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SOBRE O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO

Documento informativo

Sobre o Teorema do Valor Intermedi´ario F´abio Maia de Morais Disserta¸c˜ao apresentada como parte dos requisitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matema´tica, junto ao Programa de Po´s-Graduac¸˜ao em Matema´tica em Rede Nacional, do Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual Paulista “Ju´lio de Mesquita Filho”, Campus de Sa˜o Jos´e do Rio Preto. Orientador: Prof. Dr. Joa˜o Carlos Ferreira Costa S˜ao Jos´e do Rio Preto - SP Agosto - 2013 2 Morais, Fabio Maia de. Sobre o teorema do valor intermediário / Fabio Maia de Morais. -- São José do Rio Preto, 2013 51 f. : il. Orientador: João Carlos Ferreira Costa Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas 1. Matemática. 2. Cálculo diferencial. 3. Funções contínuas. 4. Teoria dos conjuntos. 5. Matemática (Ensino médio) – Estudo e ensino. I. Costa, João Carlos Ferreira. II. Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho". Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. Título. CDU – 517.2 Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE UNESP - Campus de São José do Rio Preto 3 A minha amada esposa Luciana Maia, que esteve sempre ao meu lado que ao longo deste trabalho aguardava paciente o passar das horas, que nos consumiam os raros momentos do qual dispu´nhamos. Agradecimentos A` Deus. A todos professores dos quais tive o fortu´nio de partilhar dos ensinamentos e que ao longo de minha vida contribu´ıram com a busca pelo desconhecido, pela dedicac¸˜ao e paciˆencia que sempre me foram dispensados ao longo destes na˜o poucos anos. Em especial ao meu orientador Prof. Dr. Jo˜ao Carlos Ferreira Costa pelo apoio e dedica¸c˜ao em me conduzir a maiores reflexo˜es de forma magistral. A este Instituto que ja´ faz parte da minha vida que sempre me acolheu e em grande parte fez de mim o que sou. Aos inumer´aveis amigos que ofereceram seus saberes e conhecimentos t´ecnicos em especial Joa˜o E. de Brito e Leonardo Tambellini. A` CAPES, pelo apoio financeiro. 4 5 “Na Matema´tica, para saborear com prazer o fruto ´e preciso conhecer bem as suas ra´ızes.” Malba Tahan Resumo 6 Neste trabalho estudamos o Teorema do Valor Intermedia´rio e apresentamos va´rias aplica¸co˜es. Embora seja um teorema visto em cursos universita´rios, o teorema ´e de fa´cil entendimento e pode ser utilizado para resolver alguns problemas vistos no Ensino M´edio como, por exemplo, garantir a existˆencia de solu¸ca˜o para certas equa¸co˜es. Palavras-chave: Teorema do Valor Intermedi´ario, Teorema de Bolzano. Abstract 7 In this work we study the Intermediate Value Theorem and we present some applications. This kind of theorem is typical from Calculus in graduation courses. But it is easy to understand and it can be used to solve problems related to topics from high school, for example, to guarantee the existence of solutions for certain equations. Keywords: Intermediate Value Theorem, Bolzano’s Theorem. Lista de Figuras 1.1 Triˆangulo ABC com catetos iguais a 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Gra´fico de f (x) = 1 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 x 1.3 Gra´fico de f (x) = x2 + 3x − 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4 Gra´fico da defini¸c˜ao 1.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5 Gra´fico da defini¸c˜ao 1.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6 Gra´fico do Exemplo 1.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.7 Gra´fico do Exemplo 1.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.8 Gra´fico do Exemplo 1.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.9 Gra´fico do Exemplo 1.4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1 Aplica¸ca˜o 9 - Trap´ezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Representa¸c˜ao de pontos diametralmente opostos em S . . . . . . . . . . . 50 3.3 Aplica¸ca˜o 9 - Trap´ezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 A.1 Ficha de Trabalho - Frente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 A.2 Ficha de Trabalho - Verso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8 Sum´ario 1 Preliminares 11 1.1 Conjuntos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 O conjunto R ´e completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2 Fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3 Limite de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Fun¸co˜es cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Teorema do Valor Intermedi´ario 42 3 Aplica¸c˜oes 44 3.1 Solu¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 Experiˆencia did´atica em sala de aula 52 4.1 Conclusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A Ficha de Trabalho 55 9 Introdu¸c˜ao O C´alculo Diferencial e seus teoremas. Neste trabalho estudamos de forma detalhada um dos belos teoremas do Ca´lculo: o Teorema do Valor Intermedi´ario. Normalmente, alunos de cursos da a´rea de Exatas sa˜o apresentados a este teorema quando esta˜o cursando a disciplina de Ca´lculo Diferencial e Integral. Por entendermos que o resultado admite uma s´erie de aplicac¸˜oes interessantes resolvemos estud´a-lo de modo a tentar estender suas aplicac¸˜oes para uma linguagem que possa ser entendida - mesmo que de forma mais superficial - por alunos do Ensino M´edio. O Teorema do Valor Intermedia´rio garante que dada uma func¸˜ao cont´ınua definida em um intervalo [a, b] e se d ´e um nu´mero compreendido entre f (a) e f (b), ent˜ao existir´a um elemento c ∈ [a, b] tal que f (c) = d. Em particular, temos o Teorema de Bolzano, que garante que se f (a) e f (b) tˆem sinais contr´arios, enta˜o f tem uma raiz em [a, b]. Nossa proposta ´e detalhar a demonstra¸ca˜o destes teoremas, bem como algumas de suas aplica¸co˜es. Para isso, no Cap´ıtulo 1 ´e feito um estudo acerca dos requisitos necessa´rios para o desenvolvimento dos teoremas. Tais requisitos tratam de nu´meros reais, fun¸co˜es de uma vari´avel real, sequˆencias de nu´meros reais e fun¸co˜es cont´ınuas. No Cap´ıtulo 2 apresentamos as demonstra¸co˜es dos dois teoremas explorados aqui. O Cap´ıtulo 3 ´e dedicado a`s aplicac¸˜oes. Para finalizar, o Cap´ıtulo 4 ´e o relato de nossa experiˆencia dida´tica em sala de aula a respeito do trabalho desenvolvido nos cap´ıtulos anteriores. 10 Cap´ıtulo 1 Preliminares Como o foco de nosso trabalho ´e o Teorema do Valor Intermedia´rio e suas aplica¸co˜es, apresentaremos neste cap´ıtulo todos os requisitos necess´arios para a leitura deste texto. Iniciaremos nosso estudo com uma apresenta¸ca˜o do conjunto dos nu´meros reais, uma vez que o teorema a ser estudado diz respeito a fun¸co˜es cont´ınuas definidas em R e tomando valores em R. A partir da´ı, passaremos ao conceito de fun¸co˜es, seguido do conceito de continuidade. 1.1 Conjuntos Num´ericos Nesta sec¸˜ao faremos uma abordagem sobre a evolu¸ca˜o histo´rica e alg´ebrica dos conjuntos num´ericos para justificar a necessidade de se introduzir o conceito de nu´mero real. Muitas vezes nos livros do Ensino M´edio a passagem de um conjunto num´erico a outro ocorre de forma t˜ao simples que os estudantes n˜ao conseguem perceber diferen¸cas significativas entre tais conjuntos. Elucidaremos este fato durante esta exposic¸˜ao. Ao longo da hist´oria podemos observar o avan¸co dos sistemas num´ericos. Diversos sistemas de nu´meros foram criados em todo o mundo no decorrer dos tempos, sendo os mais antigos origina´rios do Egito, Sum´eria e Babiloˆnia. Podemos ainda citar outros sistemas num´ericos bastante conhecidos como o chinˆes, o romano, o indiano e o ara´bico. Tais sistemas provocaram uma revolu¸ca˜o no m´etodo de contagem da humanidade, associando s´ımbolos (os numerais) a determinadas quantidades (os nu´meros). Ao estudarmos 11 12 os conjuntos num´ericos na˜o estamos pensando somente em seus elementos, mas como esses elementos est˜ao relacionados por uma ou mais opera¸co˜es. Iniciaremos com um dos conceitos matem´aticos mais antigos aceitos pela humanidade, que ´e o dos nu´meros naturais. A evolu¸c˜ao deste conjunto num´erico foi lenta e gradual. Historicamente o surgimento dos nu´meros naturais esta´ relacionado ao problema de contagem. O primeiro estudo esquema´tico dos nu´meros como entidades abstratas ´e, em geral, atribu´ıdo aos fil´osofos gregos Pita´goras e Arquimedes. Mas, ´e apenas nos trabalhos de Euclides, de Alexandria (cerca de 300 a.C.) que temos relatos escritos sobre o que de fato se pensava em Matema´tica naquela ´epoca. Euclides escreveu o livro Os Elementos que ´e uma das obras mais influentes na hist´oria da Matem´atica, servindo como o principal livro para o ensino de Matema´tica desde a data da sua publica¸ca˜o at´e o fim do s´eculo XIX. Alia´s, consta que nos livros VII, VIII e IX dos Os Elementos, Euclides desenvolve a teoria dos nu´meros naturais. Por´em, ´e apenas no final do s´eculo XIX que a no¸c˜ao de nu´mero passou a ser baseada em conceitos da teoria de conjuntos. Uma constru¸ca˜o consistente do conjunto dos nu´meros naturais via teoria dos conjuntos foi desenvolvida pelo matema´tico Giuseppe Peano. Essa constru¸ca˜o, comumente chamada de Axiomas de Peano, ´e uma estrutura simples e elegante, servindo como um bom exemplo de constru¸ca˜o de conjuntos num´ericos [3] [6], [10]. Historicamente parece ficar claro que o zero n˜ao trata-se de um nu´mero natural (no sentido de ser usado para contar). Poder´ıamos dizer que a formula¸ca˜o do conceito do nu´mero zero esta´ intimamente ligada `a necessidade da cria¸c˜ao de nu´meros negativos. Por´em ha´ divergˆencias hist´oricas sobre isso. No entanto, incluir ou na˜o o zero como nu´mero natural hoje ´e uma questa˜o de conveniˆencia. Para fins deste texto, denotaremos o conjunto dos nu´meros naturais por: IN = {1, 2, 3, . . .}. A partir deste ponto, consideraremos bem definidas as opera¸co˜es de adi¸c˜ao e multiplica¸ca˜o em IN , bem como a familiariedade do leitor com as propriedades usuais destas opera¸co˜es como tamb´em os conceitos de nu´meros pares, ´ımpares e primos. No entanto, do ponto de vista alg´ebrico, ao considerar o conjunto dos nu´meros naturais com o zero, isto ´e, IN = {0, 1, 2, 3, . . .}, vemos que a opera¸ca˜o de adi¸ca˜o de nu´meros naturais cumpre duas importantes propriedades: a associatividade entre nu´meros naturais 13 e a existˆencia de elemento neutro da adic¸˜ao (o zero). Em outras palavras, isso quer dizer que o conjunto IN , quando colocamos o zero, munido da opera¸ca˜o adic¸˜ao + satisfaz: i) dados quaisquer a, b, c ∈ IN , temos que a + (b + c) = (a + b) + c (associatividade); ii) dado qualquer a ∈ IN , existe 0 ∈ IN (nu´mero zero) tal que a + 0 = a (existˆencia do elemento neutro da adic¸˜ao). Devido a estas propriedades, ao considerar IN com o zero, dizemos que (IN, +) tem uma estrutura alg´ebrica de mon´oide. Os nu´meros inteiros negativos surgem da ideia de oposi¸ca˜o em rela¸c˜ao ao conjunto dos inteiros positivos (ou naturais) e sa˜o denotados por −1, −2, −3, . . . . Estes nu´meros na˜o foram aceitos da forma natural como sa˜o hoje, ja´ tendo sido chamados de “numeri absurdi” (nu´meros absurdos) e “numeri ficti” (nu´meros fict´ıcios). Apenas no s´eculo XIX tais nu´meros foram agrupados para compor o conjunto dos nu´meros inteiros como conhecemos hoje. Historicamente, podemos interpretar que a necessidade dos nu´meros inteiros negativos deu-se a partir da expans˜ao comercial, no in´ıcio do Renascimento, o que provocou um aumento na circula¸ca˜o de dinheiro. Isso obrigou os comerciantes da ´epoca a expressarem situa¸co˜es envolvendo lucros e preju´ızos. Baseados na ideia de oposi¸c˜ao, temos que −1 ´e oposto (ou sim´etrico) de 1, assim como 1 ´e o oposto (ou sim´etrico) de −1, e esta relac¸˜ao ´e estendida aos demais nu´meros do conjunto. Al´em disso, deste conceito de oposic¸˜ao segue que a adic¸˜ao de dois nu´meros inteiros opostos resulta em zero. Assim, o conjunto constitu´ıdo pelos inteiros positivos, inteiros negativos e o zero ´e chamado de conjunto dos nu´meros inteiros e ´e denotado por Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Em Z tamb´em esta˜o bem definidas as opera¸co˜es de adic¸˜ao e multiplica¸ca˜o, e acreditamos que estas opera¸c˜oes tamb´em s˜ao familiares ao leitor. No entanto, diferente do que ocorria no conjunto dos nu´meros naturais, (Z, +) tem uma estrutura alg´ebrica mais sofisticada, no sentido de que al´em de ser um mon´oide, temos ainda que todo elemento de Z admite um sim´etrico, com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao adi¸ca˜o. Isto ´e, vale que: Dado qualquer a ∈ Z, existe um elemento b ∈ Z (chamado de sim´etrico de a) de forma que a + b = 0. Note que b ´e justamente o inteiro −a. (⋆) Por (Z, +) satisfazer as propriedades i) e ii) de mono´ide e tamb´em a propriedade (⋆) 14 acima, dizemos que (Z, +) tem uma estrutura alg´ebrica de grupo. Tendo como base o conjunto dos nu´meros inteiros, ´e fa´cil de verificar que alguns pro- blemas cotidianos na˜o sa˜o satisfeitos por tais nu´meros. Por exemplo, se queremos dividir uma barra unita´ria ao meio, como dimensionar o comprimento de cada um dos peda¸cos da barra utilizando apenas nu´meros naturais ou inteiros? Imposs´ıvel! Pensando historicamente, podemos citar um problema bem antigo das civiliza¸co˜es que nos d´a ind´ıcios da necessidade dos nu´meros fracion´arios: redimensionar as propriedades de terra `as margens dos rios apo´s inundac¸˜oes. Certamente este problema sugere que, na pr´atica, desde os tempos mais remotos, o problema de dimensionar ou dividir lotes utilizando-se apenas medidas inteiras para os lados ja´ era uma questa˜o discut´ıvel. Tais situac¸˜oes sugerem a necessidade de ampliar o conceito do nu´meros inteiros e indica o aparecimento de medidas fraciona´rias. Assim, a partir dos nu´meros inteiros ´e poss´ıvel obter uma outra categoria de nu´meros, a saber os racionais, definidos da seguinte forma: Q = {a | a, b ∈ Z, b = 0}. b Note que a = c se, e somente se, ad = bc. Al´em disso, vale a rela¸c˜ao IN ⊂ Z ⊂ Q. bd Embora o conjunto Q seja normalmente apresentado no Ensino M´edio apo´s a introdu¸ca˜o do conjunto Z, existem dados hist´oricos de que as frac¸˜oes ja´ eram empregadas pelos babilˆonios e eg´ıpcios antes do surgimento dos nu´meros negativos. Por exemplo, no papiro de Rhind (1700 a.C.) j´a constavam problemas envolvendo frac¸˜oes. De um ponto de vista geom´etrico, podemos relacionar nu´meros racionais com segmentos de reta comensur´aveis, e isto nos sera´ u´til para introduzir o conceito de nu´meros reais. Faremos isso no que segue. Considere uma reta r na qual estamos interessados no problema da medida de segmentos. Definic¸˜ao 1.1.1. Dois segmentos de reta sa˜o ditos comensur´aveis se sa˜o mu´ltiplos de um segmento comum. Caso contr´ario, os segmentos sa˜o ditos incomensur´aveis. Em outras palavras, sejam AB e CD dois segmentos de reta de comprimentos AB e CD, respectivamente. Se existir um segmento EF (de comprimento EF ) e existirem 15 inteiros positivos m e n tais que AB = mEF e CD = nEF , enta˜o AB e CD sa˜o ditos comensura´veis. Disso decorre que AB CD = mEF nEF = m n ∈ Q. Uma pergunta natural que surge ´e a seguinte: Dois segmentos de reta quaisquer s˜ao sempre comensur´aveis? Voltaremos a esta quest˜ao mais adiante. Ja´ vimos uma motiva¸c˜ao hist´orica e uma interpreta¸ca˜o geom´etrica relacionadas aos nu´meros racionais. Vamos agora comentar alguns aspectos da estrutura alg´ebrica de Q. Em Q temos duas opera¸c˜oes bem definidas, dadas por: Adi¸c˜ao - Dados a b , c d ∈ Q, definimos a b + c d := ad + bd bc ; Multiplica¸c˜ao - Dados a , c ∈ Q, definimos a · c := ac . bd b d bd O conjunto Q munido das operac¸˜oes + e · satisfaz as seguintes condic¸˜oes: (A1) Dados a, b, c ∈ Q enta˜o a + (b + c) = (a + b) + c (assossiatividade da adi¸c˜ao). (A2) Existe um nu´mero racional, denotado por 0, tal que para todo a ∈ Q, a + 0 = a (existˆencia do elemento neutro da adi¸c˜ao). (A3) Dado qualquer a ∈ Q, existe seu sim´etrico com rela¸c˜ao `a adi¸ca˜o, isto ´e, existe −a ∈ Q tal que, a + (−a) = 0 (existˆencia do elemento sim´etrico). (A4) Dados a, b ∈ Q enta˜o a + b = b + a (comutatividade da adi¸ca˜o). (M1) Dados a, b, c ∈ Q enta˜o a · (b · c) = (a · b) · c (assossiatividade da multiplicac¸˜ao). (M2) Existe um nu´mero racional, denotado por 1, tal que para todo a ∈ Q, 1 · a = a (existˆencia do elemento neutro da multiplica¸ca˜o). (M3) Dado qualquer a ∈ Q, a = 0, existe seu inverso com relac¸˜ao a` multiplica¸c˜ao, isto ´e, existe 1 ∈ Q tal que, a · 1 = 1 (existˆencia do elemento inverso). aa (M4) Dados a, b ∈ Q enta˜o a · b = b · a (comutatividade da multiplica¸ca˜o). (D1) Dados a, b, c ∈ Q temos a · (b + c) = a · b + a · c (distributividade). Por cumprir todas as 9 condi¸co˜es acima dizemos que (Q, +, ·) tem a estrutura alg´ebrica de corpo. 16 Observac¸o˜es. 1. As condi¸co˜es (A1), (A2) e (A3) significam que (Q, +) ´e um grupo (an´alogo ao que ja´ sab´ıamos que ocorria com (Z, +), por satisfazer as mesmas propriedades). A condi¸ca˜o (A4) de comutatividade diz que o grupo ´e abeliano ou comutativo. 2. Como Q − {0} cumpre as condi¸co˜es de (M1) a (M4), temos tamb´em que (Q − {0}, ·) ´e um grupo abeliano. No entanto, (Z, ·) n˜ao ´e grupo abeliano, visto que os u´nicos nu´meros inteiros que admitem inversos multiplicativos em Z sa˜o apenas o 1 e o -1. Consequentemente, (Z, +, ·) na˜o tem estrutura de corpo. Como (Z, +) tem estrutura de grupo abeliano e al´em disso como, Z − {0} tem estrutura de mon´oide (pois na˜o vale (M3)) e vale a propriedade distributiva Acesso em: 17 jul. 2009) 65 O Marechal Castelo Branco assumiu a Presidência da República em 15.04.1964. 116 A denominação do bairro remete à figura de Francisco dos Santos, o Chico dos Santos, dono de um rancho às margens do rio Machado onde ele administrava um entreposto de mercadorias, uma venda e uma pousada para os viajantes que comercializavam produtos através da estação de Fama (1896) da Estrada de Ferro Muzambinho e do barco que ia de Fama até a Cachoeira (ainda existente no rio Machado e próxima ao bairro). Segundo um de seus descendentes, Sr. João Esmeraldo Reis, nascido em 1932, figura de destaque no bairro, quando da construção de Furnas, a expectativa dos moradores é que a energia elétrica chegasse ao bairro. Até então apenas os moradores mais abastados do bairro eram sócios de uma pequena usina elétrica, inaugurada em 12 de abril de 1951.66 Em seu depoimento à pesquisadora, em estudo prévio sobre a comunidade atendida pela Fundamar, em 1994, Sr. João Esmeraldo relembrou as várias pontes construídas sobre o rio Machado, interligando o bairro do Chico dos Santos ao bairro do Coroado no município vizinho de Alfenas. Antes da construção da primeira ponte a travessia era de barco e para o gado era na água. Segundo o depoente, quando a primeira ponte foi construída, em torno de 1920, só aqueles que contribuíram para a obra tinham livre acesso. Os demais tinham que pagar para atravessar ou se valerem dos préstimos do barqueiro, Chiquinho Cordeiro. Depois que o rio Machado foi represado por Furnas, no bairro Chico dos Santos (1965?) a terceira ponte foi construída pela comunidade com ajuda de ambas prefeituras – Paraguaçu e Alfenas. O Sr. João Esmeraldo 66 O jornal “O Paraguassu”, Paraguaçu (MG), n. 496 de 15 abr. 1951 traz a notícia: “Inauguração da Luz Eletrica no Bairro Chicos dos Santos”. Segundo Sr. João Esmeraldo, eram vinte e dois sócios envolvidos na construção da usina de energia elétrica, captando as águas do ribeirão que deságua no rio Machado, no bairro Chico dos Santos. O responsável pela usina era Geraldo de Abreu, de Alfenas. 117 participou da construção da ponte de madeira amarrada com cipó, a base era de pedra e sua extensão era de 22m. Foi construída entre 25 de julho e 25 de agosto de 1967. Edição de “A Voz da Cidade” de 1º de outubro de 1967 confirma a informação de nosso depoente. Furnas só viria construir a ponte sobre o rio Machado, em substituição à antiga, já interditada, em 1981. O jornal “A Voz da Cidade” de 28 de março de 1981 refere-se a um convênio entre a Prefeitura Municipal de Paraguaçu e Furnas – Centrais Elétricas S/A para construção de obras para evitar o ilhamento de alguns produtores rurais, cujas propriedades localizam-se nas margens do lago de Furnas. Refere-se ainda à construção da nova ponte do rio Machado, de interesse direto dos moradores do Bairro dos Santos (bairro Chico dos Santos, em Paraguaçu) e do Coroado, no município de Alfenas, a ser executada diretamente por Furnas. Raro exemplo de publicação de memórias sobre um bairro rural do município de Paraguaçu, o livro “Memórias do Chico dos Santos”, de autoria de Edson Vianei Alves (1949-2002), sobrinho materno do depoente João Esmeraldo, registra suas lembranças sobre o rio Machado, ao tempo de seu pai, Joaquim Felipe: “No rio Machado, ele [o pai] pescava dourado, curimba, tubarana, piapava, mandi, bagre e lambari.” (ALVES, 2000, p. 34) Sr. José Cavaleiro, mais conhecido por Tonico Cavaleiro (1933), também nascido e ainda morador no bairro Chico dos Santos, lembra-se também das boas pescarias no rio Machado. Mas afirma que o represamento do rio facilitou muito a vida, pela facilidade de captação d‟água para a lavoura, 118 principalmente do alho, principal atividade do bairro na década de 50 a 60.67 Sr. Hélio Meirante, nascido em 1935, também nascido e ainda residente nas mesmas terras que foram de seus pais, às margens do rio Machado, lembra-se que seu pai perdeu três alqueires de terra e foi indenizado pelo valor nominal das mesmas. Seu irmão, Ademir de Souza Meirante, nascido em 1953, calcula em dez alqueires as terras perdidas por seu pai para Furnas. A chegada dos técnicos de Furnas no bairro é rememorada pelos irmãos Meirante: Foi uma coisa. Da moda que a gente nem esperava. Que antes a gente via passar, fazer a marcação, e ficava abismado de ver aquelas condução no meio do pasto. Que era para fazer a marcação, onde a água ia atingir. [.] Eles não explicava nada. Eles entrava [sic] no meio do pasto, com aqueles jipes, com aqueles aparelhos, marcando tudinho. Eles nunca veio [sic] aqui. (Depoimento do Sr. Hélio Meirante, 2009) Foi enchendo e foi acabando tudo. Se não vendesse [para Furnas] já perdia tudo. Lá no retiro, pra baixo do Matão, o rapaz não quis vender a casa, o terreno, de jeito nenhum. Não vendeu. Eu vi a casa, o terreno foi subindo, sumiu tudo. Perdeu tudo. [.] Que nem eles falou [sic]: „aqui tando cheio é nossa, tando seco é seu‟. (Depoimento do Sr. Ademir Meirante, 2009) Sr. Tonico Cavaleiro, quando indagado sobre a reação da população do bairro à chegada de Furnas, disse: “o povo achou bão [sic] e é bão [sic] até hoje”.68 67 O almanaque “O Sul-Mineiro Ilustrado” em reportagem intitulada “O Desenvolvimento de Paraguassú e a Administração Cristiano Otoni do Prado”, datado de 1941, informa sobre a cultura de alho no município, cuja produção “figura em primeiro logar no Brasil”. 68 Os depoimentos desses moradores ribeirinhos foram filmados por um grupo de educadores da Fazenda-Escola Fundamar, em 2009. Fragmentos de seus depoimentos foram incorporados a uma apresentação em PowerPoint integrante do instrumento de capacitação dos educadores, objeto dessa dissertação. 119 6.9. CINQUENTENÁRIO DE FURNAS: DUAS VERSÕES DISTINTAS Em 2000, a denúncia sobre as péssimas condições sanitárias do lago de Furnas era objeto do jornal “A Voz da Cidade”, em 1º de setembro. À época a preocupação era com o baixo nível das águas do lago, que prejudicava o turismo, principal fonte de renda da população lindeira. O jornal faz um paralelo entre os prejuízos daquele momento e aqueles sofridos à época da constituição do lago. E especula sobre as causas do rebaixamento do nível das águas, entre elas, a rivalidade entre o então presidente Fernando Henrique Cardoso e o governador Itamar Franco69, sobre a privatização de Furnas. Segundo essa versão, frente às ameaças do governador contra a privatização, o Presidente teria pedido à direção da empresa para esvaziar o lago. O jornal ainda noticia uma reunião de representantes da Associação dos Municípios do Lago de Furnas (ALAGO) com a diretoria da empresa em 28.11.2000, para encontrar soluções para as agressões ambientais que a represa vinha sofrendo, bem como recuperar o passivo que a empresa tinha com os municípios lindeiros: Diariamente são despejados no local, dejetos sanitários, industriais e agrotóxicos. A falta de infra-estrutura e a de uma política de utilização do Lago vem comprometendo o desenvolvimento da região, que aposta no turismo como uma das ferramentas para reverter a estagnação econômica. (A VOZ DA CIDADE, 12 set. 2000, p. 1) Em 2007, ano do cinqüentenário de Furnas, o jornal Estado de Minas, de Belo Horizonte, trouxe dois artigos sobre o evento, que evidenciam opiniões distintas sobre os impactos gerados pelo empreendimento. 69 O governador Itamar Franco e o Presidente Fernando Henrique Cardoso assumiram seus respectivos cargos em 1999. O Presidente iniciava então seu segundo mandato. 120 Luiz Neves de Souza, mestre em turismo e meio ambiente, em artigo intitulado “Os 50 Anos do Lago de Furnas”, denuncia a ausência de políticas públicas que canalizassem esforços voltados à preservação ambiental e também de projetos consistentes e objetivos para o fomento e desenvolvimento do turismo na região. E reclama: Basta percorrer as 34 cidades do Lago de Furnas e observar, em todas elas, toneladas de rejeitos em esgoto e lixo, além de defensivos agrícolas que são despejados em diversas regiões que se dizem próprias para o turismo e para a prática de esportes náuticos, para não falar da situação caótica da rede viária local. (SOUZA, 2007) O senador Eliseu Resende, no artigo intitulado “A Epopéia de Furnas” em “homenagem evocativa ao cinqüentenário”, imagina que sem a energia elétrica e a Petrobrás, o Brasil estaria hoje nos mesmos níveis de muitos países da África. Durante esse tempo [desde 1957] construímos nossos portos e modernizamos outros; instalamos a indústria química de base; desenvolvemos a produção de veículos e de navios; e entramos, firmes, na aeronáutica. Para tudo isso contribuiu a energia de Furnas e a que ela transporta e distribui, pelo principal sistema de interligação das grandes geradoras nacionais (RESENDE, 2007, p. 9). Ambos pontos de vista refletem faces distintas de um mesmo fato histórico. A percepção do ganho pela geração de energia para o desenvolvimento industrial nacional versus os prejuízos study has some limitations. The study sample consisted of a selected cohort of CML patients, as the enrollment was carried out in a single center. It is part of an observational study that was initially designed to evaluate imatinib-induced cardiotoxicity. Therefore, patients with cardiac disease, who have shown to be at increased risk for drug-induced nephrotoxicity [36], were excluded. The data were collected from the medical records, and the number of measurements differed among patients. Furthermore, only CML patients were enrolled. The effectiveness of imatinib has been demonstrated in several other diseases [3, 38, 39, 40] and it is also important to evaluate nephrotoxicity in these patients, as it is not known whether the propensity to develop imatinibinduced nephrotoxicity is related to the underlying malignancy. conclusions In conclusion, physicians should be aware that imatinib treatment may result in acute kidney injury and that the long- term treatment may cause a significant decrease in the estimated GFR and chronic renal failure. Therefore, it is important to monitor renal function of CML patients under imatinib therapy by measuring the creatinine levels and estimating GFR. Attention must be paid to concomitant administration of other potentially nephrotoxic agents, to avoid additive nephrotoxicity in these patients. acknowledgements We gratefully acknowledge the contributions of our patients, their families, and the hematologists (Cla´udia de Souza, Simone Magalha˜es, and Gustavo Magalha˜es). We also thank Heloisa Vianna for the constructive comments and suggestions, and Ka´tia Lage and Vera Chaves for the expert secretarial assistance. funding Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientı´fico e Tecnolo´ gico (478923/2007-4) to ALR; Fundaxca˜o de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais (PPM 328-08) to ALR; Coordenadoria de Aperfeixcoamento do Ensino Superior, Brazil (BEX 1199-09-9), to MSM. disclosure The authors declare no conflict of interest. references 1. Pappas P, Karavasilis V, Briasoulis E et al. Pharmacokinetics of imatinib mesylate in end stage renal disease. A case study. Cancer Chemother Pharmacol 2005; 56: 358–360. 2. 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