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The Linear 4-arboricity of Balanced Complete Bipartite Graphs

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___________I_A_E_N__G__I_n_te_r_n_a_t_i_o_n_a_l _J_o_u_r_n_a_l_o_f_A_p__p_li_e_d_M__a_t_h_e_m__a_ti_c_s,_4_5_:_1_,_I_J_A_M____4_5___1___0_3___________ The Linear 4-arboricity of Balanced Complete Bipartite Graphs ∗ Liancui Zuo,† Shengjie He, and Ranqun Wang Abstract A linear k-forest is a graph whose components are paths of length at most k. The linear k-arboricity of a graph G, denoted by lak(G), is the least number of linear k-forests needed to decompose G. In this paper, it is obtained that la4(Kn,n) = ⌈5n/8⌉ for n ≡ 0( mod 5). Keywords: Linear k-forest; linear k-arboricity; complete bipartite graph; perfect matching; bipartite difference a matching, and la1(G) is the edge chromatic number, or chromatic index, χ′(G) of a graph G. Moreover, the linear k−arboricity lak(G) is also a refinement of the ordinary linear arboricity la(G)(or la∞(G)) [14] of a graph G, which is the case when every component of each forest is a path with no length constraint. In 1982, Habib and Peroche [12] proposed the following conjecture for an upper bound on lak(G). Conjecture 1.1. If G is a graph with maximum degree ∆(G) and k ≥ 2, then 1 Introduction In this paper, all graphs considered are finite, undirected, and simple (i. e., loopless and without multiple edges). We refer to [20] for terminology in graph theory. In recent years, many parameters and classes of graphs were studied. For example, in [11], different properties of the intrinsic order graph were obtained, namely those dealing with its edges, chains, shadows, neighbors and degrees of its vertices, and some relevant subgraphs, as well as the natural isomorphisms between them. In [18], the n-dimensional cube-connected complete graph was studied. In [24, 25], the hamiltonicity, path t-coloring, and the shortest paths of Sierpin´ski-like graphs were researched. In [26], the vertex arboricity of integer distance graph G(Dm,k) was obtained. A decomposition of a graph is a list of subgraphs such that each edge appears in exactly one subgraph in the list. If a graph G has a decomposition G1, G2, · · · , Gd, then we say that G1, G2, · · · , Gd decompose G, or G can be decomposed into G1, G2, · · · , Gd. A linear k−forest is a forest whose components are paths of length at most k. The linear k−arboricity of a graph G, denoted by lak(G), is the least number of linear k−forests needed to decompose G. Let x be a real number, denoted by ⌊x⌋ the maximum integer no more than x, and denoted by ⌈x⌉ the minimum integer no less than x. For any integers a < b, let [a, b] denote the set of integers {a, a + 1, · · · , b} for simplicity. For any positive integer λ, let Pλ be a path on λ vertices which has length λ − 1. The notion of linear k−arboricity was first introduced by Habib and Peroche [13], which is a natural generalization of edge coloring. Clearly, a linear 1-forest is induced by ∗Manuscript received August 4,2014. This work was supported by NSFC for youth with code 61103073. †Liancui Zuo, Shengjie He and Ranqun Wang are with College of Mathematical Science, Tianjin Normal University, Tianjin, 300387, China. Email: lczuo@mail.tjnu.edu.cn;lczuo@163.com     ⌈ ∆(G)·|V (G)| 2⌊ k·|V (G)| k+1 ⌋ ⌉, if ∆(G) =| V (G) | −1, lak(G) ≤    ⌈ ∆(G)·|V (G)|+1 2⌊ k·|V (G)| k+1 ⌋ ⌉, if ∆(G) <| V (G) | −1. For k =| V (G) | −1, it is the Akiyama’s conjecture [1]. Conjecture 1.2. [1] la(G) ≤ ⌈ ∆(G)+1 2 ⌉. So far, quite a few results on the verification of Conjecture 1.1 have obtained in the literature, especially for graphs with particular structures, such as trees [5, 6, 13], cubic graphs [4, 16, 19], regular graphs [2, 3], planar graphs [17], balanced complete bipartite graphs [8, 9, 10], balanced complete multipartite graphs [22] and complete graphs [5, 7, 8, 9, 21]. It is obtained that the linear 2arboricity, the linear 3-arboricity and the low bound of linear k-arboricity of balanced complete bipartite graph in [8, 9, 10], respectively. In [23], Xue and Zuo obtained the linear (n − 1)-arboricity of complete multipartite graph Kn(m). In [15], the linear 6-arboricity of the graph Km,n was obtained. All the results are coherent with the corresponding cases of Conjecture 1.1. But for the general graph, this conjecture has not been proved yet. As for a lower bound on lak(G), it is obvious that the following result holds. Lemma 1.3. For any graph G with maximum degree △(G), then lak (G) ≥ max{⌈ ∆(G) 2 ⌉, ⌈ |E(G)| ⌊ k|V (G)| k+1 ⌋ ⌉}. 2 Main results Note that in the following the index of each vertex is modulo n. Our main result is the following theorem. (Advance online publication: 17 February 2015) ___________I_A_E_N__G__I_n_te_r_n_a_t_i_o_n_a_l _J_o_u_r_n_a_l_o_f_A_p__p_li_e_d_M__a_t_h_e_m__a_ti_c_s,_4_5_:_1_,_I_J_A_M____4_5___1___0_3___________ Let Kn,n = G(A, B) be a balanced complete bipartite graph with partite sets A and B, where A = {a0, a1, · · · , an−1} and B = {b0, b1, · · · , bn−1}. It is defined that the bipartite dif f erence of an edge apbq in [9] as the value (q − p)( mod n). The edge set of Kn,n can be partitioned into n pairwise disjoint perfect matchings M0, M1, · · · , Mn−1, where Mj is exactly the set of edges of bipartite difference j in Kn,n for j ∈ [0, n − 1]. Theorem 2.1. la4(Kn,n) = ⌈5n/8⌉ for n ≡ 0( mod 5). Proof. Clearly, by Lemma 1.3, la4(Kn,n) ≥ ⌈n2/⌊4 · 2n/5⌋⌉ = ⌈5n/8⌉, so we need only to prove the upper bound. It is easy to see that the following Claim 1 holds. Claim 1. For each t ∈ [0, ⌊n/8⌋−1], the edges of M8t+2q∪ M8t+2q+1 other than that in ct,q can form one linear 4forest, where ct,q = {a2+2t+5(i−1)b2+2t+5(i−1)+8t+2q , a4+2t+5(i−1)b4+2t+5(i−1)+8t+2q+1|i ∈ [1, n/5]} for q ∈ {0, 2}, and ct,q = {a3+2t+5(i−1)b3+2t+5(i−1)+8t+2q , a5+2t+5(i−1)b5+2t+5(i−1)+8t+2q+1|i ∈ [1, n/5]} for q ∈ {1, 3}. For example, if n = 40, the edges of M0 ∪ M1 other than that in c0,0 = {a2+5(i−1)b2+5(i−1), a4+5(i−1)b4+5(i−1)+1|i ∈ [1, 8]} can form one linear 4-forest (please see Fig. 1). Similarly, the edges of M2 ∪ M3 other than that in c0,1 = {a3+5(i−1)b3+5(i−1)+2, a5+5(i−1)b5+5(i−1)+3|i ∈ [1, 8]} can form one linear 4-forest. The edges of M4 ∪ M5 other than edges in c0,2 = {a2+5(i−1)b2+5(i−1)+4, a4+5(i−1)b4+5(i−1)+5|i ∈ [1, 8]} can form one linear 4-forest. The edges of M6 ∪ M7 other than edges in c0,3 = {a3+5(i−1)b3+5(i−1)+6, a5+5(i−1)b5+5(i−1)+7|i ∈ [1, 8]} can form another linear 4-forest, and so on. Claim 2. la4(Kn,n) ≤ 5n/8 for n ≡ 0( mod 8) and n ≡ 0( mod 5). By Claim 1, we have obtained n/2 linear 4-forests in total. Thus we have to estimate the number of linear 4-forests induced by the union of ct,q. It is easy to verify that all edges of ∪q3=0ct,q can form n/5 pairwise disjoint paths P5 {b5+2t+5(i−1)+8t+3a5+2t+5(i−1)b5+2t+5(i−1)+8t+7 a5+2t+5(i−1)+7b2+2t+5(i−1)+8t+4+10|i ∈ [1, n/5]} and n/5 pairwise disjoint 4-cycles {a3+2t+5(i−1)b3+2t+5(i−1)+8t+2a4+2t+5(i−1) b4+2t+5(i−1)+8t+5a3+2t+5(i−1)|i ∈ [1, n/5]}, for each t ∈ [0, n/8 − 1]. Moreover, for each t ∈ [0, n/8 − 1], we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {a4+2t+5(i−1)b4+2t+5(i−1)+8t+1|i ∈ [1, n/5]} of 4-cycles of ∪3q=0ct,q, adding edges of {aubu+8tl+9|u = 2tl + 5i + 1, i ∈ [1, n/5]} to the remained edges of ∪q3=0ctl,q, and adding edges of {aubu+8(5l−5)+1|u = 2(5l − 5) + 5i − 1, i ∈ [1, n/5]} to the remained edges of ∪3q=0c(5l−1),q, where tl ∈ [5(l − 1), 5(l − 1) + 3] and l ∈ [1, n/40]. Hence, la4(Kn,n) ≤ n/2 + n/8 = 5n/8 in the case of n ≡ 0( mod 40). For example, if n = 40, for t = 0, the edges of ∪q3=0c0,q can form 8 pairwise disjoint paths P5 {b5i+3a5ib5i+7a5i+7b5i+11|i ∈ [1, 8]} and 8 pairwise disjoint 4-cycles {a5i−2b5ia5i−1b5i+4a5i−2|i ∈ [1, 8]}. (Please see Figure 2. Note that the paths P5 of ∪q3=0c0,q have not been displayed in the figure.) Moreover, for t = 0, we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {a4+5(i−1)b4+5(i−1)+1|i ∈ [1, 8]} of 4-cycles of ∪3q=0c0,q and adding edges of {a4+2+5(i−1)b4+2+5(i−1)+8+1|i ∈ [1, 8]} to the remained edges of ∪q3=0c0,q. Similarly, for t = 1, we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {a4+2+5(i−1)b4+2+5(i−1)+8+1|i ∈ [1, 8]} of 4-cycles of ∪3q=0c1,q and adding edges of {a4+2·2+5(i−1)b4+2·2+5(i−1)+8·2+1|i ∈ [1, 8]} to the remained edges of ∪3q=0c1,q. For t = 2, we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {a4+2·2+5(i−1)b4+2·2+5(i−1)+8·2+1|i ∈ [1, 8]} of 4-cycles of ∪3q=0c2,q and adding edges of {a4+2·3+5(i−1)b4+2·3+5(i−1)+8·3+1|i ∈ [1, 8]} (Advance online publication: 17 February 2015) ___________I_A_E_N__G__I_n_te_r_n_a_t_i_o_n_a_l _J_o_u_r_n_a_l_o_f_A_p__p_li_e_d_M__a_t_h_e_m__a_ti_c_s,_4_5_:_1_,_I_J_A_M____4_5___1___0_3___________ b0 q b1 q b2 q b3 q b4 q b5 q b6 q b7 q b8 q b9 q b10 q b11 q b12 q b13 q b14 q b15 q b16 q b17 q b18 q b19 q b20 q b21 q b22 q b23 q b24 q b25 q b26 q b27 q b28 q b29 q b30 q b31 q b32 q b33 q b34 q b35 q b36 q b37 q b38 q b39 q Figure 1. M0 ∪ M1 with c0,0 broken and others normal q a0 b0 q q a1 b1 q q a2 b2 q q a3 b3 q q a4 b4 q q a5 b5 q q a6 b6 q q a7 b7 q q a8 b8 q q a9 b9 q q a10 b10q q a11 b11q q a12 b12q q a13 b13q q a14 b14q q a15 b15q q a16 b16q q a17 b17q q a18 b18q q a19 b19q q a20 b20q q a21 b21q q a22 b22q q a23 b23q q a24 b24q q a25 b25q q a26 b26q q a27 b27q q a28 b28q q a29 b29q q a30 b30q q a31 b31q q a32 b32q q a33 b33q q a34 b34q q a35 b35q q a36 b36q q a37 b37q q a38 b38q q a39 b39q Figure 2. broken edges: the edges deleted from 4-cycles of ∪q3=0c0,q heavy edges: the edges adding to the remained edges of ∪3q=0c0,q q a0 q a1 q a2 q a3 q a4 q a5 q a6 q a7 q a8 q a9 q a10 q a11 q a12 q a13 q a14 q a15 q a16 q a17 q a18 q a19 q a20 q a21 q a22 q a23 q a24 q a25 q a26 q a27 q a28 q a29 q a30 q a31 q a32 q a33 q a34 q a35 q a36 q a37 q a38 q a39 (Advance online publication: 17 February 2015) ___________I_A_E_N__G__I_n_te_r_n_a_t_i_o_n_a_l _J_o_u_r_n_a_l_o_f_A_p__p_li_e_d_M__a_t_h_e_m__a_ti_c_s,_4_5_:_1_,_I_J_A_M____4_5___1___0_3___________ to the remained edges of ∪q3=0c2,q. For t = 3, we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {a4+2·3+5(i−1)b4+2·3+5(i−1)+8·3+1|i ∈ [1, 8]} of 4-cycles of ∪q3=0c3,q and adding edges of {a4+2·4+5(i−1)b4+2·4+5(i−1)+8·4+1|i ∈ [1, 8]} to the remained edges of ∪q3=0c3,q. For t = 4, we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {a4+2·4+5(i−1)b4+2·4+5(i−1)+8·4+1|i ∈ [1, 8]} of 4-cycles of ∪q3=0c4,q and adding edges of {a4+5(i−1)b4+5(i−1)+1|i ∈ [1, 8]} to the remained edges of ∪3q=0c4,q. Hence la4(K40,40) ≤ 25. Claim 3. la4(Kn,n) ≤ ⌈5n/8⌉ for n ≡ 2( mod 8) and n ≡ 0( mod 5). The edges of Mn−2 ∪ Mn−1 other than that in {a4+5(i−1)b2+5(i−1), a1+5(i−1)b5(i−1)|i ∈ [1, n/5]} can form one linear 4-forest. Now we have obtained ⌊n/8⌋ · 4 + 1 = n/2 linear 4-forests in total by Claim 1. Next we will estimate the number of linear 4-forests induced by the edges that are not used in Kn,n. It is not difficult to verify that all edges of ∪3q=0ct,q can form n/5 pairwise disjoint paths P5 {b5+2t+5(i−1)+8t+3a5+2t+5(i−1)b5+2t+5(i−1)+8t+7 a5+2t+5(i−1)+7b2+2t+5(i−1)+8t+4+10|i ∈ [1, n/5]} and n/5 pairwise disjoint 4-cycles {a3+2t+5(i−1)b3+2t+5(i−1)+8t+2a4+2t+5(i−1) b4+2t+5(i−1)+8t+5a3+2t+5(i−1)|i ∈ [1, n/5]}, for each t ∈ [0, ⌊n/8⌋ − 1]. Moreover, for each t ∈ [0, ⌊n/8⌋ − 2], we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {a4+2t+5(i−1)b4+2t+5(i−1)+8t+1|i ∈ [1, n/5]} of 4-cycles of ∪3q=0ct,q, adding edges of {aubu+8tl+9|u = 2tl + 5i + 1, i ∈ [1, n/5]} to the remained edges of ∪3q=0ctl,q and adding edges of {aubu+8(5l−5)+1|u = 2(5l − 5) + 5i − 1, i ∈ [1, n/5]} to the remained edges of ∪q3=0c(5l−1),q, where tl ∈ [5(l − 1), 5(l − 1) + 3] and l ∈ [1, ⌊⌊n/8⌋/5⌋]. For t = ⌊n/8⌋ − 1, we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {al+5(i−1)bl+5(i−1)+8(⌊n/8⌋−1)+1|i ∈ [1, n/5]} of 4-cycles of ∪3q=0c(⌊n/8⌋−1),q for l = 4 + 2(⌊n/8⌋ − 1). It is easy to verify that the remained edges, i.e., all edges of {al+5(i−1)bl+5(i−1)+8(⌊n/8⌋−1)+1, a4+5(i−1)b2+5(i−1), a1+5(i−1)b5(i−1)|i ∈ [1, n/5]} with l = 4 + 2(⌊n/8⌋ − 1) can form one linear 4-forest. Hence, la4(Kn,n) ≤ n/2 + (⌊n/8⌋ − 1) + 1 + 1 = n/2 + ⌈n/8⌉ = ⌈5n/8⌉. For example, if n = 10, then the edges of M0 ∪ M1 other than that in c0,0 = {albl, a2+lb2+l+1|l = 5i − 3, i ∈ [1, 2]} can form one linear 4-forest. The edges of M2 ∪ M3 other than that in c0,1 = {albl+2, a2+lb2+l+3|l = 5i − 2, i ∈ [1, 2]} can form one linear 4-forest. The edges of M4 ∪ M5 other than that in c0,2 = {albl+4, a2+lb2+l+5|l = 5i − 3, i ∈ [1, 2]} can form one linear 4-forest. The edges of M6 ∪ M7 other than that in c0,3 = {albl+6, a2+lb2+l+7|l = 5i − 2, i ∈ [1, 2]} can form one linear 4-forest. Clearly, the edges of ∪q3=0c0,q produce two disjoint paths P5 {bl+3albl+7al+7bl+11|l = 5i, i ∈ [1, 2]} and two disjoint 4-cycles {atbt+2a1+tb1+t+5at|t = 5i − 2, i ∈ [1, 2]}. We obtain one linear 4-forest by deleting edges {a4+5(i−1)b4+5(i−1)+1|i ∈ [1, 2]} of 4-cycles of ∪q3=0c0,q. Moreover, the edges of M8 ∪ M9 other than that in {a4+5(i−1)b2+5(i−1), a1+5(i−1)b5(i−1)|i ∈ [1, 2]} can form one linear 4-forest. It is not difficult to verify that the remained edges, i.e., all edges of {a4+lb4+l+1, a4+lb2+l, a1+lbl|l = 5(i − 1), i ∈ [1, 2]} can form one linear 4-forest. Hence, la4(K10,10) ≤ 7. Claim 4. la4(Kn,n) ≤ ⌈5n/8⌉ for n ≡ 4( mod 8) and n ≡ 0( mod 5). The edges of Mn−4 ∪ Mn−3 other than that in {a6+5(i−1)b2+5(i−1), a3+5(i−1)b5(i−1)|i ∈ [1, n/5]} can form one linear 4-forest, and the edges of Mn−2 ∪ Mn−1 other than that in {a4+5(i−1)b2+5(i−1), a1+5(i−1)b5(i−1)|i ∈ [1, n/5]} can form another one. Now we have obtained ⌊n/8⌋ · 4 + 2 = n/2 linear 4-forests in total by Claim 1. In the following we will estimate the number of linear 4-forests induced by the edges that are not used in Kn,n. (Advance online publication: 17 February 2015) ___________I_A_E_N__G__I_n_te_r_n_a_t_i_o_n_a_l _J_o_u_r_n_a_l_o_f_A_p__p_li_e_d_M__a_t_h_e_m__a_ti_c_s,_4_5_:_1_,_I_J_A_M____4_5___1___0_3___________ It is not difficult to verify that all edges of ∪q3=0ct,q can form n/5 pairwise disjoint paths P5 {bl+3al−8tbl+7al−8t+7bl+11|l = 10t + 5i, i ∈ [1, n/5]} and n/5 pairwise disjoint 4-cycles {albl+8t+2a1+lbl+8t+6al|l = 2t + 5i − 2, i ∈ [1, n/5]} for each t ∈ [0, ⌊n/8⌋ − 1]. Moreover, for each t ∈ [0, ⌊n/8⌋ − 3], we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {a4+2t+5(i−1)b4+2t+5(i−1)+8t+1|i ∈ [1, n/5]} of 4-cycles of ∪q3=0ct,q, adding edges of {aubu+8(tl+1)+1|u = 2tl + 5i + 1, i ∈ [1, n/5]} to the remained edges of ∪3q=0ctl,q and adding edges of {aubu+8(5l−5)+1|u = 2(5l − 5) + 5i − 1, i ∈ [1, n/5]} to the remained edges of ∪3q=0c(5l−1),q, where tl ∈ [5(l − 1), 5(l − 1) + 3] and l ∈ [1, ⌊⌊n/8⌋/5⌋]. For t = ⌊n/8⌋ − 2, we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {aubu+8⌊n/8⌋−15|u = 2⌊n/8⌋ + 5(i − 1), i ∈ [1, n/5]} of 4-cycles of ∪q3=0c(⌊n/8⌋−2),q and adding edges of {a1+5(i−1)b5(i−1)|i ∈ [1, n/5]} of Mn−1 that have not been used. For t = ⌊n/8⌋ − 1, we also obtain one linear 4-forest by deleting edges in {aubu+8⌊n/8⌋−6|u = 2⌊n/8⌋ + 5i − 4, i ∈ [1, n/5]} of 4-cycles of ∪3q=0c(⌊n/8⌋−1),q and adding edges of {a3+5(i−1)b5(i−1)|i ∈ [1, n/5]} of Mn−3 that have not been used. It is obvious that the remained edges, i.e., all edges of {aubu+8(⌊n/8⌋−2)+1, a4+5(i−1)b2+5(i−1), a6+5(i−1)b2+5(i−1), au−1bu+8(⌊n/8⌋−2)+1| u = 2⌊n/8⌋ + 5(i − 1), i ∈ [1, n/5]}, can form one linear 4-forest. Hence, la4(Kn,n) ≤ n/2 + (⌊n/8⌋ − 2) + 1 + 1 + 1 = n/2 + ⌈n/8⌉ = ⌈5n/8⌉. Claim 5. la4(Kn,n) ≤ ⌈5n/8⌉ for n ≡ 6( mod 8) and n ≡ 0( mod 5). The edges of Mn−6 ∪ Mn−5 other than that in {a8+5(i−1)b2+5(i−1), a5+5(i−1)b5(i−1)|i ∈ [1, n/5]} can form one linear 4-forest, the edges of Mn−4 ∪ Mn−3 other than that in {a7+5(i−1)b4+5(i−1), a5+5(i−1)b1+5(i−1)|i ∈ [1, n/5]} can form one linear 4-forest, and the edges of Mn−2 ∪ Mn−1 other than edges in {a4+5(i−1)b2+5(i−1), a1+5(i−1)b5(i−1)|i ∈ [1, n/5]} can form another one. Now we have obtained ⌊n/8⌋ · 4 + 3 = n/2 linear 4-forests in total by Claim 1. Thus we have to estimate the number of linear 4-forests induced by the edges that are not used in Kn,n. It is not difficult to see that all edges of ∪3q=0ct,q can form n/5 pairwise disjoint paths P5 {bu+8t+3aubu+8t+7au+7bu+8t+11| u = 2t + 5i i ∈ [1, n/5] } and n/5 pairwise disjoint 4-cycles {aubu+8t+2au+1bu+8t+6au| u = 2t + 5i − 2 i ∈ [1, n/5] } for each t ∈ [0, ⌊n/8⌋ − 1]. Moreover, for each t ∈ [0, ⌊n/8⌋ − 4], we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {a4+2t+5(i−1)b4+2t+5(i−1)+8t+1|i ∈ [1, n/5]} of 4-cycles of ∪3q=0ct,q, adding edges of {aubu+8(tl+1)+1|u = 2tl + 5i + 1, i ∈ [1, n/5]} to the remained edges of ∪3q=0ctl,q and adding edges of {aubu+8(5l−5)+1|u = 10l + 5i − 11, i ∈ [1, n/5]} to the remained edges of ∪3q=0c(5l−1),q, where tl ∈ [5(l − 1), 5(l − 1) + 3] and l ∈ [1, ⌊⌊n/8⌋/5⌋]. For t = ⌊n/8⌋ − 1, we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {aubu+8⌊n/8⌋−7|u = 2⌊n/8⌋ + 5i − 3, i ∈ [1, n/5]} of 4-cycles of ∪3q=0c(⌊n/8⌋−1),q and adding edges of {a5+5(i−1)b5(i−1)|i ∈ [1, n/5]} of Mn−5 that have not been used. For each t ∈ {⌊n/8⌋ − 2, ⌊n/8⌋ − 3}, we obtain one linear 4-forest by deleting edges in {aubu+8t+1|u = 2t + 5i − 1, i ∈ [1, n/5]} of 4-cycles of ∪q3=0ct,q and adding edges of {aubu+8(t+1)+1|u = 2t + 5i + 1, i ∈ [1, n/5]} that have been deleted from ∪q3=0c(t+1),q. It is easy to verify that the remained edges, i.e., all edges of {aubu+8(⌊n/8⌋−3)+1, a7+5(i−1)b4+5(i−1), a8+5(i−1)b2+5(i−1), a5+5(i−1)b1+5(i−1), a1+5(i−1)b5(i−1), a4+5(i−1)b2+5(i−1)| u = 2⌊n/8⌋ + 5i − 7, i ∈ [1, n/5]}, can form one linear 4-forest. Hence, la4(Kn,n) ≤ n/2 + (⌊n/8⌋ − 3) + 1 + 1 + 1 + 1 = n/2 + ⌈n/8⌉ = ⌈5n/8⌉. Claim 6. la4(Kn,n) ≤ ⌈5n/8⌉ for n ≡ 1( mod 8) and n ≡ 0( mod 5). Now we have obtained ⌊n/8⌋·4 = ⌊n/2⌋ linear 4-forests in total by Claim 1. Note that the edges of Mn−1 also have not been used. Thus we have foram contidos fisicamente em decúbito lateral direito, e as agulhas posicionadas sobre os acupontos (ACs) coração 7 (C-7 – Shenmen), localizado entre o processo estiloide lateral e o osso cárpico acessório, exatamente na dobra da articulação úmero-rádio-ulnar, e pericárdio 6 (PC-6 – Neiguan), localizado entre os tendões do músculo flexor carporradial e do músculo flexor digital superficial (Fig. 1A, 1B e 1C), conforme descrito por Draehmpaehl e Zohmann (1997). Já para a segunda seção, os animais foram novamente posicionados em decúbito lateral direito, e as agulhas inseridas em acupontos falsos (AF), localizados no oitavo e no nono espaço intercostal esquerdo (Figura 1D), onde não há interferência de nenhum outro meridiano, conforme descrito por (Draehmpaehl e Zohmann, 1994). Independentemente da seção, não foi realizada estimulação manual das agulhas, e os acupontos permaneceram estimulados por um período de 30 minutos, respeitando-se o período mínimo de 10 a 20 minutos sugerido por Scott (2001) para que o acuponto possa promover um efeito observável. Figura 1. Localização dos acupontos C-7 (seta em A) e PC-6 (seta em B) no cão (Adaptado de Draehmpaehl e Zohmann, 1997). Em C, acupuntura em cão do experimento acuponto C-7 (seta azul) e acuponto PC-6 (seta laranja). Em D, acupuntura em cão do experimento em acuponto falso. Arquivo pessoal, 2014.  Previamente à aplicação das agulhas nos ACs, foi realizado um registro eletrocardiográfico (ECG) com dois minutos de duração e, após a inserção das agulhas nos ACs, o registro eletrocardiográfico se manteve durante os 30 minutos de acupuntura. Para a realização do eletrocardiograma, foi utilizado um aparelho de eletrocardiografia computadorizada (ECGPC – TEB®), respeitando-se o padrão de fixação de eletrodos descrito por Tilley (1992), com registro das derivações bipolares e unipolares aumentadas e calibração de 25mm/s e 1mV (N). Os dados do ECG foram interpretados de forma comparativa pré e pós-estimulação dos acupontos, sendo os dados pós-estimulação coletados e interpretados em intervalos de cinco minutos até o final da gravação (30 minutos). Arq. Bras. Med. Vet. Zootec., v.68, n.1, p.252-256, 2016 253 Silva et al.  Para a análise da VFC, foi utilizada a fórmula disponível em Carareto et al. (2007). A normalidade dos dados obtidos foi verificada pelo teste de Shapiro-Wilk (P>0,05), seguida pelo teste ANOVA com pós-teste de Bonferroni para as variáveis paramétricas e pelo teste de Kruskal-Wallis com pós-teste de Dunn (P<0,05) para as variáveis não paramétricas. Foi realizada análise descritiva para as variáveis qualitativas. No presente estudo, 90% dos animais apresentaram arritmia sinusal respiratória, demonstrando maior influência do sistema nervoso simpático, em todos os momentos do grupo ACs, enquanto no grupo AF esse ritmo cardíaco esteve presente em 100% dos animais, em todos os momentos. O ritmo sinusal foi encontrado apenas em 10% dos animais do grupo ACs, sugestivamente por se tratar da primeira exposição dos animais ao experimento, resultando em maior influência parassimpática sobre o sistema cardiovascular. Conforme demonstrado na Tab. 1, houve pequena e irrelevante diferença quando comparada a FC de todos os momentos do grupo ACs com os momentos do grupo AF, o que evidencia, portanto, a ineficácia da estimulação dos acupontos sobre esse parâmetro. Tabela 1. Frequência cardíaca (FC) e variabilidade da frequência cardíaca (VFC) obtidas com a realização dos acupontos verdadeiros (AV) C-7 e PC-6 e do acuponto falso (AF) em diferentes momentos do ECG, expressos em mediana (percentil 25% - percentil 75%) para a FC e média±desvio-padrão para a VFC Momentos FC (bpm) VFC AV AF AV AF 0 minuto 107 (92-130)a 112 (93-129)a 12,79±0,46ab 12,71±0,47b 5 minutos 90 (79-121)a 93 (82-115)a 13,08± 0,48ab 13,09± 0,49ab 10 minutos 94 (79-118)a 88 (70-123)a 13,01± 0,48ab 13,12± 0,53ab 15 minutos 96 (76-120)a 99 (81-115)a 13,04± 0,52ab 13,17± 0,51a 20 minutos 95 (79-120)a 95 (81-112)a 13,13± 0,51ab 13,07± 0,54ab 25 minutos 104 (83-115)a 89 (76-108)a 13,15± 0,45ab 13,17± 0,53a 30 minutos 87 (82-107)a 95 (81-117)a 13,18± 0,46ab 13,11± 0,56ab P = 0,0890 P = 0,0051 Para a FC, valores seguidos por letras distintas diferem entre si (P<0,05) ao teste de Dunn. Para a VFC, valores seguidos por letras distintas diferem entre si (P<0,05) ao teste de Bonferroni. Não foi observada diferença na VFC (Tab. 1) entre os grupos do ACs e AF, exceto quando comparado apenas o momento basal com os momentos 15 e 25 minutos do AF, contudo sem relevância clínica para o estudo. Sabidamente, VFC constitui uma medida simples e não invasiva que avalia os efeitos do sistema nervoso autônomo sobre o coração. Variações nessa variabilidade são normais e esperadas, indicando habilidade do coração em responder a múltiplos estímulos fisiológicos e ambientais. Em síntese, uma alta VFC representa boa adaptação, caracterizando um indivíduo saudável, com mecanismos autonômicos eficientes, enquanto a baixa VFC representa adaptação anormal e insuficiente do SNA (Carareto et al., 2007). Dentre as opções terapêuticas para o tratamento de anormalidades dos mecanismos autonômicos, a acupuntura vem se destacando em vários estudos em animais, entretanto em nenhum desses estudos se objetivou a avaliação do efeito da acupuntura em indivíduos saudáveis, conforme ocorreu no presente estudo, fator limitante à discussão mais aprofundada. Observam-se, na literatura, diversos estudos em que foram observados os efeitos da acupuntura sobre pacientes com diferentes distúrbios cardiovasculares. Syuu et al. (2001) relataram efeitos benéficos da estimulação do acuponto PC-6 em cães anestesiados e sob toracotomia. Nesse estudo, os autores descrevem reduções na pressão arterial média, volume diastólico final, frequência cardíaca, débito cardíaco e pressão sistólica final mediante estimulação do acuponto. O efeito cardiovascular da acupuntura sobre o acuponto PC-6 em cães também foi observado por Jingbi (2004) em modelo de experimental de infarto agudo do miocárdio. Nesse estudo, foi observado que a acupuntura proporcionou redução do segmento ST do eletrocardiograma, além de reduzir as áreas de infarto induzidas pela ligadura coronariana. Entretanto, esses dois 254 Arq. Bras. Med. Vet. Zootec., v.68, n.1, p.252-256, 2016 Efeitos da acupuntura estudos diferem do presente pelo fato de as agulhas terem sido estimuladas eletricamente (eletroacupuntura), enquanto no presente estudo estas permaneceram em repouso. Cárdenas (2006) observou que a estimulação dos mesmos acupontos empregados no presente estudo em cavalos sob anestesia geral demonstrou efeitos positivos sobre a taquicardia ventricular induzida por infusão contínua de dopamina, nos quais a estimulação dos ACs C-7 e PC-6 promoveu diminuição do tempo da taquicardia ventricular, demonstrando, assim, a eficácia da estimulação desses acupontos em animais. Um estudo controlado em ratos demonstrou que a estimulação dos acupontos PC-5 e PC-6 reduziu significativamente a incidência de taquiarritmias induzidas experimentalmente pós-oclusão e reperfusão da artéria coronária esquerda (Lujan et al., 2007). Em humanos, a revisão de oito estudos utilizando acupuntura para o tratamento de arritmias cardíacas encontrou cerca de 87 a 100% que foram convertidos ao ritmo sinusal após a estimulação dos acupontos (Xie e Wedemeyer, 2012). estudo não se valeu da estimulação elétrica sobre os acupontos falsos ou verdadeiros (C-7 Shenmen e PC-6 Neiguan). Limitações a este estudo compreendem o fato de que a escolha dos acupontos explorados baseouse nas indicações terapêuticas descritas por Draehmpaehl e Zohmann (1994), em que o acuponto C-7 é indicado em casos de alterações funcionais do coração, e o acuponto PC-6 quando há dores miocárdicas. Ainda segundo os mesmos autores, essa forma de terapia alternativa objetiva normalizar funções orgânicas alteradas e, como no presente estudo foram utilizados animais hígidos, a acupuntura pode não ter promovido influência sobre a VFC nos cães que participaram do experimento. Limita-se, ainda, este estudo quando da observação das recomendações descritas por Scott (2001), quando ele destaca a necessidade de um ou dois tratamentos semanais durante quatro a seis semanas consecutivas, tempo em que se espera que possa haver a resposta desejada à terapia, fato não realizado no presente estudo. Finalmente, Kimura e Hara (2008) desenvolveram um estudo em que foram estudados os efeitos da eletroacupuntura sobre o ritmo do sistema nervoso autônomo em cães. Dentre outras análises, observaram o coeficiente de variação dos intervalos R-R (CVRR) do eletrocardiograma, o qual avalia o índice de atividade nervosa autônoma, de forma semelhante à VFC, a qual também se utiliza do intervalo R-R como unidade de medida. Seus entre os grupos (* p < 0,01). O principal critério de exclusão deste estudo foi idade superior a 74 anos. Um declínio da função neurocognitiva (descrito como podendo chegar a 9%) no período pós‑operatório é muito mais comum e esperado para idades acima daquela. A amostra avaliada neste estudo tinha idade média de 60 anos, que foi relacionada a menor efeito na função neurocognitiva no pós-operatório. Ao se relacionar idade com função cognitiva, apenas o Digit Span Test, que avalia velocidade de coordenação motora visual, mostrou diferença nos escores, que foram menores no Grupo 222. Neste estudo, alguns resultados do comprometimento cognitivo em pacientes submetidos a CRM com BCP diferiram daqueles relatados na literatura. A maioria dos testes neurocognitivos realizados mostrou aumento ou leve redução de escores entre o período pré-operatório e a alta hospitalar no Grupo 2, que foi submetido a mais sessões de fisioterapia. A avaliação da atenção e do sequenciamento alternado através do Trail Making Test, parte A, mostrou nos dois grupos um leve aumento do escore entre o período pré-operatório e a alta hospitalar. No entanto, na parte B do mesmo teste, ao contrário do Grupo 1, o Grupo 2 apresentou aumento do seu escore no mesmo período, sugerindo que a maior estimulação melhorou a função cognitiva. Resultado semelhante foi observado ao se avaliar a memória de curto prazo e a memória verbal imediata usando-se o Subteste de Substituição de Dígitos por Símbolos: o escore do Grupo 1 diminuiu enquanto o do Grupo 2 aumentou. Ao se avaliar a velocidade de coordenação motora visual e memória visual (Teste de Retenção Visual de Benton e Coding Test), observou‑se uma redução nos dois grupos, sendo maior no Grupo 1 (p < 0,01). Há relatos na literatura de que anormalidades neurocognitivas leves podem ocorrer após cirurgia cardíaca16. Para nossa surpresa, alguns testes mostraram aumento nos escores do grupo submetido a fisioterapia três vezes por dia. Até onde sabemos, este é o primeiro estudo a avaliar a influência de fisioterapia na função cognitiva. Na nossa prática clínica, observamos que tanto a função pulmonar quanto a neurocognitiva de pacientes submetidos a CRM evoluem melhor quando aqueles são submetidos a sessões de fisioterapia mais frequentes, enfatizando a interação dinâmica entre corpo e mente. Isso nos levou a planejar este projeto para melhor avaliar tal efeito. O tamanho da amostra foi a limitação mais importante deste estudo. No entanto, mesmo sem um número grande de pacientes e com um protocolo de fisioterapia relativamente simples23, nossos resultados confirmam a hipótese de que pacientes submetidos a maior número de sessões de fisioterapia por dia apresentam melhor recuperação cognitiva até a alta hospitalar. Sugerimos que uma maior intensidade de fisioterapia durante a hospitalização aumente o número de sinapses no sistema cortical aferente e melhore a comunicação neuronal, resultando em minimização ou mitigação dos distúrbios neurocognitivos causados pela cirurgia cardíaca. 396 Arq Bras Cardiol. 2014; 103(5):391-397 Cavalcante e cols. Fisioterapia após cirurgia de revascularização miocárdica Artigo Original Conclusão Como demonstrado neste estudo, a CRM com BCP leva a alterações das funções pulmonar e neurocognitiva no período pós-operatório, podendo comprometer a evolução clínica dos pacientes. A fisioterapia respiratória é uma maneira de minimizar o dano à função pulmonar nessa população. Para nossa surpresa, houve melhora das funções neurocognitivas no grupo submetido a maior número de sessões de fisioterapia respiratória por dia, com melhora de seus níveis peroperatórios, sugerindo que pacientes mais estimulados têm melhor desenvolvimento neurocognitivo. Faltam estudos correlacionando fisioterapia respiratória e função neurocognitiva no pós-operatório de cirurgia cardíaca. Nossos resultados encorajam estudos adicionais sobre esse tópico. Esta nova abordagem abre um caminho de investigação, não apenas para a possibilidade de redução do dano neuropsicológico secundário à cirurgia cardíaca com BCP, mas ainda como uma simples e prática estratégia para prevenir ou minimizar tais alterações. Contribuição dos autores Concepção e desenho da pesquisa: Cavalcante ES, Conforti CA, Carvalho ACC, Buffolo E, Luna Filho B; Obtenção de dados: Cavalcante ES, Magario R; Análise e interpretação dos dados: Cavalcante ES, Magario R, Luna Filho B; Análise estatística: Luna Filho B; Redação do manuscrito: Cavalcante ES, Cipriano Júnior G, Arena R, Luna Filho B; Revisão crítica do manuscrito quanto ao conteúdo intelectual importante: Cavalcante ES, Conforti CA, Cipriano Júnior G, Carvalho ACC, Buffolo E, Luna Filho B. Potencial conflito de interesse Declaro não haver conflito de interesses pertinentes. Fontes de financiamento O presente estudo não teve fontes de financiamento externas. Vinculação acadêmica Este artigo é parte de Dissertação de Mestrado de Elder dos Santos Cavalcante pela UNIFESP - Escola Paulista de Medicina. Referências 1. van Harten AE, Scheeren, TW, Absalom AR. 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