filozofii. Nie sądzę, żeby zainteresowanie Husserlem było aż tak nietypowe dla amerykańskiego filozofa zajmującego się kognitywistyką. Co ciekawe, zainteresowanie to stało się w ostatnich dziesięciu, czy piętnastu latach poniekąd modne. Problem jednak leży w tym, że w większości przypadków Emulujący wywiad z Rickiem Grushem 203 dorobek Husserla jest traktowany bardzo powierzchownie. Moim celem nie jest jednak podążanie za modą, a raczej uzyskanie pewnego autentycznego wglądu, a to wymaga poważnego potraktowania oryginalnych tekstów. Nie twierdzę, że zgadzam się ze wszystkim, co Husserl mówi. Oczywiście, że nie. Jego dzieło jest jednak głębokie i przełomowe, i naprawdę można bardzo wiele zyskać poznając myśl filozofa tej rangi. Jak dla mnie, to wartościowy punkt wyjścia. We wcześniejszej wersji swojej strony internetowej nazwał Pan swą koncepcję – dość śmiało i interesująco – transcendentalnym idealizmem (w wersji neuronalnej). Określenie to nie pojawia się jednak w nowej wersji Pana strony – czy oznacza to, że zmienił Pan zdanie? Nie, nie zmieniłem zdania. Wciąż postrzegam siebie jako transcendentalnego idealistę, mimo że słowa te dla każdego oznaczają co innego. To co ja rozumiem przez transcendentalny idealizm, to założenie, że świat jakim go doświadczamy jest w dużej mierze konstrukcją. Nie jestem bezpośrednim realistą. To kolejna różnica między moim stanowiskiem a tym zajmowanym przez zwolenników zakorzenionych. koncepcji Skłaniają się enaktywistycznych oni ku czy tak bezpośredniemu zwanych realizmowi (jako elementowi ich antyreprezentacjonalizmu). Niektórzy utożsamiają transcendentalny idealizm z bardzo radykalną metafizyką, nie uważam jednak, żeby taki radykalizm był konieczny. Przykład: jeśli potraktujemy poważnie nowożytną fizykę, to świat opisany przez nią jest bardzo odmienny, nawet w swojej najbardziej podstawowej strukturze, od świata takiego, którego doświadczamy jako istniejący. Jaka jest Pańska opinia odnośnie roli filozofii w nauce? Czy zgodziłby się Pan z sugestią, że biorąc pod uwagę obecny stan nauki, filozofia ma nie tylko nie mniej, ale wręcz więcej do zrobienia? Co Pana zdaniem filozofia ma dziś do zaoferowania naukom kognitywnym i jaka miałaby to być filozofia? 204 Emulujący wywiad z Rickiem Grushem Sądzę, że filozofia ma do odegrania wielką rolę. Po pierwsze, świadomy jestem tego, że współcześni filozofowie w wielu kwestiach podporządkowują się naukowcom, ale z własnego doświadczenia wiem też, że naukowcy są dość omylni i nie zawsze stanowią najlepsze źródło rozumienia wyników nawet ich własnej pracy. By podać przykład, mój artykuł w BBS2 sprzed paru lat był komentowany przez naukowców, z których zdecydowana większość popełniała przerażające błędy w rozumowaniu i nie rozumiała związku między tym, co mówiłem a ich własną pracą – byli ogólnie zdezorientowani. Oczywiście nie wszyscy. Chodzi mi o to, że z tego, że ktoś jest naukowcem, nie wynika od razu, że to co mówi (nawet jeśli odnosi się to do jego własnej pracy) jest prawdą, czy że w ogóle ma sens. Pojęciowo klarowne myślenie zawsze będzie odgrywało ważną rolę w każdej dziedzinie, łącznie z pracą empiryczną. W niektórych przypadkach filozofowie mogą przyczynić się do takiej klaryfikacji. Po drugie, naukowcy są często nieświadomi wielu problemów, w których badaniu filozofowie są już dobrze wyćwiczeni. Jeden interesujący przykład: psychologowie i neuronaukowcy nie zadają i na dobrą sprawę nawet nie rozumieją pytania: czym jest umysł? Zadawałem to pytanie wielu naukowcom i wyglądali na zakłopotanych. Jeżeli zadasz biologom pytanie o to, czym jest życie, zrozumieją je doskonale. Nie dadzą ci na nie łatwej odpowiedzi, ponieważ jest to złożone pytanie, które takiej odpowiedzi nie dopuszcza. Chodzi o to, że wiedzą doskonale, o co pytasz. Psychologia natomiast, która patrząc od strony etymologii oznacza badanie umysłu, straciła umysł z pola widzenia. Skoncentrowana jest na badaniu funkcjonowania umysłu, na przykład w procesie widzenia, czy zapamiętywania (przykładowo ile elementów może być przechowywanych w pamięci krótkotrwałej). Z drugiej strony, niewidomi ludzie też mają umysły, a gorsza lub lepsza pamięć krótkotrwała nie decyduje o posiadaniu przez kogoś umysłu. Badania te nie mówią nam zatem niczego o tym, czym 2 Grush, R. 2004. The emulation theory of representation: motor control, imagery, and perception. Behavioral and Brain Sciences 27: 377-442. Emulujący wywiad z Rickiem Grushem 205 umysły są. To jest, jak przypuszczam, pytanie filozoficzne. Z pewnością jest ono pytaniem teoretycznym, znajdującym się na samym teoretycznym krańcu continuum, daleko od krańca empirycznego. Pojawiają się różne interpretacje tego, czym są emulatory amodalne. Raz rozumie się je jako emulatory motoryczne, innym razem natomiast jako typ pojęciowej informacji. Co Pan o tym sądzi? Nie jestem do końca pewien, co powiedzieć o rzeczach będących “pojęciowymi”. Termin ten ma tak odmienne znaczenia dla różnych osób, że cokolwiek bym odpowiedział, zostanę błędnie zrozumiany. Dlatego wolałbym opuścić to pytanie. OK. Chcielibyśmy wiedzieć co czyni emulator amodalnym? Załóżmy dla tego pytania Fodorowskie rozumienie pojęć. Rozumiem, że nazwanie emulatora „motorycznym” jest sprecyzowaniem tego, co emulator ten reprezentuje – reprezentuje jakiś aspekt systemu motorycznego, np. cielesną dynamikę. W mojej teorii jednak to, czy emulator jest modalny, czy amodalny, nie zależy od tego, co reprezentuje. Zależy od tego, czy reprezentuje on docelową dziedzinę, jakakolwiek ona jest, w ramach jakiejś modalności sensorycznych danych wejściowych, czy też nie. Motoryczny emulator jest więc modalny, jeżeli reprezentuje system motoryczny bezpośrednio w ramach kinestetyki i/lub propriocepcji, natomiast jest amodalny, jeżeli reprezentuje go odnosząc się do rozpiętości stawów i napięcia mięśni, czy czegokolwiek innego. W drugim przypadku obrazowanie motoryczne wytwarzane jest przez oddzielny układ, przekładający amodalne reprezentacje na modalne dane wejściowe. W mojej teorii bycie amodalnym nie musi zatem koniecznie oznaczać bycia motorycznym lub pojęciowym. Oznacza konkretnie, że emulator nie reprezentuje w ramach określonej modalności danych wejściowych. 206 Emulujący wywiad z Rickiem Grushem Rozważmy reprezentacje używane przez symulatory lotów w ich oprogramowaniu obliczeniowym. Reprezentacje te nie są modalne i nie jest dla mnie jasne, czy są pojęciowe lub motoryczne. Są to reprezentacje pozycji, czy prędkości wirtualnego samolotu, środowiska, prędkości wiatru, pogody itd. Informacje te są następnie przekładane na różnego rodzaju modalności, tak jak to ma miejsce w przypadku ekranu używanego przez pilota w symulatorze, czy też innych urządzeń. Myślę, że jednym z powodów, dla których moje użycie terminu „modalny” może wprowadzić kogoś w błąd, jest to, że większość ludzi utożsamia „modalne” z „percepcyjnym”. Uważam jednak, że to nieporozumienie. Zgodnie z moim użyciem tych terminów, „modalny” oznacza „związany z daną modalnością sensoryczną”, taką jak wzrok czy słuch. Moim zdaniem jednak, duża część tego, co postrzegamy, nie bierze się bezpośrednio z modalności. Postrzegamy na przykład przyczynowość, a przecież wszystkim, co dostarcza nam wzrok, jest jeden kolorowy kształt dotykający innego kolorowego kształtu. Jak widzicie, jestem kantystą. Co się tyczy Kanta, kategorie nie są modalne, nie są dane doświadczeniu przez zmysły. Są jednak częścią percepcji. Jak to możliwe? Są dostarczone przez umysł. Są percepcyjne w takim sensie, że przynależą do treści naszej percepcji, przestrzeni, czasu i przyczynowości. Nie są jednak modalne (w znaczeniu, w jakim ja używam tego terminu) ponieważ nie są dostarczone przez żadną konkretną modalność zmysłową. Jaka jest Pana zdaniem różnica między informacją amodalną a multimodalną? Mówiąc bardziej ogólnie: czy w ramach koncepcji emulatorów możliwa jest interpretacja wyników badań nad multimodalną percepcją? Oto analogia bazująca na grach wideo: niektóre z tych gier są zaprojektowane w taki sposób, że „ukryte” obliczenia przejawiają się poprzez obiekty, które widzimy. Na przykład Pong albo Pac-Man reprezentują dziedzinę jako dwuwymiarową przestrzeń, która przekłada się bezpośrednio na scenę czy Emulujący wywiad z Rickiem Grushem 207 obraz, który widzi gracz. Zastanówmy się jednak nad współczesnymi grami, takimi jak Halo czy Counter-Strike. W ich przypadku reprezentacje przeliczane przez “silnik” gry dotyczą tego, gdzie w trójwymiarowej przestrzeni znajdują się konkretne przedmioty, włączając w to położenie gracza, stronę, w jaką jest skierowany, to co się dzieje ze wspomnianymi obiektami i tak dalej. Odrębny mechanizm ma za zadanie zajmować się tymi reprezentacjami przez cały czas, decydując, jak te rzeczy mają wyglądać i brzmieć dla gracza. Efekt następnie prezentowany jest na ekranie i przez głośniki. Silnik gry Pong jest modalny w znaczeniu, w jakim ja używam tego wyrażenia. Oblicza i reprezentuje to, co dzieje się w obrębie gry w tych samych, wizualnych kategoriach, tak że gracz prezentowany jest w i poprzez modalność wzrokową. Gra Halo ma za to silnik amodalny. Obliczenia określające to, co dzieje się w domenie gry, nie bazują na wizualnych czy dźwiękowych reprezentacjach sceny. Obliczenia te opierają się na obiektach znajdujących się w określonych lokalizacjach. I robiących coś w tych lokalizacjach. Reprezentacja taka z całą pewnością nie jest modalna. Jest w dużej mierze przestrzenna, rzeczy są przypisane do określonych lokalizacji w trójwymiarowej przestrzeni. Nie jest jednak wizualna ani dźwiękowa. Multi-modalnym systemem nazwalibyśmy taki, w którym nie ma amodalnych reprezentacji, lecz który obsługuje więcej niż jedną modalność, dzięki odwzorowaniu bezpośrednio z jednej do drugiej, a to wszystko bez konstruowania czy użycia czegoś, co nie byłoby w takim czy innym formacie modalnym. Czy uznaje Pan problem (relacji) umysł-ciało za nadal najistotniejsze zagadnienie w dziedzinie badań nad poznaniem? Nie. Myślę, że jest to interesujący problem metafizyczny. Uważam na przykład, że umysł jest abstrakcyjnym bytem, definiowanym pośrednio poprzez uchwycone przezeń treści (myślę, że w tej kwestii jestem w tej samej drużynie co Kant i Dennett, mimo wielu dzielących nas różnic). I tak, moim 208 Emulujący wywiad z Rickiem Grushem zdaniem, błędem jest identyfikowanie umysłu z mózgiem. Nie wpływa to jednak na sposób, w jaki myślę o poznaniu. Tak daleko jak sięga poznanie, można skutecznie zajmować się nim z dala od metafizyki. Uważam, że poznanie jest często poznaniem rozszerzonym, ale to dość oczywiste. Od tysiącleci wiadomo, że problemy są z reguły rozwiązywane przy użyciu zewnętrznych środków pomocniczych i jeśli poznanie sprowadza się do rozwiązywania problemów, to tym samym jest często poznaniem rozszerzonym. Podmiot, jednak, umysł – to co innego. Moje poglądy na ten temat odłóżmy na inny dzień. Jedna z moich doktorantek, Amanda Brovold, pisze obecnie dysertację dotyczącą podmiotowości. To bardzo interesująca praca. Niektórzy badacze (np. Wolpert) łączą badania nad koncepcją roli filtrów é único. Para m ∈ N considere o evento Im ={existe algum sítio de Bm que ∞ pertence ao aglomerado infinito}. Note que Im ⊂ Im+1, logo Im ↑ Im. m=1 Então ∞ lim m→∞ Pp ( Im ) = Pp Im = 1, m=1 pois existindo aglomerado infinito para m suficientemente grande a caixa Bm conterá algum sítio do aglomerado infintio. Seja > 0, tome m suficientemente grande tal que Pp(Im) > 1 − . (2.1) Fixado m, considere n > m e sejam F1, F2, ., F6 as faces de Bn. Se Im ocorre, então algum sítio de Bm está conectado por um caminho ocupado a alguma face Fi de Bn, i = 1, ., 6. Logo, 1 − Pp(Im) ≥ 1 − Pp({Bm ↔ Fi em Bn}) = Pp({Bm ↔ Fi em Bn}c) = Pp({Bm ↔ Fi em Bn, ∀ i}) 6 = Pp {Bm ↔ Fi em Bn} . i=1 23 Como os eventos são decrescentes e equiprováveis, por FKG temos 6 1 − Pp(Im) ≥ ∏ Pp ({Bm ↔ Fi em Bn}) i=1 6 = ∏[1 − Pp ({Bm ↔ Fi em Bn})] i=1 = [1 − Pp ({Bm ↔ F em Bn})]6, (2.2) onde F é uma das faces de Bn. Combinando (2.1) e (2.2), obtemos Pp ({Bm ↔ F em Bn}) > 1− 1 6 . (2.3) Definimos a fronteira de Bn, denotada por ∂Bn, da seguinte maneira: ∂Bn = {v ∈ Bn : ∃ y ∈ Z2 × {0, 1} − Bn e |v − y| = 1}. Sejam FLn = {v ∈ ∂Bn : x1 = −n} e FRn = {v ∈ ∂Bn : x1 = n}, as faces esquerda e direita de Bn, respectivamente. Os eventos {Bm ↔ FLn em Bn} e {Bm ↔ FRn em Bn} são crescentes, por FKG e (2.3) temos Pp ({Bm ↔ FLn em Bn} ∩ {Bm ↔ FRn em Bn}) ≥ Pp({Bm ↔ FLn em Bn})Pp({Bm ↔ FRn em Bn}) ≥ (1 − 1 6 )2 . Considere o evento Am,n={existem dois sítios na ∂Bm que pertencem a caminhos ocupados disjuntos em Bn ambos interceptando ∂Bn }. Observe que Am,n+1 ⊂ Am,n, portanto lim n→∞ Pp ( Am,n ) = Pp ∞ Am,n n=m+1 = 0, pois o aglomerado da origem é único. Caso não fosse zero, teríamos dois aglomerados infinitos quando n → ∞. Ou seja, Pp(Am,n) → Pp(existem dois sítios na ∂Bm que pertencem a aglomerados infinitos disjuntos)= 0, quando n → ∞. Definimos a região Bn \ Bm da seguinte maneira: Bn \ Bm = {v ∈ Z2 × {0, 1} : v ∈ Bn ∩ Bmc }. Sejam {Bm ↔ FLn em Bn}, {Bm ↔ FRn em Bn} eventos disjuntos em Bn e considere o evento EBn\Bm ={existe um caminho ocupado, inteiramente contido na região Bn \ Bm, conectando os dois caminhos anteriores} (ver Figura 2.3). Temos que 24 Figura 2.3: Cruzamento ocupado no sentido esquerda-direita na caixa Bn. Pp(En,n) ≥ Pp {Bm ↔ FLn em Bn} ∩ {Bm ↔ FRn em Bn} ∩ EBn\Bm = Pp ({Bm ↔ FLn em Bn} ∩ {Bm ↔ FRn em Bn}) − Pp {Bm ↔ FLn em Bn} ∩ {Bm ↔ FRn em Bn} ∩ EBc n\Bm = Pp ({Bm ↔ FLn em Bn} ∩ {Bm ↔ FRn em Bn}) − Pp(Am,n) ≥ (1 − 1 6 )2 − Pp ( Am,n ) → (1 − 1 6 )2 , quando n → ∞ → 1, quando → 0. Acabamos de ver que quando há percolação a probabilidade de cruzarmos uma caixa [−n, n] × [−n, n] × {0, 1} suficientemente grande, também é grande. Os dois resultados seguintes nos dizem o quão grande precisa ser a probabilidade de cruzar uma caixa para que tenhamos percolação. Proposição 2.2. Se n e p são tais que Pp ( E2n,n ) ≥ 49 50 , então θ(p) > 0. Prova: Seja n ≥ 1. Observe a Figura 2.4, uma aplicação das propriedades FKG e PF nos fornece que Pp(E4n,n) ≥ [Pp(E2n,n)]3[Pp(En,n)]2. Como {E2n,n} ⊂ {En,n}, temos Pp(E4n,n) ≥ [Pp(E2n,n)]5. 25 Isto implica que Logo, Pp(E4cn,n) ≤ 1 − [Pp(E2n,n)]5. [Pp(E4cn,n)]2 ≤ 1 − [Pp(E2n,n)]5 2 . (2.4) Figura 2.4: Cruzamento ocupado no sentido esquerda-direita no retângulo [−4n, 4n] × [−n, n]. Considere os eventos E4n,n ={existe um cruzamento ocupado no sentido esquerda-direita na caixa [−4n, 4n] × (0, 2n] × {0, 1}} e E4n,n ={existe um cruzamento ocupado no sentido esquerda-direita na caixa [−4n, 4n] × [−2n, 0] × {0, 1}}. Observe que E4n,n e E4n,n são independentes, pois dependem de sítios em regiões disjuntas. Também são simétricos e {E4cn,2n} ⊂ {E4cn,n ∩ E4cn,n}. Logo, Pp(E4cn,2n) ≤ [Pp(E4cn,n)]2. Combinando (2.4) e (2.5) obtemos (2.5) Pp(E4cn,2n) ≤ 1 − [Pp(E2n,n)]5 2 . (2.6) Para prosseguirmos vamos usar a desigualdade de Bernoulli (ver [9]), que nos diz que (1 + y)n ≥ 1 + ny para todo n ∈ N e y ≥ −1. Seja x ∈ [0, 1], tomando y = x − 1 temos que (1 + x − 1)n ≥ 1 + n(x − 1). Logo, xn − 1 ≥ n(x − 1). 26 Portanto, (1 − xn)2 ≤ [n(1 − x)]2. Para todo x ∈ [ 49 50 , 1] temos que 25(1 − x)2 ≤ 1 2 (1 − x). Consequentemente (1 − x5)2 ≤ 1 2 (1 − x). Combinando (2.6) e (2.7), concluímos que (2.7) Pp ( E4c n,2n ) ≤ 1 2 [1 − Pp ( E2n,n )] = 1 2 Pp (E2cn,n ). Por indução vamos mostrar que para m ∈ N, (2.8) Pp ( E2c m+1 n,2m n ) ≤ 1 2m Pp (E2cn,n ). (2.9) Vimos que para m = 1 a desigualdade é verdadeira (veja (2.8)). Suponha verdadeira para m = k, isto é Pp ( E2c k+1 n,2k n ) ≤ 1 2k Pp (E2cn,n ). (2.10) Considere os eventos E ={existe um cruzamento ocupado no sentido esquerda-direita na caixa [−2k+2n, 2k+2n] × (0, 2k+1n] × {0, 1}} e E ={existe um cruzamento ocupado no sentido esquerda-direita na caixa [−2k+2n, 2k+2n] × [−2k+1n, 0] × {0, 1}}. Note que {E2ck+2n,2k+1n} ⊂ {Ec ∩ Ec}, além disso, Ec e Ec são independentes (regiões disjuntas) e simétricos. Logo, Pp(E2ck+2n,2k+1n) ≤ [Pp(Ec)]2 = [Pp(E2ck+2n,2kn)]2. (2.11) Como {E2k+1n,2kn} ⊂ {E2kn,2kn}, temos por FKG e PF que (ver Figura 2.5) Pp(E2k+2n,2kn) ≥ [Pp(E2k+1n,2kn)]3[Pp(E2kn,2kn)]2 ≥ [Pp(E2k+1n,2kn)]5. 27 Figura 2.5: Realização do evento E2k+2n,2kn. Isto implica que Pp(E2ck+2n,2kn) ≤ 1 − [Pp(E2k+1n,2kn)]5 = 1 − [1 − Pp(E2ck+1n,2kn)]5. Logo, [Pp(E2ck+2n,2kn)]2 ≤ {1 − [1 − Pp(E2ck+1n,2kn)]5}2. (2.12) Combinando (2.11) e (2.12), obtemos Pp(E2ck+2n,2k+1n) ≤ {1 − [1 − Pp(E2ck+1n,2kn)]5}2 ≤ {1 − [1 − 1 2k Pp ( E2c n,n )]5 }2 (por (2.10)) ≤ 1 2 {1 − [1 − 1 2k Pp ( E2c n,n )]} (por (2.7)) = 1 2k+1 Pp ( E2c n,n ). Assim provamos a desigualdade (2.9). Para k ∈ N, defina as caixas Bk da seguinte maneira: Bk = [0, 2kn] × [0, 2k+1n] × {0, 1}, se k é ímpar, [0, 2k+1n] × [0, 2kn] × {0, 1}, se k é par. Para k ímpar, considere o evento Ek ={existe um cruzamento ocupado em Bk que conecta os lados [0, 2kn] × {0} × {0, 1} e [0, 2kn] × {2k+1n} × 28 Figura 2.6: Cruzamentos ocupados nas caixas Bks. {0, 1}}. Para k par, considere o evento Ek ={existe um cruzamento ocupado em Bk que conecta os lados {0} × [0, 2kn] × {0, 1} e {2k+1n} × [0, 2kn] × {0, 1}} (ver Figura 2.6). Note que Ek = E2kn,2k−1n, ∀ k ∈ N. Assim, Pp(Ekc) = Pp(E2ckn,2k−1n). Logo, ∑ ∑∞ Pp ( Ekc ) k=1 ≤ ∞ k=1 1 2k Pp ( E2c n,n ) (por (2.9)) ∑= ∞ Pp ( E2c n,n ) k=1 1 2k ≤ 1. Pelo Lema de Borell Cantelli Pp(Ekc infinitas vezes) = 0. Isto é, Pp(ω ∈ Ω : ∃ k0(ω) tal que Ek(ω) ocorre ∀ k ≥ k0(ω)) = 1. Este fato implica que quase certamente existe um caminho ocupado infinito, ou seja, ocorre percolação. Teorema 2.3. Existe > 0 com a seguinte propriedade. Se n e p são tais que Pp(En,n) > 1 − , então θ(p) > 0. Em primeiro momento vamos assumir que o teorema acima seja verdadeiro, na seção seguinte trataremos da sua demonstração. Agora podemos mostrar o principal resultado deste trabalho, isto é, em Z2 × {0, 1} não há percolação na fase crítica. 29 Teorema 2.4. Em Z2 × {0, 1} não há percolação no ponto crítico, ou seja, θ(pc) = 0. Prova: Suponha θ(p) > 0. Pelo Lema 2.1 temos que Pp(En,n) → 1, quando n → ∞. Logo, ∀ > 0, ∃ n0( ) tal que Pp(En,n) > 1 − , ∀ n > n0. Fixe N tal que Pp(EN,N) > 1 − , note que Pp(EN,N) = p|ON|(1 − p)|VN|, onde |ON| e |VN| representam as quantidades de sítios ocupados e vazios em [−N, N] × [−N, N] × {0, 1}, respectivamente. Logo, Pp(EN,N) é uma função contínua em p. Tome p1 < p suficientemente próximo de p. Pela continuidade de Pp(EN,N) temos que Pp1(EN,N) > 1 − . Logo, pelo Teorema 2.3 concluímos que θ(p1) > 0. Por outro lado suponha θ(pc) > 0, logo existe p2 < pc tal que θ(p2) > 0. Absurdo, pois não há percolação em valores p2 < pc. Logo θ(pc) = 0. 2.4 Prova do Teorema 2.3 Nesta seção provaremos o Teorema 2.3, isto é, mostraremos que existe > 0 com a seguinte propriedade. Se n e p são tais que Pp(En,n) > 1 − , então θ(p) > 0. Para isto precisaremos de algumas definições e resultados auxiliares, que serão enunciados a seguir. Definição 2.10. Considere as caixas: S1 = [−3n/2, n/2] × [−n, n] × {0, 1}, S2 = [−n/2, 3n/2] × [−n, n] × {0, 1} e S3 = [−n/2, n/2] × [−n, 0] × {0, 1}. Sejam L1 = {−3n/2} × [−n, n] × {0, 1}, R1 = {n/2} × [−n, n] × {0, 1}, T1 = [−3n/2, n/2] × {n} × {0, 1} e B1 = [−3n/2, n/2] × {−n} × {0, 1} os lados esquerdo, direito, superior e inferior de S1, respectivamente. Defina Li, Ri, Ti e Bi similarmente para Si, i = 2, 3 (ver Figura 2.7). Definição 2.11. Chamamos de cruzamento no sentido superior-inferior na caixa [−n, n] × [−m, m] × {0, 1}, o cruzamento γ = para sn em fun¸ca˜o de n. (c) Qual ´e a retirada mensal m´axima que Paulo pode fazer de modo que o saldo da aplica¸ca˜o nunca se torne negativo? Respostas: (a) sn+1 = 1, 01sn − 1000, com s0 = 500000. (b) sn = 400000 × 1, 01n + 100000. (c) A maior retirada poss´ıvel ´e o rendimento mensal, igual a 0, 01 × 500000 = 5000. 15. (Quest˜ao 09 - N´ıvel 2 - 1ª Fase, OBMEP 2012) Renata montou uma sequˆencia de triaˆngulos com palitos de f´osforo, seguindo o padr˜ao indicado na figura (19). Um desses triˆangulos foi constru´ıdo com 135 palitos de f´osforo. Quantos palitos formam o lado desse triaˆngulo? Figura 19: Triˆangulos com palitos. Resposta: n = 9 palitos. 5 CONCLUSA˜ O 120 Durante a pesquisa da transformada Z como m´etodo de resolu¸ca˜o de equa¸co˜es de diferen¸cas nota-se no referencial teo´rico que a utiliza¸ca˜o de progress˜oes se faz necessa´ria. Sua aplicac¸˜ao em modelos matema´ticos propostos ao ensino ba´sico, como a torre de Hano´i e nu´meros de Fibonacci foi uma motivac¸˜ao para este estudo. As aplica¸co˜es podem envolver diversas ´areas da matema´tica como geometria, probabilidade, matema´tica financeira, entre outros temas que abrangem a matema´tica discreta. Alcan¸ca-se com este trabalho o propo´sito de desenvolver um material em portuguˆes sobre a transformada Z. Leva-se em considerac¸˜ao que as referˆencias em inglˆes encontradas apresentam informa¸co˜es limitadas em exemplos e demonstra¸co˜es. Al´em do objetivo geral, inserc¸˜ao do tema no ensino b´asico, vˆe-se a importaˆncia nas aplica¸co˜es em outras a´reas al´em da matem´atica como engenharia, economia, computa¸ca˜o, tornando a exposi¸c˜ao de propriedades e demonstra¸co˜es da transformada Z essencial para seu aprendizado. Sobretudo, a apresenta¸ca˜o das tabelas de propriedades e pares de transformadas se faz necess´aria para que o m´etodo de resolu¸c˜ao se torne operacionalmente a´gil e eficaz. A compilac¸˜ao de diversos exemplos, a cada passo da constru¸ca˜o da pesquisa, torna-se essencial para a compreensa˜o do tema. Al´em disso, os exerc´ıcios propostos, mediante diversos n´ıveis de complexidade, s˜ao uma das principais ferramentas para a fixa¸ca˜o e aplica¸ca˜o dos conteu´dos estudados. Para o estudo da transformada Z pode-se explorar primeiramente modelos mais simples: a matem´atica financeira e progresso˜es, pois al´em de serem aplica¸co˜es mais vis´ıveis no cotidiano, sa˜o conteu´dos vistos no ensino ba´sico. E, apo´s o estudo das defini¸co˜es e demonstra¸co˜es, explorar aplica¸c˜oes em engenharia, computa¸ca˜o, economia, conforme a a´rea a ser focada. Como expansa˜o do presente estudo, pode-se incluir a defini¸ca˜o da transformada de Laplace, transformada de Fourier, para abranger a rela¸ca˜o alg´ebrica entre essas e a transformada Z. Pode-se tamb´em tratar da transformada Z bilateral, apesar de seme- 121 lhante `a unilateral, tem algumas propriedades e definic¸˜ao diferentes e com isso envolver um maior nu´mero de problemas e exerc´ıcios. Pode-se ampliar este trabalho com a elabora¸ca˜o de um material direcionado `a disciplina de Ca´lculo nas engenharias, onde a transformada Z pode ser apresentada de uma forma mais ampla de modo a abordar as propriedades e demonstra¸co˜es. Finalmente, pode-se citar como dificuldade a assimila¸c˜ao do LaTeX. Esta ´e uma linguagem padra˜o no meio acadˆemico com a finalidade de encorajar os usu´arios a na˜o se preocuparem com a aparˆencia de seus documentos, mas se concentrar em obter o conteu´do certo, facilitando assim a escrita de textos cient´ıficos. Tal objetivo se torna desafiador, tendo em vista que o aprendizado da linguagem ´e um processo lento e gradual. Por contrapartida, tem-se uma ampla literatura na internet em manuais, fo´runs e ajuda sobre o LaTeX. Acredita-se que tais obst´aculos foram superados e que a continuidade do aprendizado em LaTeX ´e de grande valia para o desenvolvimento de outros textos na linguagem proposta. REFEREˆ NCIAS 122 ATTAR, R. A. E. Lectures Notes on Z-Transform. 1. ed. Alexandria: Alexandria University, 2005. (Mathematical Series 1). BA´ SICA, S. de E. Orientac¸o˜es Curriculares para o Ensino M´edio. Bras´ılia: Minist´erio da Educa¸ca˜o, Secretaria de Educa¸ca˜o B´asica, 2006. Dispon´ıvel em: . Acesso em: 01 de outubro de 2015. BRASIL, P.; ABECIP. Caderneta de Poupan¸ca - ´Indice Mensais. Dispon´ıvel em: . Acesso em: 01 de outubro de 2015. BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Complex Variables and Applications. 8. ed. [S.l.]: McGraw-Hill, 2009. ELAYDI, S. An Introduction to Difference Equations. 3. ed. [S.l.]: Springer, 2005. (Undergraduate texts in mathematics). FLEMMING, D. M.; GONCALVES, M. B. C´alculo A: func¸˜oes, limite, deriva¸c˜ao, integrac¸˜ao. 6. ed. Sa˜o Paulo: Pearson, 2007. GROVE, A. C. An Introduction to the Laplace Transform and the Z Transform. [S.l.]: Prentice-Hall, 1991. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de c´alculo 1. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2001. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de c´alculo 4. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2002. HSU, H. P. Theory and Problems of Signals and Systems. Tokio: McGraw-Hill, 1995. (Schaum s Outline Series). JESUS, E. A. de; SILVA, E. F. S. e. Relac¸o˜es de Recorrˆencia. Belo Horizonte: Monografia (Jornadas de Inicia¸ca˜o Cient´ıfica), 2006. Dispon´ıvel em: . Acesso em: 08 de outubro de 2015. JU´ NIOR, R. P. M. V. Recorrˆencias Lineares Aplicadas ao Ensino da Matem´atica na Educa¸c˜ao B´asica. Teresina: Dissertac¸˜ao (Mestrado Profmat), Universidade Federal do Piau´ı, 2013. Dispon´ıvel em: . Acesso em: 12 de setembro de 2015. JURKIEWICZ, S.; LEVENTHAL, G. Oficinas de matem´atica discreta no ensino m´edio. IV Encontro Nacional de Pesquisa em Educac¸˜ao em Ciˆencias, p. 1–3, 2002. Dispon´ıvel em: 123 . Acesso em: 12 de outubro de 2015. KAPLAN, W. Advanced Calculus. 5. ed. Boston, MA: Addison Wesley Higher Mathematics, 2003. 390–392 p. MORGADO, A. C.; CARVALHO, P. C. P. Matem´atica Discreta. 1. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2014. (Colec¸˜ao PROFMAT). OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. Signals ans Systems. [S.l.]: Prentice-Hall, 1997. (Signal processing series). PINHEIRO, T. A.; LAZZARIN, J. R. Recorrˆencia matem´atica na obmep. Revista do Centro de Ciˆencias Naturais e Exatas - UFSM, v. 37, n. Ed. Especial PROFMAT, p. 36–46, 2015. Dispon´ıvel em: . Acesso em: 12 de outubro de 2015. POULARIKAS, A. D. The Transforms and Applications. 2. ed. Boca Raton: CRC Press LLC, 2000. (Electrical Engineering Handbook). ROSEN, K. H. Matem´atica Discreta e Suas Aplica¸co˜es. 6. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2010. SCHEINERMAN, E. R. Matem´atica Discreta: uma introduc¸˜ao. 1. ed. Sa˜o Paulo: Tradu¸c˜ao t´ecnica Alfredo Alves de Farias, Thomson Learning Edic¸˜oes, 2006. SERTO¨ Z, A. S. Lecture Notes on Laplace and Z-transforms. Ankara: [s.n.], 2004. STEWART, J. C´alculo. 7. ed. S˜ao Paulo: Cengage Learning, 2013. THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. C´alculo. 12. ed. Sa˜o Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. VICH, R. Z Transform Theory and Applications. Praga: Springer, 1987. 124 APEˆNDICE A -- PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z Opera¸ca˜o xn, n ≥ 0 Z{xn} = X(z) Linearidade (Adi¸ca˜o) xn + yn X(z) + Y (z) Linearidade (Multiplica¸ca˜o) Diferencia¸ca˜o Similaridade Transla¸ca˜o para Direita Transla¸c˜ao para Esquerda Convoluc¸˜ao axn nxn anxn xn−k xn+k xn ∗ yn aX(z), a ∈ R −z d X(z) dz X z a , a∈R z−kX(z), k ∈ N k−1 zkX(z) − xnzk−n, k ∈ N n=0 X(z)Y (z) Valor Inicial Valor Final x0 nl→im∞ xn zl→im∞ X(z) lim(z − 1)X(z) z→1 125 APEˆNDICE B -- LISTA DE TRANSFORMADAS Z Nu´mero xn, n ≥ 0 X(z) = Z{xn} 11 2 an 3 an−1 4 ean z z−1 z z−a 1 z−a z z − ea 5n z (z − 1)2 6 n2 z(z + 1) (z − 1)3 7 n3 z(z2 + 4z + 1) (z − 1)4 8 nk (−1)k d z dz k z z−1 9 nan az (z − a)2 10 n2an az(z + a) (z − a)3 11 n3an az(z2 + 4az + a2) (z − a)4 12 nk an (−1)k d z dz k z z−a 13 sen nω zsen ω z2 − 2z cos ω + 1 14 cos nω z(z − cos ω) z2 − 2z cos ω + 1 15 senh nω zsenh ω z2 − 2z cosh ω + 1 RDC |z| > 1 |z| > |a| |z| > |a| |z| > |ea| |z| > 1 |z| > 1 |z| > 1 |z| > 1 |z| > |a| |z| > |a| |z| > |a| |z| > |a| |z| > 1 |z| > 1 |z| > max{eω, e−ω} Nu´mero xn, n ≥ 0 X(z) = Z{xn} RDC 16 cosh nω z(z − cosh ω) z2 − 2z cosh ω + 1 |z| > max{eω, e−ω} 17 |a|nsen ωn z|a|sen ω z2 − 2z|a| cos ω + |a|2 |z| > |a| 18 |a|n cos ωn z(z − |a|sen ω) z2 − 2z|a| cos ω + |a|2 |z| > |a| 126
RECENT ACTIVITIES
Autor
123dok avatar

Ingressou : 2016-12-29

Documento similar

Emulujący wywiad… z Rickiem Grushem

Livre

Feedback