SOBRE O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO

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Documento informativo

Sum´ ario

  54A Ficha de Trabalho 52 4 Experiˆ encia did´ atica em sala de aula 3.1 Solu¸c˜oes . 35 1.3 Limite de fun¸c˜oes .

Introdu¸c˜ ao

  Definimos:[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ( o qual chamamos de intervalo fechado)(a, b) = {x ∈ R | a < x < b} (intervalo aberto)[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} (intervalo semi-aberto)(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} (intervalo semi-aberto)Os n´ umeros a e b s˜ao chamados extremos destes intervalos. Por exemplo, neste texto temos interesse em estudar fun¸c˜oes √ xreais de uma vari´avel real, ent˜ao ao escrever a fun¸c˜ao real f (x) = + 1, fica impl´ıcito que o dom´ınio de f ´e dado por {x ∈ R | x + 1 ≥ 0} (que ´e o conjunto dos pontos onde faz+ sentido definir f ) e o contra-dom´ınio ´e R .

Aqui o dom´ınio da fun¸c˜ao + ´e o conjunto R × R = {(x, y) | x ∈ R e y ∈ R}, o qual cont´em R. Analogamente, define-se a fun¸c˜ao multiplica¸c˜ao. O mesmo vale para a adi¸c˜ao

  Fun¸c˜oes polinomiais de grau n s˜ao definidas por f : A ⊂ R → R dada por,2 n f (x) = a + a 1 x + a 2 x x , a n i n Um problema fundamental no estudo de fun¸c˜oes polinomiais ´e o de encontrar as ra´ızes de f . Uma sequˆencia de n´ umeros reais ´e uma fun¸c˜ao x : IN −→ R que a cada n´ umero natural n associa um n´ umero real x(n) = x , chamado o n-´esimo termo da n sequˆencia.1 , x 2 , x 3 , .

Ao estudar sequˆencias, ´e muito importante entender o que acontece com os termos da sequˆencia a medida que n ∈ IN cresce. Ou seja, ´e importante verificar se os valores

  Em outras palavras, a defini¸c˜ao nos diz que a partir de um ´ındice n , os termos da sequˆencia (x ) v˜ao ficando ǫ-pr´oximos de L, qualquer que seja o valor de ǫ > 0 dado.nComo ǫ > 0 ´e arbitrariamente pequeno, isso sugere que os termos de (x n ) est˜ao ficando suficientemente pr´oximos de L, a partir de um certo termo x n . De modo mais formal temos a seguinte defini¸c˜ao: 2 Figura 1.3: Gr´afico de f (x) = x Dizemos que f (x) tende para L ∈ R quando x tende para p, e escreve-se:x→p lim f (x) = Lse, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que |f(x) − L| < ǫ sempre que 0 < |x − p| < δ.

Exemplo 1.3.1 tende a 1 quando x tende a ±∞

  Podemos estudar o limite de f quando x tende a 1:2 2x− x − 1 (2x + 1)(x − 1) x→1 x→1 x→1 lim = lim = lim (2x + 1) = 3.x x − 1 − 1 Neste exemplo, f n˜ao ´e cont´ınua no ponto x = 1, uma vez que 1 n˜ao pertence ao dom´ınio da f (e, por conseguinte, n˜ao podemos calcular f (1)). Dada a sequˆencia de pontos x n x n ∈ A com lim = p, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que 0 < |x − p| < δ n→+∞ Reciprocamente, suponhamos, por absurdo, que lim x = p implica que lim f (x ) = n→+∞ n→+∞ n n f(p), mas que f seja descont´ınua no ponto p.

Cap´ıtulo 2 Teorema do Valor Intermedi´ ario

  Suponhamos f (c 1 1 ) < 0 apresenta racioc´ınio an´alogo) e fa¸camos a 1 = ) ≥ 0 (f(c a 2 e c 1 2= b . Como por hip´otese f ´e cont´ınua, pela Proposi¸c˜ao 1.4.5 segue que f e f n→+∞ n→+∞ lim (a n ) = f (α) lim (b n ) = f (α).

Cap´ıtulo 3 Aplica¸c˜ oes

  Podemos reformular a pergunta da Aplica¸c˜ao 2 da seguinte forma:3 Considerando o intervalo [-2,0] temos que f ´e cont´ınua em [-2,0] e verificamos que f (−2) =−5 < 0 e que f(0) = 1 > 0. Pelo Teorema de Bolzano, temos que existe t ∈ [a, b] tal queQ (t)) = T (γ(t )).) = 0 ⇔ T (γ(t )) − T (γ(t )) = 0 ⇔ T (γ(t Disso conclu´ımos que dado um ponto no globo terrestre, em qualquer trajet´oria γ ligando este ponto ao seu ant´ıpoda, existe pelo menos um ponto da trajet´oria cuja temperaturacoincide com a temperatura em seu ant´ıpoda.

Cap´ıtulo 4 Experiˆ encia did´ atica em sala de aula

  Aplicamos esta ficha para alunos do n´ıvel fundamental - que ainda n˜ao haviam apren- dido o conceito de fun¸c˜ao; para alunos do Ensino M´edio de escolas p´ ublicas e particularese ainda para um grupo de alunos integrantes da Olimp´ıada de Matem´atica de Rio Preto. ´ E claro que tiveramalunos com muita dificuldade de responder as trˆes quest˜oes de modo correto.• Grupo de alunos da Olimp´ıada de Matem´atica de Rio Preto - aplicamos para um grupo seleto de alunos.

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