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CÓDIGOS CORRETORES, E EMPACOTAMENTOS DE DISCOS

Documento informativo

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO Departamento de Matemática Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT Códigos Corretores de Erros e Empacotamentos de Discos Darlei dos Santos Miranda Dissertação de Mestrado Recife-PE 13 de agosto de 2013 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO Departamento de Matemática Darlei dos Santos Miranda Códigos Corretores de Erros e Empacotamentos de Discos Trabalho apresentado ao Programa de Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT do Departamento de Matemática da UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Adriano Regis Rodrigues Recife-PE 13 de agosto de 2013 4 MIRANDA, Darlei dos Santos Miranda Códigos corretores de erros e empacotamentos de discos 43 páginas Trabalho de Conclusão(Mestrado Profissional) - Departamento de Matemática da Universidade Federal Rural de Pernambuco. 1. Códigos corretores de erros 2. Código de Hamming 3. Diagrama de Voronoi e empacotamento de discos 4. Densidade de um empacotamento Universidade Federal Rural de Pernambuco. Departamento de Matemática. Comissão Julgadora Prof. Dr. Adriano Regis Rodrigues - DM / UFRPE Presidente (orientador) Prof. Dr. Eudes Naziazeno Galvão - DMAT / UFPE Membro Profa. Dra. Isis Gabriella de Arruda Quinteiro Silva - DM / UFRPE Membro Profa. Dra. Jeane Cecília Bezerra de Melo - DEINFO / UFRPE Membro Apresentação Motivar o estudo da Matemática tem seus desafios. Frequentemente os professores dessa disciplina no ensino básico (Fundamental e Médio) são questionados pelos alunos sobre a utilidade prática de certos conteúdos. Muitas vezes, não basta dizer que a matemática está em tudo, que é o exercício do raciocínio e que a racionalidade nos rodeia. É preciso lançar mão de exemplos “concretos” da matemática no dia-a-dia. Um bom exemplo é mostrado nesse trabalho: a matemática que embasa a transmissão de informações digitais. Mais precisamente, trata-se dos Códigos Corretores de Erros e dos empacotamentos de discos, estudados aqui a partir dos conteúdos curriculares do ensino básico. O objetivo é mostrar, utilizando algo presente e útil no cotidiano, que as contribuições práticas da Matemática normalmente dependem de uma teoria já consolidada e que esta pode, no princípio, ter sido estudada sem que vislumbrassem alguma aplicação. Após a apresentação da teoria dos códigos corretores de erros passamos ao estudo dos empacotamentos de discos, encontrando o empacotamento mais “compacto” possível no plano. Esa parte do trabalho é um exemplo do estudo da Matemática por ela mesma, representando como o senso estético e a curiosidade dos matemáticos impulsionam o avanço do conhecimento e como a presença de padrões indica, muitas vezes, uma teoria matemática. Para tratar dos empacotamentos, foram utilizados conceitos geométricos e algébricos vistos ao longo do ensino básico. Não há um aprofundamento demasiado nos temas tratados, uma vez que esse não é o objetivo do trabalho. Mas a principal pretenção é a de contribuir, devendo o presente estudo ser encarado como incentivador e motivador das atividades em sala de aula. Creio ser interessante para os alunos do Ensino Médio conhecer o assunto aqui abordado, uma vez que eu mesmo tomei contato com ele apenas em estudos paralelos durante a graduação, e isso, na época, me fez pensar “por que não me ensinaram isso antes?”. 5 Dedico este trabalho a todos que gostam de aprender e, principalmente, aos que gostam de ensinar. Agradecimentos A Deus, que se mostra em todas as coisas. À familia, aos amigos, chefes, alunos e professores por ensinamentos edificantes nas mais variadas situações da caminhada. Ao orietandor, Prof. Dr. Adriano Regis Rodrigues, pela condução, compreensão e apoio. À Prof. Dra. Simone Moraes, da UFV, pela dedicação e profissionalismo durante os estudos de iniciação científica durante a graduação. Aos professores e coordenadores do PROFMAT, pela atenção dispensada à turma durante todo o curso. Aos colegas de ProfMat e, particularmente, aos amigos Pedro Júnior e José Ribamar, companheiros de estudo e de trabalho nessa jornada. 9 Estudar para aprender. Aprender para trabalhar. Trabalhar para servir sempre mais. — EMMANUEL Resumo Códigos corretores de erros estão presentes nas transmissões de informações digitais, desde a leitura de dados em um CD até a transmissão de imagens por satélites. Baseiam-se fortemente na álgebra e são excelente exemplo da aplicação da Matemática. Objetivam assegurar a integridade dos dados nas transmissões digitais e consistem, basicamente, numa forma organizada de acrescentar redundâncias em uma informação a ser transmitida, de modo a permitir, na recepção, detectar e corrigir erros. O acréscimo se dá com base em produto de matrizes e resolução de sistemas lineares, bem como a detecção e decodificação. Um exemplo é o código de Hamming binário Ham3. Códigos binários geram empacotamentos de esferas, que, no plano, chamam-se empacotamentos de discos (distribuição de círculos disjuntos no plano). Um empacotamento pode ser em reticulado (estrutura de pontos no plano que pode ser gerada por um triângulo) ou não. A densidade do empacotamento refere-se à área relativa que os discos ocupam em certa região. A maior densidade possível no plano é obtida no empacotamento cujos discos estão centrados num reticulado gerado por um triângulo equilátero. Palavras-chave: códigos corretores de erros, código de Hamming, empacotamento de discos, voronoi, densidade, otimização. 13 Abstract Error correcting codes are present in the transmission of digital information, from reading data on a CD to image transmission via satellites. Are based heavily on algebra and are excellent example of the application of mathematics. Aim to ensure data integrity in digital broadcasts and consist basically in an organized way to add redundancy on information to be transmitted, to allow, at the reception, detect and correct errors. The addition is done with the product of matrices and solving linear systems, as well as the detection and decoding. An example is the binary Hamming code Ham3. Binary codes generate sphere packings, which, in the plane, are called circle packings distribution of disjoint circles in the plane. A circle packing can be on a lattice structure that can be generated by a triangle, or not. The packing density refers to the relative area of the disks occupy a certain area. The highest possible density in the plane is obtained in the hexagonal packing in which the circles are centered in a lattice generated by an equilateral triangle. Keywords: error correcting codes, Hamming code, sphere packing, Voronoi, density, optimization. 15 Sumário 1 Conceitos e Fundamentações 1.1 Transmissão de informações digitais 1.1.1 Códigos corretores de erros 1.1.2 Sistema de numeração binário e conjunto Z2 1.1.3 Bits e bytes 1.1.4 Princípio de funcionamento dos discos ópticos 1.1.5 Código de Hamming binário de redundância 3 - Ham3 1.2 Geometria euclidiana 1.2.1 Diagrama de Voronoi 1.2.2 Códigos e empacotamentos de discos 1.2.3 Densidade máxima para um empacotamento de discos 2 Sequência Didática 2.1 Considerações iniciais 2.2 Aplicando a Sequência 2.2.1 Aulas 1 e 2 - Transmissão de informações digitais 2.2.2 Aulas 3 e 4 - Código binário Ham3 2.2.3 Aulas 5 e 6 - Empacotamentos de discos 3 Conclusão 3 4 6 9 10 11 12 17 17 20 24 33 34 36 36 38 39 41 17 Lista de Figuras 1.1 Sistema de comunicação digital 1.2 Código perfeito 1-corretor de erro 1.3 Sistema binário 1.4 Funcionamento dos CD’s e DVD’s 1.5 Codificação 1.6 Matriz geradora 1.7 Decodificação 1.8 Diagrama de Voronoi e antenas de transmissão 1.9 Diagrama de Voronoi - passo 1 1.10 Diagrama de Voronoi - passo 2 1.11 Diagrama de Voronoi - passo 3 1.12 Diagrama de Voronoi - exemplos 1.13 Empacotamentos de discos 1.14 Empacotamento em reticulado gerado por um triângulo 1.15 Densidade - definição 1 1.16 Densidade máxima no espaço 1.17 Reticulado e código binário 1.18 Empacotamento hexagonal 1.19 Célula de Voronoi e a densidade 1.20 Interseção entre um empacotamento e um triângulo 1.21 Densidade - definição 2 1.22 Triângulo máximo em um empacotamento ótimo 1.23 Densidade máxima no plano 1.24 Limitante para a densidade 1.25 Empacotamento ótimo na natureza 4 7 10 11 13 14 15 17 17 18 19 19 20 20 21 22 22 23 23 24 24 25 27 27 31 19 Introdução 1 2 INTRODUÇÃO Quando o professor de matemática mostra aplicações da sua disciplina ela se torna mais interessante e, em consequência, os alunos aprendem mais (vide [1]). O objetivo deste trabalho é apresentar uma sequência didática abordando uma dessas aplicações: a matemática envolvida na transmissão de informações digitais. Veremos conceitos básicos sobre códigos corretores de erros e empacotamentos de discos, o que inclui o sistema binário de numeração, as matrizes, os sistemas lineares, e a geometria plana. A sequência didática aqui proposta destina-se a alunos que estejam cursando, no mínimo, o segundo ano do ensino médio, uma vez que já terão visto o conteúdo de matrizes e sistemas lineares. Mas a parte de empacotamento de discos pode ser aplicada aos alunos do nono ano em diante por demandar basicamente conceitos de geometria plana. O capítulo 1 traz os fundamentos teóricos necessários ao professor que aplicará a sequência. Na primeira parte apresentamos as estapas da codificação para transmissão de informações, mostrando o papel dos códigos corretores de erros nesse processo. Vemos então, como são gravados os dados digitais (bits) nos discos ópticos, a utilidade do sistema binário, e, finalmente, o código binário Ham3. Na segunda parte, tratamos da geometria relacionada aos códigos corretores de erros, exemplificando como um código binário dá origem a um estrutura chamada reticulado. Mostra-se a obtenção de um reticulado a partir de um triângulo e é apresentado o diagrama de Voronoi, com as etapas de sua contrução. Em seguida, são definidos os empacotamentos de discos e passa-se a analisar a sua densidade. A densidade, então, é definida de forma adequada para que se possa dar uma prova sobre qual seria o empacotamento ótimo no plano. No capítulo 2, é apresentada uma proposta de roteiro para ministrar os conteúdos abordados no capítulo 1, contendo indicações metodológicas ao professor e atividades para os alunos. Finalmente, no capítulo 3 é feita a conclusão e a indicação de trabalhos futuros. CAPÍTULO 1 Conceitos e Fundamentações Este capítulo contém o estudo direcionado de parte da matemática utilizada nas comunicações digitais. Nele são abordados os códigos corretores de erros e, particularmente, o código de Hammig binário Ham3, bem como o diagrama de Voronoi e os empacotamentos de discos, proporcionando ao professor as ferramentas necessárias para compreender o assunto e repassá-lo aos seus alunos. 3 4 CAPÍTULO 1 CONCEITOS E FUNDAMENTAÇÕES 1.1 Transmissão de informações digitais As comunicações digitais têm na Matemática as bases de funcionamento. Veremos como esta ciência se aplica na solução de um dos problemas mais básicos quando se trata de telecomunicações e teoria da informação: o da integridade dos dados na transmissão informações digitais. Para começarmos, observe o esquema básico de um sistema de comunicação digital, na figura a seguir. Figura 1.1 Sistema de comunicação digital Na transmissão digital de informações pode se dizer que é normal a ocorrência de erros, devido a fatores como interferências eletromagnéticas, envelhecimento de componentes, curtocircuito etc. Esses erros acabam afetando as mensagens fazendo com que, por exemplo, um “0” seja enviado e, na transmissão, acabe transformado em “1”, chegando ao receptor uma informação diferente da que foi enviada. Para contornar esse problema são utilizados códigos corretores de erros. Para entender o que são esses códigos, façamos a analogia com um código muito conhecido: o nosso idioma (baseado em [3], p. 4). Usamos um alfabeto de 23 letras e as palavras são sequências de letras. Observe que nem toda sequência é palavra da língua portuguesa. Suponha que recebemos uma mensagem com a palavra TRABZLHO. Imediatamente percebemos que ocorreu um erro, pois esta não é uma palavra da língua. Mas descobrimos a palavra correta ao verificar que a palavra “mais próxima” de nossa língua é TRABALHO. 1.1 TRANSMISSÃO DE INFORMAÇÕES DIGITAIS 5 Por outro lado, se recebermos a palavra HACA, percebemos que há erro(s) mas a correção segura é impossível pois há muitas palavras da língua igualmente “próximas” daquela como, por exemplo, FACA, VACA, JACA etc. Agora, se a mensagem que chega é HACA LEITEIRA, o acréscimo de informação “ LEITEIRA” nos permite corrigir o erro: VACA LEITEIRA. Essa analogia nos possibilita adentrar em alguns conceitos da teoria da codificação e correção de erros. 6 CAPÍTULO 1 CONCEITOS E FUNDAMENTAÇÕES 1.1.1 Códigos corretores de erros Um código corretor de erros consiste em um modo organizado de acrescentar algum dado adicional (redundância) a cada informação que se queira transmitir ou armazenar, de modo a permitir, ao recuperar a informação, detectar e corrigir erros. O matemático norte-americano Richard Hamming foi pioneiro neste campo em 1940 e inventou o primeiro código de correção de erros, em 1950: o código de Hamming Ham3 (ver [4]). Definição 1.1 (Código binário). Um código binário C de comprimento k é um subconjunto de k-uplas em que as coordenadas são apenas “0’s” e “1’s”. Definição 1.2 (Palavra-código). Uma palavra-código é um elemento de um código C. Vamos a um exemplo para melhor entendimento. Suponha que enviaremos via rádio as mensagens SIM e NÃO. Podemos codificar essas mensagens (código da fonte) da seguinte forma: SIM → 1 NÃO → 0 Na transmissão desses sinais podem ocorrer interferências de tal modo que o “0”, por exemplo, pode ser recebido como “1”, ou seja, seria recebida a mensagem SIM ao invés da mensagem NÃO. Para evitar isso, vamos acrescentar redundâncias a fim de detectar e corrigir possíveis erros, o que pode ser feito da seguinte forma (código do canal): 0 → 000 1 → 111 Daí, temos as seguintes informações: Código da fonte: {0, 1}; Código de canal: {000, 111} e Palavras-código que podem ser recebidas: {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}. Agora, imagine que foi transmitida a mensagem 111 (SIM) e ocorreu um erro, sendo recebida a palavra 101. A pergunta principal é: Como detectar e corrigir o erro? Definição 1.3 (Distância de Hamming). A distância de Hamming entre duas palavras-código é a quantidade de posições, nessas palavras, em que o dígito de uma é diferente do da outra. Exemplo: comparando “111” e “100”, vemos que há dígitos diferentes em duas posições (a segunda e a terceira) e, assim, a distância de Hamming entre essas palavras-código é dH(111, 100) = 2. 1.1 TRANSMISSÃO DE INFORMAÇÕES DIGITAIS 7 Distribuindo os comandos recebíveis “em torno” das palavras do código de canal (ver figura 1.2), temos então dois “discos”, cada um centralizado numa palavra do código, em que cada disco é formado pelas palavras que diferem em apenas um dígito do “centro”. Podemos, então, falar em “discos de raio 1 (um)”, considerando a distância de Hamming, e visualizar que o código que definimos é perfeito para se corrigir até 1(um) erro: Figura 1.2 Código perfeito 1-corretor de erro Respondendo agora à primeira parte da pergunta anterior, temos então a detecção do erro, que ocorre quando comparamos a palavra 101 com as palavras do código e vemos que esta não lhe pertence. Na próxima etapa, que é a correção do erro propriamente dita, vemos que a palavra do código mais “próxima” a 101 é a palavra 111, sendo esta precisamente a palavra transmitida. Observações sobre o canal Como exemplos de canais de comunicação (fig. 1.1) temos a transmissão via rádio-frequência, a digitação de uma mensagem eletrônica, a leitura via laser de um CD, a leitura de dados em discos rígidos e memórias eletrônicas etc. Conhecido previamente o canal, sabe-se estatisticamente a quantidade de erros que podem ocorrer na transmissão e, assim, utiliza-se um código com capacidade de correção adequada. O código “SIM/NÃO”, por exemplo, é sempre capaz de corrigir 1 (um) erro, o que representa 1/3 (um terço) dos dígitos de cada mensagem transmitida. Isso quer dizer que para um canal cuja probabilidade de ocorrência de erros seja, por exemplo, de 20 por cento, esse código 8 CAPÍTULO 1 CONCEITOS E FUNDAMENTAÇÕES é adequado, mas para um canal com 60 por cento de probabilidade de erros esse código não serve. Aliás, nesse último caso temos uma probabilidade de ocorrência de erros nada razoável - 60 por cento - estando o problema com o canal de transmissão e não com o código. Principal problema da teoria de códigos O exemplo anterior nos mostra o que ocorre em todos os códigos corretores de erros: a capacidade de correção está ligada ao quão distantes as palavras-código estão umas das outras. Na codificação, o objetivo é a construção de códigos que possuam muitas palavras, permitindo transmitir muitas informações, e que aquelas sejam distantes umas das outras, para que o código tenha boa capacidade de correção. Mas essas características são conflitantes entre si, uma vez que, fixado o comprimento do código, quanto mais distantes umas das outras as palavras estão, menor é o número de palavras do código. A obtenção de códigos eficientes, no sentido da melhor relação entre comprimento, número de palavras e capacidade de correção (distância entre as palavras) é o principal problema da teoria de códigos (adaptação de [3], p. 13). 1.1 TRANSMISSÃO DE INFORMAÇÕES DIGITAIS 9 1.1.2 Sistema de numeração binário e conjunto Z2 O sistema binário ou de base 2 é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades são representadas utilizando apenas dois símbolos, quais sejam, os algarismos “0” e “1”. A conversão para a notação Acesso em: 17 jul. 2009) 65 O Marechal Castelo Branco assumiu a Presidência da República em 15.04.1964. 116 A denominação do bairro remete à figura de Francisco dos Santos, o Chico dos Santos, dono de um rancho às margens do rio Machado onde ele administrava um entreposto de mercadorias, uma venda e uma pousada para os viajantes que comercializavam produtos através da estação de Fama (1896) da Estrada de Ferro Muzambinho e do barco que ia de Fama até a Cachoeira (ainda existente no rio Machado e próxima ao bairro). Segundo um de seus descendentes, Sr. João Esmeraldo Reis, nascido em 1932, figura de destaque no bairro, quando da construção de Furnas, a expectativa dos moradores é que a energia elétrica chegasse ao bairro. Até então apenas os moradores mais abastados do bairro eram sócios de uma pequena usina elétrica, inaugurada em 12 de abril de 1951.66 Em seu depoimento à pesquisadora, em estudo prévio sobre a comunidade atendida pela Fundamar, em 1994, Sr. João Esmeraldo relembrou as várias pontes construídas sobre o rio Machado, interligando o bairro do Chico dos Santos ao bairro do Coroado no município vizinho de Alfenas. Antes da construção da primeira ponte a travessia era de barco e para o gado era na água. Segundo o depoente, quando a primeira ponte foi construída, em torno de 1920, só aqueles que contribuíram para a obra tinham livre acesso. Os demais tinham que pagar para atravessar ou se valerem dos préstimos do barqueiro, Chiquinho Cordeiro. Depois que o rio Machado foi represado por Furnas, no bairro Chico dos Santos (1965?) a terceira ponte foi construída pela comunidade com ajuda de ambas prefeituras – Paraguaçu e Alfenas. O Sr. João Esmeraldo 66 O jornal “O Paraguassu”, Paraguaçu (MG), n. 496 de 15 abr. 1951 traz a notícia: “Inauguração da Luz Eletrica no Bairro Chicos dos Santos”. Segundo Sr. João Esmeraldo, eram vinte e dois sócios envolvidos na construção da usina de energia elétrica, captando as águas do ribeirão que deságua no rio Machado, no bairro Chico dos Santos. O responsável pela usina era Geraldo de Abreu, de Alfenas. 117 participou da construção da ponte de madeira amarrada com cipó, a base era de pedra e sua extensão era de 22m. Foi construída entre 25 de julho e 25 de agosto de 1967. Edição de “A Voz da Cidade” de 1º de outubro de 1967 confirma a informação de nosso depoente. Furnas só viria construir a ponte sobre o rio Machado, em substituição à antiga, já interditada, em 1981. O jornal “A Voz da Cidade” de 28 de março de 1981 refere-se a um convênio entre a Prefeitura Municipal de Paraguaçu e Furnas – Centrais Elétricas S/A para construção de obras para evitar o ilhamento de alguns produtores rurais, cujas propriedades localizam-se nas margens do lago de Furnas. Refere-se ainda à construção da nova ponte do rio Machado, de interesse direto dos moradores do Bairro dos Santos (bairro Chico dos Santos, em Paraguaçu) e do Coroado, no município de Alfenas, a ser executada diretamente por Furnas. Raro exemplo de publicação de memórias sobre um bairro rural do município de Paraguaçu, o livro “Memórias do Chico dos Santos”, de autoria de Edson Vianei Alves (1949-2002), sobrinho materno do depoente João Esmeraldo, registra suas lembranças sobre o rio Machado, ao tempo de seu pai, Joaquim Felipe: “No rio Machado, ele [o pai] pescava dourado, curimba, tubarana, piapava, mandi, bagre e lambari.” (ALVES, 2000, p. 34) Sr. José Cavaleiro, mais conhecido por Tonico Cavaleiro (1933), também nascido e ainda morador no bairro Chico dos Santos, lembra-se também das boas pescarias no rio Machado. Mas afirma que o represamento do rio facilitou muito a vida, pela facilidade de captação d‟água para a lavoura, 118 principalmente do alho, principal atividade do bairro na década de 50 a 60.67 Sr. Hélio Meirante, nascido em 1935, também nascido e ainda residente nas mesmas terras que foram de seus pais, às margens do rio Machado, lembra-se que seu pai perdeu três alqueires de terra e foi indenizado pelo valor nominal das mesmas. Seu irmão, Ademir de Souza Meirante, nascido em 1953, calcula em dez alqueires as terras perdidas por seu pai para Furnas. A chegada dos técnicos de Furnas no bairro é rememorada pelos irmãos Meirante: Foi uma coisa. Da moda que a gente nem esperava. Que antes a gente via passar, fazer a marcação, e ficava abismado de ver aquelas condução no meio do pasto. Que era para fazer a marcação, onde a água ia atingir. [.] Eles não explicava nada. Eles entrava [sic] no meio do pasto, com aqueles jipes, com aqueles aparelhos, marcando tudinho. Eles nunca veio [sic] aqui. (Depoimento do Sr. Hélio Meirante, 2009) Foi enchendo e foi acabando tudo. Se não vendesse [para Furnas] já perdia tudo. Lá no retiro, pra baixo do Matão, o rapaz não quis vender a casa, o terreno, de jeito nenhum. Não vendeu. Eu vi a casa, o terreno foi subindo, sumiu tudo. Perdeu tudo. [.] Que nem eles falou [sic]: „aqui tando cheio é nossa, tando seco é seu‟. (Depoimento do Sr. Ademir Meirante, 2009) Sr. Tonico Cavaleiro, quando indagado sobre a reação da população do bairro à chegada de Furnas, disse: “o povo achou bão [sic] e é bão [sic] até hoje”.68 67 O almanaque “O Sul-Mineiro Ilustrado” em reportagem intitulada “O Desenvolvimento de Paraguassú e a Administração Cristiano Otoni do Prado”, datado de 1941, informa sobre a cultura de alho no município, cuja produção “figura em primeiro logar no Brasil”. 68 Os depoimentos desses moradores ribeirinhos foram filmados por um grupo de educadores da Fazenda-Escola Fundamar, em 2009. Fragmentos de seus depoimentos foram incorporados a uma apresentação em PowerPoint integrante do instrumento de capacitação dos educadores, objeto dessa dissertação. 119 6.9. CINQUENTENÁRIO DE FURNAS: DUAS VERSÕES DISTINTAS Em 2000, a denúncia sobre as péssimas condições sanitárias do lago de Furnas era objeto do jornal “A Voz da Cidade”, em 1º de setembro. À época a preocupação era com o baixo nível das águas do lago, que prejudicava o turismo, principal fonte de renda da população lindeira. O jornal faz um paralelo entre os prejuízos daquele momento e aqueles sofridos à época da constituição do lago. E especula sobre as causas do rebaixamento do nível das águas, entre elas, a rivalidade entre o então presidente Fernando Henrique Cardoso e o governador Itamar Franco69, sobre a privatização de Furnas. Segundo essa versão, frente às ameaças do governador contra a privatização, o Presidente teria pedido à direção da empresa para esvaziar o lago. O jornal ainda noticia uma reunião de representantes da Associação dos Municípios do Lago de Furnas (ALAGO) com a diretoria da empresa em 28.11.2000, para encontrar soluções para as agressões ambientais que a represa vinha sofrendo, bem como recuperar o passivo que a empresa tinha com os municípios lindeiros: Diariamente são despejados no local, dejetos sanitários, industriais e agrotóxicos. A falta de infra-estrutura e a de uma política de utilização do Lago vem comprometendo o desenvolvimento da região, que aposta no turismo como uma das ferramentas para reverter a estagnação econômica. (A VOZ DA CIDADE, 12 set. 2000, p. 1) Em 2007, ano do cinqüentenário de Furnas, o jornal Estado de Minas, de Belo Horizonte, trouxe dois artigos sobre o evento, que evidenciam opiniões distintas sobre os impactos gerados pelo empreendimento. 69 O governador Itamar Franco e o Presidente Fernando Henrique Cardoso assumiram seus respectivos cargos em 1999. O Presidente iniciava então seu segundo mandato. 120 Luiz Neves de Souza, mestre em turismo e meio ambiente, em artigo intitulado “Os 50 Anos do Lago de Furnas”, denuncia a ausência de políticas públicas que canalizassem esforços voltados à preservação ambiental e também de projetos consistentes e objetivos para o fomento e desenvolvimento do turismo na região. E reclama: Basta percorrer as 34 cidades do Lago de Furnas e observar, em todas elas, toneladas de rejeitos em esgoto e lixo, além de defensivos agrícolas que são despejados em diversas regiões que se dizem próprias para o turismo e para a prática de esportes náuticos, para não falar da situação caótica da rede viária local. (SOUZA, 2007) O senador Eliseu Resende, no artigo intitulado “A Epopéia de Furnas” em “homenagem evocativa ao cinqüentenário”, imagina que sem a energia elétrica e a Petrobrás, o Brasil estaria hoje nos mesmos níveis de muitos países da África. Durante esse tempo [desde 1957] construímos nossos portos e modernizamos outros; instalamos a indústria química de base; desenvolvemos a produção de veículos e de navios; e entramos, firmes, na aeronáutica. Para tudo isso contribuiu a energia de Furnas e a que ela transporta e distribui, pelo principal sistema de interligação das grandes geradoras nacionais (RESENDE, 2007, p. 9). Ambos pontos de vista refletem faces distintas de um mesmo fato histórico. A percepção do ganho pela geração de energia para o desenvolvimento industrial nacional versus os prejuízos study has some limitations. The study sample consisted of a selected cohort of CML patients, as the enrollment was carried out in a single center. It is part of an observational study that was initially designed to evaluate imatinib-induced cardiotoxicity. Therefore, patients with cardiac disease, who have shown to be at increased risk for drug-induced nephrotoxicity [36], were excluded. The data were collected from the medical records, and the number of measurements differed among patients. Furthermore, only CML patients were enrolled. The effectiveness of imatinib has been demonstrated in several other diseases [3, 38, 39, 40] and it is also important to evaluate nephrotoxicity in these patients, as it is not known whether the propensity to develop imatinibinduced nephrotoxicity is related to the underlying malignancy. conclusions In conclusion, physicians should be aware that imatinib treatment may result in acute kidney injury and that the long- term treatment may cause a significant decrease in the estimated GFR and chronic renal failure. Therefore, it is important to monitor renal function of CML patients under imatinib therapy by measuring the creatinine levels and estimating GFR. Attention must be paid to concomitant administration of other potentially nephrotoxic agents, to avoid additive nephrotoxicity in these patients. acknowledgements We gratefully acknowledge the contributions of our patients, their families, and the hematologists (Cla´udia de Souza, Simone Magalha˜es, and Gustavo Magalha˜es). We also thank Heloisa Vianna for the constructive comments and suggestions, and Ka´tia Lage and Vera Chaves for the expert secretarial assistance. funding Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientı´fico e Tecnolo´ gico (478923/2007-4) to ALR; Fundaxca˜o de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais (PPM 328-08) to ALR; Coordenadoria de Aperfeixcoamento do Ensino Superior, Brazil (BEX 1199-09-9), to MSM. disclosure The authors declare no conflict of interest. references 1. Pappas P, Karavasilis V, Briasoulis E et al. Pharmacokinetics of imatinib mesylate in end stage renal disease. A case study. Cancer Chemother Pharmacol 2005; 56: 358–360. 2. 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